sử dụng phương pháp lượng giác hoá để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ

Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, quá trình tìm tòi đúc kết nâng tầm
giải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt,
giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, lôgic, người học sẽ tiếp thu và có nhiều cơ hội
sáng tạo, đó cũng là đổi mới phương pháp dạy học.
Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT, tôi đã gặp không ít những trắc
trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình vô tỉ. Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải
thể hiện được khái niệm toán học của nó. Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải
thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học. Trong
đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh giải một số phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình vô tỉ bằng “ con mắt” của lượng giác.
Từ những bài toán không chứa những yếu tố lượng giác, bằng phép đổi biến ta
chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hoá. Do
đó, qua công tác giảng dạy, đúc kết những kinh nghiệm nhiều năm của bản thân và việc
học tập nghiên cứu khoa học, thử nghiệm trực tiếp nhiều năm của giảng dạy, tôi mạnh
dạn trao đổi cùng đồng nghiệp kinh nghiệm của bản thân.
B. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng
giác hoá, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử
dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn
đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá.
Những kiến thức liên quan:
1) Các hàm số cơ bản:
*) Hàm số:
xy sin=
,
xy cos=
.

• Miền xác định:
R
.
• Miền giá trị:
[ ]
1;1−
.
• Chu kì:
π
2
.
*) Hàm số:
xy tan=
.
• Miền xác định:
ZkkxRx ∈+≠∈∀ ,
2
:
π
π
.
• Miền giá trị:
R
.
• Chu kì:
π
.
*) Hàm số:
xy cot=
.

• Miền xác định:
ZkkxRx ∈≠∈∀ ,:
π
.
• Miền giá trị:
R
.
• Chu kì:
π
.
2) Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giái trị:
1
*) Nếu
)
4
sin(2)
4
cos(2cossin
ππ
+=−=+= xxxxA
thì ta có
22 ≤≤− A
.
*) Nếu
)
4
sin(2)
4
cos(2sincos
ππ

−=+=−= xxxxB
thì ta có
22 ≤≤− B
.
*) Nếu
xxC cossin
βα
+=
thì ta có
2222
βαβα
+≤≤+− C
.
*) Nếu
xxD
nn
sincos +=
thì ta có
11 ≤≤− D
.
3) Phép đổi biến số:
*) Nếu
)0(, >≤ kkx
thì ta đặt
[ ]
παα
;0,cos ∈= kx
hoặc







−∈=
2
;
2
,sin
ππ
αα
kx
.
*) Nếu
Rx ∈
thì ta đặt






−∈=
2
;
2
,tan
ππ
αα
x

.
*) Nếu
yx,
thoả mãn điều kiện
)0,,(,
22222
>=+ cbacybxa
thì ta đặt
α
sin
a
c
x =
,
[ ]
παα
2;0,cos ∈=
b
c
y
.
*) Nếu
zyx ,,
thoả mãn
xyzzyx =++
hoặc
1=++ zxyzxy
thì ta có thể đặt
α
tan=x

,
γβ
tan,tan == zy
với






−∈
2
;
2
,,
ππ
γβα
.
[ ]












−∈
∈
2
;
2
;0
ππ
α
πα
*) Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp:
Biểu thức Cách đặt Miền giá trị của biến
22
ax +
α
tanax =
(hoặc
α
cotax =
)






−∈
2
;
2
ππ

α
(hoặc
( )
πα
;0∈
)
22
xa −
α
sinax =
(hoặc
α
cosax =
)






−∈
2
;
2
ππ
α
(hoặc
[ ]
πα
;0∈

)
22
ax −
α
cos
a
x =

hoặc
α
sin
a
a =
[ ]






∈
2
\;0
π
πα
hoặc
{ }
0\
2
;

2






−∈
ππ
α
xa
xa
−
+
hoặc
xa
xa
+
−
α
2cosax =
R∈
α
))(( xbax −−
α
2
sin)( abax −+=
R∈
α
xy

yx
−
+
1
hoặc
xy
yx
+
−
1



=
=
β
α
tan
tan
y
x






−∈
2
;

2
,
ππ
βα
C. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
2
Trong trường THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó công việc
giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải toán không phải là công
việc đơn giản của mỗi giáo viên.
Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh, tôi đã thực hiện nhiều biện
pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể thiếu phương pháp giảng dạy
khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học
mà người thầy đã gieo. Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà tôi
đang trình bày và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi,
nó không phải là để dạy ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh. Tuỳ thuộc vào yêu cầu
rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết.
Năm học 2009 – 2010 tôi được phân dạy môn toán lớp 10A1 (là lớp chọn theo
khối A của nhà trường), lớp 10A2 và tôi đã theo dạy các em cho đến lớp 12.
Kết quả kiểm tra 2 nhóm học sinh (có học lục từ TB khá trở lên) cuối năm lớp 10
về chủ đề: Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ thu được kết quả
như sau:
Nhóm Sĩ số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
Nhóm1 20 2 10,0% 10 50,0% 7 35,0% 1 5,0%
Nhóm 2 16 0 0,0% 8 50,0% 6 37,5% 2 12,5%
D. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
DẠNG 1: Trong bài có chứa biểu thức dạng
22
xa −

.
Phương pháp: Ta đặt
α
sinax =
, với






−∈
2
;
2
ππ
α
(hoặc
α
cosax =
, với
[ ]
πα
;0∈
).
Ví dụ 1: Giải phương trình:
23
134 xxx −=−
.
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu

22
xa −
với
1
=
a
.
Giải:
Điều kiện:
101
2
≤⇔≥− xx
. (*)
Với điều kiện (*) ta đặt
[ ]
παα
;0,cos ∈=x
. (**)
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
ααααααα
sin3cossin3coscos1cos3cos4
(**)
23
=⇔=⇔−=−







−=⇔
α
π
α
2
cos3cos









=
=
=
⇔









=
=

=
⇔






+−=
+=
⇔






++−=
+−=
4
3
cos
8
5
cos
8
cos
4
3
8

5
8
4
28
2
2
3
2
2
3
(**)
π
π
π
π
α
π
α
π
α
π
π
α
ππ
α
πα
π
α
πα
π

α
x
x
x
k
k
k
k
.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt
4
3
cos,
8
5
cos,
8
cos
πππ
=== xxx
.
.
3
Lưu ý: Ta cũng có thể đặt







−∈=
2
;
2
,sin
ππ
αα
x
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
)121(11
22
xxx −+=−+
.
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu
22
xa −
với
1
=
a
.
Giải:
Điều kiện:
101
2
≤⇔≥− xx
. (*)
Với điều kiện (*) ta đặt







−∈=
2
;
2
,sin
ππ
αα
x
.
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
)cos21(sincos1)sin121(sinsin11
22
αααααα
+=+⇔−+=−+
2
cos
2
3
sin2
2
cos22sinsin
2
cos2
ααα
αα

α
=⇔+=⇔




=
=
⇔






=
=
⇔






=
=
⇔=−⇔
1
2
1

2
6
2
2
2
3
sin
0
2
cos
0)
2
3
sin21(
2
cos2
x
x
π
α
π
α
α
α
αα
.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt





=
=
1
2
1
x
x
.
Lưu ý: Ta cũng có thể đặt
[ ]
παα
;0,cos ∈=x
.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
1
1
3
1
1
2
2
−
−
>
−
x
x
x
.

Giải:
ĐK:
1101
2
<<−⇔>− xx
.
Ta đặt
[ ]
π
;0,cos ∈= ttx
. (**)
Khi đó BPT được chuyển về dạng:



<
>
⇔>+−⇔⇔−
−
>
−
1cot
2cot
02cot3cot 1
cos1
cos3
cos1
1
2
2

2
t
t
tt
t
t
t






<<−
<<
⇔⇔










>
<<
⇔





<<
>
⇔
2
2
1
1
5
2

sin4cos
2
0
4
sin2cos
22
(**)
x
x
tt
t
t
tt
π
π
π
.

Vậy tập nghiệm của BPT là








∪








−= 1;
5
2
2
2
;1T
.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình






=−+
=−+
11
11
2
2
xy
yx
.
Giải:
4
ĐK:
1,1 ≤≤− yx
.
Ta đặt



=
=
β
α
sin
sin
y
x
với







−∈
2
;
2
,
ππ
βα
.
Khi đó hệ được đưa về dạng:

0
1cossin
0)sin(
1cossin

1cossin
1cossin
⇔









=+
=+
=+
⇔



=+
=+
⇔⇔



=+
=+
πβα
βα
βα
βα
βα
αβ
βα



==
==
⇔





==
==
⇔
1
0
2
0
yx
yx
π
βα
βα
.
Vậy hệ có 2 nghiệm
)1;1(),0;0(
.
Ví dụ 5: Tìm
m
để hệ sau có nghiệm:





=−
=−−
mymx
yx

533
01
2
. (1)
Giải:
ĐK:
11 ≤≤− x
.
Ta đặt
[ ]
π
;0,cos ∈= ttx
.
Khi đó từ (1) có dạng:
mtmttm 5sin3cos35cos13cos3
2
=−⇔=−−
(2)
Để hệ (1) có nghiệm
⇔
phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn
0sin ≥t
0
4
3

05cos3sin
)5(9)3(
22
≤≤−⇔⇔




≥−=
≥+
⇔ m
tmt
mm
.
Vậy
0
4
3
≤≤− m
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Giải các PT, BPT, Hệ PT sau:
1)
)1(2)1(
2323
xxxx −=−+
.
ĐS: PT có 2 nghiệm:
2
2
=x
;
2
12221 −−−
=x

.
2)
[ ]
2332
12)1()1(11 xxxx −+=+−−−+
.
ĐS: PT có 1 nghiệm:
2
2
−=x
.
3)
3
2
2
1
11
2
+=
−
+
x
x
.
4)
1
1
3
1
1

2
2
−
−
>
−
x
x
x
.
5)
22
2
≤−+ xx
.
5
6)





=−+
=−+
212
212
2
2
xy
yx

.
DẠNG 2: Trong bài có chứa biểu thức dạng
22
ax −
.
Phương pháp: Ta đặt
α
cos
a
x =
, với
[ ]






∈
2
\;0
π
πα
(hoặc
α
sin
a
a =
, với
{ }

0\
2
;
2






−∈
ππ
α
).
Ví dụ 6: Giải phương trình
22
1
2
=
−
+
x
x
x
.
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu
22
ax −
với
1=a

.
Giải:
Điều kiện:
1
0
01
2
>⇔



>
>−
x
x
x
. (*)
Với điều kiện (*) ta đặt






∈=
2
;0,
cos
1
π

α
α
x
.
Khi đó phương trình được chuyển về dạng:
αααα
αα
α
α
α
cos.sin22cossin22
sin
1
cos
1
22
1
cos
1
cos
1
cos
1
2
=+⇔=+⇔=
−
+
.
Đặt
αα

cossin
+=
u
(điều kiện
21 ≤≤ u
), ta có
2
1
cos.sin
2
−
=
u
αα
.
Kho đó phương trình có dạng:





−=
=
⇔=−−⇔−=
)(
2
1
2
022)1(2
22

lu
u
uuuu
2
4
2
24
2)
4
sin(22cossin =⇒=⇔+=+⇔=+⇔=+⇒ xk
π
απ
ππ
α
π
ααα
.
Vậy phương trình có 1 nghiệm:
2=x
.
Lưu ý: Ta cũng có thể đặt






∈=
2
;0,

sin
1
π
α
α
x
.
Ví dụ 7: Giải bất phương trình
2
53
1
2
>
−
+
x
x
x
.
HD:
Điều kiện:



−<
>
⇔>−
1
1
01

2
x
x
x
. (*)
6
Với điều kiện (*) ta đặt
( )






∈=
2
\;0,
cos
1
π
π
t
t
x
.
Bất phương trình trở thành
2
53
sin
1

.
cos
cos
cos
1
>+
tt
t
t
. (2)
Xét hai trường hợp:
TH1:






∈
2
;0
π
t
.
Phương trình (2) có dạng:
tttt
tt
cos.sin53)cos(sin2
2
53

sin
1
cos
1
>+⇔>+
. (2’)
Đặt
[ ]
2
1
cos.sin)2;2(cossin
2
−
=⇒−∈+=
u
ttuttu
.
BPT (2’) trở thành:

5
3
3
5

2
1
.532
2
⇒<<−⇔⇔
−

> u
u
u
TH2:






∈
π
π
;
2
t
.
Ví dụ 8: Giải bất phương trình
2
5
1
1
2
<
−
−
x
x
.
HD:

ĐK:
1>x
.
Ta đặt
( )






∈=
2
\;0,
cos
1
π
π
t
t
x
. (**)
Khi đó BPT có dạng:
2
5
cos
1
.
sin
cos

cos
1
<−
tt
t
t
.
Xét hai trường hợp:
TH1:






∈
2
;0
π
t
.
TH2:






∈
π

π
;
2
t
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình:
12
35
1
2
=
−
+
x
x
x
.
ĐS: Phương trình có 2 nghiệm:
4
5
=x
;
3
5
=x
.
2) Giải bất phương trình:
12
35

1
2
>
−
+
x
x
x
.
7
DẠNG 3: Trong bài có chứa biểu thức dạng
22
ax +
.
Phương pháp: Ta đặt
tax tan=
, với






−∈
2
;
2
ππ
t
(hoặc

tax cot=
, với
( )
π
;0∈t
).
Ví dụ 9: Giải phương trình
1
2
1
2
2
+
+=+
x
xx
.
Nhận xét: Trong phương trình có xuất hiện dấu hiệu
22
ax +
với
1
=
a
.
Giải:
ĐK:
Rx
∈∀
.

Đặt
tx tan=
, với






−∈
2
;
2
ππ
t
.
Phương trình đã cho trở thành:

1tan
2
tan1tan
2
2
⇔
+
+=+
t
tt





−=
=
⇔=−−⇔
2
1
sin
)(1sin
01sinsin2
2
t
lt
tt
.
Với
3
1
)
6
tan(
62
1
sin −=−=⇒−=⇔−=
ππ
xtt
.
Vậy phương trình có 1 nghiệm
3
1

−=x
.
Ví dụ 10: Giải bất phương trình
13
2
313
2
+
+≤+
x
x
x
.
Giải:
ĐK:
Rx
∈∀
.
Đặt
t
x
tan3
2
=
, với







−∈
2
;
2
ππ
t
.
Bất phương trình đã cho trở thành:

1tan
2
tan1tan
2
2
⇔
+
+≤+
t
tt
3
1
3
3
1
tan1sin
2
1
1sinsin2
2

2
−≥⇒−≥⇔≤≤−≤⇔−−⇔
x
tttt
luôn đúng.
Vậy BPT có nghiệm đúng
Rx ∈∀
.
Ví dụ 11: Với
0≠a
, giải bất phương trình
22
2
22
2
ax
a
xax
+
+≤+
.
Nhận xét: Có dạng của ví dụ 10.
Giải:
ĐK:
Rx
∈∀
.
Đặt
tax tan=
, với







−∈
2
;
2
ππ
t
.
8
Bất phương trình đã cho trở thành:

tan
2
tantan
222
2
222
⇔
+
+≤+
ata
a
taata
33
1

tan1sin
2
1
1sinsin2
2
a
xtttt −≥⇒−≥⇔≤≤−≤⇔−−⇔
.
Vậy BPT có nghiệm đứng
3
a
x −≥∀
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình:
3111
2
=++ xx
.
ĐS:
5
±=
x
.
2) Giải bất phương trình:
22
2
22
5
)(2

ax
a
axx
+
≤++
.
DẠNG 4: Dạng khác.
Ví dụ 12: Cho phương trình
mxx =−+ 1
(với
m
là tham số) (1)
a) Tìm điều kiện của
m
để phương trình (1) có nghiệm.
b) Giải phương trình khi
1
=
m
.
Giải:
ĐK:
10
01
0
≤≤⇔



≥−

≥
x
x
x
.
Ta thấy rằng
1)1()(
22
=−+ xx
, nên ta đặt





=−
=
tx
tx
sin1
cos
, với






∈
2

;0
π
t
.
Khi đó phương trình trở thành:
2
)
4
cos(sincos
m
tmtt =−⇔=+
π
(1’)
a) Điện để (1) có nghiệm
⇔
(1’) có nghiệm
221
2
1 ≤≤−⇔≤≤−⇔ m
m
.
b) Khi
1=m
, phương trình đã cho trot thành:
2
1
)
4
cos( =−
π

t




=
=
⇔=−⇔
0
2
4
cos)
4
cos(
t
t
t
π
ππ
(do






∈
2
;0
π

t
)
*) Với
00
2
=⇔=⇒= xxt
π
.
*) Với
110 =⇔=⇒= xxt
.
Vậy khi
1
=
m
phương trình (1) có 2 nghiệm
0
=
x
,
1
=
x
.
Lưu ý: Bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp khác.
Ví dụ : Giải bất phương trình
xxx <−−+ 11
.
ĐK:
11

