chuyên đề bất đẳng thức lượng giác

Mục lục
1

Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Lời mở đầu
Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một
trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này
khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc
giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng
giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả
giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời
sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề
của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán.
Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm,
người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học
sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những
sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng
dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng
dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh
hoạt để tự giải được các bài tập Toán.
Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài
giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số
bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung
học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề
cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến
phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất
thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với
phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những
kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài.
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48

Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng
cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài
giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện
tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác.
Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được
sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này
ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và
một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta
biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức
Brahmagupta’s.
Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh
trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân
chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ
thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác
Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức
lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng
giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng
giác hơn nữa
Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5
xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác.
Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá
nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 3 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.
Hà Nội, ngày 19/5/2007
Sinh viên :Nguyễn Thị Thu

Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 4 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1:
Biến đổi lượng giác
Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận
dụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biến
đổi cơ bản. Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để học
sinh luyện tập tốt các công thức lượng giác. Sự luyện tập này rất cần thiết
để học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trong
các bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập:
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
§2:Công thức cộng cung
§3: Hàm số lượng giác của những góc bội
§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
§5: Sử dụng định lý Viet bậc 3
Bài tập
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
5
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48

Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
1) sin
2
α + cos
2
α =1 ∀α
2) 1+tg
2
α =

1
cos
2
α
3) 1+cotg
2
α =
1
sin
2
α
Biết sin α + cos α = m. Hãy tính theo m các biểu thức sau:
A = sin
3
α + cos
3
α
B = sin
7
α + cos
7
α
A = sin
3
α + cos
3
α
Từ giả thiết suy ra: m
2
= (sin α + cos α)

2
= 1 + 2 sin α. cos α
⇒ sin α. cos α =
m
2
− 1
2
Ta có A = (sin α + cos α)
3
− 3 sin α. cos α(sin
2
α + cos
2
α)
⇒ A = m
2
− 3(
m
2
− 1
2
)
B = sin
7
α + cos
7
α
⇒ B = (sin
3
α + cos

3
α)(sin
4
α + cos
4
α) − sin
3
α. cos
3
α(sin α + cos α)
Ta có sin
4
α + cos
4
α = (sin
2
α + cos
2
α)
2
− 2 sin
2
α. cos
2
α
=1−2 sin
2
α. cos
2
α

Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 6 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
=1−
1
2
(m
2
− 1)
2
Vậy B =[m
3
− 3(
m
2
− 1
2
)].[1 −
1
2
(m
2
− 1)
2
] − m.(
m
2
− 1
2
)
3

*Chú ý: ∀k ∈ Z
+
sin
k
α + cos
k
α đều có thể tính theo m.
Biết rằng (sin α + cos α) hữu tỉ.
Chứng minh rằng ∀n ∈ Z
+
sin
n
α + cos
n
α cũng là hữu tỉ
Chứng minh quy nạp
Với n=1: (sin α + cos α) hữu tỉ.
Với n=2: (sin
2
α + cos
2
α)=1 hữu tỉ.
Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến n ∈ Z
+
nghĩa là: sin
n
α+cos
n
α
là hữu tỉ.

Ta chứng minh sin
n+1
α + cos
n+1
α là hữu tỉ.
Thật vậy, ta có:
sin
n+1
α + cos
n+1
= (sin
n
α + cos
n
)(sin α + cos α)−
−sin α. cos α(sin
n−1
α + cos
n−1
α)
Theo giả thiết quy nạp:
(sin α + cos α); (sin
n−1
α + cos
n−1
); (sin
n
α + cos
n
) là các số hữu tỷ

Mà sin α. cos α =
(sin α + cos α)
2
− 1
2
⇒ sin α. cos α là số hữu tỷ
Suy ra sin
n+1
α + cos
n+1
là số hữu tỷ ⇒Đpcm
Vậy sin
n
α + cos
n
α là số hữu tỉ.
Biết sin α − cos α =1. Hãy tính
A = sin
3
α + cos
4
α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 7 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Từ giả thiết: sin α − cos α =1 bình phương hai vế ta được:
sin α. cos α =0
⇔

cos α =0 ⇒ sin α =1⇒ sin
3

α + cos
4
α =1
sin α =0⇒ cos α = −1 ⇒ sin
3
α + cos
4
α =1
Vậy A=1
Biết 3 sin
4
α + 5 cos
4
α =5. Hãy tính giá trị của
B = 5 sin
4
α + 3 cos
4
α
Từ giả thiết: 3 sin
4
α + 5 cos
4
α =5
⇒ 3 sin
4
α + 5(1 − sin
2
α)
2

