Kinh nghiem Giai Phuong Trinh vo ty (SKKN 2012) NQHoan

sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều





Sáng kiến kinh nghiệm:
kinh nghiệm giảI
ph-ơng trình vô tỷ




Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ : Toán





Hà Nội, 5 / 2012
sở giáo dục và đào tạo hà nội
Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều

Sáng kiến kinh nghiệm:
kinh nghiệm giảI
ph-ơng trình vô tỷ






Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn
Tổ : Toán




Hà Nội, 5 / 2012

mở đầu

Giải ph-ơng trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều
học sinh kể cả học sinh đ-ợc cho là khá giỏi nhiều khi còn lúng túng tr-ớc việc
giải một ph-ơng trình; trong đó có ph-ơng trình chứa căn thức đ-ợc coi là khó
hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Kinh nghiệm giải ph-ơng trình vô tỷ để làm
sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp
học sinh có thêm những kỹ năng cần thiết để giải ph-ơng trình chứa căn thức nói
riêng và các dạng ph-ơng trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn đây là tài
liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến môn toán.

Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong
ch-ơng trình Toán bậc THPT hiện hành. Một phần sáng kiến kinh nghiệm này

có thể sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi
chuyển sang bất ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay
hơn. Do đó ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào
nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc.

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 ph-ơng pháp giải toán
th-ờng gặp.

, 
H 1

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Kinh nghiÖm gi¶i ph-¬ng tr×nh v« tû

Bài toán mở đầu

2
2
1 1 (*)
3
x x x x    

 
Giải
 0 
x
 1
* Cách 1:
 
 
 

 
2
(*)
2
2
22
22
22
2
2
2
2
2
11
3
44
1 2 . 1 1
39
4 6 0
2 2 3 0
x0
3
x
2
0
1
4 4 9
0
1
4 4 9 0

0
1
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x

     


         
    
    























  








0, 1xx

trình có hai 
0, 1xx
.

* Cách 2:

2
xx

x
và
1 x

 
2
2
1 1 2x x x x    



1t x x  
,
12t


, 
H 2


2
2
1
2
t

xx

  
.

2
1
1
3
t
t



2
1 3 3tt   

2
3 2 0tt   

1
2
t
t







2t 
, 
1t 
, có
2
0
1 1 2 0
1
x
x x x x
x


      




0, 1xx


0, 1xx
.

* Cách 3:
:
x
và
1 x


   
22
11xx  



2 . 1 3 1 3 3x x x x    

33
1
23
x
x
x

  

(
9
4
x 
vì thay
9
4
x 


tx
, nên

33
1
23
t
x
t




L
   
22
11xx  
, nên
2
2
33
1
23
t
t
t







 
2 2 2 2
4 12 9 9 18 9 4 12 9t t t t t t t        

4 3 2
4 12 14 6 0t t t t    

 
32
2 6 7 3 0t t t t    

 
 
2
1 2 4 3 0t t t t    

0
1
t
t







0
1
x

x







0, 1xx


0, 1xx
.

* Cách 4:
êm cách khác

ax
,
1bx
,
0, 0ab


22
2
1
3
1
ab a b

ab

  






 
 
2
3 2a 3 (1)
2a 1 (2)
b a b
a b b
  




  




, 
H 3

Thay (1) vào (2) có

   
2
3 3 1a b a b    



   
2
3 2 0a b a b     

1
2
ab
ab








1ab
, có
.0ab

0
1
1
0

a
b
a
b



















0
1
x
x









2ab
, có
3
.
2
ab
, 
,ab
(Vì
2
3
4 2 4. 6
2
  
)
0, 1xx


0, 1xx
.
 .

* Cách 5:

   

22
11xx  

22
sin cos 1aa

Ta có thêm cách sau:

sin , 0
2
x a a

  


22
2
1 sin . 1 sin sin 1 sin
3
a a a a    

3 2sin .cos 3sin 3cos a a a a   
(Vì
cos 0a 
)
   
2
sin cos 3 sin cos 2 0a a a a     

sin cos 1

sin +cos 2
aa
aa







sin cos 1aa  

2
2sin . os 2sin 0
2 2 2
a a a
c  

sin os sin 0
2 2 2
a a a
c

  



sin 0
2
tan 1

2
a
a










2
sin 2sin os 0
22
2tan
2
sin 1
1 tan
2
aa
ac
a
a
a














0
1
x
x







0, 1xx

 
0, 1xx
.

              
 
 
vào  .

, 
H 4


 

Bài toán 1: 
1)
17 1 3xx  
(1)
2)
3 3 3 2xx    
(2)
3)
23
5 2 1 1x x x x x     
(3)
4)
2 2 2
1 3 2 8 7x x x x x      
(4)
5)
3 3 3
12 12 2 3x x x   
(5)
6)
2
22xx  
. (6)

Bài toán 2: Tìm m 
2
22x mx m  
(I), .
Bài toán 3: Tìm m 
22x m x  
(II), 

Bài toán 4: 
1)
2 5 2 2 7 3x x x x     
(1)
2)
3 3 1 2 2 2x x x x     
(2)
3)
3
2
1
11
x
x x x x
x

     
(3)
4)
33
11
4 1 1

1 4 1
xx
xx
xx

    

(4)
5)
3 3 3 3
3 5 2 1 2 6x x x x     
. (5)
Giải
Bài toán 1
1) : 

1
1 3 0
3
xx   
. hai hai 
:
 
2
17 1 3xx  

1
3
x 
. Do v


17 0x 
.
 
(1)
2
1 3 0
17 1 3
x
xx





  



2
1
3
17 1 6 9
x
x x x







   


2
1
3
9 7 16 0
x
xx






  


1
3
1
16
9
x
x
x

















1x  

 
1x 
.

, 
H 5

Chú ý: 
( ) ( )f x g x

2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
gx

f x g x
f x g x








17tx

t
 0.

2) 
31x  

(2)
3 2 3 3xx    

   
22
3 2 3 3xx    

3 4 3 4 3 3x x x      

31xx    

 

2
10
31
x
xx
  




   



2
1
3 2 1
x
x x x




   


2
1
20
x

xx




  


1
1
2
x
x
x













2x  



2x 
.

3)
 
(3)
2
23
10
5 2 1 1
x
x x x x x





     



3
1
2 1 1 3
x
x x x






   



32
1
1 3 0
2 1 (1 3 )
x
x
x x x



  


   


32
1
1
3
2 1 1 6 9
x
x x x x

  





    


32
1
1
3
9 8 0
x
x x x

  




  


 
2
1
1
3
9 8 0
x

x x x

  




  


1
1
3
0
1
8
x
x
x
x

  



















0x


0x 
.

Chú ý:
Trong bài này t
23
3
5 2 1 0
2 1 0
x x x x
xx

    


  



.


, 
H 6

4) 
1
7
1
x
x
x









   
(4)
22
2 2 2
1 3 2 8 7x x x x x       

2 2 2 2 2

1 3 2 2. 1. 3 2 8 7x x x x x x x x           

     
2
2 1 1 . 1 2 5 6x x x x x x        

       
2
2 1 1 2 1 6x x x x x      

 
 
   
2 2 2
2
16
4 1 2 1 6
x
x x x x x
  




     



 
 

2
22
16
1 4 4 8 12 36 0
x
x x x x x
  




      



2
16
1
3 16 44 0
x
x
xx
  









  



16
1
2
22
3
x
x
x
x
  






















1
2
x
x







1, 2xx  


1, 2xx  
.

