ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CỤ THỂ 1 (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN)

0

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG


PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CỤ THỂ 1


(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN)





Số tín chỉ: 03
Lý thuyết: 30 tiết
Bài tập: 10 tiết
Thảo luận: 5 tiết

Phú Thọ, năm 2014

1




MỤC LỤC

CHƯƠNG 1. Dạy học khái niệm toán học 3
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa 3
1.1.1. Khái niệm 3
1.1.2. Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ 3
1.1.3. Định nghĩa khái niệm 3
1.1.4. Khái niệm không định nghĩa 4
1.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm 4
1.3. Những con đường tiếp cận khái niệm 4
1.3.1. Con đường suy diễn 5
1.3.2. Con đường quy nạp 5
1.3.3. Con đường kiến thiết 5
1.4. Những hoạt động củng cố khái niệm 6
1.4.1. Nhận dạng và thể hiện khái niệm 6
1.4.2. Hoạt động ngôn ngữ 8

1.4.3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá 8
1.5. Dạy học phân chia khái niệm 8
Tài liệu học tập. 10
Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận: 10
CHƯƠNG 2. Dạy học định lý toán học 11
2.1. Vị trí của định lí và yêu cầu dạy học định lí 11
2.2. Hai con đường dạy học định lí 11
2.2.1. Con đường có khâu suy đoán 11
2.2.2. Con đường suy diễn 12
2.3. Những hoạt động củng cố định lí 13
2.3.1. Nhận dạng và thể hiện định lí 13
2.3.2. Hoạt động ngôn ngữ 13
2.3.3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá 13
2.4. Phát triển năng lực chứng minh toán học 13
2.4.1. Gợi động cơ chứng minh 14
2.4.2. Tập luyện cho học sinh các hoạt động thành phần trong chứng minh 14
2.4.3. Hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh 14
2.4.4. Phân bậc hoạt động chứng minh 16
Tài liệu học tập 17
Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận: 17
CHƯƠNG 3. Dạy học quy tắc, phương pháp 18
3.1. Những thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải 18
3.1.1. Khái niệm về thuật giải và quy tắc tựa thuật giải 18
3.1.2. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải 20
3.2. Những quy tắc, phương pháp tìm đoán 22
Tài liệu học tập 23
Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận: 23
CHƯƠNG 4. Dạy học giải bài tập toán học 24
2

4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 24
4.2. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán 24
4.3. Dạy học phương pháp chung để giải toán 25
4.3.1. Phương pháp chung để giải bài toán 25
4.3.2. Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung để giải toán 26
4.3.3. Cách thức dạy học phương pháp chung để giải bài toán 27
Tài liệu học tập. 27
Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận: 27
CHƯƠNG 5. Kế hoạch dạy học 29
5.1. Kế hoạch năm học 29
5.2. Bài soạn 29
5.2.1. Mục tiêu bài học 29
5.2.2. Các khâu cơ bản của quá trình dạy học 30
5.2.3. Những thành tố cơ sở của phương pháp dạy học 32
5.2.4. Những hình thức làm việc của thầy và trò 33
5.2.5. Cấu trúc của bài soạn 34
5.2.6. Các kiểu bài lên lớp 37
Tài liệu học tập 38
Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận: 38
CHƯƠNG 6. Dạy học các yếu tố lịch sử toán học 39
6.1. Sơ lược về lịch sử toán học 39
6.1.1. Giai đoạn toán học cổ đại 39
6.1.2. Giai đoạn TH sơ cấp 40
6.1.3. Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển 43
6.1.4. Giai đoạn TH hiện đại 44
6.2. Dạy học các yếu tố lịch sử toán học 46
6.2.1. Sử dụng quỹ thời gian dạy học trên lớp để trang bị tri thức lịch sử toán 46

6.2.2. Đặt ra nhiệm vụ tự tìm hiểu về lịch sử toán học cho học sinh 46
6.2.3. Tổ chức các hoạt động ngoại khoá toán học 46
Tài liệu học tập 47
Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận: 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO 48











3




CHƯƠNG 1
Dạy học khái niệm toán học
Số tiết: 8 (Lý thuyết: 5; bài tập: 2; thảo luận: 1)


*) Mục tiêu
- Sinh viên có những hiểu biết cơ bản về khái niệm, định nghĩa; hiểu rõ các yêu cầu về dạy học
khái niệm; biết cách xác định vị trí của khái niệm trong dạy học, nắm được các con đường tiếp cận khái
niệm, những hoạt động củng cố khái niệm.

- Có kỹ năng vận dụng các vấn đề lý luận về dạy học khái niệm để tiến hành dạy học các khái
niệm toán học trong Chương trình môn Toán THPT; hướng dẫn học sinh tiếp cận các khái niệm toán
học theo con đường suy diễn, quy nạp, kiến thiết; tổ chức cho học sinh thực hiện việc phân chia khái
niệm.
- Rèn luyện đức tính ham hiểu biết, nghiêm túc trong lao động, lòng yêu nghề; hình thành
tác phong người giáo viên.
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa
1.1.1. Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó một khái niệm có thể
được xem xét theo hai phương diện: Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên,
còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm đó. Giữa
nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ có tính quy luật: Nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên
càng bị thu hẹp, và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là
một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là khái niệm loại của A.
1.1.2. Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ
Về mặt toán học, khái niệm về một quan hệ cũng là một trường hợp riêng của khái niệm về
một đối tượng. Trong dạy học, sự phân biệt giữa khái niệm về đối tượng với khái niệm về quan hệ là
cần thiết dưới góc độ sư phạm.
1.1.3. Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgíc nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái
niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới (biểu thị khái niệm
mới)
(Những) từ chỉ miền đối tượng
đã biết (loại)
Tân từ (diễn tả khác biệt về
chủng)

Ví dụ: Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật, còn sự
khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng loại tạo thành đặc trưng của khái niệm. Đặc
trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó. Có nhiều cách nêu đặc trưng của
cùng một khái niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Chẳng
4




hạn, hình vuông, nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể đưa định nghĩa theo một cách khác: Hình
vuông là một hình thoi có một góc vuông.
Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào đó hay không, người ta
thường quan tâm tới những thuộc tính của đối tượng đó: Những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của
khái niệm đang xét thì được coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm
của khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xét.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Nếu xét xem ABCD có phải là một hình vuông hay không
thì “AB = BC” là một trong các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ giác đó có phải là một
hình bình hành hay không thì thuộc tính đó là không bản chất. Trong định nghĩa theo cấu trúc đã
nêu, từ chỉ “miền đối tượng hay loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết. Một khả năng vi
phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh. Ví dụ: “Phép cộng là phép toán tìm
tổng của hai hay nhiều số”.
1.1.4. Khái niệm không định nghĩa
Như đã biết ở mục 1.1.3, định nghĩa một khái niệm mới dựa vào một hay nhiều khái niệm đã
biết. Nếu hiểu “đã biết” là “đã được định nghĩa” thì trong trường hợp ví dụ về hình vuông đã nêu ở
trên, quá trình định nghĩa còn phải tiếp tục. Để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật,
để định nghĩa hình chữ nhật thì cần định nghĩa hình bình hành, để định nghĩa hình bình hành ta cần
định nghĩa tứ giác,… Tuy nhiên, quá trình trên không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có những khái
niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ.

Bên cạnh những khái niệm nguyên thuỷ, ở trường phổ thông còn có một số khái niệm khác
cũng không được định nghĩa vì lý do sư phạm mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong toán học,
chẳng hạn khái niệm độ dài của một đường tròn.
1.2. Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm
Trong việc dạy học toán, cũng như ở việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ
thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái
niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các
kiến thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phái triển trí tuệ, đồng
thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát
sinh và phát triển của các khái niệm toán học).
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường phổ thông phải làm cho học sinh đạt được các
yêu cầu sau:
a) Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
b) Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm
vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm.
c) Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm.
d) Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng
dụng toán học vào thực tiễn.
e) Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm
khác trong một hệ thống khái niệm.
1.3. Những con đường tiếp cận khái niệm
5




Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự
hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, giải thích hay chỉ thông qua
trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có thuộc khái niệm đó hay
không. Tiếp cận khái niệm là khâu đầu tiên trong quá trình hình thành khái niệm; hình thành khái

niệm còn bao gồm cả việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề khác nhau trong khoa
học và đời sống. Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm khác nhau:
Con đường suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiến thiết.
1.3.1. Con đường suy diễn
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau:
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm
mà ta quan tâm.
- Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái
niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát.
- Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh hoạ cho khái niệm vừa được định nghĩa.
Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm được thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho
học sinh tự học những khái niệm toán học thông qua sách và tài liệu hoặc nghe các báo cáo khoa học
trên các lĩnh vực toán học. Tuy nhiên con đường này bị hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát
triển trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá. Con đường này
thường được sử dụng khi có thể gợi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất phát và
một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn.
1.3.2. Con đường quy nạp
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn ra như sau:
- Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối
tượng nào đó.
- Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối
tượng đang được xem xét. Có thể đưa ra đối chiếu với một đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu.
- Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc điểm
đặc trưng của khái niệm.
Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh,
góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa
ra định nghĩa. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi tốn kém nhiều thời gian, vì vậy không phải bao giờ
cũng có điều kiện thực hiện.
Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:
- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó có
đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.

1.3.3. Con đường kiến thiết
Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:
- Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hướng vào
những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ toán học hay từ thực tiễn.
6




- Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái
niệm cần hình thành.
- Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả khái quát hoá và xây dựng những đối tượng
đại diện.
Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ
xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình
thành. Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng
lẻ đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
Ví dụ: Luỹ thừa với sô mũ nguyên âm (học sinh đã được học quy ước là
0
1
a
=
v
ớ
i
0
a

≠
).
(i) Xây d
ự
ng m
ộ
t
đố
i t
ượ
ng
đạ
i di
ệ
n.
Ta mu
ố
n
đị
nh ngh
ĩ
a ch
ẳ
ng h
ạ
n
4
3
−
.

Để

đả
m b
ả
o phép nâng lên lu
ỹ
th
ừ
a m
ớ
i này c
ũ
ng có
các tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a các lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố

m
ũ
t
ự
nhiên, ch
ẳ
ng h
ạ
n
.
m n m n
a a a
+
=
, ta c
ầ
n có:
4 4 4 4 0
3 .3 3 3
− − +
= =

Nh
ư
ng
1
3 0
=
, v
ậ

y ph
ả
i
đị
nh ngh
ĩ
a
4
4
1
3
3
−
=
.
(ii) Khái quát hoá quá trình xây d
ự
ng
đố
i t
ượ
ng
đạ
i di
ệ
n
M
ộ
t cách t
ổ

ng quát,
để

đả
m b
ả
o lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
âm c
ũ
ng có các tính ch
ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a
lu
ỹ
th

ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
t
ự
nhiên, ta c
ầ
n ph
ả
i
đị
nh ngh
ĩ
a:
1
m
m
a
a
−
=
, trong
đ
ó a là m
ộ
t s

ố
th
ự
c khác 0,
còn m là m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên.
(iii) Phát bi
ể
u m
ộ
t
đị
nh ngh
ĩ
a
đượ
c g
ợ
i ý do k
ế
t qu
ả
c
ủ
a (ii):

1
m
m
a
a
−
= , trong
đ
ó a là m
ộ
t s
ố
th
ự
c khác 0, còn m là m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên.
Con
đườ
ng ki
ế
n thi
ế
t thu
ậ

n l
ợ
i cho vi
ệ
c kh
ơ
i d
ạ
y ho
ạ
t
độ
ng t
ự
giác, tích c
ự
c c
ủ
a h
ọ
c sinh và rèn
luy
ệ
n cho h
ọ
kh
ả
n
ă
ng gi

ả
i quy
ế
t v
ấ
n
đề
trong quá trình ti
ế
p c
ậ
n khái ni
ệ
m. Tuy nhiên, con
đườ
ng này nói chung dài, t
ố
n th
ờ
i gian.
Con
đườ
ng ki
ế
n thi
ế
t th
ườ
ng
đượ

c s
ử
d
ụ
ng trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
H
ọ
c sinh ch
ư
a
đị
nh hình
đượ
c nh
ữ
ng
đố
i t
ượ
ng thu
ộ
c ngo
ạ
i diên khái ni

