Vấn đề chọn tham số trong phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một hệ hữu hạn phương trình không chỉnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHÍ THỊ BÍCH HÀ
VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ
HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHÍ THỊ BÍCH HÀ
VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ
HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Nguyên - Năm 2014
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số khái niệm cơ bản 6
1.1 Không gian Banach - Toán tử đơn điệu và J-đơn điệu . . . 6
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu . . . . . . . . . . 8
1.2 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 11

1.2.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . 15
1.3 Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu . . . . . 16
Kết luận chương 1 19
2 Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có toán tử J- đơn điệu 20
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình
toán tử J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử
J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Cách chọn tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Cách chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . 31
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 34
1
MỞ ĐẦU
Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán
mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu
vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài
toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các bài toán
trên được gọi là lớp các bài toán không chính qui hay bài toán đặt không
chỉnh.
Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi
nghiên cứu ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương
trình elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương
trình
A (x) = f (1)
ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y . Theo
J. Hadamard bài toán (1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (chính qui) nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. Phương trình (1) có nghiệm x
0
với mọi y ∈ Y ;
2. Nghiệm x
0
được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x
0
phụ thuộc liên tục vào f.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. Nhất
là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng
máy tính luôn xảy ra trong quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó
dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài
toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt không
2
chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới. Một số nhà toán
học Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết
các bài toán đặt không chỉnh như: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Đinh
Nho Hào, Đặng Đức Trọng. . .
Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đã đưa về
bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong
một tập compact lồi M và ảnh A (M) = N sao cho khi f xấp xỉ bởi f
δ
∈ N
ta vẫn có nghiệm x
δ
thỏa mãn Ax

δ
∈ N. Do số liệu xấp xỉ là số liệu không
chính xác, nên có thể xấp xỉ f
δ
lại không nằm vào tập A (M ). Khi đó,
phương trình A (x) = f
δ
không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Để
khắc phục tình trạng này, V. K. Ivanov đã đưa ra khái niệm tựa nghiệm
cho phương trình (1). Theo V. K. Ivanov phần tử ˜x ∈ M làm cực tiểu
phiếm hàm inf
x∈M
ρ
Y
(A (x) , f) được gọi là tựa nghiệm của (1) trên tập M,
trong trường hợp M là tập compact của X, thì mọi f ∈ Y bao giờ cũng
tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A (M) thì tựa nghiệm chính là nghiệm thông
thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm thông thường có thể không duy
nhất.
Năm 1963, Tikhonov đưa ra một hướng mới giải quyết bài toán (1), đó
là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số
M
α
[x, f
δ
] = ρ
2
(A (x) , f
δ
) + αψ (x) , (2)

ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số
hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α (δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có
α (δ) → 0 và điểm cực tiểu x
δ
α
của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của
bài toán (1).
Đối với bài toán (1), khi A : H → H (H là không gian Hilbert), là một
toán tử liên tục và đóng yếu, H. W. Engl đã xét dạng cụ thể của (2) là
M
α
[x, f
δ
] = Ax − f
δ

2
+ α x
2
(3)
và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào f
δ
và
hội tụ về nghiệm của (1) khi f
δ
→ f.
Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không gian
3
Banach X vào X
∗

, Alber và Ryazantseva đã xây dựng phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình
A (x) + αJ
s
(x) = f
δ
, (4)
ở đây, J
s
là toán tử đối ngẫu tổng quát của X, tức là J
s
: X → X
∗
, thỏa
mãn điều kiện
J
s
(x) , x = x J
s
(x) , J
s
(x) = x
s−1
, s ≥ 2.
Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng
bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt không chỉnh tức là tìm
nghiệm x
0
sao cho
A

i
(x
0
) = f
i
, i = 1, 2, , N, (5)
ở đây, A
i
: X → Y
i
, X và Y
i
là các không gian Hilbert. Hệ phương trình
(5) có thể đưa về một phương trình (1), với A : X → Y được xác định
bởi A (x) = (A
1
(x) , A
2
(x) , . . . , A
N
(x)) , Y := Y
1
× Y
2
× . . . × Y
N
và
f = (f
1
, f

2
, . . . , f
N
) .
Có thể coi (1) như là trường hợp riêng của (5) khi N = 1. Tuy nhiên
(5) có lợi hơn (1) ở chỗ (5) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (A
i
, f
i
), còn
(1) cho ta tính chất chung của (A
i
, f
i
) và nghiệm của (1) phải thỏa mãn
các tọa độ giống nhau.
Dựa trên khoảng cách Bregman
D

x
δ
, x
0

:= J

x
δ

− J (x

0
) −

J

(x
0
) , x
δ
− x
0

Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh x
δ
về nghiệm x
0
của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán tử
A
i
, i = 1, 2, , N.
Trong trường hợp A
i
là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên
không gian Banach, Nguyễn Bường đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh
dựa vào việc giải phương trình
N

i=1
α
µ

i
A
i
(x) + αJ (x) = θ, (6)
µ
1
= 0 < µ
i
< µ
i+1
< 1, i = 2, , N − 1,
4
ở đây, J (x) là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X
∗
, tức J (x) = J
2
(x).
Khi A
i
: H → H là các toán tử đơn điệu và liên tục, GS.TS Nguyễn
Bường và TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh
lặp bậc không tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán
A
i
(x) = θ, i = 1, 2, , N, (7)
bằng hồ sơ lặp
x
(k+1)
= x
(k)

− β
k

N

i=1
α
i
k
A
i

x
(k)

+ α
N+1
k

x
(k)
− x
∗


, (8)
ở đây, xấp xỉ đầu x
(0)
và x
∗

là phần tử trong không gian H và α
k
, β
k
là
các dãy số dương.
Hệ (7) cũng được GS.TSKH Phạm Kỳ Anh và GS.TS Cao Văn Chung
xét đến khi A
i
: H → H có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương
pháp hiệu chỉnh lặp song song. Các kết quả đạt được của phương pháp
cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.
Trong luận văn này, chúng ta xét các phương pháp hiệu chỉnh, cách
chọn tham số và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Trong trường hợp
các toán tử A
i
: X → X là J- đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không
gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng ta
xét phương pháp hiệu chỉnh (5) dựa vào việc giải phương trình
A
0
(x) + α
µ
N

i=1

A
i
(x) − f

δ
i

+ α (x − x
∗
) = f
δ
0
(9)
và đưa ra cách chọn tham số α = α (δ), ở đây µ ∈ (0, 1) là hằng số cố
định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được
đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A
0
.
Các kết quả đạt được trong luận văn này là kết quả trong quá trình học
tập và nghiên cứu tại Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Ngoài
phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
hai chương:
Chương 1. Một số khái niệm cơ bản.
Trong chương này ta trình bài các khái niệm cơ bản về không gian
5
Banach và bài toán đặt không chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov. Từ
đó giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử đơn
điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này còn giới thiệu
bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và các phương
pháp hiệu chỉnh.
Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có toán tử J- đơn điệu.
Trong chương này ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
trình đối với toán tử J- đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian
Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.

Tôi mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Giáo sư - Tiến
sĩ Nguyễn Bường, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá
trình tôi thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư, tiến sĩ ở Viện Toán học,
Viện công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam, các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học nói chung và
khoa Toán - Tin nói riêng đã hết lòng giảng dạy, truyền đạt cho tôi nhiều
kiến thức khoa học trong suốt quá trình tôi học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi cũng muốn cảm ơn đến người thân, bạn bè đã cổ vũ tôi
trong suốt thời gian vừa qua.
Do điều kiện thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này không thể
tránh khỏi có nhiều thiếu sót. Tôi rất mong sẽ nhận được nhiều ý kiến
đóng góp của thầy cô và các bạn.
Hải Phòng, ngày 11 tháng 10 năm 2014
Tác giả
Phí Thị Bích Hà
6
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản trong không
gian Banach, toán tử đơn điệu và J- đơn điệu. Khái niệm bài toán đặt
không chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov. Đồng thời giới thiệu về
phương pháp hiệu chỉnh với toán tử đơn điệu. Các kiến thức này được
tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [7], [8].
1.1 Không gian Banach - Toán tử đơn điệu và J-đơn điệu
1.1.1 Không gian Banach
Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong
đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi là chuẩn của x, thỏa
mãn các điều kiện sau:

1) x > 0, ∀x = 0, x = 0 ⇔ x = 0;
2) αx = |α| . x , ∀x ∈ X, α ∈ R;
3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X, (bất đẳng thức tam giác).
Một không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach.
+) Sự hội tụ trong không gian Banach:
Dãy các phần tử x
n
không gian Banach X được gọi là hội tụ đến phần
tử x
0
∈ X khi n → ∞, nếu khi n → ∞, ký hiệu là x
n
→ x
0
. Sự hội tụ đó
được gọi là hội tụ mạnh.
Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x
0
∈ X, ký hiệu là x
n
7
hội tụ yếu tới x
0
, nếu với ∀f ∈ X
∗
là không gian liên hợp của X, ta có
f (x
n

) → f (x
0
), khi n → ∞.
Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau:
i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {x
n
} suy ra sự hội tụ yếu của dãy
đó.
ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất.
iii) Nếu x
n
→ x thì sup
1≤n<∞
x
n
 < ∞ và x ≤ lim
n→∞
x
n
.
Nhận xét 1.1. Một số trường hợp hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh
là:
i) X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều.
ii) {x
n
} ⊂ M với M là một tập compact trong X.
+) Không gian phản xạ
Giả sử X là không gian định chuẩn thực, X
∗
là không gian liên hợp

của X và gọi X
∗∗
= L (X
∗
) là không gian liên hợp thứ hai của X. Ta cho
tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗∗
trên X
∗∗
nhờ hệ thức
x
∗∗
, f  = f, x , ∀f ∈ X
∗∗
ở đây f, x là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X
∗
tại
x ∈ X. Ta có x = x
∗∗
. Đặt h (x) = x
∗∗
, nếu h : X → X
∗∗
là toàn
ánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ.
Ví dụ 1.1. Không gian L
p
[a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với
chuẩn
φ =



b
a
|φ (x)
p
dx|

1
p
, φ ∈ L
p
[a, b] .
Ví dụ 1.2. Không gian L
p
[a, b] , p > 1 là không gian phản xạ. Mọi không
gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.
Định lý 1.2. Nếu X là không gian Banach thì các khẳng định sau là tương
đương:
1) X phản xạ,
8
2) Mọi dãy giới nội là compact yếu, nghĩa là
∀ {x
n
} ⊂ X : x
n
 ≤ K ⇒ ∃ {x
n
} , x
n

k
→ x ∈ X;
3) Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu;
4) Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu;
5) Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu.
+) Đạo hàm Fréchet:
Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là
khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục
T : X → Y , sao cho
lim
h→0
A (x + h) − A (x) − T (h)
h
= 0,
T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là A

(x).
1.1.2 Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu
Định nghĩa 1.3. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x
∗
∈ A (x) , y
∗
∈ A (y) .
Tập Gr (A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên. Nếu
Gr (A) không được chứa thực sự trong một tập đơn điệu nào khác trong

X × X
∗
thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.(Gr (A) là đồ
thị của toán tử A).
Từ định nghĩa suy ra kết quả sau.
Mệnh đề 1.4. Toán tử đơn điệu A : X × X
∗
là đơn điệu cực đại khi và
chỉ khi từ bất đẳng thức
g − f, y − x
0
 ≥ 0, ∀ (y, g) ∈ Gr (A)
suy ra x
0
∈ D (A) và f ∈ A (x
0
) .
Định nghĩa 1.5. Toán tử A được gọi là
1) Đơn điệu (monotone) nếu
A (x) − A (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) ;
9
2) Đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ
khi x = y;
3) Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ (t) không giảm với
t ≥ 0, δ (0) = 0 và
A (x) − A (y) , x − y ≥ δ (x − y) , ∀x, y ∈ D (A) ;
Nếu δ (t) = c
A
t
2

với c
A
là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là
đơn điệu mạnh.
Chú ý: Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu
tương đương với tính không âm của toán tử.
Định nghĩa 1.6. Toán tử A được gọi là
1) h –liên tục (hemicontinous) trên X nếu A (x + ty) → Ax khi t → 0 với
mọi x, y ∈ X
2) d – liên tục (demicontinous) trên X từ x
n
→ x suy ra Ax
n
→ Ax khi
n → ∞
Định nghĩa 1.7. Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu
lim
x→+∞
Ax, x
x
= +∞, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.8. Ánh xạ U
S
: X → X
∗
(nói chung đa trị) xác định bởi
U
S
(x) =


