PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
———————o0o——————–
TRẦN THỊ TUYẾT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT
LÍ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Giảng viên hướng dẫn: TS. TRẦN THÁI HOA
HÀ NỘI, 5 - 2014
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học
tập và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của TS. Trần Thái Hoa.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận tôi có kham khảo
một số tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: "Phương pháp giải một
số bài tập vật lí thống kê" không trùng lặp với kết quả các đề tài
khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Trần Thị Tuyết
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận, ngoài sự nỗ lực của bản
thân, tôi còn nhận được sự động viên, hướng dẫn chỉ bảo tận tình
của thầy giáo TS. Trần Thái Hoa và những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô trong tổ lý thuyết.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô
trong khoa Vật lý, các thầy, cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết, đặc biệt
là sự chỉ bảo tận tình của thầy TS Trần Thái Hoa - giảng viên khoa
Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp tôi hoàn thành
khóa luận này.

Do điều kiện thời gian, năng lực còn hạn chế nên khóa luận không
tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận của tôi được hoàn thiện
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Trần Thị Tuyết
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu
1. Lời cam đoan
2. Lời cảm ơn
3. Lời nói đầu 1
Nội dung
Chương 1. Vật lí thống kê cổ điển 4
1.1 Cơ sở lí thuyết 4
1.1.1. Không gian pha 4
1.1.2. Định lí Liuvin 5
1.1.3. Công thức phong vũ biểu 7
1.1.4. Áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ khí lí
tưởng 8
1.1.5. Dạng định lí trung bình động năng và định lí
Virian 10
1.2. Dạng bài tập 11
1.2.1. Không gian pha 11
1.2.1.1 Phương pháp chung 11
1.2.1.2. Bài tập 12
1.2.2. Định lí Liuvin 14
1.2.1.1 Phương pháp chung 14

1.2.1.2. Bài tập 14
Trang
1.2.3. Công thức phong vũ biểu 18
1.2.3.1 Phương pháp chung 18
1.2.3.2. Bài tập 18
1.2.4. Áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ
khí lí tưởng 23
1.2.4.1. Phương pháp chung 23
1.2.4.2. Bài tập 23
1.2.5. Dạng định lí trung bình động năng và định lí
Virian 28
1.2.5.1 Phương pháp chung 28
1.2.5.2. Bài tập 29
Chương 2. Dạng bài tập về thống kê lượng tử
2.1. Cơ sở lý thuyết 32
2.1.1. Hệ lượng tử và tính chất của chúng 32
2.1.1.1. Hệ lượng tử 32
2.1.1.2. Tính chất 32
2.1.2. Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ
lượng tử 33
2.1.2.1. Cách mô tả hệ lượng tử 33
2.1.2.2. Áp dụng phương pháp thống kê vào
hệ lượng tử 35
2.1.3. Các công thức cần nhớ 36
Trang
2.1.3.1. Phân bố chính tắc lượng tử 36
2.1.1.2 . Hàm phân bố chính tắc lớn lượng tử 38
2.2. Dạng bài tập 41
Chương 3. Tích phân trạng thái và ứng dụng
3.1. Cơ sở lí thuyết 45