ệ
m, do
đ
ó con
đườ
ng quy n
ạ
p không thích h
ợ
p.
H
ọ
c sinh ch
ư
a phát hi
ệ
n
đượ
c m
ộ
t khái ni
ệ
m lo
ạ
i nào thích h
ợ
p v
ớ
i khái ni
ệ

m c
ầ
n
đị
nh
ngh
ĩ
a làm
đ
i
ể
m xu
ấ
t phát cho con
đườ
ng suy di
ễ
n.
1.4. Những hoạt động củng cố khái niệm
1.4.1. Nhận dạng và thể hiện khái niệm
Nh
ậ
n d
ạ
ng và th
ể
hi
ệ
n khái ni
ệ

m (nh
ờ
m
ộ
t
đị
nh ngh
ĩ
a t
ườ
ng minh hay
ẩ
n tàng) là hai
d
ạ
ng ho
ạ
t
độ
ng theo chi
ề
u h
ướ
ng trái ng
ượ
c nhau, có tác d
ụ
ng c
ủ
ng c

ố
khái ni
ệ
m, t
ạ
o ti
ề
n
đề

cho vi
ệ
c v
ậ
n d
ụ
ng khái ni
ệ
m.
Khi t
ậ
p d
ượ
t cho h
ọ
c sinh nh
ậ
n d
ạ
ng và th

ể
hi
ệ
n m
ộ
t khái ni
ệ
m, c
ầ
n l
ư
u ý:
Th
ứ
nh
ấ
t, c
ầ
n s
ử
d
ụ
ng c
ả
nh
ữ
ng
đố
i t
ượ

ng thu
ộ
c ngo
ạ
i diên l
ẫ
n nh
ữ
ng
đố
i t
ượ
ng không
thu
ộ
c ngo
ạ
i diên khái ni
ệ
m
đ
ó.
7




Th
ứ
hai,

đố
i v
ớ
i nh
ữ
ng
đố
i t
ượ
ng thu
ộ
c ngo
ạ
i diên c
ủ
a khái ni
ệ
m
đ
ang xem xét thì c
ầ
n
đư
a
ra c
ả
nh
ữ
ng tr
ườ

ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t c
ủ
a khái ni
ệ
m
đ
ó. Vi
ệ
c
đư
a ra nh
ữ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t, trong
đ
ó m
ộ

t
đố
i t
ượ
ng mang nh
ữ
ng thu
ộ
c tính n
ổ
i b
ậ
t nh
ư
ng không ph
ả
i là thu
ộ
c tính b
ả
n ch
ấ
t
đố
i v
ớ
i
khái ni
ệ
m

đ
ang xét v
ừ
a giúp h
ọ
c sinh hi
ể
u bi
ế
t sâu s
ắ
c v
ề

đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a khái ni
ệ
m l
ạ
i v
ừ
a rèn
luy
ệ
n cho h
ọ

c sinh kh
ả
n
ă
ng tr
ừ
u t
ượ
ng hoá th
ể
hi
ệ
n
ở
ch
ỗ
bi
ế
t phân bi
ệ
t và tách
đặ
c
đ
i
ể
m b
ả
n
ch

ấ
t kh
ỏ
i nh
ữ
ng
đặ
c
đ
i
ể
m không b
ả
n ch
ấ
t.
- Th
ứ
ba,
đố
i v
ớ
i nh
ữ
ng
đố
i t
ượ
ng không thu
ộ

c ngo
ạ
i diên c
ủ
a khái ni
ệ
m
đ
ang xem xét,
trong tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a khái ni
ệ
m có c
ấ
u trúc h
ộ
i, các ph
ả
n ví d
ụ
th

ườ
ng
đượ
c xây d
ự
ng
sao cho ch
ỉ
tr
ừ
m
ộ
t thành ph
ầ
n trong c
ấ
u trúc h
ộ
i, còn các thu
ộ
c tính thành ph
ầ
n khác
đề
u
đượ
c
tho
ả
mãn.

- Th
ứ
t
ư
, tr
ườ
ng h
ợ
p tính ch
ấ
t
đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a khái ni
ệ
m có c
ấ
u trúc h
ộ
i c
ủ
a hai
đ
i
ề
u ki
ệ

n,
c
ầ
n làm rõ c
ấ
u trúc này và h
ướ
ng d
ẫ
n h
ọ
c sinh v
ậ
n d
ụ
ng thu
ậ
t gi
ả
i sau
đ
ây
để
nh
ậ
n d
ạ
ng khái
ni
ệ

m
đ
ó:


























Trong tr

ườ
ng h
ợ
p t
ổ
ng quát, khi tính ch
ấ
t
đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a khái ni
ệ
m là h
ộ
i c
ủ
a n
đ
i
ề
u ki
ệ
n
thì
đị
nh ngh
ĩ

a có c
ấ
u trúc:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2

n
x A x B x B x B x
∀ ⇔ ∧ ∧ ∧
Thu
ậ
t gi
ả
i nh
ậ
n d
ạ
ng t
ươ
ng

ứ
ng có th
ể

đượ
c bi
ể
u di
ễ
n theo s
ơ

đồ
:





B
ắ
t
đầ
u
P
1
P
2
+

_

_

+

K
ế
t thúc
Quy t
ắ
c
đ
ang xét l
à
m
ộ
t hàm s
ố

Quy t
ắ
c
đ
ang xét không
là m
ộ
t hàm s
ố

Hình 1.1
8


























B
ằ

ng cách t
ươ
ng t
ự
, có th
ể
xây d
ự
ng thu
ậ
t toán nh
ậ
n d
ạ
ng t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i tr
ườ
ng h
ợ
p tính
ch
ấ
t
đặ
c tr

ư
ng c
ủ
a khái ni
ệ
m là m
ộ
t tuy
ể
n c
ủ
a n
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2

n
x A x B x B x B x
∀ ⇔ ∨ ∨ ∨
1.4.2. Hoạt động ngôn ngữ
Cho h
ọ
c sinh th
ự
c hi
ệ
n nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng ngôn ng
ữ
d
ướ
i
đ
ây s
ẽ
v
ừ
a có tác d
ụ
ng c
ủ

ng c
ố

khái ni
ệ
m l
ạ
i v
ừ
a phát tri
ể
n ngôn ng
ữ
cho h
ọ
c sinh:

- Phát bi
ể
u l
ạ
i
đị
nh ngh
ĩ
a b
ằ
ng l
ờ
i l

ẽ
c
ủ
a mình và bi
ế
t thay
đổ
i cách phát bi
ể
u, di
ễ
n
đạ
t
đị
nh
ngh
ĩ
a d
ướ
i nh
ữ
ng d
ạ
ng ngôn ng
ữ
khác nhau.
- Phân tích, nêu b
ậ
t nh

ữ
ng ý quan tr
ọ
ng ch
ứ
a
đự
ng trong
đị
nh ngh
ĩ
a m
ộ
t cách t
ườ
ng minh
hay
ẩ
n tàng.
1.4.3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá

Để
c
ủ
ng c
ố
khái ni
ệ
m, th
ầ

y giáo còn c
ầ
n thi
ế
t và có th
ể
th
ự
c hi
ệ
n nhi
ề
u ho
ạ
t
độ
ng khác
n
ữ
a, tr
ướ
c h
ế
t là:
- Khái quát hoá, t
ứ
c là m
ở
r
ộ

ng khái ni
ệ
m, ch
ẳ
ng h
ạ
n t
ừ
khái ni
ệ
m v
ậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a m
ộ
t
chuy
ể
n
độ
ng t
ớ
i khái ni

ệ
m
đạ
o hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
.
-
Đặ
c bi
ệ
t hoá, ví d
ụ
nh
ư
xét các hình bình hành
đặ
c bi
ệ
t v
ớ
i m
ộ
t góc vuông
để

đượ

c
hình ch
ữ
nh
ậ
t ho
ặ
c v
ớ
i hai c
ạ
nh liên ti
ế
p b
ằ
ng nhau
để

đượ
c hình thoi.
- H
ệ
th
ố
ng hoá, ch
ủ
y
ế
u là bi
ế

t s
ắ
p x
ế
p khái ni
ệ
m m
ớ
i vào h
ệ
th
ố
ng khái ni
ệ
m
đ
ã h
ọ
c, nh
ậ
n
bi
ế
t m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a nh

ữ
ng khái ni
ệ
m khác nhau trong m
ộ
t h
ệ
th
ố
ng khái ni
ệ
m,
đặ
c bi
ệ
t chú ý
quan h
ệ
ch
ủ
ng – lo
ạ
i gi
ữ
a hai khái ni
ệ
m.
R
ộ
ng h

ơ
n n
ữ
a, vi
ệ
c v
ậ
n d
ụ
ng khái ni
ệ
m
để
gi
ả
i quy
ế
t nh
ữ
ng v
ấ
n
đề
n
ả
y sinh trong Toán h
ọ
c
và trong
đờ

i s
ố
ng không nh
ữ
ng có tác d
ụ
ng c
ủ
ng c
ố
khái ni
ệ
m mà còn là m
ụ
c tiêu sâu xa c
ủ
a
vi
ệ
c h
ọ
c t
ậ
p khái ni
ệ
m.
1.5. Dạy học phân chia khái niệm
B
ắ
t

đầ
u
: 1
i
=

K
ế
t thúc
: 1
i i
= +

i n
<

(
)
B x

−

(
)
A x

(
)
A x

+

+

−

Hình 1.2
9




Khi ta
đị
nh ngh
ĩ
a m
ộ
t khái ni
ệ
m (d
ướ
i d
ạ
ng t
ườ
ng minh hay không t
ườ
ng minh), thì n
ộ

i hàm
và ngo
ạ
i diên c
ủ
a nó
đượ
c xác
đị
nh. Ngo
ạ
i diên c
ủ
a khái ni
ệ
m s
ẽ
còn
đượ
c sáng t
ỏ
h
ơ
n n
ữ
a nh
ờ

s
ự

phân chia khái ni
ệ
m. Bi
ế
t phân chia khái ni
ệ
m là m
ộ
t trong nh
ữ
ng bi
ể
u hi
ệ
n c
ủ
a vi
ệ
c n
ắ
m
v
ữ
ng nh
ữ
ng khái ni
ệ
m Toán h
ọ
c c

ũ
ng nh
ư
nh
ữ
ng khái ni
ệ
m thu
ộ
c b
ấ
t k
ỳ
m
ộ
t môn h
ọ
c nào.
Ví dụ:
V
ớ
i vi
ệ
c phân chia khái ni
ệ
m s
ố
ph
ứ
c thành s

ố
th
ự
c và s
ố

ả
o r
ồ
i l
ạ
i ti
ế
p t
ụ
c phân chia
s
ố
th
ự
c thành s
ố
h
ữ
u t
ỉ
và s
ố
vô t
ỉ

, h
ọ
c sinh th
ấ
y
đượ
c nhi
ề
u khía c
ạ
nh c
ủ
a ngo
ạ
i diên c
ủ
a khái
ni
ệ
m s
ố
ph
ứ
c: T
ậ
p h
ợ
p s
ố
ph

ứ
c có hai t
ậ
p h
ợ
p con là t
ậ
p s
ố
th
ự
c và t
ậ
p s
ố

ả
o, hai t
ậ
p con này
không có ph
ầ
n t
ử
nào chung và h
ợ
p c
ủ
a chúng choán h
ế

t t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c; t
ậ
p h
ợ
p s
ố
th
ự
c l
ạ
i có hai
t
ậ
p con là t
ậ
p s
ố
h
ữ
u t
ỉ
và t
ậ
p s

ố
vô t
ỉ
, hai t
ậ
p con này không có ph
ầ
n t
ử
nào chung và h
ợ
p c
ủ
a
chúng choán h
ế
t t
ậ
p s
ố
th
ự
c. M
ặ
t khác, có nh
ữ
ng h
ọ
c sinh hi
ể

u sai khái ni
ệ
m ho
ặ
c gi
ả
i toán sai
do phân chia khái ni
ệ
m sai, ch
ẳ
ng h
ạ
n h
ọ
coi m
ộ
t hàm s
ố
là l
ẻ
b
ở
i vì nó không ph
ả
i hàm s
ố
ch
ẵ
n

ho
ặ
c k
ế
t lu
ậ
n hai
đườ
ng th
ẳ
ng nào
đ
ó trong không gian là song song v
ớ
i nhau ch
ỉ
vì lí do là
chúng không c
ắ
t nhau.
Để
h
ọ
c sinh bi
ế
t phân chia khái ni
ệ
m, tr
ướ
c h

ế
t c
ầ
n cho h
ọ
hi
ể
u
đ
úng th
ế
nào là phân chia
khái ni
ệ
m. M
ộ
t khái ni
ệ
m có ngo
ạ
i diên t
ươ
ng
ứ
ng là A
đượ
c phân chia thành các khái ni
ệ
m có
ngo

ạ
i diên t
ươ
ng
ứ
ng là
1 2
, , ,
n
A A A
có ngh
ĩ
a là các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
đượ
c tho
ả
mãn:
i)
, 1,2, ,
i
A i n
φ
≠ =

ii)
,
i j
A A i j
φ
∩ = ≠

iii)
1
n
i
i
A A
=
=
∪

Nh
ư
v
ậ
y, s
ự
phân chia các hàm s
ố
thành hàm s
ố
ch
ẵ
n và hàm s

ố
l
ẻ
là m
ộ
t cách phân chia sai
b
ở
i vì có nh
ữ
mg hàm s
ố
không ch
ẵ
n và c
ũ
ng không l
ẻ
(vi ph
ạ
m
đ
i
ề
u ki
ệ
n iii), l
ạ
i có nh
ữ

ng hàm
s
ố
v
ừ
a ch
ẵ
n l
ạ
i v
ừ
a l
ẻ
(vi ph
ạ
m
đ
i
ề
u ki
ệ
n ii).
T
ậ
p cho h
ọ
c sinh phân chia m
ộ
t khái ni
ệ

m nào
đ
ó liên quan v
ớ
i nhi
ề
u khái ni
ệ
m khác trong
ch
ươ
ng trình c
ũ
ng có tác d
ụ
ng t
ố
t trong vi
ệ
c h
ệ
th
ố
ng hoá khái ni
ệ
m, t
ạ
o ti
ề
n

đề
c
ầ
n thi
ế
t
để
gi
ả
i
các bài toán v
ề
bi
ệ
n lu
ậ
n, ch
ứ
ng minh ph
ả
n ch
ứ
ng,…Ví d
ụ
v
ề
vi
ệ
c phân chia khái ni
ệ

m s
ố
ph
ứ
c:













10

*) Tài liệu học tập:

[1]. B
ộ
Giáo d
ụ
c và
Đ
ào t
ạ
o (2006),
Ch
ươ
ng trình Giáo d
ụ
c ph

ổ
thông môn Toán
.
[2]. Nguy
ễ
n Bá Kim (2002),
Ph
ươ
ng pháp d
ạ
y h
ọ
c môn Toán
, NXB
Đạ
i h
ọ
c s
ư
ph
ạ
m Hà N
ộ
i.
[3
]. C¸c s¸ch gi¸o khoa m«n To¸n vµ s¸ch gi¸o viªn c¸c líp 10, 11,
12 hi
ệ
n hành.

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:

1.1.Trình bày v
ị
trí c
ủ
a khái ni
ệ
m và yêu c
ầ
u d
ạ
y h
ọ
c khái ni
ệ
m
1.2. Hãy cho ví d
ụ
v
ề
t
ừ
ng con
đườ
ng ti
ế
p c
ậ

n khái ni
ệ
m:
a) Con
đườ
ng quy n
ạ
p.
b) Con
đườ
ng suy di
ễ
n
c) Con
đườ
ng ki
ế
n thi
ế
t
1.3. Có nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng c
ủ
ng c
ố

khái ni
ệ
m nào? Hãy cho ví d
ụ
v
ề
nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng
để

c
ủ
ng c
ố
m
ộ
t khái ni
ệ
m mà b
ạ
n quan tâm trong ch
ươ
ng trình Toán THPT.
1.4. Hãy phân lo
ạ

i hình chóp, hình l
ă
ng tr
ụ
theo các
đặ
c
đ
i
ể
m v
ề
m
ặ
t
đ
áy và các m
ặ
t bên.



S
ố

ph
ứ
c
S
ố

h
ữ
u t
ỉ

S
ố

th
ự
c
S
ố

th
ự
c
S
ố


vô t
ỉ

S
ố


h

ữ
u t
ỉ

d
ươ
ng
S
ố


không
S
ố

h
ữ
u t
ỉ

âm
S
ố

vô t
ỉ

d
ươ
ng

S
ố


vô t
ỉ

âm
S
ố

nguyên
d
ươ
ng
S
ố
d
ươ
ng
không
nguyên
S
ố

nguyên
âm
S
ố
âm

không
nguyên
Hình 1.3
11



CHƯƠNG 2
Dạy học định lý toán học
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5; bài tập: 1; thảo luận: 1)

*) Mục tiêu.

- Sinh viên hi
ể
u các v
ấ
n
đề
c
ơ
b
ả
n v
ề
suy lu
ậ
n và ch
ứ

ng minh toán h
ọ
c; hi
ể
u rõ các yêu c
ầ
u
d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lý; n
ắ
m
đượ
c các con
đườ
ng d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lý; bi
ế
t xác
đị
nh v

ị
trí c
ủ
a
đị
nh lý trong d
ạ
y h
ọ
c
môn Toán THPT.
- Có k
ỹ
n
ă
ng v
ậ
n d
ụ
ng các v
ấ
n
đề
lý lu
ậ
n v
ề
d
ạ
y h

ọ
c
đị
nh lý toán h
ọ
c
để
ti
ế
n hành d
ạ
y
h
ọ
c
đị
nh lý toán h
ọ
c trong Ch
ươ
ng trình THPT; h
ướ
ng d
ẫ
n h
ọ
c sinh ti
ế
p c
ậ

n và ch
ứ
ng minh các
đị
nh lý toán h
ọ
c; t
ổ
ch
ứ
c cho h
ọ
c sinh th
ự
c hi
ệ
n các ho
ạ
t
độ
ng c
ủ
ng c
ố

đị
nh lý, phát tri
ể
n n
ă

ng l
ự
c
ch
ứ
ng minh
đị
nh lý toán h
ọ
c cho h
ọ
c sinh.
- Rèn luy
ệ
n
đứ
c tính ham hi
ể
u bi
ế
t, nghiêm túc trong lao
độ
ng, lòng yêu ngh
ề
; hình thành
tác phong ng
ườ
i giáo viên.

2.1. Vị trí của định lí và yêu cầu dạy học định lí

Các
đị
nh lí cùng v
ớ
i các khái ni
ệ
m toán h
ọ
c t
ạ
o thành n
ộ
i dung c
ơ
b
ả
n c
ủ
a môn Toán, làm n
ề
n
t
ả
ng cho vi
ệ
c rèn luy
ệ
n k
ỹ
n

ă
ng b
ộ
môn,
đặ
c bi
ệ
t là kh
ả
n
ă
ng suy lu
ậ
n và ch
ứ
ng minh, phát tri
ể
n n
ă
ng
l
ự
c trí tu
ệ
chung. Vi
ệ
c d
ạ
y h
ọ

c
đị
nh lí nh
ằ
m
đạ
t
đượ
c các yêu c
ầ
u sau:
-

H
ọ
c sinh n
ắ
m
đượ
c h
ệ
th
ố
ng
đị
nh lí và nh
ữ
ng m
ố
i quan h

ệ
gi
ữ
a chúng, t
ừ

đ
ó có kh
ả
n
ă
ng v
ậ
n
d
ụ
ng chúng vào gi
ả
i toán.
-

H
ọ
c sinh th
ấ
y
đượ
c s
ự
c

ầ
n thi
ế
t ph
ả
i ch
ứ
ng minh
đị
nh lí, th
ấ
y vi
ệ
c ch
ứ
ng minh
đị
nh lí là m
ộ
t
y
ế
u t
ố
quan tr
ọ
ng trong ph
ươ
ng pháp làm vi
ệ

c trên l
ĩ
nh v
ự
c toán h
ọ
c.
-

H
ọ
c sinh hình thành và phát tri
ể
n n
ă
ng l
ự
c ch
ứ
ng minh toán h
ọ
c, t
ừ
ch
ỗ
hi
ể
u ch
ứ
ng minh, trình

bày
đượ
c l
ạ
i ch
ứ
ng minh nâng lên m
ứ
c
độ
bi
ế
t cách suy ngh
ĩ

để
tìm ra cách ch
ứ
ng minh
đị
nh lí
theo yêu c
ầ
u c
ủ
a ch
ươ
ng trình ph
ổ
thông.

2.2. Hai con đường dạy học định lí
2.2.1. Con đường có khâu suy đoán
Vi
ệ
c d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lí theo con
đườ
ng này th
ườ
ng di
ễ
n ra nh
ư
sau:
(i) G
ợ
i
độ
ng c
ơ
h
ọ
c t
ậ
p

đị
nh lí xu
ấ
t phát t
ừ
nhu c
ầ
u n
ả
y sinh trong th
ự
c ti
ễ
n hay trong n
ộ
i
b
ộ
toán h
ọ
c.
(ii) D
ự

đ
oán và phát bi
ể
u
đị
nh lí d

ự
a vào nh
ữ
ng ph
ươ
ng pháp nh
ậ
n th
ứ
c mang tính suy
đ
oán:
Quy n
ạ
p không hoàn toàn, l
ậ
t ng
ượ
c v
ấ
n
đề
, t
ươ
ng t
ự
hoá, khái quát hoá m
ộ
t
đị

nh lí
đ
ã bi
ế
t, nghiên c
ứ
u
tr
ườ
ng h
ợ
p suy bi
ế
n, xét m
ố
i liên h
ệ
và ph
ụ
thu
ộ
c
(iii) Ch
ứ
ng minh
đị
nh lí, trong
đ
ó
đặ

c bi
ệ
t chú ý vi
ệ
c g
ợ
i
độ
ng c
ơ
ch
ứ
ng minh và g
ợ
i cho h
ọ
c
sinh th
ự
c hi
ệ
n nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng suy lu
ậ
n

ă
n kh
ớ
p v
ớ
i nh
ữ
ng ph
ươ
ng pháp suy lu
ậ
n, ch
ứ
ng minh thông
d
ụ
ng và nh
ữ
ng quy t
ắ
c k
ế
t lu
ậ
n lôgíc th
ườ
ng dùng. Tu
ỳ
theo yêu c
ầ

u c
ủ
a ch
ươ
ng trình, trong nh
ữ
ng
tr
ườ
ng h
ợ
p nh
ấ
t
đị
nh, vi
ệ
c ch
ứ
ng minh m
ộ
t s
ố

đị
nh lý có th
ể
không
đặ
t ra cho ch

ươ
ng trình ph
ổ
thông.
(iv) V
ậ
n d
ụ
ng
đị
nh lí v
ừ
a tìm
đượ
c
để
gi
ả
i quy
ế
t, khép kín v
ấ
n
đề

đặ
t ra khi g
ợ
i
độ

ng c
ơ
.
(v) C
ủ
ng c
ố

đị
nh lí.
12



S
ử
d
ụ
ng con
đườ
ng ch
ứ
ng minh suy
đ
oán th
ườ
ng t
ố
n nhi
ề

u th
ờ
i gian. Tuy nhiên, nó có nh
ữ
ng
ư
u
đ
i
ể
m sau
đ
ây:
-

Khuy
ế
n khích tìm tòi, d
ự

đ
oán, phát hi
ệ
n v
ấ
n
đề
tr
ướ
c khi gi

ả
i quy
ế
t v
ấ
n
đề
, khuy
ế
n khích h
ọ
c
t
ậ
p tri th
ứ
c Toán h
ọ
c trong quá trình nó
đ
ang n
ả
y sinh và phát tri
ể
n ch
ứ
không h
ạ
n ch
ế

ở
vi
ệ
c
trình bày l
ạ
i tri th
ứ
c Toán h
ọ
c có s
ẵ
n.
-

H
ọ
c sinh có ý th
ứ
c rõ ràng v
ề
s
ự
phân bi
ệ
t và m
ố
i liên h
ệ

gi
ữ
a suy
đ
oán và ch
ứ
ng minh.
-

Khuy
ế
n khích phát tri
ể
n n
ă
ng l
ự
c trí tu
ệ
chung nh
ư
phân tích, t
ổ
ng h
ợ
p, tr
ừ
u t
ượ
ng hoá, khái

quát hoá,
Con
đườ
ng này th
ườ
ng
đượ
c s
ử
d
ụ
ng khi t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t cách tìm tòi, phát hi
ệ
n
đị
nh lí mà h
ọ
c sinh
có th
ể
hi
ể
u
đượ

c và có th
ể
t
ự
mình th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c t
ớ
i m
ứ
c
độ
nh
ấ
t
đị
nh. Tuy nhiên,
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
ó
không ph

ả
i bao gi
ờ
c
ũ
ng
đượ
c tho
ả
mãn.
2.2.2. Con đường suy diễn
Vi
ệ
c d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lí theo con
đườ
ng này th
ườ
ng di
ễ
n ra nh
ư
sau:
(i) G
ợ

i
độ
ng c
ơ
h
ọ
c t
ậ
p
đị
nh lí.
(ii) Xu
ấ
t phát t
ừ
nh
ữ
ng tri th
ứ
c toán h
ọ
c
đ
ã bi
ế
t, dùng suy di
ễ
n lôgic d
ẫ
n t

ớ
i
đị
nh lí.
(iii) Phát bi
ể
u
đị
nh lí.
(iv) V
ậ
n d
ụ
ng
đị
nh lí, gi
ố
ng nh
ư

ở
con
đườ
ng có khâu suy
đ
oán.
(v) C
ủ
ng c
ố

đị
nh lí.
Nh
ữ
ng nh
ượ
c
đ
i
ể
m, h
ạ
n ch
ế
c
ủ
a con
đườ
ng suy di
ễ
n chính là s
ự

đố
i l
ậ
p v
ớ
i nh

ữ
ng
ư
u
đ
i
ể
m
c
ủ
a con
đườ
ng có khâu suy
đ
oán. Tuy nhiên, con
đườ
ng suy di
ễ
n có
ư
u
đ
i
ể
m là ng
ắ
n g
ọ
n, t
ạ

o c
ơ
h
ộ
i
cho h
ọ
c sinh t
ậ
p d
ượ
t t
ự
h
ọ
c theo tài li
ệ
u v
ề
Toán h
ọ
c. Trong quá trình d
ạ
y h
ọ
c, nó th
ườ
ng
đượ
c dùng

khi ch
ư
a thi
ế
t k
ế

đượ
c m
ộ
t cách d
ễ
hi
ể
u
để
h
ọ
c sinh có th
ể
tìm tòi, phát hi
ệ
n
đị
nh lí ho
ặ
c khi quá trình
suy di
ễ
n d

ẫ
n t
ớ
i
đị
nh lí là
đơ
n gi
ả
n và ng
ắ
n g
ọ
n. Ví d
ụ
: D
ạ
y h
ọ
c m
ộ
t s
ố
công th
ứ
c tính toán nh
ư
công
th
ứ

c tính sin2a; cos2a,
* S
ự
khác bi
ệ
t gi
ữ
a hai con
đườ
ng: Theo con
đườ
ng có khâu suy
đ
oán thì vi
ệ
c d
ự

đ
oán phát hi
ệ
n
tr
ướ
c vi
ệ
c ch
ứ
ng minh
đị

nh lý, còn
ở
con
đườ
ng suy di
ễ
n thì hai vi
ệ
c này nh
ậ
p l
ạ
i thành m
ộ
t b
ướ
c.

Con
đườ
ng có khâu suy
đ
oán Con
đườ
ng suy di
ễ
n
G
ợ
i
độ
ng c
ơ
và phát bi
ể
u v
ấ
n
đề

D
ự

đ
oán và phát bi
ể
u
đị
nh lí D
ự

đ
oán và phát bi
ể
u
đị
nh lí
Ch
ứ
ng minh
đị
nh lí Phát bi
ể
u
đị
nh lí
V
ậ
n d
ụ
ng
đị
nh lí

để
gi
ả
i quy
ế
t v
ấ
n
đề

đặ
t ra
C
ủ
ng c
ố

đị
nh lí

13



2.3. Những hoạt động củng cố định lí
2.3.1. Nhận dạng và thể hiện định lí
Nh
ậ
n d
ạ

ng và th
ể
hi
ệ
n
đị
nh lí là hai d
ạ
ng ho
ạ
t
độ
ng theo chi
ề
u h
ướ
ng trái ng
ượ
c nhau, có
tác d
ụ
ng c
ủ
ng c
ố

đị
nh lí, t
ạ
o ti

ề
n
đề
cho vi
ệ
c v
ậ
n d
ụ
ng
đị
nh lí.
Ví dụ:
Nh
ậ
n d
ạ
ng m
ộ
t
đị
nh lý v
ề
hai m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i nhau.

Cho hình chóp SABCD v
ớ
i
đườ
ng cao SH. Kí hi
ệ
u SK là m
ộ
t
đườ
ng cao c
ủ
a tam giác SAB.
a)

Ph
ả
i ch
ă
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAH) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD)?

b) Ph
ả
i ch
ă
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAK) vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD)?
Ví dụ:
Th
ể
hi
ệ
n m
ộ
t
đị
nh lý v
ề
hai m
ặ
t ph
ẳ

ng song song v
ớ
i nhau.
Cho hình chóp SABCD,
đ
áy ABCD là m
ộ
t hình thang (AD, CD là hai c
ạ
nh
đ
áy). Hãy
d
ự
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AB và song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ

ng (SCD).
2.3.2. Hoạt động ngôn ngữ
Cho h
ọ
c sinh th
ự
c hi
ệ
n các ho
ạ
t
độ
ng ngôn ng
ữ
d
ướ
i
đ
ây s
ẽ
v
ừ
a có tác d
ụ
ng c
ủ
ng c
ố

đị

nh lý, l
ạ
i v
ừ
a góp ph
ầ
n phát tri
ể
n ngôn ng
ữ
cho h
ọ
c sinh:
+ Phát bi
ể
u l
ạ
i
đị
nh lí b
ằ
ng l
ờ
i l
ẽ
c
ủ
a mình và bi
ế
t thay

đổ
i cách phát bi
ể
u, di
ễ
n
đạ
t
đị
nh
lí d
ướ
i nh
ữ
ng d
ạ
ng ngôn ng
ữ
khác nhau.
+ Phân tích, nêu b
ậ
t
đượ
c nh
ữ
ng ý quan tr
ọ
ng ch
ứ
a

đự
ng trong
đị
nh lí m
ộ
t cách t
ườ
ng
minh hay
ẩ
n tàng.
Các ho
ạ
t
độ
ng trên v
ừ
a giúp c
ủ
ng c
ố

đị
nh lí, v
ừ
a giúp phát tri
ể
n ngôn ng
ữ
cho h

ọ
c sinh.
2.3.3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá
Để
c
ủ
ng c
ố

đị
nh lý, giáo viên còn c
ầ
n thi
ế
t và có th
ể
th
ự
c hi
ệ
n nhi
ề
u ho
ạ
t
độ
ng khác n
ữ
a,
đ

ó là:
- Khái quát hoá: Ch
ẳ
ng h
ạ
n, m
ở
r
ộ
ng công th
ứ
c:
( )
0, 0
2
a b
ab a b
+
≥ ∀ ≥ ∀ ≥
thành công th
ứ
c:
( )
1 2
1 2

0, 1,
n
n i
a a a

a a a a i n
n
+ + +
≥ ∀ ≥ =

-
Đặ
c bi
ệ
t hoá: Ví d
ụ
nh
ư
trong h
ệ
th
ứ
c:
2 2 2
2 .cos
a b c bc A
= + −

đố
i v
ớ
i m
ộ
t tam giác, có
th

ể
xét A là góc vuông
để

đượ
c
đị
nh lý Pitago trong tam giác vuông.
- H
ệ
th
ố
ng hoá: Ch
ủ
y
ế
u là bi
ế
t s
ắ
p x
ế
p
đị
nh lý m
ớ
i vào h
ệ
th
ố

ng
đị
nh lý
đ
ã h
ọ
c, nh
ậ
n
bi
ế
t m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a nh
ữ
ng
đị
nh lý khác nhau trong m
ộ
t h
ệ
th
ố
ng
đị
nh lý. M

ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a
nh
ữ
ng
đị
nh lý có th
ể
là m
ộ
t m
ố
i quan h
ệ
t
ổ
ng quát –
đặ
c bi
ệ
t; m
ộ
t
đị
nh lý có th
ể

là s
ự
m
ở
r
ộ
ng
hay m
ộ
t tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t c
ủ
a m
ộ
t
đị
nh lý khác. M
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a nh

ữ
ng
đị
nh lý c
ũ
ng có th
ể
là
m
ố
i liên h
ệ
suy di
ễ
n: T
ừ
m
ộ
t s
ố

đị
nh lý suy ra m
ộ
t
đị
nh lý nào
đ
ó.
Vi

ệ
c v
ậ
n d
ụ
ng
đị
nh lý
để
gi
ả
i bài t
ậ
p toán, k
ể
c
ả
nh
ữ
ng bài t
ậ
p ch
ứ
ng minh và gi
ả
i quy
ế
t
nh
ữ

ng v
ấ
n
đề
n
ả
y sinh trong toán h
ọ
c và trong
đờ
i s
ố
ng không nh
ữ
ng có tác d
ụ
ng c
ủ
ng c
ố

đị
nh
lý mà còn chính là m
ụ
c tiêu sâu xa c
ủ
a vi
ệ
c h

ọ
c t
ậ
p
đị
nh lý.
2.4. Phát triển năng lực chứng minh toán học
Trong vi
ệ
c d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lý, ng
ườ
i giáo viên th
ườ
ng hay ph
ả
i th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t khâu quan
tr
ọ

ng là d
ạ
y h
ọ
c sinh ch
ứ
ng minh m
ộ
t m
ệ
nh
đề

để
nó tr
ở
thành m
ộ
t
đị
nh lý.
14



Ch
ứ
ng minh m
ộ
t m

ệ
nh
đề
T là tìm ra m
ộ
t dãy h
ữ
u h
ạ
n
1 2
, , ,
n
A A A
tho
ả
mãn các
đ
i
ề
u
ki
ệ
n sau:
- M
ỗ
i
(
)
1,2, ,

i
A i n
=
c
ủ
a dãy
đ
ó ho
ặ
c là tiên
đề
, ho
ặ
c
đị
nh ngh
ĩ
a, ho
ặ
c suy t
ừ
m
ộ
t s
ố

trong các
1 2 1
, , ,
i

A A A
−
nh
ờ
nh
ữ
ng quy t
ắ
c k
ế
t lu
ậ
n lôgic.
-
n
A
chính là m
ệ
nh
đề
T.
Trong vi
ệ
c d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lý, c

ầ
n thi
ế
t và có th
ể
phát tri
ể
n
ở
h
ọ
c sinh n
ă
ng l
ự
c ch
ứ
ng minh
Toán h
ọ
c.
Để
t
ạ
o
đ
i
ề
u ki
ệ

n cho h
ọ
c sinh phát tri
ể
n n
ă
ng l
ự
c ch
ứ
ng minh, có th
ể
v
ậ
n d
ụ
ng các t
ư

t
ưở
ng ch
ủ

đạ
o c
ủ
a quan
đ
i

ể
m ho
ạ
t
độ
ng,
đ
ó là: G
ợ
i
độ
ng c
ơ
ch
ứ
ng minh; t
ậ
p luy
ệ
n cho h
ọ
c sinh
nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng thành ph
ầ

n trong ch
ứ
ng minh; h
ướ
ng d
ẫ
n cho h
ọ
c sinh nh
ữ
ng tri th
ứ
c ph
ươ
ng
pháp trong ch
ứ
ng minh; phân b
ậ
c ho
ạ
t
độ
ng ch
ứ
ng minh. Nh
ữ
ng t
ư
t

ưở
ng ch
ủ

đạ
o này c
ầ
n
đượ
c
quán tri
ệ
t ngay t
ừ
nh
ữ
ng b
ướ
c ban
đầ
u d
ạ
y h
ọ
c ch
ứ
ng minh.
Đố
i v
ớ

i vi
ệ
c th
ự
c hi
ệ
n các t
ư
t
ưở
ng
ch
ủ

đạ
o
đ
ã nói thì giai
đ
o
ạ
n quan tr
ọ
ng nh
ấ
t là
ở
tr
ườ
ng Trung h

ọ
c c
ơ
s
ở
, lên Trung h
ọ
c ph
ổ

thông ch
ỉ
còn là v
ấ
n
đề
c
ủ
ng c
ố
và hoàn t
ấ
t.
2.4.1. Gợi động cơ chứng minh
Nh
ữ
ng l
ầ
n
đầ

u ch
ứ
ng minh m
ộ
t
đị
nh lý hay gi
ả
i m
ộ
t bài t
ậ
p ch
ứ
ng minh theo yêu c
ầ
u
c
ủ
a th
ầ
y giáo, h
ọ
c sinh th
ườ
ng ch
ư
a th
ấ
y rõ s

ự
c
ầ
n thi
ế
t ph
ả
i làm vi
ệ
c này. Lên các l
ớ
p trên,
câu h
ỏ
i
đặ
t ra v
ề
nhu c
ầ
u ch
ứ
ng minh tuy có b
ớ
t c
ă
ng th
ẳ
ng h
ơ

n nh
ữ
ng h
ọ
c sinh v
ẫ
n ch
ư
a d
ễ

gì ý th
ứ
c
đượ
c m
ộ
t cách chính xác lí do c
ủ
a vi
ệ
c làm này. V
ấ
n
đề

đặ
t ra là làm th
ế
nào

để

h
ọ
c sinh th
ấ
y rõ s
ự
c
ầ
n thi
ế
t ph
ả
i ch
ứ
ng minh m
ộ
t m
ệ
nh
đề
Toán h
ọ
c. Nh
ư
v
ậ
y, g
ợ

i
độ
ng c
ơ

ch
ứ
ng minh là ph
ả
i làm cho h
ọ
c sinh th
ấ
y rõ r
ằ
ng vi
ệ
c ki
ể
m nghi
ệ
m nh
ữ
ng ví d
ụ
riêng l
ẻ
v
ề

nguyên t
ắ
c không
đủ

để
ch
ứ
ng minh m
ộ
t m
ệ
nh
để
khái quát. C
ầ
n ph
ả
i làm cho h
ọ
c sinh th
ấ
y
r
ằ
ng nh
ữ
ng
đ
i

ề
u th
ấ
y hi
ể
n nhiên trên hình v
ẽ
th
ự
c ra ch
ỉ
là trên m
ộ
t hình v
ẽ
ho
ặ
c trên m
ộ
t s
ố

h
ữ
u h
ạ
n hình v
ẽ
. M
ộ

t v
ấ
n
đề
t
ổ
ng quát không th
ể
th
ử
tr
ự
c ti
ế
p nó trên vô s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p, vì
v
ậ
y c
ầ
n ph
ả
i ch
ứ
ng minh.

2.4.2. Tập luyện cho học sinh các hoạt động thành phần trong chứng minh
Tr
ướ
c h
ế
t, c
ầ
n luy
ệ
n t
ậ
p cho h
ọ
c sinh nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng trí tu
ệ
chung: Phân tích, t
ổ
ng h
ợ
p,
so sánh, khái quát hoá, tr
ừ
u t
ượ

ng hoá, th
ườ
ng xu
ấ
t hi
ệ
n nh
ư
nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng thành ph
ầ
n
trong ch
ứ
ng minh. Sau
đ
ó, c
ầ
n luy
ệ
n t
ậ
p cho h
ọ
c sinh nh

ữ
ng quy t
ắ
c k
ế
t lu
ậ
n lôgíc th
ườ
ng dùng.
Nh
ữ
ng quy t
ắ
c này không
đượ
c trình bày t
ườ
ng minh trong n
ộ
i dung môn Toán
ở
tr
ườ
ng ph
ổ

thông, h
ọ
c sinh l

ĩ
nh h
ộ
i chúng m
ộ
t cách
ẩ
n tàng thông qua nh
ữ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p c
ụ
th
ể
. Th
ườ
ng
dùng nhi
ề
u nh
ấ
t là quy t
ắ
c có s
ơ

đồ

sau:
,
A B A
B
→

Cùng v
ớ
i vi
ệ
c nh
ấ
n m
ạ
nh và làm n
ổ
i b
ậ
t quy t
ắ
c k
ế
t lu
ậ
n lôgíc thông d
ụ
ng trên, giáo viên
c
ầ
n quan tâm dùng nh

ữ
ng ví d
ụ
c
ụ
th
ể

để
bác b
ỏ
nh
ữ
ng sai l
ầ
m do h
ọ
c sinh th
ườ
ng hay ng
ộ

nh
ậ
n:
,
A B B
A
→
;

,
A B A
B
→
,

2.4.3. Hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng minh
15



Trong quá trình d
ạ
y h
ọ
c ch
ứ
ng minh, c
ầ
n h
ướ
ng d
ẫ
n cho h
ọ
c sinh nh
ữ
ng tri th
ứ
c ph

ươ
ng
pháp trong ch
ứ
ng minh toán h
ọ
c,
đ
ó là:
-

Th
ứ
nh
ấ
t: Nh
ữ
ng tri th
ứ
c v
ề
các quy t
ắ
c k
ế
t lu
ậ
n lôgíc
đ
ã nêu

ở
2.5.2 (l
ư
u ý là
ở
tr
ườ
ng
ph
ổ
thông chúng ch
ỉ

đượ
c truy
ề
n th
ụ
theo con
đườ
ng không t
ườ
ng minh) và t
ậ
p luy
ệ
n
cho h
ọ
c sinh nh

ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng
ă
n kh
ớ
p v
ớ
i các quy t
ắ
c
đ
ó.
-

Th
ứ
hai: Hình thành cho h
ọ
c sinh nh
ữ
ng tri th
ứ
c v
ề
nh
ữ

ng ph
ươ
ng pháp suy lu
ậ
n, ch
ứ
ng
minh nh
ư
suy ng
ượ
c (suy ng
ượ
c lùi, suy ng
ượ
c ti
ế
n), suy xuôi, quy n
ạ
p toán h
ọ
c và
ch
ứ
ng minh b
ằ
ng ph
ả
n ch
ứ

ng,… theo con
đườ
ng thông báo nh
ữ
ng ph
ươ
ng pháp
đ
ó
ở

nh
ữ
ng c
ơ
h
ộ
i thích h
ợ
p trong quá trình ho
ạ
t
độ
ng.
Đặ
c bi
ệ
t, c
ầ
n cho h

ọ
c sinh n
ắ
m
đượ
c
các tri th
ứ
c sau (không nh
ấ
t thi
ế
t ph
ả
i phát bi
ể
u d
ướ
i d
ạ
ng hình th
ứ
c ngay t
ừ

đầ
u):

0 1 2

n
A A A A A B
= → → → → =

Trong s
ơ

đồ
trên c
ũ
ng nh
ư
hai s
ơ

đồ
d
ướ
i
đ
ây, A là m
ộ
t
đị
nh ngh
ĩ
a, tiên
đề
hay m
ộ

t m
ệ
nh
đề

đ
úng nào
đ
ó, còn B là m
ệ
nh
đề
c
ầ
n ch
ứ
ng minh.
Phép suy ng
ượ
c có hai tr
ườ
ng h
ợ
p: Suy ng
ượ
c ti
ế
n và suy ng
ượ
c lùi v

ớ
i các s
ơ

đồ

nh
ư
sau:

0 1 2

n
B B B B B A
= → → → → =
(Suy ng
ượ
c ti
ế
n)

0 1 2

n
B B B B B A
= ← ← ← ← =
(Suy ng
ượ
c lùi)
C

ầ
n chú ý r
ằ
ng suy ng
ượ
c ti
ế
n ch
ỉ
có tính ch
ấ
t tìm
đ
oán ch
ứ
không ph
ả
i là m
ộ
t phép
ch
ứ
ng minh nh
ư
suy xuôi và suy ng
ượ
c lùi.
Th
ứ
ba: C

ầ
n làm cho h
ọ
c sinh th
ấ
y rõ ba b
ộ
ph
ậ
n c
ấ
u thành và ba yêu c
ầ
u
đả
m b
ả
o
ch
ứ
ng minh:
M
ộ
t ch
ứ
ng minh bao g
ồ
m ba b
ộ
ph

ậ
n:
- Lu
ậ
n
đề
là m
ệ
nh
đề
c
ầ
n ch
ứ
ng minh.
- Lu
ậ
n c
ứ
là nh
ữ
ng tiên
đề
,
đị
nh ngh
ĩ
a,
đị
nh lý

đ
ã bi
ế
t
- Lu
ậ
n ch
ứ
ng là nh
ữ
ng phép suy lu
ậ
n
đượ
c s
ử
d
ụ
ng trong ch
ứ
ng minh.
Nguyên t
ắ
c c
ủ
a vi
ệ
c ch
ứ
ng minh:

Đ
ã là ch
ứ
ng minh thì ph
ả
i
đ
úng, không có ch
ứ
ng minh
sai. Tuy nhiên, trong d
ạ
y h
ọ
c, ng
ườ
i ta c
ũ
ng hay g
ọ
i nh
ữ
ng l
ậ
p lu
ậ
n c
ủ
a h
ọ

c sinh
để

đả
m b
ả
o
tính
đ
úng
đắ
n c
ủ
a m
ộ
t m
ệ
nh
đề
nào
đ
ó là “ch
ứ
ng minh”, m
ặ
c dù ch
ư
a ki
ể
m tra xem l

ậ
p lu
ậ
n này
có
đả
m b
ả
o nguyên t
ắ
c ch
ứ
ng minh
đ
ã nói hay không. Theo cách nói này thì
đươ
ng nhiên có
ch
ứ
ng minh
đ
úng, ch
ứ
ng minh sai.
Liên h
ệ
v
ớ
i ba b
ộ

ph
ậ
n c
ấ
u thành c
ủ
a ch
ứ
ng minh, ng
ườ
i ta nh
ấ
n m
ạ
nh ba yêu c
ầ
u sau
đ
ây
để

đả
m b
ả
o vi
ệ
c ch
ứ
ng minh là
đ

úng:
(i) Lu
ậ
n
đề
không
đượ
c
đ
ánh tráo.
(ii) Lu
ậ
n c
ứ
ph
ả
i
đ
úng.
(iii) Lu
ậ
n ch
ứ
ng ph
ả
i h
ợ
p lôgíc.
Trong d
ạ

y h
ọ
c ch
ứ
ng minh, giáo viên c
ầ
n có ý th
ứ
c phát hi
ệ
n và s
ử
a ch
ữ
a nh
ữ
ng sai l
ầ
m
vi ph
ạ
m 3 yêu c
ầ
u trên c
ủ
a h
ọ
c sinh.

Ví dụ:

Sai l
ầ
m vì
đ
ánh tráo lu
ậ
n
đề
.
M
ộ
t s
ố
h
ọ
c sinh t
ưở
ng r
ằ
ng mình ch
ứ
ng minh
đượ
c tiên
đề

Ơ
c
ơ
lít b

ằ
ng l
ậ
p lu
ậ
n nh
ư
sau:
16



T
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m A cho tr
ướ
c n
ằ
m ngoài
đườ
ng th
ẳ
ng a, ta d
ự

ng
đườ
ng th
ẳ
ng b vuông
góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a. T
ừ
A l
ạ
i d
ự
ng
đườ
ng th
ẳ
ng c vuông góc v
ớ
i b.
Đườ
ng th
ẳ
ng c song
song v
ớ

i a vì n
ế
u không thì qua m
ộ
t
đ
i
ể
m s
ẽ
có hai
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng
th
ẳ
ng cho tr
ướ
c.
Theo cách d
ự
ng trên thì ch
ỉ

có m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng b duy nh
ấ
t qua A và vuông góc v
ớ
i
a.
đườ
ng th
ẳ
ng c duy nh
ấ
t qua A và vuông góc v
ớ
i b. V
ậ
y c là duy nh
ấ
t.
Sai l
ầ
m:
Đ
ánh tráo lu
ậ

n
đề
“ch
ứ
ng minh tính duy nh
ấ
t c
ủ
a c v
ớ
i m
ọ
i cách d
ự
ng” thành “
ch
ứ
ng minh tính duy nh
ấ
t c
ủ
a c theo cách d
ự
ng nói trên”, t
ứ
c là vi ph
ạ
m yêu c
ầ
u (i).

Ví dụ
. Sai l
ầ
m vì lu
ậ
n c
ứ
không
đ
úng.
Ng
ụ
y bi
ệ
n: -3 =3.
Rõ ràng là:
( )
2
3
3 3
− =

T
ừ

đ
ó:
( )
2

2
3 3
− =
(1)
Vì r
ằ
ng
2
a a
=
nên ta có:
( )
2
3 3
− = −
và
2
3 3
=
(2)
V
ậ
y t
ừ
(1) và (2) ta có: -3 = 3.
Sai l
ầ
m: Lu
ậ
n c

ứ

2
a a
=
không xác
đ
áng, t
ứ
c là vi ph
ạ
m yêu c
ầ
u (ii).

Ví dụ.
Sai l
ầ
m vì lu
ậ
n ch
ứ
ng không h
ợ
p lôgíc.

Để
ch
ứ
ng minh h

ằ
ng
đẳ
ng th
ứ
c:
cos 1 sin
1 sin cos
x x
x x
+
=
−
(1), có h
ọ
c sinh
đ
ã l
ậ
p lu
ậ
n nh
ư
sau:
T
ừ
(1) suy ra:
(
)
(

)
2
1 sin 1 sin cos
x x x
− + =

T
ứ
c là:
2 2
1 sin cos
x x
− =
(2)
Rõ ràng là (2)
đ
úng, v
ậ
y (1) c
ũ
ng
đ
úng.
Sai l
ầ
m: S
ơ

đồ
suy lu

ậ
n
,
A B B
A
→
không ph
ả
i là m
ộ
t quy t
ắ
c suy lu
ậ
n h
ợ
p lôgíc, t
ứ
c là
l
ậ
p lu
ậ
n trên
đ
ã vi ph
ạ
m yêu c
ầ
u (iii).

