Phân loại các bài tóan về tính khoảng cách trong không gian

Phần I
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán học lớp 11, 12, bài toán về khoảng cách trong không
gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại
học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây.
Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí
tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng
kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh giỏi,
các em có thể làm tốt phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài
đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này
khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào
phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần
mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ
thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn.
Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên:
“Phân loại các bài toán về tính khoảng cách trong không gian” nhằm cung cấp cho
học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong
không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó
giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán
học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó
có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa
được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp
góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
1
Phần I NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O trên ∆. Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường
thẳng ∆. Kí hiệu
( , )d O ∆
* Nhận xét
-
, ( , )M OM d O∀ ∈∆ ≥ ∆
- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên ∆ và tính OH
+ Áp dụng công thức
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu của O trên (α). Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt
phẳng (α). Kí hiệu
( ,( ))d O
α
* Nhận xét
-
( ), ( ,( ))M OM d O
α α
∀ ∈ ≥
- Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) ta có thể sử dụng một trong
các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên (α) và tính OH
* Phương pháp chung.
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α)
- Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (α)
- Kẻ OH ⊥ ∆ (
H ∈∆
). Khi đó

( ,( ))d O OH
α
=
. Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ
từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên này
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường
cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
Thể tích của khối chóp
1 3
.
3
V
V S h h
S
= ⇔ =
. Theo cách này, để tính khoảng
cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh
2
Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi
'O
, ta quy việc tính

( ,( ))d O
α
về việc tính
( ',( ))d O
α
.
Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì
( ;( )) ( ;( ))d M d N
α α
=
Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N
không trùng với I) thì
( ;( ))
( ;( ))
d M MI
d N NI
α
α
=
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì
1
( ;( )) ( ;( ))
2
d M d N
α α
=
nếu I là trung điểm của MN thì
( ;( )) ( ;( ))d M d N
α α

=
Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông
Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
, ,OA OB OB OC OC OA⊥ ⊥ ⊥
) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi
đó đường cao OH được tính bằng công thức
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các
công thức sau:
0 0 0
2 2 2
( ;( ))
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
với
0 0 0
( ; ; )M x y z
,
( ): 0Ax By Cz D
α
+ + + =

( , )
MA u
d M
u
∧
∆ =
uuur r
r
với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương
u
r
'. '
( , ')
'
u u AA
d
u u
∧
∆ ∆ =
∧
r ur uuur
r ur
với
'∆
là đường thẳng đi qua
'A
và có vtcp
'u
ur
Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ

3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
Cho điểm đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa
đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt
phẳng (α). Kí hiệu
( ,( ))d
α
∆
* Nhận xét
-
, ( ), ( ,( ))M N MN d
α α
∀ ∈∆ ∈ ≥ ∆
- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
3
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu
(( );( ))d
α β
* Nhận xét
-
( ), ( ), (( );( ))M N MN d
α β α β
∀ ∈ ∈ ≥
- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng thời
vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường

vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu
( , )d a b
.
* Nhận xét
-
, , ( , )M a N b MN d a b∀ ∈ ∈ ≥
- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra
( , )d a b HK=
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó
( , ) ( ,( ))d a b d b P=
+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó
( , ) (( ),( ))d a b d P Q=
+ Sử dụng phương pháp tọa độ
* Đặc biệt
- Nếu
a b⊥
thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm
giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó
( , )d a b IH=
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm
của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
4
B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
I) Phương pháp tính trực tiếp
Ví dụ 1.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
·
0

60BAD =
, có
SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải.
a) Hạ
( )
OK BC BC SOK⊥ ⇒ ⊥
Trong (SOK) kẻ
( )
OH SK OH SBC⊥ ⇒ ⊥
( )
( )
,d O SBC OH⇒ =
.
Ta có
ABD∆
đều
2
a
BD a BO⇒ = ⇒ =
;
3AC a=
Trong tam giác vuông OBC có:
2 2 2 2
1 1 1 13 39
3 13
a
OK

OK OB OC a
= + = ⇔ =
Trong tam giác vuông SOK có:
2 2 2 2
1 1 1 16 3
3 4
a
OH
OH OS OK a
= + = ⇔ =
Vậy
( )
( )
3
,
4
a
d O SBC OH= =
b) Ta có
( )
/ / / /AD BC AD SBC⇒
( )
( )
( )
( )
, ,d AD SBC d E SBC⇒ =
Kẻ
( )
/ /EF OH F SK∈
. Do

