khóa luận tốt nghiệp sử dụng phương pháp lượng giác hóa vào việc giải một số dạng toán phổ thông

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, một trong những mục đích hàng đầu của dạy học nói
chung và dạy học toán học nói riêng đó là làm cho học sinh biết vận dụng các
kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong nội bộ môn học, trong các môn
khoa học khác cũng như trong đời sống thực tiễn.
Để thực hiện mục đích đó, trong giải toán phổ thông, ta thường thấy rất
nhiều trường hợp bài toán nằm ở lĩnh vực này nhưng chỉ có sử dụng kiến thức ở
một hay nhiều mảng khác mới đem lại lời giải hay, ngắn gọn và hợp lý nhất. Và
một trong những nội dung có nhiều ứng dụng phổ biến chính là lượng giác.
Thực tế dạy học cho thấy, phương pháp lượng giác hóa là một phương tiện
cực kỳ hữu hiệu trong việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn
nhất nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, các
bài toán về dãy số, tích phân và giải các bài toán hình học,…Tuy nhiên hầu như
phải tới lớp 12, học sinh sử dụng phương pháp này một cách phổ biến trong
việc tính tích phân. Ở lớp 10 và 11, đa số các em học sinh không thể hay không
thường xuyên sử dụng dẫn đến không giải được bài toán hoặc lời giải chưa sâu
sắc. Chính vì những lí do đó, chúng tôi đã chọn đề tài “Sử dụng phương pháp
lượng giác hóa vào việc giải một số dạng toán phổ thông” làm đề tài nghiên
cứu của mình. Hy vọng nó sẽ góp phần giúp các em học sinh rèn luyện một số
kỹ năng cơ bản của Toán học, đặc biệt làm cho các em thấy được sự liên hệ giữa
các nội dung Toán học, tạo hứng thú cho các em học sinh khi học Toán.
2. Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần đặt vấn đề, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của
đề tài gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày nguồn gốc của lượng giác và định
nghĩa lượng giác dưới nhiều góc độ khác nhau như định nghĩa bằng tam giác
vuông, định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, gồm dùng đại số và dùng hình học,
định nghĩa bằng chuỗi, bằng số phức, bằng vi phân…và một số định nghĩa khác

2
nữa nhằm từ đó, người đọc có thể bước đầu hình dung và hơn nữa là có cơ sở
vận dụng mối liên hệ của lượng giác và các nội dung toán học khác.
Chương 2: Sử dụng phương pháp lượng giác lượng giác hoá vào việc
giải một số dạng toán phổ thông
Chương hai cũng là nội dung chính của đề tài, ở đây chúng tôi trình bày
một số cách nhận biết các bài toán có thể vận dụng phương pháp lượng giác hoá
để giải.
3. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp một số phát biểu về lượng giác dưới các góc độ khác nhau, từ đó
làm nền tảng cơ sở kiến thức cho việc đề xuất một số dấu hiệu nhận biết các
dạng toán có thể dùng phương pháp lượng giác hoá để giải.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu tài liệu: tập hợp và tham khảo các tài liệu liên quan đến đề tài,
kết hợp nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
5. Phạm vi nghiên cứu
Trên cơ sở trình bày về nguồn gốc của lượng giác và phát biểu lượng giác
dưới nhiều góc độ toán học khác nhau, đề tài đề cập tới việc ứng dụng các kiến
thức lượng giác vào giải toán thông qua phương pháp lượng giác hóa. Ở đây,
chúng tôi đặc biệt tập trung làm rõ dấu hiệu nhận dạng các bài toán cụ thể.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thạc sỹ Lê Thị Thu Hằng đã
hướng dẫn, giới thiệu tài liệu, đọc kĩ bản thảo và góp ý cho chúng tôi những ý
kiến xác đáng và bổ ích. Ngoài ra, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các quý thầy
cô giáo trong tổ Toán khoa sư phạm tự nhiên cũng như các bạn sinh viên cùng
chuyên ngành của Đại học Hà Tĩnh đã góp ý và giúp đỡ tôi sớm hoàn thành đề
tài này.

Tác giả
Đặng Thị Huệ (B)

3
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Nguồn gốc của lượng giác
Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong nền văn minh của người Ai
Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ 3000 năm trước. Các
nhà toán học Ấn cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán
các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác. Trong
đó, những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng
giác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN),
người đã lập bảng tính độ dài của các cung tròn (có giá trị bằng góc, A, nhân với
bán kính, r) và chiều dài của dây cung tương ứng ( 2 sin
2
A
r
 
 
 
). Sau đó, Ptolemy
(thế kỷ 2) tiếp tục phát triển công trình trên trong quyển Almagest, tìm ra công
thức cộng và trừ cho sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy cũng đã suy diễn ra
được công thức nửa-góc


2
1 cos
sin
2 2

 


 
 
A
A
, cho phép ông lập bảng tính với
bất cứ độ chính xác cần thiết nào. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy
nay đã bị thất truyền.
Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, trong công trình
Siddhantas (khoảng thế kỷ 4–5), định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây
cung. Quyển Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn tại đến
nay (cùng với các giá trị 1 − cos), cho các góc có giá trị từ 0 đến 90 độ cách
nhau 3.75 độ.
Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển thêm bởi người Ả
Rập. Đến thế kỷ 10, người Ả Rập đã dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản (trong tác
phẩm Abu'l-Wefa), với các bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau 0.25 độ, với
độ chính xác đến 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy, và bảng tính hàm tan.
Từ sin mà ngày nay ta dùng xuất phát từ chữ La tinh sinus ("vịnh" hay
"gập"), dịch nhầm từ chữ Phạn jiva (hay jya). Jiva (vốn được đọc đầy đủ là
ardha-jiva, "nửa-dây cung", trong quyển Aryabhatiya thế kỷ 6) được chuyển tự
4
sang tiếng Ả Rập là jiba ( ﺐﺟ), nhưng bị nhầm thành từ khác, jaib ( ﺐﺟ) ("vịnh"),
bởi các dịch giả ở châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona trong
quyển Toledo (thế kỷ 12). Sự nhầm lẫn này có thể là do jiba ( ﺐﺟ) và jaib ( ﺐﺟ)
được viết giống nhau trong tiếng Ả Rập (nhiều nguyên âm bị thiếu trong bảng
chữ cái Ả Rập).
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triển
trong nghiên cứu thiên văn. Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu
về lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của
Regiomontanus (1436–1476). Quyển Tabulae directionum nói về hàm tang.

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học trò của
Copernicus, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác
vuông thay vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác cơ
bản. Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin Otho
năm 1596.
Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung miêu
tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các
chuỗi vô tận và giới thiệu "Công thức Euler" e
ix
= cos(x) + i sin(x). Euler đã
dùng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. giống ngày nay.
Ngày nay ứng dụng của lượng giác được sử dụng khá rộng rãi. Cụ thể có
thể nói đến như là kỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên
văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa
các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Ngoài ra lượng giác còn
được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều các môn khoa học khác như lý thuyết âm
nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết
xác suất, thống kê sinh học…
1.2. Một số định nghĩa của lượng giác
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số các định nghĩa của lượng giác theo
các góc độ khác nhau, nhằm từ đó, tạo nền tảng cho việc sử dụng kiến thức
lượng giác để giải quyết các dạng toán ở nội dung khác sẽ được trình bày ở
chương 2.
5
1.2.1. Định nghĩa bằng tam giác vuông
Một tam giác vuông luôn chứa một góc 90° (
2


radian), được ký hiệu là C trong hình này. Góc A và

B có thể thay đổi. Các hàm lượng giác thể hiện mối
liên hệ chiều dài các cạnh và độ lớn các góc của tam
giác vuông.
Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc
A, bằng việc dựng nên một tam giác vuông chứa góc
A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên
như sau:
 Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tam giác
vuông, kí hiệu h trên hình vẽ.
 Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, kí hiệu a trên hình vẽ.
 Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, kí hiệu b trên hình vẽ.
Dùng hình học Ơclit, tổng các góc trong tam giác là pi radian (hay 180⁰).
Khi đó:

Hàm Định nghĩa Biểu thức

Sin
Cạnh đối chia cho cạnh huyền
sin
a
A
h


Cos
Cạnh kề chia cho cạnh huyền
b
cosA
h


Tang
Cạnh đối chia cho cạnh kề
tan
a
A
b


Cotang

Cạnh kề chia cho cạnh đối
cot
b
A
a


Sec
Cạnh huyền chia cho cạnh kề
sec
h
A
b


A
b
c
h

(huyÒn)
a
(®èi)
b
(kÒ)
6
Cosec

Cạnh huyền chia cho cạnh đối
csc
h
A
a


1.2.2. Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị
Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị,
một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định
nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng
có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và
Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.
Dùng đại số
4
5
o


6
0
o



1
5
0
o



1
3
5
o



1
2
0
o



9
0
o












2
1
0
o



2
2
5
o



2
4
0
o



y
x

(0,1)
(1,0)(-1,0)
(0,-1)
2
7
0
o



3
3
0
o




3
1
5
o



3
0
0
o





180
o

0
o
3
0
o







































































































































Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.
Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của hình học phẳng
thỏa mãn:
2 2
1
x y
 

Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên
vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm lượng giác có
thể được định nghĩa là:
Hàm

Đ
ịnh nghĩa

sin(θ) y
cos(θ) x
tan(θ) y/x
cot(θ) x/y
sec(θ) 1/x
cosec(θ) 1/y
7
Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm
tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 360 độ:


sin sin 2
k
  
 
,


os sin 2
c k
  
 

Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ.
Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ.
Dùng hình học
F
sec
csc
excsc
c
o
t
A
t
a
n
chord
exsec
cos
sin
C
versin
O
sin
1
B
cvs


Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học
trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O.

Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho
góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa cung AB:
Hàm
Định
nghĩa

Chú thích
Sin(θ) AC định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ
cos(θ) OC
tan(θ) AE
đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đ
ã mang
lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh
là
"tiếp tuyến"
cot(θ) AF
sec(θ) OE
đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái t
ên
"secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đư
ờng cắt
vòng tròn"
csc(θ) OF
versin(θ)

CD versin(θ) = 1 − cos(θ)
exsec(θ)

DE exsec(θ) = sec(θ) – 1

8
Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến tới π/2 (90 độ),
cosec và cotang phân kỳ khi θ tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể
được thực hiện trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có
thể được chứng minh bằng hình học.
1.2.3. Định nghĩa bằng chuỗi








sin(DC)
f(DC)

Hàm sin được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7.
Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh
rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của
hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho
mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của
các hàm lượng dạng còn lại.
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác.
Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong
nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được
xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như
khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.
Trong bảng dưới, quy ước: E
n

là số Euler thứ n, U
n
là số lên/xuống thứ n.

Hàm

Định nghĩa Cụ thể
sin(x)



 
2 1
0
1
2 1 !
n
n
n
x
n







3 5 7
3 5 7

x x x
x
   


cos(x)



 
2
0
1
2 !
n
n
n
x
n





2 4 6
1
2! 4! 6!
x x x
   


9
Hàm

Định nghĩa Cụ thể
tan(x)



 
2 2 2 1
0
2 2 1
,
2 ! 2
n n n
n
n
U x
x
n








3 5 7

2 17
3 15 315
x x x
x
   


cot(x)

 
2 2 1
1
1 2
, 0 <
2 ! 2
n n
n
n
U x
x
x n




 


3 5
1 2

3 45 945
x x x
x
   


sec(x)

 
2 1
1
1 ,
2 ! 2
n
n
n
E x
x
n




 


2 4 6
5 61
1
2 24 720

x x x
   


csc(x)



 
2 1 2 1
0
2 2 1
1
, 0 <
2 ! 2
n n
n
n
B x
x
x n

 



 


3 5

1 7 31
6 360 15120
x x x
x
   



Trên trường số phức
Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là
phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:
i
e cos isin

   

Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1.
Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là
công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng
phức, gồm các điểm z = e
ix
, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ
ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.
Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:
 
 
 
2 1
0
1

sin sinh ,
2 1 ! 2
n
xz xz
n
n
e e
z z x xz
n x






   





 
 
2
0
1
cosh ,
2 ! 2
n
xz xz

n
n
e e
cosz z xz
n





  


Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực


cos Re
xx
x e

,


sin Im
xx
x e


1.2.4. Định nghĩa bằng phương trình vi phân
Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân

y y

 

10
Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.
Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương
trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên


0 0
y

và


0 1
y


, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và


0 0
y

. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở
cho V.
Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler.
Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà

còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.
Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:
2
1
y y

 

với điều kiện biên y(0) = 0. Xem [1] cho một chứng minh của công thức
này.
Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là
radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k.
Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là:
180
k



Lúc đó:




sin ; 0, 1
f x kx k k
  

và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này:





os
f x kc kx


Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn:
2
y k y

 
Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác
khác.
1.2.5. Các định nghĩa khác
Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ hai hàm này, có thể
được định nghĩa là hàm s và c trong định lý sau:
Tồn tại duy nhất cặp hàm s và c trên trường số thực thỏa mãn:




         
         
   
2 2
1. 1
2.
3.
4. 0 < 0 1
s x c x

s x y s x c y c x s y
c x y c x c y s x s y
xc x s x x x
 
  
  
    

11
Ở đây
,
x y R

.
Miền xác định và miền giá trị
Các hàm số lượng giác trên trường số thực có miền xác định và miền giá trị
được tổng kết trong bảng sau:
Hàm Miền xác định
Miền
giá trị
Sin
R
(toàn bộ trục số thực) [-1, 1]
Cos
R
[-1, 1]
Tan

R
/{

π
/2 +
kπ
|
k

nguyên} (các
s
ố thực

khác
π
/2 +
kπ
, v
ới

k

là
các số nguyên)
R

Cot
R
/{kπ|k nguyên} (các số thực khác kπ, với k là các s
ố
nguyên)
R

Phương pháp tính
Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán phức tạp. Ngày nay,
đa số mọi người có thể dùng máy tính hay máy tính bỏ túi khoa học để tính giá
trị các hàm này. Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong lịch sử để tra giá
trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày nay trong máy tính, và một số giá trị
chính xác dễ nhớ.
Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần tập trung vào các
góc nằm, ví dụ, từ 0 đến π/2, vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác
đều có thể được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm.
Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác bằng
cách nội suy từ một bảng tính sẵn, có độ chính xác tới nhiều chữ số thập phân.
Các bảng tính này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các công thức
lượng giác, như công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, bắt đầu từ một
vài giá trị chính xác (như sin(π/2)=1).
Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996).
Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho các máy tính có các bộ tính số thập
phân, là kết hợp xấp xỉ đa thức (ví dụ chuỗi Taylor hữu hạn hoặc hàm hữu tỉ)
với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng
nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị trong
bảng về giá trị chính xác hơn. Trên các phần cứng không có bộ số học và lô gíc,
12
có thể dùng thuật toán CORDIC (hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả
hơn, vì thuật toán này chỉ dùng toán tử chuyển vị và phép cộng. Các phương
pháp này đều thường được lắp sẵn trong các phần cứng máy tính để tăng tốc độ
xử lý.
Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có thể được tính bằng
giấy và bút dựa vào định lý Pytago. Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội
của π/60 radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút.
Một ví dụ đơn giản là tam giác vuông cân với các góc nhọn bằng π/4 radian
(45 độ). Cạnh kề b bằng cạnh đối a và có thể đặt a = b = 1. Sin, cos và tang của

π/4 radian (45 độ) có thể tính bằng định lý Pytago như sau:
2 2
2
c a b  

Nên:
       
1
sin 4 sin 45 cos 4 cos 45
2
 
   

   
2
tan 4 tan 45 1
2

  

Một ví dụ khác là tìm giá trị hàm lượng giác của π/3 radian (60 độ) và π/6
radian (30 độ), có thể bắt đầu với tam giác đều có các cạnh bằng 1. Cả 3 góc của
tam giác bằng π/3 radian (60 độ). Chia đôi tam giác này thành hai tam giác vuông
có góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi tam giác vuông có cạnh
ngắn nhất là 1/2, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại bằng (√3)/2. Như vậy:
       
1
sin 6 sin 30 cos 3 cos 60
2
 

   

       
3
cos 6 cos 30 sin 3 sin 60
2
 
   
       
1
tan 6 tan 30 cot 3 cot 60
3
 
   
Hàm lượng giác ngược
Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm ngược, cần giới hạn
miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác ngược:
Giới hạn miền Định nghĩa
-π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
13
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)
Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos.
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào
tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.
x
2

0
1
arcsin(x)= , 1
1
dz x
z




1
2
x
1
arccos(x)= , 1
1
dz x
z




x
2
0
1
arctan(x)= ,
1
dz x
z

 




2
x
1
arccot(x)= , 0
1
dz z
z





Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác ngược ra cho các biến phức:




2
arcsin( ) - log 1
z i i z z
  


2
arccos( ) - log 1

z i z z
  

1
arctan( ) log
2 1
i iz
z
iz

 

 

 

Một số đẳng thức


sin sin cos cos sin
x y x y x y
  


cos cos cos sin sin
x y x y x y
  
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y

x y
 
   
 
   
   

sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
 
   
 
   
   

cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
 
   
 
   
   

cos cos 2sin sin
2 2
x y x y

x y
 
   
  
   
   

14


sin
tan tan
cos cos
x y
x y
x y

 



sin
cot cot
cos cos
x y
x y
x y
 
 

1.3. Một số công thức lượng giác thông dụng
a) Công thức
+ A = sinx + cosx =
2 cos( )
4
x


=
2sin( )
4
x


, -
2 2
A 
+ B = cosx – sinx =
2 cos( )
4
x


=
2sin( )
4
x


, -

2 2
B 
+ C =
sin cos
x x
 

, -  C
22

22


+ D = cos
sin
n n
x x

, -1
1


D

b) Phép đổi biến số:

- Hệ tọa độ cực:
M
2
( ; )

R M x y
 
Nếu M


(O;R) thì
2 2 2
x y R
 
phép đổi biến là
cos
sin
x R
y R








Nếu M

hình tròn

(O;R) suy ra
2 2 2
x y R
 

, phép đổi biến là
cos
sin
x r
y s








với r
2 2 2
s R
 

- Hệ tọa độ trụ:
M
3
( ; ; )
R M x y z
 

Nếu M

hình trụ (H) :
2 2 2
x y R

z z

 



phép đổi biến là
cos
sin
x R
y R
z z











Nếu M nằm trong hình trụ (H) :
2 2 2
x y R
z z

 




phép đổi biến là:

cos
sin
x r
y s
z z










với r
222
Rs 
- Hệ tọa độ cầu:
M );;(
3
zyxMR 
15
Nếu M



(O;R) :
2 2 2 2
x y z R
  
phép đổi biến là
cos cos
cos sin
sin
x R
y R
z R
 
 










16
Chương 2. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ VÀO
VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHỔ THÔNG

2.1. Phương pháp lượng giác hóa trong đại số
Trong đại số, phương pháp lượng giác hoá có thể áp dụng được một cách
rộng rãi. Tuy nhiên ở đây, đề tài xin giới thiệu phương pháp cho các bài toán

giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, các bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…, đó không chỉ là những bài toán phổ
dụng trong chương trình đại số lớp 10 mà hơn nữa, nó còn là phương pháp cực
kỳ hữu hiệu cho các bài toán nói trên ở trong các đề thi đại học. Dưới đây là
một số dấu hiệu nhận biết trong việc áp dụng các phép lượng giác hoá phù hợp
đối với từng bài toán khác nhau.
Dạng 1: Nếu trong bài toán có chứa biểu thức x
2
+ y
2
=1 hoặc có thể
biến đổi để đưa về biểu thức x
2
+ y
2
=1, thì chúng ta tìm cách đặt
sin
os
x
y c








với



0;2

 
.
Bài 1. Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:
2 2
2 2
1 1 17
2
x y
x y
 
 
   
 
 
 
 

Giải:
Ta có: x + y =




2 2
1
x y
 

. Đặt
x cosa
y sina







, 0
2
a

 

Bất đẳng thức đã cho được viết thành:
4 4
4 4
1 1 17
os sin
os sin 2
c a a
c a a
   
   
   
   

Ta có: cos

4
a +
4
1
os
c a
+ sin
4
a +
4
1
sin
a
= (cos
4
a + sin
4
a)
4 4
1
1+
sin acos a
 
 
 

= (1 – 2sin
2
acos
2

a)
4 4
1
1+
sin acos a
 
 
 
=
2
4
sin 2a 16
1 1+
2 sin 2a
 
 

 
 
 
 

Vì 0 < sin
2
2a  1 nên 1 -
2
sin 2a
2

1

2

và 1 +
4
16
sin 2a
 17. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
17
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện
a > 0, b > c > 0 ta có bất đẳng thức:




c a c c b c
  

ab
(1)
Giải
Vì a > 0, b > 0, ab > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với
   
c a c c b c
ab ab
 

 1 (2)
Nhận xét rằng:
22
a

ca
a
c


















= 1.
Nên đặt:
a
c
= cosu ,
a
ca 
= sinu với 0 < u <
2



Ta cũng thấy:
22
b
cb
b
c


















= 1
Nên đặt:
b
c

= cosv ,
b
cb 
= sinv với 0 < v <
2

.
Khi đó (2) có thể viết thành
a
ca
b
c 
+
b
cb
a
c 
= cosv sinu + cosusinv  1 (3)
Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v)  1 nên (3) luôn luôn đúng có
nghĩa là (1) đúng.
Bài 4. Chứng minh rằng:
1/ Nếu x
2
+ y
2
= 1 thì
2
x y  (Bài tập 20, trang 112 _SGK Đại số 10
Nâng cao_ NXB Giáo dục).
2/ Nếu x

