SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẪN ĐỀ TRONG KHẢO SÁT HÀM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

BÀI TẬP LỚN

HỌC PHẦN RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM 3
ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI QUYẾT
CÁC VẪN ĐỀ TRONG KHẢO SÁT HÀM


Giảng viên hướng dẫn Lớp toán 3B - nhóm 06
T.S.Nguyễn Đăng Minh Phúc Lê Thị Minh Trang
Lê Thị Hoài Khánh
Dũ Thị Ni Na
Trần Thị Minh Yến
Huế, ngày 19 tháng 9 năm 2014



MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1
I. Giới thiệu về phần mềm maple 3
II. Sử dụng lệnh trong maple 5
1. Khảo sát hàm số 5
1.1 Các lệnh trong khảo sát hàm
a. Tìm miền xác định của hàm số y=f(x) 5
b. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 6
c. Tìm miền lồi, lõm của hàm số 7
d. Tìm điểm cực đại, cực tiểu 7
e. Tìm điểm uốn 9

f. Tìm GTLN_GTNN của hàm số 10
g. Xác định đường tiệm cận 11
h. Xác định giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ 12
i. Vẽ đồ thị hàm số 13
1.2. Quy trình để khảo sát hàm y=ax
3
+bx
2
+cx+d 13
2. Giải phương trình và hệ phương trình 19
2.1 Giải phương trình siêu việt 19
a. Giải phương trình lượng giác, lượng giác ngược 20
b. Giải phương trình mũ và logarit 20
2.2 Giải hệ phương trình siêu việt 25
III. Kết luận 27
IV. Tài liệu tham khảo 27
1

LỜI NÓI ĐẦU
Toán học là một ngành khoa học luôn tạo ra niềm hứng thú và say mê
tìm tòi cho những ai yêu thích nó.
Việc nghiên cứu và giải quyết các vấn đề dù đơn giản hay phức tạp trong toán
học luôn thu hút nhiều nhà toán học cũng như những người có lòng đam mê
đối với toán học. Một bài toán đặt ra có thề sẽ có rất nhiều cách giải quyết
khác nhau. Tuy nhiên, để tìm ra những cách giải quyết vấn đề hiệu quả và
nhanh chóng để đi đến kết quả cụ thể và dễ hiểu cho bạn đọc luôn là đều mà
chúng ta hướng tới. Như các bạn đã biết thì bên cạnh những cách thức tính
toán cổ điển từ lâu, cùng với sự phát triến của khoa học kĩ thuật, việc áp dụng
các phần mềm toán học để giải quyết các bài toán tưởng chừng như phức tạp
cũng trờ nên nhanh chóng và dễ dàng hơn rất nhiều .

Để minh chứng cho đều đó thì hôm nay nhóm chúng tôi sẽ giới thiệu
phần mềm Maple . Trong quá trình tiếp cận và nghiên cứu Maple, chúng tôi
nhận thấy rằng ngoài các tính năng tính toán và minh họa rất mạnh mẽ bằng
các câu lệnh riêng biệt (thường chỉ cho ta kết quả cuối cùng), Maple còn là
một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure). Thủ tục là một dãy các lệnh
của Maple theo thứ tự mà người lập trình định sẵn để xử lí một công việc nào
đó, khi thực hiện thủ tục này Maple sẽ tự động thực hiện các lệnh có trong thủ
tục đó một cách tuần tự và sau đó trả lại kết quả cuối cùng. Sử dụng phần
mềm maple giúp ta thực hiện các thao tác về ma trận như: tìm hạng, tìm ma
trận khả nghịch; khảo sát hàm số, tính tích phân, tìm đa thức đặc trưng,…và
ứng dụng để giải hệ phương trình. Sau đây chúng tôi cũng xin giới thiệu ứng
dụng của Maple vào việc khảo sát hàm số và giải phương trình. Qua ứng dụng
này thì chúng ta cũng sẽ thấy được việc áp dụng phần mềm Maple sẽ giải
quyết được những bài toán một cách nhanh chóng nhất.
2

Trong lúc thực hiện đề tài này không thể tránh khỏi những sai sót, vì
vậy mong bạn đọc góp ý nhiệt tình, chúng tôi xin ghi nhận và cảm ơn.

Huế, ngày 09 tháng 9 năm 2014

Nhóm các tác giả
Lê Thị Hoài Khánh
Lê thị Minh Trang
Trần thị Minh Yến
Dũ Thị Ni Na


3

I. Giới thiệu về phần mềm maple:
Là một phần mềm Toán học do Đại Học Tổng
HợpWaterloo(Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Sau
nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên bản khác nhau và ngày
càng được hoàn thiện. Maple là một hệ thông tính toán trên các biểu
thức đại số và minh họa toán học mạnh mẽ của công ty Warterloo
Maple Inc. Maple ra đời vào năm 1991 đến nay đã phát triển đến phiên
bản 18. Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy đươc trên nhiêu hệ điều
hành, có cấu trúc linh hoạt dễ sử dụng tôi ưu cấu hình máy và có trình
trợ giúp (help) rất dễ sử dụng. Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành,
có trình trợ giúp rất dễ sử dụng. Từ phiên bản 7, Maple cung cấp ngày
càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán
phổ thông và đại học. Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều nước
trên thế giới lựa chọn sử dụng Maple trong dạy-học toán tương
tác trước đòi hỏi của thực tiễn và sự phát triển của giáo dục

Ta có thể sử dụng các hàm của Maple khi khảo sát hàm số, chẳng hạn
như xác định miền giá trị, khoảng đơn điệu, miền lồi, cực trị và điểm
uốn, vễ đô thị, giải các phương trình và hệ phương trình,….
Một số ưu nhược điểm của maple:
Ưu điểm: Maple là một trong những phần mềm tính toán khoa học mạnh
nhất hiện nay. Trong thư viện của Maple có những gói trợ giúp cho tính
toán của rất nhiều ngành toán học: từ sơ cấp đến hiện đại. Kể từ version
8, Maple hỗ trợ cho việc vẽ đồ thị động. Maple 9 còn hõ trợ cả việc tự
học của sinh viên (gói Students). Các kết quả của Maple có thể Export ra
các dạng văn bản khác (như Latex, WordPerfect, RTF, HTML (Web)).
4

Các đồ thị do Maple vẽ ra có thể xuất ra các file hình ảnh .ps, .eps và cả
các file ảnh động (gif động). Giao diện và các thao tác soạn thảo (đánh

dấu khối, copy, dán, ) của Maple rất giống các Office như Word,
PowerPoint nên dễ dàng sử dụng ngay lúc ban đầu
Nhược điểm: Bên cạnh những ưu điểm cơ bản trên, Maple còn một số
nhược điểm sau:
Dung lượng lớn (Maple 9 sau khi cài đặt sẽ có dung lượng khoảng 170
MB).
Các lệnh (macro) bằng tiếng Anh khá dài nên khó nhớ.
Các trợ giúp cho việc dạy hình học ít, không đủ mạnh.
Dưới đây chúng tôi chỉ giới thiệu một số chức năng của Maple mà chúng
tôi nghĩ là hữu ích đối với các giáo viên và học sinh phổ thông. Các file
mẫu: daiso.mws (tính toán trong đại số và số học), giaitich. mws (tính
toán trong giải tích: giới hạn, phép tính vi-tích phân), dothi. mws (vẽ đồ
thị) có lưu trong đĩa CD học tập. Sau khi cài đặt Maple trên máy tính cá
nhân, các bạn nên chép các file này vào ổ cứng. Khi cần sử dụng Maple,
ta mở file chứa chủ đề ta cần, tìm và thay đổi các khai báo đã có bằng các
khai báo mới ta cần tính toán, minh hoạ
Các bạn có thể tải maple 12 trong địa chỉ này: ( gồm 3 bản, tải xuống thì
giải nén)
/>le.v12.0-TBE.part1.rar
/>v12.0-TBE.part2.rar
/>v12.0-TBE.part3.rar
5