Th
ứ
t
ư
, ng
ườ
i giáo viên còn c
ầ
n hình thành
ở
h
ọ
c sinh nh
ữ
ng tri th
ứ
c ph
ươ
ng pháp v
ề

chi
ế
n l
ượ
c gi
ả
i toán ch
ứ
ng minh (có tính ch

ấ
t tìm
đ
oán) theo con
đườ
ng t
ậ
p luy
ệ
n nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng
ă
n kh
ớ
p v
ớ
i nh
ữ
ng tri th
ứ
c này.

2.4.4. Phân bậc hoạt động chứng minh
D
ự

a trên nh
ữ
ng t
ư
t
ưở
ng ch
ủ

đạ
o c
ủ
a quan
đ
i
ể
m ho
ạ
t
độ
ng, c
ầ
n phân b
ậ
c ho
ạ
t
độ
ng
ch

ứ
ng minh
để

đ
i
ề
u khi
ể
n h
ọ
c sinh h
ọ
c t
ậ
p. S
ự
phân b
ậ
c theo m
ộ
t tiêu chí bao quát là c
ă
n c
ứ
vào
tính
độ
c l
ậ

p trong ho
ạ
t
độ
ng c
ủ
a h
ọ
c sinh th
ể
hi
ệ
n
ở
ba m
ứ
c
độ
:
- Hi
ể
u ch
ứ
ng minh.
-Trình bày l
ạ
i
đượ
c ch
ứ

ng minh.
-
Độ
c l
ậ
p ti
ế
n hành ch
ứ
ng minh.
Ba m
ứ
c
độ
này ch
ỉ
so sánh
đượ
c v
ớ
i nhau
đố
i v
ớ
i cùng m
ộ
t bài toán. Th
ậ
t v
ậ

y,
hi
ể
u

ch
ứ
ng minh
ở
m
ộ
t bài toán khó r
ấ
t có th
ể
khó kh
ă
n h
ơ
n
độ
c l
ậ
p ch
ứ
ng minh

ở
m
ộ

t bài toán d
ễ
.


17



*) Tài liệu học tập:


[1]. Nguy
ễ
n Bá Kim (2002),
Ph
ươ
ng pháp d
ạ
y h
ọ
c môn Toán
, NXB
Đạ
i h
ọ
c s
ư
ph
ạ

m Hà N
ộ
i.
[2
]. C¸c s¸ch gi¸o khoa m«n To¸n vµ s¸ch gi¸o viªn c¸c líp 10, 11,
12 hi
ệ
n hành.


*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:

2.1. Phân tích
đ
i
ể
m gi
ố
ng và khác nhau gi
ữ
a hai con
đườ
ng d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lý.
2.2. Hãy cho ví d

ụ
v
ề
t
ừ
ng con
đườ
ng d
ạ
y h
ọ
c
đị
nh lý:
a) Con
đườ
ng có khâu suy
đ
oán.
b) Con
đườ
ng suy di
ễ
n.
2.3. Hãy cho ví d
ụ
v
ề
nh
ữ

ng ho
ạ
t
độ
ng
để
c
ủ
ng c
ố
m
ộ
t
đị
nh lý nào
đ
ó trong ch
ươ
ng trình
Toán THPT.
2.4. Hãy cho ví d
ụ
v
ề
nh
ữ
ng sai l
ầ
m th
ườ

ng g
ặ
p trong ch
ứ
ng minh:
a) Sai l
ầ
m v
ề
lu
ậ
n
đề
.
b) Sai l
ầ
m v
ề
lu
ậ
n c
ứ
.
c) Sai l
ầ
m v
ề
lu
ậ
n ch

ứ
ng.
2.5. Hãy cho ví d
ụ
v
ề
s
ử
d
ụ
ng phép suy xuôi, phép suy ng
ượ
c ti
ế
n và phép suy ng
ượ
c lùi
để
gi
ả
i toán ch
ứ
ng minh.
2.6. Phân tích vai trò, m
ố
i quan h
ệ
tác
độ
ng l

ẫ
n nhau c
ủ
a ho
ạ
t
độ
ng ngôn ng
ữ

đố
i v
ớ
i
vi
ệ
c c
ủ
ng c
ố

đị
nh lý.

18



CHƯƠNG 3
Dạy học quy tắc, phương pháp
Số tiết: 6 (Lý thuyết: 4 ; bài tập: 1; thảo luận: 1 )


*) Mục tiêu.

- Sinh viên hi
ể
u khái ni
ệ
m v
ề

thu
ậ
t gi
ả
i và quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i; hi
ể
u vai trò, t
ầ
m quan tr
ọ
ng
c
ủ
a vi
ệ
c hình thành t
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i cho h

ọ
c sinh; bi
ế
t xác
đị
nh các thu
ậ
t gi
ả
i, quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i
đượ
c trình bày trong sách giáo khoa môn Toán THPT.
- V
ậ
n d
ụ
ng các v
ấ
n
đề
lý lu
ậ

n v
ề
d
ạ
y h
ọ
c quy t
ắ
c, ph
ươ
ng pháp
để
ti
ế
n hành d
ạ
y h
ọ
c các quy
t
ắ
c, ph
ươ
ng pháp toán h
ọ
c trong Ch
ươ
ng trình THPT; ti
ế
n hành t

ậ
p luy
ệ
n cho h
ọ
c sinh th
ự
c hi
ệ
n các
ch
ỉ
d
ẫ
n nêu trong thu
ậ
t gi
ả
, quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i; có ý th
ứ
c hình thành t
ư

duy thu
ậ
t gi
ả
i cho h
ọ
c sinh
thông qua d
ạ
y h
ọ
c quy t
ắ
c, ph
ươ
ng pháp.
- Rèn luy
ệ
n
đứ
c tính ham hi
ể
u bi
ế
t, nghiêm túc trong lao
độ
ng, lòng yêu ngh
ề
; hình thành
tác phong ng

ườ
i giáo viên.

3.1. Những thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải
3.1.1. Khái niệm về thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

Thu
ậ
t gi
ả
i theo ngh
ĩ
a tr
ự
c giác
đượ
c hi
ể
u nh
ư
m
ộ
t dãy h
ữ
u h
ạ
n nh
ữ
ng ch
ỉ

d
ẫ
n th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c m
ộ
t cách
đơ
n tr
ị
, k
ế
t thúc sau m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c và
đ
em l
ạ

i k
ế
t qu
ả
là bi
ế
n
đổ
i thông tin
vào c
ủ
a m
ộ
t l
ớ
p bài toán thành thông tin ra mô t
ả
l
ờ
i gi
ả
i c
ủ
a l
ớ
p bài toán
đ
ó.
Ở
tr

ườ
ng ph
ổ
thông, h
ọ
c sinh
đượ
c làm vi
ệ
c v
ớ
i nhi
ề
u thu
ậ
t gi
ả
i nh
ư
c
ộ
ng, tr
ừ
, nhân,
chia nh
ữ
ng s
ố
t
ự

nhiên và s
ố
h
ữ
u t
ỉ
, tìm
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t, b
ộ
i chung nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a hai s
ố
, gi
ả
i
h
ệ
hai ph
ươ
ng trình b

ậ
c nh
ấ
t hai
ẩ
n, gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai d
ướ
i d
ạ
ng chu
ẩ
n, gi
ả
i ph
ươ
ng
trình b
ậ
c nh
ấ
t v
ớ
i d
ạ

ng sinx và cosx

Ví dụ:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
(
)
2
0 0
ax bx c a
+ + = ≠

19

Trong quá trình d
ạ
y h
ọ
c ta c
ũ
ng g
ặ
p m
ộ
t s
ố
các quy t
ắ
c tuy ch
ư
a mang
đủ
nh
ữ
ng
đặ

c
đ
i
ể
m
đặ
c tr
ư
ng cho thu
ậ
t gi
ả
i nh
ư
ng có m
ộ
t s
ố
trong các
đặ
c
đ
i
ể
m
đ
ó và t
ỏ
ra có hi
ệ

u l
ự
c trong vi
ệ
c
ch
ỉ
d
ẫ
n hành
độ
ng và gi
ả
i toán.
Đ
ó là nh
ữ
ng quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i
đượ
c hi
ể
u nh

ư
m
ộ
t dãy h
ữ
u
h
ạ
n các ch
ỉ
d
ẫ
n th
ự
c hi
ệ
n theo
đượ
c m
ộ
t trình t
ự
xác
đị
nh nh
ằ
m bi
ế
n
đổ

i thông tin vào c
ủ
a m
ộ
t
l
ớ
p bài toán thành thông tin ra mô t
ả
l
ờ
i gi
ả
i c
ủ
a l
ớ
p bài toán
đ
ó.
Quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i phân bi
ệ

t v
ớ
i quy t
ắ
c là thu
ậ
t gi
ả
i nh
ư
sau:
- M
ỗ
i ch
ỉ
d
ẫ
n trong quy t
ắ
c có th
ể
ch
ư
a mô t
ả
hành
độ
ng m
ộ
t cách xác

đị
nh.
- K
ế
t qu
ả
th
ự
c hi
ệ
n m
ỗ
i ch
ỉ
d
ẫ
n có th
ể
không
đơ
n tr
ị
.
- Quy t
ắ
c không b
ả
o
đả
m ch

ắ
c ch
ắ
n r
ằ
ng sau m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n b
ướ
c thì
đ
em l
ạ
i k
ế
t qu
ả
là
l
ờ
i gi
ả
i c
ủ

a l
ớ
p bài toán.
M
ặ
c d
ầ
u, có m
ộ
t s
ố
h
ạ
n ch
ế
nói trên so v
ớ
i thu
ậ
t gi
ả
i c
ũ
ng v
ẫ
n là nh
ữ
ng tri th
ứ
c ph

ươ
ng
pháp có ích cho quá trình h
ọ
c t
ậ
p và gi
ả
i toán.

Ví dụ:
Quy t
ắ
c tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm y = f(x)
B
ướ
c 1: L
ấ
y m
ộ
t s
ố
gia
x
∆
c

ủ
a
đố
i s
ố
, tính s
ố
gia t
ươ
ng
ứ
ng
y
∆
c
ủ
a hàm s
ố


(
)
(
)
y f x x f x
∆ = + ∆ −

B
ướ
c 2: T

ậ
p t
ỉ
s
ố

y
x
∆
∆

B
ắ
t
đầ
u
2
4
b ac
∆ = −

K
ế
t thúc
0
∆ <

−

Hình 3.1

−

+

+

0
∆ =

Pt vô nghi
ệ
m
Pt có 1

nghi
ệ
m kép
(
)
1 2
/ 2
x x b a
= = −

Pt có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
(

)
( )
( )
( )
1
2
/ 2
/ 2
x b a
x b a
= − + ∆
= − − ∆

20



B
ướ
c 3: Tìm
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆

Gi

ớ
i h
ạ
n (n
ế
u có) c
ủ
a t
ỉ
s
ố
trên là
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
đ
i
ể
m x.
Trong ví d
ụ
trên, ch
ỉ
d
ẫ

n
ở
b
ướ
c ba không mô t
ả
m
ộ
t cách xác
đị
nh vi
ệ
c tìm
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
. Vì
v
ậ
y,
đươ
ng nhiên có nh
ữ
ng h
ọ

c sinh tuy áp d
ụ
ng quy t
ắ
c nêu trong ví d
ụ
này, nh
ư
ng v
ẫ
n không
tính
đượ
c
đạ
o hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
c
ụ
th
ể
nào
đ
ó, m
ặ
c d

ầ
u
đạ
o hàm này t
ồ
n t
ạ
i.

3.1.2. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
Trong d
ạ
y h
ọ
c thu
ậ
t gi
ả
i ho
ặ
c quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i có m
ộ

t s
ố

đ
i
ề
u c
ầ
n l
ư
u ý:

- Th
ứ
nh
ấ
t
, nên cho h
ọ
c sinh bi
ế
t nhi
ề
u hình th
ứ
c th
ể
hi
ệ
n m

ộ
t quy t
ắ
c, t
ạ
o
đ
i
ề
u ki
ệ
n thu
ậ
n
l
ợ
i cho h
ọ
n
ắ
m v
ữ
ng n
ộ
i dung t
ừ
ng b
ướ
c và trình t
ự

th
ự
c hi
ệ
n các b
ướ
c c
ủ
a quy t
ắ
c
đ
ó.

Ví dụ.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
(
)
2
0 0
ax bx c a
+ + = ≠

(i) Công th

ứ
c
Theo sách giáo khoa, ph
ươ
ng pháp gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai d
ạ
ng chu
ẩ
n
đ
ã
đượ
c trình bày
d
ướ
i d
ạ
ng công th
ứ
c.
Tr
ườ
ng h
ợ

p h
ọ
c sinh
đ
ã h
ọ
c s
ơ

đồ
kh
ố
i và ngôn ng
ữ
ph
ỏ
ng trình, ta còn có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n
ph
ươ
ng pháp gi
ả
i ph
ươ
ng trình b

ậ
c hai nh
ờ
các ph
ươ
ng ti
ệ
n
đ
ó.
(ii) S
ơ

đồ
kh
ố
i (Xem hình 3.1)
(iii) Ngôn ng
ữ
ph
ỏ
ng trình
Thu
ậ
t gi
ả
i ph
ươ
ng trình 2
Bi

ế
n a,b,c,D,x1,x2: th
ự
c; y: v
ă
n b
ả
n;
B
ắ
t
đầ
u
D:= b
2
– 4ac
N
ế
u D < 0
Thì y: = “ ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m”
Còn n
ế
u D = 0
Thì b
ắ
t

đầ
u
y := “ pt có m
ộ
t nghi
ệ
m kép”
x1: -b/(2a); x2= x1
k
ế
t thúc
còn n
ế
u D > 0
thì b
ắ
t
đầ
u
y: = “pt có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t”
x1:= (-b +
D
)/(2a);
x2:= (-b-
D
)/(2a)

k
ế
t thúc
k
ế
t thúc
- Th
ứ
hai, c
ầ
n trình bày rõ các b
ướ
c trong nh
ữ
ng ví d
ụ
c
ụ
th
ể
theo m
ộ
t s
ơ

đồ
nh
ấ
t quán
trong m

ộ
t th
ờ
i gian thích
đ
áng.
21



Cách trình bày này có th
ể
có th
ể

đượ
c minh h
ọ
a qua vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
3 5 2 0
x x

− + =
nh
ư
sau:
-

Xác
đị
nh a,b,c: a =3, b = -5, c=2
-

Tính bi
ệ
t s
ố
:
( )
2
2
4 1 5 4.3.2
b ac∆ = − = = − −
-

K
ế
t lu
ậ
n:
0
∆ >

nên ph
ươ
ng trình có hai nghiêm phân bi
ệ
t:

(
)
1
5 1
6
1
2 2.3 6
b
x
a
− − +
− + ∆
= = = =


(
)
2
5 1
4 2
2 2.3 6 3
b
x
a

− − −
− − ∆
= = = =

Bi
ệ
n pháp trên
đươ
c s
ử
d
ụ
ng
để
cho quy t
ắ
c
đượ
c
đọ
ng l
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng
đ
ã
đượ

c tr
ị
hoá theo
m
ộ
t s
ơ

đồ
nh
ấ
t quán trong cách trình bày c
ủ
a h
ọ
c sinh khi luy
ệ
n t
ậ
p và
đượ
c áp d
ụ
ng trong m
ộ
t
th
ờ
i gian
đủ

dài
để
h
ọ
n
ắ
m v
ữ
ng và v
ậ
n d
ụ
ng quy t
ắ
c
đ
ó.
Th
ứ
ba, c
ầ
n t
ậ
p luy
ệ
n cho h
ọ
c sinh th
ự
c hi

ệ
n t
ố
t nh
ữ
ng ch
ỉ
d
ẫ
n nêu trong thu
ậ
t gi
ả
i ho
ặ
c
trong quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i. N
ế
u ch
ủ
th
ể

không bi
ế
t th
ự
c hi
ệ
n nh
ữ
ng quy t
ắ
c nh
ư
v
ậ
y thì dù có
h
ọ
c thu
ộ
c nh
ữ
ng quy t
ắ
c t
ổ
ng quát c
ũ
ng không th
ể
áp d

ụ
ng nó vào nh
ữ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p c
ụ
th
ể
.
Ch
ẳ
ng h
ạ
n, trong ví d
ụ
gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai, dù cho h
ọ
c sinh có thu
ộ
c các công th
ứ

c, nh
ư
ng
n
ế
u không n
ắ
m v
ữ
ng các phép tính trên s
ố
h
ữ
u t
ỉ
thì có th
ể
ph
ạ
m sai l
ầ
m khi tính bi
ệ
t s
ố
ho
ặ
c
khi áp d
ụ

ng các công th
ứ
c nghi
ệ
m và do
đ
ó không gi
ả
i
đượ
c bài toán
đặ
t ra.
Th
ứ
t
ư
, c
ầ
n làm cho h
ọ
c sinh ý th
ứ
c
đượ
c và bi
ế
t s
ử
s

ụ
ng các c
ấ
u trúc
đ
i
ề
u khi
ể
n c
ơ
b
ả
n
để

quy
ế
t
đị
nh trình t
ự
các b
ướ
c. Trong ba c
ấ
u trúc
đ
i
ề

u khi
ể
n c
ơ
b
ả
n: Tu
ầ
n t
ự
, phân nhánh, l
ặ
p, thì
ở
ph
ổ
thông, c
ấ
u trúc tu
ầ
n t
ự

đượ
c l
ặ
p m
ộ
t cách t
ự

nhiên, c
ấ
u trúc l
ặ
p hi
ệ
n nay m
ớ
i
đượ
c s
ử

d
ụ
ng t
ườ
ng minh khi l
ậ
p trình cho máy tính, còn c
ấ
u trúc phân nhánh xu
ấ
t hi
ệ
n rõ nét và ph
ổ

bi
ế

n. Trong khi d
ạ
y h
ọ
c nh
ữ
ng thu
ậ
t gi
ả
i và nh
ữ
ng quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i, dù cho chúng
đượ
c
bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i b

ấ
t kì hình th
ứ
c nào, c
ầ
n
đặ
c bi
ệ
t nh
ấ
n m
ạ
nh, h
ướ
ng d
ẫ
n cho h
ọ
c sinh s
ử
d
ụ
ng
đ
úng c
ấ
u trúc này, k
ể
c

ả
tr
ườ
ng h
ợ
p có nhi
ề
u hành
độ
ng phân nhánh l
ồ
ng nhau.
Th
ứ
n
ă
m, thông qua thu
ậ
t gi
ả
i và nh
ữ
ng quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả

i, c
ầ
n có ý th
ứ
c phát tri
ể
n duy
thu
ậ
t gi
ả
i cho h
ọ
c sinh.
Phát tri
ể
n t
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i trong nhà tr
ườ
ng ph
ổ
thông là c
ầ
n thi
ế

t vì nh
ữ
ng lí do sau
đ
ây:
(i) T
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i giúp h
ọ
c sinh t
ự

độ
ng hoá trong nh
ữ
ng l
ĩ
nh v
ự
c ho
ạ
t
độ
ng khác nhau
c
ủ

a con ng
ườ
i, góp ph
ầ
n kh
ắ
c ph
ụ
c s
ự
ng
ă
n cách gi
ữ
a nhà tr
ườ
ng và xã h
ộ
i t
ự

độ
ng hoá. Nó
giúp h
ọ
c sinh th
ấ
y
đượ
c n

ề
n t
ả
ng c
ủ
a vi
ệ
c t
ự

độ
ng hoá, c
ụ
th
ể
là nh
ậ
n th
ứ
c rõ
đặ
c tính hình th
ứ
c,
thu
ầ
n túy máy móc c
ủ
a quá trình th
ự

c hi
ệ
n thu
ậ
t gi
ả
i,
đ
ó là c
ơ
s
ở
cho vi
ệ
c chuy
ể
n giao m
ộ
t s
ố

ch
ứ
c n
ă
ng c
ủ
a con ng
ườ
i cho máy th

ự
c hi
ệ
n.
(ii) T
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i giúp cho h
ọ
c sinh làm quen v
ớ
i cách làm vi
ệ
c trong khi gi
ả
i toán
b
ằ
ng MT
Đ
T. Th
ậ
t v
ậ
y, thi
ế
t k

ế
thu
ậ
t gi
ả
i là m
ộ
t khâu r
ấ
t c
ơ
b
ả
n trong vi
ệ
c l
ậ
p trình. T
ư
duy
thu
ậ
t gi
ả
i giúp cho h
ọ
c sinh th
ự
c hi
ệ

n t
ố
t khâu
đ
ó.
(iii) T
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i giúp cho h
ọ
c sinh h
ọ
c t
ậ
p t
ố
t nh
ữ
ng môn h
ọ
c
ở
nhà tr
ườ
ng ph
ổ

thông, rõ nét nh
ấ
t là môn Toán. Nó t
ạ
o
đ
i
ề
u ki
ệ
n thu
ậ
n l
ợ
i cho h
ọ
c sinh l
ĩ
nh h
ộ
i ki
ế
n th
ứ
c
22



và rèn luy

ệ
n k
ĩ
n
ă
ng, k
ĩ
x
ả
o khi h
ọ
c phép tính trên nh
ữ
ng t
ậ
p s
ố
, gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c
nh
ấ
t, b
ậ
c hai
(iv) T

ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i toán c
ũ
ng góp ph
ầ
n phát tri
ể
n nh
ữ
ng n
ă
ng l
ự
c trí tu
ệ
chung nh
ư

phân tích, t
ổ
ng h
ợ
p, khái quát hóa, và hình thành nh
ữ
ng ph
ẩ

m ch
ấ
t c
ủ
a con ng
ườ
i m
ớ
i nh
ư

tính ng
ă
n n
ắ
p, k
ỉ
lu
ậ
t, tính phê phán và thói quen t
ự
ki
ể
m tra
Ph
ươ
ng th
ứ
c c
ủ

a t
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i th
ể
hi
ệ
n
ở
nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng sau
đ
ây:
(i) Th
ự
c hi
ệ
n nh
ữ
ng ho
ạ
t

độ
ng theo m
ộ
t trình t
ự
xác
đị
nh phù h
ợ
p v
ớ
i m
ộ
t thu
ậ
t gi
ả
i
cho tr
ướ
c.
(ii) Phân tích m
ộ
t ho
ạ
t
độ
ng thành nh
ữ
ng ho

ạ
t
độ
ng thành ph
ầ
n
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n theo m
ộ
t
trình t
ự
xác
đị
nh.
(iii) Mô t
ả
chính xác quá trình ti
ế
n hành m
ộ
t ho
ạ
t
độ
ng

(iv) Khái quát hoá m
ộ
t ho
ạ
t
độ
ng trên nh
ữ
ng tài li
ệ
u riêng l
ẻ
thành m
ộ
t ho
ạ
t
độ
ng trên m
ộ
t
l
ớ
p
đố
i t
ượ
ng.
(v) So sánh nh
ữ

ng con
đườ
ng khác nhau cùng th
ự
c hi
ệ
n m
ộ
t công vi
ệ
c và phát tri
ể
n con
đườ
ng t
ố
i
ư
u.
Thành ph
ầ
n
đầ
u th
ể
hi
ệ
n kh
ả
n

ă
ng th
ự
c hi
ệ
n thu
ậ
t gi
ả
i có s
ẵ
n.
B
ố
n thành ph
ầ
n sau th
ể
hi
ệ
n kh
ả
n
ă
ng xây d
ự
ng thu
ậ
t gi
ả

i m
ớ
i (ít nh
ấ
t là m
ớ
i
đố
i v
ớ
i h
ọ
c
sinh). Các thành ph
ầ
n này có th
ể

đượ
c phát bi
ể
u v
ắ
n t
ắ
t nh
ư
sau:
(i) Th
ự

c hi
ệ
n thu
ậ
t gi
ả
i
đ
ã bi
ế
t.
(ii) Phân tích ho
ạ
t
độ
ng.
(iii) T
ườ
ng minh hoá thu
ậ
t gi
ả
i.
(iv) Khái quát hoá ho
ạ
t
độ
ng.
(v) Ch
ọ

n con
đườ
ng t
ố
i
ư
u.
T
ư
duy nói chung và t
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i nói riêng ch
ỉ
có th
ể
hình thành và phát tri
ể
n trong
ho
ạ
t
độ
ng. Vì v
ậ
y,
để

phát tri
ể
n t
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i, c
ầ
n t
ổ
ch
ứ
c cho h
ọ
c sinh t
ậ
p luy
ệ
n các ho
ạ
t
độ
ng (i)-(v) nói trên. D
ạ
y h
ọ
c nh
ữ

ng thu
ậ
t gi
ả
i và nh
ữ
ng quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i là nh
ữ
ng c
ơ
h
ộ
i
thu
ậ
n l
ợ
i
để
th
ự
c hi

ệ
n vi
ệ
c này. Làm nh
ư
v
ậ
y s
ẽ
tác
độ
ng tr
ự
c ti
ế
p
đế
n m
ụ
c tiêu kép: v
ừ
a làm
cho h
ọ
c sinh n
ắ
m v
ữ
ng tri th
ứ

c và k
ĩ
n
ă
ng toán h
ọ
c, v
ừ
a giúp h
ọ
phát tri
ể
n t
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i, m
ộ
t
y
ế
u t
ố
quan tr
ọ
ng trong
đờ
i s

ố
ng hi
ệ
n nay.