( ) ( )
OH SBC EF SBC⊥ ⇒ ⊥
( )
( )
( )
( )
3
, , 2
2
a
d AD SBC d E SBC EF OH⇒ = = = =
Ví dụ 2. (Đề thi Đại học khối A năm 2010).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) và
3SH a=
.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM và SC theo a.
Lời giải.
Ta có:
·
·
MAD NCD ADM DCN∆ = ∆ ⇒ =
MD NC⇒ ⊥
Do
( )
SH ABCD MD SH⊥ ⇒ ⊥
5
M

N
H
K
D
C
B
A
S
K
F
E
D
C
B
A
S
H
O
D
B
( )
MD SHC⊥
Kẻ
( )
HK SC K SC⊥ ∈
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên
( )
,d DM SC HK=
Ta có:
2

2
5
CD a
HC
CN
= =
2 2
2 3
19
SH HC a
HK
SH HC
×
= = ×
+

Vậy
( )
2 3
,
19
a
d DM SC =
II) Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.
Ví dụ 3.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA =
2a
. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).
Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay

AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến
mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của
các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến
(AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C
đến (SAB).
Lời giải.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó
SO ⊥ (ABCD).
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB
nên
2
1 1 7
2 4 16
AMN ANS ABS
a
S S S= = =
( ) ( )
/ /( )
( ,( )) ( ,( ))
PC AMN
d P AMN d C AMN⇒ =
.
Vậy:
( ) ( )
.
1 1 1
. ( ,( )) . . ( ,( ))
3 3 4
P AMN AMN ABS
V S d P AMN S d C AMN= =

. .
1 1 1 1
. .
4 4 4 3
C ABS S ABC ABC
V V S SO= = =
.
2 2 2
1 6
,
2 2
ABC
a
S a SO SA AO= = − =
.
Vậy
3
2
1 1 6 6
. .
12 2 2 48
AMNP
a a
V a= =

( )
3 6
( ,( ))
7
PAMN

AMN
V
d P AMN a
S
⇒ = =
6
P
N
M
O
B
D
C
A
S
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA =
2a
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A
trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).
Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt
phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân
nên ta tính được diện tích của nó.
Lời giải.
Cách 1:
( )
( )
1
. ;
3

OAHK AHK
V S d O AHK=
Trong đó:
2 2 2 2
1 1 1 3 6
2 3
a
AH
AH AB AS a
+ = + = ⇒ =
;
6
3
a
SAD SAB AK AH∆ = ∆ ⇒ = =
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông
góc với SC nên HK // BD.
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác
SAC, G thuộc HK nên
2 2 2 2
3 3 3
HK SG a
HK BD
BD SO
= = ⇒ = =
. Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm
của HK nên AG ⊥ HK và
2 2 1 1 2
. .2
3 3 2 3 3

a
AG AI SC a= = = =
2
1 1 2 2 2 2 2
. . .
2 2 3 3 9
AHK
a a a
S AG HK= = =
( )
( )
( )
( )
1 1 1
; . ; . .
3 3 3
OAHK AOHK OHK OHK OHK
V V d A OHK S d A SBD S h S
∆ ∆ ∆
+ = = = =
Tứ diện ASBD vuông tại A nên:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 10
2 5
a
h
h AS AB AD a
= + + = ⇒ =
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng
2 3

1 1 10 2 2 5 1 2
. . .
2 2 6 3 9 3 27
OAHK
a a a a
S OG HK V Sh= = = ⇒ = =
( )
( )
3
2
2
3
3
27
;
2
2 2
9
OAHK
AHK
a
V a
d O AHK
S
a
×
⇒ = = =
Cách 2: Ta chứng minh
2
9

OAHK SABD
V V=
7
O
C
A
D
B
S
H
K
J
G
I
Ta có:
2 1
;
3 3
HK BD OG SO= =
1 1 2 2
2 2 9 9
OHK SBD
S HK OG BD SO S⇒ = × = × × =
3
2 2 1 1 2
9 9 3 2 27
AOHK SABD
a
V V SA AB AD⇒ = = × × × =
Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ;
2a
).
Tính SH, SK suy ra tọa độ của H
2 2
0; ;
3 3
a a
 
