tiểu luận vật lý thống kê về lý thuyết thăng giáng

Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
PHẦN 1
MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý lý thuyết, áp dụng các
phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa
một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải
chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có
tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Một trong các vấn đề của vật lý thống kê là ký thuyết thăng giáng.
Khi hệ nằm trong trạng thái cân bằng, trên thực tế, các đại lượng vật lý bất
kỳ F(x) không phải là không đổi mà liên tục biến đổi ở gần giá trị trung
bình F của nó. Trong các phần nhỏ của một hệ thức bất kỳ, hoặc là sau một
khoảng thời gian nhỏ, do chuyển động của hạt vi mô của các hạt, có xảy ra
biến thiên tự phát của các thông số vĩ mô. Các độ lêch ngẫu nhiên tồn tại
trong hệ một cách liên tục này của các đại lượng vật lý so với trị số trung
bình được gọi là các thăng giáng.
Người đầu tiên nghiên cứu vấn đề thăng giáng là Albert Einstein khi
ông nghiên cứu hiệu ứng kích thước nguyên tử hữu hạn tác động đến hiện
tượng tán xạ vào năm 1903 và 1904. Và sau đó ông đưa ra lý thuyết về
chuyển động Brown. Đây là bài báo đầu tiên về vật lý thống kê.
Việc tìm xác suất xuất hiện một trị số tuyệt đối nào đó của thăng giáng
là một trong các vấn đề cơ bản của lý thuyết thăng giáng. Dựa vào thăng
giáng người ta giải thích được nhiều hiện tượng vật lý như: tán xạ của ánh
sáng, sự xuất hiện của các dòng không đều trong các mạch có suất điện
động. Các thăng giáng đã đặt giới hạn cho độ nhạy của máy đo khác nhau…
Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về những vấn đề trên nên em chọn đề tài
“Lý thuyết thăng giáng”.
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 1
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh

Như Thảo
1.2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu nhằm hệ thống lại một số kiến thức về lý
thuyết thăng giáng và ứng dụng vào giải một số bài tập liên quan.
1.3. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành tiểu luận này cần phải sử dụng các phương pháp phân
tích, tổng hợp và vận dụng các kiến thức để tính toán triển khai công thức
và giải các bài tập cụ thể.
1.4. Giới hạn đề tài
Đề tài nghiên cứu một số vấn đề của lý thuyết thăng giáng về định
nghĩa, thăng giáng thống kê ở hệ cân bằng, các phương pháp xác định
thăng giáng, một số úng dụng và một số bài tập điển hình.
1.5. Bố cục đề tài
Tiểu luận chia làm 3 phần
Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề tài, mục đích, nhiệm vụ, phương
pháp nghiên cứu và giới hạn đề tài.
Phần thứ hai là phần nội dung chính của đề tài.
Phần thứ ba là kết luận và tài liệu tham khảo.
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 2
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
PHẦN 2
NỘI DUNG
CHƯƠNG I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA LÝ THUYẾT THĂNG GIÁNG
I.1. Định nghĩa thăng giáng
Một số định nghĩa cơ bản
F(x) là trị tức thời của một đại
lượng vật lý;
F
là trị trung bình;

( )
F F−
là độ lệch khỏi trị trung
bình, đồng thời
( )
0F F F F− = − =
( )
2
F F−
là bình phương của độ lệch khỏi thị trung bình;
( )
2
F F−
là trị trung bình của bình phương độ lệch hay phương sai ;
( )
2
F F−
là độ lệch quân phương khỏi vị trí trung bình;
Để đánh giá gần đúng độ thăng giáng của một đại lượng vật lý, người
ta dùng độ lệch quân phương của nó. Thông thường như vậy là đủ. Nhưng
đôi khi để đánh giá độ thăng giáng người ta có thể dùng độ lệch có bậc cao
hơn, thí dụ độ lệch trung bình bậc bốn.
Độ thăng giáng của một đại lượng vật lý tính theo độ lệch quân
phương là bằng

( )
2
F F∆ = ± −
(I.1)
Đôi khi, thay cho trị tuyệt đối của độ thăng giáng người ta đưa vào

độ thăng giáng tương đối, được xác đinh như sau
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 3
O
F
(x)
F
t
F∆
F∆
F
Hình 1
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo

( )
2
2
F F
F
δ
−
=
(I.2)
Việc xác định độ thăng giáng qua độ lệch quân phương làm cho việc
đánh giá độ lớn của nó được dễ dàng. Thực vậy, độ lệch quân phương (hay
phương sai
( )
2
F F−
), cũng như phương sai là đại lượng ngẫu nhiên. Đại

lượng ngẫu nhiên đó phân bố gần trị trung bình
F
theo định luật chuẩn
(định luật phân bố Gaoxơ)
( )
( )
( )
( )
2
2
2
1
exp
2
F F
F F
F F
F F
ω
π
 
−
 
− = −
 
 
−
−
 
(I.3)

Định luật đó chỉ rằng ta sẽ gặp độ lệch
lớn hơn độ lệch quân phương hiếm hơn rất
nhiều so với các độ lệch nhỏ. Vì vậy, độ lệch
quân phương cho ta hình dung được cỡ của độ
thăng giáng một đại lượng vật lý ngẫu nhiên
nào đó. Phân tích (I.1) ta sẽ có cực đại càng hẹp
nếu phương sai
( )
2
F F−
càng nhỏ. Chắc chắn
rằng, có thể có những độ lệch rất lớn hơn độ lệch quân phương, nhưng
chúng có xác suất rất nhỏ và vì vậy chúng sẽ không gây ảnh hưởng đáng kể
tới các tính chất của hệ.(hình vẽ )
Như vậy, để đánh giá thăng giáng trong hệ, ta cần phải biết trung
bình của bình phương độ lệch của một đại lượng vật lý (đặc trưng cho hệ)
mà ta có thể xác định, chẳng hạn như theo công thức sau
( )
2
2 2 2 2
2F F F FF F F F− = − + = −
Trong đó
2
F
là trung bình của bình phương của đại lượng đó, còn
2
F
là
bình phương của trị trung bình. Trị trung bình của một đại lượng vật lý
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 4