3.1.1. Biểu thức của các hàm nhiệt động theo
tích phân trạng thái 45
3.1.2. Dao động tử lượng tử 46
3.1.3. Rôtato 47
3.2. Bài tập 49
Kết luận
1. Kết luận 54
2. Tài liệu tham khảo 55
LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí thống kê là một trong những học phần Vật lí lý thuyết
được học ở bậc Đại học . Phương pháp của vật lí thống kê được áp
dụng rộng rãi trong các lĩnh lực khác nhau của vật lí hiện đại đặc
biệt trong vật lí chất rắn, vật lí hạt cơ bản, quang lượng tử, vật lí học
các hạt ngưng tụ vật lí và vật liệu siêu dẫn, vật liệu bán dẫn.Vì vậy,
để hiểu sâu và nắm chắc cơ sở lí thuyết của Vật lí thống kê cũng như
ý nghĩa của từng đại lượng vật lí có nhiều phương pháp khác nhau
nhưng một trong các phương pháp chung nhất là từ cơ sở lí thuyết ta
vận dụng giải một hệ thống các bài tập. Tuy nhiên, số lượng bài tập
trong sách giáo trình cũng như trong sách bài tập là rất nhiều. Điều
đó gây khó khăn cho sinh viên trong việc học. Vì vậy cần phân loại
và sắp xếp bài tập theo một hệ thống để sinh viên nghiên cứu một
cách hệ thống, chính xác và sâu sắc. Vì vậy, đề tài “ Phương pháp giải
một số bài tập Vật lí thống kê” là cần thiết, mong rằng luận văn sẽ
là một tài liệu tham khảo giúp đỡ phần nào các bạn s inh viên trong
học phần Vật lí thống kê. Hay còn làm cơ sở để các bạn sinh viên có
nhu cầu học các bậc học cao hơn có thể ôn tập một cách dễ dàng.
2. Mục đích nghiên cứu
Phân loại một số dạng bài tập vật lí thống kê để giúp các bạn
sinh viên dễ dàng trong việc học, nghiên cứu để có cái nhìn tổng quát

về một số dạng bài tập môn vật lí thống kê.
3. Đối tượng nghiên cứu
Vật lí thống kê là một trong những môn học thuộc Vật lí lý thuyết
nhằm nghiên cứu hệ vật lí vĩ mô. Vật lí thống kê là bộ môn khoa học
có đối tượng nghiên cứu là những hệ bao gồm một số rất lớn các hạt
như nguyên tử, iôn và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay
hệ nhiều hạt.
4. Phạm vi nghiên cứu
Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô
1
của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và quy luật chuyển động của
các hạt vi mô cấu trúc thành hệ.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại và chỉ ra phương hướng chung để giải một số dạng bài
tập trong vật lí thống kê.
6. Phương pháp nghiên cứu
Do đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là hệ nhiều hạt mà
đối với hệ nhiều hạt sẽ xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật
thống kê. Do đó, phương pháp nghiên cứu của vật lí thống kê là
phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất. Đối với hệ ít hạt
và hệ nhiều hạt nó tuân theo các quy luật khác nhau đó là quy luật
động lực và quy luật thống kê. Quy luật tính động lực: Là quy luật
dựa vào giá trị đã cho một cách chính xác của một đại lượng đặc
trưng cho một quá trình hay hiện tượng, ta sẽ tính được giá trị của
một đại lượng khác nhờ vào việc giải phương trình Hamiltonion và
quy luật chỉ có giá trị đối với hệ ít hạt. Quy luật tính thống kê: Là
quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, tính cách của hệ nhiều hạt ở
thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc trước
(ban đầu). Hai quy luật này tuy độc lập với nhau nhưng phụ thuộc
qua lại lẫn nhau. nhiệt động lực học và vật lí thống kê có mối liên

hệ với nhau. Trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trong trạng thái cân
bằng thì các định luật mà ta thu được trong vật lí thống kê với các
đại lượng trung bình trùng với các định luật của nhiệt động lực học.
7. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Phần 3: Kết luận
Phần 4: Tài liệu tham khảo
Phần 5: Phụ lục và mục lục
2
CHƯƠNG 1. VẬT LÍ THỐNG
KÊ CỔ ĐIỂN
1.1 Cơ sở lí thuyết
1.1.1 Không gian pha
Không gian pha là không gian quy ước nhiều chiều, các tọa độ
của không gian pha chính là các thông số độc lập xác định trạng thái
vi mô của hệ (tọa độ, xung lượng của tất cả các hạt trong hệ). Có
hai không gian pha:
+ Không gian µ: Đối với 1 hạt có 3 bậc tự do ⇒ có 6 chiều.
+ Không gian K: Đối với n hạt mỗi hạt có f bậc tự do ⇒ 2nf
chiều.
Các yếu tố cơ bản của không gian pha:
+ Điểm pha: 1 điểm trong không gian pha có 2nf tọa độ biểu
diễn một trạng thái vi mô của hệ đang xét.
+ Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ biến đổi điểm pha sẽ
“chuyển động” và vạch một đường cong gọi là quỹ đạo pha, mỗi điểm
trên quỹ đạo tương ứng với 1 trạng thái tức thời xác định của hệ.
Quỹ đạo của hệ không cắt nhau trong không gian pha.
+ Mặt năng lượng (siêu diện năng lượng) đối với một hệ cô đơn
thì E = const và E là thông số vĩ mô ⇒ phương trình của năng

