Bài tập mô hình toán kinh tế Dành cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học khối kinh tế

TS. BÙI DUY PHÚ (Chủ biên)
TS. LÊ TÀI THU - TS. TRUƠNG THỊ THUỲ DUƠNG
ThS. NGUYỄN VĂN AN
(Dành cho sinh viên các trường cao đẳng,
đại học khôi kinh tê)
TS. BÙI DUY PHÚ (Chủ biên)
TS. LÊ TÀI THU - TS. TRƯƠNG THỊ THÙY DƯƠNG
ThS. NGUYỄN VĂN AN
Bài tập
M ô hình toán kinh
(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG CAO ĐẢNG,
ĐẠI HỌC KHỐI KINH TÉ)
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM
3
LỜI NÓI ĐẦU
Q /
.

_ _ . _ _
V ới mục đích cung cấp cho người đọc những bài tập để củng cố
các kiến thức đã được trình bày trong cuốn “Mô hình toán kinh tế”,
cuốn “Bài tập mô hình toán kinh tế” đã được biên soạn. Các tác giả
mong muốn rằng, với các bài tập đưa ra, ngưòi đọc sẽ có được những
kiến thức để củng cố và bổ sung các kiến thức cơ bản về những mô hình
toán kinh tế. Cuốn bài tập này được viết thành 4 chương. Trong đó:
- Chương 1: Giói thiệu Mô hình toán kinh tế do TS. Bùi Duy Phú
biên soạn.
- Chương 2: Bài toán Quy hoạch tuyến tính - Phưong pháp đon hình
do TS. Lê Tài Thu biên soạn.
- Chương 3: Mô hình cân đối liên ngành do TS. Trương Thị

Thùy Dương biên soạn.
- Chương 4: Bài toán quản lý dụ trữ do ThS. Nguyễn Văn An
biên soạn.
Do đây là cuốn bài tập được biên soạn lần đầu, các tác giả đã có nhiều
cố gắng để đưa ra đầy đủ dạng của các bài toán, tuy nhiên chắc chắn cũng
không thể tránh khỏi những khiếm khuyết về mặt nội dung cũng như hình
thức trình bày. Vì vậy, các tác giả mong muốn nhận được những ý kiến
quý báu từ bạn đọc để nội dung của cuốn sách được phong phú hơn.
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ e-mail:

hoặc

Xin trân trọng cám ơn.
Các tác giả
4
MỤC LỤC
Lời nói đầu 3
Mục lục 4
Chương 1. GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TÉ
A. Tóm tắt lý thuyết 5
B. Bài tập 17
Chương 2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
A. Tóm tắt lý thuyết 35
B. VI dụ 45
c. Bài tập 58
D. Một số bài tập tổng hợp

74
Chương 3. MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH

(Input - Output Table I/O)
A. Tóm tắt lý thuyết 79
B. Ví dụ
.
84
C. Bài tập 89
Chương 4. BÀI TOÁN QUÀN LÝ Dự TRỮ
A. Tóm tắt lý thuyết

108
B. Ví dụ

112
c. Bài tập 116
Tài liệu tham khảo 123
&
ü
1
GIÓI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TỂ
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
11. Cấu trúc của mô hình toán kinh tế
Các biến số trong một mô hình toán kinh tế bao gồm: biến ngoại sinh,
biến nội sinh và các tham số kinh tế.
Các biến số được liên hệ với nhau bởi các phưcmg trình định nghĩa,
phương trình hành vi, hay phương trình điều kiện.
12. Đ o lường sự thay đổi của các biến nội sinh theo biến ngoại sinh
1.2.1. Đo lường sự thay đổi tuyệt đối
Giả sử có hàm kinh tế dạng Y = F(Xi, X2, , x n).
. , Ax Y
Lượng thay đôi trung bình của Y theo Xi là: Pj = ——— (1.1)

AXj
ỠY
Trường hợp hàm Y khả vi theo Xi thì ta có p(X¡) = —— là tôc độ
<9Xj
thay đổi tức thời của Y theo Xi hay còn gọi là cận biên của Y theo Xi.
Trong trường họp hàm F khả vi theo tất cả các biến thì ta dùng vi
phân toàn phần.
6
< s4 à i lập ©44ô hìnk toán kinh tế
1.2.2. Đo lường sự thay đối tương đối
12.2.1. Hệ số co giãn
_ X dY X AY
Vx ~ Y ’ dx ~ Y ' AX
( 1.2)
Ý nghĩa: Hệ số co giãn cho biết khi X thay đổi 1% thì Y thay đổi bao
nhiêu phần trăm.
1.2.22. Hệ số tăng trưởng
Giả sử X = X(t). Khi đó hệ số tăng trưởng của X được đo bởi công
thức sau:
rx =
1 dx AX
X dt ~ X
(1.3)
Ý nghĩa: Hệ số này cho biết trong 1 đơn vị thời gian, X đã thay đổi rx%.
Giả sử Y = F(Xi, X2, , x n), trong đó các biến đều biến động theo
thời gian. Khi đó hệ số tăng trưởng toàn phần của hàm Y khi tất cả các
nhân tố đều thay đổi với mức tăng trưởng riêng của từng nhân tố được tính
theo công thức sau:
n
Ỷ nghĩa: Hệ số này cho biết trong một đơn vị thời gian, khi tất cả các

