skkn vân dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải bải toán trương thcs lê hồng phong

Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 1
Phòng giáo dục TP Phan Rang TC CỘNG HÒA XÃ
HỘI CHỦ NGHĨA VIÊT NAM
TRƯỜNG THCS LÊ HỒNG PHONG Độc lập – Tự do
– Hạnh phúc
Tên đề tài:
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG
TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN
Họ tên: Nguyễn Thò Dung
Chức vụ: Giáo viên
I. HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN:
Thời gian gần đây nền giáo dục của chúng ta yêu cầu mỗi
giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học. Phương pháp dạy
học mới này chú ý đến đối tượng học sinh, coi trọng việc nâng
cao khả năng cho học sinh; nêu tình huống, kích thích hứng thú
cho học sinh. Những giáo viên dạy toán giỏi chính là những giáo
viên biết phát huy sự đam mê yêu thích học toán của học sinh.
Khi giảng dạy Toán, bên cạnh yêu cầu quan trọng là
truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh, thì người giáo viên
phải giúp các em phát triển khả năng tư duy sáng tạo của mình .
Muốn làm được điều đó, bằng phương pháp đổi mới dạy học
người dạy toán phải đưa ra được các tình huống, khai thác, phát
triển, phát huy óc sáng tạo của học sinh.
Năm học 1996-1997, tại Trường THPT Nguyễn Trãi, lần
đầu tiên kể từ khi ra trường tôi được phân công dạy môn Toán
lớp 8. Ở thời điểm đó trường THPT Nguyễn Trãi là một trong
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 2
những trường tại tỉnh Ninh Thuận có tỷ lệ học sinh có học lực
khá, giỏi rất cao. Khi dạy tiết luyện tập của bài “Tính chất
đường phân giáctrong tam giác”, để kích thích tư duy cho các

em học sinh, ngoài những bài toán trong sách giáo khoa tôi còn
đưa thêm nhiều bài toán khó cho các em luyện giải. Qua tiết dạy
tôi hơi thất vọng khi nhận thấy các em vận dụng tính chất đường
phân giác của tam giác vào giải các bài tập liên quan mà tôi đã
đưa ra còn yếu. Tỷ lệ các em giải được các bài toán khó còn
thấp.
Trước thực tế đó, tôi đã băn khoăn, trăn trở rất nhiều.
Trong đầu tôi cùng lúc ùa về nhiều câu hỏi: Tại sao khả năng
học tập của học sinh tại trường Nguyễn Trãi được đánh giá là
giỏi mà việc giải toán lại chưa được tốt? Phải chăng các em nắm
kiến thức cơ bản chưa vững? Phải chăng khả năng tư duy, sáng
tạo của các em trong giải toán chưa cao? … Qua suy nghó, phân
tích tôi đã nhận ra các em giải toán còn yếu là do khi thiết kế
bài dạy tôi chưa chú trọng đến việc gây hứng thú cho học sinh,
chưa tìm ra phương pháp dạy để “truyền lửa” cho học sinh. Từ
đó trong các tiết dạy sau, tôi đã cố gắng dạy cho các em hiểu
thật sâu kiến thức cơ bản. Về phần luyện tập, để tạo sự hứng thú
và giúp các em nâng khả năng tư duy sáng tạo, khi ra bài cho
các em luyện giải, tôi đã xâu chuỗi, hệ thống các bài tập từ dễ
đến khó
Với phương pháp đó, về sau việc học tập của học sinh đã
tốt lên rõ rệt. Đặc biệt, qua năm học sau, khi dạy xong tiết luyện
tập của bài “Tính chất đường phân giác trong tam giác”, tôi rất
vui khi nhận thấy học sinh đã vận dụng “Tính chất đường phân
giác trong tam giác” vào giải các bài toán liên quan rất tốt .
Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên ta có thể rút ra: Khi
dạy các tiết luyện tập, bài tập nếu ta biết hệ thống, xâu chuỗi
các bài tập theo hướng từ dễ đến khó để hướng dẫn học sinh
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 3

vận dụng phần lý thuyết vào giải các dạng toán , sẽ là chìa
khoá hữu hiệu cho mọi đối tượng học sinh trong học tập. “Tính
chất đường phân giác trong tam giác” ở chương trình toán 8 chỉ
gồm 2 tiết nhưng nó lại có tầm ảnh hưởng lớn; có thể vận dụng
vào rất nhiều bài toán hay; là sự kết hợp nhuần nhuyễn để có
nhiều lời giải hay, độc đáo. Học sinh có thể vận dụng tính chất
đường phân giác trong tam giác vào việc giải các bài toán khác
có liên quan, qua đó phát triển kó năng, kó xảo trong chứng minh
hình học. Đó là lý do tôi chọn đề tài : “ Vận dụng tính chất
đường phân giác trong tam giác để giải toán” trong Sáng kiến
kinh nghiệm của mình.
II.QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN
Qua những năm tháng công tác tại Trường THPT Nguyễn
Trãi, cũng như về sau khi tôi đến dạy học tại Trường THCS Trần
Phú và hiện nay là Trường THCS Lê Hồng Phong, với cách thức
giảng dạy như trình bày ở trên tôi đã thu được rất nhiều thành
công. Khi dạy xong các bài học, với đối tượng là học sinh yếu,
kém và trung bình cũng đã hiểu bài và giải được các bài tập cơ
bản. Còn các đối tượng là học sinh kha,ù giỏi đã có được khả
năng vận dụng những kiến thức cơ bản để giải các dạng toán
khó.
Tại phạm vi báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này, tôi xin
nêu lên một phương án đưa ra các bài tập mang tính xâu chuỗi,
hệ thống các bài tập từ dễ đến khó… nhằm giúp học sinh có thể
“Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải
toán” một cách tốt nhất.
Bài toán 1 (Bài 15/67 SGK)
Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân
thứ nhất.
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong

Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 4
A P

4,5 7,2 6,2
8,7

B 3,5 D x C M Q x
N
12,5
a) b)
Hình 24
Lời giải:
a)
∆
ABC có AD là đường phân giác của
·
BAC
nên
DB AB
DC AC
=

hay
3,5 4,5
7, 2x
=

3,5.7, 2
5,6
4,5

x⇒ = =
b)
PMN
∆
có PQ là đường phân giác của
·
MPN
nên
QM PM
QN PN
=
hay
12,5 6,2
8,7
x
x
−
=

⇒
6,2x = 8,7(12,5 – x)
⇔
6,2x + 8,7x = 8,7 .
12,5
x =
8,7.12,5
7,3
14,9
≈

Nhận xét 1: Đây là một bài toán cơ bản, ta có thể vận dụng
ngay tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài
đoạn thẳng.
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 5
Bài toán 2: (Bài 16/67 SGK)
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là
đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác
ABD và diện tích của tam giác ACD bằng
m
n
.
A
m n


B H D C
Lời giải:
Kẻ đường cao AH, ta có:
1
.
2
1
.
2
1
.
2
(1)
1

.
2
ABD
ACD
ABD
ACD
S BD AH
S CD AH
BD AH
S
BD
S CD
CD AH
=
=
= =
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác , ta có:
(2)
BD AB m
CD AC n
= =
Từ (1) và (2) suy ra:
ABD
ACD
S AB m
S AC n
= =
Nhận xét 2:
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 6

( Từ bài toán trên, GV mở rộng bài toán và khắc sâu kiến thức)
- Khi điểm D là điểm bất kỳ nằm giữa B và C thì
ABD
ACD
S BD
S CD
=
- Khi D là trung điểm của BC thì
1
ABD
ACD
S
S
=
, nghóa là
ABD ACD
S S=
- Khi D là chân đường phân giác của góc A thì
ABD
ACD
S AB
S AC
=
* Qua bài toán trên ta có được một tính chất mới có thể vận dụng
để giải toán sau này.
Sử dụng kết quả của bài toán 2 đã được GV mở rộng để làm tiếp
bài toán sau với lời giải ngắn gọn hơn.
Bài toán 3: (Bài 21/68 SGK)
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường
phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m,

AC = n(n > m) và diện tích của tam giác ABC là S.
b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiếm
bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?
A

m n
B H D M C
Lời giải:
a) AD là đường phân giác của
ABC∆
nên:
ABD
ACD
S BD AB m
S CD AC n
= = =
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 7
Do đó:
ABD
ACD ABD
S m
S S n m
=
+ +

.
ABD
m
S S

n m
⇒ =
+
AM là đường trung tuyến của
ABC
∆
nên:
1
.
2
ABM
S S=
Mà:
ADM ABM ABD
S S S= −
Suy ra:
1
2 2( )
ADM
m n m
S S S S
n m n m
−
= − =
+ +
b) Với n = 7cm, m = 3cm thì
0
0
7 3 4
20

