tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương phá p cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số

Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
LỜI MỞ ĐẦU
Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành một môn học cơ
sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự động
hoá Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD,
VCD, DVD, camera, scanner, y khoa , trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa
lý, bản đồ số, viễn thông v.v
Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất
trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung có thể
chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite
Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR
(Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể
chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và
chắn dải. Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp sau đây: Phương
pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency
Sampling Design Techniques) và Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng
(Optimal Equiripple Design Techniques). Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và
ưu khuyết điểm riêng.
Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học, nhóm tôi xin phép được trình bày bài
toán thiết kế bộ lọc FIR thông dải bằng phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần
số. Nội dung tiểu luận được chia thành 5 chương:
Chương 1: Bài toán thiết kế
Chương 2: Cơ sở lý thuyết của bộ lọc FIR
Chương 3: Phương pháp thiết kế
- Thiết kế lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ
- Thiết kế lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số
Chương 4:Chương trình thiết kế.
Chương 5:Kết luận
Nhóm tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy giáo TS. Ngô Văn Sỹ đã tận tình hướng dẫn,
truyền đạt những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo cho tôi
phương pháp làm việc khoa học.

Trong quá trình làm tiểu luận, tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn không tránh
khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy, các anh chị và các bạn học
viên trong lớp để nội dung của tiểu luận được hoàn chỉnh hơn.
Đà Nẵng, ngày 15 tháng 9 năm 2009
- 1 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN THIẾT KẾ
Thiết kế một bộ lọc thông dãi BPF(Band Pass Filte) nghĩa là tìm hàm truyền hệ
thống H(z) hoặc phương trình hiệu của nó) có dải thông [
PP 21
,
ωω
] với dung sai
P
δ
(hoặc
R
p
theo dB) và dải chắn [
S1
,0
ω
] và [
πω
,
2S
] với dung sai
S
δ
(hoặc A

s
theo dB).
P
δ
: Dung sai dãi thông
S
δ
: Dung sai dãi chắn
PP 21
,
ωω
: Tần số giới hạn dãi thông
SS 21
,
ωω
: Tần số giới hạn dãi chắn
A
S
: Suy hao dãi chắn
R
p
: Độ gợn sóng trong dãi thông
Thiết kế bộ lọc thỏa mãn các chỉ tiêu đã cho với cấu trúc đơn giản nhất.
Các thông số thiết kế:
dBA
dbR
dBR
dBA
Ss
pp

pp
SS
60;8,0
1;65,0
1;35,0
60;2,0
2
2
1
1
==
==
==
==
πω
πω
πω
πω
- 2 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
Chương này sẽ trình bày sơ lược cơ sở lý thuyết thiết kế bộ lọc số FIR, cùng với
các phương pháp thiết kế nó, từ đó tìm hiểu thiết kế bộ lọc thông dãi theo cấu trúc FIR
bằng phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số.
Đáp ứng tần số là cách rất hiệu quả và thực tế để đặc trưng một bộ lọc. Khi biết
một bộ lọc, tức là biết phương trình hiệu số của nó hay biết các hệ số của nó, ta có thể
tính được đáp ứng xung và đáp ứng tần số - Đây là bài toán phân tích. Ngược lại, khi biết
được yêu cầu đáp ứng tần số của bộ lọc, ta tìm các hệ số của bộ lọc, từ đây có thể viết
phương trình hiệu số của nó, sao cho đáp ứng tần số càng sát với yêu cầu càng tốt - đây là
bài toán thiết kế. Bài toán thiết kế thường phức tạp hơn vì có nhiều phương pháp thiết kế

khác nhau.
Quá trình thiết kế bộ lọc được bắt đầu với các đặc tính của bộ lọc bao gồm các
ràng buộc về biên độ và pha của đáp ứng tần số, về biên độ hoặc pha của đáp ứng tần số,
các ràng buộc về đáp ứng xung đơn vị hoặc đáp ứng nấc của bộ lọc Sau khi đã xác định
được các đặc tính bộ lọc, ta tiếp tục tìm tập các hệ số của bộ lọc mà các hệ số tạo ra một
bộ lọc chấp nhận được. Bước sau cùng là dùng hệ thống phần cứng hoặc phần mềm minh
họa, lượng tử hoá các hệ số của bộ lọc và chọn cấu trúc bộ lọc thích hợp.
2.1. Bộ lọc – lọc số:
2.1.1. Bộ lọc:
Bộ lọc là một hệ thống xử lý tín hiệu thực hiện chức năng chọn lọc tín hiệu theo
tần số (bộ lọc cho tín hiệu trong một dãi tần số nào đó đi qua và ngăn không cho tín hiệu
trong các dãi tần khác đi qua). Dãi cho qua gọi là dãi thông, và dãi không cho qua gọi là
dãi chắn.
2.1.2. Lọc số:
Lọc số là một trường hợp riêng của bộ lọc. Trong đó tín hiệu vào là số và tín hiệu
ra là số thường dùng máy tính, IC, vi xử lý.
Sơ đồ khối chức năng của quá trình lọc số:
Hình 2.1: sơ đồ khối chức năng quá trình lọc
- 3 -
Lọc
Lấy mẫu ADC
DF
DAC
Lọc
(khôiphục)
Th
A
Th ra
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
 Phân loại lọc số:

- Dựa vào dãi thông và dãi chắn chia làm 4 loại:
o Lọc thông thấp LPF.
o Lọc thông cao HPF.
o Lọc thông dãi BPF.
o Lọc chắn dãi BSF.
- Căn cứ vào độ dài của đáp ứng xung h(n) của bộ lọc:
o Đáp ứng xung hửu hạn (lọc FIR).
o Đáp ứng xung vô hạn (lọc IIR).
- Dựa vào tính nhân quả (khả năng thực hiện bộ lọc):
o Bộ lọc lý tưởng.
o Bộ lọc thực tế.
2.2. Lọc FIR thông dãi
2.2.1. Khái niệm lọc FIR thông dãi
Lọc FIR pha tuyến tính có H(n) dài hữu hạn N (
10 −≤≤ Mn
)
Các bộ lọc thường được kết nối với nhau để tạo ra hệ thống có các tính chất mong
muốn. Hai loại kết nối tổng quát là nối tiếp (hay còn gọi là nối tầng - cascade) và ghép
song song. Ở đây hai hệ thống kết nối là tuyến tính và bất biến.
Bộ lọc thông dải theo cấu trúc FIR thiết lập từ việc xây dựng bằng cách tổ hợp
(ghép song song) hai bộ lọc thông thấp với nhau. Hai bộ lọc thông thấp thiết lập một dải
tần số băng thông có tần số cắt ω
C1
, ω
C2
tương ứng như mô tả hình 2.2 dưới đây:
Hình 2.2: Mô tả sự tạo thành bộ lọc thông dãi
2.2.2. Cấu trúc bộ lọc FIR
Một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:
- 4 -

+
ω
c2
ω
c1
ω
c1
ω
c2

-
+
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
∑
−
=
−−
−
−
=+++=
1
0
1
1
1
10
)(
M
n
n

n
M
M
zbzbzbbzH 
Như vậy đáp ứng xung h(n) là:



−><
−≤≤
=
100
10
)(
Mnvan
Mnb
nh
n

Và phương trình sai phân là:
)1()1()()(
110
+−++−+=
−
Mnxbnxbnxbny
N

Đây chính là tích chập tuyến tính của các dãy hữu hạn.
Bậc của bộ lọc là M-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là M (bằng với số lượng các
hệ số). Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với các

cấu trúc bộ lọc IIR. Hơn thế nữa, các bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có một đáp ứng
pha tuyến tính và đó là điều cần thiết trong một số ứng dụng.
Chúng ta sẽ xem xét lần lượt các cấu trúc của bộ lọc FIR sau đây:
2.2.2.1Cấu trúc dạng trực tiếp
Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do không có
đường phản hồi:
)1()1()()(
110
+−++−+=
−
Mnxbnxbnxbny
N


Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất. Cấu
trúc dạng trực tiếp được cho trong hình 1.2 với M = 5:
2.2.2.2Cấu trúc dạng ghép tầng:
Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ số
thực. Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép tầng
của các khâu bậc 2.








+++=+++=
−

−
−−
−
− M
M
M
M
z
b
b
z
b
b
bzbzbbzH
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
10
1)( 

∏
=
−−

++=
K
1k
2
2,k
1
1,k0
)zBzB1(b
- 5 -
b
0
z
-
1
b
1
z
-
1
b
2
z
-
1
b
3
z
-
1
b

4
y(n)
x(n)
Hình 2.3: Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
Trong đó






=
2
M
K
, B
k,1
và B
k,2
là các số thực đại diện cho các hệ số của các khâu
bậc 2. Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình 2.4 với M = 7:
2.2.2.3Cấu trúc dạng pha tuyến tính:
Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến
tính theo tần số, nghĩa là:
αω−β=∠
ω
)e(H
j
π≤ω≤π−

Trong đó
0=β
hoặc
2
π
±
và
α
là một hằng số.
Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điều
kiện tuyến tính là:
10,0);1()( −≤≤=−−= MnnMhnh
β
10,2/);1()( −≤≤±=−−−= MnnMhnh
πβ
Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.5) với đáp ứng
xung đối xứng trong phương trình (1.9), ta có:
)1()2()1()()(
0110
+−++−++−+= MnxbMnxbnxbnxbny 

++−+−++−+= )]2()1([)]1()([
10
MnxnxbMnxnxb
Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên được mô tả trong hình 2.5 dưới đây
đối với cả M lẻ và M chẵn:
- 6 -
B
1,1
z

-
1
z
-
1
z
-
1
y(n)
x(n)
B
2,1
B
3,1
b
0
B
1,2
z
-
1
z
-
1
z
-
1
B
2,2
B

3,2
Hình 2.4: Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
Đối với M lẻ: M = 7, còn đối với M chẵn: M = 6
Rõ ràng, với cùng một bậc của bộ lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết kiệm
được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp.
2.2.3. Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính
Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về hình dạng của đáp ứng xung, đáp ứng tần số
trong hàm hệ thống của các bộ lọc FIR pha tuyến tính.
Cho h(n), trong đó 0 ≤ n ≤ M – 1, là đáp ứng xung có chiều dài N thì hàm truyền hệ
thống là:
∑∑
−
=
−−−−
−
=
−
==
1
0
1)1(
1
0
)()()(
M
n
nMN
N
n

n
znhzznhzH
có (M-1) điểm cực ở gốc (trivial poles) và M-1 điểm không nằm ở vị trí bất kỳ trên
mặt phẳng z. Đáp ứng tần số là:
πωπ
ωω
≤<−=
∑
−
=
−
,)()(
1
0
M
n
njj
enheH
2.2.3.1Đáp ứng xung h(n):
Chúng ta có thể đưa ra ràng buộc pha tuyến tính:
π≤ω<π−αω−=∠
ω
,)e(H
j
Trong đó: α là một hằng số trễ pha. Ta đã biết rằng h(n) phải đối xứng, nghĩa là:
- 7 -
b
0
z
-

1
b
1
z
-
1
b
2
x(n)
z
-
1
z
-
1
z
-
1
y(n)
b
0
z
-
1
b
1
z
-
1
b

2
b
3
y(n)
x(n)
z
-
1
z
-
1
z
-
1
z
-
1
M=7
M=6
Hình 2.5: Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với các hệ số M chẵn và lẻ
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
2
1
,10),1()(
−
=−≤≤−−=
M
MnnMhnh
α
Do đó h(n) là đối xứng theo α, là chỉ số đối xứng. Có hai kiểu đối

xứng:
• M lẻ: Trong trường hợp này,
2
1−
=
M
α
là một số nguyên. Đáp ứng xung ứng
xung được mô tả bằng hình 2.6 dưới đây:
• M chẵn:Trong trường hợp này,
2
1−
=
M
α
là một số nguyên. Đáp ứng xung ứng
xung được mô tả bằng hình 2.7 dưới đây:
Ta cũng có bộ lọc FIR pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha
( )
ω
∠
j
eH

thoả mãn điều kiện:
αω−β=∠
ω
)e(H
j
với

π≤ω<π−
Đáp ứng pha là đường thẳng nhưng không đi qua gốc. Trong trường hợp
này α không phải là hằng số trễ pha, nhưng:
- 8 -
Hình 2.7: Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn
Hình 2.6 Đáp ứng xung đối xứng M lẻ
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
α−=
ω
∠
ω
d
)e(Hd
j
Là hằng số, chính là trễ nhóm (α là một hằng số trễ nhóm). Trong trường hợp này,
các tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi. Nhưng một số tần số có thể được làm
trễ với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
Đối với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng:
1Mn0),n1M(h)n(h −≤≤−−−=
và
2
,
2
1M π
±=β
−
=α
Điều này có nghĩa rằng đáp ứng xung h(n) là phản đối xứng
(antisymmetric). Chỉ số đối xứng vẫn là
2

1M −
=α
. Một lần nữa chúng ta lại có 2 kiểu,
cho M lẻ và M chẵn.
• M lẻ: Trong trường hợp này,
2
1M −
=α
là một số nguyên. Đáp ứng xung được
mô tả bằng hình 2.8 dưới đây:
Lưu ý rằng mẫu h(α) tại
2
1M −
=α
phải bằng 0, nghĩa là,
0
2
1M
h =






−
.M chẵn:
Trong trường hợp này,
2
1M −

=α
không phải là một số nguyên. Đáp ứng xung được mô
tả trong hình 2.9.
- 9 -
Hình 2.8 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
2.2.3.2Đáp ứng tần số H(e
jwn
)
Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểu
lọc FIR pha tuyến tính. Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng riêng. Để
nghiên cứu các đáp ứng pha của các kiểu này, ta viết biểu thức của H(e
j
ω
) như sau:
2
1M
,
2
;e)e(H)e(H
)(jj
r
j
−
=α
π
±=β=
αω−βωω
Trong đó H
r

(e
j
ω
) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng
biên độ. Đáp ứng độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đáp
ứng biên độ luôn luôn dương. Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàm
không liên tục, trong khi kết hợp với đáp ứng độ lớn là một hàm tuyến tính liên tục.
• Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ
Trong trường hợp này
0=β
,
2
1M −
=α
là một biến nguyên, và
( ) ( )
n1Mhnh −−=
,
1Mn0
−≤≤
, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
( )
( )
( )
2/1Mj
2/1M
0n
j
encosna)e(H
−ω−

−
=
ω






ω=
∑
Trong đó:
( )






−
=
2
1M
h0a
với mẫu ở chính giữa
( )







−
−
= n
2
1M
h2na
với
2
3M
n1
−
≤≤
• Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn
Trong trường hợp này
0=β
,
( ) ( )
n1Mhnh −−=
,
1Mn0 −≤≤
, nhưng
2
1M −
=α

không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
- 10 -
Hình 2.9 Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn

Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
( )
( )
2/1Mj
2/M
1n
j
e
2
1
ncosnb)e(H
−ω−
=
ω



















−ω=
∑
Trong đó:
( )






−= n
2
M
h2nb
với
2
M
, ,2,1n =
So sánh hai công thức trên ta có:
( )
∑
=













−ω=ω
2/M
1n
r
2
1
ncosnb)(H
Lưu ý: Tại
π=ω
, ta có
( )
0
2
1
ncosnb)(H
2/M
1n
r
=













−π=π
∑
=
mà không cần
quan tâm đến b(n) hoặc h(n). Do đó chúng ta không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng,
M chẵn) đối với bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc chắn dải.
• Lọc FIR pha tuyến tính Loại-3 (Type 3): Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ
Trong trường hợp này ta có
2
π
=β
,
2
1M −
=α
là một biến nguyên,
( ) ( )
n1Mhnh −−−=
,
1Mn0
−≤≤
, và
0

2
1M
h =






−
thì ta có thể chứng tỏ:
( )
( )






ω






−
−
π
−

=
ω






ω=
∑
2
1M
2
j
2/1M
0n
j
ensinnc)e(H
Trong đó
( )






−
−
= n
2

1M
h2nc
với
2
M
, ,2,1n =

So sánh hai biểu thức trên ta có:
( ) ( )
( )
∑
−
=
ω=ω
2/1M
0n
r
nsinncH
Lưu ý: Tại
0=ω
và
π=ω
, ta có
( )
0H
r
=ω
mà không cần quan tâm c(n) hoặc
h(n). Hơn thế nữa,
je

2
j
=
π
, điều đó có nghĩa là
( )
ω
r
jH
là thuần ảo. Do đó, loại bộ lọc này
không thích hợp đối với việc thiết kế bộ lọc thông thấp hoặc thông cao. Tuy nhiên, điều
này thích hợp đối với việc xấp xỉ các bộ vi phân và bộ biến đổi Hilbert số lý tưởng.
• Lọc FIR pha tuyến tính Loại-4(Type 4):Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn
- 11 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
Trong trường hợp này
2
π
=β
,
( ) ( )
n1Mhnh −−−=
,
1Mn0
−≤≤
, nhưng
2
1M −
=α
không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:

( )






ω






−
−
π
=
ω



















−ω=
∑
2
1M
2
j
2/M
1n
j
e
2
1
nsinnd)e(H
Trong đó:
( )






−= n
2

M
h2nd
với
2
M
, ,2,1n =
So sánh hai biểu thức trên ta có:
( )
∑
=












−ω=ω
2/M
1n
r
2
1
nsinnd)(H
Lưu ý: Tại

π=ω
,
0)0(H
r
=
và
je
2
j
=
π
. Do vậy, loại này cũng thích hợp cho việc
thiết kế các bộ vi phân số và bộ biến đổi Hilbert số.
Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc và các bộ biến
đổi Hilbert số, bộ vi phân số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính đã nêu:
Type LPF HPF BPF SBF Hilbert Differentiator
FIR Type 1
   
FIR Type 2
 
FIR Type 3
  
FIR Type 4
   
- 12 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
2.2.4. Đáp ứng tần số bộ lọc thông dãi
( ) ( ){ } ( )
===
∑

−
=
−
1
0
M
n
nj
enhnhFTH
ω
ω
EMBED Equation.3
[ ] [ ]
[ ] [ ]
2121
2121
, , Khi
, ,
0
1
cccc
cccc
va
vakhi
ωωωωωω
ωωωωωω
∉−−∉
∈−−∈




( )
n
Sin
n
nSin
dedenh
C
CC
C
CC
njnj
C
C
C
C
1
11
2
22
1
2
1
21
2
ω
ω
π
ω
ω

ω
π
ω
π
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−=








+=⇒
∫∫
−
−
Trong đó
1C
ω
và
2C
ω

lần lượt là tần số cắt của 2 bộ lọc thông thấp lý tưởng tương
ứng, có thể được tính từ các chỉ tiêu đã cho của bộ lọc thông dải thực tế:



+=
+=
2/)(
2/)(
222
111
PSC
PSC
ωωω
ωωω
- 13 -
A
s
R
p
w
s1
w
p1
w
p2
w
s2
π
0

Hình 2.9: Các chỉ tiêu của bộ lọc thông dải BPF (bandpass filter)
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ
3.1. Phương pháp cửa sổ
Ý tưởng cơ bản của việc thiết kế là: chọn một bộ lọc chọn tần lý tưởng (mà đáp
ứng xung luôn luôn phi nhân quả, dài vô hạn) và cắt (lấy cửa sổ - window) đáp ứng xung
của nó để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả (linear phase and causal
FIR filter). Bởi vậy, điểm quan trọng trong phương pháp này là việc chọn một hàm cửa
sổ thích hợp và một bộ lọc lý tưởng tương ứng.
Bộ lọc thông thấp lý tưởng (ideal LPF) có tần số cắt
ω
c
< π được cho bởi:



<<
<
=
−
πωω
ωω
ω
ω
C
C
j
j
d
nêu

nêue
eH
,0
,.1
)(
Đáp ứng xung h
d
(n)
của bộ lọc lý tưởng này được cho bởi:
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
απ
αω
ω
π
π
π
ωωω
−
−
===
∫
−
−
n
n

deeHeHFnh
C
njj
d
j
dd
sin
2
1
)(
1
Chú ý rằng h
d
(n) là đối xứng theo α, sự kiện này tiện dụng cho bộ lọc FIR có pha
tuyến tính. Ngoài ra h
d
(n) có độ dài vô hạn và phi nhân quả.
Để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả h(n) có độ dài M, ta cần có:
Thao tác này được gọi là lấy cửa sổ (window). Tổng quát, đáp ứng xung h(n) có
thể có được bằng cách lấy đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng h
d
(n) nhân với hàm cửa sổ
w(n) như sau:
h(n) = h
d
(n).
ω
(n)
Tuỳ thuộc vào cách định nghĩa hàm cửa sổ
ω

(n) (window function) chúng ta có những
cửa sổ thiết kế khác nhau. Chẳng hạn nếu dùng cửa sổ chữ nhật (Rectangular), thì hàm
cửa sổ được định nghĩa:



=
,0
,1
)(nw
- 14 -
2
1
,
0
10)(
)(
−
=



−≤≤
=
M
khac
Mnnh
nh
d
α

nếu 0
≤
n
≤
M-1
n khác
(1.34)
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
Trong miền tần số, đáp ứng của lọc FIR nhân quả H(e
ω
j
) chính là tích chập vòng
của đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng H
d
(e
ω
j
) và đáp ứng tần số của hàm cửa sổ W(e
ω
j
) :
H(e
ω
j
) = H
d
(e
ω
j
)

⊗
W(e
ω
j
)
Hình dạng của H(e
ω
j
) có thể được mô tả trực quan trên hình 3.1. Từ hình vẽ này
chúng ta có một số nhận xét quan trọng sau đây:
• Do cửa sổ w(n) có chiều dài M hữu hạn, đáp ứng của nó có một búp chính
(main-lobe) có độ rộng tỷ lệ với 1/M, và các búp bên (side-lobe) của nó có chiều
cao thấp hơn.
• Tích chập tuần hoàn sinh ra một phiên bản méo của đáp ứng xung lý tưởng H
d
(e
ω
j
).
• Búp chính (main-lobe) sinh ra một dải chuyển tiếp trong H(e
ω
j
) mà độ rộng là
nguyên nhân tạo nên độ rộng dải chuyển tiếp (transition bandwidth). Độ rộng
- 15 -
H(e)
H
d
(e)
W(e)

Max side-lobe height
Transition bandwidth
Hình 3.1: Kết quả của việc lấy cửa sổ trong miền tần số
Main-lobe
width
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
này tỷ lệ với 1/M. Độ rộng búp chính càng lớn thì độ rộng dải chuyển tiếp càng
lớn.
• Các búp bên (side-lobes) sinh ra các gợn sóng có hình dạng như nhau trong cả
dải thông và dải chắn.
Với các chỉ tiêu bộ lọc đã cho, chọn chiều dài bộ lọc và một hàm cửa sổ w(n) với
độ rộng main-lobe hẹp nhất và hệ số suy giảm side-lobe bé nhất có thể được. Từ nhận xét
4 nêu trên ta chú ý rằng dung sai dải thông δ
1
và dung sai dải chắn δ
2
không thể ấn định
một cách độc lập. Ta lấy chung δ
1
= δ
2
.
Tiếp theo chúng ta xem xét các hàm cửa sổ thường được dùng, bao gồm: cửa sổ
chữ nhật (Rectangular), cửa sổ tam giác (Bartlett), cửa sổ Hanning, cửa sổ Hamming, cửa
sổ Blackman và cửa sổ Kaiser.
3.1.1 Cửa sổ chữ nhật (Rectangular Window)
Trong miền n cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:
3.1.2 Cửa sổ tam giác (Bartlett Window)
Với mục đích giảm biên độ của các đỉnh thứ cấp của cửa sổ chữ nhật, chúng ta chọn
một cửa sổ khác có dạng tam giác cân, gọi là cửa sổ tam giác hay cửa sổ Bartlett

Trong miền n cửa sổ tam giác được định nghĩa như sau:
3.1.3 Cửa sổ Hanning (Hanning Window)
3.1.4 Cửa sổ Hamming (Hamming Window)
- 16 -
w(n) =
1 0≤ n ≤ M-1
0 Các trường hợp khác
0 Các trường hợp khác
w(n) =
0≤ n ≤
2 -
≤ n ≤ M - 1
2n
M-1
M-1
2
2n
M-1
M-1
2
w(n) =
0 Các trường hợp khác






Π
+







Π
−
M
n
M
n 4
cos08.0
2
cos5.042.0
0≤ n ≤ M
w(n) =
0 Các trường hợp khác






Π
−
M
n2
cos46.054.0
0≤ n ≤ M

Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
3.1.5 Cửa sổ Blackman (Blackman Window)
3.1.6 Các bước thiết kế
- Dựa vào A
s
chọn cửa sổ thiết kế
- Từ F
p
, F
S
→tính TW →Tính M
- Tính hàm cửa sổ w(n)
M
- Tính tần số cắt
2
2
22
1
1
11
22
22
S
C
CC
S
C
CC
f
F

f
f
F
f
ππω
ππω
==
==
;



+=
+=
2/)(
2/)(
222
111
PSC
PSC
fff
fff
- Tính h(n) lý tưởng
- Dịch chuyển h(n) sang phải
2
1−M
mẫu, sau đó nhân với w(n)
N
)()
2

1
()( nw
M
nhnh
d
−
−=
- 17 -
w(n) =
0 Các trường hợp khác






Π
+






Π
−
M
n
M
n 4

cos08.0
2
cos5.042.0
0≤ n ≤ M
Hình 3.2Hình dạng một số cửa sổ thường dùng
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
H
d
(n): là đáp ứng xung của bộ lọc thiết kế.
- Từ H
d
(n) tính H
d
(Z) → Xây dựng sơ đồ cấu trúc.
- Lượng tử hóa và mã hóa các hệ số của bộ lọc
- Kiểm tra lại: Nếu không thỏa mãn yêu cầu thì tăng độ dài từ mã biểu diễn hệ số
bộ lọc.
3.2. Phương pháp lấy mẫu tần số
3.2.1 Định nghĩa phương pháp lấy mẫu tần số
Phương pháp lấy mẫu tần số sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Vì bộ
lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số
)(
ω
j
eH
dạng hình chữ nhật nên không thể
thực hiện được trên thực tế. Cơ sở của phương pháp lấy mẫu tần số là xấp xỉ đặc tính tần
số
)(
ω

j
N
eH
của bộ lọc số cần tổng hợp theo đặc tính tần số
)(
ω
j
eH
của bộ lọc số lý
tưởng cùng loại.
Việc xấp xỉ được thực hiện bằng cách lấy mẫu tần số qua DFT, tức là làm cho các
mẫu của
)(
ω
j
N
eH
và
)(
ω
j
eH
bằng nhau tại các tần số rời rạc ω
k
= kω
1
= (k.2π/N):
11
)()(
ωω

ω
ωω
ω
k
j
k
j
N
eHeH
==
=
Hay:
)()(
11
ωω
jkjk
N
eHeH
=
Bằng cách như vậy, tại các điểm tần số rời rạc ω
k
= kω
1
, sai số xấp xỉ giữa
)(
ω
j
N
eH
và

)(
ω
j
eH
bằng 0, còn tại các tần số ở giữa khoảng kω
1
và (k+1)ω
1
thì sai số
xấp xỉ là hữu hạn. Sai số xấp xỉ sẽ giảm nhỏ nếu giảm tần số lấy mẫu cơ bản ω
1
= (2π /
N), điều đó tương ứng với tăng độ dài N của đặc tính xung h(n)
N
của bộ lọc số được tổng
hợp.
Ta có thể xác định được đặc tính biên độ tần số
)(
ω
j
N
eH
của 4 loại bộ lọc số
FIR pha tuyến tính theo công thức sau:

2
sin
)(
)1(
5.0sin(

)(
1
0






−
−=
∑
−
=
N
k
kA
N
N
eH
N
N
k
kj
N
πω
ω
ω
(1)
Đặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2:

- 18 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
αωωωϕ
−=






−
−= .
2
1
)(
N
N
, với
ωα
.
2
1






−
=

N
Đặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4:
αωβω
π
ωϕ
−=






−
−= .
2
1
2
)(
N
N
, với
2
π
β
=
và
ωα
.
2
1







−
=
N
Để đánh giá sai số khi xấp xỉ đặc tính tần số
)(
ω
j
N
eH
theo đặc tính tần số bộ lọc
lý tưởng
)(
ω
j
eH
, người ta dung hàm sai số:
)()()(
ωωω
j
N
j
eHeHeE
−=
3.2.2 Các bước thiết kế bộ lọc theo kiểu lấy mẫu tần số

Các bước tổng hợp đặc tính xung h(n)
N
của bộ lọc số FIR pha tuyến tính theo
phương pháp lấy mẫu tần số như sau:
Bước 1: Chọn số điểm lấy mẫu N (chính là độ dài của đặc tính xung). Thực hiện
lấy mẫu đặc tính biên độ
)(
ω
j
eH
của bộ lọc lý tưởng cùng loại trong một chu kỳ
0<=ω<2π để nhận được đặc tính biên độ tần số rời rạc
N
kH )(
của bộ lọc số FIR pha
tuyến tính cần tổng hợp.
Bước 2: Xác định đặc tính biên độ tần số
)(
ω
j
N
eH
của bộ lọc số FIR pha tuyến
tính cần tổng hợp bằng biểu thức nội suy sau:
∑
−
=







−
−=
1
0
2
sin
)(
)1(
N
)sin(0.5N
)(
N
k
N
kj
N
N
k
kA
eH
πω
ω
ω
Để tính
)(
ω
j

N
eH
theo công thức trên, trước hết cần xác định A(k)
N
:
- Đối với các bộ lọc loại 1 và loại 4, từ
N
kH )(
phải lấy A(k)
N
đối xứng trong
khoảng 1<=k<= (N-1). Hơn nữa, bộ lọc loại 4 có A(0)
N
= 0
- Đối với bộ lọc loại 2 và loại 3, từ
N
kH )(
phải lấy A(k)
N
phản đối xứng trong
khoảng 1<=k<= (N-1). Hơn nữa bộ lọc loại 3 phải có A(0)
N
= 0.
- 19 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
Bước 3: Kiểm tra đặc tính biên độ tần số
)(
ω
j
N

eH
có đạt các tiêu chí kỹ thuật đã
cho δ1, δ2, ω
c
, Δω hay không? Hoặc
p
jj
eE )E(e )(
max
ωω
≤
Nếu đạt tất cả các tiêu chí kỹ thuật đã cho thì giảm số điểm lấy mẫu N và thực
hiện lại các bước trên cho đến khi chọn được N
min
đảm bảo đạt tất cả các chỉ tiêu kỹ thuật
đã cho.
Nếu không đạt thì tăng số điểm lấy mẫu N và thực hiện lại các bước trên cho đến
khi chọn được N
min
để
)(
ω
j
N
eH
của bộ lọc cần tổng hợp đạt được tất cả các chỉ tiêu kỹ
thuật đã cho.
Bước 4: Xác định đặc tính xung h(n)
N
của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng

hợp:
[ ]
NN
kHIDFTnh ()(
=
- Đối với bộ lọc loại 1: để tìm h(n)
N
có thể tính IDFT theo công thức:
∑
−
=






+−+=
2
1
1
1
)12(cos.)()1(
2
)0(
)(
N
k
N
k

N
N
n
N
k
kA
NN
A
nh
π
- Đối với bộ lọc loại 2: để tìm h(n)
N
có thể tính IDFT theo công thức:
∑
−
=






+−+=
1
2
1
2
)12(cos.)()1(
2
)0(

)(
N
k
N
k
N
N
n
N
k
kA
NN
A
nh
π
- Đối với bộ lọc loại 3: để tìm h(n)
N
có thể tính IDFT theo công thức:
∑
−
=
+






+−=
2

1
1
1
3
)12(sin.)()1(
2
)(
N
k
N
k
N
n
N
k
kA
N
nh
π
- Đối với bộ lọc loại 4: để tìm h(n)
N
có thể tính IDFT theo công thức:
∑
−
=







+−−






−
=
1
2
1
4
)12(sin.)()1(
2

2
)1(
)(
N
k
N
k
N
n
N
n
N
k

kA
N
N
A
N
nh
π
- 20 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
CHƯƠNG 4: CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ
4.1. Thiết kế theo phương pháp cửa sổ.
4.1.1. Tính toán thiết kế.
Các bước tính toán thiết kế lọc FIR thông dãi với các thông số sau:
dBA
dbR
dBR
dBA
Ss
pp
pp
SS
60;8,0
1;65,0
1;35,0
60;2,0
2
2
1
1
==

==
==
==
πω
πω
πω
πω
- Với A
S
=60dB chọn cửa sổ Blackman với hàm cửa sổ như sau:





≤≤






+






−

=
Mandnn
Mn
M
n
M
n
nw
 00
0
4
cos08,0
2
cos5,042,0
)(
ππ
- Tính M với :
πππωωω
πππωωω
15,065.08,0
15,02,035,0
222
111
=−=−=∆
=−=−=∆
PS
SP
πωω
15.0),(
21

=∆∆=→ MINTW
→=+=+=⇒ 3.741
15,0
11
1
11
π
ππ
TW
M
chọn M=75
- Tìm tần số cắt:
( )
( ) ( )
πππωωω
πππωωω
725,02/8,065,02/
275,02/)35,02,0(2/
222
111
=+=+=
=+=+=
SPC
SPC
- Tìm H
d
(n) lý tưởng bộ lọc thông dãi có:
( )
n
Sin

n
nSin
dedenh
C
CC
C
CC
njnj
d
C
C
C
C
1
11
2
22
1
2
1
21
2
ω
ω
π
ω
ω
ω
π
ω

π
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−=








+=⇒
∫∫
−
−
- Tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc thực tế (bộ lọc cần thiết kế):
Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải thực tế được tính bằng cách lấy đáp ứng xung
lý tưởng nhân với hàm cửa sổ đây chính là thao tác lấy cửa sổ.
h(n) = h
d
(n).w(n)
Đến đây chúng ta đã có được bộ lọc cần thiết kế.
- 21 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số

4.1.2. Thuật toán giải quyết bài toán
Trong phần này sẽ thực hiện chương trình thiết kế bộ lọc thông dải bằng cách sử
dụng cửa sổ Blackman. Chương trình sẽ nhận các chỉ tiêu yêu cầu của bộ lọc cần thiết
kế, sau đó thực hiện các bước thiết kế để tìm được đáp ứng xung h(n).
Để khảo sát bộ lọc vừa thiết kế, chương trình cũng sẽ thực hiện tính toán và vẽ đáp
ứng biên độ - tần số của bộ lọc theo dB, cũng như vẽ các đáp ứng xung lý tưởng h
d
(n),
hàm cửa sổ w(n) và đáp ứng xung bộ lọc thực tế h(n).
Chương trình được viết và chạy trên nền Matlab 6.5, với việc sử dụng một số hàm
hỗ trợ có sẵn của Matlab cho xử lý tín hiệu số, và một số hàm viết thêm được tham khảo
từ tài liệu [1] (các hàm dưới dạng các file .m).
SƠ ĐỒ THUẬT TOÁN
- 22 -
YES
S
Begin
Nhập các chỉ tiêu
w
1s
, w
1p
, w
2p
, w
2s
,
A
s
, R

p
Chỉ tiêu có
hợp lệ
không?
Tính M
Tìm hàm cửa sổ w(n)
(Gọi hàm của Matlab
w=blackman(M) )
Tính h
d
(n)
h(n)=h
d
(n).w(n)
Vẽ h
d
(n), w(n), h(n) và
đáp ứng biên độ (dB) của
bộ lọc thiết kế.
END
NO
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
4.1.3. Chương trình Matlab
4.1.3.1Các hàm sử dụng
Hàm Ideal_lp(
C
ω
,M): Tính đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp bậc M
function hd = ideal_lp(wc,M);
% Ided LouPass filter computation

% [hd] = ideal_lp(wc,M)
% kd = ideal impulse response betveen 0 to M-1
% wc = cutoff frequency in radians
% M = length of the ideal filter
alpha =(M-1)/2;
n = [0:1:(M-1)];
m = n - alpha + eps;
hd = sin(wc*m)./(pi*m);
freqz_m(b,a): Tính đáp ứng tần số của bộ lọc FIR có đáp ứng xung h.
function [db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(b,a);
% Modified version of freqz subroutine
%
% [db,mag,pha.grd.wl = freqz_m(b,a);
% db - Relative magnitude in dB computed over 0 to pi radians
% mag - absolute magnitude computed over 0 to pi radians
% pha = Phase response in radians over 0 to pi radians
% grd = Craup delay over 0 to pi radians
%w = 501 frequency samples between 0 to pi radians
% b = numerator polynomial of A h ) (for FIR: b=h)
% a = denominator polynomial of H(z) (for FIR: a=[1])
[H,w] = freqz(b,a,1000,'whole' ) ;
H = (H(1:1:501))'; w = (w(1:1:501))';
mag = abs(H) ;
db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
pha = angle (H) ;
grd = grpdelay(b,a,w);
- 23 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
4.1.3.2Chương trình thực hiện
ws1=0.2*pi;

wp1=0.35*pi;
wp2=0.65*pi;
ws2=0.8*pi;
As=60;
TW=min((wp1-ws1),(ws2-wp2));
M=ceil(11*pi/TW)+1;
M=75;
n=[0:M-1]
wc1=(ws1+wp1)/2; wc2=(ws2+wp2)/2;
hd=ideal_lp(wc2,M)-ideal_lp(wc1,M);
% tinh cua so blackman
w_bla=(blackman(M))';
%tinh dap ung xung thc te
h=hd.*w_bla;
% tim dap ung xung tan so cua bo loc FIR
[db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(h,[1]);
delta_w = 2*pi/1000;
disp(['Actual Passband Ripple:'])
% do gon song dai thong
Rp = -min(db(wp1/delta_w+1:1:wp2/delta_w)) ;
As = -round(max(db(ws2/delta_w+1:1:501))) ;
% ve dap ung xung
Subplot(2,2,1); stem (n,hd); title('dap ung xung ly tuong');
%Axis(0 M-1 -0.4 0.5);
xlabel ('n'); ylabel('h(n)');
Subplot (2,2,2); stem(n,w_bla); title('ham cua so w(n)N');
%Axis(0 M-1 0 1.1);
xlabel('n'); ylabel('w(n)');
Subplot(2,2,3); stem(n,h);title('dap ung xung thuc te');
%Axis(0 M-1 -0.4 0.5);

xlabel('n');ylabel('h(n)');
Subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);%axis(0 1 -150 10];
Title('dap ung cuong do theo db');
Xlabel('tan so trong gioi han pi');
- 24 -
Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số
Ylabel('dB');
4.1.3.3Kết quả chạy chương trình
Các chỉ tiêu thiết kế:
dBA
dbR
dBR
dBA
Ss
pp
pp
SS
60;8,0
1;65,0
1;35,0
60;2,0
2
2
1
1
==
==
==
==
πω

πω
πω
πω
Kết quả chạy chương trình thiết kế:
M=75
R
p
=0.003
A
S
=75dB
Như vậy bộ lọc vừa thiết kế thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Hình dạng của đáp ứng xung lý tưởng, đáp ứng xung thực tế bộ lọc, hàm cửa sổ
Blackman, và đáp ứng biên độ tần số (theo dB) của bộ lọc được cho như trên
Hình 4.1: Mô tả đáp ứng sau khi thiết kế
- 25 -