phương pháp và bài tập quan hệ vuông góc hình 11

Hình học 11 Ôn tập chương III

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC HÌNH 11
• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau :

( )
·
0
; 90a b a b
⊥ ⇔ =
.

/ /b c
a b
a c

⇒ ⊥

⊥

.

0a b a b⊥ ⇔ × =
uur uur
.Nếu
,a b
uur uur
lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
vàa b

 Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất

đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc .

( )
( )
a
a b
b
α
α
⊥

⇒ ⊥

⊂

;

/ /a
b a
b
α
α

⇒ ⊥

⊥


( )
'

'
a hch a
b b a
b a
α
α
=


⊂ ⇒ ⊥


⊥

;
( )
'
'
a hch a
b b a
b a
α
α
=


⊂ ⇒ ⊥


⊥


.
•
;ABC a AB
a BC
a AC
∆ ⊥

⇒ ⊥

⊥

• Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ
quả sau :

a
α
⊥

a b
α
⇔ ⊥ ∀ ⊂

a b
a c a
b c O
α
α α
⊥ ⊂



⊥ ⊂ ⇒ ⊥


∩ =

.

/ /a b a
α α
⊥ ⇒ ⊥
.

/ / a a
α β α
⊥ ⇒ ⊥
.

( ) { }
|AB M MA MB
α
⊥ = =
(
α
là mặt phẳng trung trực của AB).

( )
( )
ABC
MA MB MC MO

OA OB OC
α
α
∆ ⊂


= = ⇒ ⊥


= =

.

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
P Q
a P a Q
a c P Q
⊥ 

⊂ ⇒ ⊥


⊥ = ∩


( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( )
P R
Q R a R
P Q a
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ôn tập chương III

• Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả
sau :

( ) ( ) ( ) ( )
·
(
)
0
, 90P Q P Q⊥ ⇔ =

( )
( )
( ) ( )
P a

P Q
a Q
⊃ 

⇒ ⊥

⊥



( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/ /
R Q
P Q
P R
⊥ 

⇒ ⊥



.
• Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Cách 1: (theo phương pháp hình học)
• Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng
lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho
• Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O .

• Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính .
 Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)
• Tìm
1 2
,u u
uur uur
lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
( ) ( )
1 2
àv∆ ∆

• Khi đó
( )
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
cos , cos ,
u u
u u
u u
×
∆ ∆ = =
×
uur uur
uur uur
uur uur
.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp :


( )
·
( )
0
, 90a a
α α
⊥ ⇒ =
;

( )
·
0
/ /
, 0
a
a
a
α
α
α

⇒ =

⊂

;

( )
·

( )
( )
·
, , '
'
a
a a a
a hch a
α
α
α
⊥ 

⇒ =

=


o Để tìm
'a hch a
α
=
ta lấy tùy ý điểm
M a∈
, dựng
( )
MH
α
⊥
tại H , suy ra

( )
( )
' ,hch a a AH A a
α
α
= = = ∩
·
( )
·
,a MAH
α
⇒ =

• Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp :
 Cách 1 : Dùng định nghĩa :

( ) ( )
·
(
)
¶
( )
, ,P Q a b=
trong đó :
( )
( )
a P
b Q
⊥ 



⊥


 Cách 2 : Dùng nhận xét :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
( )
, ,
R P Q
R P p P Q p q
R Q q
⊥ ∆ = ∩ 

∩ = ⇒ =


∩ =

.
Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ôn tập chương III

 Cách 3 : Dùng hệ quả :
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
,
P
M Q
H hch M P Q MNH
HN m P Q
∈


= ⇒ =


⊥ = ∩

.
• Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ
điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :
 Cách 1 :
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
 Xác định
( ) ( )

m P Q= ∩
.
 Dựng
( ) ( )
MH m P Q⊥ = ∩
,

( )
MH P⇒ ⊥
suy ra MH là đoạn cần tìm .
 Cách 2: Dựng
( ) ( )
/ /MH d
α
⊥
o Chú ý :
 Nếu
( ) ( )
( )
( )
( )
/ / , ,MA d M d A
α α α
⇒ =
.
 Nếu
( )
MA I
α
∩ =

( )
( )
( )
( )
,
,
d M
IM
d A IA
α
α
⇒ =
• Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
 Khi
( )
( )
( )
( )
, 0
a P
d a P
a P
∩
⇒ =

⊂


.
 Khi

( )
/ /a P


( )
( )
( )
( )
, ,d a P d A P⇒ =
với
( )
A P∈
.
• Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
 Khi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
, 0
P Q
d P Q
P Q
∩
⇒ =

≡


.

 Khi
( ) ( )
/ /P Q
( ) ( )
( )
( )
( )
, ,d P Q d M Q⇒ =

với
( )
A P∈
.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
 Khi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
'
, ' 0
'
d
∆ ∩ ∆
⇒ ∆ ∆ =

∆ ≡ ∆


.

 Khi
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
/ / ' , ' , ' ,d d M d N∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ∆ = ∆
với
( ) ( )
, 'M N∈ ∆ ∈ ∆
.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ôn tập chương III

• Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
( )
∆
và
( )
'∆
là đường thẳng
( )
a
cắt
( )
∆
ở
M

và cắt
( )
'∆
ở
N
đồng thời vuông góc với cả
( )
∆
và
( )
'∆
.
• Đoạn
MN
được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau
( )
∆
và
( )
'∆
.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đườngthẳng đó .
Phương pháp :
 Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến
mp(P) .
 Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .
 Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .

Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
 Cách 1: Khi
a b⊥
• Dựng một
( ) ( )
,mp P b P a⊃ ⊥
tại H .
• Trong (P) dựng
HK b⊥
tại K .
• Đoạn HK là đoạn vuông góc
chung của a và b .
 Cách 2:
• Dựng
( ) ( )
, / /P b P a⊃
.
• Dựng
( )
'
P
a hch a=
, bằng cách lấy
M a∈
dựng đoạn
( )
MN
α
⊥
, lúc đó a’ là

đường thẳng đi qua N và song song a .
• Gọi
'H a b= ∩
, dựng
/ /HK MN

HK⇒
là đoạn vuông góc chung cần tìm .
 Một số bài tập ôn tập chương
Bài 1. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
, 2AB BC a AD a= = =
,
các mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
.

a) Chứng minh
( )
SA ABCD⊥
.
b) Chứng minh
( ) ( )
SAC ABCD⊥
.
c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp
.S ABCD
đều là các tam giác vuông .
d) Khi
6SA a=
. Tính góc giữa
SD
với mặt phẳng
( )
ABCD
và góc giữa hai mặt phẳng
( )
ABCD
và
( )
SCD
.
d) Tính các khoảng cách :
( )
( )
( )
( )

( )
, ; , ; ,d A SCD d CD SAB d SD AC
.
Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a.
a) Tính đường cao của hình chóp .
b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy .
c) Tính d(O, (SCD)) .
d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC .
e) Gọi (
α
) là mặt phẳng chứa AB và (
α
) vuông góc với (SCD) , (
α
) cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác
ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện .
Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ôn tập chương III

Bài 3. Cho hình chữ nhật
ABCD
có
6, 3 3AD AB= =
. Lấy điểm
M
trên cạnh
AB
sao cho
2MB MB=
và

N
là trung điểm của
AD
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
tại
M
lấy điểm
S
sao
cho
2 6SM =
.
a) Chứng minh
( ) ( ) ( )
;AD SAB SBC SAB⊥ ⊥
;
b) Chứng minh
( ) ( )
SBN SMC⊥
;
c) Tính góc giữa đường thẳng
SN
và mặt phẳng
( )
SMC
:
d) Xác định vị trí điểm
P SM∈
sao cho

( ) ( )
·
(
)
0
, 60PNC SMC =
.
(Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) .
Bài 4. (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là
∆
ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuông góc với
(ABC) .
a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) .
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của
∆
SBC. Chứng minh (MBE)
vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC) .
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của
∆
SBC và
∆
ABC . Chứng minh OH vuông góc với (SBC) .
d) Cho (
α
) qua A và song song với BC và (
α
) vuông góc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC
bởi (
α
) khi SA = 2a .

