khóa luận tốt nghiệp xác lập mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông nhằm giúp sinh viên ngành toán rèn luyện tay nghề dạy học

1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhìn lại lịch sử toán học ta có thể thấy có nhiều tri thức của toán học phổ
thông chính là mô hình (hình ảnh) của toán học cao cấp. Sự liên hệ đó được thể
hiện nhiều trong các chủ đề như: Lý thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ và bất biến
ánh xạ, véc tơ và các phép toán trên chúng, các cấu trúc đại số… Song do sự hạn
chế về tri thức của học sinh phổ thông nên việc trình bày của sách giáo khoa phổ
thông có nhiều khi phải tránh đi mối liên hệ đó. Điều này đã làm cho không ít
sinh viên khoa toán ở các trường sư phạm khi tiếp xúc với toán học cao cấp đều
cho rằng toán học cao cấp là một thế giới riêng tách biệt với toán học phổ thông
mà họ từng được học ở bậc phổ thông.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp sinh viên khoa toán ở các trường sư
phạm khi học toán học cao cấp có thể tự mình nhận ra mối liên hệ giữa toán học
cao cấp và môn toán ở trường phổ thông, giúp họ những giáo viên tương lai ở
các trường phổ thông có thể tự mình tìm thấy và khai thác các khả năng vận
dụng toán học cao cấp trong giảng dạy sau này để từ đó nâng cao trình độ
chuyên môn nghiệp vụ cho họ. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Xác
lập mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông nhằm giúp sinh
viên ngành toán rèn luyện tay nghề dạy học”.
Tuy nhiên, đây là một đề tài rất rộng và phong phú, trong khóa luận này
chúng tôi chỉ xác lập được mối liên hệ của các vấn đề: Tập hợp và ánh xạ, không
gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit.
Ứng dụng toán học cao cấp vào việc giảng dạy môn toán ở trường phổ
thông là đề tài được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục trên thế giới quan tâm
nghiên cứu. Qua nghiên cứu một số tài liệu, chúng tôi nhận thấy, trên thế giới có
hai hướng chủ yếu được khai thác trong những năm qua là: (1) Giải các bài toán
sơ cấp bằng công cụ của toán học cao cấp: Theo hướng này, vấn đề được giải
quyết một cách đơn lẻ không khái quát và không mang tính lí luận nhưng lại đáp
ứng được nhu cầu mà thực tế dạy học ở bậc phổ thông đòi hỏi. Nó có thể giúp

2

cho giáo viên thông qua cách giải bằng toán học cao cấp, tìm thấy lời giải phù
hợp với học sinh phổ thông.
(2) Biên soạn giáo trình cơ sở của toán học cao cấp dưới dạng một bài
giảng và bằng một ngôn ngữ đơn giản: Mỗi khái niệm có liên quan đến môn
toán ở bậc phổ thông đều được hình thành bằng con đường kiến tạo, xuất phát từ
những khái niệm của toán học phổ thông để khái quát hoá, trừu tượng hoá thành
khái niệm của toán học cao cấp. Theo hướng này, các tài liệu được biên soạn
thường rất công kềnh và khó có thể đem ra dạy ở các trường sư phạm nhưng
chúng lại là những tài liệu tham khảo bổ ích cho giảng viên và sinh viên ngành
toán ở các trường sư phạm.
Ở nước ta hiện nay, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa nội dung toán học
cao cấp và nội dung toán học phổ thông đã được một số nhà nghiên cứu giáo
dục quan tâm như: Đặng Quang Việt, Phan Văn Lý, Nguyễn Văn Dũng, Nguyễn
Thị Minh Yến, Vương Hội Các tác giả này đều tập trung vào việc nghiên cứu
giảng dạy các phân môn của toán học cao cấp trên cơ sở liên hệ với nội dung
chương trình môn toán ở trường phổ thông nhằm tăng cường định hướng sư
phạm cho sinh viên.
2. Tính cấp thiết
Để nâng cao khả năng học tập và giải quyết các bài toán phổ thông cho
học sinh trung học, các sinh viên cần phải hiểu được mối quan hệ giữa toán học
cao cấp với toán học phổ thông để từ đó giúp cho sinh viên - những người giáo
viên trong tương lai có thể tự mình tìm thấy và khai thác các khả năng vận dụng
toán học cao cấp trong dạy học toán học phổ thông sau này. Từ đó, nâng cao
trình độ về chuyên môn nghiệp vụ sư phạm cho họ.
Hiện nay, ở nước ta, chưa có nhiều tài liệu tham khảo viết về mối liên hệ
giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông.
Do đó, việc nghiên cứu chủ đề này của tác giả có ý nghĩa cả về thực tiễn
và lý luận. Kết quả nghiên cứu của đề tài (dự kiến) chắc chắn sẽ là những tài liệu

tham khảo rất tốt cho các sinh viên ngành toán.

3

3. Mục đích nghiên cứu
Xác lập được một số mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ
thông về các vấn đề tập hợp ánh xạ, không gian vectơ, không gian vectơ ơclit,
không gian afine và không gian ơclit để từ đó hình thành được một số định
hướng giúp sinh viên có thể giải toán phổ thông trên cơ sở các định hướng của
toán học cao cấp.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học
phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu: tập hợp và tham khảo các tài liệu liên quan đến đề tài
kết hợp nghiên cứu, trao đổi, và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài gồm ba chương.
Chương 1: Mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông đối
với lý thuyết tập hợp, ánh xạ.
Chương 2: Mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông đối với
không gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit.
Chương 3: Thực hành giải toán phổ thông trên cơ sở sử dụng mối liên hệ
giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông.

4

Chương 1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC CAO CẤP VÀ TOÁN HỌC
PHỔ THÔNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT TẬP HỢP, ÁNH XẠ

Tập hợp và ánh xạ trong chương trình toán học cao cấp được trình bày
một cách tường minh và có chiều sâu với các nội dung cụ thể như sau:
1.1. Lý thuyết tập hợp
1.1.1. Lý thuyết tập hợp trong toán học cao cấp
1.1.1.1. Khái niệm về tập hợp
Tập hợp (hay tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, nó không được
định nghĩa. Người ta thường mô tả tập hợp. Chẳng hạn tập hợp học sinh trong
một lớp, tập hợp các số nguyên dương, tập hợp các bàn học trong một lớp, tập
hợp các số tự nhiên…
Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa A, B, X, Y,…
Một vật hoặc đối tượng nào đó nằm trong tập hợp được gọi là một phần tử
của tập hợp. Ta kí hiệu x ∈X nếu x là một phần tử của tập X, x ∉X nếu x không
phải là một phần tử của tập X. Một tập hợp được coi là đã cho nếu ta có thể xác
định được một đối tượng thuộc hay không thuộc tập hợp.
Tập không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng và được kí hiệu là ∅.
Tập hợp chỉ chứa một phần tử x, kí hiệu là {x}, gọi là tập hợp một phần
tử. Tập hợp gồm hai phần tử x và y, kí hiệu là {x, y} gọi là tập hợp hai phần tử.
Định nghĩa tương tự cho tập hợp ba, bốn , …, n phần tử. Các tập hợp đó cùng
với tập hợp ∅ gọi là tập hợp hữu hạn còn các tập hợp khác gọi là các tập hợp vô
hạn. Kí hiệu P(X) là tập hợp các bộ phận của X. Nếu X là tập hợp hữu hạn gồm
n phần tử thì P(X) cũng là tập hợp hữu hạn có 2
n

phần tử.
Cho hai tập A và B. Ta bảo A là tập con của B và kí hiệu là A⊂B (hay
B ⊃A) nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B. Ta luôn có ∅⊂X
với mọi tập X.
Nếu A ⊂BvàB ⊂A thì ta nói A, B bằng nhau và kí hiệu là A = B.