biến ngoại sinh thay đổi với mức tăng trưởng riêng rx % thì biến nội sinh
thay đổi ĨỴ%.
12.2.3. Hệ số thay thế
Trong các mô hình kinh tế, các biến ngoại sinh có thể thay thế hoặc
bổ sung cho nhau. Khi đó để đo mức độ thay thế hoặc bổ sung cho nhau
giữa hai biến Xi và Xj chúng ta sử dụng hệ số thay thế hay hệ số bổ sung.
Giả sừ hàm Y = F(Xi, X2, , x n) khả vi theo tất cả các biến.
C(ỉhươncj 1. (ỷiớì ihiệu mô hình toán kinh tế
7
MRS(ij) =
dX:
J -1 (V i* j)
dXị
(1.5)
MRS(i,j) được gọi là tỷ lệ thay thế cận biên giữa hai yếu tố Xi và Xj.
- Nếu MRS(i,j) < 0, hai yếu tố Xi và Xj được gọi là hai yếu tố thay thế
cho nhau.
- Nếu MRS(i,j) > 0, hai yếu tố Xi và Xj được gọi là đồng bộ, bổ sung
cho nhau.
I.2.2.4. Vấn đê'tăng quy mô và hiệu quả
Định nghĩa 1.1: Hàm sản xuất Y = F(X) = F(X], X2, , x n) được gọi
là hàm thuần nhất bậc k nếu thỏa mãn điều kiện:
F(tX) = F(t.Xi, t.x 2, „ t.xn) = tk.F(X], x 2, , x„) = f.F(X) (1.6)
k được gọi là bậc thuần nhất của hàm F. Hệ thức (1.6) cho biết rằng
khi mọi yếu tố đều cùng tăng lên t lần thì hàm sản xuất thu được sẽ tăng lên
t* lần.
1.3. Một sô mô hình kinh tế phổ biến
1.3.1. Mô hình kinh tế vi mô
1.3.1.1. Mô hình phân tích hành vi sản xuất - kinh doanh
a) Hàm sản xuất

Gọi Y là kết quả sản xuất; Xi, x 2, , Xn là các yếu tố đầu vào. Mối
quan hệ sẽ được thể hiện bởi hàm:
Như vậy, Y là biến nội sinh; Xi, x 2, , x n là các biến ngoại sinh; còn
a, b, c, là các tham số kinh tế.
Y = F(X1,X 2, ,X n, a, b, c, )
b) Điều kiện tôĩ ưu vềmặt kỹ thuật của sản xuất
Xét hàm sản xuất: Y = F(Xi, x 2, , x n, a, b, c,. )
8
-©pẦài tập ©Mô hình loán kinh tế
Năng suất cận biên của yếu tố sản xuất thứ i (sàn phẩm hiện vật cận biên):
ỠY
MPPi
(i= 1, 2, , n)
(1.7)
dXị
- Năng suất trung bình của yếu tố sản xuất thứ i: (i = 1, 2, , n).
- Hệ số co giãn của Y theo yếu tố sản xuất thứ i: Eyỵ (i = 1, 2, ,,n).
/X i
- Hệ số thay thế giữa các yếu tố thứ i và thứ j : ( Vi, j ).
Khi cơ sở sản xuất chỉ có khả năng thay đổi được yếu tố sản xuất thứ i,
còn các yếu tố khác không đổi, thì việc sử dụng yếu tố thứ i ở mức độ có
lợi nhất sẽ là ở mức năng suất trung bình của yếu tố đó lớn nhất. Tình
huống này được gọi là tình huống tối ưu hoá về mặt kỹ thuật của sản xuất:
Y

»max
Xi
Điều kiện cần và đủ để đạt được điều này là năng suất trung bình
bằng năng suất cận biên:
(,.8)