x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = x
∗
 . x ; x
∗
 = x
S−1

, s ≥ 2
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X.
Khi s = 2 thì U
S
thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc của X.
Định nghĩa 1.9. Hàm F : X → R được gọi là
1) lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X ta có
F (tx + (1 − t) y) ≤ tF (x) + (1 − t) F (y) , ∀t ∈ [0, 1] ;
2) lồi chặt trên X nếu bất đẳng thức trên không xảy ra dấu bằng với x = y;
3) nửa liên tục dưới trên X nếu
lim inf
y→x
F (y) ≥ F (x) , ∀x ∈ X;
10
4) nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {x
n

} ta có x
n
hội tụ yếu
đến x thì
lim inf
n→∞
F (y) ≥ F (x) , ∀x ∈ X
Định nghĩa 1.10. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, F : X → R
là một phiếm hàm lồi, chính thường trên X. Ta định nghĩa ∂F (x) bởi
∂F (x) = {x
∗
: F (y) − F (x) ≥ x
∗
, y − x} , ∀y ∈ X
Phần tử x
∗
∈ X
∗
được gọi là dưới Gradient của hàm F tại x và ∂F (x)
được gọi là dưới vi phân của F tại x.
Định lý 1.11. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X
∗
là không
gian liên hợp của X. Nếu F : X → R là hàm lồi chính thường, nửa liên
tục dưới trên X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán tử đơn điệu cực
đại từ X vào X
∗
.
Định nghĩa 1.12. Toán tử A : X → X được gọi là
1) J-đơn điệu trên X nếu tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho

A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ X.
2) J- đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số α > 0
sao cho
A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ α x − y
2
, ∀x, y ∈ X.
3) Ngược J- đơn điệu mạnh trên X với hằng số λ, nếu tồn tại một hằng
số dương λ sao cho
A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ λ A (x) − A (y)
2
, ∀x, y ∈ X,
4) m-J- đơn điệu trong X, nếu A là J- đơn điệu và R (A + λI) = X, ∀λ >
0.
5) Liên tục Lipchitz trên X, nếu
A (x) − A (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ X,
Ở đây, L là hằng số dương. Khi L = 1 thì A được gọi là toán tử không
giãn. Dễ thấy nếu A là toán tử ngược J−đơn điệu mạnh với hằng số λ thì
A là liên tục Lipchitz với hằng số 1/λ.
11
1.2 Bài toán đặt không chỉnh
1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadarmard đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic.
Việc tìm nghiệm x của bất kỳ một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ
kiện ban đầu f, có nghĩa là x = R (f). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ
kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương
ứng là ρ
X
(x

1
, x
2
) và ρ
Y
(f
1
, f
2
) , x
1
, x
2
∈ X, f
1
, f
2
∈ Y .
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi
đó, bài toán tìm nghiệm x = R (f) được gọi là ổn định trên cặp không
gian (X, Y ), nếu mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ (ε) > 0, sao cho
từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ (ε) ta có ρ
X
(x

1
, x
2
) ≤ ε, ở đây
x
1
= R (f
1
) , x
2
= R (f
2
) , f
1
, f
2
∈ Y, x
1
, x
2
∈ X.
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán
chỉnh trên cặp không gian Metric (X, Y ) nếu có:
1) Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X,
2) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất,
3) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm.
Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình
làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể.

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài toán
đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên
cặp không gian Metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không
gian Metric khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1) dữ kiện ban
12
đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f.
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho
bởi f
δ
với sai số ρ
1
(f
δ
, f ) ≤ δ. Như vậy, với (f
δ
, f ) ta phải tìm một phần
tử x
δ
∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác của (1) khi δ → 0. Phần tử x
δ
có
tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên.
Nếu ta ký hiệu
Q
δ
= {x ∈ X : ρ
Y