5

1.1.1.2. Phép toán trên các tập hợp
Tập hợp gồm mọi phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A và B được gọi
là hợp của hai tập ấy và kí hiệu A ∪B.
Tập hợp gồm mọi phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp được gọi là giao
của hai tập ấy kí hiệu là A ∩B.
Nếu giao của hai tập là rỗng thì ta bảo hai tập ấy rời nhau.
Hợp và giao có các tính chất:
 Giao hoán : A ∪B =B ∪A ; A∩B= B∩A
 Kết hợp : (A ∪B)∪C = A∪(B∪C); (A ∩B) ∩C= A ∩(B ∩C)
 Phân phối : A ∩
(
B ∪C
)
= (A∩B)∪(A ∩C);
A ∪
(
B ∩C
)
= (A ∪B) ∩(A ∪C)
Tập hợp gồm mọi phần tử thuộc tập A nhưng không thuộc tập B được gọi
là hiệu của tập A trừ đi tập B (kí hiệu là A ∖B hoặc A – B).

Nếu B ⊂A thì ta gọi hiệu A ∖B là phần bù của tập B đối với tập A và kí
hiệu là C

B.
 Công thức De morgan:
X −
(
A∪B
)
=
(
X −A
)
∩
(
X −B
)
,
X −
(
A∩B
)
=
(
X −A
)
∪
(
X −B
)

Giữa các phần bù của hợp và giao các tập E
∝
trong tập X (E
∝
⊂X) có các
công thức đối ngẫu (De Morgan) rất quan trọng sau:
C

(
⋃
E
∝∝
)
=
⋂
(
C

E
∝
)
∝

C

(
⋂
E
∝∝

)
=
⋃
(
C

E

)
∝

Các công thức trên có thể được phát biểu như sau: Phần bù của một hợp bằng
giao các phần bù. Phần bù của một giao bằng giao các phần bù.
Cho hai tập X và Y. Ta xét những cặp sắp thứ tự (x, y), trong đó x ∈X,y ∈
Y. Hai cặp (x, y) và (x’, y’) được coi là bằng nhau khi và chỉ khi x = x

,y = y′.
Tập hợp tất cả các cặp sắp thứ tự (x, y) trong đó x ∈X,y ∈Y được gọi là
tích Đêcac (hoặc tích) của hai tập X và Yvà được kí hiệu là X × Y.
Khái niệm tích Đêcac có thể mở rộng cho trường hợp nhiều tập hợp. Nếu
X, Y, Z, T là những tập hợp, người ta định nghĩa:
6

X × Y× Z =
(
X ×Y
)
×Z
X × Y× Z × T =
(

X ×Y × Z
)
×T
…
Các phần tử của X ×Y ×Z là bộ ba
(
x,y,z
)
với x ∈X,y ∈Y,z ∈Z. Cũng
như vậy, các phần tử của X ×Y × Z× T là các bộ bốn
(
x,y,z,t
)
với x ∈X,y ∈
Y,z ∈Z,t ∈T. Cuối cùng nếu X là một tập hợp, ta đặt
X

= X ×X,X

= X × X ×X,X

= X × X ×X ×X,…
1.1.1.3. Xây dựng hệ thống số nhờ lý thuyết tập hợp
Con đường tổng quát như sau: Tập X được phân chia thành các tập con
khác ∅ từng cặp không giao nhau X
∝
∝∈A – chỉ số lấy trong họ tập con A mà
A
∝
là các phần tử - mỗi lớp nói trên. Gọi Y là tập các nhân tử tương ứng (tập các

phần tử của của nó là tập con của A
∝
).
Mỗi A
∝
là phần tử của P(X) còn tập con
{
X
∝
,∝∈A
}
là tập con trong P(X)
hay là phần tử trong P(P(X)). Do vậy Y là phần tử của P(P(X)). Từ đó phân chia
tập hợp thành các tập con không giao nhau và phép toán tạo thành các phần tử
có thể biểu diễn qua phép toán tạo thành tập các tập con các phần tử.
- Xây dựng tập số nguyên theo các bước sau:
 Lấy tích đề các N ×N = N

– tập các cặp (m, n), m ∈N,n ∈N.
 Phân hoạch N

thành các lớp khác ∅ từng cặp không giao nhau theo
quan hệ tương đương:

(
m

,n

)

~
(
m

,n

)
⟺m

+ n

= m

+n


Khi đó mỗi lớp tương đương là một số nguyên. Vậy tập các số nguyên là
tập nhân tử của tập N

hay ℤ là phần tử của P(P(N

)).
- Tương tự tập Q các số hữu tỉ là phần tử của P(P(ℤ× N
∗
)).
- Tập các số thực là phần tử của P(P(ℤ× P(N))).
- Quan hệ bé hơn trong N cho bởi phần tử X ∈P(N

).
- Mỗi hàm tuần hoàn xác định bởi đồ thị của nó – tập con trong R


nghĩa
là phần tử của P(R

). Từ đó các hàm số đối là phần tử của P(P(R

)). Cũng như
vậy các hàm nhiều biến là phần tử của P(P(R

)).
- Các phép toán cộng trừ nhân trong R là phần tử của P(R

).
7

- Các phép biến hình hình học được mô tả bằng lí thuyết tập hợp như sau:
Mỗi phép biến hình f cho bởi đồ thị: bộ cặp (A,B) trong đó A là điểm
trong không gian E
3
; B là ảnh của f. Nhưng đồ thị là tập con trong E

