dạy học bài toán dao động và sóng sử dụng mô hình được xây dựng bằng phần mềm matlab

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
o0o



ĐINH ĐỨC CHÍNH



DẠY HỌC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG
SỬ DỤNG MÔ HÌNH ĐƢỢC XÂY DỰNG
BẰNG PHẦN MỀM MATLAB




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM VẬT LÝ







HÀ NỘI - 2009
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
o0o



DẠY HỌC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG
SỬ DỤNG MÔ HÌNH ĐƢỢC XÂY DỰNG
BẰNG PHẦN MỀM MATLAB



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM VẬT LÝ
Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN VẬT LÝ)

Mã số: 601410


Học viên: Đinh Đức Chính
Cao học Sƣ phạm Vật lý khóa 2
Cán bộ hƣớng dẫn: TS Bùi Văn Loát



HÀ NỘI - 2009
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 2

Lêi c¶m ¬n

Luc hoàn thành t s c gng ci thc hin và s
h tr to ln ca rt nhii. Tôi xin bày t lòng bit  y cô
ging dy ti i hc Giáo dci Hc Quc Gia Hà Nã quan
 tôi trong sut thi gian hc tp và thc hin lut nghip.
c bit tôi mun cc ti PGS.TS  - thi
trc ting dn, ch bo, ging dy tôi v chuyên môn và 
nghiên c tài khoa hc này.
Cui cùng, tôi xin gi li cn nhi thân yêu trong gia
ng viên, ng h tôi trong sut quá trình làm
lu.
Xin chân thành c



11 9


Học viên
Đinh Đức Chính






Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 3

MỤC LỤC
M U 5
Chng 1. C S LÝ LUN V PHNG PHÁP DY HC VT LÝ S
DNG MÔ HÌNH  TRNG PH THÔNG 9
1.1 Tng quan v mô hình 9
1.1.1  9
1.1.2 Cha mô hình trong Vt lý hc 10
1.1.3 Các loi mô hình Vt lý 11
1.1.4 Phng pháp mô hình trong nghiên cu Vn
ca ca nó 11
1.1.5 Phng pháp mô hình trong dy hc Vt lý 14
Chng 2. TNG QUAN V MATLAB VÀ CÁC NG DNG 16
2.1 Gii thiu chung 16
2.2 S lc v GUI 18
2.3 ng dng Matlab xây dng mô hình vt lý hc ng dng trong
ging dy 19
Chng 3. NG DNG MATLAB THIT K MT S MÔ HÌNH DY
HC TRONG PH  NG VÀ SÓNG (BAO G  NG
C, SÓNG C VÀ ÂM HC) 21
3.1 u hòa 21
3.1.1 Nhng v chung 21
3.1.2 Liên h giu hòa vi chuyu 28
3.1.3 V tng hu hoà 29
3.1.4 ng ca con lc lò xo 33
3.1.5 ng ca con ln 38
3.2 Sóng c hc 45
3.2.1 Nhng v chung v sóng c hc 45
3.2.2 Mô phng s truyn sóng 49
3.2.3 Giao thoa sóng c hc 51
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 4

3.2.4 Sóng dng c hc 55
3.3 Sóng âm 59
3.3.1 Các khái nim c bn 59
3.3.2 Các tính cht c bn ca âm 59
3.3.3 Hiu ng Doppler âm hc 60
3.3.4 Mô phng hiu ng Doppler âm hc 61
Chng 4. TH

  63
4.1 

  63
4.2 



  63
4.3 Ph



 64
4.3.1 Công tác chun b 64
4.3.2 








 64
4.3.3 







ng th

  64
4.4 Th



: 65
4.5 










. 65
4.5.1 



 

, không s ng
 65
4.5.2 



 c xong nng, sóng c,
sóng âm 66
4.5.3 



 67




 70
TÀI LIU THAM KHO 74
PH LC 75

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 5

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

 






              

                

      



tính và cá
   
 
 


Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 6







 
… 



: Dạy học bài toán dao
động và sóng sử dụng mô hình được xây dựng bằng phần mềm Matlab

2. Mục đích nghiên cứu
  
hình thành           

 
3. Đối tƣợng nghiên cứu
 
ng
 
 
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 7

4. Giả thuyết khoa học

  
, và 

 
 o n.
 