II. Sử dụng lệnh trong maple.
1. Khảo sát hàm số
1.1 Một số lệnh trong khảo sát hàm

a. Tìm miền các định của hàm số f(x):
Để xác định miền giá trị của các hàm phân thức được trình bày trong giải
tích 12, trước tiên ta dùng lệnh denom() để tách lấy mẫu số. Miền xác
định của hàm số chính là tập các giá trị làm cho mẫu số có nghĩa. Ví dụ
tìm miền xác định của hàm số:
 =

2
+  + 1
2+ 2

Ta dung cá nhóm lệnh sau:
[> restart;
Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2);
Y:=simplify(Y):
print(‘Tap xac dinh cua ham so la:’);
a:=solve(denom(Y)=0,x):
if(type(denom(Y),realcons)=true)or(coeff(denom(y),x^2)<>0 and
type(a[1],realsons)=falssel then D=R;fi:
if coeff(denom(y),x^2)=0 and coeff(denom(y),x)<>0 then D={x<>a};fi;
6

Kết quả thực hiện chương trình:

b. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số với lệnh: [>diff(f(x),x);
Bước 2: Xác định chiều biến thiên:
Xác định khoảng đồng biến của hàm số (tức là tìm những khoảng mà
đạọ hàm mà đạo hàm của hàm số không âm) ta sử dụng lệnh: [>dhbn
:= bieuthuc r(x)>=0;

Bước 3: Giải phương trình bằng lệnh: [>solve(dhbn, {x});
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số, tương tự như trên, ta dung
lệnh:
[>dhbn := bieuthuc f’(x)<=0; Và giải phương trình bằng lệnh:
[>solve(dhbn,{x});
Thí dụ: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y=x
3
-6x
2
+4x-8
Bước 1: Tính đạo hàm:

Bước 2: Thiết lập bất phương trình dhbn:0  3
2
12+ 4
Bước 3: Giải bất phương trình: [>solve(dhbn,{x});


7

c. Tìm miền lồi, miền lõm của hàm số
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất: [>dhb1:=diff(f(x),x);
Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai: [>dhb2:=diff(dhbl,x);
Bước 3: Giải bất phương trình f’’(x) 0 để tìm miền lồi của hàm số,
bằng lệnh: (dhb2>=0,x);
Ví dụ xét hàm số y=
4
2
2

Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất:

Bước 2: Tìm đạo hàm bậc hai:

Bước 3: Giải phương trình tìm miền dương của đạo hàm bậc 2 (miền lồi
của hàm số)

d. Tìm điểm cực đại , cực tiểu:
Để xác định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ta xét đạo hàm bậc
nhất và tính đơn điệu của hàm sô, hoặc dung tính lồi thông qua đạo
hàm bậc hai, cụ thể:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: [>diff(f(x),x);
Bước 2: Giải phương trình 
′



= 0 để tìm các ddiemr là cực trị.
[> 





= 0, 

;
Bước 3: Tìm khoangr đông biến nghịch biến của hàm số:
[> 






>= 0, 

;
Bước 4: Xét tại x
0
:
8

1) Nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x
0 là
điểm cực đại.
2) Nếu đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì x
0
là điểm cực tiểu.
3) Nếu qua x
0
đạo hàm không đổi dấu thì x
0
không là điểm cực trị.
Ví dụ tìm cực trị của hàm số  = 
3
6
2
+ 4 8

Bước 4:

Qua 
1
= 2 
2

6
3
nên đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm nên
x
1
là điểm cực đại., còn qua 
12
= 2 +
2

6
3
đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ
âm sang dương nên x
2
là điểm cực tiểu của hàm số  = 
3
6
2
+
48
Nếu dựa vào đạo hàm bậc hai ta có thể tiến hành các bươc sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: [>dhb1:=diff(f(x),x);
Bước 2: Giải phương trình f’(x)=0 để tìm điểm cực trị.