×E

nghĩa
là phần tử của P(E

× E

).
1.1.2. Lý thuyết tập hợp trong toán học phổ thông

Về thực chất lý thuyết tập hợp đã được sử dụng ở các lớp trung học cơ sở
nhưng phải đến lớp 10 mới được trình bày một cách tường minh và lý thuyết tập
hợp ở bậc phổ thông được trình bày theo quan điểm “ ngây thơ”. Những vấn đề
cơ bản về lý thuyết tập hợp gói gọn trong bài 3 chương I sách đại số 10 nâng cao
hay bài 2, bài 3 chương I sách đại số 10 cơ bản. Ở đó chỉ trình bày về các vấn đề
như sau:
- Khái niệm khái niệm, ví dụ, phần tử thuộc hay không thuộc tập hợp,
cách cho tập hợp.
- Tập hợp con và tập hợp bằng nhau, biểu đồ ven.
- Một số các tập hợp con của tập hợp số thực.
- Các phép toán trên tập hợp: Phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù.
Mặc dù lý thuyết về tập hợp ở chương trình toán phổ thông chưa được sâu
sắc song các phép toán của tập hợp được sử dụng rộng rãi và xuyên suốt chương
trình toán phổ thông như:
- Các phép toán trên tập hợp được dùng khi giải các phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình…
- Các tập hợp số ở trường phổ thông nhận được từ việc lấy giao và phần
bù của tập hợp
(
−∞,a] = ℝ(a,+∞)
- Các khái niệm của đại số tổ hợp được trình bày dựa vào tập hợp.
- Các bài toán tìm quỹ tích của một điểm.
- Các hình trong mặt phẳng hay không gian được xem là tập hợp các điểm
khi xét vị trí tương đối của chúng.
Khi giải các phương trình, bất phương trình thì tập nghiệm là các phần tử
của một tập hợp, các khoảng, đoạn . . .
8

Ví dụ: Giải phương trình:
f


(
x
)
.f

(
x
)
…f

(
x
)
= 0 (1)
Ta kí hiệu M
i
là tập nghiệm của các phương trình f

(
x
)
= 0, còn N
i
là
miềm giá trị thừa nhận của f

(
x
)

, 0 ≤i ≤n. Khi đó tập nghiệm của phương
trình (1) là:
∪(N

∩N

∩…∩N

∩M

∩N

)
Vì trên tập N

∩N

∩…∩N

∩M

∩N

nhân tử f

(
x
)
= 0 còn các
nhân tử còn lại xác định.

Chẳng hạn khi giải phương trình:




−x

.sin2x =0 (2).
Học sinh thường sai lầm dẫn tới giải:

(
2
)
⟺



−x

= 0
sin2x = 0

⟺
x

=



2x = kπ

⟺
x = ∓


x =


,k ∈ℤ
Giải đúng là:
(
2
)
⟺
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
π

9
−x

= 0

sin2x = 0
π

9
−x


≥0
⟺
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
x

=
π

9

2x = kπ
x

≥
π

9
⟺
⎣
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎡
x =∓
π
3
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
x =
kπ
2

x ≤−
π
3
x ≥
π
3
,k ∈ℤ
1.2. Lý thuyết ánh xạ
1.2.1. Lý thuyết ánh xạ trong toán học cao cấp
1.2.1.1. Ánh xạ
Định nghĩa 1: Giả sử X và Y là hai tập đã cho. Một ánh xạ f từ X đến Y
là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử xác định, kí
hiệu f(x) của Y. Ta viết
f ∶X→Y

x ↦f(x)

9

Tập X gọi là tập nguồn hay miền xác định và tập Y gọi là đích hay miền
giá trị của ánh xạ f.
Ánh xạ f được coi là không đổi nếu ∀x ∈X ∶f
(
x
)
= y

trong đó y

là một
phần tử xác định của Y.
Ví dụ:
1) Xét tập hợp ℕ các số tự nhiên và tập hợp ℤ

các số nguyên không âm
nhỏ hơn một số nguyên dương đã cho m. Với mọi ∈ℕ ta hãy chia x cho m
một số dư kí hiệu là f(x). Số f(x) thuộc ℤ

. Tương ứngx ↦f
(
x
)
xác định một
ánh xạ f ∶ℕ→ℤ


.
2) Xét tập hợp các số thực ℝ. Tương ứng x ↦x

xác định một ánh xạ từ
ℝ đến ℝ.
Định nghĩa 2: Giả sử f∶X →Y. Bộ phận Γ của X ×Y gồm các cặp
x,f
(
x
)
 với x ∈X gọi là đồ thị của ánh xạ f.
Như vậy, cho một ánh xạ f ∶X →Y, ta được một bộ phận Γ của X × Y có
tính chất: với mọi x ∈X, có một và chỉ một cặp, có phần tử thứ nhất là x, thuộc
Γ. Đảo lại, cho một bộ phận Γ của X ×Y có tính chất đó, thì Γ cho ta một ánh xạ
f ∶X→Y mà đồ thị là Γ. Cho nên người ta đồng nhất ánh xạ f với đồ thị của nó
là một bộ phận tích đề các X ×Y.
1.2.1.2. Ảnh và tạo ảnh
Định nghĩa 3: Giả sử f ∶X →Y là một ánh xạ đã cho, x là một phần tử tùy
ý của X; A là một bộ phận tùy ý của X, B là một bộ phận tùy ý của Y. Thế thì
người ta gọi:
- f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x.
- f
(
A
)
=
{
y ∈Y|tồntạix∈Asaochof
(
x

)
= y
}
là ảnh của A bởi f.
-f

(
B
)
=
{
x ∈X|f(x) ∈B
}
là tạo ảnh toàn phần của B bởi f.
Đặc biệt với b∈Y,f

({
b
})
=
{
x ∈X|f
(
x
)
= b
}
. Để đơn giản kí hiệu ta
viết f


(b) thay cho f

({
b
})
và gọi là tạo ảnh toàn phần của b bởi f.
Kí hiệu f(A) là một điều lạm dụng vì f(A) chỉ có nghĩa khi A ∈X. Rõ ràng
ta có f
(
∅
)
= ∅ với mọi f. Ta chứng minh dễ dàng các quan hệ:
10

- ⊂f

f
(
A
)
 với mọi bộ phận A của X.
- B ⊃ff

(
b
)
 với mọi bộ phận B của Y.
Nhưng ta không có quyền, trong các quan hệ ấy, thay các dấu bao hàm
bằng dấu đẳng thức. Chẳng hạn trong ví dụ 2) ở mục a), nếu lấy A =
{

1
}
thì ta
có f

f
(
A
)
=
{
−1,1
}
và B =
{
−1,1
}
thì ta có ff

(
b
)
=
{
1
}
.
1.2.1.3. Đơn ánh - toàn ánh - song ánh
Định nghĩa 4: Ánh xạ f ∶X →Y là một đơn ánh nếu với mọi x,x′∈X,
quan hệ f(x) = f(x’) kéo theo quan hệ x = x’ hay x ≠x′ kéo theo f(x) ≠f(x


);
hay với mọi y ∈Y có nhiều nhất một x ∈X sao cho y = f(x). Người ta gọi một
đơn ánh f ∶X →Y là ánh xạ một đối một.
Ví dụ: 1) Xét ánh xạ
f ∶ℝ→ℝ
x ↦x