W(F)
F
Hình 2
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
được xác định từ thí nghiệm, còn trung bình của bình phương thì thường là
chưa biết.
Trong một hệ bất kỳ thường có các thăng giáng của nhiều đại lượng vật
lý. Khi đó, đối với hai đại lượng bất kỳ trong số đó, ngoài việc tính các độ
lệch quân phương
2
i
q∆
và
2
k
q∆
, ta thường xét đại lượng

( ) ( )
i i k k i k
q q q q q q− − = ∆ ∆
Đại lượng đó được gọi là tương quan của hai đại lượng
i
q
và
k
q
bởi
vì nó nói lên mối quan hệ tương hỗ của hai đại lượng ngẫu nhiên đó. Nếu

các đại lượng ngẫu nhiên
i
q
và
k
q
là độc lập thì tương quan của chúng
bằng không. Và ngược lại, nếu tương quan của hai đại lượng nào đó,
i
q
và
k
q
, là bằng không

0
i k
q q∆ ∆ =
thì đại lượng đó được xem là độc lập.
I.2: Thăng giáng thống kê ở hệ cân bằng
Ta đã thấy rằng trong một hệ vật lý ở trạng thái cân bằng, trong khi các giá
trị của các tham số ngoại được xác định từ điều kiện bên ngoài, thì các biến
số nội của hệ lại luôn có những giá trị chịu những biến thiên quanh giá trị
trung bình, đó chính là thăng giáng nội tại.
I.2.1: Thăng giáng của mật độ hạt
1. Thăng giáng số hạt của một hệ nhỏ
Xét một hệ S có một thể tích nhỏ V xác định trong một hệ
ϕ
, hệ S có thể
trao đổi nhiệt và trao đổi hạt với phần còn lại của

ϕ
, phần còn lại này đóng
vai trò hệ điều nhiệt và hệ trữ hạt. Ta cho hệ S có nhiệt độ T và thế hóa học
µ
.
Như ta đã biết, khi ở trạng thái cân bằng, xác suất
P
l
để S ở trạng thái vi
mô
( )
l
có năng lượng
E
l
và có số hạt
N
l
là:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 5
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
{ }
1
exp - (E )P N
Z
β µ
= −
l l l
(I.2.1a)

trong đó, Z là hàm tổng thống kê lớn
[ ]
( )
exp - (E )Z N
β µ
= −
∑
l l
l
(I.2.2b)
Số hạt trung bình trong thể tích V là:
kT Z
N N P
Z
µ
∂
= =
∂
∑
l l
(I.2.3a)
Và
2 2
2 2
2
( )kT Z
N N P
Z
µ
∂

= =
∂
∑
l l
(I.2.3b)
Lấy đạo hàm biểu thức (I.2.3a) theo
µ
ta có:
2
2
2 2
N kT Z kT Z
Z Z
µ µ µ
 
∂ ∂ ∂
= −
 ÷
∂ ∂ ∂
 
(I.2.4)
Từ đó ta có:
2 2
N
N N
β
µ
∂
 
= −

 
∂
(I.2.5)
Sự thăng giáng của số hạt trong hệ S được tính bằng hệ thức :
1
2
2 2
N N N
 
∆ = −
 
(I.2.6)
Hay
1
2
N
N kT
µ
 
 
∂
∆ =
 
 ÷
∂
 
 

Áp dụng cho khí hệ lý tưởng
Với khí lý tưởng đơn nguyên tử, ta có công thức tính năng lượng tự do

là

[ ]
( )
3
2
3
2
ln ln ln
N
N
mkT
F kTN N V kT
h
π
= − + −
(I.2.7)
Do đó thế hóa học là:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 6
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
ln ( )
F
kT N f T
N
µ
∂
= − = +
∂
(I.2.8)

Như vậy
N N∆ =
(I.3.9)
Và ta tính được độ thăng giáng tương đối tỷ lệ nghịch với
1
2
N
.
1N
N
N
∆
=
(I.2.10)
2. Thăng giáng thể tích một hệ nhỏ
Để xét thăng giáng của thể tích của một hệ nhỏ s là một phần của hệ
S, ta xác định số hạt của hệ s không đổi và cho s tiếp xúc nhiệt và cơ với
phần còn lại của S. Phần còn lại này sẽ ấn định cho hệ s nhiệt độ T và áp
suất p; ta gọ đó là tập hợp T-p.
Ta có áp suất
P
l
để hệ s ở trạng thái cân bằng có thể tích trong khoảng
V đến V+dV và có trạng thái vi mô
( )
l
có năng lượng
P
l
là:

( )
1
exp - EdP pV dV
Z
β
= + 
 
l l
(I.2.11)
Với
( )
0
exp - EZ dV pV
β
+∞
= + 
 
∑
∫
l
l
(I.2.12)
Vậy ta có:

( )
( )
( )
0
1
exp - E

kT Z
V V P dVV pV
Z Z p
β
∞
∂
= = + = − 
 
∂
∑ ∑
∫
l l l
l l
(I.2.13)

( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2
0
1
exp - E
kT
Z
V V P dVV pV
Z Z p

β
+∞
∂
= = + = 
 
∂
∑ ∑
∫
l l l
l l
(I.2.14)
Vậy:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 7
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
1
1
2
2
2 2
V
V V V kT
p
 
