khóa luận tốt nghiệp vận dụng tư tưởng sư phạm của g.polya trong dạy học giải bài tập về hàm số ở trường trung học phổ thông

0
QUY ƯỚC
VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN

Viết tắt
GV :

HS :
HĐKT
:
Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Huy động kiến thức
Nxb

:

Nhà xu
ất bả
n

SGK : Sách giáo khoa
THPT :

Trung học phổ thông
PPDH : Phương pháp dạy học
HĐ : Hoạt động
[1] : Tài liệu 1

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học đóng vai trò hết sức quan trọng, là công
cụ cho nhiều bộ môn khoa học khác như vật lí, hóa học, kĩ thuật Ở nhà trường
phổ thông môn toán tạo điều kiện cho học sinh phát triển năng lực, phẩm chất,
trí tuệ, rèn luyện cho học sinh có óc tư duy lôgic, chính xác, sáng tạo. Nhằm
thực hiện chủ trương chính sách của Đảng và Nhà nước đã đề ra để phát triển
giáo dục với mục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri
thức, phẩm chất tốt, đáp ứng nhu cầu của xã hội.
Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 quy
định: “Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng
tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành
lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. (Chương I, Điều 4)
Thực trạng dạy học toán ở trường THPT hiện nay đã vận dụng được các
phương pháp dạy học tích cực trong quá trình dạy học nhằm truyền đạt cho các
học sinh những thông tin có liên quan và một lượng kiến thức nào đó vừa hình

thành cho họ tính tư duy độc lập, óc phán đoán, tính sáng tạo cao. Tuy nhiên,
trong dạy học còn tồn tại nhiều hạn chế đó là trình độ học sinh không đồng đều,
khối lượng kiến thức tương đối lớn, do năng lực sư phạm và điều kiện cơ sở vật
chất kĩ thuật… Do vậy dạy học chưa đáp ứng được yêu cầu đổi mới hiện nay.
Dạy toán là dạy kiến thức, cách suy nghĩ, kĩ năng, tư duy và tính cách cho
học sinh. Việc hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là một
trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy học toán, giúp học
sinh hiểu được bản chất của toán học phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học
sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó bồi dưỡng các phẩm chất
trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có
thể việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bài tập toán là
phương tiện cốt yếu trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển tư duy

2
và khả năng vận dụng Toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là
điều kiện tốt nhất để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông.
Với số lượng bài tập toán rất lớn, đặc biệt là các bài toán về hàm số - một
chủ đề xuyên suốt trong chương trình môn toán ở trường phổ thông. Vậy giáo
viên phải có định hướng như thế nào? Học sinh phải thực hiện những hoạt động
gì để hiểu rõ bài toán?. Vấn đề đặt ra: “Làm thế nào để hiểu sâu sắc tìm được
mối liên hệ giữa bài toán đã cho và các kiến thức, kĩ năng đã học để tìm ra
phương pháp giải quyết vấn đề đúng đắn”. Nghiên cứu tư tưởng sư phạm của
G.Polya sẽ giúp chúng ta giải quyết cơ bản vấn đề được nêu ở trên. Với những lí
do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng tư tưởng sư phạm của
G.Polya trong dạy học giải bài tập về hàm số ở trường trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu quan điểm sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập
toán và đề xuất hướng vận dụng quan điểm đó vào dạy học nội dung giải bài tập
hàm số góp phần đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng dạy học

môn toán ở trường phổ thông.
3. Đối tượng nghiên cứu
Khai thác tư tưởng sư phạm của G.Polya trong mối liên hệ với các
phương pháp dạy học tích cực để làm sáng tỏ một số phương thức sư phạm tích
cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học giải bài tập hàm số cho
học sinh trung học phổ thông.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng hợp lý những tư tưởng sư phạm của G.Polya vào việc
dạy học giải bài tập hàm số thì học sinh sẽ học tập một cách chủ động, tích
cực, sáng tạo hơn qua đó phát triển trí tuệ và nâng cao chất lượng giáo dục ở
trường phổ thông.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân tích làm sáng tỏ tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học giải
bài tập hàm số cho học sinh trung học phổ thông.

3
- Đề xuất các phương thức sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động nhận
thức trong dạy học giải bài bài tập hàm số theo định hướng sư phạm của
G.Polya.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
6. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu một số quan điểm tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS.
- Nghiên cứu sự đổi mới trong dạy học giải bài tập nói chung và bài tập
hàm số nói riêng.
- Nghiên cứu mối liên hệ giữa tư tưởng sư phạm của G.Polya gắn với một
số phương pháp dạy học tích cực.
7. Phương pháp nghiên cứu
Trong khóa luận này tôi đã sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, khảo sát thực tế

- Phương pháp thống kê toán học.
8. Đóng góp mới của khóa luận.
Đề xuất được một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chất lượng
dạy học giải bài tập hàm số cho học sinh trung học phổ thông trong mối liên hệ
với tư tưởng sư phạm của G.Polya.
9. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận còn có:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chất lượng
dạy học giải bài tập hàm số cho học sinh THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm






4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở
trường THPT hiện nay
Mục tiêu của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở
ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu
cầu, điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam.
Luật giáo dục nước ta quy định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người
Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề
nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành
và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu
xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc” (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2)
Trong xã hội công nghiệp hóa, hiện đại hóa mâu thuẫn giữa đào tạo con

người với thực trạng lạc hậu của PPDH đòi hỏi phải có những sự đổi mới mạnh
mẽ. Đã có nhiều định hướng đổi mới được phát biểu dưới nhiều hình thức khác
nhau như: “Phát huy tính tích cực”, “Phương pháp dạy học tích cực”, “Tích cực
hóa hoạt động học tập”, “Hoạt động hóa người học”… Những ý tưởng này đều
bao hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng thúc đẩy đổi mới PPDH nhằm nâng
cao hiệu quả giáo dục và đào tạo.
Để việc đổi mới PPGD thực sự có hiệu quả thì cần phải có một sự thay
đổi mới toàn diện trên tất cả các mặt:
a) Đổi mới về chương trình, nội dung sách giáo khoa
Nội dung và chương trình SGK hiện nay còn có nhiều hạn chế như: lượng
kiến thức quá nhiều, chưa phù hợp với mọi đối tượng HS, nặng nề lí thuyết và
xem nhẹ yếu tố thực hành… Do đó cần phải đổi mới nội dung, chương trình
SGK sao cho phù hợp với định hướng đổi mới về PPDH trong giai đoạn hiện
nay và phải dựa vào những tiêu chí sau:
- Tăng cường các hoạt động của chính bản thân học sinh.
- Chú trọng tiến trình xây dựng kiến thức phát huy tính tích cực của học sinh.
- Giảm nhẹ lý thuyết, tăng cường thực hành. Coi trọng vai trò của ghi
nhận trực giác. Coi trọng rèn luyện khả năng quan sát, dự đoán.

5
- Có tính đến quan điểm liên môn, coi trọng tính thực tiễn.
- Tạo thuận lợi cho việc sử dụng các thiết bị dạy học và ứng dụng công
nghệ thông tin.
Theo nhà tâm lý học Xô Viết Vưgôtxki thì nội dung dạy học cần phải ở mức
độ phù hợp với trình độ của HS, phải tác động vào “Vùng phát triển gần nhất”. Một
nội dung khó hoặc quá khó sẽ không gây được hứng thú học tập cho HS.
b. Đổi mới cách dạy của giáo viên.

Trong định hướng đổi mới PPDH đã xác định vai trò mới của người thầy
với tư cách là người: “Thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể chế hóa”. Để thực hiện

vai trò mới của mình và đảm bảo yếu tố tích cực, chủ động, sáng tạo cho người
học thì người thầy cần đạt được những yêu cầu sau:
* Cần tạo niềm vui và hứng thú trong học tập cho học sinh
Nhà toán học G.Polya đã khẳng định sự cần thiết của hoạt động của người
thầy rằng: “…Nếu người thầy khêu gợi được tính tò mò của học sinh bằng cách
đưa ra cho học sinh những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng
cách đặt ra câu hỏi gợi ý, thì người thầy có thể mang lại cho họ các hứng thú
của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” [2;4].
* Cần dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập.
Tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Mỗi một nội dung dạy học đều liên hệ
mật thiết với những hoạt động nhất định. Đó là những hoạt động được tiến hành
trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó, phát hiện được những hoạt
động tiềm tàng trong một nội dung là vạch ra được con đường để người học
chiếm lĩnh nội dung đó và đạt được các mục đích khác và cũng đồng thời là cụ
thể hoá được mục đích dạy học có đạt được hay không và đạt đến mức độ
nào?”[12].
* Cần chú trọng phát triển trí tuệ, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn cho học sinh.
Theo Nguyễn Bá Kim, để phát triển trí tuệ cho HS, thầy giáo cần chú ý:
- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác thông qua môn toán theo
các hướng sau:

6
1. Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết
lôgic: và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lượng từ tồn tại và khái quát,…
2. Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.
3. Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc
lập tiến hành chứng minh.
- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng: làm cho HS có ý thức sử
dụng các nguyên tắc suy đoán như tương tự hóa, khái quát hóa… và trí tưởng tượng.

- Thường xuyên rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích,
tổng hợp, so sánh, tổng quát hóa, trừu tượng hóa…
- Hình thành ở HS những phẩm chất trí tuệ: tính linh hoạt, tính độc lập,
tính sáng tạo…
c. Đổi mới cách học của học sinh
Trong học tập thì bản thân người học phải lập kế hoạch một cách chi tiết
cả về nội dung, chương trình và thời gian để học tập, tự mình động não, suy
nghĩ, sử dụng các khả năng trí tuệ cùng các phẩm chất cá nhân như động cơ, tình
cảm, niềm đam mê nghiên cứu khoa học, không ngại khó, vượt qua cả không
gian và thời gian để chiếm lĩnh tri thức nhằm thỏa mãn nhu cầu hiểu biết của cá
nhân và xã hội.
d. Đổi mới cách kiểm tra, đánh giá chất lượng học tập của học sinh
Trong dạy học, việc kiểm tra đánh giá HS có vai trò hết sức quan trọng:
Đối với HS: Việc kiểm tra đánh giá kích thích hoạt động học tập, cung
cấp những thông tin phản hồi về quá trình học tập của bản thân mình để họ tự
điều chỉnh quá trình học tập , khuyến khích họ phát triển năng lực tự đánh giá.
Nâng cao tinh thần trách nhiệm trong học tập, ý chí vươn lên đạt những kết quả
học tập cao hơn, củng cố lòng tự tin và khả năng của bản thân, tự giác và khắc
phục tính chủ quan, tự mãn.
Đối với GV: Việc kiểm tra đánh giá HS cung cấp những thông tin cần
thiết giúp người thầy xác định đúng điểm xuất phát hoặc điểm kế tiếp của quá
trình dạy học, phân nhóm HS và kịp thời điều chỉnh hoạt động dạy học.

7
Đối với cán bộ quản lí giáo dục: Việc đánh giá HS cung cấp những thông
tin cơ bản về thực trạng dạy học của các đơn vị giáo dục để có thể chỉ đạo kịp
thời, uốn nắn những lệch lạc, khuyến khích, hỗ trợ những sáng kiến, đảm bảo
thực hiện tốt mục tiêu giáo dục.
Quá trình đánh giá được tiến hành trên 3 lĩnh vực: kiến thức, kỹ năng, thái độ;
theo 6 mức độ: Nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá.

Việc đánh giá kết quả học tập của học sinh cần phải đảm bảo những
nguyên tắc sau:
1. Đảm bảo tính khách quan.
2. Đảm bảo tính công bằng.
3. Đảm bảo tính toàn diện.
4. Đảm bảo tính hệ thống.
5. Đảm bảo tính công khai.
6. Đảm bảo tính giáo dục.
7. Đảm bảo tính phát triển.
Để xây dựng được đội ngũ tri thức, lao động có chất lượng, có trình độ
cao, luôn tự chủ, năng động, sáng tạo… nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội
- hội nhập toàn cầu chúng ta cần có một hệ thống giáo dục thống nhất, phù hợp
với quốc tế và điều kiện cụ thể của Việt Nam.
1.2. Bài tập toán và chức năng của bài tập toán
1.2.1. Bài toán
Theo G.Polya: Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức
phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể
đạt được ngay. Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó.
1.1.2. Chức năng của bài tập toán
Dạy học giải bài tập toán có vai trò quan trọng đặc biệt bởi nó là phương
tiện có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình
thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn. Bài tập toán có
những chức năng cơ bản sau:

8
- Chức năng dạy học: Khi giải bài bài tập toán, HS được rèn luyện kỹ
năng, kỹ xảo, củng cố những vấn đề lý thuyết đã học. Có những bài tập toán là
nội dung của một định lý hay mệnh đề nào đó, mà nó không có điều kiện trình
bày ở phần lý thuyết. Khi được HS tiếp cận, sẽ trở thành phương tiện để giải một
số hệ thống bài tập toán khác, giúp HS dễ dàng hơn trong việc liên hệ giữa kiến

thức cũ và khám phá, tìm tòi kiến thức mới, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự
học của HS.
- Chức năng giáo dục: Khi HS giải bài tập toán sẽ hình thành được thế
giới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao
động tự chủ, sáng tạo. Đặc biệt, thông qua những bài toán có tính ứng dụng thực
tiễn, chẳng hạn như bài toán kinh tế, tổ hợp HS sẽ nhận thức củng cố niềm tin
vào tính ứng dụng của Toán học.
- Chức năng phát triển: Giải bài tập toán chính là môi trường để phát
triển tư duy, rèn luyện những thao tác tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán chính là thước đo của chất lượng dạy
học, đánh giá năng lực toán và trình độ phát triển khả năng vận dụng kiến thức
học được vào thực tiễn của HS. Hệ thống bài tập toán được sắp xếp hợp lý và có
chọn lọc kỹ thì tác dụng về nhiều mặt của nó được phát huy tối đa, đồng thời
phát huy được chức năng dạy học, phát triển tư duy.
1.2.3. Yêu cầu đối với lời giải bài tập toán
Để phát huy tốt hiệu quả dạy học giải bài tập toán, lời giải phải đảm bảo
những yếu tố:
- Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian.
- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mĩ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lí nhất.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.3. Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

9
Theo G.Polya thì dạy Toán ở trường phổ thông là: “Dạy cho học sinh suy
nghĩ”. Dạy suy nghĩ có nghĩa là thầy giáo toán không chỉ là nguồn thông tin mà
còn có nhiệm vụ phát triển khả năng sử dụng thông tin của HS.

Trong dạy học giải bài tập toán GV cần hình thành cho HS một số kỹ
năng nhất định, dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững được môn học.
GV phải bắt đầu từ hệ thống câu hỏi thích hợp, dẫn dắt HS từ khâu tìm hiểu bài
toán cho đến khi xây dựng được một chương trình giải và thực hiện lời giải đó.
Ngoài ra khi giải được rồi cần nhìn lại lời giải, tìm lời giải khác, xem xét mối
liên hệ với bài toán khác để xâu chuỗi được các bài toán có liên quan, hoặc các
hoạt động khác như khái quát hóa, tổng quát hóa Để giúp HS đỡ bối rối khi
tiếp xúc một bài toán và đi tìm lời giải thì GV quan tâm đúng mực đến việc giúp
HS phân loại bài toán. Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán thành những
kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trước một phương pháp giải.
1.3.1. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật toán.
Theo Nguyễn Bá Kim thì: “Thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểu như
một dãy hữu hạn những chỉ dẫn được thực hiện một cách đơn trị, kết thúc sau
một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào của một lớp
bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [12; 379].
Khi một thuật toán đã hình thành thì ta không xét đến việc chứng minh
thuật toán đó mà chỉ chú trọng đến việc áp dụng các bước theo sự hướng dẫn sẽ
có kết quả đúng.
Ví dụ 1: Xét bài toán: Cho hàm số:
   
3 2
1
6 2 1
3
y x mx m x m
     
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Đối với bài toán này, GV có thể hướng dẫn HS giải thông qua một số hoạt
động sau:

Hđ1: Em hãy nêu thuật toán xác định cực trị của hàm số




3 2
ax 0
y f x bx cx d a
     

Mong đợi: Đạo hàm


2
3 2
y f x x bx c
 
   

Hàm số


y f x
 có cực trị



y f x
 có cực đại và cực tiểu

10




0
f x


có 2 nghiệm phân biệt


2
3 0
b ac

   

Hđ2: Hãy áp dụng thuật toán trên vào bài toán?
Tìm m để hàm số:
   
3 2
1
6 2 1
3
y x mx m x m
     
có cực đại và cực tiểu.
Kết quả mong đợi: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi





2
2 6 0
y x x mx m

    
có 2 nghiệm phân biệt.
Tức là:
2
2
6 0
3
m
m m
m



     




Vậy với
2
m


hoặc
3
m

thì hàm số đã cho đạt cực đại và cực tiểu.
Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì
những lí do sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp HS hình dung được việc tự động hóa
trong những lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn
cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp HS làm quen với cách làm việc khi giải
bài toán bằng máy tính điện tử.
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp HS học tập tốt những môn học ở nhà trường
phổ thông nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho HS lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ
năng, kĩ xảo khi thực hiện giải toán có tính chất định lượng.
Thứ tư, tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ
chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa… và hình thành những
phẩm chất của người lao động như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói
quen tự kiểm tra…
1.3.2. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất tựa
thuật toán
Tựa thuật toán có các đặc điểm gần giống với thuật toán nhưng mỗi bước
có thể là một thao tác sơ cấp, có thể chỉ gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc hướng
dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số ít trường hợp và có hiệu quả
trong nhiều trường hợp. Cụ thể quy tắc tựa thuật toán phân biệt với quy tắc thuật
toán như sau:

11

- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.

- Kết quả thực hiện được mỗi chỉ dẫn không đơn trị.
- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì
đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Kinh nghiệm khi giải bài tập toán cho thấy phương pháp tựa thuật toán chỉ là
những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán bảo đảm chắc
chắn dẫn tới thành công. Vì vậy, khi cho HS sử dụng chúng, GV cần rèn luyện
cho HS tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương
pháp khi cần thiết.
1.3.3. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất phi
thuật toán
Trong khi giải bài tập thì HS gặp rất nhiều bài toán chưa có hoặc không
có thuật toán để giải đặc biệt ở sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, đề thi đại
học, đề thi học sinh giỏi Do đó, GV không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà
điều quan trọng là dạy cho HS biết suy nghĩ để tìm được lời giải. Chúng ta chỉ
có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho HS
cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải
các bài toán. Hoạt động giải các bài toán này cho phép người học có được những
sản phẩm tư duy thể hiện tính sáng tạo, tính mới mẻ. Theo G.Polya thì việc “Tìm
được cách giải một bài toán là một phát minh”.
1.4. Tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập Toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát với những gợi ý chi tiết của G.Polya
về cách thức giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán được thể
hiện như sau:
1.4.1. Thực hiện giải bài tập toán theo tư tưởng của G.Polya
Theo G.Polya, quy trình chung để đi tới lời giải một bài toán phải trải qua
4 bước:
1) Hiểu rõ bài toán: Để giải được bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và
hơn nữa phải có hứng thú với bài toán đó. Do vậy, GV cần chú ý tới việc tạo
tính tò mò, lòng ham muốn, sự say mê giải toán của HS, giúp HS hiểu được bài

12

toán. Muốn vậy, cần phải phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn,
đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện hay không?
Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay
có mâu thuẫn? Với việc trả lời hay làm rõ những câu hỏi đó chính là bước định
hướng lời giải bài toán và đồng thời thể hiện hoạt động huy động kiến thức liên
quan đến bài toán đó.
2) Xây dựng chương trình giải:
Ở bước này, thao tác tư duy thể hịên qua việc phân tích bài toán đã cho
thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự
đoán thông qua việc xét các trường hợp riêng lẻ, xét các bài toán tương tự hay
khái quát hơn bằng cách đặt hệ thống câu hỏi:
- Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng khác?
- Em có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng
được không?
- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng
ẩn hay có ẩn số tương tự?
- Đây là một bài toán nào đó có liên quan mà em đã có lần giải rồi. Có
thể sử dụng kết quả của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì
mới sử dụng được nó không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác nữa không?
- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán
có liên quan. Em có thể nghĩ ra một bài toán liên quan mà dễ giải hơn không?
Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em
có thể giải một phần của bài toán không?
- Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định
đến chừng mực nào và biến đổi thế nào? Em có thể từ các dữ kiện rút ra một

yếu tố có ích không? Em có thể nghĩ ra những yếu tố khác giúp xác định được
ẩn không?

13

Để trở thành thói quen khi giải toán, GV cần luyện tập cho HS về những
gợi ý này trong từng tiết dạy trên lớp, đặc biệt là những giờ chữa bài tập toán.
Nếu được luyện tập cơ bản thì không những HS học được cách giải toán mà còn
có thể vận dụng vào thực tiễn đời sống khi gặp những tình huống có vấn đề.
3) Thực hiện chương trình giải:
Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã thấy rõ
ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đều đúng không?
4) Kiểm tra lại và nghiên cứu lời giải đã tìm ra:
- Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải của bài toán không?
- Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp
ngay kết quả không?
- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào
khác không?
Ví dụ: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
2
3 2
y x x
  

GV hướng dẫn học sinh giải bài toán theo bốn bước:
Bước 1: Tìm hiểu rõ bài toán.
Để giúp HS hiểu bài toán GV đặt ra các câu hỏi:
GV: Xác định hệ số a, b, c của hàm số đã cho.
Kết quả mong đợi:
1

a

,
3
b
 
,
2
c


GV: Yêu cầu của bài toán là gì?
Kết quả mong đợi: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
GV: Để giải bài toán trên ta làm như thế nào?
Kết quả mong đợi: Ta phải làm 2 bài toán nhỏ:
1) Lập bảng biến thiên.
2) Vẽ đồ thị.
GV: Vậy để lập bảng biến thiên ta làm như thế nào?
Kết quả mong đợi:
- Xác định a, xác định tọa độ đỉnh ;
2 4
b
I
a a
 
 

 
 

14

- Lập bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
GV: Để vẽ đồ thị của hàm số trên ta phải làm gì?
Kết quả mong đợi:
- Xác định tọa độ đỉnh ;
2 4
b
I
a a
 
 

 
 

- Trục đối xứng
2
b
x
a


- Xác định tọa độ các giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành
nếu có.
- Vẽ Parabol.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải.

Giải:
Ta có
1 0
a
 
tọa độ đỉnh
3 1
( ; )
2 4
I

 .
Bảng biến thiên:
x



3
2



y





1
4


Hàm số nghịch biến trong khoảng
3
;
2
 

 
 
và đồng biến trong khoảng
3
;
2
 

 
 

* Đồ thị:
Đỉnh
1
1;
4
I

 


 
 

Trục đối xứng là:
3
2
x


Giao điểm với trục Oy là


0;2
A

15

Điểm đối xứng với


0;2
A qua đường thẳng
3
2
x

là


3;2

A


Giao điểm với trục Ox là


1;0
B
,


2;0
C


GV: Em có thể sử dụng phương pháp đó cho một bài toán khác không?
Kết quả mong đợi: Bằng phương pháp trên ta có thể giải được các bài
toán sau:
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a)
2
3 4 1
y x x
  
b)
2
3 2 1
y x x
   

* Như vậy thông qua hoạt động trên GV đã rèn luyện cho HS phát triển
bài toán thông qua hoạt động tương tự hóa. Giúp HS dễ dàng giải những bài
toán tương tự.
1.4.2. Tư tưởng của G.Polya được thể hiện qua các bước giải toán
1.4.2.1. Các quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước hiểu rõ bài toán
Tư tưởng sư phạm của G.Polya thể hiện trong bước hiểu rõ bài toán là:
“Dạy học toán là dạy cách suy nghĩ tìm tòi lời giải cho các bài toán”. Theo ông,
cách thức cần dạy cho HS để tìm lời giải là tập dượt cho họ những hoạt động
biến đổi quy lạ về quen. Tức là biến đổi bài toán về bài toán quen thuộc mà

16

nhiều khi cần phải biến đổi bài toán đã cho về dạng quen thuộc hơn, đã từng biết
cách giải.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
4 4
sin os 2 sin cos
y x c x m x x
  
xác định với
mọi x
GV yêu cầu học sinh biến đổi bài toán về dạng quen thuộc bằng cách sử
dụng các công thức lượng giác đã học.
Giải:
GV: Bài toán đã cho biết cái gì?
HS: Cho hàm số
4 4
sin os 2 sin cos
y x c x m x x
  

GV: Đâu là ẩn?
HS: x
GV: Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: Tìm tham số m để hàm số đã cho xác định với mọi x
GV: Điều kiện của bài toán là gì?
HS: Biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Hay là:
4 4
sin os 2 sin cos 0
x c x m x x
  

GV: Ta phải là gì để biểu thức vế trái thỏa mãn điều kiện?
HS: Ta sẽ biến đổi
GV: Biến đổi như thế nào? Sử dụng cái gì để biến đổi?
HS: Sử dụng hằng đẳng thức và các công thức lượng giác đã học.
GV: Đó là những công thức nào?
HS:


2
2 2
2
a b a b ab
   

2 2
sin os 1
x c x
 

,
sin 2 2sin cos
x x x


GV: Từ đây HS sẽ xây dựng được chương trình giải.

Ta có:
4 4
sin os 2 sin cos
x c x m x x
 


2
2 2 2 2
sin os 2sin 2 sin cos
x c x xcox x m x x
   

17

2
1
1 sin 2 sin2
2
x m x
  
Đặt



sin2 1;1
t x  
ta có:
Hàm số xác định với mọi x khi và chỉ khi:

 
2
1
1 0, 1;1
2
t mt t     



2
2 2 0, 1;1
t mt t      


1

Với
1
t
 
thì (1) trở thành
2 1 0
m
  



1
2
m


Với
1
t

thì (1) trở thành
1
2 1 0
2
m m
   

Vậy với
1 1
2 2
m

 
thì hàm số đã cho luôn xác định.
Vi dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số:
2
2 1
arcsin
1

x
y
x x
 


 
 
 

Giải:
Do
2
2
1 3
1
2 4
x x x
 
    
 
 
> 0 nên hàm số xác định khi và chỉ khi:

2
2 1
1 1
1
x
x x


  
 

2
2 1
1
1
x
x x


 


2
2 1 1
x x x
    
2
2
2 1 1
x x x
    


2 2
4 4 1 1
x x x x
     

2
3 5 0
x x
  


5
0
3
x

  

Vậy TXĐ của hàm số đã cho là:
5
;0
3
D

 

 
 

Vi dụ 3: Tìm tập giá trị của hàm sau:
3
4
2
12 ( )
36

x x a
y
x

 

 

 
với
0
a


Giải:
Đặt
2
12 ( )
36
x x a
z
x

 

 

 
thì
3

4
y z
 
0
z

và
0
y



18

Ta có:




2
36 12
z x x a
  



2
12 12 36 0
z x ax z
    





Để
0
z

thuộc tập giá trị của hàm số thì phương trình (*) phải có nghiệm.
Nếu
12
z

thì



trở thành:
36 0
ax
 

36
x
a


Nếu
12

z

thì



có nghiệm khi


2 2 2
36 36 12 0 12 0
a z z z z a

        

2 2
6 36 6 36
a z a
      

Do
0
z

nên
2
0 12 6 36
z a
    

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là
 
3
4
2
0; 6 36T a
 
  
 
 

*Tư tưởng sư phạm thứ hai trong bước tìm tòi lời giải là: “ Chú trọng
khảo sát toán, xem xét các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt để khái quát
hóa để đi đến cách giải bài toán cần giải”.
Vi dụ 4: Tìm m để hàm số sau xác định với mọi giá trị của x
1
ln 4 .2
x x
y m m

  
 
 

Giải:
Đặt
2 0
x
t
 

. Hàm số xác định với
x R
 
khi và chỉ khi:


2
2 0, 0
f t t mt m t
     

Ta có:
 
1
1 0
0
m
m m
m
 


    




Trường hợp 1: Nếu
1 0
m

  
thì có
0

 
nên


0,
f t t R
  
(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Nếu
1
m

thì




2
1 0
f t t
  
tại
1 0
t
 
(loại).

Trường hợp 3: Nếu
0
m

thì


2
f t t

tại
0
t

(thỏa mãn).
Trường hợp 4: Nếu
0
m

hoặc
1
m
 
thì
0

 
nên



0
f t

có 2
nghiệm phân biệt
1 2
t t

, lúc đó


0
f t







1 2
; ;t t t
   
=I
Ta có:


0;
I
 


1 2
0
t t
 


19


1 2
1 2
1
0
. 0
2 0
m
m
t t m
t t m
 







  



   



1
0
0
0
m
m
m
m
 








 








Vô nghiệm
Vậy với
1 0
m
  
thì hàm số đã cho xác định với mọi giá trị của x.
1.4.2.2. Quan điểm sư phạm của G. Polya qua bước thực hiện lời giải bài toán.
Khi thực hiện lời giải bài toán thì GV cần phải chú trọng luyện tập cho
HS các bước lập luận thông qua việc lập ra quy trình giải một bài toán và khai
thác quy trình giải toán.
Ví dụ: Quy tắc tìm cực trị của hàm số


y f x

Bước 1:
 Tìm TXĐ
 Tính


y f x
 

 Giải phương trình




1 2

0 ; ;
n
f x x x x x

  
 Tính giá trị






1 2
, , ,
n
f x f x f x

Bước 2:
 Lập bảng biến thiên của hàm số
 Sắp xếp
1 2
; ;
n
x x x
theo thứ tự tăng dần
 Xét dấu


f x


khi x đi qua
1 2
; ;
n
x x x

 Đánh dấu sự biến thiên của


f x
bằng mũi tên theo dấu của


f x


Bước 3:
Nhìn vào bảng biến thiên để suy ra cực trị của hàm số.
Trước khi đề ra quy trình trên, GV có thể hướng dẫn cho HS thực hiện
hoạt động giải bài toán, sau đó khái quát vấn đề.
Tìm cực trị của hàm số sau:


4 3 2
8 22 24 10
y f x x x x x
     

Giải:

20

TXĐ:
D R


Đạo hàm:








4 1 2 3
y f x x x x
 
    




1
2
3
x
x
x


















1 1, 2 2, 3 1
f f f
  

Bảng biến thiên.
x


1 2 3




f x



- 0 + 0 - 0 +


f x



2


1 1

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:






D
2 2, 1 1, 3 1
C CT CT
f f f f f f
     

1.4.2.3. Quan điểm sư phạm của G.Polya thể hiện qua bước kiểm tra lời
giải bài toán.
Tư tưởng sư G.Polya thể hiện ở bước này là: “Chú trọng luyện tập cho học

sinh đánh giá,tự đánh giá lại các bước lập luận của quá trình giải”.Thông
thường sau khi giải, chúng ta phải xem lại kết quả bằng những phép thử nào đó.
Tuy nhiên, đa số HS khi giải xong thì thỏa mãn với lời giải, ít đi sâu nghiên cứu
lại lời giải, xem có sai sót hoặc nhầm lẫn ở bước nào không và tìm xem có cách
giải khác không, có phát triển bài toán tổng quát hơn không, có tương tự hóa bài
toán được không. Vì thế, trong dạy học giải bài tập toán, GVcần nhấn mạnh
thêm bước bốn và nếu có thể nên lấy ví dụ và phản ví dụ để minh họa để giúp
HS khắc sâu, nắm vững kiến thức hơn.
1.4.2.4. Quan điểm sư phạm của G.Polya phát về triển bài toán sau khi
đã giải được bài toán.
Bước sau cùng trong dạy học giải bài tập toán theo quan điểm sư phạm
của G.Polya là: “Luyện tập cho học sinh phát triển bài toán thông qua hoạt động

21

khái quát hóa, tương tự hóa”. Không phải bài toán nào cũng thực hiện được các
hoạt động tương tự hóa, khái quát hóa. Tuy nhiên, theo G.Polya “ không có
bài toán nào là kết thúc. Bao giờ cũng còn lại một cái gì để suy nghĩ”[3]. Sự suy
nghĩ sau khi thực hiện hoàn chỉnh lời giải của bài toán để thực hiện các hoạt
động tương tự hoá, khái quát hoá là cấp độ khó trong khâu giải toán, nhưng đây
là khâu quan trọng để thầy giáo chú ý phát triển cho HS phát triển tư duy từ tư
duy tích cực  tư duy độc lập  tư duy sáng tạo.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của
20 20
sin cos
y x x
  với
0;
2
x


 

 
 

Giải:
Ta có:


