skkn sáng kiến kinh nghiệm giải phương trình vô tỉ thcs yên lạc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (386.68 KB, 38 trang )
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Mục Lục:
!"#$%
&#!&'()!(*+,-%.
$/!0.1
2!&'!33!34$
5!&'!3!678-2
%890:;!<=>!?(0==@!<=5.
:ABCDCEF.$
GHI$$$
ABJBKLCMNOP$2
-Các từ viết tắt:
sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN)
- Điều kiện xác định: (ĐKXĐ)
1
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ .
CQRSCTJAMUCVWCABJXCYRZ[\V]B^_`VaJSB[L_BWL
bBBc[dL^eMcRACfLe^C]PVgCQMJbBBOBe`XCh
PYRAC_BLLeVaVF[Bc[dLCijCJkLCQ
RSCTMaBMaBRl[mJAV_BCFMAnbBVMMcCPo[JLS
CQMCmBo[pBRACCBgCfLe
7qBJP]BrABCPCQRSCT[sn[[BOBBctF
BWLAe[sC[fuvJLeKCfLeCPo[MWMfwP`JBP]CRA^
C]P:c[]Vs`[[rABCPBOBCQRSCTCb[sMxCCP
[[NyCBo[^BBpBCPh[[[j!=8
Sáng kiến kinh nghiệm ''Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương
trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi
học sinh giỏi lớp 9 và học sinh ôn thi vào THPT đối với hoc sinh trường
THCS Yên Lạc.
Trong SKKN này đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải
phương trình vô tỉ:
NÂNG LUỸ THỪA
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn:
$ ĐẶT ẨN PHỤ
2 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
5 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
% SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
P[LecVWMqBMUC[sfABWLrABCD[Po[^B
CzJLeK.
SBeRo8GGAe^{MJ]B[Pr]Vo[BWLVBWLrE|[RABY
[[r][OMDCcMRwV}[\CPo[~L[[CQRSCT
7x[ftVa[_•jCBWL`[LecVWNSCNpBn^B
^sC=YCSBMPDVF[nXNB€Vss~LXrLCi[[Ce
[SRA[[•Mo[^BVg[LecVWAe[APACBK‚
7oBVssƒB„BRWfL[e•fP…MBJ[PM
Tôi xin cảm ơn!
2
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHẦN II- NỘI DUNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
* PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
GH!<=
†
‡ ˆ 4
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ 4
‡ ˆ ‡ ˆ
≥
= ⇔ ≥
=
†
‡ ˆ 4
‡ ˆ ‡ ˆ
‡ ˆ ‡ ˆ
≥
= ⇔
=
$†
‡ ˆ 4
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ 4
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ
≥
+ = ⇔ ≥
+ + =
2†
‰
‡ ˆ 4
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ 4 ‡ ˆ
‡ ˆ ‡ ˆ
≥
= ⇔ ≥ ∈
=
5†
‰
‡ ˆ 4
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ
‡ ˆ ‡ ˆ
≥
= ⇔ ∈
=
%†
‰
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ
+ +
= ⇔ = ∈
.†
‰
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ
+
+
= ⇔ = ∈
Š
:6I
Bài 1:BOBCQ
ƒ ƒ + = −
‡ˆ
!‡ˆ⇔
ƒ 4 ƒ
ƒ
ƒ $
ƒ ‡ƒ ˆ ƒ $ƒ 4
− ≥ ≥
≥
⇔ ⇔
=
+ = − − =
$
⇔ =
Bài 2:BOBCQ
$ 4 − + =
![s
$ 4 − + =
$ ⇔ + =
4
$
4
$ 4
4
$
$
≥
⇔
+ =
≥
⇔
− − =
≥
⇔ ⇔ =
= −
=
Bài 3:BOBCQ
2 + − − = −
![s
2 + − − = −
2 ⇔ + = − + −
3
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
4
4
2 ‡ ˆ‡ ˆ
− ≥
⇔ − ≥
+ = − + − + − −
$
≤
⇔
+ = − +
4
‡ ˆ $
≤
⇔ + ≥
+ = − +
4
4
. 4
.
−
≤ ≤
−
≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ =
=
+ =
= −
Bài 4:BOBCQ
$ 2 4 − − − =
!G
4
2 4
− ≥
⇔ ≥
− ≥
‡ˆ
( )
( )
$ ‡ ˆ‡ ˆ 4
$ 4
4
‡ˆ
.
$ 4
1
⇔ − − − + =
⇔ − − + =
=
− =
⇔ ⇔
−
=
− + =
G€CF‡ˆRA‡ˆCVF[ƒ‹
Bài 5.BOBCQ
$ $ − = +
HD:N
4 $≤ ≤
NBVsCVa[PCV
$
$ $ 4 + + − =
$
$
4 4
$ $ $ $
−
⇔ + = ⇔ =
÷
Bài 6.BOBCQ^L
$ 1 2 + = − −
HD:N
$ ≥ −
CQCV
( )
$ $
$ 1
5 1.