e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS không đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất .
a. Khi SA =
3a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) .
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
∆
SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD) .
a) Chứng minh
∆
SCD cân .
b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) .
c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC .
Bài 6. Cho
∆
OAB cân tại O . OA = OB = a ,
·
0
120AOB =
. Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc
với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho
,AM x BN y= =
.
a) Tính các cạnh của
∆
OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để
∆
OMN vuông tại O .
b) Cho
∆
OMN vuông tại O và x + y =

2
3a
. Tính x, y ( x < y ) .
c) Với kết quả câu b) . Tính góc
·
( )
,OMN OAB
.
d) Giả sử M , N lưu động sao cho
2y x=
. Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định.
Bài 7. (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt
( )
, 0AI x x a= < <
.
a) Chứng minh khi
( )
4 15x a= −
thì góc giữa DI và AC’ bằng
0
60
.
b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện
tích ấy nhỏ nhất .
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo
a
và
x
.
Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD
có
, 2AB a SA a= =
. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của
các cạnh
, ,SA SB CD
. Chứng minh rằng đường thẳng
MN
vuông góc với đường thẳng
SP
. Tính khoảng
cáh từ
P
đến
( )
SAB
(CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) .
Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
, ' 2 ,AB a AA a= =

' 3A C a=
. Gọi

M
là trung điểm của đoạn thẳng
' 'A C
,
I
là giao điểm của
AM
và
'A C
. Tính theo
a

khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
IBC
. (KHỐI D NĂM 2009) .
Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' 'ABC A B C
có
'BB a
=
, góc giữa đường thẳng
'BB
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng 60
0

;
ABC
là tam giác vuông tại
C
và
·
0
60BAC =
. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên
mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Tính khoảng cách ttừ
'A
đến mặt phẳng
Cuộc đời khó lường, lòng người khó đoán
Hình học 11 Ơn tập chương III

( )
ABC
và diện tích của tam giác ABC .
(KHỐI B NĂM 2009).
Bài 11. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vng tại
A

và
D
,
2 ,AB AD a CD a= = =
, ;
góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABCD
bằng 60
0
. Gọi
I
là trung điểm của cạnh
AD
. Biết hai mặt
phẳng
( )
SBI
và
( )
SCI
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
, tính khoảng cách từ
S
đến mặt

phẳng
( )
ABCD
và diện tích của hình thang
ABCD
. (KHỐI A NĂM 2009).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc
của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H tḥc đoạn AC,
4
AC
AH =
. Gọi CM là đường cao của tam
giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
( )
SBC
theo a.
(KHỐI D NĂM 2010) .
Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có
AB a=
, góc giữa hai mặt phẳng
( )
'A BC
và
( )
ABC
bằng 60

0
. Gọi G là trọng tâm tam giác
'A BC
. Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
' ' 'A B C
. Tìm điểm
M
cách đều bốn điểm
, , ,G A B C
tính khoảng cách từ
M
đến các điểm đó theo
a
.
(KHỐI B NĂM 2010) .
Bài 14. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vng cạnh
a
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung

điểm của các cạnh
AB
và
AD
;
H
là giao điểm của
CN
và
DM
. Biết
SH
vng góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
3SH a=
. Tính diện tích của
CDNM
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM
và
SC

theo
a
. (KHỐI A NĂM 2010) .
Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy

ABC
là tam giác vng ,
, ' 2AB BC a AA a= = =
.
Gọi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
BC
. Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM
và
'B C
.

(KHỐI D NĂM 2008) .
Bài 16. Trong mặt phẳng
( )
P
cho nửa đường tròn đường kính
2AB R=
và điểm
C
thuộc nửa đường tròn đó
sao cho
AC R
=
. Trên đường thẳng vng góc với
( )

P
tại
A
lấy điểm
S
sao cho
( ) ( )
·
(
)
0
SAB , SBC 60=
.
Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
,SB SC
.Chứng minh tam giác
AHK
vng và tính diện
ABC
∆
và khoảng cách từ
S
đến
( )
P
. (KHỐI A NĂM 2007) .


Cuộc đời khó lường, lòng người khó đốn