Chú ý : 
        
(4)
1 1 1 2 1 7x x x x x x        

* T1:
1x 

 (4)
* 
1x 
, 
1 2 7x x x    

   
22
1 2 7x x x     

1 2 1 2 2 7x x x x x        

2
2 2 6x x x    

 
 
2
2
60
4 2 6
x
x x x





   




2
6
3 16 44 0
x
xx




  



, 
H 7

6
2
22
3
x
x
x

















2x

2x 
, 
* 
7x 
, 
        
1 1 1 2 1 7x x x x x x           

1 2 7x x x       

   
22
1 2 7x x x       

1 2 1 2 2 7x x x x x          

2 1 2 6 0x x x      

(Vì
2 1 2 6 0, 7x x x x        
).

1, 2xx  
.

: 
ab a b


ab a b
khi
0a 
và
0b 

Còn
ab a b  
khi
0a 
và
0b 
.

5)
   
(5)
33

3 3 3
12 12 2 3x x x    

 
 
3 3 3 3
12 12 2 3 3 12 12. 2 3. 12 12 2 3x x x x x x x          

 
 
3 3 3 3
12 12. 2 3. 12 12 2 3 3 1x x x x x       

 
33
3
12 1 . 2 3. 3( 1) (5*)x x x x    

    
3
12 1 2 3 27 1x x x x    

 
   
22
1 4 2 3 9 2 +1 0x x x x x

     


 
 
2
1 6 9 0x x x     

2
10
6 9 0
x
xx




   


1
3
x
x







Thay
1, 3xx

vào p

1, 3xx
.

Chú ý : , (5*) là  
trình (5).  
(5) .

, 
H 8


3
33
  

hai 

   
3
33
3aa b a b b a b    
.

6) 
2x 

(6)
2

11
( 2) 2
44
x x x x       

22
11
2
22
xx
   
    
   
   

11
2 (6.1)
22
11
2 (6.2)
22
xx
xx

   




    




(6.1)
2xx  

2
0
2
x
xx







2
0
20
x
xx




  


0
1
2
x
x
x













2x

(6.2)
21xx    

 
2
10
21
x
xx

  




   



2
1
2 2 1
x
x x x




   


2
1
10
x
xx





  


1
15
2
x
x










15
2
x



hai 
2x 
,
15
2
x



.
Chú ý: 
( ) ( )f x g x
hai
 
1x 
,
2x 
) và tìm
.

.


Bài toán 2
*) 
0m 
 
*) 
0m 
thì:
()
22
0
22
I
m
x mx m





  


22
0
2 2 0 (I*)
m
x mx m




   



22
' 2 0mm    

1
1
m
m








1m

0m 
)
 
1m 
.



, 
H 9

Bài toán 3
 
()
2
20
22
II
x
x m x






  



2
2
2 4 4
x
x m x x




   


2
2
2 4 (II*)
x
x x m




  




2
( ) 2 4f x x x  
,


2;x    

thiên

x




2




()fx




4 

3


2x 

hai  3 <
m
 4.

Bài toán 4
1)  0 
x

7
3

   
(1)
22
2 5 2 2 7 3x x x x      

2 5 2 2 2. 5 2 2 7 3 2 2 . 7 3x x x x x x x x           

2. 5 2 2 . 7 3x x x x    

    
2 5 2 2 7 3x x x x    

22
2 10 6 14x x x x      

2
4 13 10 0xx   

2
5
4
x
x








ình có hai 
5
4
x 
,
2x 
.

Chú ý: 
2 5 2 2 7 3x x x x     


( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x  
, 
( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x  

   : tì          

hai .

2) 
0x 

(2)
3 2 2 +2 3 1x x x x     


, 
H 10

   
22
3 2 2 +2 3 1 (2*)x x x x     

+3+4 4 3. 2 +2+3 1 2 2 2. 3 1x x x x x x x x       

2 . 3 2 2. 3 1x x x x    

4 ( 3) (2 2)(3 1)x x x x    

22
4 12 6 8 2x x x x    

2
2 4 2 0xx   

 
2

2 1 0x  

1x

Thay
1x 
vào  

1x 
.

Chú ý:

3 4 2 2 3 1x x x x     

 
không.
 trên là
( ) ( ) ( ) ( )f x g x k x h x  
, 
( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x k x  


( ) ( ) ( ) ( )f x h x k x g x  
, sau
.