$ $
Œ
=
+ + =
+ + = ⇔ ⇔
− −
=
+ + = −
Bài 7.BOBCQ^L
( ) ( )
$
$
$ 1 $ $ + + = + +
HD:C
( )
$
$ $
$ 4 ⇔ + − = ⇔ =
Bài 8.BOBRArBKJLDCQ
ƒ 2 ƒ M− = −
![s
ƒ 2 ƒ M− = −
⇔
ƒ M ƒ M
ƒ 2 ƒ 2ƒM M Mƒ ‡M 2ˆ 4
≥ ≥
⇔
− = − + − + =
•€LM‹4CQRSBKM
•€LMŽ4
M 2
ƒ
M
+
=
BWLNBKVg[sBKMƒ•M⇔
M 2
M
+
•M
4
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
•€LM‘4M
•2•M
⇔M
’2⇔
4 M < ≤
•€LM“4M
•2’M
⇔M
•2⇔M’•
sMJ]B
•€LM’•Px[4“M’CQ[sMUCBKM
M 2
ƒ
M
+
=
•€L•“M’4Px[M‘CQRSBKM
Bài 9.BOBRArBKJLDCQR”BMJACM^_
! −=− $
"#$%&'()!$*+++,
![s
ƒ M ƒ M
ƒ $ ƒ M
ƒ $ ƒ M Mƒ Mƒ ‡M $ˆ 4
≥ ≥
− = − ⇔ ⇔
− = + − − + =
•€LM‹4CQRSBKM
•€LMŽ4
M $
ƒ
M
+
=
BWLNBKVg[sBKMƒ•M⇔
M $
M
M
+
≥
•€LM‘4M
•$•M
⇔M
’$⇔
4 M $≤ ≤
•€LM“4M
•$’M
⇔M
•$⇔M’
$−
sMJ]B
• €L
4 M $≤ ≤
Px[
M $≤ −
CQ [s MUC BKM
M $
ƒ
M
+
=
•€L
$ M 4− < ≤
Px[
M $>
CQRSBKM
Bài 10.BOBRArBKJLDC•PCM^_MCQ
ƒ ƒ M M− = −
!BWLNBKĥ4
•€LM“4CQRSBKM
•€LM‹4CQChCA
ƒ‡ ƒ ˆ 4− =
⇒[sBBKMƒ
‹4`ƒ
‹
•€LM‘4CQVa[PCVR”B
‡ ƒ Mˆ‡ ƒ M ˆ 4− + − =
ƒ M 4
ƒ M
− =
⇔
= −
•€L4“M’CQ[sBBKMƒ
‹M•ƒ
‹
‡ Mˆ−
•€LM‘CQ[sMUCBKMƒ‹M
III-Bài tập áp dụng:
Bài 1:BOB[[CQ^L
†
$ + − =
†
$ $2 $ $ + − − =
2†
2 + + = +
5†
ƒ $ 5 ƒ + = − −
.†
ƒ ƒ ƒ 2 ƒ 1 4− − − − + + =
Π
5 4 − − =
4†
5 4
− + =
†
1
$ $
%
− + =
$†
% . Œ $ + = −
2†
$ $ + + − =
5
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 2BOBCQ
ˆ
− = −
rˆ
$ 4 − + =
fˆ
$ % $ + + − =
•ˆ
$ $ − + − =
ˆ
1 5 2 + = − +
ˆ
$ 2 $ + − + = +
Bài 3QMMVgCQ^L[sBKM
$ ! − + − = + −
Bài 4=PCQ
!− − =
ˆ BOBCQNBM‹
rˆ QMMVgCQ[sBKM
Bài 5=PCQ
$ ! !+ − = −
ˆ BOBCQNBM‹$
rˆ ”BBCZAP[\MCQCQ[sBKM
Bài 6: BOB[[CQ^L
†
. $ 1 4 − − − =
f†
1
$ .
− − − + − = −
r†
− =
•†
5 $
$ 1 . 2
$
− − − + − = −
[†
$ . 2 4 − + =
–ˆ
‡ $ˆ 4 + − = − −
PHƯƠNG PHÁP 2:ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:
8„fu—V˜Cd[^L
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ‡ ˆ 4ˆ
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ˆ
‡ ˆ ‡ ˆ ‡ ‡ ˆ 4ˆ
= ≥
= ⇔ = ⇔
= − <
II-BÀI TẬP:
Bài 1: BOBCQ
ƒ 2ƒ 2 ƒ Œ− + + =
‡ˆ
!‡ˆ⇔
‡ƒ ˆ Œ ƒ− = −
⇔™ƒ•™‹Œ•ƒ
•€Lƒ“‡ˆ⇒•ƒ‹Œ•ƒ‡RSBKMˆ
•€Lƒ
≥
‡ˆ⇒ƒ•‹Œ•ƒ⇔ƒ‹5‡CPOMaˆDeƒ‹5
Bài 2: BOBCQ
ƒ ƒ ƒ 4 % ƒ ƒ ƒ + + + + + − + = + − +
‡ˆ
! ‡ˆ⇔
ƒ 4
ƒ ƒ ƒ $ ƒ 1 ƒ ƒ
+ ≥
+ + + + + + − + + = + − + +
⇔
ƒ
ƒ ™ ƒ $ ™ ™ ƒ ™
≥ −
+ + + + − = + −
‡‰ˆ
xC e ‹
ƒ +
‡e • 4ˆ ⇒ CQ‡‰ˆ Va [P Ch CA
e ™ e $™ ™ e ™+ + − = −
•€L4’e“e••$•e‹•e⇔e‹•‡JP]Bˆ
•€L’e’$e••$•e‹e•⇔e‹$
6
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
•€Le‘$e••e•$‹e•‡RSBKMˆ
”Be‹$⇔ƒ•‹1⇔ƒ‹Œ‡CPOMaˆDeƒ‹Œ
Bài 3:BOBCQ
5 $ 5 . − + − + + + − =
!G
5
≥
5 5 5 % 5 1 2 ⇔ − + − + + − + − + =
5 5 $ 2 ⇔ − + + − + =
5 5⇔ − =
5
⇔ =
‡POMaˆDeƒ‹5
Bài 4:BOBCQ
+ − + − − =
!G
≥
C
⇔ − + − + + − − − + =
⇔ − + + − − =
€L
>
C
⇔ − + + − − =
⇔ =
‡P]Bˆ
€L
≤
C
⇔ − + + − − =
4 4⇔ =
‡LSVYR”B
∀
ˆ
DeCDBKM[\CQJA
{ }
™ / = ∈ ≤ ≤
III-Bài tập áp dụng:
BOB[[CQ^L
†
5 + + =
†
2 2 $ − + =
$†
% 1 − + = −
2†
2 2 5 + + = +
5†
2 2 2 − + + + + =
%†
2 2 4 − + − − + =
.†
% 1 Œ Œ
− + + + + = − +
Π
2 2 % 1 − + + − + =
1†
+ − + − − =
4†
$ 2 2 2 − − − + − − =
†
% %
+ − + + + − + =
†
5 $ 5 .