 
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
 
trung vào các mô hình lý   
  .
 
 
 
    

6. Phạm vi nghiên cứu
 
khoa  
 trên 0
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
 
 
 
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 8

8. Đóng góp của đề tài
 Góp phn làm sáng t        bng phn

mm máy tính trong dy hc Vt lý ng ph thông.
 Cung cp nhng hiu bin v phn mm Matlab và ng dng
ca nó.
 To ra mt s mô hình có giá tr thc tin.
9. Cấu trúc luận văn
 n a chn, luc chia làm các
ph:
 :  lý lun v y hc Vt lý s dng mô
hình  ng ph thông.
 : Tng quan v Matlab và các ng dng
 : ng dng Matlab thit k mt s mô hình dy hc trong
phn ng và sóng (bao gc).
 : Th nghim ng dng các mô hìnc xây dng bng
Matlab vào dy hc tng ph thông
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 9

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
VẬT LÝ SỬ DỤNG MÔ HÌNH Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG
1.1 Tổng quan về mô hình
1.1.1 Định nghĩa mô hình
Kin thc và s hiu bit ca các nhà khoa hc v th gic
th hin trong các mô hình. Có rt nhi mô hình, theo nh
a David W. Stockburger
[1]
Mô hình là s biu din ca ni dung
v thuc tính bn cht ca s vt hing trong th gii thc 
ông, mô hình có hai dng chính. Th nht là mô hình vt lý, thí d 
hình máy bay, bn thit k kin trúc ca toà nhà. Th hai là mô hình kí t, thí

d  vic.
T





 , V.A. 







 : 
hình là mt h thc thc hin mt cách
vt cht, h th  n ánh nhng thuc tính bn cht c i tng
nghiên cu hoc tái to nó, bi vy vic nghiên cu mô hình s cung cp cho
ta nhng thông tin mi v i t
Mô hình ch phn ánh mt s thuc tính bn cht ca s vt, hing
c nghiên cu này cho thy là mt s vt, hing có th c
phn ánh bi nhii mô hình th hin mt
vài thuc tính mà ta quan tâm và theo tng cách tip cn khác nhau ci
xây dng mô hình. Vng nht vi s vt, hing mà
nó phn ánh.

[1]
David W.Stockburger, Introductory Statistics: Concepts, Models, and Applications, Emeritus
Professor, Missouri State University.

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 10

1.1.2 Chức năng của mô hình trong Vật lý học
           
,  mô hình hóa 
 
 
  
. 
 
 

Trong  :
 Mô t s vt hin tng
 Gii thích các tính cht, hin ti tng
 t và các hin tng mi
Mô hình trong   . Mô
hình   


 


 hình 
lý, làm 
và quá trình 
các  .
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 11

1.1.3 Các loại mô hình Vật lý
Mô hình  
nhau: 
Mô hình 
 



: . 
     thay

 
  
 
    còn 
khi quan sá


Mô hình bing là loi mô hình trng nht, không th hin
trong không gian thc mà ch  Có nhing
nghiên cu cc mô hình hóa dng bing, thí d: ng
n t, photon, mô hình phân t trong thuyng hc phân t ca cht khí,
mô hình vi
1.1.4 Phương pháp mô hình trong nghiên cứu Vật lý và các giai đoạn của
của nó
Trong phng pháp mô hình, ngi ta xây dng các mô hình mang
nhng tính cht c bn ca vt th, hin tng, quá trình và mi quan h gia

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 12

chúng. Vic nghiên cu trên mô hình s thay th cho vic nghiên ci
tng thc, nhng kt qu nghiên cu trên mô hình s chuyn sang chi
tng gc nhng thông tin mi v i tng gc, d 
c tính cht, hin tng mi có th có ci tng gc.
t nghiên cu Vt lý có các
:
1.1.4.1 Giai đoạn 1: Nghiên cứu những tính chất của đối tượng gốc






, 

















 . 











 p hp
nhng d kiu làm c s  xây dng mô hình.
1.1.4.2 Giai đoạn 2: Xây dựng mô hình
Do kt qu ca s tng t, ngi ta xây dng mt mô hình s b,
ch. Mô hình này mi ch có trong óc ngi nghiên cu. Trong giai




,  . Nó
giúi nghiên cu rút ra nhng thun, nhng mi quan h
cn thi to ra hình m Da vào hình mu này nhà nghiên











 hoc các mô hình kí hiu. 










 , 



 







, 









.
1.1.4.3 Giai đoa
̣
n 3: Thao tác trên mô hình, suy ra hệ quả lý thuyết




, ngi ta áp dng các phng pháp lý thuyt
hoc thc nghic kt qu và các
thông tin mi vi mô hình vt cht ngi ta làm thí nghim thc trên mô
i vi mô hình lý tng thì tin hành các thao tác logic trong óc, tc là
áp dng nhng phép tính hay nhng phép suy lun logic trên các ký hiu.
































. 
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 13




. Theo Heisenbërg:  




















 , 

















 . , 























 




.
Trong phng pháp mô hình lý tng, ngi ta có th d c s
vng ca mô hình trong nhu kinh theo nhng quy lut
riêng. Kt qu cc ng h qu ca hoc
m c th trong tng phép th vu kin khác nhau. Vt lý hin
i phát triy rng mô hình i kt qu 
i chính xác. u này giúp cho quá trình to ra mt phát minh hay
sáng ch rút ngn bt thi gian, gim chi phí i vic
gim bt  ng khoa hc.
 , 















 , 



 












 (

 ) 






không.
1.1.4.4 Giai đoa
̣

n 4: Thực nghiệm kiểm tra
Thc tin là tiêu chu kim nghim nhng sn phm c
Bn thân mô hình là mt sn phm ca nhn thc nên cn phi kim tra s
n ca nó bi chiu kt qu c t mô hình vi nhng
kt qu c t i t. Nu có s sai lch thì phu chnh mô
hình,  h
.
 : Mô hình  th th hin mi quan h gi   và thi gian
ng tt dn cho thy  ng gim dn theo thi gian
 t ra câu hi rng mô hình
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 14

xây dý thuyc xây dng cn c tip tc
hoàn chnh?
Nhc kim nghim trong thc t là nhng mô hình
phn ánh mt s mt ca thc t khách quan. Nó có th b  i, hoàn
chnh thêm hoc b bác b khi ngi ta có thêm nhng thông tin chính xác
hn v i tng.
1.1.5 Phương pháp mô hình trong dạy học Vật lý
1.1.5.1 Vai trò của mô hình trong dạy học Vật lý
Trong nghiên cu khoa hc Vt lý, mô hình và phng pháp mô hình
có chn thc, nó giúp ta phát hin ra nhc tính mi, hin
tng mi, quy lut mi. Nu xem xét quá trình hc tp ca hc sinh di
 mt hong nhn th trong
nghiên cu khoa hc Vt lý.
Trong khi dy hc, hc sinh nhi kh ng mô
 thay th vt gc trong nghiên cu nhng giáo viên có th s dng mô
 thay th vi m phm nh mt phng tin trc quan nhm

làm cho hc sinh hiu rõ mt v 
Trong nghiên cu khoa hc Vt lý, mô hình vt cht có vai trò rt hn
ch n rt ít thông tin mi khi thao tác trên mô hình, tuy nhiên nó
li có tác dng rt quan trng trong dy hc, nó có th giúp hc sinh hiu
c nhng hin tng không quan sát trc tic.
Các mô hình lý tng tuy rt có tác dng trong hong nhn thc
nhng nhii  hc sinh m t duy tru tng cao, mt
c s thc nghim phong phú và kinh nghim bn thân di dào mi có th
xây dc các mô hình. V.G.Razumôxki khi bàn v phng pháp mô
hình trong dy hnh rng:  n xây dng mô hình, vì
vic tìm ra nh i tng tru tng thích hp có th thay th cho quá
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 15

trình, hin tng nghiên cu là rt khó, nên thông thng thì hc sinh không
th làm vi lc ca h n này b hn ch
1.1.5.2 Các mức độ sử dụng phương pháp mô hình trong dạy học Vật lý
Mức độ 1:
Giáo viên trình bày các s kin thc t mà hc sinh không th gii thích
c bng kin tha ha ra mô hình mà các nhà khoa hc
ng và vn d gii thích các hin tng trên.
, 
























