giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí

Giáo án Bồi dưỡng HSG
PHẦN CƠ HỌC
CÁC BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT
Phần này gồm có:
- Các bài toán về chuyển động của vật và hệ vật
- Các bài toán về vận tốc trung bình
- Các bài toán về chuyển động tròn đều
- Các bài toán về công thức cộng vận tốc.
- Các bài toán về đồ thị chuyển động
A/ Các bài toán về chuyển động của vật và hệ vật
1/ Hệ vật gồm các vật chuyển động với vận tốc cùng phương:
Phương pháp: sử dụng tính tương đối của chuyển động và công thức cộng vận
tốc. trong trường hợp các vật chuyển động cùng chiều so với vật mốc thì nên
chọn vật có vận tốc nhỏ hơn làm mốc mới để xét các chuyển động.
Bài toán:
Trên một đường đua thẳng, hai bên lề đường có hai hàng dọc các vận động viên
chuyển động theo cùng một hướng: một hàng là các vận động viên chạy việt dã và
hàng kia là các vận động viên đua xe đạp. Biết rằng các vận động viên việt dã chạy
đều với vận tốc v
1
= 20km/h và khoảng cách đều giữa hai người liền kề nhau trong
hàng là l
1
= 20m; những con số tương ứng đối với hàng các vận động viên đua xe
đạp là v
2
= 40km/h và l
2
= 30m. Hỏi một người quan sát cần phải chuyển động trên
đường với vận tốc v
3

bằng bao nhiêu để mỗi lần khi một vận động viên đua xe đạp
đuổi kịp anh ta thì chính lúc đó anh ta lại đuổi kịp một vận động viên chạy việt dã
tiếp theo?
Giải:
Coi vận động viên việt dã là đứng yên so với người quan sát và vận động viên đua
xe đạp.
Vận tốc của vận động viên xe đạp so với vận động viên việt dã là: V
x
= v
2
– v
1
= 20
km/h.
Vận tốc của người quan sát so với vận động viên việt dã là: V
n
= v
3
– v
1
= v
3
– 20
Giả sử tại thời điểm tính mốc thời gian thì họ ngang nhau.
Thời gian cần thiết để người quan sát đuổi kịp vận động viên việt dã tiếp theo là:

n
V
l
t

1
1
=
Thời gian cần thiết để vận động viên xe đạp phía sau đuổi kịp vận động viên việt dã
nói trên là:

X
V
ll
t
21
2
+
=
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
1
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Để họ lại ngang hàng thì t
1
= t
2
. hay:
X
V
ll
v
l
21
3
1

20
+
=
−
Thay số tìm được: v
3
= 28
km/h
2/ Hệ vật gồm các vật chuyển động với vận tốc khác phương
Phương pháp: Sử dụng công thức cộng vận tốc và tính tương đối của chuyển
động:
Bài toán:
Trong hệ tọa độ xoy ( hình 1), có hai vật nhỏ A và B
chuyển động thẳng đều. Lúc bắt đầu chuyển động, vật A
cách vật B một đoạn l = 100m.
Biết vận tốc của vật A là v
A
= 10m/s theo hướng ox,
vận tốc của vật B là v
B
= 15m/s theo hướng oy.
a) Sau thời gian bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động,
hai vật A và B lại cách nhau 100m.
b) Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B.
Giải:
a/ Quãng đường A đi được trong t giây: AA
1
= v
A
t

Quãng đường B đi được trong t giây: BB
1
= v
B
t
Khoảng cách giữa A và B sau t giây: d
2
= (AA
1
)
2
+ (AB
1
)
2
Với AA
1
= V
A
t và BB
1
= V
B
t
Nên: d
2
= ( v
2
A
+ v

2
B
)t
2
– 2lv
B
t + l
2
(*)
Thay số và biến đổi ra biểu thức :
325t
2
– 3000t = 0
Giải ra được: t
≈
9,23 s
b/ - Xét phương trình bậc hai (*) với biến là t.
Để (*) có nghiệm thì
0'
≥∆
từ đó tìm được:
B
2
A
2
A
22
min
2
vv

vl
a4
)d(
+
=
∆
−=
- Rút ra được d
min
=
B
2
A
2
A
vv
vl
+
- Thay số tính được d
min

≈
55,47 m
3/ Chuyển động lặp:
Phương pháp: Có thể sử dụng một trong hai phương pháp sau:
a) Nếu vật chuyển động lặp không thay đổi vận tốc trên cả quá trình chuyển
động thì sử dụng tính tương đối của chuyển động
b) Nếu vật tham gia chuyển động lặp có vận tốc thay đổi trên các quãng
đường thì sử dụng phương pháp tỷ số quãng đường hoặc tính tương đối
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn

2
Giáo án Bồi dưỡng HSG
của chuyển động.
Bài toán 1: Trên quãng đường dài 100 km có 2 xe 1 và 2 cùng xuất phát và chuyển
động gặp nhau với vận tốc tương ứng là 30 km/h và 20 km/h. cùng lúc hai xe
chuyển động thì có một con Ong bắt đầu xuất phát từ xe 1 bay tới xe 2, sau khi gặp
xe 2 nó quay lại và gặp xe 1… và lại bay tới xe 2. Con Ong chuyển động lặp đi lặp
lại tới khi hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của con ong là 60Km/h. tính quãng đường
Ông bay?.
Giải:
Coi xe 2 đứng yên so với xe 1. thì vận tốc của xe 2 so với xe 1 là :
V
21
= V
2
+ V
1
= 50 Km/h
Thời gian để 2 xe gặp nhau là:
t = = = 2 h
Vì thời gian Ong bay bằng thời gian hai xe chuyển động. Nên quãng đường Ong
bay là:
S
o
= V
o
t = 60.2 = 120 Km
Bài toán 2: Một cậu bé đi lên núi với vận tốc 1m/s. khi còn cách đỉnh núi 100m
cậu bé thả một con chó và nó bắt đầu chạy đi chạy lại giữa đỉnh núi và cậu bé. Con
chó chạy lên đỉnh núi với vận tốc 3m/s và chạy lại phía cậu bé với vận tốc 5m/s.

tính quãng đường mà con chó đã chạy từ lúc được thả ra tới khi cậu bé lên tới đỉnh
núi?
Giải:
Vận tốc của cậu bé là v, vận tốc của con chó khi chạy lên là v
1
và khi chạy xuống
là v
2
. giả sử con chó gặp cậu bé tại một điểm cách đỉnh núi là L thời gian giữa hai
lần gặp nhau liên tiếp là T
Thời gian con chó chạy từ chỗ gặp cậu bé tới đỉnh núi là : L / v
1

thời gian con chó chạy từ đỉnh núi tới chỗ gặp cậu bé lần tiếp theo là: ( T- L/v
1
)
quãng đường mà con chó đã chạy trong thời gian này là : v
2
(T – L/v
1
) .
quãng đường mà cậu bé đã đi trong thời gian T là vT nên: L = vT + v
2
(T – )
Hay T =
2
1
2
)1(
vv

v
v
L
+
+

Quãng đường con chó chạy cả lên núi và xuống núi trong thời gian T là:
S
c
= L + v
2
(T – )
thay giá trị của T từ trên ta được: S
c
= L
)(
)(2
21
1221
vvv
vvvvv
+
−−

Quãng đường cậu bé đã đi trong thời gian T là: S
b
= L
)(
)(
21

21
vvv
vvv
+
+

Từ đó ta được S
c
=
2
7
S
b
= 350 m.
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
3
Giáo án Bồi dưỡng HSG
3/ Chuyển động có vận tốc thay đổi theo quy luật:
Phương pháp:
+ Xác định quy luật của chuyển động
+ Tính tổng quãng đường chuyển động. Tổng này thường là tổng của một dãy
số.
+ Giải phương trình nhận được với số lần thay đổi vận tốc là số nguyên.
Bài toán 1: Một động tử xuất phát từ A trên đường thẳng hướng về B với vận tốc
ban đầu V
0
= 1 m/s, biết rằng cứ sau 4 giây chuyển động, vận tốc lại tăng gấp 3 lần
và cứ chuyển động được 4 giây thì động tử ngừng chuyển động trong 2 giây. trong
khi chuyển động thì động tử chỉ chuyển động thẳng đều. Sau bao lâu động tử đến
B biết AB dài 6km?

Giải
Cứ 4 giây chuyển động ta gọi là một nhóm chuyển động
Dễ thấy vận tốc của động tử trong các n nhóm chuyển động đầu tiên là:
3
0
m/s; 3
1
m/s; 3
2
m/s …… , 3
n-1
m/s ,…… ,
Quãng đường tương ứng mà động tử đi được trong các nhóm thời gian tương ứng
là:
4.3
0
m; 4.3
1
m; 4.3
2
m; … ; 4.3
n-1
m;…….
Quãng đường động tử chuyển động trong thời gian này là: S
n
= 4( 3
0
+ 3
1
+ 3

2
+
….+ 3
n-1
) (m)
Hay: S
n
= 2(3
n
– 1) (m)
Ta có phương trình: 2(3
n
-1) = 6000 ⇒ 3
n
= 3001.
Ta thấy rằng 3
7
= 2187; 3
8
= 6561, nên ta chọn n = 7.
Quãng đường động tử đi được trong 7 nhóm thời gian đầu tiên là: 2.2186 = 4372
(m)
Quãng đường còn lại là: 6000 – 4372 = 1628 (m)
Trong quãng đường còn lại này động tử đi với vận tốc là ( với n = 8): 3
7
= 2187
(m/s)
Thời gian đi hết quãng đường còn lại này là:
)(74,0
2187

1628
s=
Vậy tổng thời gian chuyển động của động tử là: 7.4 + 0,74 = 28,74 (s)
Ngoài ra trong quá trình chuyển động. động tử có nghỉ 7 lần ( không chuyển động)
mỗi lần nghỉ là 2 giây, nên thời gian cần để động tử chuyển động từ A tới B là:
28,74 + 2.7 = 42,74 (giây).
Bài toán 2: Một vật chuyển động xuống dốc nhanh dần. Quãng đường vật đi được
trong giây thứ k là S = 4k - 2 (m). Trong đó S tính bằng mét, còn k = 1,2, … tính
bằng giây.
a/ Hãy tính quãng đường đi được sau n giây đầu tiên.
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
4
Giáo án Bồi dưỡng HSG
b/ Vẽ đồ thị sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian chuyển
động.
Giải:
a/ Quãng đường đi được trong n giây đầu tiên là:
S
n
= (4.1 – 2) + (4.2 – 2) + (4.3 – 2) +…….+ (4.n -2)
S
n
= 4(1 + 2 + 3 + …… + n) – 2n
S
n
= 2n(n + 1) – 2n = 2n
2
b/ Đồ thị là phần đường parabol S
n
= 2n

2
nằm bên phải trục S
n
.
B/ Các bài toán về vận tốc trung bình của vật chuyển động.
Phương pháp: Trên quãng đường S được chia thành các quãng đường nhỏ S
1
;
S
2
; …; S
n
và thời gian vật chuyển động trên các quãng đường ấy tương ứng là t
1
;
t
2
; ….; t
n
. thì vận tốc trung bình trên cả quãng đường được tính theo công thức:
V
TB
=
1 2
1 2


n
n
s s s

t t t
+ + +
+ + +

Chú ý: Vận tốc trung bình khác với trung bình của các vận tốc.
Bài toán 1: Hai bạn Hoà và Bình bắt đầu chạy thi trên một quãng đường S. Biết
Hoà trên nửa quãng đường đầu chạy với vận tốc không đổi v
1
và trên nửa quãng
đường sau chạy với vận tốc không đổi v
2
(v
2
< v
1
). Còn Bình thì trong nửa thời gian
đầu chạy với vận tốc v
1
và trong nửa thời gian sau chạy với vận tốc v
2
.
Tính vận tốc trung bình của mỗi bạn ?

Giải:
Xét chuyển động của Hoà A v
1
M v
2
B
Thời gian đi v

1
là t
1
= =
Thời gian đi v
2
là t
2
= = . Thời gian t = t
1
+ t
2
= s ( + )
vận tốc trung bình v
H
= =

(1)
Xét chuyển động của Bình A v
1
M v
2
B
s
1
= v
1
t
1
; s

2
= v
2
t
2
mà t
1
= t
2
= và s = s
1
+ s
2
=> s= ( v
1
+v
2
) => t =
vận tốc trung bình v
B
= =
Bài toán 2:
Một người đi trên quãng đường S chia thành n chặng không đều nhau, chiều dài các
chặng đó lần lượt là S
1
, S
2
, S
3
, S

n
.
Thời gian người đó đi trên các chặng đường tương ứng là t
1
, t
2
t
3
t
n
. Tính vận tốc
trung bình của người đó trên toàn bộ quảng đường S. Chứng minh rằng:vận trung
bình đó lớn hơn vận tốc bé nhất và nhỏ hơn vận tốc lớn nhất.
Giải:
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
5
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Vận tốc trung bình của người đó trên quãng đường S là: V
tb
=
tttt
ssss
n
n
++++
+++


321
321

Gọi V
1
, V
2
, V
3
V
n
là vận tốc trên các chặng đường tương ứng ta có:

;
1
1
1
t
s
v
=
;
2
2
2
t
s
v
=

;
3
3

3
t
s
v
=

;
t
s
v
n
n
n
=
giả sử V
k
lớn nhất và V
i
là bé nhất ( n ≥ k >i ≥ 1)ta phải chứng minh V
k
> V
tb
>
V
i
.Thật vậy:
V
tb
=
tttt

tvtvtvtv
n
nn
++++
+++


321
332211
= v
i

tttt
t
v
v
t
v
v
t
v
v
t
v
v
n
n
i
n
iii

++++
+++


321
3
3
2
2
1
1
.Do
v
v
i
1
;
v
v
i
1

v
v
i
1
>1 nên
v
v
i

1
t
1
+
v
v
i
1
t
2
.+
v
v
i
1
t
n
> t
1
+t
2
+ t
n
→ V
i
< V
tb
(1)
Tương tự ta có V
tb

=
tttt
tvtvtvtv
n
nn
++++
+++


321
332211
= v
k
.
tttt
t
v
v
t
v
v
t
v
v
t
v
v
n
n
k

n
kkk
++++
+++


321
3
3
2
2
1
1
.Do
v
v
k
1
;
v
v
k
1

v
v
k
1
<1
nên

v
v
k
1
t
1
+
v
v
k
1
t
2
.+
v
v
k
1
t
n
< t
1
+t
2
+ t
n
→ V
k
> V
tb

(2) ĐPCM
Bài toán 3:
Tính vận tốc trung bình của ôtô trên cả quảng đường trong hai trường hợp :
a, Nửa quãng đường đầu ôtô đi với vận tốc v
1
, Nửa quãng đường còn lại ôtô đi với
vận tốc v
2

b, Nửa thời gian đầu ôtô đi với vận tốc v
1
, Nửa thời gian sau ôtô đi với vận tốc v
2
.
Giải:
a, Gọi quảng đường ôtô đã đi là s .
Thời gian để ôtô đi hết nữa quảng đường đầu là :
1
2
=
1
1
s
t
v

Thời gian để ôtô đi hết nữa quảng đường còn lại là :
1
2
=

1
1
s
t
v

Vận tốc trung bình của ôtô trên cả quảng đường:
2
1 1
2 2
= = =
+ +
+
1 2
tb
1 2 1
1 2
2v v
s s
v
t t v v
s s
v v

b,Gọi thời gian đi hết cả quảng đường là t
Nữa thời gian đầu ôtô đi được quảng đường là :
1
2
=
1 1

s t.v

Nữa thời gian sau ôtô đi được quảng đường là :
1
2
=
2 2
s t.v

Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
6
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Vận tốc trung bình của ôtô trên cả quảng đường là :
1 1
2 2
+
+ +
= = =
1 2
1 2 1 2
tb
tv tv
s s v v
v
t t 2
C/ Các bài toán về chuyển động tròn đều.
Phương pháp:
+ Ứng dụng tính tương đối của chuyển động.
+ Số lần gặp nhau giữa các vật được tính theo số vòng chuyển động của
vật được coi là vật chuyển động.

Bài toán 1: Một người đi bộ và một vận động viên đi xe đạp cùng khởi hành ở một
địa điểm, và đi cùng chièu trên một đường tròn chu vi C = 1800m. vận tốc của
người đi xe đạp là v
1
= 22,5 km/h, của người đi bộ là v
2
= 4,5 km/h. Hỏi khi người
đi bộ đi được một vòng thì gặp người đi xe đạp mấy lần. Tính thời gian và địa điểm
gặp nhau?
Giải:
Thời gian để người đi bộ đi hết một vòng là: t = 1,8/4,5 = 0,4 h
Coi người đi bộ là đứng yên so với người đi xe đạp. Vận tốc của người đi xe đạp so
với người đi bộ là:
V = v
1
– v
2
= 22,5 – 4,5 = 18 km/h.
Quãng đường của người đi xe đạp so với người đi bộ là: S = Vt = 0,4. 18 = 7,2 km.
Số vòng người đi xe đạp đi được so với người đi bộ là: n = = 7,2/1,8 = 4 (vòng)
Vậy người đi xe đạp gặp người đi bộ 4 lần.
Khi đi hết 1 vòng so với người đi bộ thì người đi xe đạp gặp người đi bộ 1 lần ở
cuối đoạn đường.
Thời gian người đi xe đạp đi hết một vòng so với người đi bộ là: t’

= = 1,8/18 =
0,1 h
Vậy:
- Lần gặp thứ nhất sau khi xuất phát một thời gian là 0,1h cách vị trí đầu tiên là
0,1.4,5 = 0,45 km

- Lần gặp thứ hai sau khi xuất phát một thời gian là 0,2h cách vị trí đầu tiên là
0,2.4,5 =0, 9 km
- Lần gặp thứ ba sau khi xuất phát một thời gian là 0,3h cách vị trí đầu tiên là
0,3.4,5 = 1,35 km
- Lần gặp thứ tư sau khi xuất phát một thời gian là 0,4h cách vị trí đầu tiên là
0,4.4,5 = 1,8 km
Các khoảng cách trên được tính theo hướng chuyển động của hai người.
Bài toán 2: Một người ra đi vào buổi sáng, khi kim giờ và kim phút chồng lên nhau
và ở trong khoảng giữa số 7 và 8. khi người ấy quay về nhà thì trời đã ngã về chiều
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
7
Giáo án Bồi dưỡng HSG
và nhìn thấy kim giờ, kim phút ngược chiều nhau. Nhìn kĩ hơn người đó thấy kim
giờ nằm giữa số 1 và 2. Tính xem người ấy đã vắng mặt mấy giờ.
Giải:
Vận tốc của kim phút là 1 vòng/ giờ. Vận tốc của kim giờ là 1 vòng/ 12 giờ.
Coi kim giờ là đứng yên so với kim phút. Vận tốc của kim phút so với kim giờ là
(1 – ) = vòng/giờ.
Thời gian để kim giờ và kim phút gặp nhau giữa hai lần liên tiếp là: = (giờ)
Khi đó kim giờ đi được 1 đoạn so với vị trí gặp trước là: . = vòng.
Khi đó kim phút đã đi được 1 vòng tính từ số 12. nên thời gian tương ứng là (1 + )
giờ.
Khi gặp nhau ở giữa số 7 và số 8 thì kim phút đã đi được 7 vòng, nên thời điểm đó
là 7 + giờ.
Tương tự. giữa 2 lần hai kim đối nhau liên tiếp cũng có thời gian là giờ.
Chọn tại thời điểm 6h. kim phút và kim giờ đối nhau. Thì khi tới vị trí kim giờ nằm
giữa số 1 và
số 2. thì thời gian là 7 + giờ.
Chọn mốc thời gian là 12h. thì khi hai kim đối nhau mà kim giờ nằm giữa số 1 và
số 2 thì thời điểm đó là (6 + 7 + ) giờ.

Vậy thời gian người đó vắng nhà là (13 + ) – (7+ ) = 6 giờ.
Bài toán 3: Chiều dài của một đường đua hình tròn là 300m. hai xe đạp chạy trên
đường này hướng tới gặp nhau với vận tốc V
1
= 9m/s và V
2
= 15m/s. Hãy xác định
khoảng thời gian nhỏ nhất tính từ thời điểm họ gặp nhau tại một nơi nào đó trên
đường đua đến thời điểm họ lại gặp nhau tại chính nơi đó
Giải:
Thời gian để mỗi xe chạy được 1 vòng là: t
1
= = (s) , t
2
= = 20(s)
Giả sử điểm gặp nhau là M. Để gặp tại M lần tiếp theo thì xe 1 đã chạy được x
vòng và xe 2 chạy được y vòng. Vì chúng gặp nhau tại M nên:
xt
1
= yt
2
nên: =
X, y nguyên dương. Nên ta chọn x, y nhỏ nhất là x = 3, y = 5
Khoảng thời gian nhỏ nhất kể từ lúc hai xe gặp nhau tại một điểm đến thời điểm
gặp nhau cũng tại điểm đó là t = xt
1
= 3. 100 (s)
D/ Các bài toán về công thức cộng vận tốc:
Vì giới hạn của chương trình lớp 9. nên chỉ xét các vận tốc có phương tạo với
nhau những góc có giá trị đặc biệt, hoặc các vận tốc có phương vuông góc với

nhau.
Cần viết biểu thức véc tơ biểu thị phép cộng các vận tốc. căn cứ vào biểu thức
véc tơ để chuyển thành các biểu thức đại số.
Để chuyển công thức dạng véc tơ thành biểu thức đại số. ta sử dụng định lý
Pitago. Hoặc sử dụng định lý hàm số cosin và các hệ thức lượng giác trong tam
giác vuông.
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
8
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Bài toán 1: Một chiếc ô tô chạy trên đường theo phương ngang với vận tốc v = 80
km/h trong trời mưa. Người ngồi trong xe thấy rằng các hạt mưa ngoài xe rơi theo
phương xiên góc 30
0
so với phương thẳng đứng. biết rằng nếu xe không chuyển
động thì hạt mưa rơi theo phương thẳng đứng. xác định vận tốc hạt mưa?.
Giải:
+ Lập hệ véc tơ với vận tốc của hạt mưa vuông góc với mặt đất. vận tốc của xe theo
phương ngang. Hợp của các vận tốc: Vận tốc hạt mưa so với xe và vận tốc của xe
so với mặt đất chính là vận tốc của hạt mưa so với mặt đất
Từ đó tính được độ lớn vận tốc hạt mưa: V = v. tg30
0
= 46,2 km/h
Bài toán 2: Một đoàn tàu đứng yên, các giọt mưa tạo trên cửa sổ toa tàu những vệt
nghiêng góc α=30
0
so với phương thẳng đứng. Khi tàu chuyển động với vận tốc
18km/h thì các giọt mưa rơi thẳng đứng. Dùng phép cộng các véc tơ dịch chuyển
xác định vận tốc của giọt mưa khi rơi gần mặt đất.
Giải:
Lập hệ véc tơ với phương của vận tốc hạt mưa so với mặt đất tạo với phương thẳng

đứng góc 30
0
. Phương vận tốc của tàu so với mặt đất là phương ngang sao cho
tổng các véc tơ vận tốc: véc tơ vận tốc của hạt mưa so với tàu và véc tơ vận tốc của
tàu so với mặt đất chính là véc tơ vận tốc của hạt mưa so với đất.
Khi đó vận tốc hạt mưa V = v.cot30
0
= 31 km/h
E/ Các bài toán về đồ thị chuyển động:
Phương pháp: Cần đọc đồ thị và liên hệ giữa các đại lượng được biểu thị trên đồ
thị. Tìm ra được bản chất của mối liên hệ và ý nghĩa các đoạn, các điểm được
biểu diễn trên đồ thị.
Có 3 dạng cơ bản là dựng đồ thị, giải đồ thị bằng đường biểu diễn và giải đồ thị
bằng diện tích các hình biểu diễn trên đồ thị:
Bài toán 1: Trên đoạn đường thẳng dài,
các ô tô đều chuyển động với vận
tốc không đổi v
1
(m/s) trên cầu chúng phải
chạy với vận tốc không đổi v
2
(m/s)
Đồ thị bên biểu diễn sự phụ thuộc khoảng
Cách L giữa hai ô tô chạy kế tiếp nhau trong
Thời gian t. tìm các vận tốc V
1
; V
2
và chiều
Dài của cầu.

Giải:

Từ đồ thị ta thấy: trên đường, hai xe cách nhau 400m
Trên cầu chúng cách nhau 200 m
Thời gian xe thứ nhất chạy trên cầu là T
1
= 50 (s)
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
9
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Bắt đầu từ giây thứ 10, xe thứ nhất lên cầu và đến giây thứ 30 thì xe thứ 2 lên cầu.
Vậy hai xe xuất phát cách nhau 20 (s)
Vậy: V
1
T
2
= 400 ⇒ V
1
= 20 (m/s)
V
2
T
2
= 200 ⇒ V
2
= 10 (m/s)
Chiều dài của cầu là l = V
2
T
1

= 500 (m)
Bài toán 2: Trên đường thẳng x
/
Ox. một xe chuyển động qua các giai đoạn có đồ
thị biểu diễn toạ độ theo thời gian như hình vẽ, biết đường cong MNP là một phần
của parabol đỉnh M có phương trình dạng: x = at
2
+ c.Tìm vận tốc trung
bình của xe trong khoảng thời gian từ 0 đến 6,4h và vận tốc ứng với giai đoạn PQ?
Giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy:
Quãng đường xe đi được: S = 40 + 90 + 90 = 220 km
Vậy:
375,34
4.6
220
===
t
S
V
TB
km/h
b/ Xét phương trình parabol:
x = at
2
+ c.
Khi t = 0; x = - 40. Thì c = - 40
Khi t = 2; x = 0. Thì a = 10
Vậy x = 10t
2

– 40.
Xét tại điểm P. Khi đó t = 3 h. thay vào ta tìm
được x = 50 km.
Vậy độ dài quãng đường PQ là
S’ = 90 – 50 = 40 km.
Thời gian xe chuyển động trên quãng đường này
là: t’ = 4,5 – 3 = 1,5 (h)
Vận tốc trung bình của xe trên quãng đường này
là:
3
80
5,1
40
'
'
'
===
t
S
V
TB
km/h
Bài toán 3: Một nhà du hành vũ trụ chuyển
động dọc theo một đường thẳng từ A đến
B. Đồ thị chuyển động được biểu thị như
hình vẽ. (V là vận tốc nhà du hành, x là
khoảng cách từ vị trí nhà du hành tới vật
mốc A ) tính thời gian người đó chuyển
động từ A đến B (Ghi chú: v
-1

=
v
1
)
Giải:
Thời gian chuyển động được xác định bằng công thức: t =
v
x
= xv
-1
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
10
Giỏo ỏn Bi dng HSG
T th ta thy tớch ny chớnh l din tớch hỡnh c gii hn bi th, hai trc
to v on thng MN.Din tớch ny l 27,5 n v din tớch.
Mi n v din tớch ny ng vi thi gian l 1 giõy. Nờn thi gian chuyn ng
ca nh du hnh l 27,5 giõy.
Bài tập 4 : Vào lúc 6h , một xe tải đi từ A về C,đến 6h 30ph một xe tải khác đi từ B
về C với cùng vận tốc của xe tải 1. Lúc 7h, một ô tô đi từ A về C, ô tô gặp xe tải thứ
1lúc 9h, gặp xe tải 2 lúc 9h 30ph.Tìm vận tốc của xe tải và ô tô. Biết AB =30km

Gợi ý phơng pháp giải
Gọi vận tốc ô tô là a, vận tốc xe tải là b.
Khi ô tô gặp xe tải 1 xe tải 1 đã đi mất 3h, xe ô tô đã đi
mất 2h. vì quảng đờng đi bằng nhau nên: 3.a = 2.b (1)
Khi ô tô gặp xe tải 2 thì xe tải 2 đã đi mất 3h,còn ô tô
đi mất 2,5 h. vì ô tô đi nhiều hơn xe tải một đoạn 0
AB = 30 km nên 2,5 b - 3a = 30 (2)
từ (1) và (2) a = 40km/h, b = 60 km/h.
Cỏc bi tp v nh

1.2.5 Cho đồ thị chuyển động của 2 xe nh hình 1.2.5
a. Nêu đặc điểm chuyển đọng của 2 xe.
b. Xe thứ 2 phải chuyển động với vận tốc bao nhiêu để gặp xe thứ nhất 2 lần.
1.2.6. Cho đồ thị chuyển động của 2 xe nh hình 1.2.6
a. Nêu các đặc điểm chuyển động của mỗi xe. Tính thời điểm và thời gian 2 xe gặp
nhau? lúc đó mỗi xe đã đi đợc quãng đờng bao nhiêu.
b. Khi xe 1 đi đến B xe 2 còn cách A bao nhiêu km?
c. để xe 2 gặp xe thứ nhất lúc nó nghỉ thì xe 2 phải chuyển động với vận tốc bao
nhiêu?
1.2.7. Cho đồ thị h-1.2.7
a. Nêu đặc điểm chuyển động của mỗi xe. Tính thời điểm và vị trí các xe gặp nhau.
Giỏo viờn : Phm Nh Bo - Trng DTNT Thanh Sn
11
Giỏo ỏn Bi dng HSG
b. Vận tốc của xe 1 và xe 2 phải ra sao để 3 xe cùng gặp nhau khi xe 3 nghỉ tại ki lô
mét 150. Thời điểm gặp nhau lúc đó, vận tốc xe 2 bằng 2,5 lần vận tốc xe 1. Tìm
vận tốc mỗt xe?
CC BI TON V IU KIN CN BNG
VT RN V MY C N GIN
Phn ny gm cú:
+ Cỏc bi toỏn v iu kin cõn bng ca vt rn v mụ men lc
+ cỏc bi toỏn v mỏy c n gin v s kt hp gia cỏc mỏy c
+ cỏc bi toỏn v s kt hp gia mỏy c n gin v c thy tnh
A. Lý thuyt
I. Quy tc hp lc.
1. Quy tc tng hp hai lc ng quy ( quy
tc hỡnh bỡnh hnh).
Hp lc ca hai lc ng quy ( cựng im t)
cú phng trựng
vi ng chộo ca hỡnh bỡnh hnh m hai

cnh l hai lc ú,
ln ca hp lc l di ng chộo.
2. Tng hai lc song song cựng chiu:
Hp lc ca hai lc song song cựng chiu l mt lc cựng
phng, ln bng tng hai lc thnh phn, cú giỏ chia
trong khong cỏch gia hai giỏ ca hai lc thnh phn
thnh nhng on thng t l nghch vi hai lc y.
Giỏo viờn : Phm Nh Bo - Trng DTNT Thanh Sn
12
1
F
r
O
P
2
F
r
F
r
l
1
l
1
l
1
l
1
l
2

P
ur
F
r
T
ur
h
Giáo án Bồi dưỡng HSG
1 2
1 2
2 1
F l
F F F ;
F l
= + =
3. Tổng hợp hai lực song song ngược chiều:
Hợp lực của hai lực song song ngược chiều là một lực
có phương cùng phương với lực lớn hơn, độ lớn bằng hiệu
hai lực thành phần, có giá chia ngời khoảng cách giữa hai
giá của hai lực thành phần thành những đoạn thẳng tỉ lệ
nghịch với hai lực ấy.
1 2
1 2
2 1
F l
F F F ;
F l
= − =
IV. Các máy cơ đơn giản
1. Ròng rọc cố định.

Dùng ròng rọc cố định không được lợi gì về lực,
đường đi do đó không được lợi gì về công.
F P;s h= =
2. Ròng rọc động.
+ Với 1 ròng rọc động: Dùng ròng rọc động được lợi hai lần về lực nhưng
lại thiệt hai lần về đường đi do đó không được lợi gì về công.
P
F ;s 2h
2
= =
+ Với hai ròng rọc động: Dùng 2 ròng rọc động được lợi 4 lần về lực nhưng
lại thiệt 4 lần về đường đi do đó không được lợi gì về công.
P
F ;s 4h
4
= =
+ Tổng quát: Với hệ thống có n ròng rọc động thì ta có:
n
n
P
F ;s 2 h
2
= =
3. Đòn bẩy.
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
13
l
1
l
1

l
1
l
1
l
2
P
ur
•
F
r
T
ur
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Dùng đòn bẩy đượclợi bao nhiêu lần về lực thì thiệt bấy nhiêu lần về đường
đi do đó không được lợi gì về công.

1 1 2 2
F.l F .l=
( áp dụng điều kiện cân bằng của một vật có trục quay cố định)
Trong đó F
1
; F
2
là các lực tác dụng lên đòn bẩy, l1; l2 là các tay đòn của
lực hay khoảng cách từ giá của các lực đến trục quay.
I/ Các bài toán về điều kiện cân bằng của vật rắn và mô men lực:
Phương pháp: Cần xác định trục quay, xác định các vét tơ lực tác dụng lên vật.
Xác định chính xác cánh tay đòn của lực. Xác định các mô men lực làm vật
quay theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ. sử dụng điều kiện

cân bằng của vật rắn để lập phương trình.
Bài toán 1: Một thanh thẳng AB đồng chất, tiết diện đều có rãnh dọc, khối lượng
thanh m = 200g, dài l = 90cm.Tại A, B có đặt 2 hòn bi trên rãnh mà khối lượng lần
lượt là m
1
= 200g và m
2
. Đặt thước (cùng 2 hòn bi ở A, B) trên mặt bàn nằm ngang
vuông góc với mép bàn sao cho phần OA nằm
trên mặt bàn có chiều dài l
1
= 30cm, phần OB
ở mép ngoài bàn.Khi đó người ta thấy thước cân
bằng nằm ngang (thanh chỉ tựa lên điểm O ở mép bàn)
a) Tính khối lượng m
2
.
b) Cùng 1 lúc , đẩy nhẹ hòn bi m
1
cho chuyển động đều trên rãnh với vận tốc v
1
= 10cm/s về phía O và đẩy nhẹ hòn bi m
2
cho chuyển động đều với vận tốc
v
2
dọc trên rãnh về phía O.Tìm v
2
để cho thước vẫn cân bằng nằm ngang như
trên.

Giải:
a/ Trọng tâm của thanh là I ở chính giữa thanh. Nên cách điểm O là 0,15 m
Mô men do trọng lượng của bi m
1
: m
1
.OA
Mô men do trọng lượng thanh gây ra: m.OI
Mô men do bi m
2
gây ra là: m
2
OB
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
14
O
2
F
uur
1
F
ur
l
2
l
1
A
B
O
2

F
uur
1
F
ur
l
2
l
1
A
B
m
1
A
m
2
B
O
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Để thanh đứng cân bằng: m
1
OA = m.OI + m
2
.OB
Thay các giá trị ta tìm được m
2
= 50 g.
b/ Xét thời điểm t kể từ lúc hai viên bi bắt đầu chuyển động.
Cánh tay đòn của bi 1: (OA – V
1

t) nên mô men tương ứng là: m
1
(OA – v
1
t)
Cánh tay đòn của viên bi 2: (OB – v
2
t) nên mô men là: m
2
(OB – V
2
t)
Thước không thay đổi vị trí nên mô men do trọng lượng của nó gây ra là OI.m
Để thước cân bằng: m
1
(OA – v
1
t) = m
2
(OB – V
2
t) + OI.m
Thay các giá trị đã cho vào ta tìm được v
2
= 4v
1
= 40cm/s
Bài toán 2: Một thanh dài l = 1m có trọng lượng P = 15N, một đầu được gắn vào
trần nhà nhờ một bản lề.Thanh được giữ nằm nghiêng nhờ một sợi dây thẳng
đứng buộc ở dầu tự do của thanh. Hãy tìm lực căng F của dây nếu trọng tâm

của thanh cách bản lề một đoạn bằng d = 0,4m.
Giải:
Mô men gây ra do trọng lượng của thanh tại trọng tâm của nó: P.OI
Mô men do lực căng sợi dây gây ra: F.OA
Vì thanh cân bằng nên: P.OI = F.OA
Hay: F/P = OI/OA = OG/OB = 0,4 hay F = 0,4 P = 0,4.15 = 6N
Bài toán 3:
Một thanh mảnh, đồng chất, phân bố
đều khối lượng có thể quay quanh trục
O ở phía trên. Phần dưới của thanh
nhúng trong nước, khi cân bằng thanh
nằm nghiêng như hình vẽ, một nửa
chiều dài nằm trong nước. Hãy xác
định khối lượng riêng của chất làm thanh đó.
Giải:
Khi thanh cân bằng, các lực tác dụng lên
thanh gồm: Trọng lực P tập trung ở
điểm giữa của thanh (trọng tâm của
thanh) và lực đẩy Acsimet F
A
tập trung
ở trọng tâm phần thanh nằm trong nước
(hình bên).
Gọi l là chiều dài của thanh.
F
A
d
1
P d
2

Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
15
•
A
O
I
G
B
O
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Mô men do lực ác si mét gây ra:F
A
d
1
Mô men do trọng lượng của thanh gây ra: Pd
2
Ta có phương trình cân bằng lực:

3
2
4
3
2
1
1
2
===
l
l
d

d
P
F
A
(1)
Gọi D
n
và D là khối lượng riêng của nước và chất làm thanh. M là khối lượng của
thanh, S là tiết diện ngang của thanh
Lực đẩy Acsimet: F
A
= S.
2
1
.D
n
.10 (2)
Trọng lượng của thanh: P = 10.m = 10.l.S.D (3)
Thay (2), (3) vào (1) suy ra:
2
3
S.l.D
n
.10 = 2.10.l.S.D
⇒ Khối lượng riêng của chất làm thanh:
D =
4
3
D
n

Bài toán 4: Một hình trụ khối lượng M đặt trên đường ray,
đường này nghiêng một góc α so với mặt phẳng nằm ngang.
Một trọng vật m buộc vào đầu một sợi dây quấn quanh hình
trụ phải có khối lượng nhỏ nhất là bao nhiêu để hình trụ lăn
lên trên? Vật chỉ lăn không trượt, bỏ qua mọi ma sát.

Bài giải:
Gọi R là bán kính khối trụ. P
M
là trọng lượng khối trụ
T là sức căng sợi dây.Ta có:
P
M
= 10M. Và T = 10m
Khối trụ quay quanh điểm I là điểm
tiếp xúc giữa khối trụ và đường ray.
Từ hình vẽ HI là cánh tay đòn của lực
P
M
và IK là cánh tay đòn của lực T . Ta có:
HI = Rsinα và IK = R - IH = R(1 - sinα)
Điều kiện để khối trụ lăn lên trên là
T. IK ≥ P
M
. IH
Hay 10m.IK ≥ 10M. IH hay m ≥ M
Thay các biểu thức của IH và IK vào ta được:
m ≥ M Khối lượng nhỏ nhất của vật m để khối trụ lăn đều lên trên là:
m = M
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn

16
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Bài toán 5: l
2
l
1
Một thanh đồng chất tiết diện đều, đặt trên
thành của bình đựng nước, ở đầu thanh có buộc một quả
cầu đồng chất bán kính R, sao cho quả cầu ngập hoàn toàn
trong nước. Hệ thống này cân bằng như hình vẽ.
Biết trọng lượng riêng của quả cầu và nước lần lượt là d và d
o
,
Tỉ số l
1
:l
2
= a:b. Tính trọng lượng của thanh đồng chất nói trên.
Có thể sảy ra trường hợp l
1
>l
2
được không? Giải thích?
Giải:
Gọi chiều dài của thanh là L và trọng tâm của thanh là O. Thanh quay tại điểm tiếp
xúc N của nó với thành cốc. Vì thành đồng chất, tiết diện đều nên trọng tâm của
thanh là trung điểm của thanh.
Vì l
1
:l

2
= a:b nên l
2
= b và l
1
= a
Gọi trọng lượng của thanh đồng chất là P
0
thì cánh tay đòn của P
0
là l
2
thì ta có
l
2
- = L
Mô Men của nó là M
1
= L .P
0
Trọng lượng quả cầu là P = dV , Lực ác si mét tác dụng lên quả cầu là F
A
= d
0
V
Lực tác dụng lên đầu bên phải của thanh là F = P - F
A
= (d - d
0
)V

lực này có cánh tay đòn là l
1
và mô men của nó là M
2
= a (d - d
0
)V
Vì thanh cân bằng nên: M
1
= M
2
⇒ L .P
0
= a (d - d
0
)V
Từ đó tìm được P
0
= Thay V = πR
3
ta được trọng lượng của thanh đồng chất
Trong trường hợp l
1
> l
2
thì trọng tâm của thanh ở về phía l
1
. trọng lượng của thanh
tạo ra mô men quay theo chiều kim đồng hồ. Để thanh cân bằng thì hợp lực của quả
cầu và lực đẩy ác si mét phải tạo mô men quay ngược chiều kim đồng hồ. khi đó

F
A
> P
Vậy trường hợp này có thể sảy ra khi độ lớn của lực đẩy ác si mét lên quả cầu lớn
hơn trọng lượng của nó.
II/ Các bài toán về máy cơ đơn giản:
Phương pháp:
+ Xác định các lực tác dụng lên các phần của vật.Sử dụng điều kiện cân
bằng của một vật để lập các phương trình
Chú ý:
+ Nếu vật là vật rắn thì trọng lực tác dụng lên vật có điểm đặt tại khối tâm
của vật.
+ Vật ở dạng thanh có tiết diện đều và khối lượng được phân bố đều trên
vật, thì trọng tâm của vật là trung điểm của thanh. Nếu vật có hình dạng tam
giác có khối lượng được phân bố đều trên vật thì khối tâm chính là trọng tâm
hình học của vật
+ Khi vật cân bằng thì trục quay sẽ đi qua khối tâm của vật
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
17
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Bài toán 1: Tấm ván OB có khối lượng không đáng kể, đầu O đặt trên 1 dao cứng
tại O, đầu B được treo bằng 1 sợi dây vắt qua ròng rọc cố định R (ván quay được
quanh O).Một người có khối lượng 60kg đứng trên tấm ván
a) Lúc đầu, người đó đứng tại điểm A sao cho OA = 2/3 OB (Hình 1)
b) Tiếp theo thay ròng rọc cố định R bằng 1 palăng gồm 1 ròng rọc cố định R
và 1 ròng rọc
động R
/
đồng thời di chuyển vị trí đứng của người đó về điểm I sao cho OI = 1/2
OB (Hình 2)

c) Sau cùng palăng ở câu b được mắc theo cách khác nhưng vẫn có OI = 1/2
OB (Hình 3)
Hỏi trong mỗi trường hợp a), b), c) người đó phải tác dụng vào dây 1 lực F bằng
bao nhiêu để tấm ván nằm ngang thăng bằng?Tính lực F
/
do ván tác dụng vào điểm
tựa O trong mỗi trường hợp (bỏ qua ma sát ở các ròng rọc và trọng lượng của dây,
của ròng rọc)

Hình 1 Hình 2 Hình 3

Giải:
a) Ta có : (P - F).OA = F.OB suy ra : F = 240N
Lực kéo do tấm ván tác dụng vào O: F
/
= P - F - F = 120N
b) Ta có F
B
= 2F và (P - F).OI = F
B
.OB suy ra : F = 120N
Lực kéo do tấm ván tác dụng vào O: F
/
= P - F - 2F = 240N
c) Ta có F
B
= 3F và (P + F).OI = F
B
.OB suy ra : F = 120N
Lực kéo do tấm ván tác dụng vào O: F

/
= P + F - 3F = 360N
Bài toán 2: Một người có trọng lượng P
1
đứng trên tấm
ván có trọng lượng P
2
để kéo đầu một sợi dây vắt qua hệ
ròng rọc ( như hình vẽ). Độ dài tấm ván giữa hai điểm
treo dây là l. bỏ qua trọng lượng của ròng rọc, sợi dây
và mọi ma sát.
a) Người đó phải kéo dây với một lực là bao
nhiêu và người đó đứng trên vị trí nào của tấm ván
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
18
O
A
B
F
F
R
P
O
I
B
R
/
F
R
P

O
I
B
R/
F
R
P
K
Giáo án Bồi dưỡng HSG
để duy trì tấm ván ở trạng thái nằm ngang?
b) Tính trọng lượng lớn nhất của tấm ván để người
đó còn đè lên tấm ván.

Giải:
a/ Gọi T
1
là lực căng dây qua ròng rọc cố định.
T
2
là lực căng dây qua ròng rọc động, Q là áp lực của
người lên tấm ván. Ta có: Q = P
1
- T
2
và T
1
= 2T
2
(1)
Để hệ cân bằng thì trọng lượng của người và ván cân

bằng với lực căng sợi dây. Vậy: T
1
+ 2T
2
= P
1
+ P
2

Từ (1) ta có: 2T
2
+ 2T
2
= P
1
+ P
2
hay T
2
=

Vậy để duy trì trạng thái cân bằng thì người phải tác
dụng một lực lên dây có độ lớn là
F = T
2
=



Gọi B là vị trí của người khi hệ cân bằng, khoảng cách từ

B đến đầu A của tấm ván là l
0
. Chọn A làm điểm tựa.
để tấm ván cân bằng theo phương ngang thì
T
2
l
0
+ T
2
l = P
1
l
0
+ ⇒ (T
2
- 0,5P
2
)l = (P
1
- T
2
)l
0

Vậy: l
0
= Thay giá trị T
2
ở trên và tính toán được: l

0
=

Vậy vị trí của người để duy trì ván ở trạng thái nằm ngang là cách đầu A một
khoảng
l
0
=
b/ Để người đó còn đè lên tấm ván thì Q ≥ 0 ⇒ P
1
- T
2
≥ 0 ⇒ P
1
-

≥ 0
hay: 3P
1
≥ P
2
Vậy trọng lượng lớn nhất của ván để người đó còn đè lên tấm ván là: P
2max
= 3P
1
Bài toán 3: Một miếng gỗ mỏng, đồng chất hình tam giác
vuông có chiều dài 2 cạnh góc vuông : AB = 27cm, AC = 36cm
và khối lượng m
0
= 0,81kg; đỉnh A của miếng gỗ được treo bằng

một dây mảnh, nhẹ vào điểm cố định 0.
a) Hỏi phải treo một vật khối lượng m nhỏ nhất bằng bao nhiêu
tại điểm nào trên cạnh huyển BC để khi cân bằng cạnh huyền BC
nằm ngang?
b) Bây giờ lấy vật ra khỏi điểm treo(ở câu a)Tính góc hợp bởi
cạnh huyền BC với phương ngang khi miếng gỗ cân bằng
Giải:
a) Để hệ cân bằng ta có :P.HB = P
0
.HK hay m.HB = m
0
.HK
+Mà HB = AB
2
/BC = 27
2
/45 = 16,2cm
+HK = 2/3.HI = 2/3.(BI - BH) = 2/3(45/2 - 16,2) = 4,2cm
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
19
O
B
C
A
H
G
P
0
I
Giáo án Bồi dưỡng HSG

+m = 4,2/16,2 . 0,81 = 0,21kg
Vậy để cạnh huyền BC nằm ngang thì vật m phải đặt tại B
và có độ lớn là 0,21kg
b) Khi bỏ vật, miếng gỗ cân bằng thì trung tuyến AI có
phương thẳng đứng
+Ta có : Sin BIA/2 =
2/
2/
BC
AB
= 27/45 = 0,6 Suy ra BIA = 73,74
0
+Do BD//AI Suy ra DBC = BIA = 73,74
0
+Góc nghiêng của cạnh huyền BC so với phương ngang
α = 90
0
- DBC = 90
0
- 73,74
0
= 16,26
0
III/ Các bài toán về sự kết hợp giữa máy cơ đơn giản và lực đẩy ác si mét:
Bài toán 1: Hai quả cầu bằng kim loại có khối lượng bằng nhau được treo vào hai
đĩa của
một cân đòn. Hai quả cầu có khối lượng riêng lần lượt là D
1
= 7,8g/cm
3

; D
2
=
2,6g/cm
3
. Nhúng quả cầu thứ nhất vào chất lỏng có khối lượng riêng D
3
, quả cầu
thứ hai vào chất lỏng có khối lượng riêng D
4
thì cân mất thăng bằng. Để cân thăng
bằng trở lại ta phải bỏ vào đĩa có quả cầu thứ hai một khối lượng m
1
= 17g. Đổi vị
trí hai chất lỏng cho nhau, để cân thăng bằng ta phải thêm m
2
= 27g cũng vào đĩa có
quả cầu thứ hai. Tìm tỉ số hai khối lượng riêng của hai chất lỏng.
Giải:
Do hai quả cầu có khối lượng bằng nhau. Gọi
V
1
, V
2
là thể tích của hai quả cầu, ta có
D
1
. V
1
= D

2
. V
2
hay
3
6,2
8,7
2
1
1
2
===
D
D
V
V
Gọi F
1
và F
2
là lực đẩy Acsimet tác dụng
vào các quả cầu. Do cân bằng ta có:
(P
1
- F
1
).OA = (P
2
+P
’

– F
2
).OB
Với P
1
, P
2
, P
’
là trọng lượng của các quả cầu
và quả cân; OA = OB; P
1
= P
2
từ đó suy ra:
P
’
= F
2
– F
1
hay 10.m
1
= (D
4.
V
2
- D
3
.V

1
).10
Thay V
2
= 3 V
1
vào ta được: m
1
= (3D
4
- D
3
).V
1

(1)
Tương tự cho lần thứ hai ta có;
(P
1
- F
’
1
).OA = (P
2
+P
’’
– F
’
2
).OB

⇒ P
’’
= F
’
2
- F
’
1
hay 10.m
2
=(D
3
.V
2
- D
4
.V
1
).10
⇒ m
2
= (3D
3
- D
4
).V
1
(2)
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
20

P
O
H
B
D
C
A
I
G
Giáo án Bồi dưỡng HSG

43
34
2
1
D -3D
D -3D
)2(
)1(
==
m
m
⇒ m
1
.(3D
3
– D
4
) = m
2

.(3D
4
– D
3
)
⇒ ( 3.m
1
+ m
2
). D
3
= ( 3.m
2
+ m
1
). D
4
⇒
21
12
4
3
3
3
mm
mm
D
D
+
+

=
= 1,256
Bài toán 2: Hai quả cầu giống nhau được nối với nhau bởi một
sợi dây nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc cố định. Một quả nhúng
trong bình nước (hình vẽ). Tìm vận tốc chuyển động của các quả
cầu. Biết rằng khi thả riêng một quả cầu vào bình nước thì quả
cầu chuyển động đều với vận tốc V
0
. Lực cản của nước tỷ lệ với
vận tốc quả cầu. Cho khối lượng riêng của nước và chất làm quả
cầu lần lượt là D
0
và D.
Giải:
Gọi trọng lượng mỗi quả cầu là P, Lực đẩy ác si mét lên quả
cầu là F
A
. Khi nối hai quả cầu như hình vẽ thì quả cầu chuyển động
từ dưới lên trên. F
c1
và F
c2
là lực cản của nước lên quả cầu trong
hai trường hợp nói trên. T là sức căng sợi dây. Ta có:
P + F
c1
= T + F
A
⇒ F
c1

= F
A
( vì P = T) suy ra F
c1
= V.10D
0

Khi thả riêng quả cầu trong nước, do quả cầu chuyển động từ trên
xuống dưới nên:
P = F
A
- F
c2
⇒ F
c2
= P - F
A
= V.10(D - D
0
)
Do lực cản của nước tỷ lệ với vận tốc quả cầu nên ta có:
=


Nên vận tốc của quả cầu trong nước là: v =

Bài toán 3: hệ gồm ba vật đặc và ba ròng rọc được bố trí
như hình vẽ. Trọng vật bên trái có khối lượng m = 2kg
và các trọng vật ở hai bên được làm bằng nhôm có khối
lượng riêng D

1
= 2700kg/m
3
. Trọng vât ở giữa là các khối
được tạo bởi các tấm có khối lượng riêng D
2
= 1100kg/m
2
Hệ ở trạng thái cân bằng. Nhúng cả ba vật vào nước,
muốn hệ căn bằng thì thể tích các tấm phải gắn thêm hay
bớt đi từ vật ở giữa là bao nhiêu? Cho khối lượng riêng
của nước là D
0
= 1000kg/m
3
. bỏ qua mọi ma sát.
Giải:
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
21
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Vì bỏ qua mọi ma sát và hệ vật cân bằng nên khối lượng vật bên phải cũng bằng m
và khối lượng vật ở giữa là 2m. Vậy thể tích vật ở giữa là: V
0
= = 3,63 dm
3
Khi nhúng các vật vào nước thì chúng chịu tác dụng của lực đẩy ác si mét. Khi đó
lực căng của mỗi sợ dây treo ở hai bên là: T = 10( m - D
0
)
Để cân bằng lực thì lực ở sợi dây treo chính giữa là 2T. Gọi thể tích của vật ở giữa

lúc này là V thì:
= 2T - 2.10m( 1 -

) Vậy V =

= 25,18 dm
3
Thể tích của vật ở giữa tăng thêm là: ∆V = V - V
0
= 21,5 dm
3
.

CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG VÀ CÔNG SUẤT
Bài toán 1:
Một bình chứa một chất lỏng có trọng lượng riêng d
0
, chiều cao của cột chất lỏng
trong bình là h
0
. Cách phía trên mặt thoáng một khoảng h
1
, người ta thả rơi thẳng
đứng một vật nhỏ đặc và đồng chất vào bình chất lỏng. Khi vật nhỏ chạm đáy bình
cũng đúng là lúc vận tốc của nó bằng không. Tính trọng lượng riêng của chất làm
vật. Bỏ qua lực cản của không khí và chất lỏng đối với vật

Giải
Khi rơi trong không khí từ C đến D vật chịu tác dụng của trọng lực P.
Công của trọng lực trên đoạn CD = P.h

1
đúng bằng động năng của vật ở D :
A
1
= P.h
1
= W
đ
Tại D vật có động năng W
đ
và có thế năng so với đáy bình E là W
t
= P.h
0
Vậy tổng cơ năng của vật ở D là :
W
đ
+ W
t
= P.h
1
+ P.h
0
= P (h
1
+h
0
)
Từ D đến C vật chịu lực cản của lực đẩy Acsimet F
A

:
F
A
= d.V
Công của lực đẩy Acsimet từ D đến E là
A
2
= F
A
.h
0
= d
0
Vh
0
Từ D đến E do tác động của lực cản là lực đẩy Acsimet nên cả động năng và thế
năng của vật đều giảm. đến E thì đều bằng 0. Vậy công của lực đẩy Acsimét bằng
tổng động năng và thế năng của vật tại D:
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
22
Giáo án Bồi dưỡng HSG
⇒ P (h
1
+h
0
) = d
0
Vh
0
⇒ dV (h

1
+h
0
) = d
0
Vh
0
⇒ d =
01
00
hh
hd
+
Bài toán 2: Một vật nặng bằng gỗ, kích thước nhỏ, hình trụ, hai đầu hình nón
được thả không có vận tốc ban đầu từ độ cao 15 cm xuống nước. Vật tiếp tục rơi
trong nước, tới độ sâu 65 cm thì dừng lại, rồi từ từ nổi lên. Xác định gần đúng khối
lượng riêng của vật. Coi rằng chỉ có lực ác si mét là lực cản đáng kể mà thôi. Biết
khối lượng riêng của nước là 1000 kg/m
3
.
Giải: Vì chỉ cần tính gần đúng khối lượng riêng của vật và vì vật có kích thước nhỏ
nên ta có thể coi gần đúng rằng khi vật rơi tới mặt nước là chìm hoàn toàn ngay.
Gọi thể tích của vật là V và khối lượng riêng của vật là D, Khối lượng riêng của
nước là D’. h = 15 cm; h’ = 65 cm.
Khi vật rơi trong không khí. Lực tác dụng vào vật là trọng lực.
P = 10DV
Công của trọng lực là: A
1
= 10DVh
Khi vật rơi trong nước. lực ác si mét tác dụng lên vật là: F

A
= 10D’V
Vì sau đó vật nổi lên, nên F
A
> P
Hợp lực tác dụng lên vật khi vật rơi trong nước là: F = F
A
– P = 10D’V – 10DV
Công của lực này là: A
2
= (10D’V – 10DV)h’
Theo định luật bảo toàn công:
A
1
= A
2
⇒ 10DVh = (10D’V – 10DV)h’
⇒ D =
'
'
'
D
hh
h
+
Thay số, tính được D = 812,5 Kg/m
3
Bài toán 3
Trong bình hình trụ,tiết diện S chứa nước có chiều cao H = 15cm .Người ta
thả vào bình một thanh đồng chất, tiết diện đều sao cho nó nổi trong nước thì mực

nước dâng lên một đoạn h = 8cm.
a)Nếu nhấn chìm thanh hoàn toàn thì mực nước sẽ cao bao nhiêu ?(Biết khối
lượng riêng của nước và thanh lần lượt là D
1
= 1g/cm
3
; D
2
= 0,8g/cm
3
b)Tính công thực hiện khi nhấn chìm hoàn toàn thanh, biết thanh có chiều
dài l = 20cm ; tiết diện S’ = 10cm
2
.
Giải:
a) Gọi tiết diện và chiều dài thanh là S’ và l. Ta có trọng lượng của thanh:
P = 10.D
2
.S’.l
Thể tích nước dâng lên bằng thể tích phần chìm trong nước :
V = ( S – S’).h
Lực đẩy Acsimet tác dụng vào thanh : F
1
= 10.D
1
(S – S’).h
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
23
Giáo án Bồi dưỡng HSG
Do thanh cân bằng nên: P = F

1

⇒ 10.D
2
.S’.l = 10.D
1
.(S – S’).h
⇒
h
S
SS
D
D
l .
'
'
.
2
1
−
=
(*)
Khi thanh chìm hoàn toàn trong nước, nước dâng lên
một lượng bằng thể tích thanh.
Gọi V
o
là thể tích thanh. Ta có : V
o
= S’.l
Thay (*) vào ta được:

hSS
D
D
V ).'.(
2
1
0
−=
Lúc đó mực nước dâng lên 1 đoạn ∆h ( so với khi chưa thả thanh vào)
h
D
D
SS
V
h .
'
2
1
0
=
−
=∆

Từ đó chiều cao cột nước trong bình là
H’ = H +∆h =H +
h
D
D
.

2
1
=> H’ = 25 cm
Từ đó chiều cao cột nước trong bình là: 25 cm
b) Lực tác dụng vào thanh lúc này gồm
Trọng lượng P, lực đẩy Acsimet F
2
và lực tác dụng F. Do thanh cân bằng nên
F = F
2
- P = 10.D
1
.V
o
– 10.D
2
.S’.l
F = 10( D
1
– D
2
).S’.l = 2.S’.l = 0,4 N
Từ pt(*) suy ra :
2
1
2
30'.3'.1. cmSS
h
l
D

D
S ==








+=
Do đó khi thanh đi vào nước thêm 1 đoạn x có thể tích ∆V = x.S’ thì nước dâng
thêm một đoạn:
2'2'
x
S
V
SS
V
y =
∆
=
−
∆
=
Mặt khác nước dâng thêm so với lúc đầu:
cmh
D
D
hh 2.1

2
1
=








−=−∆
nghĩa là :
42
2
=⇒= x
x
Vậy thanh được di chuyển thêm một đoạn: x +
cmx
xx
3
8
4
2
3
2
=⇒==
.
Và lực tác dụng tăng đều từ 0 đến F = 0,4 N nên công thực hiện được:
JxFA

32
10.33,510.
3
8
.4,0.
2
1
.
2
1
−−
===
Bài toán 4: Khi ca nô có vận tốc v
1
= 10 m/s thì động cơ phải thực hiện công suất
P
1
= 4 kw. Hỏi khi động cơ thực hiện công suất tối đa là P
2
= 6 kw thì ca nô có thể
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
24
H
h
l
P
F
1
S
’

H
h
P
F
2
S
’
F
l
Giáo án Bồi dưỡng HSG
đạt vận tốc v
2
lớn nhất là bao nhiêu? Cho rằng lực tác dụng lên ca nô tỉ lệ với vận
tốc của nó đối với nước.
Giải: Vì lực tác dụng lên ca nô tỉ lệ với vận tốc của nó. Gọi hệ số tỉ lệ là K
Thì: F
1
= Kv
1
và F
2
= K
1
v
Vậy: P
1
= F
1
v
1

= K
2
1
v
P
2
= F
2
v
2
= K
2
2
v
.
Nên:
2
2
2
1
2
1
v
v
P
P
=

1
2

2
1
2
P
Pv
v =⇒
Thay số ta tìm được kết quả.
Bài toán 5: Một xe máy chạy với vận tốc 36km/h thì máy phải sinh ra môt công
suất 1,6kW. Hiệu suất của động cơ là 30%. Hỏi với 2 lít xăng xe đi được bao nhiêu
km? Biết khối lượng riêng của xăng là 700kg/m
3
; Năng suất toả nhiệt của xăng là
4,6.10
7
J/kg
Giải:
Nhiệt lượng toả ra khi đốt cháy hoàn toàn 2 lít xăng:
Q = q.m = q.D.V = 4,6.10
7
.700.2.10
-3
= 6,44.10
7
( J )
Công có ich: A = H.Q = 30%.6,44.10
7
= 1,932.10
7
( J )
Mà: A = P.t = P.

v
s

)(120)(10.2,1
10.6,1
10.10.932,1.
5
3
7
kmm
P
vA
s ====⇒
CÁC BÀI TOÁN VỀ KHỐI LƯỢNG VÀ TRỌNG LƯỢNG
Bài toán 1: Một mẩu hợp kim thiếc – Chì có khối lượng m = 664g, khối lượng
riêng D = 8,3g/cm
3
. Hãy xác định khối lượng của thiếc và chì trong hợp kim. Biết
khối lượng riêng của thiếc là D
1
= 7300kg/m
3
, của chì là D
2
= 11300kg/m
3
và coi
rằng thể tích của hợp kim bằng tổng thể tích các kim loại thành phần.
Giải: Ta có D
1

= 7300kg/m
3
= 7,3g/cm
3
; D
2
= 11300kg/m
3
= 11,3g/cm
3

Gọi m
1
và V
1
là khối lượng và thể tích của thiếc trong hợp kim
Gọi m
2
và V
2
là khối lượng và thể tích của chì trong hợp kim
Ta có m = m
1
+ m
2
⇒ 664 = m
1
+ m
2
(1)

V = V
1
+ V
2
⇒
3,113,73,8
664
21
2
2
1
1
mm
D
m
D
m
D
m
+=⇒+=
(2)
Từ (1) ta có m
2
= 664- m
1
. Thay vào (2) ta được
3,11
664
3,73,8
664

11
mm −
+=
(3)
Giải phương trình (3) ta được m
1
= 438g và m
2
= 226g
Bài toán 2: Một chiếc vòng bằng hợp kim vàng và bạc, khi cân trong không khí có
trọng lượng P
0
= 3N. Khi cân trong nước, vòng có trọng lượng P = 2,74N. Hãy xác
Giáo viên : Phạm Như Bảo - Trường DTNT Thanh Sơn
25