 
∂
 
∆ = − = −
 
 ÷

 
∂
 
 
(I.2.15)
Áp dụng cho khí lý tưởng:
Từ phương trình trạng thái pV = NkT ta có
2
T
V kNT
p p
 
∂
= −
 ÷
∂
 
. Từ
(I.2.15) ta được:
1
2
2
kNT kT
V kT N
p p
 
 
∆ = − − =
 
 ÷

 
 
Vậy:
1V kT N p
V p kTN
N
∆
= × =
(I.2.16)
3. Thăng giáng cục bộ
Trong thực tế người ta của mật độ hạt cục bộ trong thể tích V được định
nghĩa:
N
V
ρ
=
(I.2.17)
Thăng giáng
ρ
có thể tính bởi phương pháp của phần I.2.1, tức là giữ thể
tích V xác định cho ta kết quả:

1
2
2
,T V
N kT N
N N
ρ
ρ µ

 
 
∆ ∆ ∂
= = −
 
 ÷
∂
 
 
 
(I.2.18)
Hoặc bởi phương pháp cho N xác định như trong phần I.2.2:

1
2
2
,T N
V kT V
V V p
ρ
ρ
 
 
∆ ∆ ∂
= = −
 
 ÷
∂
 
 

 
(I.2.19)
Hai kết quả trên là tương đương, vì thực tế ta có hệ thức
2
2
,
,
T V
T N
N N V
V p
µ
 
 
∂ ∂
= −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
(I.2.20)
Thực vậy, một mặt ta có:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 8
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
2
2
,T V
N F

N
µ
 
∂ ∂
=
 ÷
∂ ∂
 
(I.2.21)
Mặt khác:
2
2
,T N
p F
V V
∂ ∂
 
= −
 ÷
∂ ∂
 
(I.2.22)
Nhưng vì năng lượng tự do F là đại lượng cộng tính
( , , ) . ( , )
V
F T V N N f T
N
=
nên
2 2 2

2
2 3
, ,
F V V f V
f T T
V
N N N N
N
F V f
N N
V
N
∂ ∂
   
= −
 ÷  ÷
∂
 
   
∂
 ÷
 
∂ ∂
=
∂
 
∂
 ÷
 
Tương tự ta cũng có:

2 2
2
2
2 2 2
2 2 2
1F f
N N
V
N
F V F
N N V
∂ ∂
=
∂
 
∂
 ÷
 
∂ ∂
⇒ =
∂ ∂
So sánh biểu thức trên với (I.2.21), (I.2.22) ta tìm được (I.2.20).
I.2.2: Thăng giáng của năng lượng
I.2.2.1. Sự tương hợp giữa năng lượng và thể tích
Để đánh giá được nhưng thăng giáng thống kê của năng lượng, ta có thể sử
dụng một trong hai phương pháp: hoặc ta xác định thể tích V của hệ nhỏ S,
là một phần của hệ S, hoặc ta cho số hạt N có giá trị định trước. Tất nhiên
là hai phương pháp cùng dẫn đến một hệ quả vật lý cho năng lượng.
Ở đây ta sẽ dùng phương pháp thứ hai, cho xác định số hạt N. khi này, ta có
tập hợp T-p, và phân bố thống kê của các trạng thái vi mô được xác định

Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 9
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
bởi hệ thức (I.2.11). Để tính được thăng giáng của năng lượng E, ta phải
xét mối liên hệ giữa E và V, xác định bởi:

( ) ( )
. . 2 .E V E E V V EV EV EV E V EV∆ ∆ = − − = − + = −
(I.2.23)
Để có kết quả đánh giá mối tương quan trên ta đi tính trị trung bình của đại
lượng V(E+pV):

[ ]
( )
0
1
( ) ( )exp - ( )V E pV dV V E pV E pV
Z
β
+∞
+ = + +
∑
∫
l l
l
(I.2.24)
Với Z được tính bởi hệ thức (I.2.12).
Ta có thể thấy rằng như vậy
1 1
( )

Z
V E pV
Z p
β β
 
∂ ∂
+ =
 
∂ ∂
 
(I.2.25)
Mặt khác ta có thể tính
V
ở (I.2.13), ta có
1 1V Z Z Z
Z p
β β µ β
 
∂ ∂ ∂ ∂
= − +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(I.2.26)
Vậy:
2
,
( ) ( )
p N
V V

V E pV V E pV kT
T
β
 
∂ ∂
+ − + = −
 ÷
∂ ∂
 
(I.2.27)
Và từ hệ thức tính
V∆
đã có ở (I.2.15) ta có hệ thức cho thấy sự tương quan
giữa năng lượng và thể tích:
, ,
.
p N T N
V V
E V kT T p
T T
 
   
∂ ∂
∆ ∆ = +
 
 ÷  ÷
∂ ∂
   
 
 

(I.2.28)
I.2.2.2. Thăng giáng năng lượng theo C
P
Để tính được thăng giáng của năng lượng ta bắt đầu bằng cách tính thăng
giáng của đại lượng E+pV = H là entalpi cuả hệ. ta có:

[ ]
1 1
( )exp - ( )
Z
E pV dV E pV E pV
Z Z
β
β
∂
+ = + + = −
∂
∑
∫
l l
(I.2.29)
và

( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
0
1 1

exp
Z
E pV dV E pV E pV
Z Z
β
β
+∞
∂
+ = + − + = − 
 
∂
∑
∫
l l
l
(I.2.30)
Như vậy:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 10
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo

( ) ( )
1
1
2
2
2 2
( )
E pV E pV
H E pV kT

T
β
 
   
∂ + ∂ +
 
 ÷
 
∆ = ∆ + = − =
 
 ÷
 
∂ ∂
 ÷
 
 
   
 
(I.2.31)
Mặt khác ta lại có nhiệt dung đẳng áp có thể được tính bởi:
( )
P
Q d E pV C dT
δ
= + =
(I.2.32)
(thật vậy, từ
WdE Q
δ δ
= +

ta có
WQ dE
δ δ
= −
vì
W = -pdV
δ
nên
Q dE pdV
δ
= +

mặt khác
Q dE pdV
δ
= +
do đó ta thu được biểu thức
(I.2.32).)
vậy:
1
2
2
( )
P
H E pV kT C
 
∆ = ∆ + =
 
(I.2.33)

nhưng đồng thời ta có

[ ]
2
2 2
( ) ( ) ( )E pV E pV E pV∆ + = + − +
2 2
( ) ( ) 2 ( )E p V p EV EV= ∆ + ∆ + −
(I.2.34)
[ ]
2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( )E E pV p V p EV EV⇒ ∆ = ∆ + − ∆ − −
Từ (I.2.15), (I.2.23), (I.2.28) và (I.2.33) ta có
1
2
V
V kT
p
 
 
∂
∆ = −
 
 ÷
∂
 
 
,
,
p N

T N
V V
EV EV E V kT T p
T p
 
 
 
∂ ∂
− = ∆ ∆ = +
 
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
 
 
1
2
2
( )
p
E pV kT C
 
∆ + =
 
Thay vào biểu thức tính
( )
2
E∆

ta có :
( )
2
2 2 2
,
, ,
2 2
p
p N
T N T N
V V V
E kT C p kT pkT p kT
p T p
   
 
∂ ∂ ∂
∆ = + − −
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
   
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 11
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
( )
2
2 2
,
,

2
p
p N
T N
V V
E kT C p kT pkT
p T
 
 
∂ ∂
∆ = − −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 

( )
2
2
2
,
,
2
p
p N
T N
p V V
E kT C p
T p T

 
 
∂ ∂
 
∆ = − −
 
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
 
 
(I.2.35)
Biểu thức (I.2.35) là công thức tính độ thăng giáng của năng lượng theo
nhiệt dung đẳng áp.
I.2.2.3. Thăng giáng theo nhiệt dung đẳng tích C
v
Để có thể tính
( )
2
E∆
theo nhiệt dung đẳng tích C
v
thay vì theo C
p
như ở
công thức (I.2.35) ở trên, ta đi tìm hệ thức giữa C
p
và C

v
. Muốn vậy từ
nhận xét rằng các vi phân của năng lượng và entalpi có dạng tổng quát
dE TdS pdV dN
dH TdS Vdp dN
µ
µ
= − +
= + +
ta suy ra được
, ,
V
p N V N
E S
C T
T T
∂ ∂
   
= −
 ÷  ÷
∂ ∂
   
(I.2.36)
, ,
p
p N p N
H S
C T
T T
∂ ∂

   
= −
 ÷  ÷
∂ ∂
   
(I.2.37)
Ta thực hiện phép biến đổi của hàm S:
( , , ) ( , ( , , ), )S S T p N S T V T p N N= =
Vì V là hàm của các biến T, p và N thông qua phương trình trạng thái. Vậy:

, , , ,p N V N T N p N
S S S V
T T V T
∂ ∂ ∂ ∂
       
= +
 ÷  ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
       
Và như vậy, ta thu được hệ thức Mayer:
, ,
p V
p N V N
V p
C C T
T T
∂ ∂
   
= +
 ÷  ÷

∂ ∂
   
(I.2.38)
Mặt khác, từ phương trình trạng thái, ta có:
, ,
,
p N V N
T N
V V p
T p T
 
∂ ∂ ∂
   
= −
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂
   
 
(I.2.39)
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 12
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Thật vậy, theo phương trình trạng thái thì p là một hàm của thể
tích và nhiệt độ.
Nên ta có:
T V
p p
p V T
V T

∂ ∂
   
∆ = ∆ + ∆
 ÷  ÷
∂ ∂
   
Cho
0p∆ =
và lúc đó ta có:
0
lim
p
p
V V
T T
∆ →
∆ ∂
 
= =
 ÷
∆ ∂
 
Thế vào biểu thức
p∆
ta có
, ,
, ,
,
,
, ,

,
0
T N V N
T N V N
V N
T N
p N V N
T N
p p
p V T
V T
p p
V T
V T
p
T
V
p
T
V
V V p
T p T
∂ ∂
   
∆ = ∆ + ∆ =
 ÷  ÷
∂ ∂
   
∂ ∂
   

⇒ ∆ = − ∆
 ÷  ÷
∂ ∂
   
∂
 
 ÷
∂
∆
 
⇔ = −
∂
∆
 
 ÷
∂
 
 
∂ ∂ ∂
   
⇔ = −
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂
   
 

Hệ thức Mayer trở thành:

2

,
,
p V
V N
T N
V p
C C
p T
 
∂ ∂
 
= −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
(I.2.40)
Ta thế biểu thức (I.2.40) vào biểu thức (I.2.35) ta có :

( )
2
2
,
,
V
p N
T N
V V p
E kT C T

p T T
 
 
 
∂ ∂
 
 
∆ = − −
 
 
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
 
 
 
 
(I.2.41)



Áp dụng cho khí lý tưởng
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 13
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Trong trường hợp ta xét là hệ vật lý khí lý tưởng, từ phương trình trạng
thái pV=NkT ta có:
1