=5
⇒ 3 sin
4
α + 5 + 5 sin
4
α − 10 sin
2
α − 5=0
⇒ 8 sin
4
α − 10 sin
2
α =0⇒ sin
2
α(4 sin
2
α − 5) = 0
⇔


sin
2
α =
5
4
> 1(loi)
sin
2
α =0 ⇒ cos
2

α =1⇒ 5 sin
4
α + 3 cos
4
α =5.0+3.1=3
Vậy B=3
Biết
1
cos x
− tgx =2. Hãy tính giá trị của
C =
1
cos x
+ tgx
Ta có 1+tg
2
α =
1
cos
2
α
⇔
1
cos
2
α
− tg
2
α =1
⇔ (

1
cos α
− tgα)(
1
cos α
+ tgα)=1
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 8 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔ (
1
cos α
+ tgα)=
1
(
1
cos α
− tgα)
=
1
2
Ký hiệu f
k
(x)=
1
k
(sin
k
x + cos
k
x). Chứng minh

rằng:
f
4
(x) −f
6
(x)=
1
12
∀x
Ta có:
f
4
(x)=
1
4
(sin
4
x + cos
4
x)=
1
4
[(sin
2
x + cos
2
x)
2
− 2 sin
2

x cos
2
x]
⇒ f
4
(x)=
1
4
(1 −
1
2
sin
2
2x)=
1
4
−
1
8
sin
2
2x
f
6
(x)=
1
6
(sin
6
x + cos

6
x)
=
1
6
[(sin
2
x + cos
2
x)
3
− 3 sin
2
x cos
2
x(sin
2
x + cos
2
x)]
⇒ f
6
(x)=
1
6
(1 − 3 sin
2
x cos
2
x)=

1
6
−
1
8
sin
2
2x
⇒ f
4
(x) − f
6
(x)=
1
12
∀x
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 9 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§2: Công thức cộng cung
1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
2) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
3) sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
4) sin(a −b) = sin a cos b − sin b cos a
5) tg(a + b)=
tga + tgb
1 − tgatgb
6) tg(a −b)=
tga − tgb
1+tgatgb
7) cotg(a + b)=

cotga.cotgb −1
cotga + cotgb
8) cotg(a − b)=
cotga.cotgb +1
cotgb − cotga
Tính giá trị của
1) cos
π
12
2) tg
π
8
Ta có: cos
π
12
= cos (
π
4
−
π
6
) = cos
π
4
cos
π
6
+ sin
π
4

sin
π
6
=
√
6+
√
2
4
Ta có: tg
π
8
= tg(
π
4
−
π
8
)=
tg
π
4
− tg
π
8
1+tg
π
4
tg
π

8
=
1 − tg
π
8
1+tg
π
8
⇔ 1 − tg
π
8
= tg
π
8
+ tg
2
π
8
⇔ tg
2
π
8
+2tg
π
8
− 1=0
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 10 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔ (tg
π

8
+1)
2
− 2=0⇔ (tg
π
8
+1−
√
2)(tg
π
8
+1+
√
2) = 0
⇔ tg
π
8
=
√
2 − 1 hoặc tg
π
8
= −
√
2 − 1 (loại vì tg
π
8
> 0 )
Vậy tg
π

8
=
√
2 − 1
Biết rằng:



sin a + 7 sin b = 4(sin c + 2 sin d)
cos a + 7 cos b = 4(cos c + 2 cos d)
Chứng minh rằng: 2 cos(a − d) = 7 cos(b − c)
Giả thiết suy ra:



sin a − 8 sin d = 4 sin c − 7 sin b)
cos a − 8 cos d = 4 cos c −7 cos b)
Bình phương các đẳng thức trên và cộng lại ta được:
1+64− 16 cos(a − d) = 16 + 49 −56 cos(b − c)
⇔ 2 cos(a − d) = 7 cos(b −c)
Biết rằng



tg(a + b)=
√
5
tg(a − b)=
√
3

Hãy tính tg2a và tg2b ?
Ta có:
tg2a = tg[(a + b)+(a − b)] =
tg(a + b)+tg(a − b)
1 − tg (a + b)tg(a − b)
=
√
5+
√
3
1 −
√
15
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 11 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
tg2b = tg[(a + b) − (a − b)] =
tg(a + b) − tg(a − b)
1+tg(a + b)tg(a − b)
=
√
5 −
√
3
1+
√
15
Chứng minh tg1
0
là số vô tỷ
Giả sử phản chứng: tg 1