2(7 3) 20
ABD ABC ABC ABC
S S S S
−
= = =
+
Bài toán 4: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp
và G là trọng tâm. Biết rằng AI vuông góc với IG. Chứng minh:
AB + AC > 2BC.
Lời giải:
Nhận xét rằng nếu
ABC
∆
cân tại A thì AI trùng với AG, vi phạm
giả thiết AI
⊥
IG.
Giả sử AB < AC, AI cắt BC tại D, AG cắt BC tại M.
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
A
B
I
G
D
E
M
C
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 8
Dựng ME
⊥

AD (E thuộc tia AD).
Khi đó
·
·
· ·
·
ADC ABC BAD ACB DAC= + > +
.
Mà
·
·
0
180ADC ADB+ =
.
Nên
·
0
90ADC >
Do đó D nằm giữa I và E
⇒
IE > ID.
Mặt khác từ IG//EM (cùng
⊥
AD), theo đònh lí Talét ta có:
2
AI AG
IE GM
= =
⇒
AI = 2 IE > 2 ID

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta được:
2
AB AC AI
BD DC ID
= = >
⇒
AB + AC > 2(BD + DC) = 2 BC (Điều phải chứng minh).
* Ta thấy điều kiện AI
⊥
IG trong giả thiết là để cho AI > 2 ID
và tam giác ABC không cân tại A. Nếu tam giác ABC có thêm
điều kiện AB < AC thì muốn có AI > 2 ID ta chỉ cần cho ràng
buộc GI cắt tia MB là đủ. Nhận xét 3: Cho tam giác ABC với
AB < AC. Gọi AD là đường phân giác trong, AM là đường
trung tuyến của tam giác đó thì M nằm giữa C và D. (Hình vẽ
bài toán 4)
Thật vậy ta có:
1
BM AB BD BC BC
CD CM
CM AC CD CM CD
= > = ⇒ > ⇒ >
Suy ra M nằm giữa C và D.
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 9
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì:
AI AB AC AB AC AB AC
ID BD CD BD CD BC
+ +
= = = =

+
(1)
Bài toán 5: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi G, I lần lượt là
trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác và GI cắt tia MB
tại N. Chứng minh rằng: AB + AC > 2 BC.
Lời giải: Gọi D, M lần lượt là giao điểm của AI và AG với
BC. Kẻ IK//DM (K
∈
AM). Khi đó theo nhận xét 2 và chứng
minh tương tự bài toán 4, ta có K nằm giữa G và M. Do đó
2
AI AK AG
ID KM GM
= > =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AB + AC > 2 BC (điều phải chứng minh).
*Từ bài toán 5 đặt ra cho chúng ta câu hỏi: Khi nào AB + AC <
2 BC ?
Giải xong bài toán 6 chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi đó.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi G, I lần lượt là
trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác và GI cắt tia DC tại
N. Chứng minh rằng: AB + AC < 2 BC.
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
A
B
G
I
K
N
D

M
C
A
B
CD
M
N
I
G
K
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 10
Lời giải: Gọi D, M là các giao điểm tương ứng của AI và AG
với BC. Kẻ GK//DM (K
∈
AD) thì K nằm giữa I và D (Theo nhận
xét 2 và chứng minh tương tự bài toán 4 ). Do đó:
2
AI AK AG
ID KD GM
< = =
(3)
Từ (1) và (3) ta suy ra: AB + AC < 2 BC.
* Xét bài toán 7, ta sẽ trả lời được câu hỏi: Khi nào AB + AC = 2
BC ?
Bài toán 7: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi I, G lần lượt là
tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm của tam giác đó. Chứng
minh rằng:
IG // BC
⇔
AB + AC = 2 BC.

Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
A
B
G
I
D
M
C
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 11
Lời giải:
Gọi giao điểm của AI và AG với BC lần lượt là D và M.
Ta có: IG // BC
2
AI AG
ID GM
⇔ = =
Theo (1) điều này xảy ra khi và chỉ khi AB + AC = 2 BC.
III. ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ :
Qua quá trình giảng dạy học sinh học Toán, với phương pháp
dạy “ Xâu chuỗi, hệ thống các bài tập theo hướng từ dễ đến
khó để hướng dẫn học sinh vận dụng phần lý thuyết vào giải
các dạng toán” như tôi đã trình bày tại chuyên đề “Vận dụng
tính chất đường phân giác trong tam giác để giải toán” nêu
trên, đã giúp học sinh dễ hiểu và nhớ bài lâu hơn, phát triển tốt
hơn tư duy giải toán. Cách làm này, không những đã làm cho
học sinh có kỹ năng giải tốt các bài toán thông thường trong
sách giáo khoa, mà còn giúp các em học sinh giải được các bài
toán nâng cao có liên quan đến tính chất đường phân giác trong
tam giác. Đặc biệt, khi áp dụng phương pháp này vào giảng dạy
ở các chuyên đề khác ( cả Hình học lẫn Đại số ) cũng mang lại