− + − + + + − =
$†
5 4 + − + + − =
2†
2525%2
=−−−+−++
5†
2 2 4 − + + =
%†
Œ − + + =
.†
2
+ + + + =
Π
45%
2
=−−++
1†
$
+
+ − + − − =
4†
2 2 − + = −
†
‡ ˆ 2 2 % 1
− + − − + − − − + =
†
Œ % 2 + − − =
PHƯƠNG PHÁP 3:ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
_BR”BBWLCQRSRSCš`VgBOB[YC[sCgVxC
( )
=
RA[YXVBWLNBK[\
€LCQrVLChCACQ
7
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
[dMUCrB€
~LCoC[sCgBOBVF[CQVsC•P
CQ
RBK[VxCuƒ•M›PACPAœ
Bài 1. BOBCQ
− − + + − =
HD:Điều kiện
≥
DĥC
− − + − =
xC
= − −
CQCQ[sf]
+ = ⇔ =
eRAPCQMVF[
=
Bài 2. BOBCQ
% 2 5 − − = +
HD:BWLNBK
2
5
≥ −
xC
2 5‡ 4ˆ = + ≥
CQ
5
2
−
=
eRAPC[sCQ^L
2
2
4 5 %
‡ 5ˆ Œ . 4
% 2
− +
− − − = ⇔ − − + =
‡ .ˆ‡ ˆ 4 ⇔ + − − − =
CQMVF[r_BKMJA
` $`2
• $ = − ± = ±
P
4
≥
c[šD[[BCZ
$
` $ = − + = +
iVsCQMVF[[[BKM[\CQJ
$ vaø = − = +
01[sCgrQBR€[\CQR”BVBWLNBK
% 4 − − ≥
VF[
‡ $ˆ ‡ ˆ 4 − − − =
`CiVsCCQMVF[BKMCd
BOjCJACVxC
$ 2 52 − = +
RAVRWKV_Bƒd‡Xem
phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)
Bài 3. BOBCQ^L
5 % + + − =
!BWLNBK
%≤ ≤
xC
‡ 4ˆ2 2= − ≥
CQCQChCA
2
5 5 4 4 42 2 2 2 2+ + = ⇔ − − + =
‡R”B
5ˆ2 ≤
‡ 2ˆ‡ 5ˆ 42 2 2 2⇔ + − − − =
.
`
(loaïi)2 2
+ − +
⇔ = =
iVsCCQMVF[[[BCZ[\
.
−
=
Bài 4 BOBCQ^L
( )
(
)
442 = + − −
HD:G
4 ≤ ≤
xC
2 = −
CQCQChCA
( )
( )
44 4 42 2 2 2 − + − = ⇔ = ⇔ =
8
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 5.BOBCQ^L
$
+ − = +
HD:BWLNBK
4− ≤ <
=B[OBR€[PƒCDVF[
$
+ − = +
xC
= −
`CBOBVF[
Bài 6.BOBCQ
2 $
+ − = +
!
4 =
NSOBJABKM`=B[OBR€[PƒCVF[
$
− + − =
÷
xCC‹
$
−
`[s
$
4 + − = ⇔
5
±
= ⇔ =
Bài 7.BOBCQ
$ Π. . + + + + + =
!xCe‹
. . + +
•
42 ≥
CQ[sf]$e
•e5‹4
5
$
2
2
−
=
⇔
=
2⇔ =
”Be‹
. . ⇔ + + =
%
= −
⇔
= −
ABKM[\CQVa[P
Nhận xét_BR”B[[VxCžuCc[YC[šBOB~Le€CVF[
MUCJ”rABVBO`VSBNBCQV_BR”B
J]B~LNsBOB
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
=YCVarB€C[[BOBCQ
43 3
α β
+ + =
‡ˆr—[[
Ÿ•C
4
≠
CQChCA
4
3 3
α β
+ + =
÷ ÷
4 =
C„Cz[CB€
=[CbF^L[ VRWVF[‡ˆ
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 67 5 7 + =
3 !3
α β
+ = +
=YCaeCe[[rBgLCd[#‡ƒˆ`:‡ƒˆrhB[[rBgLCd[RSCšCQ^{
DVF[CQRSCšC•Pf]Ae
a) . Phương trình dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 6 7 5 7 + =
RDeCQ
( ) ( )
8 9
α
=
[sCgBOBr—Cc
€L
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
9 5 7
8 45 67
=
= +
ŸLjCCCiV˜Cd[
( )
( )
$
+ = + − +
9
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
( ) ( ) ( )
2 2
+ + = + + − = + + − +
( ) ( )
2
+ = − + + +
( ) ( )
2
2 + = − + + +
!aeC]PnCQRSCšf]CcR|fu
2
2 2 − + = +
g[sMUCCQV}`[YCOB[oK^_`r`[^P[P
CQrD[B
44 6 + − =
BOB›BKMV}œ
Bài 1. BOBCQ
( )
$
5 + = +
HD:xC
$
‡ 4ˆ • ‡ ˆ
3 3 = + ≥ = − + ≥
CQChCA
( )
5
3
3 3
3
=
+ = ⇔
=
QMVF[
5 $.
±
=
Bài 2.BOBCQ
2
$
$
$
− + = − + +
‡‰ˆ
!¡Cje
( ) ( ) ( )
2 2
+ + = + + − = + + − +
RB€C
( ) ( ) ( ) ( )
$
α β
+ + + − + = − + + − +
¢jCR€CBR”B‡‰ˆCVF[
( ) ( ) ( ) ( )
$ % $ − + + + − + = − + + − +
xC
$ $
•
2 2
3 3
= + + ≥ = − + ≥
÷ ÷
CQChCA$L•%R‹
$ 3
$3
⇒ =
iVkeC^{CQMVF[ƒ
Bài 3:BOBCQ^L
$
5 . + − = −
‡‰ˆ
!N
≥
Dƒ•CRB€C
( )
( )
( )
( )
.
