ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH THEO TÍN CHỈ (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN)

1

ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH THEO TÍN CHỈ

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN)

Năm 2014


2

MỤC LỤC Trang

CHƯƠNG 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính 4
1.1. Các ví dụ dẫn tới bài toán QHTT 4
1.1.1. Bài toán lập thực ñơn
4
1.1.2. Bài toán lập kế hoạch sản xuất 4

1.1.3. Bài toán vận tải 4
1.2. Bài toán QHTT tổng quát 5
1.3. Bài toán dạng chính tắc, chuẩn tắc, dạng ma trận, véc tơ của bài toán QHTT 5
1.3.1. Dạng chính tắc 5
1.3.2. Dạng chuẩn tắc 5
1.3.3. Một số kí hiệu và quy ước 5
1.3.4. Dạng ma trận và véc tơ của bài toán QHTT 6
1.4. Hình ảnh hình học của các tập phương án của bài toán QHTT 6
1.5. ðại cương về tập lồi trong không gian
n
R

6
1.5.1. Tổ hợp lồi 6
1.5.2. Tập hợp lồi 6
1.5.3. ðiểm cực biên của tập lồi 6
1.5.4. ða diện lồi và tập lồi da diện 6
1.6. Tính chất của tập phương án và tập nghiệm của bài toán QHTT 6
1.6.1. Tính chất của tập phương án của bài toán QHTT 6
1.6.2. Cơ sở của phương án cực biên 7
Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 7
CHƯƠNG 2. Phương pháp ñơn hình
12
2.1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp ñơn hình 12
2.1.1. Tư tưởng cơ bản của phương pháp ñơn hình 12
2.1.2. Biểu diễn qua cơ sở. Dấu hiệu tối ưu 12
2.1.3. Tìm phương án cực biên mới tốt hơn, công thức ñổi cơ sở 13
2.2.Thủ tục ñơn hình, bảng ñơn hình 14
2.2.1.Các bước của thủ tục ñơn hình 14
2.2.2. Tính hữu hạn của thuật toán 14

2.2.3. Bảng ñơn hình 14
2.3. Thuật toán ñơn hình ñối với bài toán chuẩn 16
2.4. Giải bài toán QHTT tổng quát, phương pháp hai pha, phương pháp bài toán M 16
2.4.1. Thuật toán ñơn hình hai pha 16
2.4.2. Phương pháp ñánh thuế 17

3

2.5. Vn ủ bi toỏn suy bin 17
Cõu hi, bi tp, ni dung ụn tp v tho lun 17
CHNG 3. Cỏc bi toỏn ủi ngu
22
3.1. Khỏi nim v cỏc bi toỏn ủi ngu 22
3.1.1. Nguyờn tc thit lõp bi toỏn ủi ngu 22
3.1.2. Cỏc dng bi toỏn ủi ngu 22
3.2. Cỏc ủnh lý ủi ngu v ng dng 23
3.2.1. Quan h gia cp bi toỏn ủi ngu 23
3.2.2. nh lý ủi ngu 23
3.3. Phng phỏp ủn hỡnh ủi ngu 23
3.3.1. C s chp nhn ủc ủi ngu 23
3.3.2. Th tc ủn hỡnh ủi ngu khi bit c s chp nhn ủc ủi ngu 24
3.3.3. Thut toỏn ủn hỡnh ủi ngu khi cha bit c s chp nhn ủc ủi ngu 24
3.4. Tìm nghiệm của một cặp bài toán đối ngẫu bằng giải hệ phơng trình tuyến tính 25
Cõu hi ụn tp v tho lun 25
CHNG 4. Phng phỏp phõn phi
29
4.1. Gii thiu bi toỏn. Lp bi toỏn di dng bng 29
4.1.1. Thit lp bi toỏn 29
4.1.2. iu kin tn ti nghim 30
4.1.3. Bng vn ti, cỏc tớnh cht ca bng 30

4.2. Vn ủ tỡm phng ỏn c s ban ủu 31
4.2.1. Phng phỏp gúc tõy bc 31
4.2.2. Phng phỏp cc tiu cc phớ 32
4.3.Gii bi toỏn vn ti bng phng phỏp th v 32
4.3.1. C s lý lun 32
4.3.2. Cỏc bc thc hin thut toỏn 32
4.4. Khc phc suy bin khi tớnh toỏn 33
4.4.1. Bi toỏn vn ti khụng cõn bng thu phỏt 33
4.4.2. Bi toỏn vn ti cú ụ cm 33
Cõu hi, bi tp, ni dung ụn tp v tho lun 33
TI LIU THAM KHO
35






4

CHƯƠNG 1
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 6; bài tập, thảo luận: 1)

*) Mục tiêu. Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về mô hình bài toán Quy
hoạch tuyến tính (QHTT): Một số mô hình thực tế của bài toán QHTT; bài toán QHTT dạng tổng
quát và một số dạng ñặc biệt; các tính chất tập phương án, hình ảnh hình học của tập phương án của
bài toán QHTT.
1.1. Các ví dụ dẫn tới bài toán QHTT
1.1.1. Bài toán lập thực ñơn

Có n loại thực phẩm
(
)
njT
j
,1, =
. Biết rằng mỗi ñơn vị
j
T
chứa
ij
a
ñơn vị chất
(
)
mii ,1, =

và có giá thành là
j
c
ñơn vị tiền. Hãy lập một thực ñơn sao cho bữa ăn phải ñảm bảo có ít nhất
i
b
ñơn vị chất dinh dưỡng
(
)
mii ,1, =
mà có giá thành rẻ nhất.
Lập bài toán: Gọi
j

x
là số ñơn vị thực phẩm
(
)
njT
j
,1, =
dùng trong bữa ăn,
0
≥
j
x
;
mibxa
i
n
j
jij
,1,
1
=≥
∑
=
. Tổng giá thành của bữa ăn là:
∑
=
n
j
jj
xc

1
ñơn vị tiền.
Mô hình toán học của bài toán:
Tìm các
(
)
njx
j
,1; =
sao cho hàm:
( )
∑
=
=
n
j
jj
xcxf
1
ñạt giá trị nhỏ nhất với hệ ñiều kiện:
njxmibxa
ji
n
j
jij
,1;0;,1,
1
=≥=≥
∑
=

.
1.1.2. Bài toán lập kế hoạch sản xuất
Một xí nghiệp sản xuất n mặt hàng. Các mặt hàng ñó ñược sản xuất từ m loại vật liệu.
Số lượng ñơn vị vật liệu loại
(
)
mii ,1=
hiện có của xí nghiệp là
i
b
. Biết rằng ñể sản xuất một ñơn
vị mặt hàng loại
(
)
njj ,1=
cần
(
)
njmia
ij
,1,,1 ==
ñơn vị vật liệu loại i và một ñơn vị mặt hàng
loại j bán ñược
j
c
ñơn vị tiền (số ñơn vị sản phẩm sản xuất ra ñều bán hết). Hãy tính xem mỗi
mặt hàng nên sản xuất bao nhiêu ñơn vị sản phẩm ñể tiền thu ñược nhiều nhất với ñiều kiện hạn
chế về số vật liệu hiện có của xí nghiệp.
Mô hình toán học của bài toán:
Tìm các

(
)
; 1,
j
x j n
=
sao cho hàm:
( )
1
n
j j
j
f x c x
=
=
∑
ñạt giá trị lớn nhất với hệ ñiều kiện:
1
, 1, ; 0; 1,
n
ij j i j
j
a x b i m x j n
=
≤ = ≥ =
∑
.
1.1.3. Bài toán vận tải
Có m ñiểm phát hàng
1 2

, , ,
m
A A A
với lượng hàng phát ở kho thứ
, 1,
i i m
=
là
, 1,
i
a i m
=
.
Có n ñiểm thu hàng
1 2
, , ,
n
B B B
với lượng hàng thu ở kho thứ j là
, 1,
j
b j n
=
. Giả thiết rằng:

5

1 1
m n
i j

i j
a b
= =
=
∑ ∑
và cước phí vận chuyển một ñơn vị hàng từ trạm phát
i
A
tới trạm thu
j
B
là
ij
c
. Hãy
lập phương án ñiều hàng sao cho yêu cầu thu và phát ñược ñảm bảo và tổng chi phí nhỏ nhất.
Dạng toán học của bài toán:
Gọi
( 1, , 1, )
ij
x i m j n
= =
là số ñơn vị hàng cần vận chuyển theo kế hoạch từ trạm phát
thứ i tới trạm thu thứ j
( 1, , 1, )
i m j n
= =
thì bài toán vận tải có mô hình toán học như sau:

1 1

min
m n
ij ij
i j
f c x
= =
= →
∑∑


1
1.
n
ij i
j
x a i m
=
= =
∑


1
1,
m
ij j
i
x b j n
=
= =
∑

0, 1, , 1,
ij
x i m j n
≥ = = .
Trong
ñ
ó
0, 1,
i
a i m
≥ =
0, 1,
j
b j n
≥ = ,
1 1
m n
i j
i j
a b
= =
=
∑ ∑

1.2. Bài toán QHTT tổng quát
Tìm véc tơ
(
)

1 2
, , ,
n
n
x x x x R
= ∈
sao cho hàm
( )
1
n
j j
j
f x c x
=
=
∑
ñạt giá trị nhỏ nhất
(hoặclớn nhất) với các ñiều kiện:
( )
( )
( )
( )
1
1
2
1
1
2
1
2

0 3
0 4
n
ij j i
j
n
ij j i
j
j
j
a x b i I
a x b i I
x j J
x j J
=
=

≥ ∈




= ∈



≥ ∈

<=> ∈



∑
∑

Trong
ñ
ó:
{
}
1
1,2,
I I m
⊂ = ,
2 1
\
I I I
=
,
2 1
I I
ϕ
∩ =


{
}
1
1,2,
J J n
⊂ = ,

2 1
\
J J J
=
,
2 1
J J
ϕ
∩ =
(
0
j
x
<=>

ñượ
c hi
ể
u là
j
x
không ph
ụ
thu
ộ
c d
ấ
u).
Hàm f
ñượ

c g
ọ
i là hàm m
ụ
c tiêu; (1) và (2) là h
ệ
ràng bu
ộ
c c
ơ
b
ả
n ( h
ệ
ràng bu
ộ
c c
ưỡ
ng
b
ứ
c); (3) và (4) là h
ệ
ràng bu
ộ
c t
ự
nhiên ( h
ệ
ràng bu

ộ
c d
ấ
u).
V
ề
m
ặ
t lý thuy
ế
t ta có th
ể
ch
ỉ
xét các bài toán tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t (m
ọ
i bài toán max s
ẽ

ñượ
c
chuy
ể
n v

ề
d
ạ
ng min).
1.3. Bài toán dạng chính tắc, chuẩn tắc, dạng ma trận, véc tơ của bài toán QHTT
1.3.1. Dạng chính tắc: Là bài toán dạng tổng quát khi
1 1
,
I J J
ϕ
= =
.
1.3.2. Dạng chuẩn tắc: Là bài toán dạng tổng quát khi
2 1
,
I J J
ϕ
= =
.
Chú ý: Có thể chuyển bài toán dạng chính tắc thành chuẩn tắc và ngược lại nhờ một số
phép biến ñổi trên hệ phương trình tuyến tính.
1.3.3. Một số kí hiệu và qui ước

6

•
(
)
ij
m n

A a
×
=
là ma trận các hệ số của hệ ràng buộc cơ bản;
•
(
)
1 2
, , ,
j
j j mj
a a a a
=
là véc tơ cột ( ma trận cột) thứ
(
)
1,
j j n
=
của ma trận A;
•
(
)
1 2
, , ,
i i i in
a a a a
=
là véc tơ dòng ( ma trận dòng) thứ
(

)
1,
i i m
=
của ma trận A;
•
(
)
1 2
, , ,
m
b b b b
=
,
(
)
1 2
, , ,
n
c c c c
=
tương ứng là các ma trận cột;
• Mỗi véc tơ ñược xem như một ma trận cột trong các phép tính ma trận nếu không nói gì
thêm;
• Biểu thức tích vô hướng của hai véc tơ x và y ñược viết: x.y
1.3.4. Dạng ma trận và véc tơ của bài toán QHTT(chính tắc)
Dạng ma trận

min
0

t
f c x
Ax b
x
= →
=
≥

Dạng véctơ

1
. min
0
n
j
j
j
f c x
a x b
x
=
= →
=
≥
∑

1.4. Hình ảnh hình học của các tập phương án của bài toán QHTT
Trong
2
R

, t
ập phương án của bài toán QHTT chuẩn tắc là giao của hữu hạn m nửa mặt phẳng.
Trong
3
R
, tập phương án của bai toán QHTT chuẩn tắc là giao của hữu hạn m nửa không gian.
Tập phương án của bài toán QHTT dạng chuẩn tắc là một ña diện lồi hoặc một tập lồi ña diện.
1.5. ðại cương về tập lồi trong không gian
n
R

1.5.1. Tổ hợp lồi. Trong
n
R
ñiểm
x
ñược gọi là tổ hợp lồi của các ñiểm
(
)
n,1jx
j
=
nều
tồn tại các số
,n,1j,0
j
=≥α
∑
=
=α

n
1j
j
1
thoả mãn
∑
=
α=
n
1j
jj
xx

1.5.2. Tập hợp lồi . Tập
n
R
X
⊂
ñược gọi là tập hợp lồi nếu với
Xx,x
21
∈
và
1
0
≤
α
≤

thì

(
)
Xx1xx
21
∈
α
−
+
α
=
.

1.5.3. ðiểm cực biên của tập lồi
ðiểm x của tập lồi X dược gọi là ñiểm cực biên của X nếu nó không thể biểu diễn ñược
dưới dạng tổ hợp lồi thực sự của hai ñiểm phân biệt trong X.
1.5.4. ða diện lồi và tập lồi ña diện
Tập lồi ña diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian ñóng.
ða diện lồi là tập lồi ña diện giới nội.
1.6. Tính chất của tập phương án và tập nghiệm của bài toán QHTT
1.6.1. Tính chất của tập phương án của bài toán QHTT
ðịnh lý 1.1. Tập phương án và phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính là tập lồi.

7

ðịnh lý 1.2. Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có tập phương án khác rỗng thì nó có ít
nhất một phương án cực biên (tức là ñiểm cực biên của tập phương án).
ðịnh lý 1.3. Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có phương án tối ưu thì sẽ có ít nhất một
phương án cực biên là phương án tối ưu.
ðịnh lý 1.4. Nếu tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính không rỗng và là một
ña diện lồi thì bài toán sẽ có ít nhất một phương án cực biên là phương án tối ưu.

ðịnh lý 1.5. (về sự tồn tại phương án cực biên).
ðể phương án
(
)
n.1j
j
00
xx
=
=
(khác 0) của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc
với tập phương án






≥=∈=
∑
=
n
1j
j
jn
0x;bxa:RxD
là ph
ươ
ng án c
ự

c biên thì
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
là h
ệ
véc t
ơ
c
ộ
t c
ủ
a ma tr
ậ
n A
ứ
ng v
ớ
i các thành ph
ầ
n d
ươ
ng c
ủ

a ph
ươ
ng án này là
ñộ
c l
ậ
p
tuy
ế
n tính.

ðịnh nghĩa 1.3
. Ph
ươ
ng án c
ự
c biên c
ủ
a bài toán QHTT d
ạ
ng chính t
ắ
c
ñượ
c g
ọ
i là
không suy bi
ế
n n

ế
u s
ố
thành ph
ầ
n d
ươ
ng c
ủ
a nó b
ằ
ng m (h
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n A) ng
ượ
c l
ạ
i thì
ph
ươ
ng án c
ự
c biên
ñượ
c g
ọ

i là suy bi
ế
n.
1.6.2. Cơ sở của phương án cực biên
Giả sử
(
)
n
1j
0
j
0
xx
=
=
(khác 0) là một phương án cực biên của bài toán QHTT chính tắc và
hạng(A) = m. Ký hiệu J là một bộ gồm ñủ m chỉ số :
(
)
0
xJJ
+
⊃

(
)
{
}
(
)

0x:jxJ
0
j
0
>=
+
. Ta gọi là cơ
sở của phương án cực biên
0
x
một bộ gồm m véc tơ cột ñộc lập tuyến tính
{
}
,
j
a j J
∈
của ma
trận A.
Chú ý:
- Cơ sở của một phương án cực biên trong tài liệu ñược kí hiệu là B , ñể phân biệt các tập chỉ
số trong các cơ sở khác nhau thì tập chỉ số của các véc tơ trong cơ sở B ta kí hiệu là
B
J
.
- Nếu
{
}
,
j

B
B a j J
= ∈
là một cơ sở của phương án cực biên
x
thì các
Bj
Jj,x
∈
ñược gọi là
các thành phần cơ sở;
Bj
Jj,x
∉
ñược gọi là các thành phần phi cơ sở.
Nhận xét:
1. Số thành phần dương của một phương án cực biên của bài toán QHTT dạng chính tắc tối
ña là bằng m .
2. Số phương án cực biên của một bài toán QHTT là hữu hạn.
3. Phương án cực biên không suy biến chỉ có một cơ sở duy nhất, ñó là các véc tơ tương
ứng thành phần dương của phương án.
4. Phương án cực biên suy biến có nhiều cơ sở khác nhau, phần chung của chúng là các véc
tơ tương ứng với các thành phần dương của phương án.

*) Tài liệu học tập: [1]; [2]; [3]; [5].
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận


8

Bài tập 1.1. Cho 3 ñiểm x
1
, x
2
, x
3

3
R
∈
không thẳng hàng
a. Chứng minh rằng nếu x là một tổ hợp lồi nào ñó của x
1
, x
2
, x
3
thì x là một ñiểm thuộc
tam giác có 3 ñỉnh là x
1
, x
2
, x
3
.
b. Chứng minh rằng nếu x là một ñiểm thuộc tam giác thì luôn có thể viết ñược x là một
tổ hợp lồi của x
1
, x
2

, x
3
.
c. Phát biểu và giải bài toán trong trường hợp có 4 ñiểm x
1
, x
2
, x
3
,x
4

3
R
∈
không thẳng
hàng và không ñồng phẳng.
Bài tập 1.2. Cho hình cầu tâm O bán kính a trong R
3

V=
{
}
22
3
2
2
2
1
3

axxx:Rx ≤++∈

a. V có phải là tập lồi ña diện không ? Có phải ña diện lồi không?
b. Hình cầu V có ñiểm cực biên không? Có bao nhiêu ñiểm cực biên?
Bài tập 1.3. Cho
n
R
D
⊂
có tính chất sau ñây: Nếu
D
a
∈
và
D
b
∈
thì
Db
2
1
a
2
1
x ∈







+=
. Hãy
xem xét D có phải tập lồi không? Giải thích tại sao?
Bài tập 1.4. Cho X và Y là hai tập lồi trong R
n
; Z là 1 tập ñược ñịnh nghĩa như sau:
{
}
Yy;Xx;yxz:zZ
∈
∈
+
=
=
. Xét xem Z có phải tập lồi không?
Bài tập 1.5. Chứng minh rằng: Nếu bài toán QHTT có tập phương án khác rỗng và mọi ẩn số
ñều bị chặn
(
)
jHxh
jjj
∀
≤
≤
thì nó luôn luôn có phương án tối ưu.
Bài tập 1.6. Chứng minh rằng bài toán sau luôn có phương án tối ưu:
(
)
maxhayminxcf

t
→=
.
(
)
n,1j0x;m,1i,bxa
ji
n
1j
jij
=≥=≤
∑
=

Trong ñó
(
)
m,1i0b
i
=≥
và biết rằng tồn tại chỉ số i sao cho
(
)
n,1j0a
ij
=≥
.
Bài tập 1.7. Hãy thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính cho bài toán sau:
Một phân xưởng cốt thép có các thanh sắt nguyên dài 3,8 mét cần cắt thành ba loại ñoạn
ngắn hơn : 400 ñoạn dài 1,8m; 400 ñoạn dài 1,4 m; 1300 ñoạn dài 1,0 m. Hỏi phải cắt bao nhiêu

thanh thép nguyên ñể vừa ñảm bảo ñủ số lượng các ñoạn thép cần có mà tốn ít thanh thép
nguyên nhất?
Bài tập 1.8. Một ñội sản xuất nông sản có 3 loại ñất dự kiến trồng 4 loại cây với số quỹ ñất và
năng suất dự kiến ñược cho trong bảng sau (Năng suất: tạ/ha)
Cây (ha)

ðất (ha)
Sắn
150
Khoai
200
Lạc
100
ðậu
80
Thịt 100 7 6 4

4
Cát 230 5 5 3 2
Cát pha 200 6 7 3 3


9

Hãy tính xem nên trồng cây gì trên ñất gì ñể ñạt tổng năng suất cao nhất?
a. Viết dạng toán học của bài toán.
b. Hãy chỉ ra một phương án của bài toán.
c. Chứng tỏ bài toán luôn có phương án tối ưu.
d. Hãy tổng quát hoá bài toán.
Bài tập 1.9. Hãy thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính cho bài toán sau:

Giả sử có m loại máy công công cụ khác nhau tham gia sản xuất một loại sản phẩm gồm
n chi tiết khác nhau. Số máy mỗi loại tham gia quá trình sản xuất ñược giả thiết là một chiếc, số
chi tiết mỗi loại cấu thành nên sản phẩm ñược giả thiết là tỉ lệ với nhau theo tỉ số 1:1: :1 (tức là
số các chi tiết mỗi loại bằng nhau). Năng suất máy thứ i sản xuất chi tiết j là
ij
a
(ñơn vị chi tiết/
ñơn vị thời gian) với
(
)
n,1j;m,1i ==
. Hãy bố trí thời gian cho các máy sản xuất các chi tiết sao
cho số sản phẩm ñủ bộ sản xuất ra ñược là nhiều nhất.
Bài tập 1.10. ðưa bài toán sau về dạng chính tắc

a)
maxx4x2x5f
321
→
−
+
=









≥≥
=++
−≤−−
≥++
0x,0x
11x6x3x2
1x2xx
3xx7x4
21
321
321
321

b) f =
1 2 3
5 4 3 min
x x x
− − − →

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5
4 2 11
3 4 2 8
, , 0
x x x
x x x
x x x

x x x
+ + ≤


+ + ≤


+ + ≤


≥


c) f =
1 2
2 max
x x
− →

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
2 2
2 2
4
, 0
x x x
x x x
x x x

x x
− − + ≤


− − ≥


+ + =


≥


Bài tập 1.11. ðưa bài toán sau về dạng chuẩn tắc


minxx3xf
321
→
−
+
=









≤≥
=+−
−≤−+−
≥++
0x,0x
1xxx
6x2x5x3
5xx7x2
21
321
321
321

Bài tập 1.12. Chứng minh rằng, ñối với mỗi bài toán sau,
x
là phương án tối ưu:
a.
2 4
min
f x x
= + →


10

(
)
( )
( )








≥
=+
=+++−
=+++−
0x
33x2x3
22xxxx2
11xxx2x
1
42
4321
4321


(
)
3,0,1,0x −=

b.
1 4
max
g x x
= + →

(
)
( )
( )







≥
=+++−
≤+++
=+++
0x
316x4x9xx
24x2x3xx
11xxxx
1
4321
4321
4321


(
)
3,3,1,0x −=
.
Bài tập 1.13. Chứng tỏ rằng bài toán sau có tập phương án khác rỗng nhưng hàm mục tiêu

không bị chặn trên tập phương án.
minx12xxx3x4x3f
654321
→
+
+
+
+
+
−
=








=≥
=++++−
−=−−+−−
=+++−
6,1j,0x
11x3x5x3x2x
5x3x2xxx
3x9x2xx2
j
65421
65432

6531


Bài tập 1.14. Chứng minh rằng tổ hợp lồi có tính chất bắc cầu.
Bài tập 1.15. Giải các bài toán QHTT sau bằng phương pháp ñồ thị:
a.
max24
21
→
+
=
xxf









≥≥
≤+
≤−
≥+
0;0
4
1
22
21

21
21
21
xx
xx
xx
xx

b.
max
21
→
+
−
=
xxf









≥≥
≤−
≤+
≥+
0;0

2
7
22
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx

c.
max574
21
→
−
+
=
xxf









≥≥

≤+
−≥+−
−≤−−
0;0
1
632
22
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx


Bài tập 1.16. Hãy tìm ñiều kiện của hàm mục tiêu trong bài toán sau ñể thu ñược:
a. Bài toán vô nghiệm.
b. Bài toán vô số nghiệm
21
3xxf
+
=









≥≥
≥+
≥+
≤−
0;0
93
35
632
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx

Bài tập 1.17. ðối với mỗi giá trị của tham số m ( m > 0) hãy tìm phương án tối ưu của bài toán
quy hoạch tuyến tính:

minxx)x(f
21
→
−
=


11






≥≥
≤+
≥
+
0x,0x
)2(2xmx
)1(3xx
21
21
21
`
Bài tập 1.18. Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

maxxx)x(f
21
→
+
=






≥≥
≤+
0x,0x
1bxax
21
21

Tìm tất cả các giá trị của các tham số a và b sao cho:
a. Tập phương án khác rỗng .
b. Bài toán ñã cho có phương án tối ưu.
c. Hàm mục tiêu không bị chặn.

12


CHƯƠNG 2
Phương pháp ñơn hình
Số tiết: 10 (Lý thuyết 9 ; bài tập, thảo luận: 1)

*) Mục tiêu. Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về cơ sở lý luận của
phương pháp ñơn hình; các thuật toán ñơn hình: Thuật toán gốc, thuật toán hai pha, một số vấn
ñề về bài toán suy biến.
2.1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp ñơn hình
2.1.1. Tư tưởng cơ bản của phương pháp ñơn hình
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:
min
x
c
f
t
→

=


}
0
x
;
b
Ax
{
D
≥
=
=
. (I)
Với các giả thiết:
mnn
Rb,Rc,Rx ∈∈∈
, A là ma trận cấp
n
m
×
, hạng (A) = m (m là số ràng
buộc của bài toán, nếu hệ phương trình Ax = b có nhiều hơn m ràng buộc thì ta cắt bỏ các
phương trình hệ quả của các phương trình còn lại, chỉ giữ lại m phương trình). Xuất phát từ một
phương án cực biên
0
x
của bài toán (I) ta ñánh giá
0

x
. Nếu
0
x
chưa phải là phương án tối ưu thì
cải tiến nó ñể chuyển sang một phương án cực biên mới và tốt hơn
01
xx ≠
(
)x(f)x(f
01
≤
).
Sau một số hữu hạn bước hoặc sẽ tìm ñược phương án cực biên tối ưu hoặc sẽ kết luận về tính
không giải ñược của bài toán.
2.1.2. Biểu diễn qua cơ sở. Dấu hiệu tối ưu
Giả sử
(
)
n,1j
j
00
xx
=
=
là ph
ươ
ng án c
ơ
s

ở
t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i c
ơ
s
ở

{
}
,
j
B
B a j J
= ∈
. Khi
ñ
ó,
m
ọ
i véc t
ơ
c
ộ
t
)Jk(a

B
k
∉

ñề
u có th
ể
khai tri
ể
n duy nh
ấ
t theo c
ơ
s
ở
này B nh
ư
sau:
∑
∈
=
B
Jj
j
jk
k
aza
,
)Jk(
B

∉
. Kí hiệu:
(
)
B
Jj
jkk
zz
∈
=
)Jk(
B
∉
là véc tơ hệ số khai triển của véc tơ cột
k
a
theo cơ sở B.
ðịnh lý 2.1. Nếu
0
x
là phương án cơ sở tương ứng với cơ sở
{
}
,
j
B
B a j J
= ∈
của bài
toán quy hoạch tuyến tính (I) thì với mọi phương án

(
)
Dxx
n,1j
j
∈
=
=
ta luôn có:

(
)
B
Jk
kjk
j
0
j
Jjxzxx
B
∈−=
∑
∉
;
(
)
(
)
∑
∉

∆−=
B
Jk
kk
0
xxfxf
(công thức số gia hàm mục tiêu)
trong ñó
∑
∈
−=∆
B
Jj
kjjkk
ccz
ñược gọi là véc tơ ước lượng của biến
k
x
(với
B
Jk ∈
thì
0
=
∆
k
).
ðịnh lý 2.2. ( Tiêu chuẩn tối ưu). Nếu ứng với phương án cực biên
0
x

của cơ sở B mà
0
k
≤
∆
)
J
k
(
∈
∀
thì
0
x
là phương án tối ưu của bài toán (I).

13

Chú ý : Bất ñẳng thức
0
k
≤
∆
)
J
k
(
∈
∀
chỉ là ñiều kiện ñủ, trong trường hợp

0
x
là
phương án cực biên không suy biến thì ñó cũng là ñiều kiện cần ñể
0
x
là phương án cực biên tối
ưu.
Hệ quả 1.
.
Nếu ứng với phương án cực biên v của cơ sở B mà
0
k
<
∆

)Jk(
B
∉
∀
thì v là
phương án tối ưu duy nhất của bài toán (I).
Hệ quả 2. Nếu ứng với phương án cực biên
0
x
của cơ sở B mà
0
k
=
∆

∃

)Jk(
B
∉
thì
0
x

là phương án tối ưu không duy nhất của bài toán.
2.1.3. Tìm phương án cực biên mới tốt hơn, công thức ñổi cơ sở
2.1.3.1. Dấu hiệu hàm mục tiêu không bị chặn trên tập phương án
ðịnh lý 2.3. Nếu ứng với phương án cực biên
0
x
của cơ sở B tồn tại một chỉ số
k
)Jk(
B
∉
ñể
0
k
>
∆
và
0z
k
≤
thì hàm mục tiêu của bài toán (I) không bị chặn dưới trên tập

phương án.
2.1.3.2. Tìm phương án cực biên mới tốt hơn, công thức ñổi cơ sở
Giả sử phương án
0
x
của cơ sở B không thoả mãn dấu hiệu tối ưu và dấu hiệu hàm mục
tiêu không bị chặn trên tập phương án. Ta chuyển sang phương án cực biên
(
)
n,1j
1
j
1
xx
=
=
của cơ
sở
1
B
như sau:






∈θ−
=θ
≠∉

=
Bjs
j
0
B
j
1
Jjkhizx
sjkhi
sj,Jjkhi0
x
(2.1)
ở ñó:
(
)
(
)
01
xfxf ≤
;
{
}
1
1
,
j
B
B a j J
= ∈
,

{
}
{
}
1
\ , ;
B B B B
J J r s s J r J
= ∪ ∉ ∈
là cơ sở ñược xây
dựng từ B theo thủ tục sau:
• Chọn véc tơ
s
a
ñưa vào cơ sở:
{
}
0,max
kks
>
∆
∆
=
∆
(2.2)
• Chọn véc tơ
r
a
ñưa ra khỏi cơ sở:
sr

r
0
js
js
j
0
x
x
0z,
z
x
min =










>
(2.3)
ðịnh lý 2.5. Phương án
1
x
ñược xác ñịnh theo công thức (2.1) là phương án cơ sở của
1
B

.
Công thức ñổi cơ sở. Trong cơ sở
1
B
ta kí hiệu các ước lượng của các véc tơ
1
B
k
Jk,a ∉
là
k
1
∆
và
(
)
11
BB
1
jk
1
k
Jk,Jj,zz ∉∈=
là véc tơ hệ số khai triển của véc tơ cột
k
a
theo cơ sở
1
B
. ðể

khảo sát vai trò của phương án
1
x
ñối với bài toán ta sẽ tính
k
1
∆
và
jk
1
z
. Ta có công thức ñổi cơ
sở như sau:







≠∈−
=
=
rj,Jjkhiz
z
z
z
sjkhi
z
z

z
Bjs
rs
rk
jk
rs
rk
jk
1
(2.4)
s
rs
rk
k
k
1
z
z
∆−∆=∆
. (2.5)


14

2.2. Thủ tục ñơn hình, bảng ñơn hình
2.2.1. Các bước của thủ tục ñơn hình
Bước 1. Tìm một phương án cực biên
0
x
và cơ sở B tương ứng. Tính các hệ số khai triển

jk
z
và các ước lượng
k
∆
.
Bước 2. Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:
• Nếu
k
∆
B
Jk0
∉
∀
≤
thì
0
x
là phương án tối ưu. Thuật toán kết thúc.
• Nếu
Bk
Jk,0
∉
>
∆
∃
thì chuyển sang bước 3.
Bước 3. Kiểm tra dấu hiệu hàm mục tiêu giảm vô hạn, cải tiến phương án.
Với mỗi
B