Rõ ràng f là một đơn ánh, ví nếu x và y là những số thực thì quan hệ
x

= y

kéo theo x = y.
Nếu ta thay ℝ bằng ℂ thì ánh xạ
f ∶ℂ→ℂ
x ↦x


không phải là đơn ánh nữa, vì gọi ε

,ε

,ε

là ba giá trị căn bậc ba của đơn vị, ta
có ε



= ε


= ε


= 1.
2) Giả sử X là một tập hợp, ánh xạ
X →X
x ↦x

Gọi là ánh xạ đồng nhất của X kí hiệu 1
x
hoặc e
x
. Hiển nhiên 1
x
là đơn ánh.
3) Cho X ⊂Y. Ánh xạ
j ∶X →Y
x ↦j
(
x
)
= x

Gọi là đơn ánh chính tắc tứ X đến Y. Ta có thể có nhiều đơn ánh từ X đến
Y, nhưng đơn ánh j gọi là chính tắc vì nó được xây dựng một cách tự nhiên.
11

Định nghĩa 5: Ta bảo một ánh xạ f ∶X →Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y,
nói một cách khác, nếu với mọi y ∈Y có ít nhất một x∈X sao cho y = f(x).
Người ta còn gọi một toàn ánh f ∶X →Y là một ánh xạ từ X lên Y.
Các ánh xạ trong ví dụ 1) và 2) là những toàn ánh.
Định nghĩa 6: Ta bảo một ánh xạ f ∶X →Y là một song ánh hay một ánh
xạ đối một từ X lên Y, nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nói một cách khác
nếu với mọi y ∈Y có một và chỉ một x ∈X sao cho y = f(x).
Chẳng hạn ánh xạ đồng nhất 1
x
là một song ánh.
1.2.1.4. Tích ánh xạ
Định nghĩa 7: Giả sử cho
f ∶X→Yvàg ∶Y→Z.
Ánh xạ X →Z
x ↦gf
(
x
)

gọi là tích ánh xạ f và ánh xạ g, kí hiệu g ∘f, hay vắn tắt gf.
Định lí: Giả sử cho f ∶X→Y,g ∶Y →Z,h ∶Z →T
Thế thì:
h
(
gf
)
=
(
hg
)

f.
Ta bảo phép nhân các ánh xạ có tính chất kết hợp.
1.2.2. Lý thuyết ánh xạ trong toán học phổ thông
Ở các trường phổ thông xét các ánh xạ sau:
 Các ánh xạ từ tập hợp số vào tập hợp số.
 Các ánh xạ từ tập hợp số vào tập hợp điểm.
 Các ánh xạ từ tập hợp các hình hình học vào tập hợp số.
 Các ánh xạ từ tập hợp điểm vào tập hợp điểm.
Ví dụ: Phương trình tọa độ xác lập tương ứng giữa các tập hợp số và hình
hình học. Mỗi x ∈Rứng với điểm M(x) của đường thẳng tọa độ, tương ứng đó
là song ánh.
Mỗi bộ ba (x, y, z) tương ứng song ánh với điểm M(x, y, z) của không
gian tọa độ.
12

Các ánh xạ này có thể xem là ánh xạ từ R

vào E

và ngược lại với
k = (1,2,3).
Ngoài ra ở phổ thông còn xét các ánh xạ các biểu thức vào các hàm, các
hàm vào các hàm, các hàm vào các số.
Ta có khái niệm hàm số như sau:
Cho một tập hợp khác rỗng ⊂ℝ.
Hàm số f xác định trên  là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc 
với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x.
Tập  gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số
của hàm số f.
Hàm số còn được viết là f ∶→ℝ

x↦y = f(x)
Hàm số ở đây chính là ánh xạ mà nguồn và đích là tập hợp của các số
thực ℝ hoặc những bộ phận của ℝ, và số f(x) tương ứng với số x là một biểu
thức đại số hay một biểu thức lượng giác, chẳng hạn:
f
(
x
)
= 2x

−3x

+5x −10hayf
(
x
)
= 3cos2x.
Khái niệm hàm số hợp:
Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên (a, b) lấy giá trị trên (c, d);
y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c, d) lấy giá trị trên ℝ. Khi đó ta lập một
hàm số xác định trên (a, b) lấy giá trị trên ℝ theo qui tắc sau:
x↦f[g
(
x
)
].
Ta gọi hàm y = f[g(x)] là hàm hợp của hàm y = f(u) và u = g(x).
Dựa vào định nghĩa hàm hợp ta thấy khái niệm hàm hợp chính là khái
niệm thu hẹp của khái niệm tích ánh xạ trong chương trình toán học cao cấp.
Ở toán học phổ thông, lý thuyết ánh xạ con có mối liên hệ chặt chẽ với lí

thuyết tổ hợp. Dưới đây chúng ta xét vai trò các ánh xạ các tập hữu hạn và lí
thuyết tổ hợp.
Nhiều công thức của lí thuyết tổ hợp được rút ra từ hai mệnh đề cơ bản
sau, liên quan đến tập hợp hữu hạn và các bộ phần tử hữu hạn.

13

1. Nếu X

∩X

= ∅với i ≠j1 ≤i,j ≤n thì
|
⋃
X



|
=
∑ |
X

|



2.
|
x


.x

…x

|
=
|
x

|
.
|
x

|
…
|
x

|
.
Trường hợp riêng
|
X

|
=
|
X

|


- Các bộ thuộc tập X

, trong đó
|
X
|
= n gọi là các chỉnh hợp có lặp từ n
phần tử theo m kí hiệu A




Từ các công thức cơ bản trên suy ra A



= n


- Mỗi bộ có độ dài m tạo thành từ các phần tử của X. Xác định đơn vị ánh
xạ tập hợp N

=
{
1,2…m
}
vào X số k ứng với phần tử thứ k của bộ trên.

Ngược lại ánh xạ chỉ ra dạng tên xác định cho ta bộ có độ dài m từ các phần tử
của X =
{
X

,X

.X

}
.
Từ đó ta có mệnh đề: “Nếu X, Y là hai tập hữu hạn thì số các ánh xạ tập Y
vào tập X bằng
|
X
|
|

|
“
Một tập con bất kì A của tập X cho ta ánh xạ vào tập
{
0,1
}
: f
(
x
)
= 1 nếu
x ∈A và f

(
x
)
= 0 nếu x ∉A.
Vậy từ mệnh đề tổng quát trên ta suy ra: số các tập con của tập hữu hạn X
có phần tử bằng 2
|

|
.
Các công thức của lí thuyết tổ hợp.
Cho tập X sao cho
|
X
|
= n khi đó số các bộ có độ dài m :
{
a

,a

…a

}
tất
cả các phần tử khác nhau bằng n.
(
n −1
)
…

(
n−m+ 1
)
=
!
(

)
!
các bộ này
gọi là chỉnh hợp không lặp n phần tử theo m: A


=
!
(

)
!