0
là số hữu tỷ
Áp dụng công thức:
tg2α =
2tgα
1 − tg
2
α
ta suy ra
tg2
0
,tg4
0
,tg8
0
,tg16
0
,tg32
0
là số hữu tỷ.
Mặt khác ta có:
tg32
0
= tg(30
0
+2
0
)=
tg30
0

+ tg2
0
1 − tg 30
0
tg2
0
=
1
√
3
+ tg2
0
1 −
1
√
3
.tg2
0
là số vô tỷ
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết tg32
0
là số hữu tỷ
Suy ra giả thiết phản chứng là sai
Vậy tg1
0
là số vô tỷ
 ABC có tgA,tgB,tgC là các số nguyên dương. Hãy
tính tgA,tgB,tgC
Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ A ≤ 60
0

⇒ 0 <tgA≤
√
3
⇒ tgA =1⇒ A =45
0
⇒ B + C = 135
0
⇒−1=tg(B + C)=
tgB + tgC
1 − tgBtgC
⇒ (tgB − 1)(tgC − 1) = 2
⇒ tgB =2,tgC =3
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 12 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Biết
cos x + cos y + cos z
cos(x + y + z)
=
sin x + sin y + sin z
sin(x + y + z)
= a
Chứng minh rằng:
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x)=a
Ta có:
cos(x + y) = cos(x + y + z −z) = cos(x + y + z) cos z + sin(x + y + z) sin z
Tương tự: cos(y + z) = cos(x + y + z) cos x + sin(x + y + z) sin x
cos(z + x) = cos(x + y + z) cos y + sin(x + y + z) sin y
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = cos(x + y + z)(cos x + cos y + cos z)+
+ sin(x + y + z)(sin x + sin y + sin z)

Từ giả thiết ta có:
(cos x + cos y + cos z)=a cos(x + y + z)
sin x + sin y + sin z = a sin(x + y + z)
Suy ra
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x)=a(cos
2
(x + y + z)+sin
2
(x + y + z))
⇒ cos(x + y) + cos(y + z)+cos(z + x)=a
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 13 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§3: Hàm số lượng giác của những góc bội
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos
2
a −sin
2
a
= 2 cos
2
a − 1
=1− 2 sin
2
a
tg2a =
2tga
1 − tg
2
a

cotg2a =
cotg
2
− 1
2cotga
sin 3a = 3 sin a − 4 sin
3
a
cos 3a = 4 cos
3
a − 3 cos a
tg3a =
3tga − tg
3
a
1 − 3tg
2
a
cotg3a =
cotg
3
a − 3cotg a
3cotg
2
a − 1
Hệ quả:
sin
2
a =
1 − cos 2a

2
cos
2
a =
1 + cos 2a
2
tg
2
a =
1 − cos 2a
1 + cos 2a
sin
3
a =
−sin 3a + 3 sin a
4
cos
3
a =
cos 3a + 3 cos a
4
Chứng minh rằng:
∀x : cos
3
x sin x − sin
3
x cos x =
1
4
sin 4x

Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 14 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Ta có: cos
3
x sin x − sin
3
x cos x =
1
2
cos
2
x. sin 2x −
1
2
sin
2
x. sin 2x
=
1
2
sin 2x(cos
2
x − sin
2
x)=
1
2
sin 2x. cos 2x =
1
2

sin 4x
Chứng minh rằng: ∀x :
1. sin
4
x + cos
4
x =
3
4
+
1
4
cos 4x
2. sin
6
x + cos
6
x =
5
8
+
3
8
cos 4x
Ta có:
sin
4
x + cos
4
x = (sin

