Tổng hợp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số trong các đề thi thử

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ
Bài 1. Cho hàm số
3 2
y x 3x 3mx 1 m= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng 3x + y – 8 = 0
một góc
0
45
.
Bài 2. Cho hàm số
2x 1
y
x 1
−
=
−
có đồ thị là (C).
a) Tìm k để (C) tiếp xúc với đường thẳng
y kx 5= +
.
b) Tìm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. Tìm k để đường thẳng d đi qua
( )
A 1; 3− −
có hệ số góc k cắt đồ thị của hàm số
3 2
y x 3x 1= − +
tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau.
Bài 4. Cho hàm số
x 1

y
x 1
+
=
−
(C) và đường thẳng d:
y 2x m= +
. Tìm m để d cắt (C) tại hai
điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Bài 5. Cho hàm số
3 2
y x 3x= −
(C).
a) Từ đồ thị (C), nêu cách vẽ và vẽ đồ thị hàm số
( )
2
y x x 3= −
.
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
( ) ( )
2 2
x x 3 m m 3− = −
.
Bài 6. Cho hàm số
( )
( ) ( )
3 2 2 2
y x 2 m 1 x m 4m 1 x 2 m 1= + − + − + − +
. Tìm m để hàm số có
cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc

với đường thẳng
9x 2y 1 0− + =
.
Bài 7. Cho hàm số
( )
4 2 2
y x 2 m 1 x 1= − + +
. Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị với mọi
m. Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng đi qua 2 điểm cực tiểu của đồ
thị hàm số nhỏ nhất.
Bài 8. Cho hàm số
3 2
y x 3x mx m= + + +
. Tìm m để đường thẳng d đi qua điểm
( )
I 1;2−

với hệ số góc bằng
( )
m−
cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B, I . Chứng minh rằng
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A và B song song với nhau.
Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
−
, biết tiếp tuyến tạo với hai

đường tiệm cận của đồ thị hàm số thành một tam giác vuông cân.
Bài 10. Tìm trên đồ thị hàm số
2x 1
y
x 1
−
=
+
những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường
tiệm cận nhỏ nhất.
Bài 11. Cho hàm số
3 2 3
y x 3mx 4m= − +
và đường thẳng d: y = x. Tìm các giá trị m dương
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến d gấp đôi khoảng
cách từ điểm cực đại đến d.
Chuyên đề: Bài toán liên quan đến hàm số
Bài 12. Cho hàm số
3 2
y x 3mx 2= − +
. Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ
thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 (đvdt).
Bài 13. Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
+
, I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm điểm M trên đồ

thị hàm số sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là lớn nhất.
Bài 14. Cho hàm số
3 2
1
y x 2x 3x
3
= − +
, đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O với hệ số góc
m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt O, A, B sao cho tam giác MAB vuông
tại M, biết M là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Bài 15. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
( )
3 2 2 2
y x m 4 x m 4m 3 x m 3m= + − + − + − +
cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 16. Tìm trên đồ thị (C):
3 2
1 11
y x x 3x
3 3
= − + + −
hai điểm phân biệt M, N đối xứng
nhau qua trục tung.
Bài 17. Tìm m để đồ thị (C):
4 2
y x 2x 3= − −
cắt đồ thị hàm số
3 2

y x mx mx 5= + − −
tại 4
điểm phân biệt.
Bài 18. Chứng minh rằng đường thẳng d: 2x + y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C) của hàm số
2x 1
y
1 x
+
=
−
tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C). Tìm m để độ dài đoạn nối 2 điểm đó nhỏ nhất.
Bài 19. Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 1= − −
(C). Gọi d là đường thẳng đi qua
( )
M 0; 1−
và có hệ
số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm
không nhỏ hơn
( )
1−
.
Bài 20. Cho hàm số
2x 1
y
x 2
+
=
+

có đồ thị là (C).
a) Tìm trên đồ thị (C) các điểm có các tọa độ là các số nguyên.
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có
diện tích không đổi. Tìm tọa độ tiếp điểm để tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 21. Cho hàm số
( )
3 2
y x 3 m 1 x 9x m= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
sao cho
CD CT
y y 2+ =
.
Bài 22. Cho hàm số
4 2
y x 3x 2= − −
. Tìm a để đường thẳng d: y = a cắt đồ thị hàm số tại
đúng hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.
Bài 23. Cho hàm số
4 2
y x 2mx 3m 1= − + +
. Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại
và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có diện tích
bằng 1 (đvdt).
Bài 24. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2x 1
y
x 1
−
=

−
, biết tiếp tuyến cắt các
trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thỏa mãn OA = 4OB.
Chuyên đề: Bài toán liên quan đến hàm số