X| ỠX,
c) Tôĩ ưu hoá vê'mặt kinh tế của sản xuất - Các mô hình liên quan
Gọi Wi, W2, , wn là giá cùa các yếu tố đầu vào, hàm sản xuất có dạng:
Y = F(X1,X 2, ,X n, a, b, c, )
- Mô hình cực tiểu hoá chi phí:
Bài toán cực tiểu hoá chi phí có dạng:
TC = ^ ]w i.Xỉ => min
i=l
với điều kiện ràng buộc về sản lượng:
Y = F(Xi, x 2, , x n, a, b, c , ) = const
Điều kiện cần để chi phí thấp nhất là:
9
l'(ohmmcỊ 1. @}iới thiệu mô hình toán kinh lổ
W;
w,
(1.9)
d) Mô hình xác định mức cung của doanh nghiệp
Gọi TR(Y) là tổng doanh thu khi doanh nghiệp cung ứng ra thị trường
một khối lượng sản phẩm là Y. Hàm lợi nhuận n(Y) được xác định theo
công thức:
tức là, để thu được lợi nhuận cao nhất, trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo,
các doanh nghiệp phải lựa chọn mức cung sao cho chi phí cận biên bằng
với giá bán sản phẩm.
13.1.2. Mô hình phân tích hành vi tiêu dùng
Ta gọi đó là một véc tơ hàng hoá (một giỏ hàng hoá):
Lưu ý rằng, trong giỏ hàng hoá này, nếu loại hàng nào không mua sẽ
nhận giá trị bằng 0.
Để thể hiện mức độ thoả mãn nhu cầu, chúng ta sử dụng hàm thoả dụng:
trong đó: a, p, y là các tham số biểu thị sở thích, thị hiếu
Giả sử giá bán của các loại hàng hoá là Pi, P2, , Pm và ngân sách dành

cho tiêu dùng là M.
Điều kiện cần của tối ưu là:
n(Y) = TR(Y) - TC(Y)
Điều kiện tối ưu là:
MR(Y) = TR’(Y) = p = TC’(Y) = MC(Y) (1.10)
X = (X,,X2, ,X m)
U = Ư(X1,X 2, ,Xm, a, p, y )
với mọi i * ị (
1
.
11
)
10
-(¿pỉài lập hình loán kinh lế
1.3.13. Mô hình cung cầu hàng hoá
a) Hàm cung của thị trường
Hàm cung Qs = Q(p) có đặc tính sau:
dQs
dp
>0
( 1.12)
d 2Qs
dp
d
2
Qs
dp
> 0 khi p < Pq
< 0 khi p > p ữ
(1.13)

b) Hàm cầu của thị trường
Hàm này sẽ phụ thuộc vào giá của loại hàng cần tiêu dùng, giá các
loại hàng hoá liên quan và mức thu nhập của người tiêu dùng:
Qi = Q(Pi,P2, ,Pm, M)
- Nếu > 0 hàng hoá thứ i đươc goi là hàng hoá cao cấp.
dM
- Nếu < 0 hàng hoá thứ i đươc goi là hàng hoá cấp thấp.
dM
Hàm hợp của cầu có dạng:
Qi = Q[p 1, P2, , Pm, M(p 1, P2, , Pm)]
- Xét tác động của giá Pi ta có:
dQL==ỡQL+ạ o L ỠM
dpi ỡpị ỠM ỠP;
(1.14)
- Xét ảnh hưởng chéo cửa giá loại hàng thứ j tác động đến mức cầu Qi
ta có:
dQL = ỠQL ỠQi ỠM
dpj ỠPj ỠM ớpj
(1.15)
c(ûhwrnçy 1. @jiới thiệu mô hình toán kinh tế
11
13.1.4. Mô hình cân bằng thị trường
a) Mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa
Giả sử trên thị trường một loại hàng hoá có hàm cung Qs và hàm
cầu Qd như sau:
Qs = Q(P, a, b, c, ); Qd = Q(P, a, ß, y )
Ở đây: p là giá loại hàng đang xét: a, b, c, a, ß, y là các tham số.
Điều kiện cân bằng thị trường là: Qs = Qd
Phương trình cân bằng được viết dưới dạng: Qs - Qd = 0
Nghiệm của phương trình cho ta p phụ thuộc vào các tham số và khi

xét ảnh hưởng của các tham số tới giá cân bằng, ta sử dụng các đạo hàm
riêng của p theo các tham số đó.
b) Mô hình cân bằng trên thị trường hai loại hàng hóa
Giả sử trên thị trường hai loại hàng hoá ta có hai hàm cung và hai
hàm cầu:
QS) = Qs(Ph P2, ao, ai, a2, ); Qdl = Qd(Pi, P2, ao, ai, a 2, )
QS2 = Qs(Pi, P2, bo, bl, b2, ); Qd2 = Qd(Pi, P2, ßo, Pi, ß2, - )
Điều kiện cân bằng hai thị trường cho ta hệ hai phương trình hai ẩn Pi
và p2.
1.3.2. Mô hình kinh tếv ĩ mô
13.2.1. Mô hình tống cung và tôhg cầu
Tổng cung là tổng giá trị hàng hoá - dịch vụ mà nền kinh tế tạo ra sau
mỗi thời kỳ nhất định (thông thường là 1 năm). Nó phụ thuộc vào trình độ
công nghệ, các nguồn lực của nền kinh tế và mức giá cả.
Tổng cầu là tổng số chi tiêu hàng hoá - dịch vụ của toàn bộ nền kinh
tế trong một thời kỳ nhất định (thông thường là 1 năm). Nó phụ thuộc vào
mức đầu tư, mức tiêu dùng của cá nhân, của Chính phủ và mức giá cả.
— -

<s7ằài tập ©Mô hình toán kình tế
Ta có hệ thức cân bằng: Tổng cung = Tổng cầu
2.3.2.2. Mô hình phân tích môĩ Cịuan hệ giữa đầu tư và sản lượng —
Mồ hình nhân tử Keynes
Chúng ta ký hiệu: Q - mức sản lượng.
I - mức đầu tư.
Y - mức thu nhập,
c - mức tiêu dùng.
Mức tiêu dùng của một người đều phụ thuộc vào mức thu nhập theo
một tỷ lệ nào đó. Đế đơn giản, ta giả thiết rằng mối quan hệ đó có dạng:
C = b + c.Y (ừong đó b > 0, 0 < c < 1)

Hệ số b được gọi là tiêu dùng tự định, c được gọi là xu hướng tiêu
dùng sản phẩm cận biên (MPC).
Từ điều kiện cân bằng ta có mô hình:
Q = Y
Q = I + C (1.16)
C = b + cY
Trong mô hình (1.16), I là biến ngoại sinh; Q, c là các biến nội sinh;
b, c là các tham số.
=» Q = r — I + T——b (1.17)
1—c 1—c
Thông qua kỹ thuật đạo hàm riêng sẽ thấy được ảnh hưởng của biến ngoại
sinh I hay các tham số b, c ảnh hưởng như thế nào đến mức sản lượng Q.
Nếu cho đầu tư I tăng trưởng một số gia AI thì:
AQ = —1— AI (1.18)
1 — c
, 1
Hê sô —— đươc gọi là nhân từ Keynes.
1 — c
12
phương 1. (ỳiới thiệu mô hình toán kinh lê'
13
13.2.3. Mô hình thu nhập quốc dãn
- Mô hình:
Y = C + Io + Go
c = b + C.(Y - T) (b > 0, 0 < c < 1) (1.19)
T = a + t.Y (a > 0, 0 < t < 1)
- Phân tích mô hình:
Từ mô hình chúng ta xác định trạng thái cân bằng của mô hình.
- = b - c - a + I0+G 0 (1.20)
I — c + c • t

13.2.4. Mô hình tăng trưởng Harrod - Domar
- Mô hình gồm các biến số sau:
Y(t): thu nhập quốc dân tại thời kỳ t.
K(t): vốn của thời kỳ t.
I(t): mức đầu tư cho thời kỳ t.
L(t): lực lượng lao động xã hội tại thời kỳ t.
Khi đó các biến số của mô hình có những mối quan hệ như sau:
K(t) = v.Y(t) (1.21)
? - * >
I(t) = s.Y(t)
d L _ T
— = n.L
dt
( 1.22)
(1.23)
(1.24)
- Phân tích mô hình:
Thay (1.21) vào (1.22) thu được phưcmg trình vi phân tuyến tính bậc
nhất sau:
v .~ - = s.Y(t) = 0 (1.25)
dt dt V dt
trong đó a = s/v chính là hệ số tăng trưởng của Y.
14
■(¿pỉài lập ©Mô hình toán kinh tế
1.4. Phương pháp tính cực trị của hàm nhiều biến trong phân tích
kỉnh tế
1.4.1. Cực trị tự do (cực trị không điều kiện)
Định lý 1.1:
- Điều kiện cần để hàm f(xi, X2, , Xn) đạt cực trị tại điếm
X = (xi, X2, Xn) là các đạo hàm riêng bậc nhất theo từng biến số tại X

bằng 0, hay:
T - ( x ) = 0 (V i = 1, 2, , n) (1.26)
ÕXị
Khi đó X được gọi là điểm dừng (điểm nghi ngờ).
- Điều kiện đủ: Trường hợp 2 biến y =f(xj, Xỉ). Giả sử tại điểm dừng
X hàm f(xj, Xỉ) có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 theo các biến:
từ đó ta lập định thức: D =
f.l
f.2
Í21
^22
— f 11-^22 ^12-^21
Định lý 1.2 : Neu D > 0 thì hàm sổ có cực trị tại điểm dừng X:
- X là cực đại nếu fn < 0; / 2 2 < 0.
- X là cực tiểu nếu fu > 0; f 22 > 0.
Nếu D < 0 hàm số không có cực trị tại X .
Trong trường hợp tổng quát y = f(xu x2> xn).
Giả sử X = ( Xi, X2 Xn) là một điểm dừng của hàm đã cho.
cĩễhumtq 1. ýỳiớ i ihìệu mô hình loán kinh tế
15
Đặt f„
ô2f -
ỠX,ỠXj
(x) (Vi,j). Ta lập ma trận các đạo hàm riêng cấp 2
gọi là ma trận Hessian:
H =
Hu - fn ; H2 =
fl2 — f.n
^21
f22

^2n
fn.
f„2 fnn
b. thức con chính
Al A 2
^21 ^22
Hn = |H| = detH
Định lý 1.3:
- Nếu Hk> 0 với mọi k = 1. 2, , n thì hàm f đạt cực tiếu tại điếm
dừng X.
- Nếu (-l/.H k > 0 với k = l,n thì hàm sổ f sẽ đạt cực đại tại điểm
dừng X.
1.4.2. Cực trị có điều kiện (cực trị có ràng buộc, cực trị vướng)
Tìm cực trị của hàm:
y = f(xi,x2, ,xn)
(1.27)
với điều kiện:
g(xi, x2, ,x„) = b
(1.28)
Lập hàm Lagrange L(xi, x2, , xn, A.) có dạng:
L = f(Xl, x2, , Xn) + X,.[b-g(xi, x2, , Xn)]
(1.29)
trong đó: X được gọi là nhân tử Lagrange. Từ đây ta xét các điều kiện
cần và đủ của cực trị cho hàm L.
- Điểu kiện cần: Hàm (1.48) đạt cực trị tại điểm dừng (r, ẳ) nếu điểm
này là nghiệm của hệ:
16
<zpỉài lậv &Mô hình loán kinh tế
^-(x,Ằ) = 0
. dxi

Ế M = o
OÀ
i L = i L _ x i i . = o
ỠXj dXị ỠXị
^ = b -g (x l5x2, ,xn) = 0
(Vi = l,n)
(Vi = l,n)
(1.30)
(1.31)
Nghiệm của hệ (1.31) là (x,Ả) = (Xị, x2, , xn,X) được gọi là điểm
dừng của hàm L. Nếu bỏ Ả thì thu được X là điếm dừng của hàm f.
- Điều kiện đủ:
Ta lập ma trận Hessian viền như sau:
0
81
g2 •
ên
Si
L.1
L 12
• L.„
g2 L2I
^22 •
• L 2n
ên
Lnl
L n2 •
•• Lan
, ỹơ
ơ đây, gj = —— là giá tri đao hàm riêng câp 1 của hàm g và

ỠXị
Ljj =

là các đao hàm riêng cấp 2 của hàm L tính tai điểm dừng
dXịdXị
( X,Ằ). Khi đó các định thức con chính H 2, H3, , Hn của H được tính
như sau:
0
81
g2 •
■ gk
8i
Lu
L 12 .
•• L lk
Hk =
g2
L21 L22 •
•• L2k
gk
L kl
L k2 •
•• Lj^
"'(ỗhưoncỊ 1. ýỷiới thiệu mô hình toán kinh tế
17
Định lý 1.4: (điều kiện đủ của cực trị)
a) Neu (—lỷỉrlỵ > 0 với mọi k = 2, 3 , n thì hàm (1.46) veri điều kiện
(1.47) sẽ đạt cực đại tại điểm dừng X.
b) Neu Hk < 0 với mọi k = 2, 3, , n thì hàm (1.46) với điều kiện
(1.47) đạt cực tiếu tại điểm dừng X.

B. BÀI TẬP
1.1. Một doanh nghiệp độc quyền có đường cầu (ngược) và hàm chi phí
cận biên có dạng như sau:
p = 120 - 0,3Q; MC = 0,4Q
trong đó: Q là mức sản lượng của doanh nghiệp.
1. Hãy xác định hàm tổng chi phí TC, tổng doanh thu TR, biết rằng chi
phí cố định của doanh nghiệp là 60.
2. Hãy phân tích mối quan hệ giữa doanh thu cận biên và sản lượng.
1.2. Cho hàm chi phí cận biên MC = Q2 - 200Q + 50, chi phí cố định
FC = 45, hàm cầu của công ty là: Q = 11 - P/2.
1. Tìm hàm chi phí trung bình AC, cho biết ý nghĩa của dAC/dQ?
2. Tìm lượng hàng Q* mà tại đó lợi nhuận của công ty cực đại.
1.3. Một hãng độc quyền có đường cầu ngược và chi phí cận biên, doanh
thu cận biên như sau:
p = 400 - 0,25Q; MC = 0,3Q; MR = 400 - 0,5Q
1. Xác định tổng chi phí, chi phí trung bình, tổng doanh thu, biết rằng
FC = 20.
2. Xác định mức sản lượng để hàm lợi nhuận cực đại, tính mức lợi nhuận
cực đại. Tính hệ sổ co giãn của hàm lợi nhuận theo sản lượng tại mức
sản lượng đó và cho biết ý nghĩa kinh tế của hệ số này.
1.4. Hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa có dạng như sau:
s = 2p + 57; D = 60 - p2 (trong đó: p là giá cả hàng hóa).
2-BTMHTKTẾ
18
<£p2ài lập &M-Ô hình toán kừih lẽ'
1. Xác định giá và sản lượng cân bằng.
2. Tính hệ số co giãn của mức cung và mức cầu theo giá ở trạng thái câm
bằng. Cho biết ý nghĩa kinh tế của chúng.
1.5. Hàm cầu (D) của một loại hàng hóa phụ thuộc vào giá (p) của hàng
hóa đó và thu nhập (M) của người tiêu dùng có dạng như sau:

D = 0,48M - 2p + 15
Hàm cung (S) loại hàng hóa fren có dạng s = 4p - b (b là tham số dương)
1. Xác định biếu thức tìm giá cân bằng và sản lượng cân bằng.
2. Xác định hệ số co giãn của giá cân bằng, của lượng cân bằng theo thu
nhập ở mức M = 100. Giải thích ý nghĩa của hệ số này.
3. Hãy xem xét tác động của tham số b tới mức giá cân bằng.
1.6. Mức cầu và mức cung của một loại hàng hóa trên thị trường có dạng
như sau:
D = 180 - 0,lp; s = 0,3p - 20
1. Xác định mức giá cân bằng và sản lượng cân bằng.
2. Xác định hệ số co giãn của cung và cầu theo giá tại mức giá cân bằng
và cho biết ý nghĩa.
1.7. Mức cầu (D) của một loại hàng hóa phụ thuộc vào giá hàng hóa đó (p)
và thu nhập (M) của người tiêu dùng có dạng như sau:
D = l,5.M0,l.p"0,3
Mức cung (S) loại hàng hóa trên có dạng: s = l,4.p0’3.
1. Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập.
2. Hãy xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bằng.
1.8. Cho hàm chí cận biên về một loại hàng hóa là:
MC = 2Q2 - 4Q + 15 và TC(0) = FC = 60
/. Tính và giải thích ý nghĩa của dAC/dQ; d2AC/dQ2, trong đó AC là chi
phí trung bình.
hieonçj ỉ. ^f iái thiệu mô hình toán kinh tế
19
2. Cho hàm doanh thu trung bình AR = ß - 2Q, ừong đó ß là tham số.
a) Tham số ß có dấu như thế nào để phù họp với lý thuyết kinh tế và
thực tiễn.
b) Hãy phân tích tác động của tham số ß tới mức sản lượng làm tối đa
hóa lợi nhuận.
1.9. Cho hàm cung (S) và hàm cầu (D) về một loại hàng hóa như sau:

s = 6p - 4; D = 3 - p2
trong đó: p là giá của loại hàng hóa đang nghiên cứu.
1. Hãy xác định giá cân bằng và sản lượng cân bằng.
2. Hãy xác định hệ số co giãn của cung và cầu theo giá ở trạng thái cân
bằng. Giải thích ý nghĩa của các hệ số đó.
1.10. Kim ngạch nhập khẩu dầu mỏ (X) sang Mỹ của một quốc gia ở vùng
Trung Đông phụ thuộc vào thu nhập quốc dân (Y) của Mỹ và mức giá
cả (P) của quốc gia đó và có dạng:
X = y °’5/p 0'5
1. Tính hệ số co giãn của X theo Y và theo p.
2. Giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ số đó.
3. Nếu thu nhập quốc dân của Mỹ tăng 2,5%, mức giá của quốc gia xuất
khẩu dầu mỏ tăng thêm 1,5% thì kim ngạch xuất khẩu dầu mỏ sẽ biến
động như thế nào?
1.11. Mức cầu về một loại hàng hóa của người tiêu dùng (D) phụ thuộc vào
thu nhập của họ (M) và vào giá của hàng hóa (P) có dạng:
D = 2,5.M°’3/P0,4
1. Tính hệ số co giãn của cầu theo các nhân tố và giải thích ý nghĩa kinh
tế của các hệ số này.
2. Nếu thu nhập tăng 3%, giá cả tăng thêm 2% thì mức cầu sẽ biến động
như thế nào?
3. Loại hàng hóa trên là loại hàng hóa gì?
20
<zpằài lập <3^tô hình loan kinh lẽ'
1.12. Một doanh nghiệp có hàm chi phí trung bình như sau:
AC = Q2- 12Q + 60.
trong đó: Q là sản lượng.
1. Hãy xác định hàm tổng chi phí, hàm chi phí cận biên.
2. Hãy xác định giá bán tối thiểu (giá sàn) và quy mô sản lượng của
doanh nghiệp để đảm bảo doanh nghiệp hoạt động có lãi.

1.13. Một hãng có hàm doanh thu cận biên và chi phí cận biên như sau:
MR = 15 - 2Q; MC = Q2-9Q + 25
trong đó: Q là sản lượng. Hãy xác định mức sản lượng để tối đa hóa
lợi nhuận.
1.14. Một hãng có hàm chi phí cận biên và hàm doanh thu biên như sau:
MC = 180 + 0,3Q2; MR = 540 - 0,6Q2
trong đó: Q là sản lượng
/. Hãy xác định hàm tổng chi phí, chi phí trung bình và tổng doanh thu
biết rằng chi phí cố định của hãng là 65 \
2. Hãy xác định mức sàn lượng để lợi nhuận tối đa và tính mức lợi
nhuận đó.
1.15. Một hãng độc quyền có hàm cầu và hàm tổng chi phí như sau:
p = 460 - 2Q; TC - 20 + 0,5Q2
trong đó: p là giá bán hàng hóa, Q là sản lượng.
Hãy xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và tính mức lợi
nhuận đó.
1.16. Một doanh nghiệp hoạt động với hàm sản xuất phụ thuộc vào hai yếu
tố đầu vào là vốn K và lao động L có dạng Q = K0'5 + L0,5, trong đó ọ
là sản lượng. Giá một đon vị đầu vào K là 5, đầu vào L là 2, giá bán
một đon vị sản phẩm là p = 20.
1. Hãy xác định mức sử dụng các yếu tố đầu vào và mức sản lượng tối
đa hóa lợi nhuận. Tính mức lợi nhuận đó.
21
2. Hãy xác định tỷ lệ thay thế giữa 2 yếu tố vốn và lao động, cho biết ý nghĩa.
3. Khi doanh nghiệp tăng quy mô sản xuất có hiệu quả hay không? Vì sao?
1.17. Một doanh nghiệp hoạt động với hàm sản xuất phụ thuộc vào hai yếu
tố đầu vào là vốn K và lao động L có dạng Q = 25.K°’5.L0’5, trong đó
Q là sản lượng. Giá một đơn vị đầu vào K là 12ƯSD, giá một đơn vị
đầu vào L là 3ƯSD.
1. Hãy xác định mức sử dụng các yếu tố đầu vào để cực tiểu chi phí nếu

doanh nghiệp muốn sản xuất 1.250 sản phẩm.
2. Hãy xác định tỷ lệ thay thế giữa 2 yếu tố vốn và lao động, cho biết ý
nghĩa của hệ số này.
3. Khi doanh nghiệp tăng quy mô sản xuất có hiệu quả hay không? Vì sao?
1.18. Hàm tổng chi phí của một công ty có dạng TC = 4.000 + 10Q + 0,1Q2.
Hàm cầu của thị trường đối với sản phẩm của công ty có dạng:
Q = 8 0 0-2,5p
(với: Q là mức sản lượng, p là giá mỗi đơn vị sản phẩm).
1. Hãy xác định hàm chi phí cận biên, chi phí trung bình và mức giá đế
tối đa hóa lợi nhuận.
2. Xác định hệ số co giãn của TC tại mức giá p = 80 và cho biết ý nghĩa.
1.19. Một hãng độc quyền có hàm cầu ngược và hàm tổng chi phí như sau:
p = 72 - 0,04Q; TC = 500 + 30Q
trong đó: Q là sản lượng của hãng, p là giá một đơn vị sản phẩm.
1. Hãy xác định chi phí cận biên, doanh thu cận biên, doanh thu trung
bình, chi phí trung bình.
2. Hãy xác định mức giá, mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và tính
mức lợi nhuận đó.
1.20. Một hãng có hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 - 12Q + 700, doanh thu
trung bình là AC = 2.000 - Q (trong đó: Q là mức sản lượng của hãng).
c(ịhươncỊ 1. (ỹiới ikiệu mô kìnk toán kinh tế
22
<3%ài tập (b M ô hình toán kinh tế
1. Hãy xác định hàm tổng chi phí TC, chi phí trung bình MC nếu cho chi
phí cố định FC = 30.
2. Hãy phân tích tác động của FC tới mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.
1.21. Một thị trường có hàm cầu và hàm cung như sau:
p = 92 - 2Q; p = 12 + 3Q.
1. Hãy xác định mức sản lượng và mức giá ở trạng thái cân bằng.
2. Xác định hệ số co giãn của cầu và cung theo giá ở trạng thái cân bằng

và cho biết ý nghĩa của các giá trị này.
1.22. Một hãng độc quyền có hàm cầu ngược và hàm tổng chi phí như sau:
p = 72 - 0,04Q; TC = 500 + 30Q
trong đó: Q là sản lượng, p là giá một đon vị sản phẩm.
1. Xác định chi phí cận biên, chi phí trung bình và doanh thu cận biên.
2. Xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận đó.
3. Nếu thuế suất là 6% thì ở tại mức lợi nhuận tối đa, doanh thu thuế là
bao nhiêu?
1.23. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí cận biên, doanh thu cận
biên và hàm cầu ngược như sau:
MC = 0,3Q; MR = 400 - 0,5Ọ; p = 400 = 0,25Ọ
trong đó: Q là sản lượng, p là giá của mỗi đcm vị sản phẩm.
1. Hãy xác định hàm tổng chi phí, chi phí trung bình và tổng doanh thu,
biết rằng chi phí cố định FC = 20.
2. Hãy xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận
đó. Tại mức sản lượng này, doanh thu thuế sẽ là bao nhiêu nếu thuế
suất là 7%.
1.24. Một hãng độc quyền có hàm cầu ngược và tổng chi phí như sau:
p = 460 - 2Q; TC = 20 + 0,5Q2
trong đó: Q là sản lượng cung ứng, p là giá của mỗi đon vị sản phẩm.
^ẽhuxma 1. Jỳíới ihiêu mô hình toán kỉnh tế
23
1. Hãy xác định hàm chi phí cận biên, chi phí trung bình và doanh thu biên.
2. Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và giá bán tưong ứng.
1.25. Qua phân tích sổ liệu thống kê của một quốc gia, người ta thấy rằng có
mối quan hệ giữa tỷ lệ lạm phát hàng năm (p) với mức thâm hụt ngân
sách của Nhà nước (BD) và với tỷ lệ thất nghiệp (u) có dạng như sau:
p = a-BDa.u9
trong đó:a>0; 0 < a < 0,5 ; — 0,3 < ß < 0 .
Trong khuôn khổ mô hình hên:

1. Hãy nêu tính chất và vai trò của các nhân tố trong mô hình trên.
2. Nếu Nhà nước muốn giảm tỷ lệ lạm phát 1% thì có thể có những biện
pháp gì?
3. Nếu mức thâm hụt ngân sách tăng thêm 3%, tỷ lệ thất nghiệp cũng
tăng thêm 3% thì tỷ lệ lạm phát biến động như thế nào?
4. Đe ổn định (giữ nguyên) tỷ lệ lạm pháp và giảm tỷ lệ thất nghiệp, Nhà
nước cần phải điều chỉnh thâm hụt ngân sách như thế nào?
1.26. Tiết kiệm của dân cư (S) phụ thuộc vào thu nhập (Y) và lãi suất (r) có
dạng như sau:
s = aY“r9 (trong đó: a > 0; a > 0; ß > 0).
1. Hãy nêu tính chất và vai trò của các nhân tố trong mô hình trên.
2. Trong trường hợp thu nhập không đổi, muốn tiết kiệm tang 10% thì
phải điều chỉnh lãi suất như thế nào?
3. Nếu thu nhập tăng 6%, lãi suất tăng thêm 2% thì tiết kiệm sẽ biến
động như thế nào?
1.27. Nhu cầu nhập khẩu một loại hàng hóa (IM) phụ thuộc vào thu nhập
(Y) và thuế nhập khẩu (T) có dạng như sau:
IM = Y^'/T0’3
7. Hãy xác định hệ số co giãn của nhu cầu nhập khẩu theo thu nhập và
theo thuế nhập khẩu và cho biết ý nghĩa của các hệ số này.
24
lập @M'Ô kình loán kinh tế
2. Nếu để nhập khẩu tăng thêm 3%, thu nhập tăng thêm 5% thì thuế
nhập khẩu phải biến đổi nhu thế nào? Từ đó cho biết, trong khuôn
khổ mô hình trên, để hạn chế nhập khẩu nhằm bảo hộ hàng hóa nội
địa, Nhà nước cần có những biện pháp gì?
1.28. Mức cầu tiền tệ (M) phụ thuộc vào thu nhập (Y) và lãi suất (r) có
dạng như sau:
M = 0,1.Y0'02. T~°’2
1. Hãy xác định hệ số co giãn của cầu tiền theo thu nhập và lãi suất và

cho biết ý nghĩa các hệ số này.
2. Trong trường hợp không đổi, để mức cầu tiền tệ tăng thêm 5% thì
phải điều chỉnh lãi suất như thế nào?
1.29. Mức cung một loại hàng hóa trên thị trường (S) phụ thuộc vào giá (p),
thuế suất (t) của thuế doanh thu đánh vào loại hàng hóa đó và có dạng
như sau:
s = S(p,t) (trong đó > 0; < 0).
ơp ơt
1. Hãy giải thích ý nghĩa của các giả thiết trên.
2. Trong khuôn khổ mô hình trên, để kích thích sản xuất loại hàng hóa
trên, Nhà nước cần có những biện pháp gì?
1.30. Trong lý thuyết tiền tệ, chúng ta có mô hình Tobin như sau:
trong đó: M là mức cầu tiền tệ, T là mức thu nhập, b là chi phí môi
giới chứng khoán và i là lãi suất chứng khoán.
1. Trong khuôn khổ mô hình, nếu thu nhập tăng gấp đôi (các yếu tố khác
không đổi) thì mức cầu tiền tệ có tăng gấp đôi hay không? Vì sao?
2. Nếu lãi suất i tăng 2% thì mức cầu tiền tệ thay đổi như thế nào, trong
điều kiện các yếu tố khác không đổi?