(A (x)) , f
δ
≤ δ}
thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Q
δ
. Nhưng
rất tiếc tập Q
δ
này lại rất lớn, tức là các phần tử cách nhau rất xa. Chính
vì vậy, không phải các phần tử của Q
δ
có thể coi là nghiệm xấp xỉ của
(1) được. Vì lẽ đó, bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Q
δ
làm
nghiệm xấp xỉ cho (1). Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có các
thông tin khác nữa về nghiệm chính xác x
0
.
Chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu các thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ cho
bài toán không chỉnh ở chương tiếp theo.
Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh
Ví dụ 1.3. A là toán tử liên tục mạnh của bài toán bài toán đặt không
chỉnh.
Thật vậy, giả sử {x
n
} là một dãy chỉ hội tụ yếu đến x, và y
n
= A (x
n

),
y = A (x). Khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra y
n
→ y là nghiệm
của phương trình A (x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban
đầu.
Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán
tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D (A) của
toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó
chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến
tính compact với miền ảnh R (A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A
−1
nói chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A (x) = f là bài
toán đặt chỉnh.
13
Ví dụ 1.4. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a
K (x, s)φ (s) ds = f
0
(x) , x ∈ [a, b] (10)
ở đây nghiệm là một hàm φ (x), vế phải f
0
(x) là một hàm cho trước,
K (x, s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K (x, s) cùng với
∂K(x,s)
∂x
liên tục trên hình vuông [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau:
• Trường hợp 1

A : C [a, b] → L
2
[a, b]
φ (x) → f
0
(x) =
b

a
K (x, s) φ (s) ds.
Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L
2
[a, b],
tức là khoảng cách giữa hai hàm f
0
(x) và f
1
(x) trong L
2
[a, b] được
cho bởi
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) =



b

a
|f
0
(x) − f
1
(x)|
2
dx


1
2
.
Giả sử phương trình (12) có nghiệm là φ
0
(x). Khi đó với vế phải
f
1
(x) = f
0
(x) + N
b

a
K (x, s) sin (ωs) ds
Thì phương trình này có nghiệm

φ
1
(x) = φ
0
(x) + N sin (ωx) .
Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f
0
và f
1
trong không gian L
2
[a, b] là
ρ
L[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|



b

a


b

a

K (x, s) sin (ωs) ds


2
dx



1
2
Có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max
x∈[a,b],s∈[a,b]
|K (x, s)| ,
14
Ta tính được
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|


b


a

K
max
1
ω
cos (ωs)|
b
a

2
dx


1
2
≤
|N| K
max
c
0
ω
,
ở đây c
0
là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng
N/ω lại nhỏ. Trong khi đó
ρ
C[a,b]

(φ
0
, φ
1
) = max
x∈[a,b]
|φ
0
(x) − φ
1
(x)| = |N|
Có thể lớn bất kì.
• Trường hợp 2
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
φ (x) → f
0
(x) =
b

a
K (x, s) φ (s) ds.
Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm φ
0
và φ
1
trong

không gian L
2
[a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy,
ρ
L
2
[a,b]
(φ
0
, φ
1
) =

b

a
|φ
0
(x) − φ
1
(x)|
2
dx

1
2
= |N|

b


a
sin
2
(ωx) dx

1
2
= |N|

b−a
2
−
1
2ω
sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a)).
Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
)
rất nhỏ nhưng ρ
L
2
[a,b]
(φ
0

, φ
1
) lại rất lớn.
Ví dụ 1.5. Xét toán tử
A : l
2
→ Y
a → f
0
(t) =
∞

n=1
a
n
cos (nt) ,
ở đây Y là một không gian Banach, hệ số a = (a
0
, a
1
, , a
n
, ) ∈ l
2
. Hãy
tính giá trị của toán tử A tại điểm a được cho xấp xỉ bởi
c
n
= a
n

+
ε
n
, n ≥ 1, c
0
= 0.
15
• Trường hợp 1: Y = C [0, 1] .
Ta có chuỗi Fourier tương ứng
f
1
(t) =
∞

n=0
c
n
cos (nt).
với hệ số (c
0
, c
1
, , c
n
, ) ∈ l
2
. Khoảng cách giữa hai hệ số
(a
0
, a