.
Mức độ 2:
Hc sinh s dng các mô hình mà giáo viên cung c gii thích mt
s hin tn gin tng t vi hin tt.
Mức độ 3:
Hc sinh s d d n tng
mi.
Mức độ 4:
Hc sinh di d hng dn ca giáo viên tham gia vào c n
ca phm va mô hình và s dng
 gii quyt nhim v nhn thc.
Mức độ 5:
Hc sinh t lc xây d gii quyt nhim v nhn thc
ca mình.

Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 16

Chƣơng 2. TỔNG QUAN VỀ MATLAB VÀ CÁC ỨNG DỤNG

2.1 Giới thiệu chung
Matlab là m  ng tính toán s c phát trin bi The
 t trong nhng      phát
trin các ng dng. MATLAB là nó có
  
 

toán l g nh

tính . Matlab
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 17

cho phép 
 

 
Tên ca phn mm MATLAB bt ngun t thut ng 
c vit b cung cp truy nhp
d dàng ti phn mm ma trc phát trin bi các d án LINPACK và
c vit bng ngôn ng  n nêu
trên và phát trin thêm nhic ca tính toán khoa hc và các ng dng
k thut.

Hình 1: Phổ tần số của âm thanh thu đƣợc từ tiếng quát giận dữ




 . Hình 1 

Matlab.

 (GUI  Graphic user
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 18

interface) 

 a
Matlab.
2.2 Sơ lƣợc về GUI
GUI- giao di ha là dng th hi ha bao gm các
dng c, thit bi dùng thc hin công vi
 thc thi các công vic ci dùng không cn vin
 hay tng dòng lnh c th, nói cách khác là h không cn bit
chi tit các thao tác bên trong ca tng công vic c th.
Nhng thành ph  n ca GUI bao gm Menu, Toolbar, Push
t GUI có th th
hin d lii dng bng ho th, các thành phn có th c nhóm li
vi nhau tùy ý.
t thí d n v GUI:

Hình 2: Chƣơng trình đồ họa Matlab tiêu biểu
GUI trên bao gm mt h trc t; mt Pop-up Menu bao gm 3 la
chng vi 3 hàm ca Matlab là peaks, membrane và sinc; ba nút
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 19

bm cung cp các la chn v  th khác nhau: surf, mesh, contour. Khi
i dùng bm m th s th hin d lic la chn trong
Pop-up Menu vi cách v tng.
Matlab h tr  công c  to mt ng dng chc lp trên
nn Windows. Có nhiu bi   to ng d    
 là vài dòng lnh hay c mt project ln.
Cách ph bin nh to ra standalone application là dùng Deploytool trong
 dc mt project ta cn có  các file .m và file
.fig. Tuy nhiên, vic tích hp mng tài nguyên ln các hàm trong, hàm
ngoài trong mc ln dùng ti) làm cho
quá trình thchm chp.
2.3 Ứng dụng Matlab xây dựng mô hình vật lý học ứng dụng
trong giảng dạy
Vic xây dng các mô hình vt lý hc phù hp vi công tác ging dy
tng Trung hc ph thông phi da trên nhiu tiên
phi k  ng, khái nim, quy lut vng
ca thc th vt lý rt phong phú, hình thc th hing và nhìn chung là
 khó khác nhau. Vic xây dng các mô hình v nhiu
trí tu, thi gian và công sc, không ph ng
tiêu chí này. Tiêu chí tip theo pht lý hc xây
dng có phù hp vi ging d m bo yêu ci
xây dng mô hình phi d lý lun v y hc mô

 vào ni dung dy hc và hoàn cnh c th. T nhng nhn
xét trên, ta có th thy quy trình xây dng mt mô hình ( ng dng
trong ging d
 nh my hc
 Thit k, xây dng mô hình
 Thc nghim
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 20

 t qu
 Chnh sa hoc xây dng mô hình mi
Lung mt s i d ha vi các tính
       i các s liu), v  th  ng
ng vi ni dung và my hc. Ngoài ra phi k
n th mnh riêng cc thit kc dch thành
các ng dc lp (standalone applications), trng, tính h
thng Nhm này làm cho lubit mang
tính tích cc so vi mt s  tài ng dng Matlab trong ging d



Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 21

Chƣơng 3. ỨNG DỤNG MATLAB THIẾT KẾ MỘT SỐ MÔ
HÌNH DẠY HỌC TRONG PHẦN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG
(BAO GỒM DAO ĐỘNG CƠ, SÓNG CƠ VÀ ÂM HỌC)
3.1 Dao động điều hòa

3.1.1 Những vấn đề chung
3.1.1.1 Từ dao động cơ học đến dao động điều hòa
Dao động cơ học:
Khi có gió nhng trên cành cây. Qu lc cng h
i. Trên mt h gn sóng, mu g nh
bng bnh, nhp nhô trên mc. Chiy mnh rung
ng trên mTrong các ví d trên, vt ch chuyng trong mt vùng
không gian hi mt v trí cân bn
c gng. Hình 3 là d th mô t ng ca
mt vt quanh v trí cân bng.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Dao dong co hoc
t(s)
x(cm)

Hình 3: Dao động
y dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp
đi lặp lại nhiều lần quanh một vị trí cân bằng. V trí cân bng là v
trí ca vng yên: V trí ca con lng h không chy, ca

vt khi mt h phng lng, c
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 22

Dao động tuần hoàn:
Quan sát mt qu lng h ta thy, sau nhng khong thi gian bng
 lc li  trí cân bng theo chiu t trái sang phi.
ng tun hoàn. Khong th qu lc lp li trng thái
u gi là chu k T. ng
T
f
1

cho ta bit s lng trong
mt giây gi là tn s ng. ng tun hoàn ng mà
trng thái chuyc lp lng khong thi gian bng
nhau. Dng cng tun hoàn th hi th Hình 4.
Dao động điều hòa:
Dn là mc mô t bnh lut
dng sin hoc cosin. ng ca con lc lò xo không ma sát, ca con lc
i góc lch nh và không ma sát là nhng ví d v u hòa.
:
 

 tAx sin.
(3.1)
  
(3.1) :
   


 2sin.sin. tAtAx

(3.2)

0 5 10 15 20 25 30
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Dao dong tuan hoan
t(s)
x(cm)
Hình 4: Dao động tuần hoàn
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 23

        t)    
Hình 5. Trên Hình 5 
.
0 1 2 3 4 5 6 7
-100
-80
-60

-40
-20
0
20
40
60
80
100
Dao dong dieu hoa
t
x(t), v(t), a(t)
Ly do x(t)
Van toc v(t)
Gia toc a(t)

Hình 5: Ly độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa
:



















2
sin. tAx

(3.3)
Qua   (3.3)  :        









2
t




2
T

là  
:

k
m
T 

 2
2


(3.4)

 trong Hình 6.
Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Vật lý – Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN

Đinh Đức Chính – Học viên cao học LL&PP K2 24


Hình 6: Sự biến đổi của vận tốc và ly độ theo thời gian
3.1.1.2 Từ Dao động tắt dần đến hiện tượng cộng hưởng cơ học
Dao động tắt dần:
Trong thc t, khi khng ca mt h, ta không th b qua
các lc ma sát. Do đó năng lượng của hệ dao động không phải là hằng số
mà giảm dần theo thời gian, kết quả là biên độ của dao động giảm dần theo
thời gian. Đó là những dao động thực, hay ta nói đó là những dao động tắt
dần.
Khi con lng trong không khí, sc cn ca không khí làm
cho nó tt dn. c c, nên phi ch mt thi gian khá lâu
nó mi tt hn. Tu theo lc ma sát là ln hay nh ng s ngng nhanh
hay chm. Nu xét trong thi gian ngn có th u hoà.
:
)cos(.





taex
t
(3.5)
:
 a: 
 : 
   /2m: 

2/122
0
)(

 ww
: 
 ω
0
: tn s ng khi không có ma sát.