3) 
0x 

 
2
3
(3)
2
2
1
11
x
x x x x
x


      




3
3 2 3
1
2 1 1 1 2 1
x
x x x x x x
x

          

3
2

1
2
x
xx
x

   

3 2 3
1 2xx x x    

 
2
10x  

1x


1x 
.

Chú ý:

3
2
1
. 1. 1
x
x x x x
x


   

0x 

 là
( ) ( ) ( ) ( )f x g x k x h x  
, 
( ). ( ) ( ). ( )f x g x h x k x

              
hai .

, 
H 11

4) 
1x 

33
(4)
11
4 +1 1
4 1 1
xx
xx
xx

    


22
33
11
4 1 1
4 1 1
xx
xx
xx
   

     
   
   

   

33
33
11
4 1 2 1 1 2 1
4 1 1
xx
x x x x
xx

         


   

33
11
4 +1 1 0
4 1 1
xx
xx
xx

     


 
  
32
1 4 3 1
3 2 0
4 1 1
x x x
x
xx

    
  




 
 
32

3 2 4 3 +2 0x x x x    

  
 
2
3 2 2 2 1 0x x x x     

2
3
2
12
12
x
x
x
x















2

12
x
x







1x 
)
Thay
2x 
,
12x 
vào ng trình 
 có hai 
2x 
,
12x 
.

Chú ý:

33
11

4 1. . 1
4 1 1
xx
xx
xx

  


 
3
1x 

sau ó quy 
 
1 4 1xx  
, c
hng
trình:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x  
. Trong ó:
( ). ( ) ( ). ( )f x h x k x g x

ng trình:
( ) ( ) ( ) ( )f x h x k x g x  

Sau ó bình ph

5)
   

(5)
33
3 3 3 3
3 5 2 1 2 6x x x x      


, 
H 12

33
3
33
3
3 5 3 (3 5).( 3 5)
2 1 2 6 3 (2 1)(2 6)( 2 1 2 6)
x x x x x x
x x x x x x
      
         
 
  
 
3 3 3 3
3
3
(3 5) 3 5 2 1 2 6 2 1 2 6x x x x x x x x         

 
  
 

3 3 3 3
3
3
(3 5) 2 1 2 6 2 1 2 6 2 1 2 6x x x x x x x x          
(5*)
  
3
3
(3 5) 2 1 2 6x x x x    

(Vì:
33
2 6 2 1 2 6 2 1 0x x x x       
)
(3 5) (2 1)(2 6)x x x x    

22
3 5 4 10 6x x x x    

2
5 6 0xx   

1
6
x
x








Thay
6x 
,
1x 
vào ph
ng trình có hai 
6x 
,
1x 
.

Chú ý: Phng pháp t 
phng trình ng 

 
33
35xx
 
tìm 
5
2
x 
nhng trình (5).



Bài 1: ng trình

1)
3 2 2
2x x x x   
2)
42
3 2 1x x x   

3)
42
1 1 2x x x   
4)
3
1 1 2x x x   

5)
4 2 2
2 5 3 1x x x   
6)
42
11x x x   

7)
2 1 2 2x x x   
8)
32
1 1 2x x x   

9)
23
2 4 3 4x x x x   

10)
22
1 5 8 4x x x x    

11)
4 3 10 3 2xx   
(HSG Quèc Gia 2000)
12)
22
1 5 8 4x x x x    
13)
3 4 3 3xx   

14)
22x x x   
15)
22
1 1 2x x x x     

16)
22
1 1 2x x x x     
17)
21
65
12
xx
xx





18)
22
4 12 6 2x x x x x      
19)
22
2 2 1 1x x x    


, 
H 13

20)
22
2 2 1 1x x x x     
21)
1 3 2 3 3 2x x x    

22)
3 3 2 4 2x x x    
23)
2 3 3x x x   

24)
22
2 1 2 1 2 9x x x x     
25)
33
1 1 1xx    

26)
2
2 3 5 2 4 16 15 1x x x x       

27)
2
2 1 2 1x x x x      
28)
2
1 2 1 2 2x x x    

29)
3 2 5 3 3 5 2x x x x      

30)
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x

      


31)
2 2 2

8 15 2 15 4 18 18x x x x x x       

32)
22
2 8 6 1 2 2x x x x     
(H BK HN 2001).