1
, , a
n
, ) và (c
0
, c
1
, , c
n
, ) trong không gian l
2
là
ε
1
=

∞

n=0
(c
n
− a
n
)
2

1
2
= ε


∞

n=0
1
n
2

1
2
= ε

π
2
6
.
Do đó, khoảng cách này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó
ρ
C[0,1]
(f
0
, f
1
) = max
0≤t≤1





ε

∞

n=1
1
n
cos (nt)





= ε
∞

n=1
1
n
Có thể làm lớn bao nhiêu cũng được, vì chuỗi ε
∞

n=1
1
n
phân kì.
Như vậy, nếu khoảng cách giữa hai hàm f
0
và f
1
được xét trong không
gian các hàm với độ đo đều thì bài toán tính tổng của chuỗi Fourier

không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ.
• Trường hợp 2: Y = L
2
[0, π] .
Trong trường hợp này bài toán ổn định. Thật vậy
ρ
L
2
[0,π]
(f
1
, f
0
) =

π

0
|f
1
(t) − f
0
(t)|
2

1
2
=

π


0




∞

n=0
(c
n
− a
n
) cos (nt)




2
dt

1
2
=

∞

n=0
π
2

(c
n
− a
n
)
2

1
2
= ε
1

π
2
.
1.2.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov
Giả sử A
−1
không liên tục và thay cho f ta chỉ biết f
δ
thỏa mãn
f
δ
− f ≤ δ.
Định nghĩa 1.13. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach
X vào không gian Banach Y . Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α,
16
tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1)
nếu:
1) Tồn tại hai số dương δ

1
và α
1
sao cho toán tử T (f, α) xác định với mọi
α ∈ (0, α
1
) và với mọi f
δ
∈ Y thỏa mãn:
f
δ
− f ≤ δ, δ ∈ (0, δ
1
) ,
2) Tồn tại một hàm α = α (δ, f
δ
) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0,
luôn tìm được δ (ε) ≥ δ
1
để với mọi f
δ
∈ Y thỏa mãn:
f
δ
− f ≤ δ ≤ δ (ε)
Thì


x
δ

α
− x
0


≤ ε, ở đây x
0
là nghiệm có x
∗
− chuẩn nhỏ nhất cỉa bài
toán (1) và
x
δ
α
∈ T (f
δ
, α (δ, f
δ
)) .
Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.
Phần tử xấp xỉ x
δ
α
∈ T (f
δ
, α (δ, f
δ
)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của
phương trình (1), còn α = α (δ, f
δ

) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Tham
số hiệu chỉnh α (δ, f
δ
) phải được chọn sao cho:
lim
δ→0
α (δ, f
δ
) = 0
Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu. Như vậy việc
tìm nghiệm xấp xỉ phục thuộc liên tục vào dữ kiện phương trình (1) gồm
các bước:
Bước 1: Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α).
Bước 2: Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài
toán về phần tử f
δ
và mức sai số δ.
1.3 Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu
Xét phương trình toán tử (1), ở đó A là một toán tử đơn điệu và h−
liên tục từ không gian Banach X vào X
∗
, X
∗
lồi chặt và X có tính chất
ES, tức là X phản xạ và mọi dãy {x
n
} các phần tử x
n
∈ X hội tụ yếu
trong X đến x và x

n
 → x cho ta {x
n
} hội tụ mạnh đến phần tử x.
17
Nếu không có tính đơn điệu đều, thì bài toán (1) nói chung là một bài
toán không chỉnh.
Giả sử (1) có nghiệm. Ta kí hiệu S
0
là tập nghiệm của hệ phương trình
đó. Khi đó, S
0
là một tập đóng và lồi trong X.
Xét phương trình
A (x) + αJ
s

x − x
0

= f
δ
, f
δ
− f ≤ δ, (11)
ở đây J
s
: X → X
∗
là một ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. tức là J

s
thỏa mãn J
s
(x) , x = x
s
và J
s
(x) = x
s−1
với s ≥ 2 còn x
0
là
một phần tử bất kỳ trong X. Phần tử này giúp cho ta tìm một nghiệm
của (1) theo ý muốn. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.14. Với mỗi α > 0 và f
δ
∈ X
∗
, phương trình (11) có duy nhất
nghiệm x
δ
α
. Nếu α, δ/α → 0, thì

x
δ
α

hội tụ đến một phần tử x
0

∈ S
0
thỏa mãn


x
0
− x
0


= min
x∈S
0


x − x
0


. (12)
Chứng minh. Do X
∗
là lồi chặt, nên U
s
là một ánh xạ h- liên tục. Vì
vậy A + αU
s
cũng là một toán tử đơn điệu và h- liên tục từ X vào X
∗