 ÷
 
, K
2 2
;0;
3 3
a a
 
 ÷
 
, O
; ;0
2 2
a a
 
 ÷
 
Áp dụng công thức
1
, .
6

V AH AK AO
 
=
 
uuur uuur uuur
Cách 4: SC
⊥
(AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác
định được theo phương SC.
* AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC
Tương tự AK ⊥ SC. Vậy SC ⊥ (AHK)
* Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC
⇒ OJ ⊥ (AHK).
SA = AC =
2a
⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là trung điểm của SC.
Vậy
1 1 1
.2
2 4 4 2
a
OJ IC SC a= = = =
III) Phương pháp trượt
Ví dụ 5. (Đề thi Đại học khối B năm 2011).
Cho lăng trụ ABCDA
1
B
1
C
1

D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật
, 3AB a AD a= =
.
Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của
AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích của
khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt phẳng (A
1
BD) theo a.
Phân tích. Do B
1
C // (A
1
BD) nên ta
trượt đỉnh B
1
về vị trí thuận lợi C và
quy việc tính
( )

( )
1 1
;d B A BD
thành
tính
( )
( )
1
;d C A BD
Bài giải.
* Gọi O là giao điểm của AC và BD
( )
1
AO ABCD⇒ ⊥
Gọi E là trung điểm AD
8
K
H
E
O
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
1
&OE AD A E AD⇒ ⊥ ⊥

·
0
1
60A EO⇒ =
·
1 1
3
.tan
2
a
AO OE A EO= =
2
3
ABCD
S a=
3
1
3
.
2
lt ABCD
a
V AO S= =
* Tính
( )
( )
1 1
;d B A BD
:
Cách 1:

Do B
1
C // (A
1
BD)
( )
( )
( )
( )
1 1 1
; ;d B A BD d C A BD⇒ =

Hạ
( )
1
CH BD CH A BD⊥ ⇒ ⊥
( )
( )
1
2 2
. 3
;
2
CB CD a
d C A BD CH
CB CD
⇒ = = =
+
Cách 2:
( )

( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1 1 1 1
3
; ; ;
A ABD
A BD
V
d B A BD d C A BD d A A BD
S
= = =
Trong đó:
1
3
1
6 4
A ABD lt
a
V V= =
1
2
1
1 1 3 3
. 2
2 2 2 2

A BD
a a
S AO BD a
∆
= = × × =
( )
( )
3
1 1
2
3
3
4
;
2
3
2
a
a
d B A BD
a
×
⇒ = =
Ví dụ 6.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,
3SA a=
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).
Phân tích: Do

( )
OA SBC C∩ =
, nên thay vì việc tính
( )
( )
,d O SBC
ta đi tính
( )
( )
,d A SBC
, tương tự như vậy ta có thể quy việc tính
( )
( )
,d G SAC
thông qua việc
tính
( )
( )
,d E SAC
hay
( )
( )
,d B SAC
Lời giải.
a) Ta có:
( )
OA SBC C∩ =
nên:
9
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
1
, 2
1
, ,
2
d O SBC
OC
d A SBC AC
d O SBC d A SBC
= =
⇔ =
Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:
( )
AH SB
AH SBC
AH BC
⊥

⇒ ⊥

⊥


Trong tam giác vuông SAB có:
2 2 2 2
1 1 1 4 3
3 2
a
AH
AH SA AB a
= + = ⇔ =
( )
( )
( )
( )
1 1 3
, ,
2 2 4
a
d O SBC d A SBC AH⇒ = = =
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
Do
( )
EG SAB S∩ =
nên
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

,
2 2
, ,
, 3 3
d G SAC
GS
d G SAC d E SAC
d E SAC ES
= = ⇔ =
Ta có:
( ) ( )
;
BO AC
BO SAC BE SAC A
BO SA
⊥

⇒ ⊥ ∩ =

⊥

( )
( )
( )
( )
1 1 2
, ,
2 2 4
a
d E SAC d B SAC BO⇒ = = =

( )
( )
2 2 2
,
3 4 6
a a
d G SAC⇒ = × =
IV) Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông
1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó
đều là góc vuông.
2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (
, ,OA OB OB OC OC OA⊥ ⊥ ⊥
) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng
(ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Chứng minh.
Giả sử
AH BC D∩ =
,
( )OH ABC OH BC⊥ ⇒ ⊥
(1)
,OA OB OA OC OA BC⊥ ⊥ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
BC OD⊥
. Trong các tam giác
vuông OAD và OBC ta có

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
,
OH OA OD OD OB OC
= + = +
Vì vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các
phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính
10
O
C
A
B
D
H
O
F
E
H
G
D
C
B
A
S
khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng

được tính chất trên
Ví dụ 7. Cho lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của
'AA
và
'BB
. Tính khoảng cách giữa
'B M
và CN
Phân tích. Để tính khoảng cách giữa
'B M
và CN
ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với
'B M
, tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông.
Lời giải.
Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì
OACD là tứ diện vuông tại O.
'AMB N
là hình
bình hành
/ / 'NA B M⇒
. Mặt phẳng (ACN) chứa
CN và song song với
'B M
nên

( ' , ) ( ' ,( )) ( ',( )) ( ,( )) 2 ( ,( )) 2d B M CN d B M ACN d B ACN d B ACN d O ACD h= = = = =
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được
2 2 2 2 2
1 1 1 1 64 3
8
3
a
h
h OA OC OD a
= + + = ⇔ =
. Vậy
3
( ' , )
4
a
d B M CN =
Ví dụ 8. Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng a. Gọi M là trung
điểm của
'DD
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và
'A D
.
Lời giải.
Gọi N là trung điểm của
'BB
thì
'A NCM
là hình bình hành nên

' / /A N CM
. Mặt phẳng (
'A ND
)
chứa
'A D
và song song với
CM
nên
( , ' ) ( ,( ' ))
( ,( ' )) ( ,( ' ))
d CM A D d CM A ND
d M A ND d M A DE
=
= =
với
'E AB A N= ∩
. Gọi
' ' , 'O AD A D G AD AM= ∩ = ∩
thì G
là trọng tâm của tam giác
'ADD
. Do
đó
( ,( ' )) 1
( ,( ' )) 2
d M A DE GM
d A A DE GA
= =
.

Tứ diện
'AA DE
vuông tại A nên
2 2 2 2 2
1 1 1 1 9 2
( ,( ' ))
3
( ,( ' )) ' 4
a
d A A DE
d A A DE AA AD AE a
= + + = ⇒ =
.
Vậy
1
( , ' ) ( ,( ' )) ( ,( ' ))
2 3
a
d CM A D d M A DE d A A DE= = =
V) Sử dụng phương pháp tọa độ.
11
D
O
N
M
A'
B'
C
A
B

C'
O
G
E
N
M
B
B'
A'
C'
D
C
D'
A
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.
Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ
Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.
Ví dụ 9.
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng
( )
α
bất kì đi qua
đường chéo B’D.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
b) Xác định vị trí của mặt phẳng
( )
α
sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp
( )

α
và hình lập phương là bé nhất.
Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn
chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo
độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên
dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính diện tích
thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến
đường thẳng DB’.
Lời giải.
Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ
( )
' 0;0;0O D≡
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' 0;1;0 , ' 1;1;0 , ' 1;0;0 , 0;1;1 , 1;0;1A B C A C
Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức
( )
;0;0 ; 0 1M x x≤ ≤
a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)
( ) ( )
( )
( )
( )
' , ' ' ', 'd ACD A BC d A ACD⇒ =
Mặt phẳng (ACD’) có phương trình:
0x y z+ − =
( ) ( )
( )
( )
( )

1
' , ' ' ', '
3
d ACD A BC d A ACD⇒ = =
b) Giả sử
( )
α
cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt đối
diện song song với nhau nên
( )
α
cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và
DN//MB’. Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N.
Gọi H là hình chiếu của M trên DB’. Khi đó:
( )
'
' ' , '
DMB N
S DB MH DB d M DB= × = ×
.
Ta có:
' 3DB =
2
; '
2 2 2
( , ')
3
'
MD DB
x x

d M DB
DB
 
− +
 
= =
uuuur uuuur
uuuur
2
2
'
1 3 3
2 2 2 2
2 2 2
DMB N
S x x x
 
= − + = − + ≥
 ÷
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
x =
12
z
y
x
N
H

M
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Nên diện tích
'DMB N
S
nhỏ nhất khi
1
;0;0
2
M
 
 ÷
 
, hay M là trung điểm D’C’
Hoàn toàn tương tự nếu
( )
1
0; ;0 0; ;0
2
M y M
 
⇒
 ÷

 
Vậy diện tích
'DMB N
S
nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’.
Ví dụ 10.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
( )
,SA ABCD SA a⊥ =
.
Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ điểm
S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải.
Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0;0;0 , 1;0;0 , 1;1;0 , 0;1;0 ,
0;0;1 .
O A B C D
S
≡
M là điểm di động trên CD nên
( )
;1;0M t
với
0 1t≤ ≤
.
( )
1;1;0BM t= −
uuuur

( )
2
2
,
2 3
,
2 2
SB BM
t t
d S BM
t t
BM
 
− +
 
= =
− + +
uur uuuur
uuuur
Xét hàm số
( )
2
2
2 3
2 2
t t
f t
t t
− +
=

− + +
trên [0;1]
( )
( )
( )
2
2
2 1
'
2 2
t
f t
t t
− −
=
− +
Ta có bảng biến thiên:
t
−∞
0 1
+∞
f’(t) - + -
2
13
K
M
y
x
D
C

B
A
z
S
f(t)
3
2
Từ bảng biến thiên ta có
[ ]
( )
0;1
3
min
2
f t =
, đạt được khi t = 0

[ ]
( )
0;1
max 2f t =
, đạt được khi t = 1
Do đó
( )
,d S MB
lớn nhất khi
( )
& , 2M C d S BM≡ =
( )
,d S MB

nhỏ nhất khi
( )
3
& ,
2
M D d S BM≡ =
VI) Sử dụng phương pháp véc tơ véc tơ.
* Phương pháp:
Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho
ra ngôn ngữ “véc tơ”.
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ
thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc.
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.
Ví dụ 11. (Đề thi đại học khối D năm 2007).
Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy là hình thang.
·
·
0
90 ,ABC BAD BA BC a= = = =
,
2AD a=
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2SA a=
. Gọi
H
là hình chiếu

vuông góc của
A
trên
SB
. Tính khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
( )SCD
.

Lời giải.
Đặt
; ;AB a AD b AS c= = =
uuur r uuur r uuur r
Ta có:
0; 0; 0a c b c a b× = × = × =
r r r r r r
1
; ;
2
SB a c SC a b c SD b c= − = + − = −
uur r r uuur r r r uuur r r
Gọi
N
là chân đường vuông góc hạ từ
H
lên mặt phẳng (SCD)
( ;( ))d H SCD HN⇒ =
Dễ dàng tính được
2

3
SH
SB
=
Khi đó :
2
3
HN HS SN SB xSC ySD= + = − + +
uuur uuur uuur uur uuur uuur
14
Q
P
N
E
H
K
M
D
C
B
A
S
2 2
3 2 3
x
x a y b x y c
     
= − + + + − −
 ÷  ÷  ÷
     

r r r
Ta có:
2 2 2
2 2
2 1 2
5
0
0
3 2 2 3
6
1
2
0
0
3
2 3
x
x a y b x y c
x
HN SC
x
HN SD
y
y b x y c

     

− + + − − − =
=
 ÷  ÷  ÷




× =
       
⇒ ⇒
  
   
× =

 

= −
+ − − − =
 ÷  ÷



   

r r r
uuur uuur
uuur uuur
r r
2
1 1 1 1 1
6 12 6 6 2 3
a
HN a b c HN a b c
 

⇒ = + + ⇒ = + + =
 ÷
 
uuur r r r r r r
Cách 2:
Gọi
1 2
,d d
lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), ta có:
1
1 2
2
2 2 2 3 2
3 3 3
BSCD BSCD
SCD SCD
d SH V V
d d
d SB S S
∆ ∆
= = ⇔ = = × =
Trong đó
3
1 1 1 1
3 3 3 2
3 2
BSCD BCD BID
a
V SA S SA S SA AB ID
∆ ∆

= × = × = × × =
Ta có:
CD AC
CD SC
CD SA
⊥

⇒ ⊥

⊥

2 2 2 2 2 2
1 1
2
2 2
SCD
S SC CD SA AB BC CE ED a
∆
⇒ = × = + + × + =
1
3
a
d⇒ =
Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Phân tích. Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt
phẳng (SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy
việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có:
1
3

BH
BS
=
. Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.
Từ đó ta có:
( )
( )
( )
( )
,
1
, 3
d H SCD
KH
d A SCD KA
= =
Do tứ diện ASDM vuông tại A nên:
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
,
,
d A SCD a
d A SCD AS AD AM a
= + + = ⇔ =
Vậy
( )

( )
,
3
a
d H SCD =
15
* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán
bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai
yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng.
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán
thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất.
Ví dụ 12. (Đề thi ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
.
E
là điểm
đối xứng của
D
qua trung điểm của
SA
.
NM ,
lần lượt là trung điểm của
AE

và
BC
.
Tính khoảng cách giữa
MN
và
AC
.

Giải:
Đặt :
, ,OA a OB b OS c
→ → → → → →
= = =
Ta có :
. 0, . 0, . 0a c b c a b
→ → → → → →
= = =
1 1
2 2
MN MA AC CN SD AC CB= + + = + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

( ) ( )
1 1
2 2
SO OD AC CO OB= + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
3 1
2 2

a c= − −
r r
2AC a
→ →
= −
Gọi
PQ
là đoạn vuông góc chung của
MN
và
AC
, ta có:
1
2
PQ PM MA AQ xMN SD yAO= + + = + +
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
( )
3 1 1
2 2 2
x a c c b ya
 
= − − + − − −
 ÷
 
r r r r r
( )
3 1 1
1
2 2 2
y x a x c b

 
= − + − + −
 ÷
 
r r r
( )
2 2
2
3 3 1
1 0
1
0
2 2 4
3
3
0
2 0
2
2
y x a x a
x
PQ MN
y
PQ AC
y x a

 
+ + + =
= −


 ÷


× =
    
⇒ ⇒
  
=
 
× =

 

+ =

 ÷

 

r r
uuur uuuur
uuur uuur
r
2
2 2
1 1 2
2 4 8 4
a a
PQ b PQ OB PQ⇒ = − ⇒ = = ⇔ =
uuur r

Cách 2:
16
c
b
a
P
N
M
E
O
S
D
C
B
A
Ta có:
/ /
1
2
MP AD
MP AD



=


;
/ /
1

2
NC AD
NC AD



=


nên tứ giác
MNCP
là hình bình hành
( )
/ /MN SAC⇒
Do hình chóp SABCD đều
( )
BO SO
BO SAC
BO AC
⊥

⇒ ⇒ ⊥

⊥

( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1 2

; ; ;
2 2 4 4
a
d MN AC d N SAC d B SAC BO BD⇒ = = = = =
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. (Đề thi Đại học khối D năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
2 3SB a=
và
·
0
30SBC =
.
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo
a.
Bài 2.
Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc
0
60BAD =
. Các cạnh bên SA = SC; SB = SD
3a=
.
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.
Bài 3. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và
1OA OB OC= = =
.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh
, .AB OA

Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng OM và CN.
Bài 4. (Đề thi Đại học khối A năm 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 5. (Đề thi Đại học khối D năm 2008).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh
bên AA' = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng
trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Bài 6. (Đề thi Đại học khối D năm 2009).
Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của
AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến
mặt phẳng (IBC)
17

18
Phần III
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng
cách, từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế có
thể ứng dụng chúng vào bài toán tính thể tích và một số bài toán thực tế khác.
2. Giải quyết một cách tương đối triệt để bài toán về tính khoảng cách của các
đối tượng điểm, đường thẳng và mặt phẳng.

3. Thông qua việc vẽ hình, tính toán, tìm con đường tối ưu để tính khoảng
cách, tạo cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích
cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ giáo dục và đào
tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục được tâm lí sợ bài toán
về hình học không gian.
Qua thực tế áp dụng tôi thấy các em học sinh không những nắm vững được
phương pháp, biết cách vận dụng vào những bài toán cụ thể mà còn rất hứng thú
khi học tập phần này. Khi học trên lớp và qua các lần thi thử đại học, số học sinh
làm được bài về tính khoảng cách cao hơn hẳn các năm trước và các em không
được học chuyên đề này.
Một số đề xuất
Mỗi bài toán thường là có nhiều cách giải, việc học sinh phát hiện ra những
cách giải khác nhau cần được khuyến khích. Song trong những cách giải đó cần
phân tích rõ ưu điểm và hạn chế từ đó chọn được cách giải tối ưu. Đặc biệt cần
chú ý tới những cách giải bài bản, có phương pháp và có thể áp dụng phương
pháp đó cho nhiều bài toán khác. Với tinh thần như vậy và theo hướng này các
thầy cô giáo cùng các em học sinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với
nhiều đề tài khác nhau. Chẳng hạn, các bài toán về tính góc giữa các đối tượng
hình học hay chứng minh đẳng thức hình học; các bài toán về ứng dụng của
phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian,…
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban giám đốc Sở, Ban giám
khảo và các đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp ý cho tôi hoàn thành đề tài SKKN
này.
19