kết quả rất tốt. Nhờ vậy, kết quả học tập môn Toán của học
sinh mà tôi giảng dạy qua hàng năm thu được rất khả quan. Học
sinh đã hứng thú hơn khi học Toán. Điểm kiểm tra một tiết môn
hình học, hàng năm ở các lớp mà tôi đã giảng dạy đạt được khá
cao.
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 12
Lấy kết quả bài kiểm tra một tiết môn Hình học từ năm học
2001-2002 đến năm học 2004-2005 ở một số lớp mà tôi đã giảng
dạy tại trường THPT Nguyễn Trãi để làm ví dụ minh chứng:
Bảng thống kê điểm kiểm tra một tiết môn Hình học của học
sinh (từ năm học 2000-2001 đến năm học 2003-2004 tại các
lớp 8
1
, 8
2,
8
1
,

8
3
của trường THPT Nguyễn Trãi )
Năm học
2000-
2001
Năm học
2001-2002
Năm học
2002-2003

Năm học
2003-2004
Tỷ lệ HS
đạt 9,0
→

10,0
12% 30% 35% 48%
Tỷ lệ HS
đạt
7,0
→
8,8
44% 40% 40% 45%
Tỷ lệ HS
đạt
5,0
→
6,8
40% 28% 23% 7%
Tỷ lệ HS
đạt
0,0
→
4,8
4% 2% 0% 0%
IV. KẾT LUẬN:
Trong tiếp thu kiến thức Toán, điều đầu tiên là học sinh phải
hiểu và nắm thật vững phần lý thuyết. Bên cạnh đó giáo viên
nên xâu chuỗi , hệ thống các bài tập theo hướng từ dễ đến khó;

Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong
Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 13
tìm cách cuốn hút học sinh vào những hoạt động do giáo viên tổ
chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá những điều
mình chưa biết chứ không phải tiếp thu thụ động những tri thức
đã sắp đặt sẵn. Làm được điều này, không những giúp học sinh
“Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác để giải
toán” tốt, mà còn giúp các em học tốt các chuyên đề Toán
khác. Từ đó, học sinh khá giỏi có thể tự giải được các bài toán
khó dễ dàng, còn các học sinh trung bình và yếu cũng có thể
giải thành công nhiều dạng toán khác nhau từ dễ đến khó, nhờ
vậy tỷ lệ học sinh khá giỏi trong học Toán không ngừng được
nâng cao, đáp ứng được yêu cầu của nền giáo dục hiện nay : Đổi
mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực với nội dung chủ
yếu là phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
Với sáng kiến kinh nghiệm nhỏ bé này, bản thân hy vọng
được chia sẻ với tất cả đồng nghiệp gần xa trong công tác giảng
dạy môn Toán nói chung và chuyên đề “ Vận dụng tính chất
đường phân giác trong tam giác để giải toán” nói riêng.
Bên cạnh đó, bản thân xin có một số kiến nghò như sau:
- Các ban ngành chức năng hữu quan nên tổ chức các diễn
đàn để các giáo viên có thể trao đổi , bàn bạc tìm ra các phương
pháp giảng dạy toán cho học sinh một cách tốt nhất.
-Khi dạy các chủ đề tự chọn môn toán, chúng ta nên thiết
kế các bài tập xâu chuỗi , hệ thống các bài toán từ dễ đến khó
để học sinh hiểu sâu, nhớ lâu từng dạng toán và có thể nâng cao
tư duy trong giải toán cho các em.
- Để đạt kết quả cao, ngoài phương pháp dạy tốt thì giáo
viên phải thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu và có đầy đủ
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong

Sáng kiến kinh nghiệm (2010-2011) 14
phương tiện dạy học. Hiện nay đồ dùng dạy học môn hình học
và sách tham khảo thiếu nhiều. Kính mong cấp trên trang bò
thêm để giáo viên có đủ phương tiện dạy học.
Do trình độ và khả năng bản thân còn nhiều hạn chế, nên
sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất
mong nhận được sự góp ý, chỉ giáo của quý cấp và các đồng
nghiệp gần xa.
Xin chân thành cảm ơn!


TP Phan Rang TC, ngày 06 tháng 4
năm 2011
NHẬN XÉT CỦA HĐKH NGƯỜI VIẾT

Nguyễn Thò
Dung
Người viết: Nguyễn Thò Dung Trường THCS Lê Hồng Phong