lý thuyết và bài tập hình học lớp 10

1 Các Khái niệm về vectơ
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểm
đầu và điểm cuối.
• Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu
# »
AB.
• Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết
#»
x,
#»
y , . . .
Ví dụ 1.1. Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm
cuối không trùng nhau?
Ví dụ 1.2. Cũng hỏi như trên, nhưng với 2009 điểm phân biệt A
1
, A
2
, . . . , A
2009
?
Định nghĩa 1.2. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu
#»
0 .
2 Hai vectơ cùng phương
2.1 Giá của một vectơ
Định nghĩa 2.1. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của m ột vectơ.
Giá của vectơ
# »
AB là đường thẳng AB.
2.2 Hai vectơ cùng phương

Định nghĩa 2.2. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
3 Hai vectơ cùng hướng
Dựa vào hình vẽ, ta có thể biết hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng.
Chú ý
• Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương. Điều ngược lại không đúng.
• Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng.
• Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng với m ọi vectơ.
 3.1. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B, C trong các trường hợp sau:
1.
# »
AB và
# »
AC ngược hướng.
2.
# »
AB và
# »
AC cùng phương.
4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau
4.1 Độ dài của một vectơ
Định nghĩa 4.1. Độ dài của vectơ
# »
AB, kí hiệu |
# »
AB|, chính là độ dài đoạn thẳng AB. Độ dài của vectơ
#»
0
bằng 0.
Định nghĩa 4.2. Một vectơ có độ dài bằng 1 thì gọi là vectơ đơn vị.
1

4.2 Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa 4.3. Hai vectơ
#»
a và
#»
b , được gọi là bằng nhau, kí hiệu
#»
a =
#»
b nếu chúng có cùng độ dài và
cùng hướng.
 4.1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm các vectơ bằng
# »
OA.
 4.2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
# »
AB =
# »
DC.
 4.3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O và H là
trực tâm tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng
# »
AH =
# »
DC.
2. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
# »
AI =
# »

OM.
5 Tổng của hai vectơ
Định nghĩa 5.1. Cho hai vectơ
#»
a và
#»
b . Từ điểm A tuỳ ý, dựng
# »
AB =
#»
a . Từ B, dựng
# »
BC =
#»
b . K hi đó,
# »
AC được gọi là vectơ tổng của hai vectơ
#»
a và
#»
b . Kí hiệu
# »
AC =
#»
a +
#»
b .
5.1 Quy tắc ba điểm
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có
# »

AB +
# »
BC =
# »
AC.
5.2 Quy tắc hình bình hành
A
B
D
#»
u
#»
v
C
#»
u +
#»
v
Cho hình bình hành ABCD, ta có
# »
AB +
# »
AD =
# »
AC.
5.3 Tính chất
Với mọi vectơ
#»
a ,
#»

b ,
#»
c , ta có
1.
#»
a +
#»
b =
#»
b +
#»
a ;
2.
#»
a + (
#»
b +
#»
c ) = (
#»
a +
#»
b ) +
#»
c ;
3.
#»
a +
#»
0 =

#»
0 +
#»
a =
#»
a .
 5.1. Tính tổng
#»
u =
# »
AB +
# »
DE +
# »
F A +
# »
CD +
# »
EF +
# »
BC.
 5.2. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng
# »
AD +
# »
BE +
# »
CF =
# »
AE +

# »
BF +
# »
CD.
 5.3. Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O, A, B. Với điều kiện nào thì
# »
OA +
# »
OB nằm trên đường
phân giác của góc

AOB?
 5.4. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ
# »
AB +
# »
AC và
# »
AB +
# »
CB theo a.
2
 5.5. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có
# »
MA +
# »
MC =
# »
MB +
# »

MD.
 5.6. Cho tam giác ABC, về bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABMN, BCPQ, CARS. Chứng
minh rằng
1.
# »
MN +
# »
P Q +
# »
RS =
#»
0 .
2.
# »
MQ +
# »
P S +
# »
RN =
#»
0 .
 5.7. Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > 0. Tìm tập hợp điểm M sao cho |
# »
MA +
# »
MB| = k.
 5.8. Cho các vectơ
#»
a ,
#»

b ,
#»
c . Chứng minh rằng |
#»
a |+ |
#»
b |  |
#»
a +
#»
b |. Dấu bằng xảy ra khi nào?
 5.9. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu |
# »
AD +
# »
BC| = |
# »
AB +
# »
DC|, thì AC ⊥ BD.
 5.10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính P Q = 2. Trên nửa đường tròn ta lấy các điểm A, B, C
khác P và Q. Chứng minh rằng |
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC| > 1.
6 Hiệu của hai vectơ
6.1 Vectơ đối của hai vectơ

Định nghĩa 6.1. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dại và ngược hướng.
• Nếu
#»
a và
#»
b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu
#»
a = −
#»
b hay
#»
b = −
#»
a .
• Vectơ đối của
# »
AB là −
# »
AB, và −
# »
AB =
# »
BA.
• Vectơ đối của
#»
0 là
#»
0 .
7 Tính chất
Tổng của vectơ

#»
a với vectơ đối của nó bằng vectơ - không.
7.1 Hiệu của hai vectơ
Định nghĩa 7.1. Hiệu của hai vectơ
#»
a và
#»
b , kí hiệu
#»
a −
#»
b , là tổng của vectơ
#»
a với vectơ đối của vectơ
#»
b .
#»
a −
#»
b =
#»
a + (−
#»
b ).
7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có
# »
AB −
# »
AC =

# »
BC.
 7.1. Dựng hiệu của hai vectơ
#»
a và
#»
b cho trước.
 7.2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy rút gọn các vector
1.
# »
CO −
# »
BA;
2.
# »
CO −
# »
OD +
# »
CB;
 7.3. Cho năm điểm A, B, C, D , E. Chứng minh rằng
# »
AC +
# »
DE −
# »
DC −
# »
CE +
# »

CB =
# »
AB.
3
 7.4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu |
# »
CA −
# »
CB| = |
# »
CA +
# »
CB|, thì tam giác ABC vuông tại
C.
 7.5. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện
# »
AB +
# »
AC vuông góc với
# »
AB −
# »
AC, thì
tam giác ABC cân.
 7.6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ
# »
AB −
# »
BC theo a.
 7.7. Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác. Chứng minh rằng

# »
OA +
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD +
# »
OE +
# »
OF =
#»
0 .
 7.8. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác. Chứng minh rằng
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD +
# »
OE =
#»
0 .
 7.9. Chứng minh rằng nếu hai hình bình hành ABCD và A

B


C

D

có cùng tâm thì
# »
AA

+
# »
BB

+
# »
CC

+
# »
DD

=
#»
0 .
 7.10. Cho hình thoi ABCD có

BAD = 60
◦
và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính
|

# »
AB +
# »
AD|, |
# »
BA −
# »
BC|, |
# »
OB −
# »
DC|.
 7.11. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính |
# »
OA−
# »
CB|, |
# »
AB +
# »
DC|,
|
# »
CD −
# »
DA|.
8 Tích của một số thực với một vectơ
Định nghĩa 8.1. Cho số thực k và vectơ
#»
a . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu k

#»
a , được xác
định như sau:
• Nếu k  0, thì vectơ k
#»
a cùng hướng với vectơ
#»
a . Nếu k < 0, thì vectơ k
#»
a ngược hướng với vectơ
#»
a .
• Độ dài vectơ k
#»
a bằng |k|· |
#»
a |.
9 Tính chất
Cho các vectơ
#»
a và
#»
b ; cho các số thực k, m. Ta có
• k ·(
#»
a +
#»
b ) = k ·
#»
a + k ·

#»
b ;
• (k + m) ·
#»
a = k ·
#»
a + m ·
#»
a ;
• (k − m) ·
#»
a = k ·
#»
a −m ·
#»
a ;
• k(m ·
#»
a ) = (km) ·
#»
a ;
• k ·
#»
a =
#»
0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc
#»
a =
#»
0 .

 9.1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M là điểm bất kì, ta
có
# »
MA +
# »
MB = 2
# »
MI.
 9.2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.
4
1. Chứng minh rằng
# »
GA +
# »
GB +
# »
GC =
#»
0 . Ngược lại, nếu
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC =
#»
0 , thì M là trọng tâm
của tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta có
# »

GA +
# »
GB +
# »
GC = 3
# »
MG.
 9.3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M sao cho
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC +
# »
MD =
#»
0 .
 9.4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với M là điểm
bất kì, ta có
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC +
# »
MD = 4
# »
MO.

 9.5. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh
rằng
# »
AB +
# »
CD = 2
# »
IJ.
 9.6. Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I,J lần là trung điểm của các cạnh BC, CD. Chứng minh rằng
2(
# »
AB +
# »
AI +
# »
JA +
# »
DA) = 3
# »
DB.
 9.7. Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng điểm G sao cho
# »
GA +
# »
GB +
# »
GC +
# »
GD =
#»

0 . Chứng minh rằng với
mọi điểm O, ta có
# »
OG =
1
4
(
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD).
 9.8. Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì. Kẻ MH, MK, MI lần lượt vuông góc với các cạnh
BC, CA, AB. Chứng minh rằng
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC = 2(
# »
MH +
# »
MK +
# »
MI).
 9.9. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho

1.
# »
MA +
# »
MB −2
# »
MC =
#»
0 ;
2.
# »
NA +
# »
NB + 2
# »
NC =
#»
0 ;
3.
# »
P A −
# »
P B + 2
# »
P C =
#»
0 .
 9.10. Cho hai tam giác ABC và A

B


C

có trọng tâm lần lượt là G và G

. Chứng minh rằng nếu
# »
AA

+
# »
BB

+
# »
CC

=
#»
0 , thì G trùng G

.
 9.11. Cho lục giác ABCDEF . Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DE, EF, F A. Chứng minh rằng hai tam giác P RT và QSU có trọng tâm trùng nhau.
9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Định lí 9.1. Vectơ
#»
b cùng phương với vectơ
#»
a =

#»
0 khi và chỉ khi có số k sao cho
#»
b = k
#»
a .
9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Định lí 9.2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là
# »
AB = k
# »
AC.
 9.12. Cho bốn điểm A, B, C, M thoả mãn
# »
MA + 2
# »
MB −3
# »
MC =
#»
0 .
 9.13. Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho
# »
MN = 2
# »
MA + 3
# »
MB −
# »
MC.

1. Tìm điểm I thoả mãn 2
# »
IA + 3
# »
IB −
# »
IC =
#»
0 .
2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
5
 9.14. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
1. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
# »
AH = 2
# »
OI.
2. Chứng minh
# »
OH =
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC.
3. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.
 9.15. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi
# »
IA = 2

# »
IB; 3
# »
JA + 2
# »
JC =
#»
0 .
1. Tính
# »
IJ theo
# »
AB và
# »
AC.
Đáp số.
# »
IJ =
2
5
# »
AC − 2
# »
AB.
2. Chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Đáp số.
# »
IJ =
6
5

# »
IG.
 9.16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả 3
# »
MA + 4
# »
MB =
#»
0 và
# »
CN =
1
2
# »
BC.
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
 9.17. Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho
# »
BD =
3
5
# »
BC, gọi E là điểm thoả mãn hệ thức
10
# »
EA + 2
# »
EB + 3
# »
EC =

#»
0 . Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chọn E làm gốc.
# »
EA = −
1
2
# »
ED.
 9.18. Cho tam giác ABC, gọi D, I là các điểm xác định bởi 3
# »
DB − 2
# »
DC =
#»
0 và
# »
IA + 3
# »
IB − 2
# »
IC =
#»
0 .
Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc {
# »
AB,
# »
AC};

# »
AD = 2
# »
AI.
 9.19. Cho tam giác ABC, gọi M, N là các điểm xác định bởi
# »
MA+3
# »
MC =
#»
0 và
# »
NA+2
# »
NB +3
# »
NC =
#»
0 .
Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc {
# »
BA,
# »
BC};
# »
BM =
3
2
# »

BN.
9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Định nghĩa 9.1. Cho hai vectơ
#»
a và
#»
b . Nếu vectơ
#»
c có thể viết được dưới dạng
#»
c = m
#»
a + n
#»
b , với m, n
là hai số thực nào đó, thì ta nói vectơ
#»
c biểu thị được (hay phân tích được) qua hai vectơ
#»
a và
#»
b .
Định lí 9.3. Cho hai vectơ không cùng phương
#»
a và
#»
b . Khi đó mọi vectơ
#»
x đều có thể biểu thị được một
cách duy nhất qua hai vectơ

#»
a và
#»
b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho
#»
x = m
#»
a + n
#»
b .
 9.20. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh
# »
AM =
1
3
# »
AB +
2
3
# »
AC.
 9.21. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho
# »
BD =
3
5
. Gọi E là điểm thoả
4
# »
EA + 2

# »
EB + 3
# »
EC =
#»
0 .
1. Tính
# »
ED theo
# »
EB và
# »
EC.
Đáp số.
# »
ED =
2
5
# »
EB +
3
5
# »
EC.
6
2. Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng.
Hướng dẫn.
# »
EA = −
5

4
# »
ED.
Bài toán. Cho n điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
và tập hợp các số thực x
1
, x
2
, . . . , x
n
sao cho x
1
+x
2
+···+x
n
= 0.
Tìm tập hợp các điểm M thoả điều kiện
|x
1
# »
MA
1
+ x
2

# »
MA
2
+ ···+ x
n
# »
MA
n
| = k.
• Bước 1. Chọn điểm I s ao cho
x
1
# »
IA
1
+ x
2
# »
IA
2
+ ···+ x
n
# »
IA
n
=
#»
0 .
Khi đó, điểm I xác định duy nhất và
|x

1
# »
MA
1
+ x
2
# »
MA
2
+ ···+ x
n
# »
MA
n
| = |(x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
)
# »
MI|.
• Bước 2. Từ điều kiện đã cho suy ra IM có độ dài không đổi và M thuộc đường tròn tâm I, bán kính
là một hằng số xác định.
 9.22. Cho đoạn thẳng AB = 3a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho |
# »
MA + 2
# »
MB| = 3.

Đáp số. Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = 1.
 9.23. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
• |
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC| = 3.
• |
# »
MA + 2
# »
MB + 3
# »
MC| = 12.
Bài toán. Cho đường thẳng d (đường tròn S), tập hợp điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
và tập hợp các số thực
x
1
, x
2
, . . . , x
n
sao cho x

1
+ x
2
+ ···+ x
n
= 0. Với mỗi điểm N thuộc d (thuộc S), ta dựng điểm M thoả điều
kiện
x
1
# »
NA
1
+ x
2
# »
NA
2
+ ···+ x
n
# »
NA
n
=
# »
NM.
Tìm tập hợp các điểm M.
• Bước 1. Rút gọn biểu thức vế trái bằng cách chọn điểm I sao cho
x
1
# »

IA
1
+ x
2
# »
IA
2
+ ···+ x
n
# »
IA
n
=
#»
0 .
Khi đó, điểm I xác định duy nhất và biểu thức vectơ đượ c rút gọn là
(x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
)
# »
NM.
• Bước 2. Đẳng thức trên chứng tỏ
# »
NI và
# »
NM cùng phương. Từ đó, suy ra tập hợp điểm M.

• Chú ý xét thêm giới hạn của điểm M (nếu có).
 9.24. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Với mỗi điểm N trên (d) ta dựng điểm M thoả
# »
NM =
2
# »
NA + 3
# »
NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d).
 9.25. Cho hai điểm A, B và đường tròn (O; R). Với mỗi điểm N trên (O; R) ta dựng điểm M thoả
# »
NM = 2
# »
NA + 3
# »
NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d).
7
9.4 Tìm tập hợp điểm
Ta áp dụng các kết quả cơ bản sau:
• Nếu |
# »
OM| = |
#»
v | với O cố định,
#»
v không đổi, thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính
|
#»
v |.
• Nếu |

# »
MA| = |
# »
MB| với A, B cố định, thì tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
• Nếu
# »
OM = k ·
#»
a với O cố định,
#»
a không đổi, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua
O và song song với giá của
#»
a .
• Nếu
# »
OM = k ·
# »
OA, với A cố định, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng OA.
 9.26. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho:
1.
# »
MA + k
# »
MB = k
# »
MC (k ∈ R).
2.
# »
MA + (1 − k)

# »
MB + (1 + k)
# »
MC =
#»
0 (k ∈ R).
3.
# »
MA + (1 − k)
# »
MB + k
# »
MC =
#»
0 (k ∈ R).
 9.27. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho:
1. |
# »
MA +
# »
MB| = |
# »
MB −
# »
MC|;
2. |2
# »
MA +
# »
MB| = |

# »
MA +
# »
MB +
# »
MC|;
3. |
# »
MA +
# »
MB −
# »
MC| = |2
# »
MA −
# »
MB −
# »
MC|.
4. |
# »
MA +
# »
MB| = k(
# »
MB −
# »
MC)| (k ∈ R).
 9.28. Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông
gó c với các cạnh BC, CA, AB.

1. Chứng minh rằng
# »
MD +
# »
ME +
# »
MF =
3
2
# »
MO;
2. Tìm tập hợp các trọng tâm tam giác DEF khi M chuyển động sao cho |
# »
MD +
# »
ME +
# »
MF| có giá trị
không đổi.
10 Trục toạ độ
Định nghĩa 10.1. Trục toạ độ là một đường thẳng mà trên đó ta đã chọn một điểm làm gốc và một vectơ
đơn vị.
Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc và nhận vectơ
#»
i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu là (O;
#»
i ). Hướng
dương của trục là hướng của vectơ
#»
i . Hướng ngược lại là hướng âm.

11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đ ại số củ a một vectơ
11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục
Xét trục (O;
#»
i ) và điểm M trên trục. Nếu
# »
OM = k
#»
i , thì toạ độ của điểm M là k.
8
11.2 Độ dài đại số của một vectơ
Cho hai điểm A, B trên trục toạ độ (O;
#»
i ), nếu
# »
AB = k
#»
i , thì độ dài đại số của vectơ
# »
AB, kí hiệu
AB.
12 Hệ trục toạ độ
Định nghĩa 12.1. Hệ toạ độ gồm hai trục toạ độ (O;
#»
i ) và (O;
#»
j ) vuông góc với nhau tại O. Một hệ trục
như thế gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxy hay hệ trục toạ độ Ox y.
• Điểm O gọi là gốc toạ độ.
• Trục Ox gọi là trục hoành.

• Trục Oy gọi là trục tung.
• Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ.
13 Toạ độ của một vectơ
13.1 Toạ độ của một vectơ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, luôn tồn tại duy nhất hai số thực x, y sao cho
# »
OM =
x
#»
i + y
#»
j . Bộ hai số thực (x; y) được gọi là toạ độ của vectơ
# »
OM, kí hiệu
# »
OM = (x; y) hay
# »
OM(x; y)
# »
OM = (x; y) ⇔
# »
OM = x
#»
i + y
#»
j .
• Toạ độ của vectơ đơn vị
#»
i là (1; 0), tức là
#»

i = (1; 0);
• Toạ độ của vectơ đơn vị
#»
j là (0; 1), tức là
#»
j = (0; 1);
• Toạ độ của vectơ - không là (0; 0), tức là
#»
0 = (0; 0).
Ví dụ 13.1. Nếu
# »
OM = −2
#»
i + 3
#»
j , thì M( ; ).
Ví dụ 13.2. Nếu
# »
OM = 5
#»
i , thì M( ; ).
Ví dụ 13.3. Nếu
# »
OM =
√
2
#»
j , thì M( ; ).
Ví dụ 13.4. Nếu M(1; −
√

3), thì
# »
OM =
#»
i +
#»
j .
13.2 Toạ độ của một điểm
Định nghĩa 13.1. Toạ độ của điểm M cũng chính là toạ độ của vectơ
# »
OM.
13.3 Các phép toán về vectơ
Cho các vectơ
#»
a = (a
1
; a
2
),
#»
b = (b
1
; b
2
) và số k. Ta có
1.
#»
a +
#»
b = (a

1
+ b
1
; a
2
+ b
2
);
2.
#»
a −
#»
b = (a
1
− b
1
; a
2
− b
2
);
3. k
#»
a = (ka
1
; ka
2
).
9
4.