Bài 2: Tìm
m
ng trình:
2
2 3 1x mx x   
.

Bài 3: Tìm
m
ng trình:
22
24x mx x  
có ng.

, 
H 14

Phng pháp 2: Phng pháp 

I. Bài toán 1: 
   
0af x b f x c  
,

0a 

Phng pháp chung là 
 
t f x
,
0t 

1) Cho phng trình:
     
1 3 6 1 5 0x x x x m      
(1)
a) 
0m 

b) Tìm
m
.
2) ng trình:
2
2 8 2 8x x x x     
(2).
II. Bài toán 2:

           
.0a f x g x b f x g x c f x g x d

     






0abc 
)
Phng pháp chung là 
   
t f x g x

1) Cho phng trình:
2
1x x x x m    
(3)
a) 
1m 

b) Tìm
m
.
2) Cho phng trình:
2
2 1 2 2 2x x x x x m       
(4)
a) 
11m 

b) Tìm
m
.
3) ng trình:

 
33
33
35 35 30x x x x   
(5).
III. Bài toán 3: 
ng trình:
1)
32
3 1 2 4x x x  
(6) (HSG Toán 10, NGT 2007)
2)
 
3
32
3 2 2 6 0x x x x    
(7)
3)
22
2 2 1 3 4 1x x x x x     
(8)
4)
22
5 14 9 20 5 1x x x x x      
(9)
IV. Bài toán 4: 
       
. . . 0af x b g x f x c h x  
,
0abc 

ng trình:
1)
 
22
1 2 3 1x x x x    
(10)
2)
2
4 1 1 3 2 1 1x x x x      
(11)
3)
2
2 2 4 4 2 9 16x x x    
(12).



I. Bài toán 1:
1) 
1
5
x
x






, 
H 15

 
1
22
4 6. 4 5 3 0x x x x m       


2
45t x x  
,
0t 


22
45t x x   

Ph
2
5 6 3 0t t m    

2
68t t m    
(1.1)
a)
0m 
:
(1.1)

2
6 8 0tt   

2
4
t
t







2 2 2
22
2
2 13
4 5 2 4 5 4 4 9 0
7
4 5 16 4 21 0
4 5 4
3
x
x x x x x x
x
x x x x
xx
x


  

        


     



     

  






0m 
, ph
7x 
,
3x 
,
2 13x   
.
b) Ph

Ph
0t 


 
2
68f t t t   

 
0;t  











 
1ft
,
0t


1m 
.

2) 
2

8
8 2 0
x
xx



  


 
 
(2)
2
2
2
2
2
22
2 8 8 2
2 8 8 2
2 8 2 2. 8 8 2
10 2 10 16 8 0
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
      
      
         

      


2
10 16t x x  
,
0t 

22
10 16t x x   

Ph
2
16 2 8 0tt   

2
4
2 8 0
2
t
tt
t


    




2t 


t

0
3
8
1


 
ft

, 
H 16

4t 
, có
2
10 16 4xx  
22
0
10 16 16 10 0
10
x
x x x x
x


       





Thay
10x 
vào 
2
8 2 0xx  


10x 
.

Chú ý: ây tôi chng trình
2
8 2 0xx  
.

II. Bài toán 2:
1) 
01x


1t x x  
, 
11t  

 
2
2

1
1 2 . 1 1
2
t
t x x x x x x

        

2
(3)
2
1
2 1 2
2
t
t m t t m

      
(3*)
a)
1m 
,
(3*)
2
1
2 3 0
3
t
tt
t



    




3t 

1t 
, nên
1 1 1 1x x x x      

1 1 2 1x x x     

 
2 1 2 1 0xx    

1x
(vì
10x
,
 
0;1x
)

1m 
ph
1x 
.

b) Ph
11t  


 
2
21f t t t  

11t  




















 

22ft   
,
 
1;1t  

Do ó:
2 2 1
2 2 1
mm
mm




   



1m 
,
1m 
thì ph.

2) 
2x 


12t x x   
,
3t 

t

1
1
2
2

 
ft

, 
H 17

2
2
2
1 2 2 1. 2
1
2
2
t x x x x
t
x x x
       

    

2
(4)

2
1
2 4 1 2
2
t
t m t t m

      
(4*)
a)
11m 
,
(4*)
22
4 1 22 4 21 0t t t t       

7
3
t
t







7t 

3t 

, nên
2
1 2 3 2 1 2 2 9x x x x x         

2
25x x x    

22
50
55
3
9 27 3
2 25 10
x
xx
x
xx
x x x x




    
  

    





11m 
ph
3x 
.
b) Ph    

Ph      
3t 


 
2
41f t t t  
,
3t 














 

4 4 3ft  
;
3t

Do ó:
2 4 4 3 2 2 3mm    


2 2 3m 
thì ph.

3) 
3
3
35t x x  

 
3 3 3 3 3
33
35 3 35 . 35t x x x x x x       

3
3
3
35
35
3
t
xx
t


  
(5*)
Ph
3
3
35
. 30 125 5
3
t
t t t
t

    

Thay
5t 
vào (5*) có:
t

 
ft
2
3

4 4 3


, 
H 18

 
3 3 3 3 6 3
35 6 35 216 35 216 0x x x x x x        

3
3
82
3
27
xx
x
x











Thay
2x 
,
3x 
vào phng trình ban 
ng trình có hai 

2x 
,
3x 
.

Chú ý: 
3
3
35yx
và ng trình 
       


III. Bài toán 3:

1) 
1x 


 
 
22
2 4 2 1 2 1x x x x x     


1ax
,
2
1b x x  
,

0a 
,
3
2
b 
.
Phthành:
2 2 2 2
3 2 2 2 3 2 0ab b a a ab b     

2
2
2 3 2 0
1
2
a
aa
b
a
bb
b



   
    

   
   






2
a
b


2
22
1
2 1 2 1
2
1 4 4 5 3 0
a
b a x x x
b
x x x x x
       
        

5 37
2
x



 ph
5 37

2
x


.
2) 
2x 


2x 
ng trình

2, 0y x y  

Ph
 
 
3
3
3 2 2 2 0x x x x    

3 2 3
3 2 0x xy y   

32
3 2 0 1 2 0
x x x x x
y y y y y

       

        

       
       




, 
H 19

1
1
2
2
x
yx
y
x
yx
y


















yx
, có:
22
00
2
2 2 0
xx
xx
x x x x


   

    


0
2
1
2
x
x

x
x



  










1
2
yx
, có:
1
2
2
xx  

 
2
2
0
0

0
2 2 3
42
4 8 0
2 2 3
x
x
x
x
xx
xx
x







     
  

  






 ph

2x 
,
2 2 3x 
.

3) 
1
2
x 


 
 
22
3 4 1 3 2 2 1x x x x x     


1
2
x 
ng trình

2
2a x x
,
21bx
,
0a 
,
0b 

Ph
22
3a b a b  

2 2 2 2 2 2
2 3 2 2 2 0a b ab a b a ab b        

2
10
aa
bb

   



15
2
15
2
a
b
a
b














15
2
a
b




   
2
15
2 1 5 2 2 1 5 2 1
2
a
a b x x x
b

        

 
 
 

 
 
2
2
2
4 2 6 2 5 2 1
4 4 1 5 6 2 5 0
2 1 5 0
x x x
xx
x
    
     

   



15
2
x




, 
H 20

y ph
15

2
x


.

4) 
5x 

(9)
22
2 2 2
5 14 9 20 5 1
5 14 9 20 25 25 10 1 20
x x x x x
x x x x x x x x
       
           

   
 
 
 
 
2
22
2 5 2 5 1 4 5
2 4 5 3 4 5 4 5 4
x x x x x
x x x x x x

      
        


2
45a x x  
,
4bx
,
0a 
,
3b 

2
(9)
22
1
2 3 5 2 5 3 0
3 2 3
2
a
ab
aa
b
a b ab
a a b
bb
b






   
        

   


   







ab
, có:
22
4 5 4 4 5 4x x x x x x        

2
5 9 0xx   

5 61
2
5 61
2
x

x












5 61
2
x


, 

2
2 3 2 4 5 3 4a b x x x     

2
4 16 20 9 36x x x    

2
4 25 56 0xx   

8

7
4
x
x








8x 
, 
ng trình có hai 
8x 
,
5 61
2
x


.

Chú ý: Ta g trên vì
 
 
22
2 5 2 2 4 5 3 4x x x x x      

và:
 
 
     
 
22
1 20 1 4 5 4 4 5x x x x x x x x x          
.

IV. Bài toán 4:

1)
 
 
(10)
22
2 3 1 2 3 2 2 0x x x x x x         


2
23t x x  
,
2t 


, 
H 21

Ta có:
 

2
1 2 2 0t x t x    

 
2
22
2 1 8 8 6 9 3x x x x x x          

(10)
2
1
t
tx








2,t 
có
2
23xx
= 2
22
2 3 4 2 1 0 1 2x x x x x          



1,tx
có
2
2 3 1:x x x   
ph
(vì:
2 2 2
2 3 ( 1) 2 ( 1) 1 1x x x x x x          
)
 ph
12x 
.

2) 
11x  

(11)
4 1 2( 1) (1 ) 2 1 1 . 1x x x x x x          


1 , 0t x t  

 
(11)
2
2
2
(11)
4 1 2( 1) 2 1 .
(2 1 ) 4 1 2 2 0

4 4 1 1 16 1 8 8 4 12 1 9(1 ) 2 3 1
21
21
x x t t x t
t x t x x
x x x x x x x
tx
tx
       
        
                 




  



2 1 ,tx
có:
1 2 1 1 4 4x x x x      

3
53
5
xx     


21tx  

, có:
1 2 1xx   

1 1 2xx    

2
1 1 2 1 4x x x      

2
11x  

2
11x  

0x

 ph
3
,0
5
xx  
.

Chú ý:
Bài toán này ta tách:
3 2(1 ) (1 ) 1x x x    
    
theo
t
có


ng

3) 
22x  

(12)
2
2 2 2 2 2
4(2 4) 16(2 ) 16 2 4. 2 9 16
16 2(4 ) 8 32 9 4(8 2 ) 16 8 2 8 0
x x x x x
x x x x x x x
        
           


2
2 8 2 , 0t x t  


, 
H 22

(12)
22
8 8 0
8
tx
t t x x

tx


     

  



,tx
có:
2
2 8 2xx

2 2 2
0
00
42
4(8 2 ) 9 32
3
x
xx
x x x
x





  

  
  





42
3
x


8,tx  
có:
2
2 8 2 8xx   

2
2 8 2 8 0xx    
ng trình không có 
 
2;2x

 ph
42
3
x 
.




1)
1
( 2) ( 1)( 2) 6
1
x
x x x
x

    


2)
2
1 4 1 3x x x x     

3)
52
2 5 2 2
2
x
x x x
x

   

4)
2
2 1 2 1x x x x x       

5)
22
22
2
1 5 1
20
12
1
x x x
x x x
x


    






6)
23
2 5 1 7 1x x x   

7)
2 2 2
( 6 11). 1 2( 4 7) 2x x x x x x x       

8)
3 2 2

(3 2) 1 2 2x x x x     

9)
2 4 2
1
3 1 1
3
x x x x

    

10)
23
2( 3 2) 3 8x x x   
.