[>solve(dhb1=0,x);
Bước 3: Tìm đạo hàm bậc hai: [>dhb2:=diff(dhbl,x);
Ví dụ tìm cực trị của hàm số  = 
3
6
2
+ 4 8
Bước 1:
9


Bước 2: Tìm ddiemr ma đạo hàm cấp 1 bằng 0:

Bước 3: Tìm đạo hàm bậc 2 :

Bước 4: Tính giá trị của đao hàm bậc hai tại nhứng điểm mà tại đó f
’(x)=0


Bước 5: Xét giá trị của đạo hàm bậc hai và kết luận, chẳng hạn ở ví dụ
này, ta có
nên là điểm cực tiểu,
còn 
′′

2 
2

6
3


= 4

6 < 0 nên là điểm cực đại.
e. Tìm điểm uốn:
Điểm uốn là điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai đổi dấu. Để xác định
điểm uốn của hàm số ta lần lượt thực hiện các lệnh sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất: [>dhbl:=diff(f(x),x); (f(x) là hàm cần
khảo sát)
Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai: [>dhb2:=diff(dhbl,x);
10

Bước 3: Điểm uốn có được nếu là nghiệm của hệ bất phương trình:
[>solve(dhb2>=0); và [>solve(dhb2<=0);
Ví dụ: Tìm điểm uốn của hàm số  = 
4
2
2


Kết luận:  = 

3
3
và  =

3
3
là hai điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
f. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số.

Các hàm minimize(expr, vars, ranges) và maximize(expr, vars,
ranges) dùng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
được xác định bởi biểu thức expr theo giá trị của các đối số được liệt
kê (vars) trong một phạm vi nào đó (ranges).
Ví dụ:
11



g. Xác định các đường tiệm cận:
Ta sử dụng lệnh tách mẫu số của f(x) bởi lệnh denom(), dung lệnh
solve (tìm nghiệm của mẫu số để đc tiệm cận đứng).
Lần lượt tính giới hạn lim

()

=  và lim








=  ,
chúng tồn tại sẽ cho ta tiệm cận xiên  = + .
Ví dụ xác định tiệm cận xiên của hàm số  =

2

++1
2+2

limit(y/x,x=infinity);
b:=li[> Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2);
a:=mit(y-a*x,x=infinity);
ms:=solve(denom(y)=0,x);
if a<>infinity or a <>-infinity then print('tiem can dung:',x=ms);
print(tiem can xien y=',x*a+b); fi;

12

Kết quả thực hiện chương trình:


h. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số Y=f(x) với các trục tọa độ.
Sử dụng gói công cụ student, sau đó dung các lệnh : Tìm giao điểm
với trục tung intercept(y=Y, x=0,{x,y}), Tìm giao điểm với trục
hoành intercept(y=Y,y=0,{x,y}),
Ví dụ xác định giao điểm với các trục tọa độ của hàm số  =

2
++1
2+2

[>restart:with(student):
Y:=(x^2+x+1)/(2*x+2); # mở gói công cụ và khai báo hàm
[>intercept(y=Y, y=0, {x,y});# giao điểm với trục hoành
intercept(y=Y,x=0,{x,y});# giao điểm với trục tung 

Kết qu thực hiện chương trình:

Như vậy đồ thị hàm số không cắt trục hoành mà chỉ có một giao điểm
với trục tung duy nhất là x=0, y=1/2


13



Đồ thị hàm số
 = 
4
2
2
2


1.2 Quy trình để khảo sát hàm số bậc 3:
 Khảo sát hàm số bâc 3:
 Chương trình để khảo sát như sau:
i. Vẽ đồ thị hàm số
Vẽ đồ thị là một chức năng mạnh
của Maple.
Để vẽ đồ thị hàm số trên đoạn
[a;b], ta sử dụng lệnh
[>plot(f(x),x-a b);
Ví dụ với hàm y=x
4
-2x

2
trên đoạn
[-2;2];
[>plot (x^4-2*x^2,x=-2 2); 
Kết quả được đồ thị như hình bên:


14

[> restart: with(plots): with(student):
kshb3:=proc(a,b,c,d)
local x,dhbn,xg,dhbh,xct,A,B,Y,xu,x1,Y1 ;
print('khao sat ham so bac 3');
Y:=a*x^3+b*x^2+c*x+d
f:=x->a*x^3+b*x^2+c*x+d
print('y =', Y);
print('Mien xac dinh cua ham so la R');
print('khao sat chieu bien thien'); dhbn:=diff(Y,x);
print(‘Dao ham bac nhat'); print('dhbn =',dhbn); dhbh:=diff(diff(y,x),x);
xct:=solve(dhbn=0); A:=solve(dhbn>=0); B:=solve(dhbn<=0);
if A=x then print('Ham so dong bien tren toan truc so:');
print('Ham so khong co cuc tri: '); print('Gioi han cua ham so’);
print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));
print(limit(y,x=-infinity)=limit(y,x=-infinity));
print('Ham so loi tren cac khoang');
print(solve(dhbh<0,{x}));
print('cac khoang loi lom va diem uon');
print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);
print('Ham so lom tren khoang');
print(solve(dhbh>0,{x}));

print('Diem uon’) xu:=solve(dhbh:0,x);
print(intercept(y=y,x=xu,{x,y}));
print(plot(y,x=-3+xu 3+xu,-15+f(xu) 15+f(xu)));
Y1:=expand(a*(xi+xu)^3+b*(xi+xu)^2+c*(xi+xu)+d-f(xu));
Print(‘Do thi ham so sau khi doi truc la’)
15

print(plot(y1,x1=-6 6,-20 20)); fi;
if B=x then
print('Ham so nghich bien tren toan truc so:');
print('Ham so khong co cuc tri: ');
print(‘Gioi han cua ham so');
print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));
print(limit(y,x=-infnity)=limit(y,x=-infinity));
print('Ham so loi tren cac khoang');
print(solve(dhbh<0,{x}));
print('cac khoang loi lom va diem uon');
print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);
print('Ham so lom tren khoang');
print(solve(dhbh>0,{x}));
print('Diem uon’) xu:=solve(dhbh:0,x);
print(intercept(y=y,x=xu,{x,y}));
print(plot(y,x=-3+xu 3+xu,-15+f(xu) 15+f(xu)));
Y1:=expand(a*(xi+xu)^3+b*(xi+xu)^2+c*(xi+xu)+d-f(xu));
Print(‘Do thi ham so sau khi doi truc la’)
print(plot(y1,x1=-6 6,-20 20)); fi;
if B=x then
print('Ham so nghich bien tren toan truc so:');
print('Ham so khong co cuc tri: ');
print(‘Gioi han cua ham so');

print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));
print(limit(y,x=-infnity)=limit(y,x=-infinity));
print('cac khoang loi lom va diem uon');
16

print('Dao ham bac hai la:'); print(dhbh);
print(‘Ham so loi tren cac khoang');
print(solve(dhbh<0,{x})),
print('Ham so lom tren khoang');
print(solve(dhbh>0,{x}));
print('Diem uon');
xu:=solve(dhbh=0,x); print(intercept(y=y,x=xu,{x,y}));
print(plot(y,x=-3+xu 3+xu,-15+f(xu) 15+f(xu)));
Y1 :=expand(a*(x1+xu) ^3+b*(xi+xu)^2+c*(xi+xu)+d-f(xu));
Print(‘Do thi ham so sau khi doi truc la');
print(plot(y1,x1=-6 6,-20 20)); fi;
if A<>x then
print('Ham so dong bien tren cac khoang’);
print(solve(dhbn>=0,{x}));
print('Ham so nghich bien tren khoang’);
print(solve(dhbn<o,{x}));
print('cac diem cuc tri cua ham so la:’);
xct:=fsolve(dhbn=0);
print('Diem cuc dai',intercept(y=y,x=xct[1],{x,y}), ‘Diem cuc
tieu’,intercept(y=y,x=xct[2],{x,y}));
print('Gioi han cua ham so');
print(limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity));
print(limit(y,x=-infinity):limit(y,x=-infinity));
print('cac khoang loi lom va diem uon');
print('Dao ham bac hai la:');