#»
a =
#»
b ⇔



a
1
= b
1
,
a
2
= b
2
.
5. Cho
#»
a =
#»
0 , vectơ
#»
b cùng phương với
#»
a khi và chỉ khi tồn tại số thực k thoả mãn



b

1
= ka
1
b
2
= ka
2
13.4 Toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm
Cho A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
) thì
# »
AB = (x
B
− x
A
; y
B
− y
A
).
# »
AB = (x
B

− x
A
; y
B
− y
A
)
13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng
Cho A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
). Gọi I(x
I
; y
I
) là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì



x
I
=
x
A
+ x

B
2
,
y
I
=
y
A
+ y
B
2
.
13.6 Toạ độ trọng tâm của một tam giác
Cho tam giác ABC, A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) và C(x
C
; y
C
). Gọi G(x
G
; y
G
) là trọng tâm của tam giác ABC,

ta có



x
I
=
x
A
+ x
B
+ x
C
3
,
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
3
.
 13.1. Cho
#»
u = (−1; 2),
#»

v = (−5; −3);
#»
m = (4; 1).
1. Tìm toạ độ của vectơ
#»
s = 2
#»
u −3
#»
v ;
2. Tìm toạ độ của vectơ
#»
t = 5
#»
m +
#»
j ;
3. Cho điểm A(1; − 3). Tìm toạ độ điểm M sao cho 3
# »
AM − 2
#»
v =
#»
0 .
 13.2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục toạ độ (A;
#»
i ,
#»
j ) sao cho
#»

i và
# »
AD cùng
hướng,
#»
j và
# »
AB cùng hướng. Tìm toạ độ của các đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I của hai đường chéo
hình vuông, toạ độ trung điểm M của cạnh BC và toạ độ trung điểm Ncủa cạnh CD.
 13.3. Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(2; 4), C(4; −1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là
hình bình hành.
 13.4. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm toạ độ các
đỉnh của tam giác ABC.
 13.5. Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp chúng cùng phương, xét xem
chúng cùng hướng hay ngược hướng.
1.
#»
a = (2; 3) và
#»
b = (−10; −15);
2.
#»
u = (0; 7) và
#»
v = (0; 8);
10
3.
#»
c = (3; 4) và
#»

d = (6; 9)
 13.6. Cho A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 13.7. Cho A(3; 4), B(2; 5). Tìm x để điểm C(−7; x) thuộc đường thẳng AB.
 13.8. Cho bốn điểm A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3). Chứng minh rằng AB và CD song song.
 13.9. Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4).
1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
2. Tìm toạ độ điểm I đối xứng với A qua B
 13.10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9; −5)
1. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng;
2. Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn BD;
3. Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng.
 13.11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2)
1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC;
2. Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD;
3. Tìm toạ độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.
 13.12. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Chọn hệ toạ độ (O;
#»
i ,
#»
j ), trong đó O là trung điểm của cạnh
BC,
#»
i cùng hướng với
# »
OC,
#»
j cùng hướng với
# »
OA.
1. Tính toạ độ các đỉnh của tam giác ABC;

2. Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh AC;
3. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0
◦
đến 180
◦
14.1 Nửa đường tròn đơn vị
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1, ở phía trên của trục hoành. Ta
gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.
14.2 Định nghĩa
Với mỗi góc α (0
◦
 α  180
◦
), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

MOx = α. Giả sử
điểm M có toạ độ (x; y). Khi đó,
• tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.
• tung độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.
11
• Với x = 0, tỉ số
y
x
gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.
tan α =
sin α
cos α
, α = 90
◦

.
• Với y = 0, tỉ số
x
y
gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α.
cot α =
cos α
sin α
, α = 0
◦
và α = 180
◦
.
Các số sin α, cos α, tan α và cot α được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
 14.1. Tính các giá trị lượng giác của góc 120
◦
.
14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau.
1) sin(90
◦
−α) = cos α;
2) cos(90
◦
−α) = sin α;
3) tan(90
◦
−α) = cot α;
4) cot(90
◦
−α) = tan α.

 14.2. Tính P = tan 5
◦
· tan 10
◦
· tan 15
◦
···tan 80
◦
· tan 85
◦
.
14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.
Nếu hai góc bù nhau, thì sin của chúng bằng nhau còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau.
1) sin(180
◦
− α) = sin α;
2) cos(180
◦
− α) = −cos α;
3) tan(180
◦
− α) = −tan α với α = 90
◦
;
4) cot(180
◦
−α) = −cot α với 0
◦
< α < 180
◦

.
 14.3. Tính tổng S = cos 0
◦
+ cos 20
◦
+ cos 40
◦
+ ···+ cos 140
◦
+ cos 160
◦
+ cos 180
◦
.
 14.4. Đơn giản các biểu thức
1. S
1
= sin 100
◦
+ sin 80
◦
+ cos 16
◦
+ cos 164
◦
.
2. S
2
= 2 sin(180
◦

−α) · cot α − cos(180
◦
− α) · tan α ·cot(180
◦
− α) với 0
◦
< α < 90
◦
.
 14.5. Chứng minh các hệ thức sau
1. sin
2
α + cos
2
α = 1;
2. 1 + tan
2
α =
1
cos
2
α
(α = 90
◦
);
3. 1 + cot
2
α =
1
sin

2
α
(0
◦
< α < 180
◦
).
 14.6. Cho α ∈ (90
◦
; 180
◦
) và sin α =
3
4
. Tính các giá trị còn lại của góc α.
12
 14.7. Cho và cos α = −
4
7
. Tính các giá trị còn lại của góc α.
 14.8. Cho tan α = 2. Tính các giá trị còn lại của góc α.
 14.9. Biết rằng tan a =
2
3
. Tính
1. A =
3 sin a + 2 cos a
5 sin a −2 cos a
;
2. B =

4 sin
2
a + 2 cos a · sin a + 3 cos
2
a
5 + cos
2
a
.
 14.10. Biết sin x + cos x = m. Tính theo m
1. sin x ·cos x;
2. sin
4
x + cos
4
x;
3. sin
6
x + cos
6
x.
 14.11. Cho tan x + cot x = k. Tính các tổng sau theo k:
1. tan
2
x + cot
2
x;
2. tan
4
x + cot

4
x;
3. tan
6
x + cot
6
x.
15 Tích vô hướng của hai vectơ
15.1 Góc giữa hai vectơ
Định nghĩa 15.1. Cho hai vectơ
#»
a và
#»
b đều khác
#»
0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ
# »
OA =
#»
a và
# »
OB =
#»
b . Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ
#»
a và
#»
b , hoặc đơn giản là
góc giữa hai vectơ
#»

a và
#»
b .
Góc giữa hai vectơ
#»
a và
#»
b kí hiệu là (
#»
a ,
#»
b ).
Chú ý.
• 0
◦
 (
#»
a ,
#»
b )  180
◦
.
• Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ
#»
a hoặc
#»
b là vectơ
#»
0 , thì góc giữa hai vectơ đó là tuỳ
ý.

• Nếu (
#»
a ,
#»
b ) = 90
◦
, thì ta nói hai vectơ
#»
a và
#»
b vuông góc với nhau, kí hiệu là
#»
a ⊥
#»
b .
15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
Định nghĩa 15.2. Tích vô hướng của hai vec tơ của hai vectơ
#»
a và
#»
b , kí hiệu
#»
a ·
#»
b , là một số, được xác
định bởi
#»
a ·
#»
b = |

#»
a | · |
#»
b | · cos(
#»
a ,
#»
b ).
Từ định nghĩa trên, ta suy ra
#»
a ·
#»
b = 0 ⇔
#»
a ⊥
#»
b .
 15.1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau.
13
1.
# »
AB ·
# »
AC;
# »
AC ·
# »
CB;
# »
AG ·

# »
AB.
2.
# »
GB ·
# »
GC;
# »
BG ·
# »
GA;
# »
GA ·
# »
BC.
 15.2. Cho tam giác ABC vuông ở A có

A = 60
◦
. Tính các tích vô hướng
# »
CA ·
# »
CB;
# »
AB ·
# »
BC.
 15.3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Biết AB =
√

2 và AC =
√
3. Tính
# »
AB ·
# »
AC.
 15.4. Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 9, CB = 5. Tính
# »
AB ·
# »
AC.
15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ
Định nghĩa 15.3. Với vectơ
#»
a tuỳ ý, tích vô hướng
#»
a ·
#»
a được kí kiệu (
#»
a )
2
hay
#»
a
2
và gọi là bình phương
vô hướng của vectơ của vectơ
#»

a .
Ta có
#»
a
2
= |
#»
a | · |
#»
a | ·cos 0
◦
= |
#»
a |
2
.
Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
15.4 Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ
#»
a ,
#»
b ,
#»
c tuỳ ý và một số thực k, ta có
1)
#»
a ·
#»
b =

#»
b ·
#»
a ;
2) (k
#»
a ) ·
#»
b = a · (k
#»
b ) = k(
#»
a ·
#»
b );
3) a · (
#»
b +
#»
c ) =
#»
a ·
#»
b +
#»
a ·
#»
c ;
4) a · (
#»

b −
#»
c ) =
#»
a ·
#»
b −
#»
a ·
#»
c .
 15.5. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính giá trị của biểu thức (
# »
AB + 2
# »
AD) · (3
# »
AB −
# »
CD).
 15.6. Cho các vectơ
#»
u ,
#»
v ,
#»
w có độ dài bằng 1, (
#»
u ,
#»

v ) = 30
◦
, (
#»
v ,
#»
w) = 60
◦
, (
#»
w,
#»
u ) = 120
◦
. T ính
P = (
#»
u +
#»
v +
#»
w)
2
.
 15.7. Cho các vectơ
#»
a ,
#»
b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |
#»

a +
#»
b | =
√
3. Tính (
#»
a ,
#»
b ).
 15.8. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AC
2
+ BD
2
= 2(AB
2
+ AD
2
).
 15.9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC, BD. Chứng minh
rằng
AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= AC
2

+ BD
2
+ 4MN
2
.
 15.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
.
 15.11. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
1. M A
2
+ M C
2
= MB
2
+ MD
2

;
2.
# »
MA ·
# »
MC =
# »
MB ·
# »
MD;
3. M A
2
+
# »
MB ·
# »
MD = 2
# »
MA ·
# »
MO (O là tâm của hình chữ nhật)
14
 15.12. Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 5,

A = 120
◦
.
1. Tính các tích vô hướng
# »
AB ·

# »
AC và
# »
AB ·
# »
BC;
2. Tính độ dài đườn trung tuyến AM của tam giác.
 15.13. Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M
là điểm tuỳ ý, thì MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
là một số không đổi.
 15.14. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M
là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là một số không đổi
1. M A
2
+ M B
2
+ MC
2
;
2. M A
4
+ M B
4

+ MC
4
.
 15.15. Cho đa giác đều A
1
A
2
. . . A
n
nội tiếp trong đường tròn (O, R) và một điểm M thay đổi trên đường
tròn đó. Chứng minh rằng
1. cos

MOA
1
+ cos

MOA
1
+ ···+ cos

MOA
n
= 0;
2. M A
2
1
+ M A
2
2

+ ··· + MA
2
n
có giá trị không đổi.
 15.16. Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng
# »
BC ·
# »
AD +
# »
CA ·
# »
BE +
# »
AB ·
# »
CF = 0.
 15.17. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng
# »
DA ·
# »
BC +
# »
DB ·
# »
CA +
# »
DC ·
# »
AB = 0.

Từ đó, suy ra một cách chứng minh định lí “Ba đường cao của một tam giác đồng quy. ”
15.5 Công thức hình chiếu
Định lí 15.1. Cho hai vectơ
# »
OA,
# »
OB. Gọi B

là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng OA. Khi đó
# »
OA ·
# »
OB =
# »
OA ·
# »
OB

.
 15.18. Cho đoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức
# »
AB ·
# »
AM = k.
Hướng dẫn. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng AB. Ta có
# »
AB ·
# »
AM = k ⇔
AH =

k
AB
.
Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H.
 15.19. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM
2
−BM
2
= k.
 15.20. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM
2
+BM
2
= k.
 15.21. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện
# »
MA·
# »
MB = k.
 15.22. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức MA
2
+ MB
2
= 2MC
2
.
15
15.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tr òn
 15.23. Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng ∆ thay đổi, luôn đi qua M, cắt
đường tròn (O; R) tại hai điểm A và B. C hứng minh rằng

# »
MA ·
# »
MB = MO
2
− R
2
.
Hướng dẫn. Vẽ đường kính BC của đường tròn (O; R), ta có
# »
MA là hình chiếu
# »
MC trên đường thẳng
MB. Sau đó, dùng công thức hình chiếu.
Định nghĩa 15.4. Giá trị không đổi
# »
MA ·
# »
MB = MO
2
−R
2
= d
2
−R
2
trong Bài toán trên gọi là phương
tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu là P
M/(O)
.

P
M/(O)
=
# »
MA ·
# »
MB = MO
2
− R
2
= d
2
− R
2
.
Khi điểm M ở ngoài (O), MT là tiếp tuyến của (O) (T là tiếp điểm), thì
P
M/(O)
=
# »
MT
2
= MT
2
.
 15.24. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng
nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi
# »
MA ·
# »

MB =
# »
MC ·
# »
MD.
 15.25. Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ ở M và một điểm C trên ∆ (C khác M). Chứng minh
rằng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi MC
2
= MA · MB.
15.7 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ
#»
a = (x
1
; y
1
) và
#»
b = (x
2
; y
2
). Khi đó
1)
#»
a ·
#»
b = x
1
x

2
+ y
1
y
2
;
2) |
#»
a | =

x
2
1
+ y
2
1
;
3) cos(
#»
a ,
#»
b ) =
x
1
x
2
+ y
1
y
2


x
2
1
+ y
2
1

x
2
2
+ y
2
2
(
#»
a =
#»
0 và
#»
b =
#»
0 )
Hệ quả. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy khoảng cách giữa hai điểm M(x
M
; y
M
) và M(x
N
; y

N
) là
MN = |
# »
MN| =

(x
N
− x
M
)
2
+ (y
N
− y
M
)
2
.
 15.26. Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 3), C(5; −1).
• Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông.
• Tính diện tích và chu vi tam giác ABC.
• Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
 15.27. (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−
√
3; −1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
Đáp số. H(
√
3; −1) và I(−

√
3; 1).
 15.28. (D, 2004) Cho tam giác ABC có các đỉnh A(−1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m = 0. Tìm toạ độ trọng
tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
Đáp số. M(1; m/3); m = ±3
√
6.
16
 15.29. Cho điểm N(2; −3). Tìm điểm M trên trục hoành sao cho độ dài đoạn MN bằng 5.
Đáp số. M
1
(6; 0) và M
2
(−2; 0).
 15.30. Cho điểm N(−8; − 13). Tìm điểm M trên trục tung sao cho độ dài đoạn MN bằng 17.
Đáp số. M
1
(0; 28) và M
2
(0; −2).
 15.31. Cho các điểm M (2; 2) và N(5; −2). Tìm điểm P trên trục hoành cho tam giác MP N vuông tại P.
Đáp số. P
1
(1; 0) và P
2
(6; 0).
 15.32. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C ), biết rằng (C ) đi qua điểm A(4; 2) và tiếp
xúc với hai trục toạ độ.
Đáp số. C
1

(2; 2) R
1
= 2; và C
1
(10; 10) R
1
= 10.
 15.33. Cho hình vuông ABCD với A(3; 0) và C(−4; 1). Xác định toạ độ của hai đỉnh B và D.
Đáp số. B(0; 4) và D(−1; −3).
 15.34. Cho tam giác ABC, với A(−3; 6), B(9; −10), C(−5; 4).
1. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp số. I(3; −2) và R = 10.
2. Xác định toạ độ trực tâm của tam giác ABC.
3. Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
 15.35. Xác định độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC biết A(3; −5), B(−3; 3),
C(−1; −2)
Đáp số.
14
√
3
2
.
 15.36. Xác định độ dài đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC biết A(3; −5), B(1; −3),
C(2; −2)
Đáp số. 4.
 15.37. Cho điểm A(7; −3) và B(23; −6). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục hoành.
Đáp số. C(−9; 0).
 15.38. Cho điểm A(5; 2) và B(−4; −7). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục tung.
Đáp số. C(0; −3).
 15.39. Cho hai điểm A, B và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

# »
AM ·
# »
BM = k.
Hướng dẫn. Chọn A(0; 0), B(0; b) và M(x; y).
 15.40. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC. Chứng minh rằng
nếu AC > BC, thì AM > BN .
Hướng dẫn. Chọn A(a; 0), B(b; 0) và C(0; c).
17
16 Hệ thức lượng trong tam giác
Trong mục này, với tam giác ABC, ta kí hiệu
• AB = c, AC = b, BC = a;
• m
a
, m
b
, m
c
lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C;
• h
a
, h
b
, h
c
lần lượt là các đường cao xuất phát từ A, B, C;
• R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
• r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC;
• S diện tích của tam giác ABC;
• p =

AB + BC + CA
2
là nửa chu vi của tam giác ABC.
16.1 Định lí côsin trong tam giác
Trong tam giác ABC, ta có
• a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A;
• b
2
= a
2
+ c
2
− 2ac cos B;
• c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos A.
Hệ quả
Trong tam giác ABC, ta có
• cos A =
b

2
+ c
2
− a
2
2bc
;
• cos B =
a
2
+ c
2
− b
2
2ac
;
• cos C =
a
2
+ b
2
− c
2
2ab
.
16.2 Định lí sin trong tam giác
Định lí 16.1. Với mọi tam giác ABC, ta có
a
sin A
=

b
sin B
=
c
sin C
= 2R.
16.3 Công thức trung tuyến
Trong tam giác ABC, ta có
• m
2
a
=
b
2
+ c
2
2
−
a
2
4
;
• m
2
b
=
a
2
+ c
2

2
−
b
2
4
;
• m
2
c
=
a
2
+ b
2
2
−
c
2
4
.
18
16.4 Diện tích của tam giác
Trong tam giác ABC, ta có
• S =
1
2
ah
a
=
1

2
bh
b
=
1
2
ch
c
;
• S =
1
2
ab sin C =
1
2
acb sin B =
1
2
bc sin A;
• S =
abc
4R
;
• S = pr;
• S =

p(p −a)(p − b)(p −c) (công thức Hê - rông).
 16.1. (Biết hai cạnh và góc xen giữa)
Cho tam giác ABC có b = 4, c = 5 và


A = 60
◦
. Tính cạnh a, S
ABC
, m
a
, h
a
, R và r.
Đáp số. a = 7, S
ABC
= 10
√
3, h
a
=
20
√
3
7
, R =
7
√
3
3
.
 16.2. (Biết hai cạnh và góc không xen giữa)
Cho tam giác ABC có AC = 8, AB = 5 và

C = 120

◦
. Tính cạnh BC, S
ABC
, m
a
, h
a
, R và r.
 16.3. (Biết một cạnh và hai góc)
Cho tam giác ABC có BC = 8,

B = 60
◦
và

C = 45
◦
. Tính các cạnh và góc còn lại. Tính S
ABC
, m
b
, h
b
,
R và r.
 16.4. (Biết ba cạnh)
Cho tam giác ABC có a =
√
6, b = 2, c = 1 +
√

3. Tính các góc của tam giác. Tính h
a
, R.
Đáp số.

A = 60
◦
,

B = 45
◦
,

C = 75
◦
, h
a
=
(1 +
√
3)
√
2
2
, R =
√
2.
 16.5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM =
√
13, độ dài cạnh BC = 6 và góc


B = 60
◦
. Tính độ dài
cạnh c và R, r.
Đáp số. c = 4, R =
2
√
21
3
, r =
√
3(5 −
√
7)
3
.
 16.6. Tính góc A của tam giác ABC, biết b(b
2
−a
2
) = c(c
2
− a
2
), b = c.
Đáp số.

A = 120
◦

.
 16.7. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích bằng 3
√
3. Tìm cạnh BC.
Hướng dẫn.
• S =
1
2
AB ·AC · sin A. Từ đó, tìm được sin A.
• BC
2
= AB
2
+ AC
2
− 2AB ·AC · cos A.
Đáp số. BC =
√
13 hoặc BC =
√
37.
 16.8. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD. Chứng minh rằng
AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2

= AC
2
+ BD
2
+ 4MN
2
.
19
 16.9. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương
của hai đường chéo.
 16.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng
1. GA
2
+ GB
2
+ GC
2
=
1
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
2. với mọi điểm M , ta luôn có MA
2
+ MB

2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
.
 16.11. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai đường trung tuyến kẻ từ B và
C vuông góc với nhau là b
2
+ c
2
= 5a
2
.
 16.12. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết b
2
+ c
2
= 15, h
a
=
3
4
, sin A =

3
5
.
Hướng dẫn.
• S =
1
2
ah
a
=
1
2
bc sin A ⇒ bc =
5
4
a
• a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A. Từ sin A =
3
5
⇒ cos A = ±
4
5
• Xét hai trường hợp của cos A, cùng với giả thiết suy ra được a
2

+ 2a −15 = 0 ⇒ a = 3. Có a, sẽ có bc
và b
2
+ c
2
. Từ đó tìm được b và c.
 16.13. Tính diện tích tam giác ABC, biết b = 3
√
3, a + c = 3h
b
,

A = 30
◦
.
Hướng dẫn. c = 2h
b
, c = 2a, a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A. Suy ra a = 3, b = 6, S =
9
√
3
2
.
 16.14. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết


A = 45
◦
,

B = 60
◦
, h
c
= 2
√
2.
Đáp số.
2
√
3
.
 16.15. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin B = 2 sin A · cos C, thì
tam giác đó cân.
 16.16. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện
a
cos B
+
c
cos C
=
a
sin B · sin C
,
thì tam giác đó vuông.

 16.17. Kí hiệu 
a
là độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A. Chứng minh rằng

a
=
2c cos
a
2
b + c
.
 16.18. Chứng minh rằng nếu a > b, thì 
a
> 
b
.
17 Phương trình đường thẳng
17.1 Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa 17.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là vector khác
#»
0 , có giá song song với ∆ hoặc
trùng ∆.
Nhận xét. Một đường thẳng cho trước có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng
phương với nhau.
20
17.2 Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x
o
; y
o

) và nhận vectơ
#»
a = (a
1
; a
2
) làm một vectơ chỉ phương. Hệ phương
trình



x = x
o
+ a
1
· t,
y = y
o
+ a
2
· t,
(t ∈ R) (1)
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆.
Ngược lại, mỗi hệ phương trình có dạng (1) là phương trình của một đường thẳng đi qua điểm M(x
o
; y
o
)
và nhận vectơ
#»

a = (a
1
; a
2
) làm một vectơ chỉ phương.
18 Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa 18.1. Cho đường thẳng ∆. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là vectơ khác
#»
0 , có giá vuông
gó c với ∆.
Nhận xét.
1. Một đường thẳng cho trước có vô số vectơ pháp tuyến và các vectơ pháp tuyến này cùng phương với
nhau.
2. Nếu
#»
n là một vectơ pháp tuyến của ∆ và
#»
a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆, thì
#»
n vuông
gó c với
#»
a .
3. Nếu
#»
a = (a
1
; a
2
) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆, thì một vectơ pháp tuyến của ∆ là

#»
n = (a
2
; −a
1
) hay
#»
n = (−a
2
; a
1
), và ngược lại.
Định lí 18.1. Phương trình của đường thẳng ∆ đi qu a điểm M (x
o
; y
o
) và nhận vectơ
#»
n = (A; B) làm một
vectơ pháp tuyến là
A(x − x
o
) + B(y −y
o
) = 0. (2)
Ta có thể viết (2) về dạng
Ax + By + C = 0
(3)
Định nghĩa 18.2. Mỗi phương trình có dạng (3), trong đó A, B không đồng thời bằng 0, được gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng nhận vectơ

#»
n = (A; B) là một vectơ pháp tuyến.
18.1 Phương trình đoạn thẳng theo đoạn chắn
Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(a; 0) và B(0; b) trong đó a · b = 0 là
x
a
+
y
b
= 1.
(4)
Phương trình có dạng (4) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
 18.1. Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−2; 5), C(4; 7).
1. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC;
2. Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC;
3. Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.
21
 18.2. Cho tam giác ABC với A(1; −2), B(5; 4), C(−2; 0). Viết phương trình đường phân giác trong và
phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của tam giác.
Đáp số. 5x + y −3 = 0, x −5y −11 = 0.
 18.3. Cho đường thẳng ∆ : 2x − 3y −5 = 0 và điểm A(−4; −3).
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với ∆;
Đáp số. 2x −3y −1 = 0
2. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với ∆;
Đáp số. 3x + 2y + 18 = 0.
 18.4. Cho tam giác ABC biết M(2; 1), N (5; 3), P(3; −4) lần lượt là trung điểm của ba cạnh. Viết phương
trình các cạnh của tam giác ABC.
Đáp số. 7x −2y −12 = 0, 5x + y −28 = 0, 2x − 3y −18 = 0.
 18.5. Tìm hình chiếu của điểm P (−6; 4) trên đường thẳng ∆ : 4x − 5y + 3 = 0.
Đáp số. (−2; −1).

 18.6. Tìm toạ độ điểm Q đối xứng với điểm P (−5; 13) qua đường thẳng ∆ : 2x − 3y − 3 = 0.
Đáp số. Q(11; −11).
 18.7. Cho các điểm A(−7; 1) và B(−5; 5) và đường thẳng ∆ : 2x −y −5 = 0. Tìm toạ độ điểm P trên ∆
sao cho MA + M B nhỏ nhất.
Đáp số. P (2; −1).
 18.8. Cho các điểm A(4; 1) và B(0; 4) và đường thẳng ∆ : 3x −y −1 = 0. Tìm toạ độ điểm P trên ∆ sao
cho |MA −M B| lớn nhất.
Đáp số. P (2; 5).
 18.9. Cho hai điểm A(2; 5) và B(4; −1). Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng ∆ : 3x + 4y + 5 = 0 sao
cho 2MA
2
+ 3MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Ta có
•
2MA
2
+ 3MB
2
= 2
# »
MA
2
+ 3
# »
MB
2
= 2(
# »

MI +
# »
IA)
2
+ 3(
# »
MI +
# »
IB)
2
= 5MI
2
+ 2
# »
MI · (2
# »
IA + 3
# »
IB) + 2IA
2
+ 3IB
2
• Chọn điểm I sao cho 2
# »
IA + 3
# »
IB =
#»
0 . Khi đó, I cố định, và do đó, 2IA
2

+ 3IB
2
không đổi.
• 2MA
2
+ 3MB
2
= 5MI
2
+ 2IA
2
+ 3IB
2
nhỏ nhất khi và chỉ khi IM nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi và
chỉ khi M là hình chiếu của I trên ∆.
Có thể làm trực tiếp.
22
 18.10. (269) Trong tam giác ABC, phương trình cạnh AB, phương trình đường cao AN và phương trình
đường cao BN lần lượt là 5x − 3y + 2 = 0, 4x −3y + 1 = 0, 7x + 2y − 22 = 0. Viết phương trình của các
cạnh còn lại và viết phương trình đường cao thứ ba.
In a triangle ABC, the equations of the side AB, of the altitude AN and of the altitude BN are
5x −3y + 2 = 0, 4x − 3y + 1 = 0, 7x + 2y − 22 = 0, respectively. Write the equations of the other two sides
and of the third altitude of the triangle.
Đáp số. BC : 3x + 4y − 22 = 0, CA : 2x −7y −5 = 0, CN : 3x + 5y −23 = 0
 18.11. (270) Viết phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnh A(1; 3) và phương trình hai đường trung
tuyến là x − 2y + 1 = 0 và y −1 = 0.
Find the equations of the sides of a triangle ABC with A(1; 3) as a vertex, if x −2y + 1 = 0 and y −1 = 0
are the equations of two of its medians. ĐS. x + 2y −7 = 0, x −4y −1 = 0, x −y + 2 = 0.
 18.12. (271) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(−4; −5) và phương trình hai
đường cao của tam giác là5x + 3y −4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0.

Find the equations of the sides of a triangle ABC having B(−4; −5) as a vertex, if 5x + 3y − 4 = 0 and
3x + 8y + 13 = 0. are the equations of two of its altitudes.
Đáp số. 3x −5y −13 = 0, 8x −3y + 17 = 0, 5x + 2y −1 = 0.
 18.13. (272) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng A(4; −1) và x −1 = 0, x −y −1 = 0
là phương trình các đường phân giác trong của tam giác.
Find the equations of the sides of a triangle ABC having A(4; −1) as a vertex, if x −1 = 0, x −y −1 = 0
are the equations of two bisectors of its angles
Đáp số. 2x −y + 3 = 0, 2x + y −7 = 0, x − 2y −6 = 0.
 18.14. (273) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(2; 6) và nếu x − 7y + 15 = 0 và
7x + y + 5 = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ một đỉnh.
Find the equations of the sides of a triangle having B(2; 6) as a vertex, if x−7y+15 = 0 and 7x+y+5 = 0
are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from one and the same vertex.
Đáp số. 4x −3y + 10 = 0, 7x + y −20 = 0, 3x + 4y −5 = 0.
 18.15. (274) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABCbiết rằng B(2; −1) và nếu 3x − 4y + 27 = 0
và x + 2y −5 = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh
khác nhau.
Find the equations of the sides of a triangle having B(2; −1) as a vertex, if 3x − 4y + 27 = 0 and
x + 2y − 5 = 0 are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from diferrent
vertices.
Đáp số. 4x + 7y −1 = 0, y − 3 = 0, 4x + 3y −5 = 0.
 18.16. (275) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(4; −1) và nếu 2x − 3y + 12 = 0
và 2x + 3y = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ một đỉnh.
Find the equations of the sides of a triangle having C(4; −1) as a vertex, if 2x − 3y + 12 = 0 and
2x + 3y = 0 are the respective equations of an altitude and a median drawn from one and the same vertex.
Đáp số. 3x + 7y −5 = 0, 3x + 2y −10 = 0, 9x + 11y + 5 = 0.
 18.17. (276) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(2; −7) và nếu 3x + y + 11 = 0 và
x + 2y + 7 = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ các đỉnh khác
nhau.
Find the equations of the sides of a triangle having B(2; −7) as a vertex, if 3x + y + 11 = 0 and
x + 2y + 7 = 0 are the respective equations of an altitude and a median drawn from diferrent vertices.

23
Đáp số. x −3y −23 = 0,7x + 9y + 19 = 0,4x + 3y + 13 = 0.
 18.18. (277) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(4; 3) và nếu x + 2y − 5 = 0 và
4x + 13y −10 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ
một đỉnh.
Find the equations of the sides of a triangle having C(4; 3) as a vertex, if x+2y−5 = 0and 4x+13y−10 = 0
are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from one and the same vertex.
Đáp số. x + y −7 = 0, x + 7y −5 = 0, x − 8y + 20 = 0.
 18.19. (278). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng A(3; −1) và nếu x − 4y + 10 = 0
và 6x + 10y −59 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ
từ các đỉnh khác nhau.
Find the equations of the sides of a triangle having A(3; −1) as a vertex, if x − 4y + 10 = 0and 6x +
10y −59 = 0 are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from diferrent vertices.
Đáp số. 2x + 9y −65 = 0, 6x −7y − 25 = 0, 18x + 13y −41 = 0.
 18.20. (279). Viết phương trình của đường thẳng qua gốc toạ độ và tạo với hai đường thẳng x−y+12 = 0
và 2x + y + 9 = 0 một tam giác có diện tích là 1.5 đơn vị diện tích.
Write the equations of the line passing through the origin and forming, together with the line x−y+12 = 0
and 2x + y + 9 = 0 a triangle of an equal to 1.5 square units.
Đáp số. x + 2y = 0, 23x + 25y = 0.
 18.21. Cho P (3; 0) và hai đường thẳng : (d
1
) : 2x − y2 = 0, (d
2
) : x + y + 3 = 0. L ập phương trình của
đường thẳng qua P cắt(d
1
) và (d
2
) lần lượt tại A và B sao choP là trung điểm của AB.
From lines passing through the point P (3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines

2x − y − 2 = 0, x + y + 3 = 0 is bisecteted at the point P .
Đáp số. 8x −y −24 = 0.
 18.22. (280) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P (3; 0) và cắt hai đường thẳng d
1
: 2x−y−2 = 0
và d
2
: x + y + 3 = 0 lần lượt tại tại A và B sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng AB.
From lines passing through the point P (3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines
2x − y − 2 = 0 and x + y + 3 = 0 is bisected at the point P.
Đáp số. 8x −y −24 = 0.
 18.23. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(−5; 4), biết rằng ∆ cắt hai đường thẳng d
1
:
x + 2y + 1 = 0 và d
2
: x + 2y −1 = 0 lần lượt tại tại A và B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 5.
Đáp số. 3x + 4y −1 = 0 và 7x + 24y −61 = 0.
 18.24. (D, 2009)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của
cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và
6x − y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
Đáp số. 3x −4y + 5 = 0.
 18.25. (B, 2009, chương trình Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y, cho tam giác ABC cân tại
A có đỉnh A(−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x −y − 4 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B và
C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Đáp số. B
1

11
2

;
3
2

và C
1

3
2
; −
5
2

hay B
2

3
2
; −
5
2

và C
2

11
2
;
3
2


.
24
 18.26. (B, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
(x − 2)
2
+ y
2
=
4
5
và hai đường thẳng ∆
1
: x − y = 0, ∆
2
: x − 7y = 0. Xác định tạo độ tâm K và tính
bán kính của đường tròn (C
1
); biết đường tròn (C
1
) tiếp xúc với các đường thẳng ∆
1
, ∆
2
và tâm K thuộc
đường tròn (C).
Đáp số. K

8
5

;
4
5

.
 18.27. (A, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD
có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung
điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Đáp số. AB : y − 5 = 0 hoặc AB : x −4y + 19 = 0.
 18.28. (A, 2009, Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+y
2
+4x+4y+6 =
0 và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm
m để đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích của tam giác IAB lớn nhất.
Đáp số. m = 0 hoặc m =
8
15
.
 18.29. (B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC
biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; −1), đường phân giác trong của
gó c A có phương trình x −y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ đỉnh B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0.
Đáp số.

−
10
3
;
3

4

.
 18.30. (Dự bị 1, khối A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với đường
cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y + 10 = 0 và
x − y + 1 = 0, điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một đoạn bằng
√
2. Tìm toạ độ các
đỉnh của tam giác ABC.
 18.31. (Dự bị 1, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB =
√
5,
C(−1; −1), đường thẳng AB có phương trình x + 2y −3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường
thẳng x + y −2 = 0. Hãy tìm toạ độ các đỉnh A và B.
 18.32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung
sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x −2y + 3 = 0. Tìm toạ độ các điểm A và B.
Đáp số. A(2; 0), B(0; 4).
 18.33. (Dự bị 2, khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc
đường thẳng d : x −4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 và
trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ của các đỉnh A, B, C.
Đáp số.

−
2
3
; −
2
3

, B(−4; 1), C


8
3
;
8
3

.
 18.34. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với
A(1; −1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0. Viết phương trình các đường thẳng
AB, BC.
Đáp số. AB : 23x − y − 24 = 0 và BC : 19x − 13y + 8 = 0.
25