2
2
V
E kT C
 
∆ =
 
(I.2.42)
Thật ra, hệ thức đơn giản trên liên quan đến điều hiển nhiên là thăng
giáng của năng lượng và của thể tích của hệ khí lý tưởng là không có tương
quan
0E V∆ ∆ =
(I.2.43)
I.2.3: Thăng giáng của nhiệt độ
Trong thực tế sự thăng giáng của năng lượng không được đo trực tiếp,
mà nhiệt độ được đo bằng nhiệt kế; năng lượng trung bình E và thể tích
trung bình E và thể tích trung bình V của hệ có mối quan hệ với nhiệt độ
của hệ.
Vì như vậy, nhiệt độ T của hệ S là hàm theo E và V nên :
V E
T T
T E V
E V
δ δ δ
∂ ∂
   
= +
 ÷  ÷
∂ ∂
   

(I.2.44)
Nhưng ta lại có:
1 1
V
V
V
T
E
E C
T
∂
 
= =
 ÷
∂
∂
 
 
 ÷
∂
 
(I.2.45)
Và do:
, , ,E N V N T N
T T E
V E V
∂ ∂ ∂
     
=
 ÷  ÷  ÷

∂ ∂ ∂
     

,
,
1
1
T N
V
V N
V
S
T p
C V
p
p T
C T
 
∂
 
= − −
 
 ÷
∂
 
 
 
∂
 
= −

 
 ÷
∂
 
 
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 14
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Nên
,
1
V N
V
p
T E p V T V
C T
δ δ δ δ
 
∂
 
= + −
 
 ÷
∂
 
 
(I.2.46)
Và như vậy:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2

2 2 2 2
2
2
, ,
1
2
V N V N
V
p p
T T E p V T V T V E p V
C T T
δ δ δ δ δ δ δ
 
∂ ∂
   
∆ = = + + − +
 
 ÷  ÷
∂ ∂
   
 
 
(I.2.47)
Độ tương quan giữa nhiệt độ và thể tích được đánh giá bởi:

( )
2
,
1
( )

V N
V
p
T V E p V V T V
C T
δ δ δ δ δ δ
 
∂
 
= + −
 
 ÷
∂
 
 
(I.2.48)
Thật ra bằng cách thay biểu thức (I.2.47) bằng các đại lượng
( ) ( )
1
2
2 2
,T N
V
V V kT
p
δ
 
 
∂
= ∆ = −

 
 ÷
∂
 
 
 
Và
( )
( )
2
,p N
V V
V E pV V E pV kT
T
β
 
∂ ∂
+ − + = − =
 ÷
∂ ∂
 
mà ta đã thấy ở (I.2.15) và (I.2.29), ta có:

2
, ,
,
. 0
p N V N
V
T N

kT V p V
T V
C T T p
δ δ
 
 
∂ ∂ ∂
   
= + =
 
 ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂
   
 
 
 
(I.2.49)
(theo kết quả ta đã có ở (I.2.39))
Điều này chứng tỏ rằng thăng giáng của nhiệt độ và của thể tích là không
tương quan.
Mặt khác, trong hệ thức (I.2.46), ta thấy các giá trị
V
∆
,
( )
E pV∆ +
và
( ) ( )V E pV V E pV+ − +
đã được tính ở (I.2.15), (I.2.33), (I.2.27) nên ta có:

( )
2
2
2
, ,
,
2
p
V N V N
V
p N
kT p p V V
T C T
C T T p p
 
 
   
∂ ∂ ∂ ∂
 
   
∆ = − +
 
 
 ÷  ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂
   
   
 

 
 
 
(I.2.50)

I.3 Xác định momen tương quan như bài toán cơ bản của lý thuyết
thăng giáng.
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 15
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Các hiện tượng vật lý quan sát được về mặt vĩ mô dsinh ra do thăng
giáng chính là sự sai lệch hỗn loạn của các đại lượng vật lý khỏi các giá trị
trung bình thống kê cân bằng của chúng. Ví dụ như sự tán xạ ánh sáng bởi
các môi trường xảy ra do các thăng giáng mật độ gây ra do sự không đồng
nhất trong không gian của chiết suất (hệ số khúc xạ); những thăng giáng
của dòng trong mạch điện trong các mạch điện là nguyên nhân gây ra
những tạp âm không khử được trong các thiết bị vô tuyến; độ lớn các thăng
giáng điện và cơ trong các dụng cụ đo quyết định độ nhạy của chúng,…
Đặc trưng định lượng các thăng giáng là momen tương quan. Trong
trường hợp tổng quát, đối với n đại lượng vật lý khác nhau có thể viết dưới
dạng:

( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2 2

n
k k k
n n
F F F F F F− − −

(I.3.1)
trong đó các chỉ số trên t và 0 có nghĩa là đại lượng đã cho được lấy tại các
thời điểm khác nhau t và
0t
=
trong nhiều trường hợp, các hiện tượng thăng giáng được phản ánh khá
đầy đủ bởi momen tương quan bậc 2, hoặc ngắn gọn hơn là các tương quan
bình phương, nghĩa là các đại lượng dạng:

1 2
0 0 0
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
n
kk k
t t t
n n
F F F F F F− − −
(I.3.2)
Trong đa số trường hợp, các hiện tượng thăng giáng được phản ánh
khá đầy đủ bởi momen tương quan bậc 2, hoặc ngắn gọn hơn là các tương
quan bình phương, nghĩa là các đại lượng dạng:

( )
2
2
( ) ( )
k k k k
F F D F F− = = ∆
(I.3.3)

( )
2
0t
k k
F F−
;
( ) ( )
0 0t t
k k
F F F F− −
l l
(I.3.4)
Trong số đó đại lượng quan trọng nhất là sự sai lệch bình phương
trung bình
2
( )F∆
, đôi khi còn được gọi ngắn gọn là “thăng giáng” và sai
lệch bình phương trung bình tương đối hay “thăng giáng tương đối” được
xác định như sau:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 16
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
( )F
F
∆
(I.3.5)
Đối với các đại lượng vật lý khác nhau, có nhiều cách để tính các
momen tương quan bình phương. Với các đại lượng chỉ phụ thuộc vò tốc
độ hoặc xung lượng, việc tính các momen tương đối dễ dàng nhờ biểu thức

tổng quát đối với xác suất có giá trị cho trước của xung lượng:
2
1 P
w( ) exp -
2mkT
2
k
k
P
m
π θ
 
=
 ÷
 
các trung bình bất kỳ, ví dụ
( )
k
F P
,
2
( )
k
F P
và
( )F∆
được tính bằng tích
phân một lần đơn giản. Với các đại lượng phụ thuộc vào tọa độ, việc tìm
momen tương quan như các trung bình theo phân bố Gibbs:
( ,a)-H(X,a)

( ) expX
θ
ω
θ
Ψ
 
=
 ÷
 
Không khó khăn hơn so với việc tính khí năng lượng tự do của chất khí
hoặc chất lỏng thực. Vì thế để tính các tương quan, ta dùng các phương
pháp khác nhau cho công thức tính các momen cao hơn.
Trong một số trường hợp đơn giản nhất, các sai lệch bình phương
trung bình của xung lượng được tính nhờ định lý Virian, còn các sai lệch
bình phương trung bình của xung lượng được tính nhờ định lý phân bố đều
của động năng.
Ví dụ, theo định luật phân bố đều:

2 2
2 2 2
k k k
k k
P m v
m m
θ
= =
Suy ra:
2
k k
P m

θ
=
. Mà
0
k
P =
, do đó:

2 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k k k k k k k
k k k
k
P P P P P P m
v v v
m
θ
θ
∆ = − = − = =
∆ = − =
(I.3.6)
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 17
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Theo định lý Virian đối với dao tử điều hòa có
2 2
2 2
P q

H
m
α
= +
thì
2
2 2
q
α θ
=
. Ta cũng có
0q =
, do đó
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )q q q q q q
θ
α
∆ = − = − = =
.
Do đó để tính độ lệch bình phương trung bình của dao động tử điều
hòa, chỉ cần biết hệ số đàn hồi
α
.
I.4: Tính momen bình phương theo phương pháp Gibbs
Cơ học thống kê của Gibbs cho phép rút ra những hệ thức tổng quát,
liên hệ phương sai và nói chung là các tương quan bình phương của các tọa
độ suy rộng vơi các giá trị trung bình của chúng khi có lực phụ tác động lên
các tọa độ này. Như vậy, nếu biết sự phụ thuộc của
F
vào lực ngoài (dù chỉ

bằng thực nghiệm) thì có thể tìm các đại lượng
2
( ) ( )
k k k
D F F F
= −
.
Theo bổ đề thứ hai của Gibbs, đối với số hạng bất kỳ ta có:
1
( )
F F H H
F F
a a a a
θ
 
∂ ∂ ∂ ∂
+ = − − −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
(I.4.1)
Nếu đại lượng
( )F X
là hàm của tọa độ, thì có thể biểu diễn như toạ
độ suy rộng mới
( )q X
nào đó. Đại lượng a xuất hiện trong (I.4.1) được biểu
diễn là lực phụ bên ngoài, tác động theo hướng tọa độ suy rộng q. Điều này
có nghĩa là hàm Hamilton của hệ có dạng:
0

( , ) ( ) ( )H X a H X aq X= +
(I.4.2)
Thực vậy, theo phương trình Hamilton:
0
0
H
H
p a A a
q q
∂
∂
= − = − − = −
∂ ∂
&
(I.4.3)
nghĩa là ngoài tác dụng của lực
0
0
H
A
q
∂
= −
∂
hệ còn chịu của lực phụ -a.
Thay
( )F q X=
và H(X,a) từ (I.4.2) vào (I.4.1) với chú ý
0
q

a
∂
=
∂
ta
được:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 18
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
2
( )
q
q q
a
θ
∂
− = −
∂
(I.4.4)
Tương tự, trong trường hợp hàm tọa độ suy rộng
1
( )q X
và
2
( )q X
, nếu
đặt:
1 2 0 1 1 2 2
( , , ) ( ) ( ) ( )H X a a H X a q X a q X= + +
(I.4.5)

Theo (I.4.1) ta có:

2
1
1 1
1
( )
q
q q
a
θ
∂
− = −
∂
;
2
2
2 2
2
( )
q
q q
a
θ
∂
− = −
∂
(I.4.6)
Mặt khác, trong (I.4.1) xét
1

F q=
,
2
a a=
ta có:
1 1
1 1
2 1 2 2
1
1 1 2 2
2
( )
( )( )
q q
H H
q q
a a a a
q
q q q q
a
θ
θ
 
 
∂ ∂
∂ ∂
− − = − −
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂

 
 
∂
− − = −
∂
Nếu xét
2
F q=
,
2
a a=
thay vào (I.4.1) ta có:
2
2 2 1 1
1
( )( )
q
q q q q
a
θ
∂
− − = −
∂
Tóm lại:
1 2
1 1 2 2
2 1
( )( )
q q
q q q q

a a
θ θ
∂ ∂
− − = − = −
∂ ∂
(I.4.7)
Công thức (I.4.4) và (I.4.7) cho phép ta tính các tương quan bình
phương của các đại lượng vật lý bất kì, chỉ là hàm của các tọa độ nếu biết
sự phụ thuộc của các giá trị trung bình của các đại lượng này vào các lực
không đổi bên ngoài tác động lên chúng.
Tương tự, có thể nhận được công thức liên hệ các momen tương
quan bậc cao hơn đối với các đạo hàm của các giá trị trung bình của các giá
trị trung bình của các tọa độ theo lực phụ
k
a
. Đồng thời ta sẽ chỉ ra rằng
phương pháp tổng quát được áp dụng để tính các momen tương quan không
chỉ của tọa độ, mà cả của vận tốc.
Giả thiết rằng đại lượng F trong (I.4.1) có ý nghĩa của vận tốc nào
đó, tức là thay F bởi
ϕ
&
. Khi đó, theo (I.4.1) và (I.4.2) ta có:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 19
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
( )( )q q
a a
ϕ ϕ
ϕ ϕ θ

 
∂ ∂
− − = − −
 
∂ ∂
 
& &
& &
(I.4.8)
Tuy nhiên vận tốc trung bình của đại lượng bất kỳ F, lấy theo phân
bố cân bằng luôn bằng không, vì:

[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
0 , ( ) ,
X X X
F F dX H F d X H FdX
ϕ ω ω ω
= = = = = −
∫ ∫ ∫
& &
&
Nhưng theo vật lý thống kê, ở trạng thái cân bằng nhiệt động thì
[ ]
, 0H
ω
=
, do đó:
0F
ϕ

= =
&
&
(I.4.9)
Từ (I.4.8) và (I.4.9) ta có:
q
a
ϕ
ϕ θ
∂
=
∂
&
&
Mặt khác,
( ) 0
d
q q q
dt
ϕ ϕ ϕ
= + =
&
&
, do đó:
q q
a
ϕ
ϕ ϕ θ
∂
= − = −

∂
&
&
&
(I.4.10)
Giả sử
q
ϕ
=
&
và lưu ý rằng
mq a= −
&&
, khi đó
1q
a a m
ϕ
∂ ∂
= = −
∂ ∂
&
&&
. Thay vào
(I.4.10) ta được:
2
q q
m
θ
ϕ
= =

& &
Hay
2 2 2 2
( ) ( ) ( )q q q q q
m
θ
∆ = − = − =
& & & & &
Kết quả này chính là biểu thức (I.3.6)
I.5: Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gibbs
1. Dựa vào phân bố chính tắc Gibbs ta có thể tính được trung bình
của bình phương và cả trị số của độ thăng giáng của một đại lượng vật lý F
bất kỳ.
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 20
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
2 2
( ) ( ) ( )F F F F X dX
ω
+∞
−∞
− = −
∫
(I.5.1)
Trong trường hợp đặc biệt khi mà đại lượng vật lý F chỉ phụ thuộc
vào xung lượng của một hệ
1
( )F F p=
thì bài toán tìm thăng giáng được giải
đến cùng bằng cách lấy tích phân biểu thức

2
2
2
1
1 1 1
p1
( ( ) ) ( ) exp -
2
2
F p F F p F dp
mkT
mkT
π
π
+∞
−∞
 
 
− = − ×
 
 
 
∫
(I.5.2)
Trong đó đại lượng
F
hoặc là đã biết từ thí nghiệm hoặc là được
tínth theo công thức

2

1
1 1
p1
( )exp -
2 mkT
2
F F p dp
mkT
π
π
+∞
−∞
 
=
 
 
∫
(I.5.3)
Còn trong trường hợp tổng quát, khi F phụ thuộc cả vào p lẫn q thì
việc tính tích phân (I.5.1) rất khó khăn.
2. Trong những trường hợp mà ta không thể tính trực tiếp biểu thức (I.5.1),
thì để xác định phương sai của các đại lượng nhiệt động , người ta xác
ddnhj theo cách khác: người ta biểu thị phương sai của một đại lượng nhiệt
động
2
( )F F−
theo một hàm nào đó của trị trung bình
F
mà ngườ ta
thường đã biết trước từ thí nghiệm. cách đó thường được sử dụng trong

trường hợp khi mà đại đại lượng vật lý F chỉ phụ thuộc vào tọa độ x của hệ:
( )F F x=
.
Ta chứng minh rằng trong phân bố chính tắc có hệ thức sau đây:

( )
1F F H H
F F
a a a a
θ
θ
θ
   
 
∂ ∂ ∂ ∂
− = − − −
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
   
(I.5.4)
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 21
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Thật vậy, bằng cách lấy vi phân công thức trị trung bình của đại
lượng F
( )
( , )exp
( )

X
H
F F X a
d X
ψ
θ
 
−
=
 
 
∫
theo a, ta được:
( )
-H
( , )exp
X
F
F X a dX
a a
θ
ψ
θ
 
∂ ∂
 
=
 
 ÷
∂ ∂

 
 
∫
( )
1 -H
( , ) exp
X
F F H
F X a dX
a a a a
ψ ψ
θ θ
 
∂ ∂ ∂ ∂ 
   
= + −
   
 ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂
   
 
 
∫
( )
-H 1 -H -H
exp ( , ) exp ( , ) exp
X
F F H
F X a dX F X a dX

a a a a
ψ ψ ψ ψ
θ θ θ θ
 
 
∂ ∂  ∂ ∂ 
     
= + +
       
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
     
 
 
 
∫

1F F H
F F
a a a a
ψ
θ
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂

 
 
Mặt khác ta có
k
H
A
a a
θ
θ
ψ
 
∂ ∂
 
= − = −
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 
H
a a
θ
θ
ψ
 
∂ ∂
 
⇒ =
 ÷
 ÷

∂ ∂
 
 
Nên:
1F F H H
F F
a a a a
θ
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
= + −
 
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
Ta lại có:
( )
( )
AB AB A A B B− = − −
Do đó:
( )
H H H H
F F F F
a a a a
 
∂ ∂ ∂ ∂
+ = − −
 ÷

∂ ∂ ∂ ∂
 
Vậy:
( )
1F F H H
F F
a a a a
θ
 
 
∂ ∂ ∂ ∂
= − − −
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 22
p
a
Hình 3.
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
Hay:
( )
1F F H H
F F
a a a a
θ
 

 
∂ ∂ ∂ ∂
− = − − −
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
Ta xét ví dụ sau:
Giả sử có N phân tử khi nằm trong thể tích V giới hạn bởi xylanh và
pittông có tác dụng của áp lực bên ngoài p (hình vẽ). Khi đó hàm Hamilton
H(X,p) của chất khí có dạng sau đây:
H(X,p) = H(X) + pV(X) (I.5.5)
ở đây áp suất p được xem như thông số ngoài a tương
ứng với thể tích V(X).
áp dụng hệ thức (I.5.4), thay a bằng p và F(X) bằng V(X)
ta sẽ có
( )
( ) 1V V X H H
V V
p p kT p p
 
∂ ∂ ∂ ∂
− = − − −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
(I.5.6)
Từ (I.5.5) ta có
( )

( )
( )
0 ( ) ( )
pV X
F H X
V X V X
p p p
∂
∂ ∂
= + = + =
∂ ∂ ∂

( )
( )
( )
0 ( ) ( )
pV X
H H X
V X V X
p p p
∂
∂ ∂
= + = + =
∂ ∂ ∂
Thay vào phương trình (I.5.6) ta được:
( ) ( )
( ) 1V V X
V V V V
p p kT
∂ ∂

− = − − −
∂ ∂

( )
2
( ) 1V pV X
V V
p p kT
∂ ∂
− = − −
∂ ∂
Mà
( )
0
pV X
p
∂
=
∂
Nên ta có được:
( )
2
1V
V V
p kT
∂
= − −
∂
Hay:
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 23

Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
( )
2
V
V V kT
p
∂
− = −
∂
(I.5.7)
ở đây đạo hàm
V
p
∂
∂
đã biết từ thí nghiệm (theo phương trình Calapeyron –
Mendeleev), bởi vì
V
là thể tích vĩ mô của hệ nên
2
T
V kNT
p p
 
∂
= −
 ÷
∂
 

(I.5.8)
Vậy phương sai của thể tích bằng
( )
2 2 2
2
2
2
k T N V
V V V
p N
∆ = − = =
(I.5.9)
Và thăng giáng tương đối của thể tích là
2
2
( ) 1V V
N
V
−
=
nghĩa là thăng giáng tương đối của thể tích tỷ lệ với căn bậc hai của số
hạt.
Thay
T
p
V
ψ
∂
 
= −

 ÷
∂
 
ta có thể viết lại công thức (I.5.7) như sau:

2
2
2
( )
T
T
V kT
V V kT
V
V
ψ
ψ
∂
− = =
∂
   
∂
∂
 ÷
 ÷
∂
 
∂
 
(I.5.10)

Với các thông số ngoài bất kỳ a và các tọa độ q tương ứng với
chúng, đẳng thức (I.5.7) có thể viết một cách tổng quát như sau:

( )
2
q
q q kT
a
∂
− = −
∂
và
2
2
1q
a
q
ψ
∂
= −
∂
 
∂
 ÷
∂
 
(I.5.11)
Theo (I.5.11) ta có thể tính thăng giáng của một đại lượng bất kỳ
q(x) qua đạo hàm
q

a
∂
∂
, đạo hàm đo được trong thí nghiệm hoặc là được biểu
thị qua năng lượng tự do. Như vậy, nếu biết được năng lượng tự do ta có
thể tính được thăng giáng của các đại lượng nhiệt động q(x).
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 24
Tiểu luận Vật lý thống kê Gvhd: Ts. Đinh
Như Thảo
3. Để đánh giá thăng giáng ta có thể tiến hành theo quan điểm khác.
Ta coi rằng, mọi độ lệch khỏi cân bằng đều kéo theo sự biến thiên của năng
lượng, của entrôpy và của các thông số khác của một phần của hệ do phần
còn lại của hệ gây ra. Trong trường hợp phân bố chính tắc, xác suất sao cho
hệ nằm trong một nhóm các trạng thái xác định P
1
là bằng
1
1
W(P )
Z
Z
=
Trong đó Z
1
là tích phân trạng thái theo nhóm trạng thái P
1
đó, còn Z là
tích phân theo toàn bộ các trạng thái của hệ (tức là tích phân trạng thái).
Gọi
ψ

là năng lượng tự do của toàn bộ hệ và
1
ψ
là năng lượng tự do của hệ
trong các trạng thái P
1
, ta có
1
1 2 1
(ln ln ) ln
Z
kT Z Z kT
Z
ψ ψ ψ
∆ = − = − − = −
Do đó xác suất sao cho hệ đẳng nhiệt nằm trong nhóm trạng thái P
1
tức là xác suất của các thăng giáng trong hệ, sẽ có thể viết như sau:
1
W(P ) exp
kT
ψ
∆
 
= −
 
 
(I.5.12)
Như vậy, để tìm được xác suất của các thăng giáng W(P
1

) ta phải tìm
ψ
∆
,
vấn đề này có thể dược giải quyết trong một số trường hợp cụ thể.
4. Trong một số trường hợp đơn giản nhất, ta có thể tính được độ
lệch quân phương dựa vào lập luận cụ thể về thăng giáng và vào định luật
phân bố đều động năng theo các bậc tự do hoặc dựa vào định luật Virian.
Vậy tùy vào từng trường hợp cụ thể mà ta có thể tìm được thăng giáng dựa
vào phương pháp Gibbs một cách khác nhau.
Svth: Nguyễn Thị Bảo Trang 25