Jk
∉
mà
k
∆
> 0 ta kiểm tra các hệ số khai trển
jk
z
của cột
k
a
tương ứng:
• Nếu
Bk
Jk,0
∉
>
∆
∃
mà tất cả
Bjk
Jj0z
∈
∀
≤
thì kết luận hàm mục tiêu giảm vô hạn
trên miền ràng buộc. Bài toán không có lời giải hữu hạn, thuật toán kết thúc.
• Nếu với mọi
B
Jk

∉
mà
k
∆
> 0 ñều tồn tại ít nhất một hệ số
0z
jk
>
thì chuyển sang cơ
sở mới
{
}
1
1
,
j
B
B a j J
= ∈
,
{
}
{
}
1
\ , ;
B B B B
J J r s s J r J
= ∪ ∉ ∈
với phương án cực biên

1
x
theo
qui tắc (2.1), (2.2) và (2.3).
Bước 4. Tính các
1
jk
1
k
11
j
z,),x(f,x ∆
trong cơ sở
1
B
theo công thức ñổi cơ sở và quay trở lại bước 2.
2.2.2. Tính hữu hạn của thuật toán
2.2.2.1. Tính hữu hạn của thuật toán
ðịnh nghĩa 2.1. Bài toán QHTT ñược gọi là không suy biến (không thoái hoá) nếu như tất
cả các phương án cơ sở chấp nhận ñược của nó là không suy biến. Trong trường hợp ngược lại
thì bài toán ñược gọi là suy biến.
ðịnh lý 2.6. Giả sử bài toán QHTT là không suy biến và có phương án tối ưu. Khi ñó với
mọi phương án cơ sở chấp nhận ñược xuất phát thuật toán ñơn hình là hữu hạn ( thuật toán kết
thúc sau một số hữu hạn phép tính).
2.2.2.2. Hiện tượng xoay vòng
Nếu bài toán QHTT suy biến thì có khả năng ở một bước nào ñó thuật toán sẽ làm việc với
một cơ sở chấp nhận ñược suy biến và khi chọn dòng xoay có thể gặp phải tình huống
0
=
θ

,
trong trường hợp này khi chuyển sang phương án cơ sở chấp nhận ñược tiếp theo giá trị hàm
mục tiêu sẽ không thay ñổi. Hơn nữa, tình huống trên có thể lặp lại nhiều lần và tình huống xấu
hơn nữa là sau một số lần như vậy thuật toán lại quay trở về với một cơ sở trước ñó ñã xét qua.
Khi ñó nếu vẫn giữ nguyên cách chọn dòng xoay, cột xoay thì chu trình này sẽ lặp lại vô hạn lần.
Hiện tượng nói trên ñược gọi là hiện tượng xoay vòng. Một trong những hướng khắc phục hiện
tượng này là sử dụng các cách chọn dòng xoay, cột xoay sao cho trong quá trình thực hiện thuật
toán không có cơ sở nào bị lặp lại.
2.2.3. Bảng ñơn hình
2.2.3.1. Lập bảng ñơn hình xuất phát

15

Không giảm tổng quát, ta giả thiết rằng ñã biết cơ sở xuất phát
{
}
,
j
B
B a j J
= ∈
,
{
}
(
)
m, ,2,1J
B
=

và
0
( )
jk k B
x j J
∈
là thành phần thứ k của véc tơ
1
B b
−
(khi viết trong phép toán ma trận thì coi ma
trận
(
)
,
j
B
B a j J
= ∈
). Khi ñó ràng buộc Ax = b có thể ñưa về dạng:
(
)
1 1 0
k
k B
j
j J
B Ax B b x
− −
∈

= =

Ta kí hiệu
1
H B A
−
=
thì ma trận H có dạng sau:
(
)
1 1 1 1
, ,
n
H B A B a B a
− − −
= =

(
)
n
1j
j
z
=
=
. Các dữ kiện về phương án, các ước lượng
k
∆
của các
véc tơ

k
a
,véc tơ hệ số khai triển của
k
a
theo cơ sở B ñược sắp xếp vào bảng dưới ñây:

1
c

2
c


m
c

1m
c
+


k
c


s
c

n
c

j
c

( )
B
j J
∈

Cơ
sở
Phương
án
1
z

2
z


m
z

1m
z
+

k
z


s
z


n
z

Ghi
chú
1
c

1
a

0
1
x

1 0 0
1m1
z
+


k1

z


s1
z


n1
z


2
c

2
a

0
2
x

0 1 0
1m2
z
+


k2
z

s2
z


n2
z



j
c


a
j
0
j
x

0 0 0
1jm
z
+


jk
z

js
z


jn
z



r
c

r
a

0
r
x

0 0 0
1mr
z
+


kr
z


sr

z


rnr
z



m
c

m
a

0
m
x

0 0 1
1mm
z
+


mk
z


ms
z

mn
z



k
∆

1
∆

2
∆


m
∆

1m
+
∆


k
∆


s

∆


n
∆



2.2.3.2. Thực hiện phép biến ñổi bảng chuyển từ cơ sở cũ sang phương án cơ sở mới.
Trong bảng ñơn hình cũ: Cột ứng với véc tơ ñưa vào (
s
a
) ñược gọi là cột xoay, hàng ứng
với véc tơ ñưa ra (
r
a
) ñược gọi là hàng xoay, phần tử
sr
z
ñược gọi là phần tử xoay.
Bảng ñơn hình mới có ñược từ bảng ñơn hình cũ theo các công thức ñổi cơ sở sau khi chọn
ẩn vào, ra (ñược cụ thể hoá bằng lời) như sau:
 Trong cột cơ sở: thay
r
a
bằng
s
a
.
 Trong cột

j
c
( )
B
j J
∈
: thay
r
c
bằng
s
c
.
 Chia các phần tử của hàng xoay (hàng r của bảng 1) cho phần tử xoay
sr
z
ta ñược hàng s
của bảng mới ( hàng này ñược gọi là hàng chuẩn).
 Mỗi phần tử khác ngoài hàng xoay trừ ñi tích của phần tử cùng hàng với nó trên cột xoay
với phần tử cùng cột với nó trên hàng chuẩn ñược phần tử cùng vị trí trong bảng ñơn hình mới.
Chú ý khi thực hiện thuật toán:

16

 Có thể ñưa bất kỳ véc tơ nào ứng với
0
k
>
∆
vào cơ sở cũng ñều cải tiến ñược phương án.

Một số nguyên tắc chọn cột xoay khác thường dùng là nguyên tắc ngẫu nhiên, nguyên tắc chỉ số nhỏ
nhất, nguyên tắc giảm nhiều nhất (là nguyên tắc chọn cột xoay
s
a
ứng với giá trị
s
∆
θ
lớn nhất) .
 ðối với bài toán có hàm mục tiêu dần ñến max có thể giải trực tiếp bằng thuật toán tương
ứng (Giữ nguyên hệ số hàm mục tiêu, chọn véc tơ ñưa vào:
{
}
0,mina
jj
s
<∆∆=
, chọn véc tơ ñưa
ra theo nguyên tắc cũ, tiêu chuẩn tối ưu:
j,0
j
∀
≥
∆
) hoặc chuyển về bài toán min.
2.3. Thuật toán ñơn hình ñối với bài toán chuẩn
Chuyển về bài toán QHTT dạng chuẩn tắc ñể sử dụng thuật toán ñơn hình.
2.4. Giải bài toán QHTT tổng quát, phương pháp hai pha, phương pháp bài toán M
2.4.1. Thuật toán ñơn hình hai pha
Thuật toán ñơn hình hai pha ñược sử dụng khi các giả thiết ñể sử dụng thuật toán ñơn hình

gốc chưa ñầy ñủ (về tính tương thích của hệ ràng buộc, hạng của ma trân A, sự tồn tại phương án
cực biên của bài toán (I))
Nội dung thuật toán:
Xây dựng và giải bài toán phụ của bài toán (I):
minxe
u
t
→
;
0x,0x,bxAx
uu
≥
≥
=
+
(II)
Trong ñó:

(
)
mn2n1nu
x, ,x,xx
+++
=
(viết gọn:
(
)
,Jxx
uu
=

{
}
mn, ,2n,1nJ
u
+
+
+
=
) là ma trận biến
giả,
(
)
1, ,1,1e
=
là ma trận có các thành phần ñều bằng 1.
Bổ ñề 2.1. Bài toán (I) có phương án chấp nhận ñược khi và chỉ khi thành phần
*
u
x
trong
phương án tối ưu
)x,x(
*
u
*
của bài toán (II) là bằng không.
ðối với bài toán (II) ta có ngay một cơ sở:
{
}
,

j
u
B a j J
= ∈
với phương án cơ sở chấp nhận
ñược
(
)
(
)
b,0x,x
u
=
.
Quá trình giải bài toán (II) gọi là pha thứ nhất trong phương pháp hai pha. Kết thúc pha thứ
nhất ta sẽ xây dựng ñược phương án cơ sở chấp nhận ñược tối ưu
)x,x(
*
u
*
của cơ sở
{
}
*
*
,
j
B
B a j J
= ∈

.
Nếu
0x
*
u
≠
thì bài toán (I) không có phương án tối ưu, thuật toán kết thúc.
Nếu
0x
*
u
=
thì có thể xảy ra một trong hai tình huống sau:
Tình huống 1
{
}
*
*
,
j
B
B a j J
= ∈
,
φ
=
∩
u
B
JJ

*
. Khi ñó
*
x
là phương án cơ sở chấp nhận ñược của bài toán (I).
Từ cơ sở này ta tiến hành thuật toán ñơn hình 2 giải bài toán (I) (pha thứ 2).
Tình huống 2
{
}
*
*
,
j
B
B a j J
= ∈
,
φ
≠
∩
u
B
JJ
*
. Kí hiệu
u
B
*i
JJi,x
*

*
∩
∈
là một thành phần biến giả trong
phương án cơ sở chấp nhận ñược tối ưu
)x,x(
*
u
*
của bài toán (II).

17

Nếu tìm ñược chỉ số
*
B
*
J\Jj
∈
sao cho
0z
**
ji
≠
thì thay
*
i
a
bởi
*

j
a
và tìm ñược cơ sở
{
}
{
}
* *
1
* *
\
i j
B B a a
= ∪
, tiếp tục pha thứ hai giải bài toán.
Nếu
0z
ji
*
=

*
B
J\Jj
∈
∀
thì ràng buộc tương ứng với nó trong hệ phương trình tuyến tính
Ax = b là hệ quả của các phương trình còn lại khi ñó ta xoá véc tơ
*
i

a
trong
*
B
mà không cần
thay thế nó bằng véc tơ nào. Tiếp tục xử lý như trên sẽ thu ñược một cơ sở tối ưu như trong tình
huống 1 và chuyển sang pha 2.
2.4.2. Phương pháp ñánh thuế (Phương pháp hàm phạt hay phương pháp thuật toán M )
Phương pháp này là một trong số những phương pháp kết hợp hai pha của phương pháp
hai pha.
Nội dung phương pháp: Xây dựng bài toán sau ( gọi là bài toán M )

∑ ∑
= =
+
→+
n
1j
m
1i
injj
minxMxc


m,1i,bxxa
i
n
1j
injij
==+

∑
=
+
; (III)

mn,1j,0x
j
+=≥
.

Trong ñó ký hiệu M ñể chỉ một số dương vô cùng lớn, lớn hơn bất cứ số cụ thể nào mà ta
cần phải so sánh với nó, các biến
m,1i,x
in
=
+
gọi là các biến giả, kí hiệu
u
x
là véc tơ các biến
giả. áp dụng thuật toán ñơn hình ñối với bài toán (III) bắt ñầu từ phương án cơ sở chấp nhận ñược:
(
)
m,1i,bx;n,1j,0x
iinj
====
+
cơ sở tương ứng là ma trận ñơn vị cấp m.
Khi tính các ước lượng
j

∆
trong thực hiện thuật toán ta viết nó dưới dạng:
jjj
M
β
+
α
=
∆
,
dòng ước lượng sẽ chia thành hai dòng: một dòng chứa hệ số
j
α
, một dòng chứa hệ số
j
β
. ðể
xét dấu của
j
∆
và so sánh chúng với nhau ta sử dụng quy tắc sau:
•
0
j
>
∆
nếu hoặc là
0
j
>

β
còn
j
α
là tuỳ ý, hoặc là
0=
j
β
và
0>
j
α
.
•
qp
∆
>
∆
nếu hoặc là
qp
β
>
β
còn
qp
,
α
α
là tuỳ ý, hoặc là
qp

β
=
β
và
qp
α
>
α
.
Kết thúc thuật toán ñơn hình giải bài toán (III) ta ñi tới một trong các khả năng sau:
• Thu ñựơc phương án tối ưu
)x,x(
*
u
*
với
0x
*
u
=
. Khi ñó
*
x
là phương án tối ưu của bài
toán xuất phát.
• Thu ñựơc phương án tối ưu
)x,x(
*
u
*

với
0x
*
u
≠
. Khi ñó bài toán xuất phát không có
phương án chấp nhận ñược nên vô nghiệm.
• Nếu bài toán (III) không có phương án tối ưu thì bài toán (I) cũng không có phương án tối ưu.
2.5. Vấn ñề bài toán suy biến
- Bài toán có phương án cực biên xuất phát là suy biến (số thành phần dương của phương án ít
hơn số véc tơ trong cơ sở của phương án cực biên) (xem thêm 2.2.2.2.)
*) Tài liệu học tập: [1]; [2]; [3]; [6].
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận:

18


Bài tập 2.1. Giả sử
x
là một ñiểm của tập
{
}
m,1i,bxa:RxX
ii
n
=≥∈=
(trong ñó
i
a
là ma trận

dòng thứ i của ma trận A cấp m.n). Khi ñó ñể
x
là ñiểm cực biên của X ñiều kiện cần và ñủ là:
x
thoả mãn với dấu bằng ñối với n bất phương trình ñộc lập tuyến tính trong m bất phương trình
m,1i,bxa
ii
=≥
.
Bài tập 2.2. Cho bài toán với tham số t:

maxx5x2x3f
321
→
+
+
=









=≥
−≤+
+≤+
−≤++

3,1j,0x
t730x4x
t260x2x3
t40xx2x
j
21
31
321

Tìm ñiều kiện cần và ñủ về tham số t ñể bài toán ñã cho có tập phương án khác rỗng.
Bài tập 2.3. Giải các bài toán sau bằng phương pháp ñơn hình:
a)
minx5x6x4f
651
→
−
−
=










=≥
=++

=−−+
=−−+
6,1j,0x
4xxx
0x
6
1
xx
2
1
x
0xx2x
3
1
x
j
653
6542
6541

Với phương án cực biên của cơ sở
(
)
1 2 3
, ,
a a a
.
b)
maxx3xx2x5x4x5f
654321

→
−
−
−
−
−
−
=








=≥
=++
=+++
=+++
6,1j,0x
21xxx3
38xx3x2x4
46xx3x4x2
j
631
5321
4321

Chứng minh tính không duy nhất của phương án tối ưu và tìm

tập tất cả các phương án tối ưu của bài toán.
c)
maxx3x4xf
321
→
+
+
−
=








=≥
≤−+
≤+−
≤−+
3,1j,0x
12xx2x
8x2x4
16x2xx2
j
321
31
321

Bài tập 2.4. Cho bài toán:

maxx5x7xx3f
4321
→
−
−
−
=


19








=≥
≥−−+
−=++−−
≤+−+
4,1j,0x
25xxx3x2
5x3xxx
37xx3x2x
j
4321

4321
4321

a. Chứng minh rằng
(
)
3,0,0,14x
0
=
là phương án cực biên của bài toán, sử dụng phương án này
giải bài toán bằng thuật toán ñơn hình.
b. Có kết luận gì khi hàm mục tiêu của bài toán là max, khi ñó hãy xác ñịnh một phương án có
thành phần
0x
4
>
và f(x) = -25.
Bài tập 2.5. Cho bài toán:

minxxxcxcxcxcf
6544332211
→
+
+
+
+
+
=









=≥
−=+−+−+−
−=−++−+−
=+−−+−
6,1j,0x
15xxx2xx4x2
45x2x5x21x9x6x4
14xx2x7x3xx
j
654321
654321
654321

và phương án cực biên
(
)
16,7,0,0,0,12x
0
=
.
a. Biết
0c
1
=

, hãy xác ñịnh những thành phần còn lại của véc tơ c ñể
0
x
là phương án tối ưu.
b. Tìm ñiều kiện ñối với véc tơ c ñể
0
x
là phương án tối ưu duy nhất.
Bài tập 2.6. Cho bài toán với tham số t:

mintxxxf
431
→
−
+
=

( )
( )







=≥
=−+
=+−++
=+−++−

5,1j,0x
4x1tx
14x2xt1x8x2
9x4tx2x12xx
j
41
5431
54321

a. Biết rằng
0
x
là một phương án cực biên ứng với cơ sở
(
)
1 2 5
, ,
a a a
. Hãy lập bảng ñơn
hình ứng với
0
x
. Tìm t ñể
0
x
là phương án tối ưu.
b. Giải bài toán khi t =1 và t=3.

Bài tập 2.7. Giải và biện luận bài toán sau theo tham số m:
minxmxx2f

321
→
+
+
=








=≥
≤+−−
≤+−
≤−+
3,1j,0x
2xx5x
3xx8x2
1x2x8x6
j
321
321
321

Bài tập 2.8. Giải các bài toán sau ñây bằng phương pháp ñơn hình hai pha.
a)
minx5xx2xf
4321

→
−
+
−
=


20








=≥
=+−
=+−−
=−−
4,1j,0x
52x2xx2
20xxxx
15xx2x
j
431
4321
321

b)

maxxxxx3f
4321
→
−
−
+
−
=








=≥
=+++
=−+−
=+−+
4,1,0
12
182
10
4321
4321
4321
jx
xxxx
xxxx

xxxx
j

c)
minxx3xx2f
4321
→
+
+
−
=








=≥
−=−+−
=+−+
=++−
4,1j,0x
2xx2x2x
10x2xxx
8xxxx2
j
4321
4321

4321

d)
min2452
4321
→
+
−
+
=
xxxxf








=≥
=+−−
=−+−
=+−+
4,1j,0x
20xxxx2
4xxx2x
16x2xxx
j
4321
4321

4321

Bài tập 2.9. Giải các bài toán sau ñây bằng phương pháp thuật toán M.

a)
minxx2xf
421
→
−
−
=








=≥
=+−+
=−−+
=+−
4,1j,0x
48x2x2x2x
60xx3xx2
24xxx
j
4321
4321

421

b)
maxxx2x3xf
4321
→
+
−
+
−
=







=≥
=−−−
=++−
4,1j,0x
5xxxx2
2xx2xx
j
4321
4321

c)
minx3xxxf

4321
→
+
−
+
=








=≥
−=−+−
=++−
=+++
4,1j,0x
36xxxx2
20xxxx
24xxxx
j
4321
4321
4321

d)
min432
4321

→
+
+
−
=
xxxxf


21








=≥
=+++
−=−+−
=−++
4,1j,0x
12xxxx
12xx2xx
10xxxx
j
4321
4321
4321

Bài tập 2.10. Cho bài toán:

(
)
(
)
minx3xt2xt1x6x3x8f
654321
→
−
+
−
−
+
−
−
−
−
−
=











=≥
≤−++
≤−+−−
=++−++−
=+−+
6,1j,0x
23xx32xx2
0x12x2x2x35
24x3x21xxxx23
90x3x2x6x5
j
5431
6431
654321
5431

a. Giải bài toán bằng thuật toán ñơn hình với
5
t
≥
.
b. Xác ñịnh t và phương án tối ưu tương ứng ñể giá trị của hàm mục tiêu
bằng 39.
c. Có kết luận gì khi t < 1.

22


CHƯƠNG 3
Các bài toán ñối ngẫu
Số tiết: 7 (Lý thuyết 6; bài tập, thảo luận: 1)

*) Mục tiêu. Cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về lý thuyết ñối ngẫu,
nguyên tắc thiết lập bài toán ñối ngẫu, các ñịnh lý ñối ngẫu và ứng dụng, thuật toán ñơn hình ñối
ngẫu.

3.1. Khái niệm về các bài toán ñối ngẫu
3.1.1. Nguyên tắc thiết lập bài toán ñối ngẫu
3.1.1.1. Bài toán ñối ngẫu của bài toán QHTT dạng chuẩn tắc


Bài toán gốc (P) Bài toán ñối ngẫu (Q)
0
x
bAx
minxcf
t
≥
≥
→=

0y
cyA
maxybg
t
t
≥
≤
→=


3.1.1.2. Bài toán ñối ngẫu của bài toán QHTT dạng chính tắc
Bài toán gốc (P) Bài toán ñối ngẫu (Q)

0
x

bAx
minxcf
t
≥
=
→=


maxybg
t
→=

cyA
t
≤

y <=> 0


3.1.1.3. Bài toán ñối ngẫucủa bài toán QHTT dạng tổng quát
Bài toán gốc (P) Tập chỉ số Bài toán ñối ngẫu (Q)
min
x
c
f
t
→
=

maxybg
t
→=

ii
bxa =

I
i
∈

i
y
<=>0.
ii
bxa ≥

I
i
′
∈

0y
i
≥

0x
j
≥

J
j
∈

j
jt
cay ≤

0
<=>
j
x

Jj
′
∈

j
jt
cay =


Trong ñó: (
{
}
m, 2,1MII
=
=
′
∪

;
φ
=
′
∩
II
;
{
}
n, 2,1NJJ
=
=
′
∪
;

φ
=
′
∩
JJ
).
3.1.2. Các dạng bài toán ñối ngẫu

23

Tương ứng với các bài toán QHTT chuẩn tắc, bài toán QHTT chính tắc, bài toán QHTT
tổng quát ta có các dạng bài toán ñối ngẫu: Bài toán ñối ngẫu ñối xứng, bài toán ñối ngẫu không
ñối xứng, bài toán ñối ngẫu dạng hỗn hợp.
3.2. Các ñịnh lý ñối ngẫu và ứng dụng

3.2.1. Quan hệ giữa cặp bài toán ñối ngẫu
ðịnh lý 3.1. Giả sử
{
}
y,x
tương ứng là cặp phương án chấp nhận ñược của bài toán gốc
và ñối ngẫu, khi ñó ta có:
ybxc
tt
≥
.
Hệ quả. Giả sử
{
}
**
y,x
tương ứng là cặp phương án chấp nhận ñược của bài toán gốc và
ñối ngẫu ñồng thời thoả mãn
*t*t
ybxc =
. Khi ñó
{
}
**
y,x
là cặp phương án tối ưu của bài toán
gốc và ñối ngẫu.
3.2.2. ðịnh lý ñối ngẫu
ðịnh lý 3.2 (ñịnh lý ñối ngẫu) Nếu bài toán gốc (P) có phương án tối ưu thì bài toán ñối
ngẫu (Q) của nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng bằng nhau.

Hệ quả 1. ðiều kiện cần và ñủ ñể cặp bài toán gốc - ñối ngẫu giải ñược là mỗi bài toán có
ít nhất một phương án chấp nhận ñược.
Hệ quả 2. ðiều kiện cần và ñủ ñể một bài toán có phương án chấp nhận ñược còn một bài
toán không có phương án chấp nhận ñựơc là trị số của hàm mục tiêu của bài toán có phương án
chấp nhận ñựơc không bị chặn trên tập phương án của nó.
Nhận xét: ðối với một cặp bài toán gốc - ñối ngẫu chỉ xảy ra một trong 3 trường hợp:
1. Cả hai bài toán không có phương án, hiển nhiên cả hai không giải ñược.
2. Cả hai bài toán có phương án thì cả hai giải ñược và giá trị của hai bài toán tại phương án
tối ưu của chúng bằng nhau.
3. Một bài toán có phương án, một bài toán không có phương án, khi ñó trị số hàm mục tiêu của bài
toán có phương án không bị chặn trên tập phương án ñó.
ðịnh lý 3.3.(ðịnh lý bù yếu). Giả sử
n
Rx ∈
là phương án của bài toán gốc (P),
m
Ry ∈
là
phương án của bài toán ñối ngẫu (Q). Khi ñó ñiều kiện cần và ñủ ñể x và y tương ứng là phương
án tối ưu của các bài toán gốc và ñối ngẫu là các ñiều kiện sau ñồng thời ñược thoả mãn:

i,0ybxa
i
n
1j
ijij
∀=









−
∑
=
;
j,0xyac
j
m
1i
iijj
∀=








−
∑
=
.
3.3. Phương pháp ñơn hình ñối ngẫu
3.3.1. Cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu
3.3.1.1. Cơ sở chấp nhận ñược gốc