Khi m = n ta có P
n
= n!
Các kết quả trên liên quan chặt chẽ với ánh xạ các tập hữu hạn: ta xét các
ánh xạ đơn ánh của tập N

=
{
1,2…m
}

vào tập X có n phần tử. Nhờ ánh xạ
trên ta có các bộ độ dài m không lặp.
Vậy cho tập X có m phần tử và Y có n phần tử khi đó tập các đơn ánh X
vào Y bằng: A


=
!
(

)
!
suy ra số các song ánh tập X lên X bằng n!.
Cho tập X có n phần tử tính số tập hợp con của X có m phần tử. Ký hiệu
số tập hợp con cần tìm là C


.
14

Giả sử A =
{
X

,X

.X

…
}

là một trong các tập con. Từ A có m! các phép
thế, mỗi phép thế này là chỉnh hợp không lặp từ n phần tử theo m. Nếu các tập
con A, B khác nhau thì số các phép thế khác nhau.
Như vậy A


= m!C


⟺C


=



!
=
!
!
(

)
!
.
Có thể giải thích theo ngôn ngữ ánh xạ như sau:
Các tập X, Y tương ứng có n và m phần tử sắp thứ tự chặt. Giả sử ánh xạ
f:X ⟶Y bảo tồn thứ tự, nghĩa là: từ X

<X


⟹f(X

) < (X

) suy ra số các
ánh xạ từ X vào Y bảo toàn thứ tự bằng C


.




15

Chương 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA THCC VÀ THPT
ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN VECTƠ, KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT,
KHÔNG GIAN AFINE, KHÔNG GIAN ƠCLIT

Ở mức độ chính xác nhất định có thể xem hình học phổ thông được trình
bày theo ba thể hiện của hệ tiên đề hình học Euclide: đó là các thể hiện vật lý
(hình học tổng hợp); thể hiện véc tơ là đoạn thẳng có hướng với các phép toán
được trình bày như trong SGK hình học; thể hiện Đềcác – Phương pháp tọa độ.
Từ góc độ toán cao cấp có thể thấy các dạng toán hình học phổ thông chứa
đựng: các bài toán afin, các bài toán xạ ảnh nghĩa là chúng được phân loại theo
các bất biến của các phép biến đổi xạ ảnh, biến đổi afin và biến đổi trực giao. Từ
khả năng đó cho phép nhìn nhận lời giải các bài toán phổ thông dưới ánh sáng
của toán học cao cấp và từ đó chuyển sang ngôn ngữ phổ thông để giải.
2.1. Không gian vectơ

2.1.1. Không gian vectơ trong toán học cao cấp
2.1.1.1. Định nghĩa không gian vectơ
Giả sử V là một tập hợp tùy ý không rỗng, mà các phần tử ta kí hiệu là x,
y, z, … V gọi là một không gian vectơ (KGVT) trên một trường số K nếu có
một ánh xạ
f ∶V × V →V

(
x,y
)
↦x + y
Gọi là phép cộng và một ánh xạ
f ∶K × V →V

(
α,y
)
↦αx
Gọi là phép nhân một số với một phần tử của Vsao cho các điều kiện sau
được thỏa mãn:
1) Phép cộng có tính chất giao hoán
x +y = y + x , với mọi x,y ∈V
2) Phép cộng có tính chất kết hợp
(
x +y
)
+z = x +
(
y+ z
)

, với mọi x,y,z ∈V
16

3) Trong V tồn tại phần tử θ sao cho
x +θ= θ+x = x, với mọix ∈V.
4) Với mọi phần tử x ∈V, tồn tại phần tử đối −x ∈V sao cho
x +(−x)= (−x) + x = θ.
5) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng
α
(
x + y
)
= αx + αy, với mọi α∈K, với mọi x,y ∈V
6) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng các số trên K
(
α+ β
)
x = αx + βy, với mọi α,β∈K, với mọi x ∈V
7)
(
αβ
)
x =α
(
βx
)
, với mọi α,β∈K, với mọi x ∈V
8) 1.x =x.1 = 1, với mọi x ∈V, trong đó 1 là phần tử đơn vị của K.
Bốn tính chất đầu chứng tỏ V cùng với phép cộng là một nhóm Aben. Các
phần tử của KGVT gọi là các vectơ, còn các phần tử của K gọi là các vô hướng.

Khi K là trường số thực hoặc phức thì V gọi là KGVT thực hoặc phức. Phần tử
θ gọi là vectơ không, phần tử −x gọi là vectơ đối của vectơ x.
Giả sử V là một KGVT và V’ là một tập con khác rỗng của V. Nếu đối
với phép toán cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số xác định trong KGVT
V mà bản thân tập V’ cũng lập thành một KGVT thì V’ gọi là KGVT con của
KGVT V.
2.1.1.2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các vectơ
Trong KGVT cho hệ thống vectơ
α

,α

,…,α

(1)
Hệ vectơ (1) gọi là độc lập tuyến tính nếu từ
k

α

+ k

α

+ ⋯+ k

α

= 0 (2)
Suy ra bắt buộc phải có: k


= k

= ⋯= k

= 0.
Nếu tồn tại các số thực k

,k

,…,k

không đồng thời bằng 0 thỏa mãn
(2) thì hệ vectơ (1) gọi là phụ thuộc tuyến tính. Như vậy hệ vectơ (1) gọi là độc
lập tuyến tính nếu và chỉ nếu nó không phụ thuộc tuyến tính.
Với m > 1, hệ vectơ (1) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có ít nhất một
vectơ của hệ đó là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

17

2.1.1.3. Cơ sở của một không gian vectơ hữu hạn sinh
Giả sử trong một KGVT V tồn tại hệ vectơ
α

,α

,…,α

(1)
Sao cho vọi vectơ của KG V đều biểu thị tuyến tính được qua hệ (1) thì hệ

(1) gọi là hệ sinh hữu hạn của KGVT V và V gọi là một KGVT hữu hạn sinh.
Kí hiệu V = L(α

,α

,… ,α

).
Một hệ sinh hữu hạn độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của KGVT.
Hai cơ sở tùy ý của một KGVT V hữu hạn sinh có số vectơ bằng nhau. Số
vectơ trong một cơ sở tùy ý của KGVT V hữu hạn sinh gọi là có số chiều hoặc
thứ nguyên của KG V và kí hiệu là dimV.
Nếu dimV = n thì V gọi là một KG n-chiều và kí hiệu là V
n
. Trong KGVT
n - chiều V
n
, n > 0, mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều không có quá n vectơ.
Nếu hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n vectơ thì nó là một cơ sở của KG V
n
còn
nếu có ít hơn n vectơ thì có thể bổ sung thêm vào đó để trở thành một cơ sở.
Giả sử V’ là một KG con của KGVT n - chiều V
n
, Thế thì dimV′≤n và
dimV

= n khi và chỉ khi V’ = V
n
.