2
+y
2
= 1 thì
2 5
x y
 
(Bài tập 4.23a, trang 105 _SBT Đại số 10
Nâng cao_NXB Giáo dục).
Giải
1/ Vì x
2
+ y
2
=1, nên ta có thể đặt:
cos
sin
x t
y t





,
0 t 2
  

Khi đó, ta có:
x y


=
cos sin 2sin( ) 2
4
t t t

    (đpcm)
18
2/ Chứng minh tương tự.
Bài 5. Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
( ) ( )
z x z z y z xy
   
Giải:
Vì x > 0, y > 0 suy ra:
xy
>0, do đó:
( ) ( )
z x z z y z xy
   


( ) ( )
1
z x z z y z
xy xy
 
 


1
z x z z y z
y x x y
 
 

Ta cần chứng minh:
1
z x z z y z
y x x y
 
 
.
Nhận xét:
2 2
1
z y z
y y
   

 
   
   
và
2 2
1
z x z
x x
   


 
   
   
nên ta có thể đặt:
cos
sin , 0,
2
z
u
y
y z
u u
y







 

 



 

và

cos
sin










z
v
x
x z
v
x
,
0,
2
v

 



 

khi đó:

z x z z y z
y x x y
 

= cosu.sinv + cosv.sinu = sin(u + v)

1,
hiển nhiên.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Lưu ý : Đối với một số bài toán, trong đề sẽ không có dạng tường minh
mà chúng ta phải dựa vào mối quan hệ ràng buộc giữa các biến hoặc các con
số để đưa về dạng cần thiết. Ngoài ra, với các trường hợp mà trong biểu thức
của đề ra có chứa dạng x
2
+ y
2
= a
2
(a>0) hoặc có thể biến đổi đưa về dạng
x
2
+ y
2
=a
2
(a > 0)thì chúng ta đặt


 
sin cos

cos sin






x a a
y a a
 
 
với


0;2
 


Bài 1. Giải hệ phương trình:
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1 (1)
25 (2)
y x
y
x y

  




 

(II)
(Trích đề thi Đại học_ Cao đẳng, khối A_ năm 2004)
19
Giải
Điều kiện:
0
y x
y





. Với điều kiện hệ đã cho trở thành:
(II)

1 1
4 4
2 2
1
log ( ) log 1
25
y x
y
x y


  



 


2 2
1 1
( ) (3)
4
25
y x
y
x y

 



 


Đặt:
5cos
5sin ,
x t
y t






( t
4 2
 
 
), thay vào phương trình (3) ta được:
 
1 1 1 3
sin cos 1 cot cot
sin 4 4 4
t t t t
t
      


2
4
sin
16
5
sin
4
25
sin
5
t
t

t



  







4
sin
5
3
cos
5
t
t












3
4







x
y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
3
4







x
y
.
Bài 2. Giải hệ phương trình:
2 2
7 (1)
10 (2)

x y xy
x y
  


 

(III)
(Trích đề thi Cao đẳng _Giao thông vận tải_ năm 2007)
Giải
Ta thấy hệ (III) là hệ phương trình đối xứng loại 1, thông thường ta đặt
S x y
P x.y
 







2
S 4P

nhưng ở đây chúng tôi nhận thấy có biểu thức
2 2
x y 10
 

nên đề xuất cách giải đặt:

10cos
10sin







x t
y t


0;2
t


. Thay vào phương trình (1)
ta được:
10(cos sin ) 10sin .cos 7
t t t t
  
(3).
Đặt u = cost + sint, điều kiện:
2
u  , phương trình (3) trở thành:
(loại)
20
2
5 10 12 0

u u
  

2 10
5
3 10
5
u
u






 



Với
2 10
5
u
 
2 10
sin cos
5
3
sin .cos
10

t t
t t

 









1
sin
10
3
3
cos
1
10
3 1
sin
10
3
1
cos
10









 









 






 




















t
x
t
y
x
t
y
t

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:
3
1
x
y






và
1
3
x
y






Bài 3. Cho hệ:
2 2
2 2
16 (1)
9 (2)
12 (3)

 

 


 

x y
u v
xu yv

Tìm nghiệm của hệ để biểu thức P = x+ u và F = x.u đạt giá trị lớn nhất
Giải
Đặt:
 
4cos
, 0,2
4sin






x a
a
y a

và
 
3cos
, 0,2
3sin






u b

b
v b


Thay vào (3) ta được:




1cos12sin.sincos.cos12







bababavyux

Nhưng vì cos(a - b)

1, nên suy ra: cos(a - b) =1 khi a = b.
Do đó:
P = x + u =
4cos 3cos 7cos 7
a a a
  
.
Vậy
7 2 0

      
Max P a b k a b

và a = b =
2

suy ra tương ứng
với nghiệm của hệ là: x = 4, y = 0, u = 3, v = 0.
F = x.u =
2
4cos .3cos 12 cos 12
a a a
 

Vậy
12 cos 1 0
Max F a a k a b

        
, a = b =

và a = b =
2

,
suy ra tương ứng với nghiệm của hệ là: x = 4, y = 0, u = 3, v = 0 và x = -4, y = 0,
u = -3, v = 0.
(loại)
(thoã mãn)
21

Bài 4. Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn : x
2
+ y
2
= 2. Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của P = 2(x
3
+y
3
) - 3xy.
(Trích đề thi Cao đẳng khối A,B,D _năm 2008_ Bộ GD&ĐT)
Giải
Từ giả thiết ta có thể đặt:
2cos
,
2sin
x t
y t








0 t 2
  

4 2(cos sin )(1 sin .cos ) 6sin .cos

P t t t t t t
   
Đặt u = sint+cost =
2sin( )
4
t

 ,
2 2
u   , ta có:
3 2
2 2 3 6 2 3 ( )
P u u u f u
     

2
'
( ) 6 2 6 6 2
f u u u    ,
1
'
2
( ) 0
2
u
f u
u




 


 

(thỏa mãn)
1 13
( 2) 7, ( 2) 1,
2
2
f f f
 
   
 
 
.
Vậy: Max P = 13/2 và Min P = -7.

Dạng 2 : Nếu bài toán chứa
1
x

hoặc
2
1
x

hoặc có thể biến đổi các
điều kiện để đưa về chứa các biểu thức tương đồng như thế thì ta đặt
 

sin , ;
2 2
os , 0;
 
 
 

 
 


 

x
x c
 
 
  
.
Bài 1. Giải phương trình :
2 2
1 1 x (1 2 1 x )
x    

Giải
Điều kiện : 1- x
2

0
1 1

x
   

os 0
2
3
sin 0
2
t
c
t










đặt x = sint với t
;
2 2
 

 

 
 

. Khi đó phương trình đã cho có
dạng
2 2
1 1 sin sin (1 2 1 sin )
t t t
    
1 cos sin (1 2cos )
t t t
   

22
2 os sin sin 2
2
t
c t t
  

3
2 os 2sin os
2 2 2
t t t
c c 

3
2 os (1 2sin ) 0
2 2
t t
c
  
os 0

2
3 2
sin
2 2
t
c
t










6
2
t
t













1
2
1
x
x








vậy phương trình có nghiệm
1
2
x

và x = 1.
Bài 2. Giải phương trình:
2
2 2
1 x
x
x  


Giải
Điều kiện :
2
x 1 0
0x

 



1
x
 
.
Đặt x =
1
cos
t
,
0,
2
t

 

 
 

Khi đó phương trình có dạng :
1

1
cos
2 2
cos
1
1
cos
t
t
t
 

1 1
2 2
cos sin
t t
  


sin cos 2 2sin .cos
t t t t
  
Đặt sint + cost = u


1 2
u 
, ta có
2
u 1

sin .cos
2
t t

 .
Khi đó phương trình đã cho có dạng :
2
2(u 1)
u  
2
2u 2 0
u
   

 
2
1
l
2
u
u










2
u 
sin cos 2
t t  
2sin( ) 2
4
t

  
sin( ) 1
4
t

  


2
4 2
t k
 

   
2
4
t k


  
.

So sánh điều kiện ta có :
4
t


2
x 
vậy nghiệm của phương trình là
2
x 
23
Bài 3. Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x

 

 


 


Giải.
Từ các phương trình của hệ ta thấy rõ ràng
, , 1
x y z
 
. Thật vậy:
- Nếu
1
x

từ phương trình đầu ta có
2
y y
 
vô lí.
- Nếu
1
x
 
từ phương trình đầu suy ra
2
y y
  
vô lí.
Tương tự cho các trường hợp
1, 1
y z
   
. Do đó ta có hệ tương đương:
2

2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z














 

Đặt tan , ; \
2 2 4
x a a
  
   
   
 
 