2
x + cos
2
x)
2
− 2 sin
2
x cos
2
x
=1−
1
2
sin
2
2x
=1−
1
4
(1 − cos 4x)
=
3
4
+
1
4
cos 4x
Ta có:
sin
6

x + cos
6
x = (sin
2
x + cos
2
x)
3
− 3 sin
2
x cos
2
x(sin
2
x + cos
2
x)
=1− 3 sin
2
x cos
2
x
=1−
3
4
sin
2
2x
=1−
3

8
(1 − cos 4x)
=
5
8
+
3
8
cos 4x
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 15 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Tính:
1. cos
π
24
2. sin 18
0
Ta có:
cos
2
π
24
=
1 + cos
π
12
2
(∗)
Lại có:
cos

2
π
12
=
1 + cos
π
6
2
=
1+
√
3
2
2
=
2+
√
3
4
⇒ cos
π
12
=
1
2

2+
√
3=
1

2
√
2
(1 +
√
3)
Thay vào (*) ⇒ cos
2
π
24
=
1+
1
2
√
2
(1 +
√
3)
2
=
1+2
√
2+
√
3
4
√
2
⇒ cos

π
24
=
1
2

1+2
√
2+
√
3
√
2
Ta có:
sin 54
0
= cos 36
0
Suy ra: 3 sin 18
0
− 4 sin
3
18
0
=1− 2 sin
2
18
0
⇔ 4 sin
3

18
0
− 3 sin
3
18
0
− 2 sin
2
18
0
+1=0
⇔ (sin 18
0
− 1)(4 sin
2
18
0
+ 2 sin 18
0
− 1) = 0
Vì sin 18
0
< 1 suy ra: 4 sin
2
18
0
+ 2 sin 18
0
− 1=0
⇔ sin 18

0
=
−1 ±
√
5
4
mà sin 18
0
> 0 nên sin 18
0
=
−1+
√
5
4
Vậy sin 18
0
=
√
5 − 1
4
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 16 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Chứng minh rằng:
1. cos 20
0
. cos 40
0
. cos 80
0

=
1
8
2. cos
π
7
. cos
2π
7
. cos
3π
7
=
1
8
3.tg5
0
.tg55
0
.tg65
0
.tg75
0
=1
Ta có:
cos 20
0
. cos 40
0
. cos 80

0
=
1
sin 20
0
. sin 20
0
. cos 20
0
. cos 40
0
. cos 80
0
=
1
2 sin 20
0
sin 40
0
. cos 40
0
. cos 80
0
=
1
4 sin 20
0
sin 80
0
. cos 80

0
=
1
8 sin 20
0
. sin 160
0
=
1
8 sin 20
0
. sin 20
0
=
1
8
Ta có:
cos
π
7
. cos
2π
7
. cos
3π
7
= −
1
sin
π

7
sin
π
7
. cos
π
7
. cos
2π
7
. cos
4π
7
= −
1
2 sin
π
7
sin
2π
7
. cos
2π
7
. cos
4π
7
= −
1
4 sin

π
7
sin
4π
7
. cos
4π
7
= −
1
8 sin
π
7
sin
8π
7
=
1
8
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 17 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Ta có:
tg3x =
3.tgx − tg
3
x
1 − 3tg
2
x
=

tgx(3 − tg
2
x)
1 − 3tg
2
x
=
tgx.(
√
3 − tgx )(
√
3+tgx )
(1 +
√
3tgx)(1 −
√
3tgx)
= tgx.

tg60
0
− tgx
1+tg 60
0
tgx

.

tg60
0

+ tgx
1 − tg60
0
tgx

= tgx.tg(60 − x).tg(60 + x)
Suy ra:
tg5
0
.tg55
0
.tg65
0
.tg75
0
= tg5
0
.tg(60 − 5)
0
.tg(60 + 5)
0
.tg75
0
= tg(3.5)
0
.tg75
0
= tg15
0
cotg15

0
=1
Biết rằng:



cos x + cos y + cos z =0
cos 3x + cos 3y + cos 3z =0
Chứng minh rằng: cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0
Ta có:
0 = cos 3x+cos 3y+cos 3z = 4(cos
3
x+cos
3
y+cos
3
z)−3(cos x+cos y+cos z)
Vì cos x + cos y + cos z =0 suy ra:
cos
3
x + cos
3
y + cos
3
z =0
Từ giả thiết suy ra: cos x + cos y = −cos z Lập phương hai vế được:
cos
3
x + cos
3

y + 3 cos x cos ycos x + cos y = −cos
3
z
⇒ cos
3
x + cos
3
y + cos
3
z = 3 cos x cos y cos z
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 18 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇒ cos x cos y cos z =0
Không mất tổng quát, giả sử cos x =0
⇒ cos y + cos z =0⇒ cos y = −cos z
Khi đó:
cos 2x. cos 2y. cos 2z = (2 cos
2
x − 1)(2 cos
2
y − 1)(2 cos
2
z − 1)
= −1(2 cos
y
−1)
2
≤ 0
Vậy cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0
Chứng minh rằng:

(4 cos
2
9
0
− 3)(4 cos
2
27
0
− 3) = tg9
0
Từ công thức cos 3a = 4 cos
3
a − 3 cos a ⇒ 4 cos
2
a − 3=
cos 3x
cos x
Ta có:
(4 cos
2
9
0
− 3)(4 cos
2
27
0
− 3) =
cos 27
0
cos 9

0
.
cos 81
0
cos 27
0
=
cos 81
0
cos 9
0
=
sin 9
0
cos 9
0
= tg9
0
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
19 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
1) Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a + cos b = 2 cos
a + b
2
cos
a − b
2
cos a − cos b = −2 sin

a + b
2
sin
a − b
2
sin a + sin b = 2 sin
a + b
2
cos
a − b
2
sin a − sin b = 2 cos
a + b
2
sin
a −b
2
tga + tgb =
sin(a + b)
cos a. cos b
tga − tgb =
sin(a −b)
cos a. cos b
cotga + cotgb =
sin(a + b)
sin a. sin b
cotga − cotgb =
−sin(a − b)
sin a. sin b
2) Công thức biến đổi tích thành tổng

cos a cos b =
1
2
[cos(a − b) + cos(a + b)]
sin a sin b =
1
2
[cos(a − b) − cos(a + b)]
sin a cos b =
1
2
[sin(a − b) + sin(a + b)]
Tính các tổng sau:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 20 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
1. cos
π
5
+ cos
3π
5
cos
π
7
− cos
2π
7
+ cos
3π
7

tg9
0
− tg27
0
− tg63
0
+ tg81
0
Ta có:
cos
π
5
+ cos
3π
5
= 2 cos
π
5
cos
2π
5
=2
1
sin
π
5
sin
π
5
cos

π
5
cos
2π
5
=
1
sin
π
5
. sin
2π
5
cos
2π
5
=
1
2 sin
π
5
. sin
4π
5
=
1
2 sin
π
5
. sin

π
5
=
1
2
Ta có:
cos
π
7
− cos
2π
7
+ cos
3π
7
= −cos
6π
7
− cos
2π
7
− cos
4π
7
= −

cos
2π
7
+ cos

4π
7
+ cos
6π
7

= −
1
2 sin
π
7
.

2 sin
π
7
cos
2π
7
+ 2 sin
π
7
cos
4π
7
+ 2 sin
π
7
cos
6π

7

= −
1
2 sin
π
7
.

sin
3π
7
− sin
π
7
+ sin
5π
7
− sin
3π
7
+ sin
7π
7
− sin
5π
7

Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 21 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác

= −
1
2 sin
π
7
.

−sin
π
7
+ sin
7π
7

= −
1
2 sin
π
7
.

−sin
π
7

=
1
2
Ta có:
tg9

0
− tg27
0
− tg63
0
+ tg81
0
=(tg9
0
+ tg81
0
) − (tg27
0
+ tg63
0
)
=
1
cos 9
0
. cos 81
0
−
1
cos 27
0
. cos 63
0
=
1

cos 9
0
. sin 9
0
−
1
cos 27
0
. sin 27
0
=
2
sin 18
0
−
2
sin 54
0
=
2(sin 54
0
− sin 18
0
)
sin 18
0
. sin 54
0
=
4 cos 36

0
. sin 18
0
sin 18
0
. sin 54
0
=4
Chứng minh rằng ∀x,y,z ta luôn có:
1. sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z) = 4 sin
x + y
2
sin
y + z
2
sin
z + x
2
2. cos x + cos y + cos z + cos(x + y + z) = 4 cos
x + y
2
cos
y + z
2
sin
z + x
2
VT = 2 sin
x + y
2

cos
x − y
2
+ 2 cos
x + y +2z
2
sin
−x − y
2
= 2 sin
x + y
2
(cos
x − y
2
− cos
x + y +2z
2
)
= 4 sin
x + y
2
sin
x + y
2
sin
y + z
2
sin
z + x

2
= VP
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 22 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Ta có:
VT = 2 cos
x + y
2
cos
x − y
2
+ 2 cos
x + y +2z
2
cos
x + y
2
= 2 cos
x + y
2
(cos
x − y
2
+ cos
x + y +2z
2
)
= 4 cos
x + y
2

cos
y + z
2
sin
z + x
2
*Liên hệ với  ABC :
Chứng minh rằng:
sin A + sin B + sin C = 4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
sin(nA) + sin(nB) + sin(nC)=
= −4 sin
nA
2
sin
nB
2
sin
nC
2
(khi n =4k, n ∈ N
∗
)

= 4 cos
nA
2
cos
nB
2
cos
nC
2
(khi n =4k +1,n ∈ N
∗
)
= 4 sin
nA
2
sin
nB
2
sin
nC
2
(khi n =4k +2,n ∈ N
∗
)
= −4 cos
nA
2
cos
nB
2

cos
nC
2
(khi n =4k +3,n ∈ N
∗
)
cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
Áp dụng các đẳng thức trên với lần lượt (x,y,z) bằng (A,B,C);(nA,nB,nC),
trong đó: A,B,C >0 và A+B+C = π ta thu được các đẳng thức sau:
sin A+sin B +sin C−sin(A+B +C) = 4 sin
A + B
2
sin
B + C
2
sin
C + A
2
⇒ sin A + sin B + sin C − sin π = 4 sin(
π
2
−

C
2
) sin(
π
2
−
A
2
) sin(
π
2
−
B
2
)
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 23 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
sin A + sin B + sin C = 4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C
2
sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) −sin(nA + nB + nC)=
= 4 sin
nA + nB
2

sin
nB + nC
2
sin
nC + nA
2
⇒ sin(nA)+sin(nB) + sin(nC) −sin(nπ)=
= 4 sin(
nπ
2
−
nC
2
) sin(
nπ
2
−
nA
2
) sin(
nπ
2
−
nB
2
)
⇒ sin(nA)+sin(nB)+sin(nC) = 4 sin(
nπ
2
−

nC
2
) sin(
nπ
2
−
nA
2
) sin(
nπ
2
−
nB
2
)
(∗) Khi n =4k, n ∈ N
∗
. Ta có:
sin(
nπ
2
−
nC
2
) = sin(2kπ −
nC
2
)
= sin(−
nC

2
)=−sin
nC
2
Suy ra: sin(
nπ
2
−
nA
2
)=−sin
nA
2
sin(
nπ
2
−
nB
2
)=−sin
nB
2
⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC)=−4 sin
nA
2
sin
nB
2
sin
nC

2
(khi n =4k, n ∈ N
∗
)
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 24 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
(∗) Khi n =4k +1,n ∈ N
∗
. Ta có:
sin(
nπ
2
−
nC
2
) = sin(2kπ +
π
2
−
nC
2
)
= sin(
π
2
−
nC
2
) = cos
nC

2
Suy ra: sin(
nπ
2
−
nB
2
) = cos
nB
2
sin(
nπ
2
−
nA
2
) = cos
nA
2
⇒ sin(nA) + sin(nB)+sin(nC) = 4 cos
nA
2
cos
nB
2
cos
nC
2
(∗) Khi n =4k +2,n ∈ N
∗

. Ta có:
sin(
nπ
2
−
nC
2
) = sin(2kπ + π −
nC
2
)
= sin(π −
nC
2
) = sin
nC
2
Suy ra: sin(
nπ
2
−
nA
2
) = sin
nA
2
sin(
nπ
2
−

nB
2
) = sin
nB
2
⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = 4 sin
nA
2
sin
nB
2
sin
nC
2
(∗) Khi n =4k +3,n ∈ N
∗
. Ta có:
sin(
nπ
2
−
nC
2
) = sin(2kπ +
3π
2
−
nC
2
)

= sin(
3π
2
−
nC
2
)=−cos
nC
2
Suy ra: sin(
nπ
2
−
nB
2
)=−cos
nB
2
sin(
nπ
2
−
nA
2
)=−cos
nA
2
⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC)=−4 cos
nA
2

cos
nB
2
cos
nC
2
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 25 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48