3
lượng là:
E = E(q
1,
q
2
, , p
1
, p
2
, ) = const
+ Thể tích pha:
dx = dq
1
dq
2
dp
1
dp
2

1.1.2. Định lí Liuvin
+ Tại thời điểm t
1
: dx
1
có dn = ρ
1
dx
1

+ Tại thời điểm t
2
: dx
2
có dn = ρ
1
dx
2
⇒ ρ
1
dx
1
= ρ
2
dx
2
(1)
Từ (1) ⇒ về hình thức có thể coi sự dịch chuyển điểm pha như
chuyển động của chất lỏng.
+ Đối với chất lỏng ta có:
∂ρ
∂t
+ div
−→
J = 0 (2)
ρ: mật độ chất lỏng ρ = ρ(x, t)
−→
J = ρ
−→
v : vectơ mật độ dòng

−→
v : vận tốc chuyển động của chất lỏng.
+ Tương tự
- Vận tốc pha là vận tốc của các điểm biểu diễn pha.
- Các thành phần của vận tốc pha là:
.
q
1
,
.
q
2
, ,
.
q
1N
,
.
p
1
,
.
p
2
, ,
.
p
1N
- Mật độ biểu diễn pha: ρ = ρ(q
k

, p
k
, t)
Đối với vận tốc pha ta có:
∂ρ
∂t
+
fN

k=1

∂(ρ
.
q
k
)
∂q
k
+
∂(ρ
.
p
k
)
∂p
k

= 0
4
⇔

∂ρ
∂t
+

(
.
q
k
∂ρ
∂q
k
+ ρ
∂
.
q
k
∂q
k
+
.
p
k
∂ρ
∂p
k
+ ρ
∂
.
p
k

∂p
k
) = 0
⇔
∂ρ
∂t
+
fN

k=1
(
.
q
k
∂ρ
∂q
k
+
.
p
k
∂ρ
∂p
k
) + ρ
fN

k=1
(
∂

.
q
k
∂q
k
+
∂
.
p
k
∂p
k
) = 0 (3)
Từ ρ = ρ(q
k
, p
k
, t) ⇒
dρ
dt
=
∂ρ
∂t
+
fN

k=1
(
.
q

k
∂ρ
∂q
k
+
.
p
k
∂ρ
∂p
k
) (4)
Từ (3) và (4) ⇒
dρ
dt
+ ρ

k

.
∂q
k
∂q
k
+
.
∂p
k
p
k


= 0 (5)
Mặt khác





˙p
k
= −
∂H
∂q
k
˙q
k
= −
∂H
∂p
k
⇒







∂ ˙p
k

∂p
k
= −
∂
2
H
∂q
k
∂p
k
∂ ˙q
k
∂q
k
= −
∂
2
H
∂q
k
∂p
k
⇒

(
∂
.
q
k
∂q

k
+
∂
.
p
k
∂p
k
) = 0 (6)
Từ (5) và (6)
⇔
∂ρ
∂t
= 0 (7)
Hệ quả:
1. Từ (6) ⇒
∂
v
x
∂x
+
∂
v
y
∂y
+
∂
v
z
∂z

= 0 ⇔ Điều kiện không nén được
của chất lỏng.
2.
dρ
dt
= 0 ⇔ ρ = const ⇔
ρ
1
=
ρ
2
5
Thay vào (1) ta được: dx
1
= dx
2
nguyên lí về s ự bảo toàn thể
tích.
• Định lí Liuvin
Khi các hệ (tức là các điểm biểu diễn pha của các hệ) chuyển
động trong không gian các thể tích nguyên tố giữ không đổi về độ
lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng.
• Phương trình Liuvin:
Ta lại có: ω =
ρ
n
⇒ ρ = n.ω
Thay vào (4) ta có
dω
dt

=
∂ω
∂t
+

(
.
q
k
∂ω
∂q
k
+
.
p
k
∂ω
∂p
k
) =
∂ω
∂t
+ [H.ω]
Mà
dω
dt
= 0 ⇒
∂ω
∂t
= −[H.ω] phương trình Liuvin

Điều kiện cân bằng thống kê:
Vì
F =

F (x)ω(x, t)dx = const ⇒ ω(x, t) không phụ thuộc
tường minh vào thời gian ⇒
∂ω
∂t
= 0 ⇒ [H.ω] = 0
Khi đó gọi là tích phân chuyển động: ω(x) = f {H(x)}
1.1.3. Công thức phong vũ biểu
Đối với hạt chuyển động trong trường thế thì phân bố Boltzman
có dạng:
U(x, y, z) = U(z)
dW(x, y, z) = B exp

−
mgz
kT

dz
Đối với khí lí tưởng trong trường lực đều: U(z) = mgz có hàm
phân bố các hạt theo độ cao z = h có dạng:
f(z) =
dW(z)
dz
= B exp

−
mgz

kT

6
Hàm phân bố của mật độ số hạt theo độ cao z:
n(z) = n
0
exp

−
mgz
kT

Ở một nhiệt độ nhất định áp suất của chất khí tỉ lệ với mật độ
⇒ công thức phong vũ biểu biểu
p(z) = p
0
exp

−
mgz
kT

p
0
là áp suất tại z = 0, p là áp suất tại z
1.1.4. Dạng áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ
khí lí tưởng
- Đối với hệ N hạt khí lí tưởng:
H =
N


k=1

p
2
k
2m
+
U
k
(x)

- Tích phân trạng thái của một hạt khí lí tưởng thứ k:
Z
k
=

(X)
exp

−
H
θ

dX
Z
k
=

(X)

exp

−
p
2
k
2mθ
−
U
k
(x)
θ

dX
Vậy Z
k
= (2πmθ)
3
2
V (Sử dụng tích phân Poatxông)
Đối với hệ N hạt:
Z =
1
N!
(2πmθ)
3N
2
V
N
(Vì các hạt độc lập nhau)

- Từ tích phân trạng thái của cả hệ ta tính được các hàm nhiệt
động của khí lí tưởng:
7
+ Năng lượng tự do:
ψ = kT ln Z
⇔ ψ = −θN

3
2
ln (2πmθ)

+ ln
V
N
+ Phương trình trạng thái:
p = −
∂ψ
∂V
=
kNT
V
⇔ pV = kNT
Đối với 1mol N = N
A
và N
A
k = R ⇒ pV = RT
+ Entropi
S = −


∂ψ
∂T

V
= kN ln V +
3
2
kN ln T +
S
0
+ Nội năng:
U = ψ + TS =
3
2
NkT
+ Nhiệt dung:
C
V
=

∂U
∂T

V
=
3
2
kN
Đối với 1mol C
V

=
3
2
R
1.1.5. Dạng định lí trung bình động năng và định
lí Virian
- Biểu thức tính động năng ứng với 1 bậc tự do thứ k:
ε
k
=
1
2
p
k
∂H
∂
p
k
⇒
ε
k
=
1
2
p
k
∂H
∂
p
k

⇔
E =
1
2
f

k=1
p
k
∂H
∂
p
k
8
- Nội dung định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do:
“Động năng trung bình ứng với 1 bậc tự do là bằng nhau và bằng
1
2
kT ”.
- Ứng dụng của định lí: Đúng với bất kì hệ nào tuân theo thống kê
cổ điển.
- Đối với một bậc tự do của dao động:
¯
E =
¯
H = ¯ε +
¯
U
Mà ¯ε =
¯

