Lời giải một số bài tập xác suất thống kê đại học GTVT

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 1
Lời giải một số bài tập
Bài 28. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí. Theo giả thiết X ∼
N(a, σ
2
) với a = EX là tham số cần phải ước lượng và phương sai DX = σ
2
chưa biết. Để ước lượng a ta xét đại lượng ngẫu nhiên
T =
(X − a)
√
n
S

Ứng với n = 28 < 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối student với n −1 bậc
tự do.
Với độ tin cậy γ cho trước ta đặt α = 1 −γ. Khi đó ta cần sử dụng phân vị t
(n−1,α)
được xác định bởi ràng buộc
P (|T | > t
(n−1,α)
) = α
Thay γ = 0, 95 ta có α = 1 − γ = 0, 05. Thay n = 28 thì t
(n−1,α)
= t
(27;0,05)
=
2, 052. Từ đẳng thức xác định t
(n−1,α)
ta có
P (|T | < t

(n−1,α)
) = γ
Đẳng thức này tương đương với
P

X −
t
(n−1,α)
S

√
n
< a < X +
t
(n−1,α)
S

√
n

= γ
Do đó ta chọn công thức ước lượng là

x −
t
(n−1,α)
s

√
n

; x +
t
(n−1,α)
s

√
n

Tiếp theo chúng ta tính các đặc trưng thực nghiệm từ mẫu được cho. Đặt x
i
=
a
i−1
+ a
i
2
và lập bảng tính như sau
x
i
n
i
n
i
x
i
n
i
x
2
i

4, 7 6 28, 2 132, 54
4, 9 5 24, 5 120, 05
5, 1 9 45, 9 234, 09
5, 3 4 21, 2 112, 36
5, 5 4 22 121
Σ 28 141, 8 720, 04
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 2
Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:
¯x =
1
n
Σ
m
i=1
n
i
x
i
=
141, 8
28
≈ 5, 0643
s
2
=
1
n
Σ
m

i=1
n
i
x
2
i
− (¯x)
2
=
720, 04
28
− (5, 0643)
2
≈ 0, 0686,
s
2
=
n
n − 1
s
2
=
28
27
× 0, 0686 ≈ 0, 0711,
s

=
√
s

2
=

0, 0711 ≈ 0, 2667
Như vậy thay các số liệu thực nghiệm vào công thức ước lượng ta thu được khoảng
ước lượng thực nghiệm

5, 0643 −
2, 052 ×0, 2667
√
28
; 5, 0643 +
2, 052 ×0, 2667
√
28

Rút gọn chúng ta thu được kết quả
(4, 9609; 5, 1677)
Bài 38. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ lượng xăng hao phí. Theo giả thiết X ∼
N(a, σ
2
) với a = EX là tham số cần phải ước lượng và phương sai DX = σ
2
chưa biết. Để ước lượng a ta xét đại lượng ngẫu nhiên
T =
(X − a)
√
n
S


Ứng với n = 100 > 30, đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật
chuẩn tắc N(0, 1).
Với độ tin cậy γ cho trước ta sử dụng phân vị u
γ
được xác định bởi đẳng thức:
u
γ
= Φ
−1

γ
2

Thay γ = 0, 95 ta thu được u
γ
= Φ
−1
(0, 475) = 1, 96. Khi đó ta có đẳng thức
P (|T | < u
γ
) = γ
Đẳng thức này tương đương với
P

X −
u
γ
S

√

n
< a < X +
u
γ
S

√
n

= γ
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 3
Do đó ta chọn công thức ước lượng là

x −
u
γ
s

√
n
; x +
u
γ
s

√
n

Tiếp theo chúng ta tính các đặc trưng thực nghiệm từ mẫu được cho. Đặt x

i
=
a
i−1
+ a
i
2
và lập bảng tính như sau
x
i
n
i
n
i
x
i
n
i
x
2
i
41 7 287 11.767
43 13 559 24.037
45 25 1125 50.625
47 35 1645 77.315
49 15 735 36.015
51 5 255 13.005
Σ 28 4.606 212.764
Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:
¯x =

1
n
Σ
m
i=1
n
i
x
i
=
4606
100
≈ 46, 06
s
2
=
1
n
Σ
m
i=1
n
i
x
2
i
− (¯x)
2
=
212764

100
− (46, 06)
2
≈ 6, 1164,
s
2
=
n
n − 1
s
2
=
100
99
× 6, 1164 ≈ 6, 1782,
s

=
√
s
2
=

6, 1782 ≈ 2, 4856
Như vậy thay các số liệu thực nghiệm vào công thức ước lượng ta thu được khoảng
ước lượng thực nghiệm

