Tuyển tập các bài hình học giải tích trong không gian được chọn từ các đề thi thử

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho lăng trụ đứng
ABC.A'B'C'
với
( ) ( ) ( ) ( )
A 0; 3;0 ,B 4;0;0 ,C 0;3;0 ,B' 4;0;4−
. Gọi
M là trung điểm của
A'B'
. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với
BC'
, (P)
cắt
A'C'
tại điểm N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Bài 2. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'
có
( ) ( ) ( ) ( )
A 0;0;0 ,B 1;0;0 ,D 0;1;0 ,A' 0;0;1
.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng
CD'
,
ϕ
là góc giữa (P) và
( )
BDD'B'
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của
ϕ

.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
( )
M 1;2;3
sao cho (P) cắt các trục Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A, B, C và hình chóp O.ABC là hình chóp đều.
Bài 4. Cho hai đường thẳng
1 2
x y 2 z 4 x 8 y 6 z 10
d : và d :
1 1 2 2 1 1
− + + − −
= = = =
−
. Chứng
minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của
hai đường thẳng đó.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD có
( )
A 1;2;1
và đường thẳng đi qua B, D có phương trình là
x 3 y z
4 1 1
−
= =
−
. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông.
Bài 6. Cho các điểm
( ) ( )
A 1;0; 2 ,B 3;1;0 và −

đường thẳng
x 1 y 1 z 1
d :
1 2 1
− + +
= =
. Tìm
điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB bằng
5
2
(đvdt).
Bài 7. Lập phương trình đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng có phương trình lần
lượt là
x y x 2 0 và x y z 1 0+ + + = + − − =
, đồng thời cách chúng một khoảng bằng
3
.
Bài 8. Cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
A 1;2;2 ,B 1;2; 1 ,C 1;6; 1 ,D 1;6;2− − − −
. Chứng minh ABCD là tứ
diện, lập phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện đó.
Bài 9. Cho mặt phẳng (P):
x 3y 6z 21 0+ − − =
và mặt cầu (S) có bán kính bằng
5
, tâm
thuộc tia Ox, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tính bán kính và tìm tọa độ tâm của đường tròn
(C) là giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).
Bài 10. Cho mặt cầu (S):

2 2 2
x y z 6x 2y 2z 14 0+ + + − − − =
. Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa trục Oz và cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 4.
Bài 11. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 4x 6y 2z 28 0+ + − + − − =
và hai đường thẳng
1 2
d ,d
lần
lượt có phương trình
x 5 y 1 z 13
2 3 2
+ − +
= =
−
;
x 7 y 1 z 8
3 2 1
+ + −
= =
−
. Viết phương trình mặt
phẳng (P) tiếp xúc với (S) và song song với hai đường thẳng
1 2
d ,d
.
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
Bài 12. Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng d:

x 1 y 1 z 3
2 1 1
+ + −
= =
. Viết
phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với (P) một góc bằng
0
30
.
Bài 13. Cho ba điểm
( ) ( ) ( )
A 4; 1;2 ,B 1;2;2 ,C 1; 1;5− −
. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Tìm tọa độ điểm S sao cho hình chóp S.ABC là hình chóp đều và cạnh bên SA tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng
0
30
, biết rằng tung độ điểm S dương.
Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng
6
(đvdt). Biết điểm
( ) ( )
A 1; 1;2 ,B 3;1;0−
và điểm C nằm trên mặt phẳng (P): x – 2y – 4z + 8 = 0. Tìm tọa độ
điểm C.
Bài 15. Cho tam giác ABC có
( )
A 1;2;5
, đường cao BH và trung tuyến CN lần lượt có
phương trình

x 3 y 6 z 1 x 4 y 2 z 2
;
2 2 1 1 4 1
− − − − − −
= = = =
− −
. Viết phương trình đường thẳng BC.
Bài 16. Cho đường thẳng
x 1 y 1 x 1
d : ,
2 1 1
− + −
= =
điểm
( )
A 1;4;2
và mặt phẳng (P):
5x y 3z 7 0− + − =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A,
∆
nằm trong (P) sao cho
khoảng cách giữa d và
∆
bằng
2 3
.
Bài 17. Cho mặt phẳng (P): x – y – z + 3 = 0, đường thẳng d:
x 3 y z 1

1 2 1
− +
= =
−
và điểm
( )
A 1;2;3−
. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, song song với (P) và tạo với d một
góc bằng
0
30
.
Bài 18. Cho
( )
A 1;1;0
, đường thẳng d:
x y 1 z
2 1 1
−
= =
−
, mặt phẳng
(P) : x 2y 2z 1 0− + + =
.
Tìm M trên d sao cho khoảng cách từ M tới A bằng 3 lần khoảng cách từ M tới (P).
Bài 19. Cho
( ) ( )
A 0;0; 3 ,B 2;0; 1− −

và mặt cầu (S):
( )
2 2
2
1 7 31
x 1 y z
2 2 2
   
+ + − + + =
 ÷  ÷
   
.
Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt cầu (S) sao cho tam giác ABC đều.
Bài 20. Cho
( ) ( ) ( )
A 5;3; 1 ,B 2;3; 4 ,C 1;2;0− −
. Tìm điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.
Bài 21. Cho điểm
( ) ( )
A 1; 1;2 ,B 0;2;1−
và
( )
P : x y z 7 0+ + − =
.
a) Viết phương trình đường thẳng d nằm trên (P) sao cho mọi điểm trên đường thẳng d cách
đều hai điểm A, B.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, B và (Q) tạo với (P) một góc nhỏ nhât.
Bài 22. Cho
( ) ( ) ( )
A 3;1;1 ,B 7;3;9 ,C 2;2;2

và (P): x+ y + z + 3 = 0. Tìm điểm M thuộc (P)
sao cho
MA 2MB 3MC+ +
uuuur uuur uuur
nhỏ nhất.
Bài 23. Cho mặt phẳng (P):
3x 8y 7z 6 0− + − =
và hai điểm
( ) ( )
A 1;1; 3 ,B 3;1; 1− −
. Tìm tọa
độ điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC đều.
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
Bài 24. Cho mặt phẳng
( )
P :3x 8y 7z 6 0− + − =
, đường thẳng
x 1 y 3 z 3
d :
1 2 1
− + −
= =
−
. Viết
phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với (P) sao cho
∆
cắt d tại một điểm cách (P) một
khoảng bằng 2.

Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian