Nghiên cứu cấu trúc pha trong một số mô hình vật lý không phục hồi đối xứng chiral

VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM
PHÙNG THỊ THU HÀ
NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC PHA
TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ
KHÔNG PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG CHIRAL
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62 44 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ
HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. TRẦN HỮU PHÁT
PGS.TS. NGUYỄN TUẤN ANH
HÀ NỘI 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự
hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Trần Hữu Phát và PGS.TS. Nguyễn Tuấn Anh.
Các kết quả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố
trong bất kỳ công trình nào khác.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013
Tác giả luận án
Phùng Thị Thu Hà
ii
LỜI CẢM ƠN
Qua luận án này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn khoa
học thứ nhất- GS.TSKH. Trần Hữu Phát. Thầy đã dành nhiều năm hướng dẫn tôi
nghiên cứu, đưa ra những ý tưởng khoa học và định hướng nghiên cứu cho tôi trong
quá trình tôi làm nghiên cứu sinh.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn khoa học thứ hai -
PGS.TS. Nguyễn Tuấn Anh. Thầy đã dành nhiều năm truyền thụ kiến thức khoa
học cho tôi, dạy tôi nghiên cứu.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam, Viện Khoa
học và Kỹ thuật Hạt nhân đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu, hoàn
thành và bảo vệ luận án tiến sỹ.

Tác giả luận án
iii
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Danh mục các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
MỞ ĐẦU 1
1. Giới thiệu về Chuyển pha trong QCD . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Giới thiệu về Chuyển pha trong chất hạt nhân . . . . . . . . . . 3
3. Lý do chọn đề tài và mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . 5
4. Đối tượng, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . 7
5. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6. Đóng góp của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 10
1.1 Tác dụng hiệu dụng ở gần đúng một loop . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Đối với trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Đối với trường fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iv
1.2 Lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn . . . . . . . . . 15
1.2.1 Cơ sở chính tắc lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Hàm Green nhiệt độ và phiếm hàm sinh . . . . . . . . . 16
1.2.3 Các điều kiện đối với hàm Green nhiệt độ . . . . . . . . 18
1.2.4 Hình thức luận thời gian ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5 Quy tắc Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.6 Sự dịch chuyển pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Lý thuyết trường trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Mô hình Walecka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Lý thyết trường trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Nhiệt động lực học của chất hạt nhân . . . . . . . . . . 29

1.3.4 Trong giới hạn nhiệt độ không . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.5 Vật chất bất đối xứng spin đồng vị . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Cấu trúc pha QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1 Đối xứng chiral, sự không hồi phục đối xứng chiral . . 38
1.4.2 Phân biệt hai loại chuyển pha . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 Giản đồ pha QCD được phỏng đoán . . . . . . . . . . . . 40
2 CHUYỂN PHA LIFSHITZ TRONG MÔ HÌNH QCD HIỆU DỤNG
KHÔNG PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG CHIRAL 43
2.1 Thế nhiệt động học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Các đại lượng nhiệt động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Sự không phục hồi của đối xứng chiral . . . . . . . . . . . . . . 48
v
2.4 Chuyển pha Lifshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 CHUYỂN PHA TRONG CHẤT HẠT NHÂN DỰA TRÊN MÔ
HÌNH SIGMA TUYẾN TÍNH MỞ RỘNG KHÔNG PHỤC HỒI
ĐỐI XỨNG CHIRAL 61
3.1 Thế nhiệt động học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Các đại lượng nhiệt động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Tính chất bão hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Sự không phục hồi của đối xứng chiral . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Phương trình trạng thái và chuyển pha khí-lỏng . . . . . . . . 67
3.6 Chuyển pha Lifshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.7 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
KẾT LUẬN 91
Các công trình đã thực hiện 93
Tài liệu tham khảo 94
PHỤ LỤC 100
vi
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CEP critical end point (điểm kết thúc tới hạn)
CFL color-flavor-locked (các số lượng tử màu và vị bị khóa)
ELSM extended linear sigma model (mô hình sigma tuyến tính
mở rộng)
EoS equation of state (phương trình trạng thái)
FS Fermi sphere (cầu Fermi)
LGT liquid-gas transition (chuyển pha khí-lỏng)
LHC large hadron collider (va chạm hadron được tạo ra
bởi máy gia tốc lớn)
LPT Lifshitz phase transition (chuyển pha Lifshitz)
LSM linear sigma model (mô hình sigma tuyến tính )
MFT mean-field theory (lý thuyết trường trung bình)
NJLM Nambu-Jona-Lasinio model (mô hình Nambu-Jona-Lasinio)
1PI 1- particle irreducible (bất khả quy một hạt)
QCD quantum chromodynamics (sắc động lực học lượng tử)
QCP quantum critical point (điểm tới hạn lượng tử)
QED quantum electrodynamics (điện động lực học lượng tử)
QGP quark-gluon plasma (plasma quark-gluon)
QHD quantum hadron dynamics (động lực học hadron lượng tử)
QPT quantum phase transition (chuyển pha lượng tử)
RHIC relativistic heavy ion collider (va chạm ion nặng
tương đối tính)
SNR symmetry non-restoration (sự không phục hồi đối xứng)
TCP tri-critical point (điểm ba tới hạn)
vii
MỞ ĐẦU
1. Giới thiệu về Chuyển pha trong QCD
Sắc động lực học lượng tử (QCD) thực sự được xem như là lý thuyết tương tác
mạnh của các quark và các gluon. Tại thế hóa baryon µ
B

hữu hạn và nhiệt độ T hữu
hạn, QCD có cấu trúc pha phong phú [25]. Chẳng hạn như, phục hồi đối xứng chiral
tại µ
B
cao và (hoặc) T cao, chuyển pha từ pha Nambu-Goldstone đến pha plasma
quark-gluon (QGP) ở T cao, chuyển pha từ pha Nambu-Goldstone đến pha siêu dẫn
màu tại T thấp. Hình 1 là một phác họa giản đồ pha của QCD. Cho đến nay, người
ta vẫn chưa biết được chính xác các đường chuyển pha trong các giản đồ pha đã
phác họa, đó là do các nghiên cứu về chuyển pha khi có mặt đồng thời của cả nhiệt
độ và mật độ là bài toán hóc búa. Trong tương lai gần các hiện tượng chuyển pha
có cơ hội được kiểm chứng trong các phòng thí nghiệm va chạm ion nặng tương đối
tính (RHIC) và va chạm hadron được tạo ra bởi máy gia tốc lớn (LHC). Đặc biệt,
sự chuyển pha lượng tử từ pha Nambu-Goldstone đến pha siêu dẫn màu ở T thấp
có liên quan đến phần bên trong của các ngôi sao neutron và các ngôi sao quark có
thể có, nó cũng liên quan đến các tiến hành của thực nghiệm va chạm ion nặng.
Trên giản đồ pha, vùng mà ở đó T nhỏ và µ
B
lớn có liên quan đến vật lý sao
neutron. Bởi vì ở T thấp, dự kiến có nhiều phổ sắp xếp một cách trật tự. Đường
phân cách pha của các số lượng tử màu và vị bị khóa (CFL) được dự đoán trong [2].
Từ nhiệt độ cao hơn, pha hỗn hợp QGP là dạng đơn giản nhất của cấu trúc pha
có thể có trong vùng này. Trạng thái này cũng được quan tâm đặc biệt, bởi vì các
tính toán giải tích của lý thuyết có thể điều chỉnh được, do tính tự do tiệm cận của
QCD. Các vùng trên giản đồ pha ứng với T khá lớn (T ∼ 100 MeV), mà có thể dễ
dàng được thăm dò bởi thí nghiệm va chạm ion nặng, ứng với thang đo động lực
1
2
Hình 1: Giản đồ pha của QCD trong mặt phẳng thế hóa µ và nhiệt độ T .
học trong QCD và µ
B

nhỏ hơn mức trung bình µ
B
∼ (0 ÷ 600) MeV. Các nhà lý
thuyết hy vọng rằng vùng này có những tính chất thú vị. Các vùng trên giản đồ
pha ứng với T đủ lớn và (hoặc) µ
B
đủ lớn đã được nghiên cứu bởi các tính toán lý
thuyết chặt chẽ. Tuy nhiên, các tính chất vật lý ở vùng này còn lâu mới có thể kiểm
chứng được bằng thực nghiệm, ngay cả trong vật lý học thiên thể. Trạng thái có T
cao và µ
B
cao cũng đã trở nên rõ ràng hơn bởi những tiến bộ liên tục của các mô
phỏng mạng QCD. Các mô phỏng gần đây nhất [28] tính đến các quark động lực
với các khối lượng thực tiên đoán chuyển pha chiral không giam cầm kiểu crossover
tại nhiệt độ xung quanh 170 MeV. Vùng có T nhỏ và µ
B
nhỏ, tức là các hệ vật lý
nằm trong pha hadron chỉ được nghiên cứu tới một chừng mực nào đó. Nhìn chung
trạng thái với mật độ hữu hạn và nhiệt độ hữu hạn vẫn còn nhiều điều chưa biết và
là đối tượng để xây dựng các mô hình nghiên cứu.
Ngoài các kiểu chuyển pha đã nêu ở trên. Dựa vào các công trình cơ bản của
Weinberg [69], Dolan và Jackiw [20], nhìn chung người ta tin tưởng rằng đối xứng
chiral sẽ được phục hồi ở T cao từ pha bị phá vỡ tại T = 0. Tuy nhiên trong thực tế
lại tồn tại các hệ vật lý thể hiện tính không phục hồi đối xứng (SNR) ở T cao, được
quan sát thấy trong nhiều chất khác nhau [58]. Tính toán lý thuyết trong [4, 23] đã
chứng minh rằng SNR thực sự xảy ra trong một số mô hình. Ý nghĩa vật lý của các
hiện tượng đó là SNR có thể có những hệ quả ngoại lệ đối với vũ trụ học. Cụ thể là,
trong kịch bản của SNR, vấn đề nan giải liên quan đến các khuyết tật topo trong mô
3
hình Big Bang chuẩn của vũ trụ học có thể được giải quyết [4, 23, 49, 57, 56]. Liên

quan đến đối xứng chiral của QCD, các tính toán trong [48] đã chỉ ra rằng đối xứng
chiral là không hồi phục tại T không giam cầm trong trường hợp khi Re[tr
c
(P )] < 0,
ở đây P là loop Polyakov, điều này phù hợp với nghiên cứu mô phỏng [13]. Cho đến
nay, cấu trúc pha của QCD đã từng bước được thiết lập nhờ mô phỏng mạng QCD
[37] hoặc mô hình QCD hiệu dụng cho kịch bản của phục hồi đối xứng chiral tại µ
cao và (hoặc) T cao. Tuy nhiên, vẫn còn thiếu thông tin về cấu trúc pha của QCD
tương ứng với kịch bản không phục hồi đối xứng chiral.
2. Giới thiệu về Chuyển pha trong chất hạt nhân
Khảo sát các tính chất của các hệ hạt nhân khi chuyển pha tại µ
B
hữu hạn và
T hữu hạn là một trong những chủ đề hấp dẫn nhất của vật lý hạt nhân hiện đại.
Trong mười lăm năm qua chúng ta đã chứng kiến những nỗ lực tuyệt vời để tìm kiếm
các bằng chứng thực nghiệm của chuyển pha khí-lỏng (LGT) của các hạt nhân nóng
và chất hạt nhân, gần đây chúng ta đã có tiến bộ lớn trong việc tìm hiểu chuyển pha
trong các hệ hạt nhân bởi tiến hành thực nghiệm các va chạm hạt nhân-hạt nhân
với các mức năng lượng từ vài MeV/nucleon đến GeV/nucleon [8, 10, 7, 16, 9, 11].
Tuy nhiên, sự tiên đoán của lý thuyết đã được thực hiện trước đó [3] và ngày nay
các tính toán dựa trên các mô hình hiệu dụng khác nhau đã cung cấp nhiều các kết
quả đáng tin cậy [53, 22, 64, 12, 61, 27, 14].
Các công trình nghiên cứu chuyển pha của chất hạt nhân đã được khảo sát trong
nhiều bài báo lý thuyết dựa trên cơ sở các mô hình hiện tượng luận thiết lập trực
tiếp từ các bậc tự do nucleon. Các mô hình hạt nhân phi tương đối tính sử dụng các
dạng khác nhau của thế năng tương tác nucleon-nucleon đã thu được nhiều thành
công trong nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ thấp và năng lượng thấp. Tuy nhiên,
lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính lại thất bại khi phản ánh các tính chất vật
lý của vật chất đông đặc. Cụ thể, khi mật độ chất hạt nhân cao ρ  3ρ
0

, với ρ
0
là
mật độ chất hạt nhân ở trạng thái bão hòa, thì lý thuyết hạt nhân phi tương đối
tính vi phạm nguyên lý nhân quả, một trong những nguyên lý rất cơ bản của vật lý.
Khi nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc) năng lượng cao thì hiệu ứng
4
tương đối tính trở nên quan trọng. Vì vậy, chúng ta cần phải phát triển lý thuyết
hạt nhân tương đối tính. Có thể nói lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính và lý
thuyết hạt nhân tương đối tính là hai phần lý thuyết bổ sung cho nhau ở những
thang năng lượng và thang mật độ nhất định.
Lý thuyết hạt nhân tương đối tính nghiên cứu hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc)
năng lượng cao. Khi nghiên cứu chất hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc) năng lượng
cao thì về cấu trúc, ta không thể coi nucleon đơn thuần là một hạt mà phải đi vào
cấu trúc bên trong của nucleon, tức là phải nói tới các hạt quark. Vì vậy, khi nghiên
cứu chất hạt nhân ở mật độ cao và (hoặc) năng lượng cao thì phải tính đến các đối
xứng của quark hay nói cách khác là phải tính đến các đối xứng của QCD. Ngoài
bất biến tương đối tính ứng với phép biến đổi Lorentz, phải kể đến một đối xứng
rất quan trọng là đối xứng chiral, một trong những đối xứng cơ bản của vật chất
tương tác mạnh và là một trong những nhân tố cơ bản của lý thuyết hạt nhân tương
đối tính. Cho đến nay, chuyển pha chiral vẫn là một trong những phát hiện thực
nghiệm quan trọng nhất trong RHIC. Chuyển pha chiral trong trạng thái vật chất
đông đặc đóng một vai trò quyết định trong nghiên cứu các tính chất vật lý của các
hạt nhân kích thích cũng như cấu trúc của các sao mật độ cao và tiến trình hình
thành vũ trụ. Lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính không cần đến bất biến chiral
vì nó chỉ khảo sát hạt nhân ở năng lượng thấp hay ở mật độ không cao, nhưng lý
thuyết hạt nhân tương đối tính thì phải có.
Một số mô hình hạt nhân có đối xứng chiral đã được xây dựng và nghiên cứu
[36, 51, 68, 52], đối xứng này bị phá vỡ một cách tự phát ở mật độ không và (hoặc)
nhiệt độ không và người ta thường tin rằng nó sẽ được phục hồi ở mật độ cao và

(hoặc) nhiệt độ cao. Tuy nhiên, như đã nêu ở trên, đối xứng chiral có thể không
phục hồi. Ngoài ra, có thể xảy ra trong chất hạt nhân quá trình LGT tại mật độ
hạt nhân dưới mức bão hòa [63].
Một hướng khác nghiên cứu chuyển pha của vật chất tương tác mạnh và đông
đặc [67, 17, 31, 30, 32, 62] đó là chuyển pha topo ở nhiệt độ không, nó cũng cung
cấp nhiều tính chất vật lý quan trọng. Cho đến nay, tồn tại hai kiểu phân loại áp
dụng cho các hệ vật lý. Thứ nhất, là phân loại thông thường bởi đối xứng, nó phản
ánh các hiện tượng phá vỡ một cách tự phát đối xứng khi năng lượng giảm. Thứ
5
hai, là phân loại với các trạng thái chân không theo tính chất topo của không gian
xung lượng [45], nó phản ánh xu hướng ngược lại, đối xứng dần dần xuất hiện ở khu
vực năng lượng thấp.
Đối với tất cả các hệ Fermi trong không gian ba chiều và bất biến dưới phép biến
đổi tọa độ, có bốn lớp phổ biến cơ bản của chân không được quy định bởi tính chất
topo trong không gian xung lượng [45, 46, 15]. Một là, chân không với các mức năng
lượng Fermi của khe năng lượng, chẳng hạn như chất bán dẫn, chất siêu dẫn và các
hạt Dirac. Hai là, chân không với các mức năng lượng Fermi được đặc trưng bởi các
điểm Fermi trong không gian xung lượng ba chiều, được xác định bởi E(p) = 0. Ba
là, chân không với các mức năng lượng Fermi được xác định bởi các mặt Fermi trong
không gian xung lượng ba chiều. Bốn là, chân không với các mức năng lượng Fermi
được đặc trưng bởi các đường trong không gian xung lượng ba chiều. Các chuyển
pha ứng với các kiểu phân loại này là các chuyển pha lượng tử (QPT). Chuyển pha
Lifshitz (LPT) là một QPT, nó được sinh ra bởi thăng giáng lượng tử tại T = 0 khi
cấu trúc topo của hệ thay đổi từ trạng thái mật độ thấp với khe năng lượng hữu
hạn mà ở đó mặt Fermi bị phá hủy sang trạng thái mật độ cao với mặt Fermi và nó
chịu ảnh hưởng của T = 0 hữu hạn. Trong [45], Lifshitz xét cấu trúc topo của mặt
Fermi thay đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác khi áp suất tăng. Chúng ta
có thể đồng nhất trạng thái với khe năng lượng hữu hạn tương ứng với trạng thái
chất lỏng không Fermi, trạng thái với mặt Fermi tương ứng với trạng thái chất lỏng
Fermi. Trong những năm gần đây, LPT là một trong những chủ đề nóng trong vật

lý chất rắn [19, 42, 70, 50, 29].
3. Lý do chọn đề tài và mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha của vật chất xuất hiện từ những năm lăm mươi của thế
kỷ trước, nó là một trong những vấn đề có tính thời sự cả về phương diện lý thuyết
lẫn thực nghiệm trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý, từ vật lý hạt cơ bản đến
vật lý thiên thể học. Trong đó, chuyển pha trong chất hạt nhân đã thu hút được
nhiều sự quan tâm của nhiều nhà vật lý hạt nhân. Các công trình nghiên cứu về
chuyển pha trong các mô hình khác nhau hầu hết chỉ đề cập đến chuyển pha nhiệt,
6
đây là chuyển pha được sinh ra bởi các thăng giáng nhiệt của các đại lượng vật lý
khi nhiệt độ thay đổi và do đó tuân theo các nguyên lý của nhiệt động học. Trong
mấy thập kỷ gần đây, người ta đã phát triển việc nghiên cứu một loại chuyển pha
khác, đó là chuyển pha lượng tử, loại chuyển pha này được sinh ra bởi các thăng
giáng lượng tử của các đại lượng vật lý ở nhiêt độ rất thấp và tuân theo các quy
luật của cơ học lượng tử. Trong những năm gần đây, lý thuyết về chuyển pha lượng
tử đã trở thành một lĩnh vực phát triển rất mạnh.
Vật chất tương tác mạnh và đông đặc đã được các nhà vật lý hạt nhân quan tâm
nghiên cứu từ lâu, nó là đối tượng cần và thích hợp để nghiên cứu cả về phương
diện lý thuyết và thực nghiệm. Hiện nay, các thí nghiệm va chạm ion nặng ở năng
lượng cao là công cụ tốt tạo ra vật chất tương tác mạnh và đông đặc, chúng cung
cấp cơ hội để khám phá nhiều tính chất thú vị của vật chất ở điều kiện cực trị. Tính
chất của vật chất tương tác mạnh và đông đặc, đặc biệt là các tính chất liên quan
đến phục hồi đối xứng chiral và các kiểu chuyển pha của nó đang là tâm điểm của
nhiều nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm. Tuy nhiên, trong thực tế lại tồn tại các
hệ vật lý thể hiện tính SNR ở nhiệt độ cao, được quan sát thấy trong nhiều chất
khác nhau. Tính toán lý thuyết đã chứng minh được tính SNR thực sự xảy ra trong
một số mô hình.
Các mô hình hạt nhân tương đối tính kiểu Walecka [59] đã tái hiện thành công
nhiều tính chất vật lý của các hạt nhân nặng và trung bình. Các mô hình hạt nhân
tương đối tính khác đã và đang được phát triển và thu được nhiều kết quả quan

trọng. Tuy nhiên, tất cả các mô hình trên đều có một số thiếu sót nghiêm trọng, cụ
thể là chúng không phản ánh đối xứng chiral. Một số các mô hình chiral đã được
xây dựng và có khả năng được sử dụng để mô tả chất hạt nhân, trong số đó quen
thuộc nhất là mô hình Nambu-Jona-Lasinio (NJLM) [54] và mô hình sigma tuyến
tính (LSM) [24]. Các mô hình này đã có thể giải thích sự phá vỡ đối xứng chiral tự
phát trong chân không và sự phục hồi đối xứng chiral tại mật độ cao. Tuy nhiên, lại
thất bại trong việc tái hiện lại tính chất bão hòa của chất hạt nhân. Cụ thể, LSM
chỉ tiên đoán trạng thái dị thường của chất hạt nhân [43], tại đó đối xứng chiral
được phục hồi và khối lượng hiệu dụng của các nucleon bị triệt tiêu.
Với các lý do trên, mục đích của luận án là nghiên cứu các kiểu chuyển pha có
7
thể có trong một số mô hình không phục hồi đối xứng chiral. Cụ thể là nghiên cứu
LPT trong mô hình QCD hiệu dụng với các bậc tự do quark và nghiên cứu các kiểu
chuyển pha khác nhau trong chất hạt nhân tại T hữu hạn và µ
B
hữu hạn trên cơ
sở mô hình sigma tuyến tính mở rộng (ELSM) với các bậc tự do nucleon.
4. Đối tượng, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ vật chất tương tác mạnh và đông đặc,
cụ thể là hệ vật chất thu được trong thí nghiệm va chạm ion nặng ở năng lượng cao,
các hạt nhân và các sao neutron.
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận án là sử dụng các mô hình QCD hiệu dụng và
các mô hình hạt nhân có đối xứng chiral không phục hồi để nghiên cứu các cấu trúc
pha và các kiểu chuyển pha.
Phạm vi nghiên cứu của luận án là nghiên cứu các hệ vật chất tương tác mạnh
và đông đặc ở nhiệt độ hữu hạn và mật độ hữu hạn trong mô hình chiral có tính
SNR, với vùng vật chất được tạo ra bởi các thí nghiệm va chạm ion nặng nằm trong
pha hadron, xung quanh đường LGT. Tại nhiệt độ không, nghiên cứu LPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Thực nghiệm chỉ ra rằng, khi năng lượng kích thích tăng dần, biểu hiện của các

hạt nhân bị kích thích có thể được mô tả bởi nhiệt động học, vì vậy luận án sử dụng
các khái niệm của vật lý thống kê.
Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ vật chất tương tác mạnh và đông đặc
ở nhiệt độ và mật độ mà các hiệu ứng tương đối tính trở nên quan trọng. Vì vậy,
luận án sử dụng lý thuyết hạt nhân tương đối tính và lý thuyết trường lượng tử
tương đối tính ở nhiệt độ hữu hạn, phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án
là phương pháp tác dụng hiệu dụng. Trong luận án, chúng tôi sử dụng các mô hình
hiện tượng luận có đối xứng chiral không phục hồi để nghiên cứu cấu trúc pha và
8
các kiểu chuyển pha có thể có của vật chất tương tác mạnh và đông đặc theo các
bậc tự do là các quark và các nucleon. Các tham số của mô hình được xác định bởi
các ràng buộc lấy từ thực nghiệm như khối lượng của quark và nucleon trong chân
không, cơ chế bão hòa của chất hạt nhân, Trong quá trình tính toán, chúng tôi
sử dụng phương pháp tính gần đúng trường trung bình đối với các trường meson và
phương pháp tính gần đúng một loop đối với các trường quark và nucleon.
Mô hình chúng tôi đặc biệt quan tâm là mô hình chiral trong [5, 6, 40]. Mô hình
này thích hợp để lựa chọn làm điểm khởi đầu nghiên cứu, vì có đối xứng chiral
không được hồi phục ở nhiệt độ cao, ngoài ra mô hình còn có một số tính chất vật
lý thú vị khác [43, 44, 55]. Dựa trên mô hình đó, chúng tôi có được mô hình QCD
hiệu dụng và ELSM. Các mô hình này vừa bao gồm các lý thuyết đối xứng cần thiết
của lý thuyết tương tác mạnh trong lý thuyết trường lượng tử tương đối tính và lý
thuyết hạt nhân tương đối tính, vừa thỏa mãn cơ chế bão hòa của chất hạt nhân và
có đối xứng chiral không hồi phục.
6. Đóng góp của luận án
Từ mô hình QCD hiệu dụng và ELSM có đối xứng chiral không được phục hồi,
sử dụng phép tính gần đúng trường trung bình cho các trường meson và gần đúng
một loop cho các trường quark và nucleon, sử dụng phương pháp tác dụng hiệu
dụng, chúng tôi thu được biểu thức giải tích của một số các đại lượng nhiệt động
quan trọng. Sử dụng phần mềm mathermatica để tính số, chúng tôi biểu diễn được
một số đại lượng nhiệt động theo T và µ