U =
1
2
kT
⇒
E = kT
- Đối với 1 hạt có f bậc tự do:
ε = U =
1
2
fkT
- Đại lượng
1
2
q
k
∂H
∂
q
k
gọi là virian đối với 1 bậc tự do thứ k:
Tương tự ta cũng có: q
k
∂H
∂q
k
= θ
- Định lí Virian: “ Trung bình của virian đối với 1 bậc tự do bằng
1
2

kT ”.
- Định lí trung bình động năng và định lí Virian thường áp dụng để
tính năng lượng trung bình của một chuyển động bất kì.
1.2. Dạng bài tập
1.2.1. Không gian pha
1.2.1.1. Phương pháp chung
- Xác định số bậc tự do của 1 hạt và không gian pha của hạt.
- Chọn trục tọa độ suy rộng.
- Viết phương trình Hamintơn cho mỗi hạt.
9
- Dùng phương trình chính tắc (hoặc các phương trình chuyển
động) để tìm ra phương trình của q, p suy ra quỹ đạo của hạt.
- Vẽ quỹ đạo, thể tích pha (nếu cần).
1.2.1.2. Bài tập
Bài 1
Viết phương trình quỹ đạo pha của hạt khối lượng m dao động
điều hòa ba chiều độc lập với các tần số tương ứng ω
1
, ω
2
và ,ω
3
. Biết
ở thời điểm đầu trạng thái của hạt nằm ở điểm (p
x0
, p
y0
, p
z0
,x

0
, y
0
, z
0
).
Trường hợp riêng, hãy suy ra phương trình quỹ đạo pha của dao động
tử điều hòa một chiều.
Giải
+ Hamiltonian của dao động tử điều hòa 3D độc lập (tức là thế
năng không chứa các tích xy, xz hoặc yz):
H =
p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
2m
+
1
2
mω
1
x
2
+

1
2
mω
2
y
2
+
1
2
mω
3
z
2
+ Sử dụng phương trình Hamillton
˙p
k
= −
∂H
∂q
k
; ˙q
k
=
∂H
∂p
k
Với p
k
, q
k

là các xung lượng suy rộng và tọa độ suy rộng của hệ
vật.
Chọn xung lượng suy rộng và tọa độ s uy rộng c ủa hạt là xung
lượng và tọa độ thông thường.
˙p
x
= −
∂H
∂x
= −mω
1
x
˙x =
∂H
∂p
x
10
Suy ra
¨x + ω
1
x = 0
x = x
0
sin(ω
1
t + ϕ)
p
x
= m ˙x = p
x0

cos(ω
1
t + ϕ) ⇒
x
2
x
2
0
+
p
2
x
p
2
x0
= 1
Phương trình của quỹ đạo pha sẽ là
x
2
x
2
0
+
p
2
x
p
2
x0
=

y
2
y
2
0
+
p
2
y
p
2
y0
=
z
2
z
2
0
+
p
2
z
p
2
z0
= 1
+ Trường hợp 1 chiều, phương trình quỹ đạo pha sẽ là phương
trình của elipse:
x
2

x
2
0
+
p
2
p
2
0
= 1
Bài 2
Hãy chứng minh rằng thể tích của không gian pha Γ của khí lí
tưởng đơn nguyên tử gồm N hạt chứa trong thể tích V bằng:
Γ = constV
N
(2m)
3N/2
E
3N/2
Trong đó m là khối lượng của một hạt và E là năng lượng của hệ N
hạt.
Giải
Số trạng thái vi mô của 1 hạt trong thể tích pha
dX = dxdydzdp
x
dp
y
dp
z
Nếu kể đến nguyên lí bất định:

∆x.∆p
x
∼ h
∆y.∆p
y
∼ h
∆z.∆p
z
∼ h
Mỗi trạng thái vi mô chiếm một thể tích nguyên tố là h
3
11
Số trạng thái vi mô của một hạt trong yếu tố thể tích pha dX =
dxdydzdp
x
dp
y
dp
z
là:
dn (x, y, z, p
x
, p
y
, p
z
) =
dX
h
3