.
Mặt khác, do U
s
là một toán tử bức, nên với mỗi α > 0 toán tử A + αJ
s
cũng là một toán tử bức. Do đó, với mỗi α > 0 phương trình (11) có duy
nhất nghiệm. Kí hiệu nghiệm đó bằng x
δ
α
. Bây giờ, ta chứng minh

x
δ
α

hội tụ đến x
0
thỏa mãn (12). Thật vậy, từ (1) và (11) ta có

A

x
δ
α

− A (x) + f
0
− f
δ
, x

δ
α
− x

+α

J
s

x
δ
α
− x
0

− J
s

x − x
0

, x
δ
α
− x

= α

J
s


x − x
0

, x − x
δ
α

, ∀x ∈ S
0
Do A là một toán tử đơn điệu và J
s
thỏa mãn tính chất x
0
= f
0
, x
k+1
=
x
k
−

Ax
k
− f
0

nên
m

U


x
δ
α
− x


s
≤
δ
α


x
δ
α
− x


+

U
s

x − x
0

, x − x

δ
α

. (13)
Suy ra tập

x
δ
α

là giới nội. Vì X là một không gian Banach phản xạ,
cho nên tồn tại một dãy con của

x
δ
α

hội tụ yếu đến phần tử x
1
nào đó
18
của X. Không giảm tổng quát, ta có thể coi x
δ
α
hội tụ yếu đến x
1
, khi
δ/α, α → 0. Từ (11) suy ra

A


x
δ
α

+ αU
s

x
δ
α
− x
0

− f
δ
, x − x
δ
α

= 0, ∀x ∈ X.
Do A + αU
s
là một toán tử đơn điệu, đẳng thức trên cho ta

A (x) + αU
s

x − x
0


− f
δ
, x − x
δ
α

≥ 0, ∀x ∈ X.
Cho α, δ/α →0 ta được
A (x) − f
0
, x − x
1
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Ta có x
1
∈ S
0
, tức là x
1
là một nghiệm của (1). Từ (13) cũng suy ra x
1
thỏa mãn (12). Do phần tử x
1
∈ S
0
thỏa mãn (12) là duy nhất, cho nên
cả dãy

x

δ
α

hội tụ mạnh tới x − 1 = x
0
. Định lý được chứng minh.
19
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về giải
tích hàm trong không gian Banach và giới thiệu một số nét cơ bản về bài
toán đặt không chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử đơn điệu. Cụ thể trong chương
2, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình phi tuyến
đối với toán tử J- đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach
phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
20
Chương 2
Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có
toán tử J- đơn điệu
Chương này chúng tôi sẽ trình bày vấn đề chọn tham số trong phương
pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một hệ hữu hạn phương trình không
chỉnh với toán tử Lipschitz và J- đơn điệu. Kiến thức trong chương này
được viết trên cơ sở bài báo [6] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương
trình toán tử J-đơn điệu
Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho phương trình (1) được trình
bày trong trường hợp toán tử A : X → Y là J- đơn điệu trên không gian
Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Giả thiết f
được xấp xỉ bởi f
δ

thỏa mãn f − f
δ
 ≤ δ. Để tìm nghiệm của bài toán
(1), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm của bài toán
A (x) + α (x − x
∗
) = f
δ
, x
∗
∈ X. (14)
Tính duy nhất nghiệm x
δ
α
của (14) và sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
x
δ
α
về nghiệm x
0
của bài toán (1) cũng đã được xét đến khi bổ sung tính
chất liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh lên toán tử đối ngẫu chuẩn
tắc J.
21
Trong trường hợp toán tử đối ngẫu chuẩn tắc J không có tính chất liên
tục yếu theo dãy thì nghiệm hiệu chỉnh x
δ
α
hội tụ về nghiệm x
0

của (1) khi
bổ sung thêm hai điều kiện sau:
A (y) − A (x
0
) − QA

(x
0
)
∗
J (y − x
0
) ≤ ˜τ A (y) − A (x
0
) , (15)
ở đây, y ∈ X, ˜τ > 0, Q là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc của X
∗
, và tồn tại
phần tử ω ∈ X sao cho
x
∗
− x
0
= A

(x
0
) ω. (16)
Khi toán tử J không có tính chất liên tục yếu theo dãy và điều kiện
(15), (16) không thỏa mãn, thì cũng chỉ ra sự hội tụ mạnh của nghiệm

hiệu chỉnh x
δ
α
hội tụ về nghiệm x
0
của (1), kết quả này được thể hiện qua
định lý sau:
Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn
khả vi Gâteaux đều, A là toán tử đơn trị và m − J− đơn điệu trong X ,
f và f
δ
thỏa mãn f − f
δ
 ≤ δ, thì
• với mỗi α > 0, (16) có duy nhất nghiệm x
δ
α
;
• nếu tập nghiệm của (1) S
0
= ∅ và tham số α được chọn sao cho
α, δ/α → 0 khi δ → 0 thì x
δ
α
→ x
0
và thỏa mãn bất đẳng thức biến
phân
x
0

− x
∗
, j (x
0
) − z ≤ 0, ∀z ∈ S
0
;
• với mỗi hằng số dương α
i
, δ
i
, i = 1, 2, ta có


x
δ
1
α
1
− x
δ
2
α
2


≤ M
1
|α
1

− α
2
|
α
1
+
|δ
1
+ δ
2
|
α
1
, M
1
> 0.
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử
J-đơn điệu
Trong mục này, chúng tôi trình bày đánh giá sai số tối ưu cho nghiệm
hiệu chỉnh của hệ phương trình với toán tử J-đơn điệu trong không gian
Banach không đòi hỏi tính liên tục yếu cho ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc,
J = J
2
, khi tham số hiệu chỉnh được chọn trước.
22
Cho A là một ánh xạ m − J− đơn điệu và đơn ánh trên X, tức là
A : X → X có các tính chất sau:
(i) A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ở đây j (x − y) ∈ J (x − y)
(ii) R (A + λI) = X với mỗi λ > 0, ở đây R (A) là kí hiệu miền ảnh của
A và I là toán tử đơn vị trên X.

Nếu tồn tại hằng số α sao cho
A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ α x − y
2
, ∀x, y ∈ X,
khi đó A được gọi là α−mạnh. Khi α = 0 thì A được gọi là J− đơn điệu.
Xét hệ phương trình toán tử
A
i
(x) = f
i
, f
i
∈ X, i = 1, , N (17)
Các kết quả hiệu chỉnh cho hệ phương trình (17) được đưa ra trong
trường hợp A
i
là J− đơn điệu và ngược J− đơn điệu mạnh trên không
gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vị Gâteaux đều. Để tìm nghiệm
của bài toán (17), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm
của bài toán (9)
A
0
(x) + α
µ
N

i=1

A
i

(x) − f
δ
i

+ α (x − x
∗
) = f
δ
0
ở đây µ ∈ (0, 1) là hằng số cố định, α là tham số hiệu chỉnh.
Bổ đề 2.2. Với mỗi ánh xạ tuyến tính, liên tục và J− đơn điệu F trên
không gian Banach phản xạ X và với mỗi α > 0, ta có



F (F + αI)
−1



≤
2.
Nếu A là một ánh xạ m − J− đơn điệu trong X và f ∈ X là một phần
tử bất kỳ, ta có thể xác định một ánh xạ u = T
f
(x) theo
A
f
(u) + u = x, A
f

(.) = A (.) − f, (18)
ở đây x ∈ X. Vì A
f
cũng là một ánh xạ m − J− đơn điệu, cho nên việc
tồn tại T
f
là hiển nhiên. Dễ dàng kiểm tra được T
f
có các tính chất sau:
(i) D (T
f
) = X ;
(ii) T
f
là không giãn, tức là T
f
x − T
f
y ≤ x − y;
(iii) F ix (T
f
) =
˜
S, ở đây F ix (T
f
) = {x ∈ X : x = T
f
(x)}.
Bây giờ ta đi chứng minh định lý cơ bản sau