Xét bài toán g
ốc (P) dạng chính tắc .
ðịnh nghĩa 3.1: Ta gọi cơ sở B là chấp nhận ñược gốc nếu phương án cơ s
ở
tương ứng với nó là chấp nhận ñược của bài toán gốc ( tức là:
1
0
B b
−
≥
). Nếu phương án cơ sở
tương ứng với B là tối ưu thì B sẽ ñược gọi là cơ sở tối ưu.
3.3.1.2. Cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu
Xét bài toán ñối ngẫu (Q) của bài toán (P):

24

ðịnh nghĩa 3.2. Ta gọi phương án cơ sở ñối ngẫu tương ứng với cơ sở B là véc tơ y thu
ñược bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính:
t
J
B
B y c
=
(tức là:
1
( )
t
J
B

y B c
−
=
). Cơ sở B
ñược gọi là cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu nếu phương án cơ sở ñối ngẫu ứng với nó là phương
án chấp nhận ñược của bài toán ñối ngẫu.
3.3.1.3. Giả phương án
ðịnh nghĩa 3.3. Phương án
(
)
(
)
(
)
1
, 0
j J j
j J j J
B B
x x x B b x
−
∈ ∉
= = = =
với B là cơ sở
ñối ngẫu ñược gọi là giả phương án của bài toán gốc ứng với cơ sở B;
Bj
Jj,x
∈
ñược gọi là
thành phần cơ sở của giả phương án,

Bk
Jk,x
∉
là các thành phần phi cơ sở.
Nhận xét:
1. Nếu
B
J
là cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu thì trong bài toán gốc ta luôn có:
Bj
Jj,0
∉
≤
∆
và
Bj
Jj,0
∈
=
∆
.
2. Cơ sở B vừa là cơ sở chấp nhận ñược gốc vừa là cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu thì nó là
cơ sở tối ưu của bài toán gốc.
3.3.2. Thủ tục ñơn hình ñối ngẫu khi biết cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu
Giả sử B là một cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu, ta xây dựng bảng ñơn hình ñối ngẫu
tương ứng với cơ sở B (bảng này giống bảng ñơn hình gốc ứng với cơ sở B ngoại trừ cột phương
án ñược thay bằng cột giả phương án). Sử dụng bảng này ta tiến hành thuật toán theo các thủ tục
sau:
Bước 1. Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu: Cơ sở ñang xét là tối ưu nếu mọi thành phần
j

x
của
cột giả phương án ñều không âm, thuật toán kết thúc. Nếu ngược lại thì chuyển sang bước 2.
Bước 2. Kiểm tra tính tương thích của bài toán gốc, cải tiến phương án.
• Nếu
B
Jj
∈
∃
sao cho
0x
j
<
mà
n,1k0z
jk
=∀≥
thì bài toán gốc (P) không có phương án
và sẽ không có phương án tối ưu.
• Nếu
B
Jj
∈
∀
ở ñó
0x
j
<
ñều tìm ñược ít nhất một phần tử
0z

jk
<
khi ñó ta chuyển
sang cơ sở ñối ngẫu mới
1
B
với
{
}
{
}
1
\ , ( , )
B B B B
J J r s r J s J
= ∪ ∈ ∉
như sau:
*Véc tơ
r
a
ñược ñưa ra khỏi cơ sở khi
{
}
0x,Jj,xminx
jBjr
<
∈
=

*Véc tơ

s
a
ñược ñưa vào cơ sở khi










<
∆
=
∆
=θ 0z,
z
min
z
rj
rj
j
rs
s
(
n,1j =∀
). (Dòng r ñược
gọi là dòng xoay, cột s ñược gọi là cột xoay,

sr
z
là phần tử xoay).
• Áp dụng các qui tắc chuyển bảng như trong thuật toán ñơn hình ñể ñi ñến kết thúc.
3.3.3. Thuật toán ñơn hình ñối ngẫu khi chưa biết cơ sở chấp nhận ñược ñối ngẫu
Không giảm tổng quát, ta giả thiết rằng hạng A = m và luôn có thể tìm ñược một cơ sở
(
)
1 2
, , ,
m
B a a a
=
của ma trận A ( chẳng hạn bằng các phương pháp của ñại số tuyến tính) trong
ñó B không phải là chấp nhận ñược ñối ngẫu (có thể nó cũng không là chấp nhận ñược gốc).

25

Xut phỏt t tỡnh hung ny ta ủi tỡm mt c s ủi ngu. a thờm vo mt bin gi
0x
0


vi h s hm mc tiờn bng 0 v thờm vo h rng buc ca bi toỏn xut phỏt mt rng buc
gi v coi ch s dũng l i = 0:
Mx xx
n1m0
=
+
+

+
+

Trong ủú
(
)
n2m1m
x, ,x,x
++
l vộc t cỏc bin phi c s cũn M l mt s dng ln hn
bt k s c th no cn so sỏnh vi nú. Bi toỏn thu ủc s ủc gi l bi toỏn m rng. i
vi bi toỏn ny ta cú ngay mt c s
(
)
0 1 2
, , , ,
m
B a a a a
=
. Xõy dng bng ủn hỡnh tng ng
vi c s
B
ging nh trng hp cú sn c s ủn v. Kt thỳc thut toỏn ta cú th gp mt
trong cỏc tỡnh hung sau:
Bi toỏn m rng vụ nghim khi ủú bi toỏn ban ủu cng vụ nghim.
Bi toỏn m rng cú phng ỏn ti u
(
)
*
n

*
1
*
0
x, ,x,x
v
0
x
l mt bin c s, khi ủú giỏ
tr hm mc tiờu khụng ph thuc M nờn
(
)
*
n
*
1
*
0
x, ,x,x
l phng ỏn ti u ca bi toỏn
ban ủu.
Bi toỏn m rng cú phng ỏn ti u
(
)
*
n
*
1
*
0

x, ,x,x
v
0
x
l mt bin phi c s, khi ủú
cỏc bin c s s ph thuc M. Cú hai kh nng sau:
Mt l: Giỏ tr hm mc tiờu ca bi toỏn m rng ph thuc M, khi ủú
(
)
+



MkhixF
suy ra bi toỏn ban ủu khụng cú phng ỏn ti u.
Hai l: Giỏ tr ti u ca bi toỏn m rng khụng ph thuc M, khi ủú bi toỏn ban ủu
cú phng ỏn ti u m ta cú th thu ủc t phng ỏn ti u ca bi toỏn m rng bng cỏch
loi b
0
x
v gim dn giỏ tr ca M cho ủn khi trit tiờu giỏ tr ca mt bin c s no ủú
trong bi toỏn m rng.
Chỳ ý khi thc hin thut toỏn:
V nguyờn tc, cú th loi khi c s bt k vộc t no ng vi
0x
j
<
cng ci tin ủc
phng ỏn ca bi toỏn ủi ngu.
i vi bi toỏn cú hm mc tiờu dn ủn max cú th gii trc tip vi du hiu c s

ủi ngu tng ng l c s B m
Bj
Jj,0




v

tớnh theo cụng thc:










<

= 0z,
z
min
rj
rj
j
(cỏc yu t khỏc ca thut toỏn khụng ủi) hoc chuyn v bi
toỏn min.

3.4. Tìm nghiệm của một cặp bài toán đối ngẫu bằng giải hệ phơng trình tuyến tính
T cỏc tớnh cht ca cp bi toỏn ủi ngu,vic gii bi toỏn gc ủi ngu cú th ủa v
vic gii h phng trỡnh v bt phng trỡnh sau ủõy :

; 0
; 0
AX b X
YA C Y
CX Yb






=



*) Ti liu hc tp: [3]; [1];[2].
*) Cõu hi, bi tp, ni dung ụn tp v tho lun