01
01
≤≤−⇔



≥−
≥+
x
x
x
. (*)
Với điều kiện (*) ta đặt
tx cos=
, với
[ ]
π
;0∈t
.
Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng:
9
0)
42
cos( cos
2
cos2cos1coscos1cos1
2
≤+⇔⇔≤−+⇔≤−−+
π
t

t
t
tttt
01
422
≤≤−⇔⇔≤+≤⇔ x
t
π
ππ
.
Vậy bất phương trình có nghiệm
01 ≤≤− x
.
Ví dụ 13 : Tìm
a
để bất phương trình sau có nghiệm:
axaxa >++−
.
Giải:
ĐK:



≤≤−
≥
⇔






≥−
≥+
≥
axa
a
xa
xa
a
0
0
0
0
. (*)
Với điều kiện (*) ta đặt
tax cos=
, với
[ ]
π
;0∈t
. (**)
Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng:
2
)
42
cos( )
2
sin
2
(cos2coscoscos

at
a
tt
atataataa >−⇔⇔>+⇔>−−+
π

Từ (**) ta được:
1)
42
cos(
2
2
4424
≤−≤⇔≤−≤−
ππππ
tt
.
Vậy để bất phương trình có nghiệm thì điều kiện là:
41
2
<⇔< a
a
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải bất phương trình:
xxx ≤−−+ 11
.
ĐS:
01 ≤≤− x
.

2) Tìm
a
để BPT sau có nghiệm:
axaxa >++−
.
ĐS:
4
<
a
.
E. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh đã giải quyết các bài toán thuộc các dạng trên
một cách nhanh hơn, linh hoạt hơn bằng phương pháp lượng giác hóa. Thực tế, trong
nhiều năm liền tôi may mắn được giảng dạy ở các lớp nâng cao có nhiều đối tượng học
sinh khá, giỏi. Vào các tiết luyện tập tôi đã có việc lồng ghép phương pháp lượng giác
háo để học sinh giải được các bài tập nâng cao nhằm các em thu thập thên kiến thức và
kinh nghiệm để áp dụng trong các kì thi đại học, cao đẳng.
Kết quả khảo sát sau khi triển khai đề tài.
Nhóm Sĩ số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
Nhóm 1 20 8 40,0% 10 50,0% 2 10,0% 0 0,0%
Nhóm 2 16 4 25,0% 10 62,5,0% 2 12,5% 0 0,0%
F.KẾT LUẬN:
Với kết quả nghiên cứu đã đạt được, tôi đã rất thành công trong việc hướng dẫn, bồi
dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi. Tuy nhiên , để giải quyết các bài toán bằng phương
pháp lượng giác hóa thì các en học sinh cần phải nắm vững công thức LG cũng như giải
phương trình, BPT lượng giác.
G. ĐỀ NGHỊ:
Trong thời gian tới, nếu có điều kiện tôi sẽ mở rộng nghiên cứ đề tài này.

10
Trên đây là một phương giải phương trình, BPT, hệ phương trình vô tỉ bằng phương
pháp lượng giác hóa trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên, đề tài trên
không tránh khỏi những thiếu sót cần bổ sung. Tôi rất mong được sự góp ý quý đồng
nghiệp để SKKN của tôi hàn thiệ hơn.
Xin trân thành cảm ơn!
H.TÀI LỆU THAM KHẢO:
1. Phương pháp giải toán – Lê Hồng Đức (chủ biên).
2. Phương trình và bất phương trình – Phan Huy Khải.
3. Giải tích hiện đại – Vũ Tuấn (3 tập).
4. Một số số báo “ Toán học và tuổi trẻ”.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Triệu sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2013.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết
LÊ VĂN THẮNG
11