3.2. Những quy tắc, phương pháp tìm đoán
Cùng v
ớ
i nh
ữ
ng thu
ậ
t gi
ả
i và quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i, ta không
đượ
c lãng quên m
ộ
t s
ố
quy
t

ắ
c, ph
ươ
ng pháp có quy t
ắ
c tìm
đ
oán nh
ư
quy l
ạ
v
ề
quen, khái quát hoá, tr
ừ
u t
ượ
ng hoá, ph
ươ
ng
pháp tìm l
ờ
i gi
ả
i c
ủ
a bài toán,
Hi
ệ
n nay, nh

ữ
ng quy t
ắ
c, ph
ươ
ng pháp nh
ư
v
ậ
y th
ườ
ng không ph
ả
i là
đố
i t
ượ
ng d
ạ
y h
ọ
c
t
ườ
ng minh trong nhà tr
ườ
ng ph
ổ
thông. Trong
đ

i
ề
u ki
ệ
n
đ
ó, nh
ữ
ng quy t
ắ
c, ph
ươ
ng pháp này
th
ườ
ng
đượ
c bi
ể
u hi
ệ
n theo 2 con
đườ
ng tu
ỳ
t
ừ
ng tr
ườ
ng h

ợ
p c
ụ
th
ể
:
- Thông báo tri th
ứ
c ph
ươ
ng pháp trong quá trình ho
ạ
t
độ
ng;
-T
ậ
p luy
ệ
n cho h
ọ
c sinh nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng
ă
n kh

ớ
p nh
ữ
ng quy t
ắ
c, mà ta mong mu
ố
n h
ọ

bi
ế
t th
ự
c hi
ệ
n.
23



Nh
ữ
ng quy t
ắ
c ph
ươ
ng pháp tìm
đ
oán ch

ỉ
là nh
ữ
ng g
ợ
i ý gi
ả
i quy
ế
t v
ấ
n
đề
ch
ứ
không
ph
ả
i là nh
ữ
ng thu
ậ
t toán b
ả
o
đả
m ch
ắ
c ch
ắ

n d
ẫ
n t
ớ
i thành công. Vì v
ậ
y, khi cho h
ọ
c sinh s
ử

d
ụ
ng chúng, c
ầ
n rèn luy
ệ
n cho h
ọ
tính m
ề
m d
ẻ
o, linh ho
ạ
t bi
ế
t
đ
i

ề
u ch
ỉ
nh ph
ươ
ng h
ướ
ng, thay
đổ
i ph
ươ
ng pháp khi c
ầ
n thi
ế
t. S
ẽ
không có gì
đ
áng ng
ạ
i n
ế
u h
ọ
c sinh không thành công khi áp
d
ụ
ng m
ộ

t quy t
ắ
c, ph
ươ
ng pháp tìm
đ
oán nào
đ
ó, h
ọ
ph
ả
i phát hi
ệ
n ra s
ự
l
ầ
m
đườ
ng, bi
ế
t thay
đổ
i ph
ươ
ng h
ướ
ng và cu
ố

i cùng
đ
i t
ớ
i thành công.
Đ
ó chính là h
ọ
c phát hi
ệ
n và gi
ả
i quy
ế
t v
ấ
n
đề
.
Đ
ó chính là h
ọ
c cách h
ọ
c, m
ộ
t yêu c
ầ
u c
ă

n b
ả
n
đố
i v
ớ
i m
ụ
c tiêu và ph
ươ
ng pháp d
ạ
y h
ọ
c
hi
ệ
n nay.


*) Tài liệu học tập:


[1]. Nguy
ễ
n Bá Kim (2002), Ph
ươ
ng pháp d
ạ
y h

ọ
c môn Toán, NXB
Đạ
i h
ọ
c s
ư
ph
ạ
m Hà N
ộ
i.
[2
]. C¸c s¸ch gi¸o khoa m«n To¸n vµ s¸ch gi¸o viªn c¸c líp 10, 11,
12 hi
ệ
n hành.


*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:

3.1. Phân tích
đ
i
ể
m gi
ố
ng và khác nhau gi
ữ
a thu

ậ
t gi
ả
i và quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i.
3.2. Trình bày nh
ữ
ng l
ư
u ý khi d
ạ
y h
ọ
c thu
ậ
t gi
ả
i và quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ

t gi
ả
i.
3.3. Phân tích và trò c
ủ
a vi
ệ
c d
ạ
y h
ọ
c thu
ậ
t gi
ả
i và quy t
ắ
c t
ự
a thu
ậ
t gi
ả
i
đố
i v
ớ
i vi
ệ
c phát

tri
ể
n t
ư
duy thu
ậ
t gi
ả
i cho h
ọ
c sinh THPT?
3.4. Hãy cho ví d
ụ
v
ề
nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng thành ph
ầ
n c
ủ
a t
ư
duy thu
ậ
t gi

ả
i khi d
ạ
y m
ộ
t n
ộ
i
dung c
ủ
a ch
ủ

đề
:
a. Hình h
ọ
c 10.
b. Hình h
ọ
c 11.
c.
Đạ
i s
ố
10.
3.5. Các quy t
ắ
c, ph
ươ

ng pháp tìm
đ
oán có tác d
ụ
ng h
ỗ
tr
ợ
nh
ư
th
ế
nào
đố
i v
ớ
i vi
ệ
c xây
d
ự
ng thu
ậ
t gi
ả
i, quy t
ắ
c t
ự
a thu

ậ
t gi
ả
i?














24



CHƯƠNG 4
Dạy học giải bài tập toán học
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 4; bài tập: 2; thảo luận: 1 )


*) Mục tiêu
Sinh viên hi
ể

u rõ vai trò c
ủ
a vi
ệ
c d
ạ
y h
ọ
c gi
ả
i bài t
ậ
p toán h
ọ
c cho h
ọ
c sinh trên các bình di
ệ
n
m
ụ
c tiêu d
ạ
y h
ọ
c và ph
ươ
ng pháp d
ạ
y h

ọ
c; n
ắ
m
đượ
c các yêu c
ầ
u
đố
i v
ớ
i l
ờ
i gi
ả
i, n
ắ
m
đượ
c ph
ươ
ng
pháp chung
để
gi
ả
i bài toán; v
ậ
n d
ụ

ng b
ả
n g
ợ
i ý áp d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp chung gi
ả
i toán
để
h
ướ
ng d
ẫ
n
h
ọ
c sinh th
ự
c hi
ệ
n các khâu gi
ả
i m
ộ
t bài toán theo các b
ướ
c.

- Có k
ỹ
n
ă
ng v
ậ
n d
ụ
ng các v
ấ
n
đề
lý lu
ậ
n v
ề
d
ạ
y h
ọ
c gi
ả
i bài t
ậ
p toán h
ọ
c
để
ti
ế

n hành d
ạ
y h
ọ
c
gi
ả
i bài t
ậ
p toán h
ọ
c cho h
ọ
c sinh THPT; h
ướ
ng d
ẫ
n h
ọ
c sinh gi
ả
i các bài t
ậ
p toán h
ọ
c theo các b
ướ
c
và m
ở

r
ộ
ng, khái quát n
ộ
i dung bài toán.
- Rèn luy
ệ
n
đứ
c tính ham hi
ể
u bi
ế
t, nghiêm túc trong lao
độ
ng, lòng yêu ngh
ề
; hình thành
tác phong ng
ườ
i giáo viên.
4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Vai trò c
ủ
a bài t
ậ
p toán h
ọ
c
đượ

c th
ể
hi
ệ
n trên ba bình di
ệ
n:
Th
ứ
nh
ấ
t, trên bình di
ệ
n m
ụ
c tiêu d
ạ
y h
ọ
c, bài t
ậ
p toán h
ọ
c
ở
tr
ườ
ng ph
ổ
thông là giá

mang nh
ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng mà vi
ệ
c th
ự
c hi
ệ
n các ho
ạ
t
độ
ng
đ
ó th
ể
hi
ệ
n m
ứ
c
độ

đạ
t m
ụ

c tiêu. M
ặ
t
khác, nh
ữ
ng bài t
ậ
p c
ũ
ng th
ể
hi
ệ
n nh
ữ
ng ch
ứ
c n
ă
ng khác nhau h
ướ
ng
đế
n các m
ụ
c tiêu d
ạ
y h
ọ
c

môn toán, c
ụ
th
ể
là:
- Hình thành, c
ủ
ng c
ố
tri th
ứ
c, k
ĩ
n
ă
ng, k
ĩ
x
ả
o
ở
nh
ữ
ng khâu khác nhau c
ủ
a quá trình d
ạ
y
h
ọ

c, k
ể
c
ả
k
ĩ
n
ă
ng
ứ
ng d
ụ
ng toán h
ọ
c vào th
ự
c ti
ễ
n;
- Phát tri
ể
n n
ă
ng l
ự
c trí tu
ệ
, rèn luy
ệ
n nh

ữ
ng ho
ạ
t
độ
ng t
ư
duy, hình thành trên nh
ữ
ng
ph
ẩ
m ch
ấ
t trí tu
ệ
;
- B
ồ
i d
ưỡ
ng th
ế
gi
ớ
i quan duy v
ậ
t bi
ệ
n ch

ứ
ng, hình thành nh
ữ
ng ph
ẩ
m ch
ấ
t c
ủ
a ng
ườ
i lao
độ
ng m
ớ
i.
Th
ứ
hai, trên bình di
ệ
n n
ộ
i dung d
ạ
y h
ọ
c, nh
ữ
ng bài t
ậ

p toán h
ọ
c là giá mang ho
ạ
t
độ
ng
liên h
ệ
v
ớ
i nh
ữ
ng n
ộ
i dung nh
ấ
t
đị
nh, m
ộ
t ph
ươ
ng ti
ệ
n cài
đặ
t n
ộ
i dung

để
hoàn ch
ỉ
nh hay b
ổ

sung cho nh
ữ
ng tri th
ứ
c nào
đ
ó
đ
ã
đượ
c trình bày trong ph
ầ
n lý thuy
ế
t.
Th
ứ
ba, trên bình di
ệ
n ph
ươ
ng pháp d
ạ
y h

ọ
c bài t
ậ
p Toán h
ọ
c, bài t
ậ
p toán h
ọ
c là giá mang
ho
ạ
t
độ
ng
để
ng
ườ
i h
ọ
c ki
ế
n t
ạ
o nh
ữ
ng tri th
ứ
c nh
ấ

t
đị
nh và trên c
ơ
s
ở

đ
ó th
ự
c hi
ệ
n nh
ữ
ng m
ụ
c
tiêu d
ạ
y h
ọ
c khác. Khai thác t
ố
t nh
ữ
ng bài t
ậ
p nh
ư
v

ậ
y s
ẽ
góp ph
ầ
n t
ổ
ch
ứ
c cho h
ọ
c sinh h
ọ
c t
ậ
p
trong ho
ạ
t
độ
ng và b
ằ
ng ho
ạ
t
độ
ng t
ự
giác, tích c
ự

c ch
ủ

độ
ng sáng t
ạ
o
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n
độ
c l
ậ
p
ho
ặ
c trong giao l
ư
u.
Trong th
ự
c ti
ễ
n d
ạ
y h
ọ

c, bài t
ậ
p
đượ
c s
ử
d
ụ
ng v
ớ
i nh
ữ
ng d
ụ
ng ý khác nhau v
ề
ph
ươ
ng
pháp d
ạ
y h
ọ
c:
Đả
m b
ả
o trình
độ
xu

ấ
t phát, g
ợ
i
độ
ng c
ơ
, làm vi
ệ
c v
ớ
i n
ộ
i dung m
ớ
i, c
ủ
ng c
ố
ho
ặ
c
ki
ể
m tra,
Đặ
c bi
ệ
t là v
ề

m
ặ
t ki
ể
m tra, bài t
ậ
p là ph
ươ
ng ti
ệ
n
đ
ánh giá m
ứ
c
độ
, k
ế
t qu
ả
d
ạ
y và
h
ọ
c, kh
ả
n
ă
ng làm vi

ệ
c
độ
c l
ậ
p và trình
độ
phát tri
ể
n c
ủ
a h
ọ
c sinh,
M
ộ
t bài t
ậ
p c
ụ
th
ể
có th
ể
nh
ằ
m vào m
ộ
t hay nhi
ề

u d
ụ
ng ý trên.
4.2. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán