skkn bồi dưỡng học sinh lớp 4 dạng toán tìm số trung bình cộng trườn tiểu học phước hiệp

1

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Mã số: ……………………………
Kính gởi : Hội đồng chấm sáng kiến kinh ngiệm cấp tỉnh
Tác giả sáng kiến : Đỗ Thị Phương Trang
Đơn vị : Trường Tiểu học Phước Hiệp
Các đồng tác giả : không có
I. Đề nghị xét công nhận sáng kiến : Bồi dưỡng học sinh lớp 4 dạng toán Tìm số
trung bình cộng.
Lĩnh vực áp dụng: Giáo dục Tiểu học.
II. Mô tả giải pháp:
1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Dạng toán Tìm số trung bình cộng được đưa vào chương trình sách giáo
khoa Toán 4 với thời lượng rất ít tiết nên phần lớn giáo viên chưa chú trọng nhiều
đến dạng toán này. Hầu hết giáo viên chỉ dạy dựa vào quy tắc ở sách giáo khoa. Vì
thế, nếu chỉ dừng lại ở đó thì sẽ kìm hãm sự sáng tạo của những học sinh khá giỏi.
Đặc biệt đối với những bài toán khó thì không thể dạy cho học sinh cách áp dụng
công thức là có thể tìm được kết quả mà phải có cách khác để giúp các em có thể
giải hàng loạt bài toán dạng này.
* Ưu điểm:
- Giáo viên có được một số kinh nghiệm trong giảng dạy. Lên lớp dạy theo
quy trình khá nhẹ nhàng.
- Học sinh có đủ sách giáo khoa, dụng cụ học tập.
- Một số học sinh khá thông minh, có thái độ học tập tốt, có kĩ năng tính toán
khá nhanh, yêu thích học toán, ham tìm tòi, khám phá.
* Hạn chế :
2

Dạng toán Trung bình cộng được đưa vào chương trình Toán 4 gồm 3 tiết.
Cụ thể: 1 tiết cung cấp quy tắc và công thức tính trung bình cộng của nhiều số trang
26 - 27; 1 tiết Luyện tập áp dụng công thức vừa học trang 28; 1 tiết cuối cùng là ôn
tập về tìm số trung bình cộng trang 175.
Với thời lượng ít như vậy nên thực tế giáo viên chưa đầu tư nhiều vào dạng
toán này, mà nếu có dạy thì cũng chỉ dừng lại ở việc áp dụng quy tắc ở sách giáo
khoa. Như thế sẽ dẫn tới sự khó khăn cho học sinh khá giỏi khi gặp những bài khó.
Vì thế đối với những bài toán nâng cao cho học sinh khá giỏi đang còn gặp nhiều
khó khăn.
2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
a. Mục đích của giải pháp:
Nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra biện pháp để giúp học sinh khá giỏi lớp
bốn rèn kỹ năng giải dạng toán Tìm số trung bình cộng. Từ đó học sinh có thể áp
dụng thành thạo vào việc giải dạng toán Tìm số trung bình cộng và tìm ra một
hướng đi mới cho học sinh khá giỏi khi gặp dạng toán này. Góp phần nâng cao chất
lượng dạy môn Toán đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
b. Những điểm khác biệt, tính mới của giải pháp:
Các biện pháp tôi đưa ra sẽ giúp giáo viên tổ chức tiết dạy một cách nhẹ
nhàng, hợp tác, giúp học sinh phát triển năng lực cá nhân. Tạo không khí học tập
một cách tự nhiên để học sinh hứng thú, tự tin trong học tập. Ngoài ra các em nắm
chắc kĩ năng tóm tắt bài toán trước khi tìm ra cách giải phù hợp, chính xác và có hệ
thống. Học sinh có sự kiên trì trong giải toán để tìm ra cách giải sáng tạo và có thói
quen độc lập tư duy. Học sinh có phương pháp học tập cụ thể cho môn học và tham
gia vào các hoạt động học tập một cách tích cực, hứng thú, tự nhiên và tự tin.
c. Mô tả chi tiết giải pháp:
Một trong những dạng toán vận dụng nhiều trong cuộc sống và phát triển tư
duy cho học sinh đó là dạng toán Tìm số trung bình cộng. Song, việc giải các bài
toán dạng này ở chương trình Toán 4 mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh
3

biết vận dụng công thức để tính. Vì thế đối với những bài toán nâng cao cho học
sinh khá giỏi đang còn gặp nhiều khó khăn. Trước sự bất cập trong quá trình bồi
dưỡng những học sinh có năng khiếu, bản thân tôi ngoài việc áp dụng công thức
tính, tôi đã tìm ra một hướng đi mới cho học sinh khá giỏi khi gặp dạng toán Tìm số
trung bình cộng đó là “giải bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng”.
 Kiểm tra khả năng nhận thức của học sinh về dạng toán Tìm số trung
bình cộng:
Bước này sẽ được tiến hành ngay sau khi học sinh đã được học kiến thức cơ
bản ở Sách giáo khoa. Tôi ra bài kiểm tra mang tính mở để nắm bắt được trình độ
nhận thức của học sinh và từ đó có phương pháp giảng dạy cho phù hợp.
Ví dụ : Hãy giải các bài toán sau bằng hai cách:
a) Tìm 5 số lẻ liên tiếp có tổng là 105.
b) Tìm 6 số chẵn liên tiếp có tổng là 90.
Do các em đang còn khó khăn khi vừa đọc đề toán nên tôi đã gợi ý giúp các
em tìm 2 cách:
Cách 1: Các em áp dụng công thức để tính.
Cách 2: Các em tự tìm.
Sau khi thu bài kiểm tra, tôi đã thu được kết quả như sau:
SỐ HỌC SINH GIẢI THEO
CÁCH 1 ( CÁCH ÁP DỤNG
CÔNG THỨC )
SỐ HỌC SINH GIẢI THEO
CÁCH 2 ( CÁCH KHÁC)
SỐ HỌC SINH KHÔNG GIẢI
ĐƯỢC
BÀI TOÁN
TỔNG SỐ HỌC
SINH
SL TL SL TL SL TL

Bài a 10 em 8 em 80% 2 em 20% 0 em 0%
Bài b 10 em 0 em 0% 2 em 20% 8 em 80%
Với kết quả trên, tôi thật sự lo lắng. Nhìn vào cách làm của học sinh, tôi thấy
hầu như cách 2 là cách làm mà các em tự mày mò chứ không theo một công thức
nào. Đây là bài toán nhìn qua thì thấy giống nhau song ở bài b khó hơn (vì có số các
số hạng chẵn) nên học sinh sẽ không giải được theo cách áp dụng công thức tính
như ở Sách giáo khoa. Còn bài a thì dễ hơn (vì có số các số hạng lẻ) thì trung bình
4

cộng chính là số chính giữa của dãy số đó. Đây là 2 bài toán chưa thật sự khó, vậy
khi học sinh gặp những bài khó hơn sẽ như thế nào?
Sở dĩ có những hạn chế trên là do những nguyên nhân sau:
* Về phía giáo viên: Do đầu tư cho công tác nâng cao cho học sinh khá giỏi
chưa được chú tâm, nội dung kiến thức về dạng toán Tìm số trung bình cộng đưa
vào chương trình quá ít nên giáo viên chưa có thời gian luyện tập cho các em ở
dạng toán này,….
* Về phía học sinh: Do được học ít về lượng kiến thức này nên nhiều học
sinh chưa thật sự chú tâm. Với xu thế hiện nay của đời sống xã hội nên các em có
nhiều sự phân tán mất tập trung trong việc học, việc tìm tòi các tài liệu nâng cao còn
hạn chế…
 Cần cho học sinh nắm được những quy tắc cơ bản về cách tìm số trung
bình cộng:
 Công thức tìm số trung bình cộng của n số:
Số trung bình cộng = Tổng các số : n
 Nếu một trong hai số lớn hơn trung bình cộng của chúng a đơn vị thì
số đó lớn hơn số còn lại a x 2 đơn vị.
Ví dụ : Cho hai số 18 và 10 thì :
Trung bình cộng của hai số là (18 + 10) : 2 = 14
18 lớn hơn trung bình cộng của hai số là : 18 – 14 = 4
18 lớn hơn 10 là : 18 – 10 = 8

Mà 8 = 4 x 2
 Cho một dãy số cách đều :
- Nếu số các số hạng của một dãy số là một số lẻ (dãy số có từ 3 số
trở lên) thì số trung bình cộng của dãy số đã cho chính là số ở vị trí chính giữa
của dãy số này.
Ví dụ : Cho 5 số : 5, 8, 11, 14, 17 thì :
Trung bình cộng của 5 số đó là : (5 + 8 + 11 + 14 + 17) : 5 = 11
5

Mà 11 chính là số ở giữa dãy số đã cho.
- Nếu số các số hạng của dãy số là một số chẵn (dãy số có từ 2 số trở
lên) thì số trung bình cộng của dãy số đã cho đúng bằng
1
2
tổng của hai số đầu
và cuối của dãy số này; hoặc đúng bằng nửa tổng của hai số cách đều hai đầu
dãy số đã cho.
Ví dụ : Cho 6 số : 3, 7, 11, 15, 19, 23 thì :
Trung bình cộng của 6 số đó là : (3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23) : 6 = 13
Mà 13 = (3 + 23) : 2 = (7 + 19) : 2 = (11 + 15) : 2
 Trong các số đã cho, nếu một số bằng trung bình cộng của các số
còn lại thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho đó.
Ví dụ : Số thứ nhất là 86, số thứ hai là 36, số thứ ba bằng 40, số thứ tư bằng
trung bình cộng của ba số đầu. Tìm trung bình cộng của 4 số đó.
Số thứ tư : (86 + 36 + 40) : 3 = 54
Trung bình cộng của 4 số : (86 + 36 + 40 + 54) : 4 = 54
Mà 54 chính là số thứ tư.
 Cho 3 số a, b, c và số chưa biết là x. Nếu cho biết x lớn hơn (bé hơn)
số trung bình cộng của bốn số a, b, c, x là n đơn vị thì số trung bình cộng của 4
số được tìm như sau :

Số trung bình cộng của 4 số a, b, c, x = (a + b + c + n) : 3
(a, b, c, x = (a + b + c - n) : 3)
Hoặc có thể ghi :

4 3
a b c x a b c n
     

(hay
4 3
a b c x a b c n
     

)
Ví dụ 1: Cho 3 số là 17, 19, 21. Số thứ tư hơn trung bình cộng của bốn số
là 3 đơn vị.
a) Tìm trung bình cộng của bốn số đó.
b) Tìm số thứ tư.
6

Giải : a) Trung bình cộng của bốn số đó là :
17 19 21 3
20
3
  


b) Số thứ tư là : 20 + 3 = 23
Thử lại : ( 17 + 19 + 21 + 23) : 4 = 20
Ví dụ 2 : Cho 3 số là 32, 38, 35. Số thứ tư bé hơn trung bình cộng của bốn

số là 9 đơn vị. Tìm số thứ tư.
Giải : Trung bình cộng của bốn số là : (32 + 38 + 35 – 9) : 3 = 32
Số thứ tư là : 32 – 9 = 23
Thử lại : (32 + 38 + 35 + 23) : 4 = 32
 Phân loại một số dạng bài toán Trung bình cộng và cách giải chúng.
Dạng 1: Dạng toán trung bình cộng của dãy số cách đều
Đối với những bài tập dạng này sẽ có những bài toán giống như ở ví dụ trên.
Chúng được chia thành 2 loại:
- Loại bài dành cho dãy số có số các số hạng lẻ (bài a);
- Loại bài dành cho dãy số có số các số hạng chẵn (bài b).
Với bài a thì dễ dàng làm theo cách 1 (Cách áp dụng công thức tính) vì có số
số hạng lẻ nên số chính giữa chính là trung bình cộng của các số, còn bài b thì để
nguyên ta không thể áp dụng công thức tính vì số số hạng chẵn nên không có số
chính giữa trong dãy số đó. Điều này là kiến thức nâng cao học sinh chưa được biết.
Còn giải theo cách 2 ta sẽ hướng học sinh cả hai bài toán đều đưa về cách vẽ sơ đồ
để giải. Với lí luận đó, giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh giải 2 bài toán trên theo 2
cách sau:
Giải

Bài a : Cách 1: Vì dãy có 5 số lẻ liên tiếp nên số chính giữa chính là trung
bình cộng của 5 số.
Số chính giữa (số thứ 3) là: 105 : 5 = 21
Số thứ hai là: 21 - 2 = 19
Số thứ nhất là : 19 – 2 = 17
Số thứ tư là: 21 + 2 = 23
7

Số thứ năm là: 23 + 2 = 25
Đáp số: 17, 19, 21, 23, 25
Cách 2: Phân tích: Vì hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta

xem số tự nhiên thứ nhất là 1 đoạn thẳng thì số tự nhiên thứ hai là 1 đoạn thẳng
như thế và thêm 2 đơn vị. Cứ tiếp tục như thế ta sẽ có sơ đồ:


105



5 lần số thứ nhất là:
105 – ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) = 85
Số thứ nhất là: 85 : 5 = 17
Số thứ hai là: 17 + 2 = 19
Số thứ ba là : 19 + 2 = 21
Số thứ tư là: 21 + 2 = 23
Số thứ năm là: 23 +2 = 25
Đáp số: 17, 19, 21, 23, 25
Bài b:
Cách 1:
Trung bình cộng của 6 số là: 90 : 6 = 15
Vì dãy có 6 số chẵn cách đều nên trung bình cộng chính bằng nửa tổng số
đầu và số cuối.
Tổng số đầu và số cuối là:
15 x 2 = 30
Vì mỗi nhóm gồm hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, mà trong 6 số lẻ
liên tiếp thì có 5 nhóm như vậy. Do đó hiệu của số cuối và số đầu là:

Số thứ nhất:

2
Số thứ hai:


2 2

Số thứ ba:



2 2 2
Số thứ tư:



2 2 2 2
Số thứ năm:


8

5 x 2 = 10
Số đầu là: (30 – 10) : 2 = 10
Số cuối là: 30 – 10 = 20
Số chẵn thứ hai là: 10 + 2 = 12
Số chẵn thứ ba là: 12 + 2 = 14
Số chẵn thứ tư là: 14 + 2 = 16
Số chẵn thứ năm là : 16 + 2 = 18
Đáp số: 10, 12, 14, 16, 18, 20
Đây là cách giải nâng cao cho học sinh chứ không có ở trong Sách giáo khoa.

Qua việc đưa ra các ví dụ, rút ra cho học sinh cách tính trung bình cộng của dãy số
cách đều mà có số các số trong dãy là chẵn thì sẽ bằng nửa tổng của số đầu và số
cuối. Tuy nhiên đây là cách giải sẽ làm hạn chế cho những bài toán ứng dụng khác
nên tôi sẽ không đưa vào trọng tâm.
Cách 2: Vì hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu ta xem số tự
nhiên thứ nhất là 1 đoạn thẳng thì số tự nhiên thứ hai là 1 đoạn thẳng như thế và
thêm 2 đơn vị. Cứ tiếp tục như thế ta sẽ có sơ đồ:



90
6 lần số thứ nhất là:
90 – ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ) = 60
Số thứ nhất là: 60 : 6 = 10
Số thứ hai là: 10 +2 = 12
Số thứ ba là: 12 +2 = 14
Số thứ tư là: 14 +2 = 16

Số thứ nhất:



2
Số thứ hai:



2 2
Số thứ ba:

2 2 2
Số thứ tư:



2 2 2 2
Số thứ năm:



2 2 2 2 2
Số thứ sáu:







9

Số thứ năm là: 16 +2 = 18
Số thứ sáu là: 18 + 2 = 20
Đáp số: 10, 12, 14, 16, 18, 20
Qua việc đưa ra 2 cách giải đó thì ta thấy cách giải 1 sẽ khó khăn cho những
bài toán như dạng bài b. Còn cách giải thứ 2 thì sẽ thuận lợi và phù hợp cho cả
những dạng như bài toán a và b. Từ đó tôi rút ra cách giải dạng toán Tìm số trung
bình cộng bằng cách “vẽ sơ đồ đoạn thẳng”. Giải toán bằng cách vẽ sơ đồ đoạn

thẳng là một cách giải dùng những đoạn thẳng bằng nhau để biểu thị mối quan hệ
giữa đại lượng này với đại lượng kia, để từ đó giúp học sinh nhìn vào sơ đồ tìm ra
đáp án cho bài toán. Đây là một cách giải rất cụ thể và dễ đi vào nhận thức của học
sinh, giúp các em biến những cái trừu tượng thành những cái đơn giản hơn. Mặt
khác, sơ đồ đoạn thẳng học sinh đã được làm quen từ cuối học kì I của lớp 1. Nên
hướng đi này rất phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí của học sinh. Việc cung cấp cách
giải này cho học sinh chỉ được thực hiện khi các em đã được học những dạng toán
liên quan cách giải của nó như: Tổng - hiệu; Tổng (hiệu) - tỉ vì nó có mối quan hệ
mật thiết với 2 dạng toán này. Điểm mấu chốt ở đây là giáo viên phải cho học sinh
hiểu bản chất để vẽ sơ đồ đoạn thẳng là: Nếu ta xem số thứ nhất là một đoạn thẳng
thì số thứ hai là một đoạn như thế và thêm một số đơn vị. Nắm bắt được điều đó
học sinh sẽ dễ dàng vẽ được sơ đồ và tìm ra đáp án cho bài toán. Với hướng đi đó,
học sinh sẽ dễ dàng làm được một số bài toán ứng dụng của dạng này với mức độ
khó hơn như sau:
Bài 1: Trung bình cộng của 3 số là 35. Tìm số thứ ba, biết số thứ nhất gấp
đôi số thứ hai, số thứ hai gấp đôi số thứ ba
Giải

Phân tích: Vì bài toán cho trung bình cộng của 3 số nên ta áp dụng công
thức để tìm tổng 3 số rồi từ đó vẽ sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa 3 số
Tổng 3 số là: 35 x 3 = 105
Ta có sơ đồ:
10


105

Số thứ ba là: 105: ( 1+2+4) = 15
Số thứ hai là: 15 x 2 = 30
Số thứ nhất là: 30 x 2 = 60

Đáp số: 60, 30, 15
Bài 2: Trung bình cộng của ba số là 75. Nếu thêm 0 vào bên phải số thứ hai
thì được số thứ nhất. Nếu ta gấp số thứ hai lên 4 lần thì được số thứ ba. Tìm 3 số
đó?
Giải
Phân tích: Đây là bài toán cho trung bình cộng nên ta sẽ tính được tổng của
chúng. Ta xem số thứ hai là một phần thì số thứ nhất là một đoạn thẳng gồm 10
phần như thế và số thứ ba sẽ là một đoạn thẳng gồm 4 phần như thế.
Tổng của 3 số đó là:
75 x 3 = 225
Ta có sơ đồ:

225

Số thứ hai là:
225: ( 10 + 1 + 4) x 1 = 15
Số thứ nhất là:
15 x 10 = 150
Số thứ ba là:
15 x 4 = 60





Số thứ ba:

Số thứ hai:





Số thứ nhất:



Số thứ nhất:




Số thứ hai:




Số thứ ba:


11

Đáp số: 150, 15, 60
Như vậy, với việc giải bằng cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng như trên sẽ dễ dàng
cho học sinh trong tất cả những bài toán từ dễ (bài 1) đến khó (bài 2). Nó không chỉ
phục vụ riêng cho học sinh khá giỏi mà đối tượng học sinh đại trà cũng sẽ làm được

những bài đơn giản.
Dạng 2: Dạng liên quan đến bản chất của số trung bình cộng trong một
dãy:
Khác với dạng trên, dạng này là tập hợp những bài toán khó hơn dạng 1
nhưng vẫn giải theo cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng. Đối với dạng này, giáo viên cần cho
học sinh nắm chắc được bản chất sau: Nếu ta xem trung bình cộng của một dãy số
có n số là 1 đoạn thẳng thì tổng của n số đó chính là có n đoạn như thế gộp lại.
Hiểu được như thế ta sẽ hướng dẫn học sinh dựa vào những cái đã cho của từng bài
toán cụ thể rồi vẽ sơ đồ đoạn thẳng và đưa về dạng cơ bản để giải. Ta sẽ đi vào cụ
thể những bài toán sau:
Bài 1: Lân có 20 hòn bi. Long có số bi bằng một nửa số bi của Lân. Quý có số
bi nhiều hơn trung bình cộng của 3 bạn là 6 hòn bi. Hỏi Quý có bao nhiêu hòn bi?
Ở bài toán này ta có thể dựa vào quy tắc cơ bản thứ 5 (ở trên) để giải. Ngoài
ra ta có thể hướng dẫn học sinh giải như sau:
Giải
Phân tích: Ta xem trung bình cộng số bi của 3 bạn là 1 đoạn thẳng thì tổng
số bi của 3 bạn là 3 đoạn như thế gộp lại. Mà số bi của Lân đã biết, số bi của Long
ta sẽ tính qua Lân. Từ đó ta tính được số bi của Quý