46, 06 −
1, 96 ×2, 4856
√

100
; 46, 06 +
1, 96 ×2, 4856
√
100

Rút gọn chúng ta thu được kết quả
(45, 5728; 46, 5472)
Bài 46. Ta ký hiệu tỷ lệ dân sử dụng Internet là p. Theo giả thiết kích thước của
mẫu thực nghiệm là n = 2500. Tần suất thực nghiệm tương ứng là
f =
980
2500
= 0, 392
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 4
Kiểm tra điều kiện đối với kích thước n:
nf = 2500 × 0, 392 = 980 > 10,
n(1 − f) = 2500(1 −0, 392) = 1520 > 10
Ký hiệu tần suất ngẫu nhiên là
ˆ
f =
¯
X. Khi đó ta chọn đại lượng ngẫu nhiên
T =
(
ˆ
f −p)
√
n


ˆ
f(1 −
ˆ
f)
Do n đủ lớn nên T có phân phối xác suất xấp xỉ luật chuẩn tắc N(0, 1).
Với độ tin cậy γ cho trước ta sử dụng phân vị u
γ
được xác định bởi đẳng thức:
u
γ
= Φ
−1

γ
2

Thay γ = 0, 98 ta thu được u
γ
= Φ
−1
(0, 49) = 2, 33. Khi đó ta có đẳng thức
P (|T | < u
γ
) = γ
Đẳng thức này tương đương với
P

ˆ
f −

u
γ

ˆ
f(1 −
ˆ
f)
√
n
< p <
ˆ
f +
u
γ

ˆ
f(1 −
ˆ
f)
√
n

= γ
Do đó ta chọn công thức ước lượng là

ˆ
f −
u
γ


ˆ
f(1 −
ˆ
f)
√
n
;
ˆ
f +
u
γ

ˆ
f(1 −
ˆ
f)
√
n

Thay các giá trị thực nghiệm f = 0, 392, n = 2500, u
γ
= 2, 33 ta thu được khoảng
ước lượng:

0, 392 −
2, 33

0, 392(1 −0, 392)
√
2500

;
0, 392 +
2, 33

0, 392(1 −0, 392)
√
2500

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 5
Rút gọn chúng ta thu được kết quả
(0, 3668; 0, 4172)
b) Ký hiệu N là số dân của thành phố. Ký hiệu M là số dân thành phố sử dụng
Internet. Khi đó tỷ lệ dân sử dụng Internet là
p =
M
N
Theo giả thiết ta có N = 7.10
6
. Áp dụng kết quả câu a) ta có:
0, 3668 < p < 0, 4172
⇔ 0, 3668 <
M
7.10
6
< 0, 4172
⇔ 2.567.600 <
M
7.10
6

< 2.920.400
(1)
Vậy số tối thiểu người dân sử dụng Internet là 2.567.600 người.
Bài 60. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ mức hao phí nguyên liệu để sản xuất
một sản phẩm. Theo giả thiết X ∼ N(a, σ
2
) với a = EX là mức hao phí trung
bình và phương sai DX = σ
2
đã biết. Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài
toán kiểm định một phía.
Giả thiết H
o
: a = 65
Đối thiết H
1
: a > 65
Do đã biết phương sai DX = σ
2
= 4 nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định
T =
(X − 65)
√
n
σ
Trên cơ sở giả thiết H
o
đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất
chuẩn tắc N(0, 1). Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng miền bác bỏ W
α

sao cho
P (T ∈ W
α
) = α
Căn cứ vào đối thiết H
1
: a > 65 và T có phân phối xác suất chuẩn tắc N (0, 1) ta
chọn miền bác bỏ là
W
α
= (u
1−2α
; +∞)
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 6
trong đó u
1−2α
= Φ
−1

1 − 2α
2

với Φ
−1
là hàm ngược của hàm Laplace.
Thay α = 0, 05 ta có u
1−2α
= Φ
−1

(0, 45) = 1, 64 (tra bảng). Vậy ta xây dựng
được
W
α
= (1, 64; +∞)
Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực
nghiệm ta đặt x
i
=
a
i−1
+ a
i
2
và lập bảng tính như sau
x
i
n
i
n
i
x
i
61 5 305
63 7 441
65 10 650
67 8 536
69 6 414
Σ 36 2.346
Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:

¯x =
1
n
m

i=1
n
i
x
i
=
2346
36
≈ 65, 1667
Như vậy ta nhận được
t
qs
=
(¯x −65)
√
n
σ
=
(65, 1667 −65)
√
36
2
= 0, 5
Do t
qs