=
dxdydzdp
x
dp
y
dp
z
h
3
Số trạng thái vi mô nằm trong thể tích V có:
p
x
→ p
x
+ dp
x
, p
y
→ p
y
+ dp
y
, p
z
→ p
z
+ dp
z
dn (p
x

, p
y
, p
z
) =
V
h
3
dp
x
dp
y
dp
z
dn (p
x
, p
y
, p
z
) =
V
h
3
4πp
2
dp
Mà E =
p
2

2m
⇒ 2pdp = 2mdE
→dp =
m
p
dE ⇔ dp =
mdE
√
2mE
=
√
mE
E
√
2
dE
dp
x
dp
y
dp
z
= 4π2mE
√
mE
E
√
2
dE⇔dΓ = 4π
√

2m
3
√
EdE
Ta có: dΓ = dΓ
q
dΓ
p
= dV 4π
√
2m
3
/
2
√
EdE
⇔Γ = 4π
√
2m
3
/
2
V

0
dV
V

0
√

EdE
⇔ Γ = V 4π
√
2m
3
/
2
2
3
E
3
2
=
4
3
πV

(2mE)
3
Vậy đối với một hạt ta có:
Γ =
4
3
πV

(2mE)
3
Đối với N hạt mà ta xét:
dΓ = dΓ
1

dΓ
2
dΓ
N
=
N

i=1
dΓ
i
Γ =
N

i=1
Γ
i
12
Với Γ
i
=
4
3
πV

(2mE)
3
⇔ Γ = V
N

4

3
π

N
(2mE)
3N
2
Hay Γ = constV
N
(2mE)
3N
2
(đpcm)
1.2.2. Định lí Liuvin
1.2.2.1. Phương pháp chung
- Xác định số bậc tự do f suy ra số chiều của không gian pha.
- Chọn tọa độ và xung lượng suy rộng.
- Xác định hình dạng và thể tích pha ban đầu.
- Xác định thể tích pha ở thời điểm ban đầu và thời điểm t:
dΓ
0
, dΓ .
- Chứng minh dΓ = dΓ
0
có thể dùng phương trình động học hay
dùng phép biến đổi Jacôbiên.
1.2.2.2. Bài tập
Bài 1
Kiểm nghiệm lại định lí Liuvin đối với chất điểm chuyển động
trong trường trọng lực có gia tốc g = const.

Giải
- Vì chất điểm chuyển động trong trường trọng lực theo phương
thẳng đứng có 1 bậc tự do ⇒ không gian pha có 2.1.1 = 2 chiều.
- Chọn không gian pha là p, q với q là khoảng cách từ vị trí ban
13
đầu của chất điểm đến vị trí ta xét chiều dương hướng xuống dưới.
- Xét nguyên tố thể tích pha chiếm bởi các điểm pha ở thời điểm
t
0
.
dΓ
0
= dp
0
dq
0
Giả sử nguyên tố thể tích pha là hình chữ nhật ABCD
Sau thời gian t:
A → A
′
(q, p)
D → D
′
(q + dq, p)
C → C
′
(q
C
′
, p + dp)

B → B
′
(q
D
′
, p + dp)
Nguyên tố thể tích pha ở thời điểm t là: dΓ = dqdp
Trong đó:
dq = q
B
′
− q
A
′
dp = p
D
′
− p
A
′
Ta có:
q
A
′
= q
A
+
p
A
m

t + g
t
2
2
= q
0
+
p
0
m
t + g
t
2
2
q
B
′
= q
B
+
p
B
m
t + g
t
2
2
= q
0
+ dq

0
+
p
0
m
t + g
t
2
2
Suy ra
q
B
′
− q
A
′
= dq
0
→ dq = dq
0
(1)
Ta còn có:
p
D
′
= p
D
+ mgt = p
0
+ dp

0
+ mgt
p
A
′
= p
A
+ mgt = p
0
+ mgt
nên suy ra
p
D
′
− p
A
′
= dp
0
→ dp = dp
0
(2)
Từ (1) và (2) có
dΓ = dΓ
0
Hơn nữa:
D
′
C
′

= DC,
A
′
B
′
= AB,
D
′
C
′
//A
′
B
′
14
Vì vậy A
′
B
′
C
′
D
′
là hình bình hành.
Vậy thể tích pha không đổi nhưng hình dạng lại thay đổi.
Bài 2
Nghiệm lại định lí Liuvin đối với chuyển động của ba hạt trong
trường trọng lực không đổi. Trạng thái ban đầu của chúng được cho
bởi các điểm pha.
A (z

0
, p
0
) , B (z
0
+ a, p
0
) , C(z
0
, p
0
+ b)
Giải
Theo giả thiết trạng thái ban đầu của mỗi hạt được biểu diễn
dưới dạng một điểm pha trong không gian 2 chiều.
Theo đầu bài ta chọn tọa độ và xung lượng suy rộng là z và p do
đó, trong không gian pha pz thì thể tích pha ban đầu của 3 hạt có
dạng tam giác suy ra thể tích pha chính là S
∆ABC
.
dΓ
0
= S
∆ABC
=
1
2
AB.AC =
1
2

ab
⇒ dΓ
0
=
1
2
ab (3)
Xét tại thời điểm t:
A → A
′
(z
1
, p
1
)
B → B
′
(z
2
, p
2
)
A → A
′
(z
3
, p
3
)
Chọn chiều dương hướng xuống dưới

p
1
= p
0
+ mgt
p
2
= p
1
p
3
= p
0
+ b + mgt = p
1
+ b
z
1
= z
0
+
p
0
m
t +
1
2
gt
2
z

2
= z
1
+ a
z
3
= z
0
+
p
0
+ b
m
t +
1
2
gt
2
= z
1
+
b
m
t
15
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác theo các đỉnh
S =
1
2







p
1
z
1
1
p
2
z
2
1
p
3
z
3
1






=
1
2
(p

1
z
2
+ z
1
p
3
+ p
2
z
3
− z
2
p
3
− p
1
z
3
− z
1
p
2
)
=
1
2






p
1
(z
1
+ a) + z
1
(p
1
+ b) + p
1

z
1
+
b
m
t

− (z
1
+ a) (p
1
+ b)
−p
1

z
1

+
b
m
t

− z
1
p
1





Hay là
S =
1
2
ab ⇒ dΓ =
1
2
ab (4)
Từ (3) và (4) suy ra dΓ = dΓ
0
=
1
2
ab
Do ban đầu A, B cùng vận tốc v
0

mà chuyển động trong trường
trọng lực sau thời gian t A, B cùng vận tốc tức là A’B’ // AB, còn
ban đầu C có v
0
+ ∆v
0
> v
0
nên sau thời gian t, C chuyển động được
quãng đường CC’ > AA’. Do đó ∆A
′
B
′
C không phải là tam giác
vuông.
Vậy hình dạng thể tích pha đã thay đổi nhưng độ lớn không đổi.
1.2.3. Công thức phong vũ biểu
1.2.3.1. Phương pháp chung
- Tùy từng bài ta áp dụng công thức hàm phân bố theo chiều cao
hay công thức phong vũ biểu.
- Vận dụng công thức trung bình c ủa một đại lượng vật lí.
- Kết hợp điều kiện chuẩn hóa.
16
1.2.3.2. Dạng bài tập
Bài 1 Áp dụng phân bố chính tắc Gibbs để tìm phân bố theo tọa
độ (phân bố Boltzman) của một khối khí lý tưởng đồng nhất không
tương tác trong trường thế.
Xét một khối khí c ó nhiệt độ đồng đều T, khối lượng phân tử khí
là m, mật độ khí ở độ cao z = 0 là n
0

nằm trong trường trọng lực (g
là gia tốc trọng trường). Tìm phân bố các hạt theo độ cao z và suy
ra công thức phong vũ biểu.
Giả sử nhiệt độ không khí là 0
0
C và coi không khí như một chất khí lý
tưởng có phân tử lượng là 29. Cho gia tốc trọng trường, số Avogadro
N
A
= 6, 022.10
23
mol
−1
, hằng số Boltzman k
B
= 1, 38 .10
−23
J/K, sử
dụng công thức phong vũ biểu để tính tỉ số giữa mật độ không khí ở
độ cao 100m và mật độ không khí ở sát mặt đất.
Giải
+ Khí lý tưởng tự do là một hệ không tương tác.
+ Năng lượng của khối khí là tổng năng lượng của từng hạt
E =
N

i=1
E
i
=

N

i=1

p
2
ix
+ p
2
iy
+ p
2
iz
2m
+ u(x
i
, y
i
, z
i
)