19 19 18 18
20cos 20sin 20sin cos sin os
y x x x x x c x

   
0
y



sinx 0
cos 0
sinx cos
x
x










0
2
4
x
x
x














Bảng biến thiên:
x

0
4


2


y


0 - 0 + 0

y

1 1

9
1
2
 
 
 


Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra:
9
1
2
Miny
 

 
 

,
ax 1
M y


Từ bài toán trên GV khái quát hóa bằng cách:
Cho
3
n N
 
và
0;
2
x

 

 
 
,
sin cos
n n
y x x
  Tìm GTLN, GTNN.
Kết quả mong đợi:


1 1 2 2
sin osx-ncos sinx sin cos sin os
n n n n

y n xc n x x x c x
   

  

22

0
y



sinx 0
cos 0
sinx cos
x
x









0
2
4
x

x
x














Bảng biến thiên:

x

0
4


2


y


0 - 0 + 0
y

1 1

2
2
2
n


Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra:
2
2
2
n
Miny


,
ax 1
M y


1.5. Nhìn nhận tưởng sư phạm của G.Polya theo quan điểm hoạt động
Con người sống trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động. Theo
Nguyễn Bá Kim, quan điểm hoạt động trong PPDH có thể được thể hiện ở các
tư tưởng chủ đạo sau đây:
1.5 Luyện tập cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành phần
tương thích với nội dung và mục đích dạy học

a. Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung
Một hoạt động là tương thích với một nội dung nếu nó góp phần đem lại
kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Việc phát hiện
những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự
hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau, về
những con đường khác nhau để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con
đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con đường thuần tuý suy
diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý.
Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta cần
phải chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bình diện khác
nhau. Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện

23

Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược
nhau liên hệ với một khái niệm, một định lí hay một phương pháp.
Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa
mãn định nghĩa đó hay không, còn thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng
thỏa mãn định nghĩa đó (có thể còn đòi hỏi thỏa mãn một số yêu cầu khác nữa).
- Nhận dạng một định lí là xét xem một tình huống cho trước có ăn khớp
với một định lí đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình
huống ăn khớp với định lí cho trước.
- Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù
hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không, còn thể hiện một phương
pháp là tạo một dãy tình huống phù hợp với các bước của phương pháp đã biết.
- Những hoạt động toán học phức hợp đó là các hoạt động như chứng
minh, định nghĩa… thường xuất hiện lặp đi lặp lại nhiều lần trong SGK toán phổ
thông.
- Hoạt động ngôn ngữ

Những hoạt động ngôn ngữ được học sinh thực hiện khi họ được yêu cầu
phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ
của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác.
- Những hoạt động trí tuệ chung
Những hoạt động trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự,
trừu tượng hoá, khái quát hoá cũng được tiến hành thường xuyên khi học sinh
học tập môn Toán.
- Những hoạt động trí tuệ phổ biến
Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọng trong môn
Toán, nhưng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là: lật ngược vấn
đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp
b. Phân tích hoạt động thành những thành phần
Phân tách được một hoạt động thành những hoạt động thành phần là biết được
cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ đó có thể vừa quan tâm rèn luyện cho học

24

sinh hoạt động toàn bộ, vừa chú ý cho họ tập luyện tách riêng những hoạt động
thành phần khó hoặc quan trọng khi cần thiết.
c. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích
Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động, cần sàng lọc những hoạt
động đã phát hiện được để tập trung vào những mục đích nào đó căn cứ vào tầm
quan trọng của các mục đích này đối với việc thực hiện những mục đích còn lại.
d. Tập trung vào những hoạt động Toán học
Trong môn Toán, nhiều hoạt động xuất hiện trước hết như phương tiện để
đạt được những yêu cầu Toán học: kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng Toán
học. Đối với những hoạt động này ta cần phối hợp chức năng mục đích và chức
năng phương tiện theo công thức: "Thực hiện chức năng mục đích của hoạt
động trong quá trình thực hiện chức năng phương tiện".
1.5.2. Gợi động cơ cho các hoạt động học tập

Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và
của đối tượng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu sư phạm
biến thành những mục tiêu của cá nhân HS, chứ không phải là sự vào bài, đặt
vấn đề một cách hình thức.
Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri
thức nào đó, mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì vậy, có thể phân biệt
những cách gợi động cơ sau:
- Gợi động cơ mở đầu hoạt động;
- Gợi động cơ trung gian;
- Gợi động cơ kết thúc.
1.6. Kỹ năng giải bài tập toán
1.6.1. Khái niệm kĩ năng
Theo G.Polya: “Trong Toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán thực
hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận được”.
Kĩ năng được hiểu là khả năng vận dụng tri thức để thực hiện có hiệu quả một
hành động nào đó, kĩ năng là một nghệ thuật, kĩ năng thuộc phạm vi hành động.