2.1.1.4. Ánh xạ tuyến tính
a. Định nghĩa và tính chất
Giả sử cho hai KGVT V và V’. Ánh xạ f ∶V →V′ gọi là một ánh xạ tuyến
tính từ KGVT V đến KGVT V’ nếu f thỏa mãn điều kiện
f
(
aα+ bβ
)
= af
(
α
)
+bf
(
β
)

với mọi a,b ∈ℝ và mọi α,β∈V.
Nếu V = V’ thì ánh xạ tuyến tính f ∶V →V gọi là một phép biến đổi tuyến
tính của KGVT V.
Qua ánh xạ tuyến tính f ∶V →V′ thì vectơ không của V biến thành vectơ
không của V’ và nếu α

,α

,…,α

là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính trong V thì
f(α


),f(α

),…,f(α

) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính trong V’, đặc biệt f(V) là
một KGVT con của V’.
Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f ∶V →V′, kí hiệu Kerf, là tập hợp
{
α∈V|f
(
α
)
= θ′
}
, θ′ là vectơ không của V’.
Kerf là một KGVT con của V.
18

b. Sự xác định ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính f ∶V

→V′ từ KGVT n-chiều V
n
vào KGVT V’.
Giả sử α

,α

,… ,α


là một cơ sở của V
n
và α


,α


,… ,α


n vectơ tùy ý
của V’. Khi đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính duy nhất f ∶V

→V′ sao cho
f
(
α

)
= α


, i = 1, 2, …, n.
c. Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính f ∶X →Y và g ∶X →Y. Tổng của hai ánh xạ f và g
kí hiệu là f + g, được xác định như sau:
(
f +g
)(

α
)
= f
(
α
)
+ g
(
α
)
,vớimọiα∈X
Với mối số thực k, tích của ánh xạ f với k, kí hiệu là kf, được định nghĩa:
(
kf
)(
α
)
= kf
(
α
)
,vớimọiα∈X
Khi đó, f + g và kf là các ánh xạ tuyến tính từ X đến Y.
d. Ánh xạ đẳng cấu
Cho hai KGVT X và Y, ánh xạ tuyến tính f ∶X →Y được gọi là đẳng cấu
nếu f là song ánh.
Ánh xạ đẳng cấu f ∶X →Y biến hệ vectơ độc lập tuyến tính α

,α


,…,α


trong X thành hệ vectơ độc lập tuyến tính f(α

),f(α

),…,f(α

) trong Y.
Giả sử X và Y là hai KGVT n - chiều. Thế thì, X và Y đẳng cấu với nhau
và mỗi ánh xạ từ X đến Y biến mỗi cơ sở của X thành một cơ sở của Y là một
ánh xạ đẳng cấu tuyến tính từ X lên Y.
e. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính
Giả sử cho KGVT n-chiều V
n
với cơ sở
{
ε

,ε

,,,,ε

}
(1)
và KGVT m-chiềuW
m
với cơ sở
{

ω

,ω

,,,,ω

}
(2)
Cho f∶V

→W

là một ánh xạ tuyến tính. Ta biểu thị các vectơ
f(ε

),j = 1,2,…,n, qua cơ sở (2) : f(ε

) =
∑
a

ω



,j = 1,2,…,n.
Ma trận A = a


×

gọi là ánh xạ của ma trận tuyến tính f đối với các
cơ sở (1) và (2).
Nếu V
n
= W
m
thì ta có chọn hai cơ sở (1) và (2) trùng nhau. Lúc đó ta
được ma trận của phép biến đổi tuyến tính đối với cơ sở đã cho.
19

Bây giờ, nếu (x
1
, x
2
, …,x
n
) là tọa độ của x đối với (1) và (y
1
, y
2
, …, y
m
) là
tọa độ của f(x) đối với cơ sở (2) thì ta có:

y

y

…

y

=

a

a

… a

a

…
a

a

…
a

…
…
…
a

…
a


= 

x

x

…
x


Biểu thức này gọi là phương trình ma trận của ánh xạ tuyến tính f.
Nếu m = n thì A = a


×
gọi là ma trận vuông. Và ta định nghĩa định
thức của nó, kí hiệu là detA hay
|
A
|
, như sau:
detA = s(f)a

(

)
a

(

)
…a

()

.
trong đó f chạy qua tất cả các phép thế bậc n, và s(f) là dấu của phép thế.
Hạng tử a

(

)
a

(

)
…a
()
có dấu + hay – tùy theo phép thế

1 2
… n
f(1) f(2)
… f(n)

là chẵn hay lẻ.
Số các hạng tử mang dấu “+” bằng số các hạng tử mang dấu “–”.
2.1.2. Không gian vectơ trong toán học phổ thông
* Ký hiệu P
n+1
là tập tất cả các đa thức hệ số thực có bậc bé hơn hoặc bằng
số tự nhiên n.

Trên P
n+1
xét hai phép toán cộng đa thức và nhân một đa thức với một số
thông thường. Khi ấy, P
n+1
cùng hai phép toán đó lập thành một KGVT.
Một cơ sở của P
n+1
là
{
1,x,x

,…,x

}
nên dim P
n+1
= n + 1.
Mỗi phần tử của P
n+1
có dạng
∑
a

x



với a


∈ℝ,i = 0,1,2,…,n.
* Tập các số thực ℝ cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường lập
thành một KGVT trên trường số thực. Ở đây mỗi số thực được xem là một vectơ.
* Tập các hàm số liên tục trên [a, b], kí hiệu C
[a, b]
là một KGVT với phép toán:
(
f+ g
)(
x
)
= f
(
x
)
+g(x) với mọi f,g∈C
[
,
]
, mọi x∈
[
a,b
]

(
αf
)(
x
)
= α.f(x) với mọi f ∈C

[
,
]
, mọi ∈ℝ,x ∈
[
a,b
]
.
Tập các hàm số khả vi trên
[
a,b
]
là một KGVT con của C
[
,
]
.
* Trong mặt phẳng cho hệ tọa độ Đề các vuông góc xOy.
20

Với mọi vectơ u
⃗
=
(
x,y
)
vàv
⃗
=
(

x′,y′
)
ta có
u
⃗
+v
⃗
=
(
x +x

,y + y′
)

ku
⃗
=
(
kx,ky
)
,mọik∈ℝ
tập hợp V
2
các véc tơ trong mặt phẳng có chung gốc O với hai phép toán
trên là một KGVT. Cơ sở của nó là
{
ı⃗=
(
1,0
)

,ȷ⃗=
(
0,1
)}
.
Nên dimV
2
= 2.
Trong không gian cho hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz.
Với mọi vectơ u
⃗
=
(
x,y,z
)
vàv
⃗
=
(
x

,y

,z′
)
ta có
u
⃗
+v
⃗

+z⃗=
(
x+ x

,y + y

,z +z′
)

ku
⃗
=
(
kx,ky,kz
)
,mọik∈ℝ.
Tập hợp V
3
các vectơ trong KG chung gốc O lập thành một KGVT với
hai phép toán trên. Cơ sở của nó là:
ı⃗=
(
1,0,0
)
,ȷ⃗=
(
0,1,0
)
,k


⃗
=
(
0,0,1
)

Do đó dimV
3
= 3.
Giả sử α

⃗
,β

⃗
là hai vectơ không cộng tuyến của V
3
. Khi đó tập các vectơ
của V
3
đồng phẳng với hai vectơ α

⃗
,β

⃗
là một KGVT con của V
3
.
Hai vectơ ı⃗,ȷ⃗ của V

2
là độc lập tuyến tính ta bổ sung vào hệ
{
ı⃗,ȷ⃗
}
một vectơ
k

⃗
vuông góc với ı⃗vàȷ
⃗
ta được một cơ sở ı
⃗
,ȷ
⃗
,k


⃗
 của V
3
.
Ngoài cơ sở đó, trong mặt phẳng KG còn có các cơ sở khác. Chẳng hạn,
ba cạnh chung đỉnh của một hình hộp trong KG là độc lập tuyến tính nên nó là
một cơ sở của KG.
* Gọi ma trận vuông cấp hai là:
A = 
a b
a′ b′


Hai vectơ
X = 
x
y
vàB = 
c
c′

Khi đó, hệ phương trình bậc nhất:

ax +by = c
a

x + b

y = c′

Có thể viết gọn là AX = B.
21

Ta có:
detA = s(f)

a
()
a
()
= ab

−a′b

* Xét bài toán: Tìm giao điểm của đường thẳng ∆ có phương trình

ax + by+cz + d = 0
a

x +b

y + c

z + d

= 0

với mặt phẳng có phương trình là
a

x + b′

y + c

′z+ d

= 0.
Thực chất của bài toán trên là tìm nghiệm của hệ phương trình

ax + by+ cz + d = 0
a

x + b


y + c

z + d

= 0
a

x + b′

y + c

′z+d

= 0

Đặt A =
a b c
a′ b′ c′
a′′ b′′ c′′
,X = 
x
y
z
,B = 
d
d′
d′′

Hệ phương trình trên có thể viết gọn là:
AX + B = 0

Xét định thức cấp 3:

a b c
a

b

c

a

b

c

= s
(
f
)

a

(

)
a

(

)

a

(

)

= ab

c

+ ca

b

+ a

bc

−a

b

c −a

bc

−ab

c


.
* Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ có phương trình
(
d
)
:
x −x

a

=
y−y

b

=
z −z

c


(
d′
)
:
x −x

a

=

y−y

b

=
z −z

c

.
Đường thẳng d qua điểm M

(
x

,y

,z

)
và có vectơ chỉ phương là
u





⃗
=
(

a

,b

,c

)
. Còn đường thẳng d’ qua điểm M

(
x

,y

,z

)
và có vectơ chỉ
phương là u





⃗
=
(
a

,b


,c

)
.
Bởi vậy, ta có:
[
u





⃗
,u





⃗
]
= 
b

c

b

c


,
c

a

c

a

,
a

b

a

b


22

Và M

M













⃗
=
(
x

−x

,y

−y

,z

−z

)

Nên ta có:
[
u






⃗
,u





⃗
]
M

M












⃗
=
=
(

x

−x

)

b

c

b

c

+
(
y

−y

)

c

a

c

a


+
(
z

−z

)

a

b

a

b


=
(
x

−x

)

b

c

b


c

−
(
y

−y

)

a

c

a

c

+
(
z

−z

)

a

b


a

b


= 
(
x

−x

) (
y

−y

) (
z

−z

)
a

b

c

a


b

c


Hai đường thẳng d và d’ đồng phẳng khi và chỉ khi
[
u





⃗
,u





⃗
]
M

M













⃗
= 0
Tương đương với: 
(
x

−x

) (
y

−y

) (
z

−z

)
a

b


c

a

b

c

= 0
Từ đó ta có các trường hợp biện luận như SGK hình học 12.
2.2. Không gian vectơ Ơclit
2.2.1. Không gian vectơ Ơclit trong toán học cao cấp
2.2.1.1. Các định nghĩa và tính chất
Cho V là KGVT trên trường số thực. Hàm số f ∶V ×V →ℝ là tích vô
hướng nếu thỏa mãn điều kiện:
E

:fa
⃗
,b

⃗
= fb

⃗
,a
⃗
 với mọi a
⃗

,b

⃗
∈V
E

:fa
⃗
,b

⃗
+ c⃗= fa
⃗
,b

⃗
+ f
(
a
⃗
,c⃗
)
với mọi a
⃗
,b

⃗
,c⃗∈V
E


:fλa




⃗
,b

⃗
= λfa
⃗
,b

⃗
 với mọi a
⃗
,b

⃗
∈V,λ∈ℝ
E

:f
(
a
⃗
,a
⃗
)
≥0 với mọi a

⃗
∈V, f
(
a
⃗
,a
⃗
)
= 0 khi và chỉ khi a
⃗
= 0

⃗

Tích vô hướng thường được kí hiệu là a
⃗
b

⃗
hoặc
〈
a
⃗
|b

⃗
〉

KGVT V cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là KGVT Ơclit, kí
hiệu là V

E
.
a
⃗
a
⃗
còn được gọi là bình phương vô hướng của a
⃗
và kí hiệu a
⃗


Giá trị
√
a
⃗

gọi là môđun hay độ dài của a
⃗
và kí hiệu là
|
a
⃗
|
.
23

Nếu V là KGVT n - chiều thì KGVT tương ứng cũng gọi là n - chiều, ký
hiệu là V



.
Với mọi a
⃗
,b

⃗
∈V


ta có:
- a
⃗
.b

⃗


≤a
⃗

b

⃗

(BấtđẳngthứcSvácxơ)
- a
⃗
+ b


⃗
≤
|
a
⃗
|
+ b

⃗
(bấtđẳngthứctamgiác)
-
|
a
⃗
|
≥0,
|
a
⃗
|
= 0khivàchỉkhia
⃗
= 0
-
|
a
⃗
|
=
|


||
a
⃗
|

2.2.1.2. Cơ sở trực giao
Hai vectơ a
⃗
,b

⃗
của KGVT Ơclit V
E
gọi là vuông góc với nhau nếu
a
⃗
.b

⃗
= 0.
Khi đó, ta có:
. a
⃗
vuông góc với chính nó khi và chỉ khi a
⃗
= 0

⃗

. 0

⃗
vuông góc với mọi a
⃗
∈V


. a
⃗
vàb

⃗
vuông góc khi và chỉ khi a
⃗
+b

⃗


≤
|
a
⃗
|

+ b

⃗



(định lý Pitago)
Hệ vectơ
{
a
⃗

,a
⃗

,…,a
⃗

}
của V
E
gọi là hệ trực giao nếu a
⃗

≠0, (i = 1, 2,…, n),
và a
⃗

a
⃗

= 0 với mọi i, j = 1, 2, …, n và i ≠j.
Vectơ a
⃗
có

|
a
⃗
|
= 1 gọi là vectơ đơn vị. Một hệ trực giao gồm toàn các
vectơ đơn vị gọi là hệ trực chuẩn.
Cơ sở ε=
{
e
⃗