α β
− + + + = − + +
¢jCR€CBR”B‡‰ˆCVF[
( ) ( ) ( )
( )
$ . − + + + = − + +
xC
4` 43 = − ≥ = + + >
`CVF[
1
$ .
2
3
3 3
3
=
+ = ⇔
=
VF[
2 % = ±
Bài 4.BOBCQ
( )
$
$
$ % 4 − + + − =
!DĥCxC
2 = +
CrB€CCcRWCQCLjCrD[
$V_BR”BƒRAe
10
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
$ $ $ $
$ % 4 $ 4
2
2 2 2
2
=
− + − = ⇔ − + = ⇔
= −
C[sBKM
` $ = = −
Bài 5:BOBCQ
( )
$
4 $ + = +
!G
≥ −
C
4 $‡ ˆ ⇔ + − + = +
xC
‡ ` 4ˆ
3
3
= +
≥
= − +
CQChCA4LR‹$‡L
•R
ˆ
⇔
( ) ( )
$ $ 43 3 − − =
$
$
3
3
=
⇔
=
€LL‹$R
$ 1 4 Œ 4 ⇔ + = − + ⇔ − + =
‡RSBKMˆ
€LR‹$L
5 $$
$ 4 Π4
5 $$
= −
⇔ − + = + ⇔ − − = ⇔
= +
JABKM
b).Phương trình dạng :
3 !3
α β
+ = +
CQ[Phf]AeCbNs›CBK›f]Cc`
€LCrQBR€CQVRWVF[f]Cc
Bài 1. BOBCQ
2
$ + − = − +
!VxC
( )
` 4•
3
3 3
=
≥ ≥
= −
NBVsCQChCA
$3 3 + = −
e‡L•Rˆ‡LRˆ‹
( ) ( )
3 3 + −
Bài 2.BOBCQ^L
$ 2 + + − = + +
!N
≥
:QR€C[s
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ − = + ⇔ + − = + − −
[sCgVxC
3
= +
= −
NBVsC[sK
5
5
3
3 3
3
−
=
= − ⇔
+
=
P
` 43 ≥
( )
5 5
3
+ +
= ⇔ + = −
Bài 3.BOBCQ
5 2 1 4 5 − + − − − = +
!N
5 ≥
=LegR€rQCVF[
( )
( )
5 5 4 − + = − − +
11
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Nhận xét : GSC¢C]B^_
`
α β
Vg
( )
( )
5 4
α β
− + = − − + +
RDeCNSCgVxC
4
3
= − −
= +
MeM•C[s
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4 2 5 2 2 5 − − + = + − + = + − −
RB€CJ]BCQ
( )
( )
2 5 $ 2 5 ‡ 2 5ˆ‡ 2ˆ − − + + = − − +
€
VkerABCPVF[BOB~Le€C
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
inCQC|[
( ) ( )
4 + − + − + =
`
( ) ( )
$ $ 4 + − + − + =
GBCBgRAYCoC^{VF[nCQRSCšNSCMCb
[YCAP`VUNs[\CQf]AeuCLU[RAPCQC|[
MACƒLjCC
iVs[YCM”BVBCQM[[BOBCQf]Ae
BOBVF[CgBK~L[[R|fu^L
Bài 1.BOBCQ
(
)
$ + − + = + +
!xC
= +
•
≥
`C[s
( )
$
$ $ 4
=
− + − + = ⇔
= −
Bài 2BOBCQ
( )
$ + − + = +
!xC
$` = − + ≥
GBVsCQChC
( )
+ = +
( )
4 ⇔ + − + =
:keBbCCcMr”C`VgVF[CQrD[C•PC[s
∆
[£
( ) ( ) ( ) ( )
$ 4 4
=
− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔
= −
Bài 3:BOBCQ
( )
$ $ + + = + +
!xC
• = + ≥
CQChCAC
‡ƒ•$ˆC•$ƒ‹4
⇔
‡Cƒˆ‡C$ˆ‹4
$
=
⇔
=
€LC‹ƒ
⇔ + =
‡SJXˆ
€LC‹$
$ ⇔ + = ⇔ = ±
De
= ±
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
ŸLjCCCiMUC^_K›V]B^_›V}[YC[sCgC]PVF[n
CQRSCšMANBBOBs[YCJ]BVxCBWLžuRACQMM_B
~LKBn[[žuVgVRWK
12
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
ŸLjCCCiV˜Cd[
( ) ( ) ( ) ( )
$
$ $ $
$4 6 4 6 4 6 6 4+ + = + + + + + +
`[s
( ) ( ) ( ) ( )
$
$ $ $
44 6 4 6 4 6 4 6 + + = + + ⇔ + + + =
iDƒ•CAeC[sCgC]PnCQRSCš[s[d[¤rD[
r
$ $
$
. Œ Œ + − − − + − + =
$ $ $ $
$ 5 1 2 $ 4 + + − + − − − =
Bài 1. BOBCQ
$ $ 5 5 = − − + − − + − −
!G
≤
xC
• 4
$ •
5 • $
3 3
: :
= − ≥
= − ≥
= − ≥
`C[s
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
$ $
5
5
3 3 :
3 3 : :3
3 : :3 3 :
: 3 : :3
: 3 :
+ + =
− = + +
− = + + ⇔ + + =
− = + +
+ + =
`BOBKCVF[
$4 $1
%4 4
3 = ⇔ =
Bài 2.BOBCQ^L
$ $ − + − − = + + + − +
!VxC
$
$
4
6
;
= −
= − −
= + +
= − +
`NBVsC[s
4 6 ;
4 6 ;
+ = +
⇔ = −
− = −
Bài 3. BOB[[CQ^L
2 5 1 $ + + − − + = −
!xC
( )
2 5
• 4
4
4 6
6
= + +
≥
= − +
VF[KCQ
2 1 $
1 $
4 6
4 6
− = −
− = −
iVsC[s