+ Xác suất tìm thấy năng lượng E của hệ trong yếu tố thể tích pha
dX là:
dW = const. exp

−
E
kT


dX
= co ns t. exp

−
E
1
kT

dX
1
exp

−
E
N
kT

dX
N
=

A exp

−
ε
kT

dV dp
x
dp

y
dp
z

N
= [ dW(p
x
,p
y
,p
z
)]
N
[dW(x, y, z)]
N
Suy ra
dW(p
x
,p
y
,p
z
) = A exp

−
p
2
x
+ p
2

y
+ p
2
z
2mkT

dp
x
dp
y
dp
z
17
Hay
ω(p
x
,p
y
,p
z
) = A exp

−
p
2
x
+ p
2
y
+ p

2
z
2mkT

tương ứng là phân bố Maxuell của hạt và
dW(x, y, z) = B exp

−
u(x, y, z)
kT

dV
⇒ ω(x, y, z) = B exp

−
u(x, y, z)
kT

tương ứng là phân bố theo tọa độ (phân bố Boltzman) của hạt trong
trường thế U(x, y, z).
+ Xét một khối khí có nhiệt độ đồng đều T , khối lượng phân tử khí
là m, mật độ khí ở độ cao z = 0 là n
0
nằm trong trường trọng lực
U(x, y, z) = mgz (g là gia tốc trọng trường).
dW(z) = B exp

−
mgz
kT


dz ⇒ ω( z) =
dW(z)
dz
= B exp

−
mgz
kT

Số hạt nằm từ độ cao z đến z + dz bằng
dn(z) = n(z)dz = NdW(z) = Nω(z)dz
. Ở đây N là số hạt toàn phần của khối khí.
Suy ra
n(z) = n
0
exp

−
mgz
kT

là phân bố số hạt theo độ cao z.
Vì ở một nhiệt độ xác định áp suất chất khí tỉ lệ với mật độ , ta
suy ra công thức phong vũ biểu:
p(z) = p
z=0
exp

−

mgz
kT

Theo các dữ kiện của bài toán: T = 273K, g ≈ 9, 8 m/s
2
, N
A
=
6, 022.10
23
mol
−1
, k
B
= 1, 38 .10
−23
J/K, A = 29 g/mol, z = 100m. Tỉ
số mật độ không khí ở độ cao 100m và mật độ không khí ở sát mặt
18
đất là
ρ =
n
z=100
n
z=0
= exp

−
mgz
k

B
T

Cứ N
A
phân tử (1 mol) thì có A gram, vì vậy 1 phân tử sẽ nặng
(vì tính ra kg nên A phải nhân với 10
−3
)
m =
A
N
A
=
29
6, 022.10
23
≈ 4, 816.10
−23
g
Suy ra
ρ = exp

−
10
−3
Agz
k
B
N

A
T

ρ = 100% exp

−
4, 816.10
−26
.9, 8.100
1, 38.10
−23
.273

≈ 98, 76%
Bài 2
Ở độ cao nào ở 0
0
C áp suất của không khí giảm đi 3 lần?
Giải
Một cách gần đúng ta coi không khí tại mặt đất và tại độ cao z
cần tính là khí lí tưởng.
Gọi p
0
, p
z
là áp suất của không khí ở 0
0
C tại mặt đất và độ cao
z bất kì.
Áp dụng công thức phong vũ biểu:

p
z
= p
0
exp

−
mgz
kT

⇔
p
z
p
0
= exp

−
mgz
kT

Theo đầu bài ta có:
p
z
p
0
=
1
3
⇔

mgz
kT
= ln 3
19