print('dhbh =',dhbh);
17

print('Ham so loi tren cac khoang'), print(solve(dhbh<0,{x}));
print('Ham so lom tren khoang');
print(solve(dhbh>0,{x}));
print('Diem uon');
xu:=solve(dhbh=0,x); print(intercept(y=Y,x=xu,{x,y}));
Y1:=expand(a*(xi+xu)^3+b*(xi+xu)^2+c*(xi+xu)+d-f(xu));
xg:=solve(Y1=0,x1);
if a>0 then
print(plot(Y,x=-3+xu+xg[3] 3+xu+xg[2],-5+f(xct[2]) 5+f(xct[1])));
print('Do thi ham so sau khi doi truc toa do');
print(plot(Y1,x1=-6 6,-20 20)); fi;
if a<0 then print(plot(y,x=-3+xu+xg[3] 3+xu+xg[2],-
5+f(xct[1]) 5+f(xct[2])));
print('Do thi ham so sau khi doi truc toa do');
print(plot(Y1,x1=-6 6,-20 20)); fi; fi;
end:
 Ví dụ minh họa: Khảo sát hàm số y=






+ +


với m=0 (ĐH thái nguyên 1999)

 Ta sử dụng chương trình con sau:
[>Restart:
print(' Khao sai ham so y=x^3/3-mx^2-x+m+2/3 voi gia tri m=0');
Y:=(x^3/3-x+2/3);
print('Tap xác dinh cua hamsola:');
Y:=simplify(Y):
a:=solve(denom(Y)=0,x):
18

if(type(denom(y),realcons)=true) then D=R;fi;
print('Tinh dao ham bác nhai cua ham so),
dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x)));
print('giai phương trinh f = 0:’);
solve(diff(Y,x)=0,{x});
print(' Ham so se dong bien tren khoang’);
solve(diff(y,x)>0);
phát(' Ham so nghịch bien tren khoang);
solve(diff(Y,x)<0);
print(' Tim cac gia tri cuc tri dia phuong');
Ymin_max:=extrema(y,{},x);
print('Tinh dao ham bac hai cua ham so');
z:=simplify(diff(Y,x$2));
print(' Diem uon cua do thi ham so la’);
solve({z=0,Y=y},{x,y});
print(' Tim giao diem voi truc tung');
student[intercept](y=Yy,x=0,{x,y});
print("rim giao diem voi truc hoanh')l
student[intercept](y=Y,y=0,{x,y});
print(' Do thi ham so co dang sau’);
plot(Y,x=-5 5,color=red);

Kết quả thực hiện chương trình:
19


_ 

0,
4
3


Tinh dao ham bac hai cua ham so z:=2x
Diem uon cua do thi ham so la

 = 0,  =
2
3


~ìl 1 ~i~lo ~ ~elll ~oi tr~l~ tl~ll~

 = 0,  =
2
3


Tim giao diem voi truc hoanh

 = 2,  = 0


:

 = 1.  = 0

.

 = 1.  = 0


Do thi ham so co dang sau


2. Giải phương trình và hệ phương trình
2.1 Giải phương trình siêu việt
Để giải một phương trình ta có thể làm theo 2 bước:
Bước 1: sử dụng lệnh eqn:= để xác định phương trình cần giải
Bước 2: giải phương trình bằng lệnh solve(eqn,{ x } );
20

Tuy nhiên cũng có thể chỉ dùng 1 lệnh solve và có ngay đáp số.
a. Giải phương trình lượng giác, lượng giác ngược
Đối với phương trình lượng giác ta thực hiện như ở trên đã nói, kết quả
cho ta các giá trị cụ thể của nghiệm, ta hiểu nghiệm cuối cùng của bài
toán là có thêm đuôi k2
Vídụ 1: giải phương trình
1
cos 
+
1
2