,e
⃗

,…,e
⃗

}
của V


gọi là cơ sở trực giao nếu ε là hệ trực
giao, và gọi là cơ sở trực chuẩn nếu εlà hệ trực chuẩn.
Mọi KG V


, với n > 1, đều có cớ sở trực chuẩn.
Tọa độ của một không gian vectơ đối với cơ sở trực chuẩn gọi là tọa độ
trực chuẩn.
2.2.1.3. Góc giữa hai vectơ

Số đo góc giữa hai vectơ a
⃗
,b

⃗
≠0

⃗
của V
E
là một số thực φ(a
⃗
,b

⃗
) được xác
định bởi công thức:
cosφa
⃗
,b

⃗
=
a
⃗
b

⃗
|
a

⃗
|
b

⃗

và0 ≤φa
⃗
,b

⃗
≤π
24

Đối với cơ sở trực chuẩn của V


, giả sử a
⃗
=
(
x

,x

,…,x

)
,b


⃗
=
(
y

,y

,…,y

)
thì
a
⃗
b

⃗
= x

y



,
|
a
⃗
|
=

x





,b

⃗
=

y





cosφa
⃗
,b

⃗
=
∑
x

y




∑

x




∑
y



.
2.2.1.4. Hai không gian bù trực giao với nhau
Cho hai KG con P và Q của V
E
. P và Q gọi là trực giao với nhau nếu với
mọi a
⃗
∈P đều vuông góc với mọi b

⃗
∈Q. Kí hiệu P ⊥Q. Nếu P và Q trực giao
với nhau và V

= P⨁Q thì ta nói P là phần bù trực giao của Q hay P và Q bù
trực giao với nhau. Nếu P bù trực giao với Q thì dimP + dimQ = dimV
E
.
Giả sử P, Q, R là các KG con của V



. Khi đó, nếu P ⊥Q và P là phần bù
trực giao của R thì Q ⊂R.
2.2.1.5. Phép biến đổi trực giao của 



Phép biến đổi trực giao φ của KGVT Ơclit n - chiều V


là một phép biến
đổi tuyến tính của V


mà không làm thay đổi tích vô hướng của hai vectơ bất
kỳ, nghĩa là φ
(
a
⃗
)
φ
(
a
⃗
)
= a
⃗
b

⃗
, với mọi a

⃗
,b

⃗
∈V


.
Như vậy, ánh xạ φ∶V


→V


là phép biến đổi trực giao của V


nếu và
chỉ nếu φ là ánh xạ tuyến tính và giữa nguyên môđun của các vectơ, tức là
|
φ
(
a
⃗
)|
=
|
a
⃗
|

, với mọi a
⃗
∈V


.
Tập tất cả các phép biến đổi trực giao của V


với phép nhân ánh xạ là
một nhóm.
Nếu φ là một phép biến đổi trực giao của V


thì V


là tổng trực tiếp của
các KG con một hoặc hai chiều bất biến đối với φ và đôi một trực giao với nhau.
2.2.1.6. Ma trận trực giao
Cho ma trận vuông cấp n là A = a


×
. A gọi là ma trận trực giao nếu
A.A* = I, trong đó A* là ma trận chuyển vị của A còn I là ma trận đơn vị cấp n.
25

Nếu A là ma trận trực giao thì A*.A = I và A* = A
-1

, trong đó A
-1
là ma
trận nghịch đảo của A.
Một phép biến đổi tuyến tính φ∶V


→V


là một phép biến đổi trực giao khi
và chỉ khi ma trận của φ đối với cơ sở trực chuẩn của V


là một ma trận trực giao.
2.2.1.7. Tích vectơ trong KG vectơ Ơclit 3-chiều 



Giả sử u
⃗
,v
⃗
∈V


. Với mỗi w


⃗

∈V


ta đặt tương ứng với số φ(w


⃗
) ∈R cho
bởi φ
(
w


⃗
)
= det(u
⃗
,v
⃗
,w


⃗
)
Tương ứng φ∶V


→R cho bởi w



⃗
↦φ
(
w


⃗
)
là phiếm hàm tuyến tính trên
V


. Do đó tồn tại duy nhất một vectơ z⃗∈V


sao cho:
〈
w


⃗
|z⃗
〉
= φ
(
w


⃗
)

= det(u
⃗
,v
⃗
,w


⃗
)
Vectơ z⃗ xác định như trên gọi là tích vectơ của các vectơ u
⃗
,v
⃗
và kí hiệu là
z⃗= u
⃗
× v
⃗
. Cũng kí hiệu là u
⃗
∧v
⃗
hoặc
[
u
⃗
,v
⃗
]
.

Tích vectơ có các tính chất
 u
⃗
×
(
v
⃗
+ w


⃗
)
= u
⃗
× v
⃗
+ u
⃗
×w


⃗
,vớimọiu
⃗
,v
⃗
,w


⃗

∈V



 u
⃗
×
(
αv
⃗
)
= αu
⃗
× v
⃗
, với mọi u
⃗
,v
⃗
∈V


,α∈ℝ

(
u
⃗
+ v
⃗
)

× w


⃗
= u
⃗
× w


⃗
+ v
⃗
× w


⃗
,vớimọiu
⃗
,v
⃗
,w


⃗
∈V




(

αu
⃗
)
× v
⃗
= αu
⃗
×v
⃗
,vớimọiu
⃗
,v
⃗
∈V


,α∈ℝ
 u
⃗
×v
⃗
= v
⃗
× u
⃗
,vớimọiu
⃗
,v
⃗
∈V




Như vậy, tích vectơ của hai vcetơ là một dạng song tuyến tính phản đối xứng.
Chọn cơ sở trực chuẩn ε trong V


và các tọa độ u
⃗
,v
⃗
đối với ε là
u
⃗
=
(
x

,x

,x

)
;v
⃗
=
(
y

,y


,y

)

Khi đó, u

⃗
×v
⃗
= 
x

x

y

y

,
x

x

y

y

,
x


x

y

y


Ta có: u
⃗
× v
⃗
= 0

⃗
khi và chỉ khi u
⃗
cộng tuyến với v
⃗
.
Nếu u
⃗
không cộng tuyến với v
⃗
thì u
⃗
×v
⃗
vuông góc với u
⃗

vàv
⃗
. Ngoài ra,
|
u
⃗
× v
⃗
|
=
|
u
⃗
||
v
⃗
|
sin(u
⃗
,v
⃗
).
2.2.2. Không gian vectơ Ơclit trong toán học phổ thông
* Tập hợp các số thực ℝ là một KGVT. Tích vô hướng trên ℝ là phép
nhân hai số thực. Do đó ℝ là một KGVT Ơclit.