∈ W
α
nên ta chưa có cơ sở bác bỏ H
o
.
Bài 66. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ thời gian để hoàn thành một sản
phẩm. Theo giả thiết X ∼ N(a, σ
2
) với a = EX là thời gian trung bình để hoàn
thành một sản phẩm và phương sai DX = σ
2
chưa biết.
Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định hai phía.
Giả thiết H
o
: a = 14
Đối thiết H
1
: a = 14
Do chưa biết phương sai DX = σ
2
nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định
T =
(X − 14)
√
n
S

Trên cơ sở giả thiết H
o

đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất
theo luật student với n −1 bậc tự do. Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng
miền bác bỏ W
α
sao cho
P (T ∈ W
α
) = α
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 7
Căn cứ vào đối thiết H
1
: a = 14 và T có phân phối xác suất tuân theo luật
student với n − 1 bậc tự do nên ta chọn miền bác bỏ là
W
α
= (−∞; −t
(n−1,α)
) ∪ (t
(n−1,α)
; +∞)
trong đó t
(n−1,α)
là phân vị của biến student được xác định theo ràng buộc
P (|T | > t
(n−1,α)
) = α
Thay α = 0, 05 và n = 25 ta có t
(n−1,α)
= t

(24;0,05)
= 2, 064 (tra bảng). Vậy ta
xây dựng được
W
α
= (−∞; −2, 064) ∪(2, 064; +∞)
Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực
nghiệm ta đặt x
i
=
a
i−1
+ a
i
2
và lập bảng tính như sau
x
i
n
i
n
i
x
i
n
i
x
2
i
11 2 22 242

13 6 78 1014
15 7 105 1575
17 7 119 2023
19 3 57 1083

25 381 5937
Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:
¯x =
1
n
m

i=1
n
i
x
i
=
381
25
= 15, 24
s
2
=
1
n
m

i=1
n

i
x
2
i
− (¯x)
2
=
5937
25
− (15, 24)
2
= 5, 2224,
s
2
=
n
n − 1
s
2
=
25
24
× 5, 2224 = 5, 44,
s

=
√
s
2
=


5, 44 ≈ 2, 3324
Như vậy thay các số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn
T ta nhận được
t
qs
=
(¯x −14)
√
n
s

=
(15, 24 −15)
√
25
2, 3324
= 2, 6582
Do t
qs
∈ W
α
nên ta bác bỏ H
o
và thay thế bởi H
1
.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 8
Bài 69. Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ trọng lượng của bao phân đạm. Theo

giả thiết X ∼ N(a, σ
2
) với a = EX là trọng lượng tr ung bình và phương sai
DX = σ
2
chưa biết. Theo yêu cầu được đưa ra chúng ta có bài toán kiểm định
một phía.
Giả thiết H
o
: a = 50
Đối thiết H
1
: a < 50
Do chưa biết phương sai DX = σ
2
nên chúng ta chọn tiêu chuẩn kiểm định
T =
(X − 50)
√
n
S

Trên cơ sở giả thiết H
o
đúng thì đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối xác suất xấp
xỉ luật phân phối chuẩn tắc N(0, 1). Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần xây dựng
miền bác bỏ W
α
sao cho
P (T ∈ W

α
) = α
Căn cứ vào đối thiết H
1
: a < 50 và T có phân phối xác suất xấp xỉ luật phân
phối chuẩn tắc nên ta chọn miền bác bỏ là
W
α
= (−∞; −u
1−2α
)
trong đó u
1−2α
= Φ
−1

1 − 2α
2

với Φ
−1
là hàm ngược của hàm Laplace.
Thay α = 0, 05 ta có u
1−2α
= Φ
−1
(0, 45) = 1, 64 (tra bảng).
Vậy ta xây dựng được
W
α

= (−∞; −1, 64)
Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực
nghiệm ta đặt x
i
=
a
i−1
+ a
i
2
và lập bảng tính như sau
x
i
n
i
n
i
x
i
n
i
x
2
i
47, 5 30 1425 67687, 5
48, 5 40 1940 94090
49, 5 20 990 49005
50, 5 5 252, 5 12751, 25
51, 5 5 257, 5 13261, 25


100 4865 236795
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 9
Từ bảng trên ta thu được các đặc trưng thực nghiệm như sau:
¯x =
1
n
m

i=1
n
i
x
i
=
4865
100
= 48, 65
s
2
=
1
n
m

i=1
n
i
x
2

i
− (¯x)
2
=
236795
100
− (48, 65)
2
= 1, 1275,
s
2
=
n
n − 1
s
2
=
100
99
× 1, 1275 = 1, 1389,
s

=
√
s
2
=

1, 1389 ≈ 1, 0672
Như vậy thay các số liệu thực nghiệm để tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn

T ta nhận được
t
qs
=
(¯x −50)
√
n
s

=
(48, 65 −50)
√
100
1, 0672
= −12, 6501
Do t
qs
∈ W
α
nên ta bác bỏ H
o
và thay thế bởi H
1
.
Bài 75. Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của máy. Đặt p
0
= 0, 06. Theo yêu cầu chúng ta
có bài toán kiểm định
Giả thiết H
o

: p = 0, 06
Đối thiết H
1
: p > 0, 06
Từ số liệu được cho ta có kích thước mẫu thực nghiệm n = 400. Kiểm tra điều
kiện đối với kích thước n
np
0
= 400 ×0, 06 = 24 > 5
n(1 − p
0
) = 400 ×(1 −0, 06) = 376 > 5
Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định là
T =
(
¯
X − p
0
)
√
n

p
0
(1 − p
0
)
trong đó
ˆ
f là tần suất ngẫu nhiên.

Vì n đủ lớn nên trên cơ sở giả thiết H
o
đúng đại lượng ngẫu nhiên T có phân phối
xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc N (0, 1). Với mức ý nghĩa α cho trước ta
cần xây dựng miền bác bỏ W
α
sao cho
P (T ∈ W
α
) = α
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 10
Căn cứ vào đối thiết của bài toán là H
1
: p > p
0
và căn cứ vào tiêu chuẩn T có
phân phối xác suất xấp xỉ luật phân phối chuẩn tắc nên ta chọn miền bác bỏ là
W
α
= (u
1−2α
; +∞)
trong đó u
1−2α
= Φ
−1

1 − 2α
2


với Φ
−1
là hàm ngược của hàm Laplace.
Thay α = 0, 05 ta có u
1−2α
= Φ
−1
(0, 45) = 1, 64 (tra bảng).
Vậy ta xây dựng được
W
α
= (1, 64; +∞)
Tiếp theo ta cần tính giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn kiểm định T. Từ mẫu thực
nghiệm ta có tần suất thực nghiệm là
f =
m
n
=
27
400
= 0, 0675
Thay các giá trị thực nghiệm f = 0, 0675, n = 400 và p
0
= 0, 06 ta thu được giá
trị thực nghiệm của tiêu chuẩn T như sau:
t
qs
=
(f −p

0
)
√
n

p
0
(1 − p
0
)
=
(0, 0675 −0, 06)
√
400

0, 06(1 −0, 06)
≈ 0, 6316
Do t
qs
∈ W
α
nên ta chưa có cơ sở bác bỏ H
o
.
Bài 87. Từ số liệu được cho ta lập bảng tính
STT x
i
y
i
x

2
i
y
2
i
x
i
y
i
1 2, 1 4, 12 4, 41 16, 9744 8, 652
2 2, 2 4, 34 4, 84 18, 8356 9, 548
3 2, 4 4, 56 5, 76 20, 7936 10, 944
4 2, 5 4, 63 6, 25 21, 4369 11, 575
5 2, 25 4, 38 5, 0625 19, 1844 9, 855
6 2, 45 4, 75 6, 0025 22, 5625 11, 6375
7 2, 16 4, 4 4.6656 19, 36 9, 504
8 2, 34 4, 62 5, 4756 21, 3444 10, 8108

18, 4 35, 8 42, 4662 160, 4918 82, 5263
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011
Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 11
Từ bảng tính ta được hệ số tương quan thực nghiệm
r
tn
=
n
n

i=1
x

i
y
i
−
n

i=1
x
i
n

i=1
y
i




n
n

i=1
x
2
i
− (
n

i=1
x

i
)
2




n
n

i=1
y
2
i
− (
n

i=1
y
i
)
2
=
8 × 82, 5263 −18, 4 ×35, 8

8 × 42, 4662 −(18, 4)
2

8 × 160, 4918 −(35, 8)
2

≈ 0, 9098
b) Giả sử hàm hồi quy tuyến tính phải tìm là y = ax + b. Chúng ta sẽ ước lượng
các hệ số của hàm hồi quy theo phương pháp bình phương tối thiểu. Cụ thể là các
hệ số a, b được xác định bởi hệ phương trình tuyến tính









(
n

i=1
x
2
i
)a + (
n

i=1
x
i
)b =
n

i=1

x
i
y
i
(
n

i=1
x
i
)a + nb =
n

i=1
y
i
Thay các số liệu thực nghiệm vào hệ trên ta thu được

42, 4662a + 18, 4b = 82, 5263
18, 4a + 8b = 35, 8
Giải hệ ta nhận được kết quả

a ≈ 1, 2743
b ≈ 1, 5442
Như vậy ta nhận được hàm hồi quy tuyến tính y = 1, 2743x + 1, 5442.
Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011