2r
‹r
⇔
‡rˆ‡•rˆ‹4
4 6
4 6
=
⇔
= −
€L‹r
2 5
$
⇔ + + = − + ⇔ =
‡CPOMaˆ
€L‹r
2 5 ⇔ + + = − − +
‡‰ˆ
[s‡‰ˆ
4≥
‡ˆ
‡‰ˆ‹
$
$ 4
2
− − + = − − + ≤ − <
÷
‡ˆ
i‡ˆRA‡ˆ^LeCQ‡‰ˆRSBKM
13
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
DeCQVa[P[sBKMfLejC
$
=
Bài tập áp dụng:
BOB[[CQ^L
( ) ( ) ( )
$
$
2
2
2
2
+ − + − = − + + −
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
xC
( ) ( )
`3
α β
= =
RACQMM_B~LKBn
( )
α
RA
( )
β
CiVsCQM
VF[KC•PL`R
Bài 1. BOBCQ
(
)
$ $
$ $
$5 $5 $4 − + − =
!xC
$
$ $ $
$5 $52 2= − ⇒ + =
GBVsCQ[LegRWKCQ^L
$ $
‡ ˆ $4
$5
2 2
2
+ =
+ =
`BOBK
AeCCQMVF[
‡ • ˆ ‡•$ˆ ‡$•ˆ 2 = =
d[JABKM[\CQJA
¥•$¦ ∈
Bài 2. BOBCQ
2
2
− − + =
!BWLNBK
4 ≤ ≤ −
xC
2
2
4 `4
3
3
− − =
⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −
=
VRWKCQ^L
2
2
2
2
2
3
3
3
= −
+ =
⇔
+ = −
− + = −
÷
BOBCQCd
2
‡ ˆ 4
+ − + =
÷
`CiVsCQM
¢BCe
RAPCQMBKM[\CQ
Bài 3. BOBCQ^L
5 % + + − =
!BWLNBK
≥
xC
` 5 ‡ 4` 5ˆ4 6 4 6= − = + − ≥ ≥
CQCVRWKCQ
^L
5
‡ ˆ‡ ˆ 4 4
5
4 6
4 6 4 6 4 6 4 6
6 4
+ =
⇒ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −
− =
De
.
5 5
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ =
Bài 4. BOBCQ
% % Œ
$
5 5
− +
+ =
− +
14
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
!BWLNBK
5 5− < <
xC
( )
5 ` 5 4 ` 43 2 3 = − = − < <
GBVsCVF[KCQ
‡ ˆ 4
4
2
2 2 Œ
‡ ˆ
‡ ˆ
$
$
3 3
3
3
3
3
3
+ = +
+ =
⇔
+ − =
− − + + =
÷
Bài 5. BOBCQ
Π%1
22
=++−
!G
%1
− ≤ ≤
xC
2
2
%1
‡ • 4ˆ
3
3
= −
≥
= +
.4%`Œ
22
=+=+⇒ 33
xCC‹LR
=
=
⇔
=+−⇒
$
5
4%15Œ
”BC‹5
⇒
ƒ‹2
”BC‹$
⇒
ƒ‹52Œ
Bài 6. BOBCQ
$ $
$ + − + + + =
‡ˆ
!”BVBWLNBK
$ $
4 4 + − ≥ ⇒ + + >
xC
$
$
3
= + −
= + +
”BR‘L•4
CQ‡ˆChCAL•R‹$
[sKCQ
$
$
$
$
$
$
$ $
‡ ˆ‡ ˆ $
2
3
3
3 3 3
3 3 3
+ =
− =
+ = + = =
⇔ ⇔ ⇔
+ − = − = =
+ − =
⇔
+ + =
+ − =
⇔
+ + =
$
4
‡ ˆ‡ ˆ 4
‡ 4 ˆ
;
⇔ + − =
⇔ − + + =
⇔ = + + > ∀
DeCQVa[P[sCDBKMJA8‹¥¦
Bài 7. BOBCQ
$
−=−
15
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
!BWLNBK
4
4
4
4
− ≤ ≤
− ≥
⇔ ⇔ ≤ ≤
≥
≥
‡‰ˆ
”BVBWLNBK‡‰ˆ`VxC
3 =
•
−=
$
`R”BL•4`
$
≤
[s
=
−
−=−
2
$
3
PfsC[sK
( )
( )
2 2
2
$
$
$
$
$
$
% %5
2
4
1 Œ
1
$
Π12
Œ
3
3
3
3
3
3
3 3 3 3 3
3
3
3 3
3 3
3
3
3
+ =
+ =
⇔
+ =
− =
+ =
+ =
⇔ ⇔
+ − = + − − =
+ =
+ =
⇔ ⇔
− − =
− − =
÷
+ =
−
=
⇔
+ =
5
Π12
Œ
3
+
=
⇒
LRARJABKM[\CQ
=
+
+−
=
−
+−
ˆ‡4
Œ
12Œ
$
ˆ‡4
Œ
12Œ
$
622
422
• ‡rˆRSBKM
• ‡ˆ[sBKM
$
$
1.
•
$
1.
−+
=
−−
= 22
PVs
=
=
∨
=
=
2
23
2
23
16
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
QL•4cC[o
$
$
1.
−+
== 23
$
$
1.
−+
=⇒
$
$
1.
−+
=⇒
DeCQVa[P[sBKMfLejC
$
1.
1
−+=
Bài 8. BOBCQ
25%25Œ
22
=−++
!”BVBWLNBK
≤≤−⇔
≤
−≥
⇔
≥−
≥+
5
%2
5
Œ
5
%2
5
Œ
45%2
45Œ
‡‰ˆ
xC
22
5%2`5Œ 3 −=+=
`R”BL•4`R•4
8Le
−=
+=
3
5%2
5Œ
2
2
CQVa[PCVR”BK
( )
≥≥
=−+
=+
⇔
≥≥
=+
=+
4`4
Œˆ‡
2
4`4
Œ
2
22
33
3
3
3
xC#‹L•RRA‹LR`C[s
( )
≥
=∨=
=
⇔
≥
=+−
=
⇒
≥≥
=−−
=
4
1$
2
4
4Œ.$
2
4`4
Œ
2
9
99
9
9(
9
99
‡ˆ ”B8‹2`‹$
LRARJABKM[\CQ
2 $ 4
$
2
2 2
2
=
− + = ⇔
=
PVsC[s
=
=
∨
=
=
$
$
3
3
8Le
2 2
2 2
Π5 Π5 $
%2 5 $ %2 5
+ = + =
∨
− = − =
Œ 5 Œ 5 Œ
%2 5 Π%2 5
+ = + =
⇔ ∨
− = − =
17
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
5
%$
5
.
=∨−=⇔
CPOMa‡‰ˆ
‡ˆ ”B8‹2`‹1
⇒
NSC¢C]BLRAR
DeCQVa[P[sBKMJA
.
5
%$
5
= −
=
5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
aeVBCQML¢_[[\nrABCPBOBCQr—[[
VRWKV_BƒdJP]B
ƒ•CMUCKCQV_BƒdJP]B^L
( )
( )
‡ˆ
‡ˆ
2
2
+ = +
+ = +
RBK[BOBKAeCQVBO
:keBbC^{rB€KCACQr—[[VxC
( )
2 =
^P[P
‡ˆJLSVY`
2 = + −
`NBVsC[sCQ
( )
‡ ˆ + = + − + ⇔ + = +
DeVgBOBCQ
+ = +
CVxCJ]BCcRAVRWK
:—[[CCzƒ•CKCE~LCf]rD[
( )
( )
42 6
2 4 6
α β
α β
+ = +
+ = +
`C^{
ƒkefzVF[CQf]^LVxC
2 4 6
α β
+ = +
`NBVsC[s
CQ
( )
4
4 6 6
β
α β
α α
+ = + + −
Cz[PrD[[P
( )
4
4 6 6
β
α β
α α
+ = + + −
sMJ]BCQCb[Pf”Bf]NBCBgCOBRB€CRWf]
( )
§ §
( 4 6
α β γ
+ = + +
VxC
2 4 6
α β
+ = +
VgVRWK`[YXRWfjL
[\
α
¨¨¨
BK[[o
•
α β
CSCb[YC[š[RB€Cf”Bf]
( )
§ §
( 4 6
α β γ
+ = + +
JA[oVF[
Bài 1: BOBCQ
− = −
!BWLNBK
≥
[sCQVF[RB€CJ]BJA
‡ ˆ − − = −
xC
2 − = −
CQCVRWK^L
‡ ˆ
‡ ˆ
2
2 2
− = −
− = −
iBR€[\CQCVF[
‡ ˆ‡ ˆ 4 2 2− + =
BOBCCQMVF[BKM[\CQJA
= +
Cách 2:xC
4− = +
4 4
⇒ − = + +
18
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
=o‹CVF[C
C‹ƒ
N€CFR”BVLrABC[sKCQ
− = −
− = −
BOBKAeC^{CQMVF[ƒ
Bài 2. BOBCQ
% 2 5 − − = +
!BWLNBK
5
2
≥ −
rB€VEBCQ^L
2 2 5 ‡ $ˆ 2 5 − − = + ⇔ − = + +
xC
$ 2 52 − = +
CVF[KCQ^L
‡ $ˆ 2 5
‡ ˆ‡ ˆ 4
‡ $ˆ 2 5
2
2 2
2
− = +
⇒ − + − =
− = +
”B
$ 2 5 $ 2 = ⇒ − = + ⇒ = +
”B
4 2 5 2 2 + − = ⇔ = − ⇔ − − = +
‡RSBKMˆ
G€CJLDBKM[\CQJA
$ = +
Bài 3:BOBCQ
5 5 − + =
!G
5 ≥ −
C
5 5 • 5 ⇔ − = + ≥
‡‰ˆ
xC
5 5 4 4 4+ = + ⇔ + = + +
=o‹4CVF[C
5‹ƒRAN€CFR”B‡‰ˆCVF[KCQ
5
5
− =
− =
CiVkeC^{CQMVF[BKM
Bài 4:BOBCQ.ƒ
•.ƒ‹
2 1
‡ 4ˆ
Œ
+
>
!xC
2 1
Œ
4
+
= +
2 1
Œ
4 4
+
⇒ = + +
=o
4 =
CVF[
2 1
. .
Π2
+
= + + ⇒ + = +
G€CFR”BVLrABCVF[KCQ
. .
. .
+ = +
+ = +
BOBKCQCcCCQMVF[BKM
Bài tập áp dụng:
BOBCQ
2 + + = +
PHƯƠNG PHÁP 4:PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:
19
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
=PBrU^_‡`rˆ`‡ƒ`eˆCQC[s‡ƒ•reˆ
‡ ˆ‡ ˆ4 6 2≤ + +
jL©©‹ªªƒOe
4 6
2
⇔ =
2.Bất đẳng thức côsi:
ˆ”BB^_`r
≥
4CQC[s
4 6
46
+
≥
jL©©‹ªªƒOe
4 6⇔ =
rˆ”Br^_`r`[
≥
4CQC[s
$
$
4 6
46
+ +
≥
jL©©‹ªªƒOe
4 6⇔ =
‹[
[ˆ”Br_^_`r`[`f
≥
4CQC[s
2
2
4 6 ;
46;
+ + +
≥
jL©©‹ªªƒOe
4 6⇔ =
‹[‹f
•ˆ”B^_
`
`Š`
≥
4CQC[s
4 4 4
4 4 4
+ + +
≥
jL©©‹ªªƒOe
4 4 4⇔ = = =
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
†#‹M•–
‡ƒˆ
≥
M
5 !
<5 !
⇒ ≥
⇒ =
jL§§‹§§ƒOe
⇔
–‡ƒˆ‹4
r†#‹7
‡ƒˆ
≤
7
ƒ
5 <
< 5 <
⇒ ≤
⇒ =
jL§§‹§§ƒOe
⇔
‡ƒˆ‹4
4. Dùng hằng đẳng thức :
inVBrQ
45 7+ ≥
`CƒkefzCQ
f]
45 7+ =
iCQ
( ) ( )
5 1 5 4 − − + − − + − =
CNBCBg[sCQ
( )
2 2 5 1 5 + + − = − + −
5. Dùng bất đẳng thức
7UC^_CQVF[C]PCifjLr—[\rjCV˜Cd[
‡ˆ
‡ˆ
5 !
7 !
≥
≤
€LfjLr—h‡ˆRA‡ˆ[tV]CVF[C]B
4
CQ
4
JABKM[\
CQ
5 7=
[s
+ + − ≤
jLr—NBRA[šNB
4 =
RA
+ + ≥
+
`fjLr—NBRA[šNBƒ‹4DeC[sCQ
44Œ 44Œ
− + + = + +
+
20
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
SBNBMUC^_CQVF[C]PCiXCh
( )
‡ ˆ
5
7
≥
≤
NBVs
( )
( )
5
5 7
7
=
= ⇔
=
€LCVPC”[VF[BKMCQRBK[ftrjCV˜Cd[f¡fA
`[sBWLrABBKMJARSCšRBK[VPBKMNSVF[`C
RlftrjCV˜Cd[VgVBVF[
II-BÀI TẬP:
Bài 1.BOBCQ
1
+ = +
+
!N
4 ≥
[s
( )
1
+ ≤ + + + = +
÷ ÷
+
+ +
jLr—
.
⇔ = ⇔ =
+ +
Bài 2.BOBCQ
2 2
$ 1 % − + + =
!N
− ≤ ≤
:B€VEBCC[s
(
)
$ 1 5% − + + =
3furjCV˜Cd[:LB[PƒNB
(
)
( )
( ) ( )
$ $ $ $ $ $ . $ $ $ $ 24 % 4
− + + ≤ + − + + = −
3furjCV˜Cd[=S^B
( )
%
4 % 4 %2
− ≤ =
÷
jLr—
5
$
4 % 4
5
=
+
− =
⇔ ⇔
= −
= −
Bài 3.BOBCQ
$«
2
$ Œ 24 Œ 2 2 4 − − + − + =
![dMB
2
Œ 2 2 $ + ≤ +
RA
( ) ( )
$
$ Œ 24 4 $ $ $ − − + ≥ ⇔ − + ≥ +
Bài 4:BOBCQ
. 5 $Œ − + − = − +
![s
‹‡
. 5 − + −
ˆ
≤
‡•ˆ‡.ƒ•ƒ5ˆ‹2
c4“
≤
7xCN[‹ƒ
ƒ•$Œ‹•‡ƒ%ˆ
≥
•PBOCB€CfjL§§‹§§ƒOeNBRA[šNBƒ‹%
Deƒ‹%JABKMfLejC[\CQVa[P
Bài 5:BOBCQ
$ − + − + + =
!G
[ ]
• ‡ˆ ∈
21
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
$ ‡ˆ ⇔ − + − = − +
i‡ˆC[s
4
‡$ˆ
− + ≥
⇔ + ≤
⇔ + ≤
⇔ ≤
i‡ˆRA‡$ˆ[sƒ‹C€RAP‡ˆCPOMaDeƒ‹
Bài 6:BOBCQ
ƒ 2ƒ
ƒ
2ƒ
−
+ =
−
!BWLNBK
ƒ
2
>
3furjCV˜Cd[[S^BC[s
ƒ 2ƒ ƒ 2ƒ
ƒ ƒ
2ƒ 2ƒ
− −
+ ≥ × =
− −
•PBOCB€CfjLr—ƒOeNBRA[šNB
ƒ 2ƒ
ƒ
2ƒ
−
=
−
ƒ 2ƒ 4
‡ƒ ˆ $
ƒ $
⇔ − + =
⇔ − =
⇔ = ±
jL›‹œƒOe⇔
ƒ 2ƒ ƒ 2ƒ 4= − ⇔ − + =
⇔
ƒ 2ƒ 2 $ 4 ‡ƒ ˆ $ ƒ $ ƒ $− + − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
‡POMaˆ
De
$ = ±
Bài 7:BOBCQ
ƒ 5ƒ $ƒ − − − = −
!=[VBWLNBKĥ
”Bƒ•CQ€CB
ƒ 5ƒ − < −
⇒R€CBJLSkM
€OB
$ƒ −
•⇒R€OBJLSf
DeCQVa[PRSBKM
=[”Bƒ•`C[s
ƒ 5ƒ $ƒ − = − + −
⇔
ƒ Œƒ $ ‡5ƒ ˆ‡$ƒ ˆ− = − + − −
⇔
.ƒ ‡5ƒ ˆ‡$ƒ ˆ− = − −
€CBJLSJAMUC^_kMR”Bƒ•`R€OBfR”Bƒ•⇒CQ
RSBKM
Bài 8:BOBCQ
$ƒ %ƒ . 5ƒ 4ƒ 2 2 ƒ ƒ+ + + + + = − −
‡ˆ
![s‡ˆ⇔
2 1
$ ƒ ƒ 5 ƒ ƒ ‡ƒ ƒ ˆ 5
$ 5
+ + + + + + + = − + + +
÷ ÷
⇔
$‡ƒ ˆ 2 5‡ƒ ˆ 1 5 ‡ƒ ˆ+ + + + + = − +
[s€CB•
2 1 $ 5+ = + =
jL›‹œƒOe⇔ƒ‹•
€OB’5jL›‹œƒOe⇔ƒ‹•
DeCQVa[P[sMUCBKMƒ‹•
22
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
Bài 9:BOBCQ
ƒ .
Œ ƒ ƒ
ƒ
+
+ = + −
+
!VBWLNBKĥ
¡Cjeƒ‹JAMUCBKM[\CQ
•€L
ƒ
≤ <
‹
%
ΠΠ$
ƒ
+ + < +
+
7A‘
Π$+
•€Lƒ‘‹ƒ
•
ƒ −
‘
•
$
‹
Π$+
“
Π$+
ƒ ƒ
% %
$
ƒ
> ⇒ + > +
+ < + =
+ +
DeCQVa[P[sMUCBKMfLejCJAƒ‹
Bài 10:BOBCQ
% Œ
%
$ ƒ ƒ
+ =
− −
!Gƒ“:—[[C„`CCjeƒ‹
$
JABKM[\CQ
[[dMBVsJABKMfLejCDCRDe”Bƒ“
$
%
$ ƒ
<
−
RA
Œ
2
ƒ
<
−
⇒
% Œ
%
$ ƒ ƒ
+ <
− −
CzR”B
$
“ƒ“
% Œ
%
$ ƒ ƒ
+ >
− −
Bài 11:QMBKMLecf[\CQ
( )
2 2
$ $2
2 5
− +
+ + + ×××+ =
+
− +
!G
2 ≤
‡ˆ
[s
2 5
− = −
+
− +
2 2 ⇔ − = −
‡‰ˆ
[s‡‰ˆ‹
2 4 2 − ≥ ⇒ ≥
‡ˆ
i‡ˆRA‡ˆC[sƒ‹2JABKMfLejC
III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:BOB[[CQ^L
− +
− + + = +
+ −
2
− + − = − +
÷
2 2 2
Œ 2 2 2 2 + = + + −
2 $$
% 5 % 2 + = +
$«
2
$ Œ 24 Œ 2 2 4 − − + − + =
$ $ 2
Œ %2 Œ Œ + + − = − +
2 2 2
Œ + − + − − = +
$ 5 Œ Œ − + − = − +
Bài 2:BOB[[CQ^L
†
ƒ• %ƒ‹ ƒ Œƒ•2
†
2 % 4 . − + − = − +
$†
% % $ − + + = − +
2†
2 $ − + + =
23
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
8„fu[[C|[jC[\AM^_VgBOBCQJAf]CPN~L•
CLU[
[s$”fu^LVke
Hướng 1z[BKC•P[[r”[
7=>*=LegCQRWf]
‡ ˆ 0=
7=>,Ÿ•CAM^_
‡ ˆ2 =
7=>?DĥC
• ”B
4 4
‡ ˆ ‡ ˆ 0= ⇔ = =
fPVs
4
JABKM
• ”B
4 4
‡ ˆ ‡ ˆ 0> ⇔ > =
fPVsCQRSBKM
• ”B
4 4
‡ ˆ ‡ ˆ 0< ⇔ < =
fPVsCQRSBKM
• De
4
JABKMfLejC[\CQ
Hướng 2z[BKC•P[[r”[
7=>*=LegCQRWf]
‡ ˆ ‡ ˆ =
7=>,tJDJLDN˜VZ—
‡ ˆ
RA‡ƒˆ[snC|[jCCB
F[LRAƒ[VZ
4
^P[P
4 4
‡ ˆ ‡ ˆ =
7=>?De
4
JABKMfLejC[\CQ
Hướng 3z[BKC•P[[r”[
7=>*=LegCQRWf]
‡ ˆ ‡ ˆ 3 =
7=>,Ÿ•CAM^_
‡ ˆ2 =
`ftJDJLDN˜VZAM^_VVBKL
7=>?GBVs
‡ ˆ ‡ ˆ 3 3 = ⇔ =
Ví dụ: BOBCQ
( )
(
)
(
)
2 2 2 $ 1 $ 4 + + + + + + + =
!C
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
$ $ $ $ $ ⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −
Ÿ•CAM^_
( )
(
)
$ = + +
`JAAMV¢rB€Cc(`C[s
5
= −
Ví Dụ 2:BOBCQ
$ $ $
% $ 4 + + + + + =
!DCjeƒ‹JAMUCBKM[\CQ
xC
( )
$ $ $
% $ = + + + + +
”B
( ) ( )
< ⇒ <
RDeAM^_–‡ƒˆV¢rB€Cc(
Deƒ‹JABKMfLejC[\CQ
Bài tập áp dụng:
BOBCQ
ˆ
2 2
− + − =
[ˆ
$
− = + −
•ˆ
$
− + + =
rˆ
$
2 5
− = − − +
fˆ
$
= − + −
–ˆ
$ 2
− + + = −
PHƯƠNG PHÁP 6:
24
Sáng kiến kinh nghiệm về giải phương trình vô tỉ
SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
7UC^_CQRSCšC[sCgžMVF[BKM
4
RDe
CQJLSVRWVF[f]C|[
( )
( )
4
4 5 − =
C[sCgBOB
CQ
( )
45 =
Px[[dMB
( )
45 =
RSBKM`@AB#3
0C4!C4(=DEFBG4HGBI4
( )
45 =
J!
:ABBOBCQ
( ) ( )
+ + − =
‡ˆ
!=G
• ≤ − ≥
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
$
− − −
⇔ =
− − +
−
⇔ =
− − +
€Lƒ
≥
C[s
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
$
$
$
−
− − + =
−
⇒ − = +
− + + =
BOB‡$ˆCCQMVF[ƒ
€Lƒ
≤
C[s
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
$
$
2
− − + =
⇒ − = − +
− + + = −
BOB‡2ˆCCQMVF[ƒ
=G
• ≤ − ≥
€Lƒ
≥
C[B[OBR€[P
CVF[
( ) ( )
+ + − =
:QBR€^LVsBOBCQCCQMVF[ƒ
€Lƒ
≤
xCC‹ƒ
⇒ ≥
eRAPCQCVF[
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
− − + + − − − = −
⇔ − + + =
=B[OBR€[P
CVF[
( ) ( )
− + + =
:QBR€CQMVF[C
8LVsCQMƒ
P=CVa^„fuNB€Cd[JBcF=mCP=CRDfuNB€
Cd[MBWƒ[VZRWž[\CQQ[LCQRBK[RDfu
C•P=VBO
Bài 2 .BOBCQ^L
( )
$ 5 $ $ 2 − + − − = − − − − +
HD:
DCje
( ) ( )
( )
$ 5 $ $ $ − + − − − = − −
R
( ) ( )
( )
$ 2 $ − − − + = −
25