Trung bình cộng số bi của cả ba bạn:



6
Số bi của cả ba bạn là:

Quý Lân + Long

6

Số bi của Quý:


Số bi của Long là:
20 : 2 = 10 (hòn bi)
Số bi của Long và Lân là:
12

10 + 20 = 30 (hòn bi)
Trung bình cộng số bi của 3 bạn là:
( 30 + 6 ) : 2 = 18 (hòn bi)
Số bi của Quý là:
18 + 6 = 24 (hòn bi)
Đáp số: 24 hòn bi
Bài 2: Khối lớp 4 của một trường Tiểu học có ba lớp. Biết rằng lớp 4A có 28
học sinh, lớp 4B có 26 học sinh. Trung bình số học sinh hai lớp 4A và 4C nhiều hơn
trung bình số học sinh của ba lớp là 2 học sinh. Tính số học sinh lớp 4C?
Giải
Phân tích: Đây là 1 bài toán khó đối với học sinh. Cần phân tích cho học sinh
thấy rõ: Nếu ta xem trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là 1 đoạn thẳng thì trung
bình cộng của hai lớp 4A và 4C là 1 đoạn dài hơn đoạn trên 2 đơn vị. Như vậy,
tổng số học sinh của 2 lớp 4A và 4C sẽ nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của ba lớp
là 2 x 2 = 4em. Đến đây dễ dàng cho học sinh thấy rõ được hướng đi cho bài toán
Ta có sơ đồ:

Trung bình cộng số học sinh 3 lớp:



2

Trung bình cộng số học sinh 4A và 4C:



2 2

Tổng số học sinh 4A và 4C:


Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C nhiều hơn 2 lần trung bình cộng của 3 lớp là:
2 + 2 = 4 (em)
Trung bình cộng số học sinh của 3 lớp là:
(26 + 4) : 1 = 30 (em)
Tổng số học sinh 2 lớp 4A và 4C là:
30 x 2 + 4 = 64 (em)
Số học sinh lớp 4C là:
64 – 28 = 36 (em)
Đáp số
: 36em
13

Bài 3: Tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) của một đội
bóng là 21 tuổi. Biết rằng tuổi của đội trưởng nhiều hơn tuổi trung bình cả đội là 10
tuổi. Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?
Giải
Phân tích: Ta xem trung bình cộng của 11 cầu thủ là 1 đoạn thẳng thì tuổi
của đội trưởng là 1 đoạn như thế và thêm 10 tuổi nữa, và tổng số tuổi 11 cầu thủ là
11 đoạn như thế. Đồng thời qua sơ đồ ta cũng thấy được mối quan hệ giữa tổng
những cầu thủ còn lại với đội trưởng, từ đó ta tìm được đáp án.
Tổng số tuổi của 10 cầu thủ (không tính đội trưởng) là:

21 x 10 = 210 (tuổi)
Ta có sơ đồ:

TB cộng số tuổi cả đội:





Đội trưởng
210 tuổi
Tổng số tuổi của cả đội:


10 lần trung bình cộng số tuổi của cả đội là:
210 + 10 = 220 (tuổi)
Trung bình cộng số tuổi của cả đội là:
220 : 10 = 22 (tuổi)
Tuổi đội trưởng là:
22 + 10 = 32 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi
Tuy nhiên chúng ta cũng không nên lạm dụng việc áp dụng hai cách giải trên
một cách máy móc vì nó phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Có những bài không
cần vẽ sơ đồ mà cũng tìm ra được cách giải đơn giản hơn như bài toán sau:
Bài 4: Tuổi trung bình của một đội bóng đá (11 người) là 22. Nếu không kể
đội trưởng thì tuổi trung bình của 10 cầu thủ còn lại chỉ là 21. Tính tuổi đội trưởng?
Giải
Phân tích: Bài này dễ dàng tìm được mà không cần vẽ sơ đồ, chỉ việc áp
dụng công thức là ta tính được.
14

Tổng số tuổi của cả đội là:
22 x 11 = 242 (tuổi)
Tổng số tuổi 10 cầu thủ kia không tính đội trưởng là:
21 x 10 = 210 (tuổi)
Tuổi của đội trưởng là:
242 – 210 = 32 (tuổi)
Đáp số: 32 tuổi
Như vậy qua cách giải hai dạng trên của dạng toán Tìm số trung bình cộng,
học sinh dễ dàng làm được rất nhiều bài toán ứng dụng. Trong quá trình học tập,
học sinh có thể tìm tòi thêm những cách khác nữa. Đó cũng là một cách thể thao trí
tuệ đầy hào hứng và hấp dẫn.
3. Khả năng áp dụng của giải pháp:
Đề tài này không chỉ áp dụng cho học sinh lớp tôi mà có thể áp dụng cho các
lớp khác trong tổ. Đề tài có thể áp dụng cho tất cả giáo viên trong các trường Tiểu
học. Chỉ cần giáo viên chịu khó nghiên cứu thì có thể dễ dàng áp dụng để có thể bồi
dưỡng học sinh lớp mình.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được:
* Đối với giáo viên:
- Việc bồi dưỡng Toán cho học sinh diễn ra nhẹ nhàng và hiệu quả. Học sinh
thích tìm tòi nhiều cách giải mới, hay cho bài toán.
- Chất lượng môn Toán của lớp tôi đã được nâng lên rõ rệt. Học sinh hiểu rõ
hơn bản chất của bài toán, biết nhận dạng và giải bài toán một cách dễ dàng và đã
biết áp dụng để giải các bài toán phức tạp hơn, tránh được lý lẽ dài dòng khó hiểu.
Đồng thời các em yêu thích học toán hơn hẳn.
* Đối với học sinh:
Với việc vận dụng cách giải trên, sau một thời gian bồi dưỡng học sinh khá
giỏi, kĩ năng giải dạng toán này của các em về dạng toán này tăng lên rõ rệt. Đến
15

thời gian cuối học kì I, tôi ra một đề thi để kiểm tra việc tiếp thu bài của 10 em học
sinh khá giỏi của lớp tôi với đề bài sau:

Trung bình cộng của 3 số là 50. Tìm số thứ ba biết nó bằng trung bình cộng
của hai số đầu.
Sau khi ra bài kiểm tra xong, tôi kiểm chứng lại thì thấy hầu như các em
làm đúng theo hướng tôi dạy. Tôi đã thu được kết quả như sau:
SỐ HỌC SINH GIẢI CÁCH 1
( Cách áp dụng công thức)
SỐ HỌC SINH GIẢI CÁCH 2
( Cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng)
LỚP
TỔNG SỐ HỌC SINH
THAM GIA LÀM BÀI

SL TL SL TL
4
1
10 em 0 em 0% 10 em 100%
Nhìn vào kết quả trên ta thấy rằng việc áp dụng các giải pháp trên đưa lại hiệu
quả thiết thực.
- Năm học 2011 – 2012 : học sinh lớp tôi tham gia thi giải toán trên mạng đạt
một giải III và một giải Khuyến khích.
- Năm học 2012 – 2013 : học sinh lớp tôi thi giải toán trên mạng đạt 2 giải
Khuyến khích.
Với kết quả khả quan đó, tôi rất phấn khởi và nhận thấy rằng những biện pháp
mà tôi đã áp dụng trong giảng dạy là đúng và mang lại hiệu quả thiết thực. Tôi rất
mong muốn cùng bạn bè đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường cùng chia sẻ, trao
đổi về phương pháp giảng dạy của mình cho dạng toán Tìm số trung bình cộng để
cùng áp dụng và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu đạt hiệu quả.

Phước Hiệp, ngày 9 tháng 8 năm 2013
NGƯỜI VIẾT


Đỗ Thị Phương Trang
Đỗ Thị Phương Trang
Trường Tiểu học Phước Hiệp, huyện
Mỏ Cày Nam
Giáo viên 8,2đ