   
. Từ các phương trình của hệ ta có:
tan2 , tan4 , tan8
y a z a x a
  

Suy ra
tan tan8
7
k
a a a

  
, với ; \
2 2 4
a
  
   
  
 

 
   
.
Với các giá trị của k các nghiệm của hệ luôn thỏa mãn điều kiện
, , 1
x y z
 
.
Vậy hệ có các nghiệm:
 
2 4
, , tan ;tan ;tan
7 7 7
k k k
x y z
  
 

 
 
với
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
k


Bài 4. Giải bất phương trình :
1 1
x x x
   

Giải
Điều kiện :
1 0
1 1
1 0
x
x
x
 

   

 


Đặt x= cost , t


0,



Khi đó bất phương trình đã cho trở thành :
24
1 cos 1 cos cos
t t t
   
2
1 cos 2cos cos
2

t
t t
   
2 2
2( os sin ) cos sin
2 2 2 2
t t t t
c   


( os sin )(cos sin 2) 0
2 2 2 2
t t t t
c
    

2 os( )[ 2 os( ) 2] 0
2 4 2 4
t t
c c
 
    

os( )[ os( ) 1] 0
2 4 2 4
t t
c c
 
    

os( ) 0
2 4
t
c

  

2 2 4
t
 

   
3
2 2
t
 
  

1 cos 0
t
  

1 0
x
   

Vậy phương trình này có nghiệm
1 0
x
  

.
Bài 5. Giải bất phương trình :
2
1 1 2
4
x
x x
    
(1).
Giải.
Điều kiện
1 1
x
  
. Đặt


cos , 0;
x t t

 
. Khi đó ta có bất phương trình
2
os
1 cos 1 cos 2
4
c t
t t    

2 2

2cos 2 sin os
2 4 2 4 2 4
t t t
c
  
     
     
     
     

4 2
2 2
2
os os 2cos 2 0
2 4 2 4 2 4
os 1 cos 1 1 0 (2)
2 4 2 4
t t t
c c
t t
c
  
 
     
       
     
     
 
   
   

      
 
   
   
   
   
 
 

(2) luôn đúng với mọi


0;
t


. Vậy nghiệm của (1) là
1 1
x
  
./.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu x < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta
có: (1 + x)
n
+ (1 – x)
n
< 2
n
(1)
Giải

Vì x < 1 nên có thể đặt x = cost với t  (0; ) , bất đẳng thức (1) được viết
thành: (1 + cos t)
n
+ (1 – cos t)
n
< 2
n
(2)
Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos
2
2
t
và 1 – cost = 2sin
2
2
t
ta được
25
2
n
<
2 2
cos sin
2 2
n n
t t
 

 
 

< 2
n
(3)
Bởi vì 0 <
2
t
<
2

nên 0 < sin
2
t
, cos
2
t
< 1 nên ta có:
cos
2n
2
t
=
2
os
2
n
t
c
 
 
 

< cos
2
2
t
n > 1.
Tương tự ta có: sin
2n
2
t
< sin
2
2
t
n > 1.
Do đó: 2
n
2 2
cos sin
2 2
n n
t t
 

 
 
< 2
n
2 2
cos sin
2 2

t t
 

 
 
= 2
n

Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng
minh.
Bài 7. Chứng minh rằng: 4




2323
a1a3)a1(a  
2

Giải
Điều kiện: 1 – a
2
 0  a  1
Đặt a = cos, với   [0; ]
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
4


323
)cos1(cos  - 3(cos -


2
cos
1
) 
2

 4(cos
3
 - sin
3
) – 3 (cos - sin) 
2

 (4cos
3
 - 3cos) + (3sin - 4sin
3
)
2
cos3 + sin3
2

 cos (3 -
2

) 1, luôn đúng.
Từ các ví dụ trên, ta thấy, phương pháp đặt của các bài toán này không phải
được tìm từ công thức sinx
2

+ cosy
2
=1 tuy nhiên, mà chúng ta dựa vào hệ điều kiện
x 1

hoặc
2
1 x

tương đồng với điều kiện của
sinx 1, cosx 1
 
để đặt
 
sin , ;
2 2
os , 0;
x
x c
 
 
  
 
 
 

 
 



 

. Lưu ý trong trường hợp nếu

bài toán chứa
x m

hoặc
2 2
m x

thì chúng ta đặt
 
sin , ;
2 2
os , 0;
 
 
 

 
 


 

x m
x mc
 
 

  
cuối cùng đưa về dạng 2.