=
2
sin 4

Để giải phương trình ta dung lệnh:
[>solve(1/cos(x)+1/sin(2*x)=2/sin(4*x),{x}) ;

Khi đó kết quả nghiệm của phương trình là x=

6
+k2; x=
5
6
+ k2
Vídụ 2: Giải phương trình arccosx –arctanx =0
Ta chỉ cần dung một lệnh sẽ có kết quả:
[>solve(arccos(x)-arctan(x)=0, {x});

Hoặc có những phương trình cần thêm lệnh đánh giá xấp xỉ thập phân
Evalf(?)(không tìm đc ký hiệu) như phương trình sau:
Vídụ 3: arcsin2x – 2arccosx = 0
[>solve(arcsin(2*x)-2*arccos(x)=0,{x});
[>evalf(?);(không tìm đc ký hiệu)
{x=0.7861513775}
b. Giải phương trình mũ và logarit
Với các phương trình siêu việt, việc tính toán nghiệm thường là rất khó
khăn, máy thường chỉ tính được một nghiệm. Muốn tìm được các nghiệm
khác nữa ta cần làm them một số phương pháp khác, với maple chúng ta
có thể sử dụng phương pháp đồ thị. Ta vẽ đồ thị của hàm số trên một
21

miền đủ rộng để quan sát. Thấy vùng nào có nghiệm ta phóng đại vùng
đó (bằngcáchthunhỏvùngvẽ) để nhìn thấy nghiệm chính xác hơn, và ta có
thể lặp lại nhiều lần quá trình này cho đến khi có được nghiệm đến độ
chính xác mà ta muốn.
Vídụ 4: Giải phương trình mũ: 3.2
x
+ 2.3
x
– 5
x
-1 =0 (1)
Để giải phương trình này ta dung hai lệnh solve và lệnh đánh giá xấp xỉ
thập phân evalf(?) (ký hiệu thay thế)
[>solve(3*2^x+2*3^x-5^x-1) ;

[>evalf(?)(ký hiệu thay thế) 2.232119390
Như vậy máy chỉ tính cho ta 1 nghiệm để tìm nghiệm còn lại ta dung
phương pháp đánh giáng hiệm và phương pháp đồ thị. Ta có thể làm như
sau:
-Đánh giá miền nghiệm của phương trình (1) bằng phương pháp đạo
hàm:
Đặt f(x) = 3.2
x
+ 2.3
x
– 5
x
-1
Ta có đạo hàm

f’(x) = 3.2
x
.ln2 +2.3
x
.ln3 – 5
x
.ln5

1
5x
f’(x) = 3.(
2
5
)
x
ln2 + 2.(
3
5
)
x
ln3 –ln5 < 0
Nhận thấy: nếu x>3 thì (
1
5
)f’(x)<3.(
2
5
)
3
ln2+2.(

3
5
)
3
ln3-ln5<0
f’(x)<0hàm số nghịch biến  f(x) < f(3) = -48 < 0
Nếu x<-4 thì (
1
5
)f’(x)>3.(
2
5
)
-4
ln2+2.(
3
5
)
-4
ln3-ln5>0
f’(x)>0hàm số đồng biến  f(x)<f(-4)<0
Như vậy (1) không có nghiệm ngoài [-4;3]. Ta sẽ vẽ đồ thị hàm số trên
đoạn này để tìm ra nghiệm gần đúng còn lại.
22

-Vẽ đồ thị hàm số trong maple:

[>with(plots) :plot(3*2^x+2*3^x-
5^x-1,x=-4 3) ;

Nhìn trên đồ thị ta thấy ngoài nghiệm đã tìm được còn có một nghiệm
khác trong (-3;1), ta phóng to đồ thị hàm số trên đoạn này:
[>plot(3*2^x+3*2^x-5^x-1,x=-
3 1) ;


Ta lại thấy nghiệm này trong khoảng (-2;-1.8), tiếp tục làm vậy đến độ
chinh xác ta muốn dừng lại:
23

[>plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1,x=-
2 1.8) ;




[>plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1,x=-
1.91 1.90) ;