B
. Mô tả được một số quá trình chuyển pha
có thể có trong chất quark, chất hạt nhân và chất neutron. Các kết quả mà chúng
tôi thu được khác biệt so với những kết quả của các mô hình có đối xứng chiral được
phục hồi [63, 62]. Điều này chứng tỏ rằng, khảo sát tính SNR của đối xứng chiral
và các kiểu chuyển pha trong mô hình chiral có tính SNR, là một trong những vấn
đề cần thiết và không thể thiếu khi nghiên cứu các tính chất của vật chất tương tác
mạnh và đông đặc. Hy vọng rằng, có lớp mới hệ hạt nhân được đặc trưng bởi nhiều
tính chất bất thường, trong đó có các tính chất bất thường được đề cập trong luận
án. Có hay không thực sự tồn tại trong tự nhiên, là câu hỏi lớn mà chỉ có thể được
9
trả lời bởi các thí nghiệm trong tương lai.
7. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Phụ lục, luận án gồm ba chương:
Chương 1: Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án
Trình bày các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng trong luận án và một số vấn
đề lý thuyết liên quan đến luận án.
Chương 2: Chuyển pha Lifshizt trong mô hình QCD hiệu dụng không
phục hồi đối xứng chiral
Sử dụng mô hình QCD hiệu dụng, thiết lập biểu thức giải tích của thế nhiệt động
học và của các đại lượng nhiệt động liên quan. Từ đó, khảo sát tính SNR của đối
xứng chiral và nghiên cứu LPT của mô hình.
Chương 3: Chuyển pha trong chất hạt nhân dựa trên mô hình sigma
tuyến tính mở rộng không phục hồi đối xứng chiral
Sử dụng ELSM, thiết lập biểu thức giải tích của thế nhiệt động học và của các
đại lượng nhiệt động liên quan. Từ đó, khảo sát tính SNR của đối xứng chiral và
nghiên cứu các kiểu chuyển pha có thể có của chất hạt nhân và chất neutron của
mô hình.
Phần Kết luận là phần tổng kết các kết quả thu được trong luận án. Tiếp theo
là Các công trình liên quan đến luận án và cuối cùng là Tài liệu tham khảo

của luận án.
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
Luận án sử dụng lý thuyết hạt nhân tương đối tính và lý thuyết trường lượng
tử tương đối tính ở nhiệt độ hữu hạn, phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận
án là phương pháp tác dụng hiệu dụng. Trong luận án, chúng tôi sử dụng các mô
hình hiện tượng luận có đối xứng chiral không phục hồi để nghiên cứu cấu trúc pha
và các kiểu chuyển pha có thể có của vật chất tương tác mạnh và đông đặc theo các
bậc tự do là các quark và các nucleon. Trong quá trình tính toán, chúng tôi sử dụng
phương pháp tính gần đúng trường trung bình đối với các trường meson và phương
pháp tính gần đúng một loop đối với các trường quark và nucleon.
Trước tiên, chúng tôi trình bày phương pháp tác dụng hiệu dụng trong gần đúng
một loop.
1.1 Tác dụng hiệu dụng ở gần đúng một loop
Trong lý thuyết trường lượng tử, phương pháp khai triển nhiễu loạn đã tỏ ra
hữu ích khi mô tả các quá trình tương tác, giải các phương trình động lực học,
Phương pháp này đã rất thành công trong điện động lực học lượng tử (QED), trong
QCD ở năng lượng cao và nhiều bài toán cụ thể khác. Tuy nhiên, nhiều hiện tượng
vật lý quan trọng khác lại không dễ dàng thấy được trong khai triển nhiễu loạn.
Chẳng hạn như, sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha, các hiệu ứng tập thể
và các trạng thái liên kết, Dẫn đến đòi hỏi phải có một phương pháp mới không
dựa vào khai triển nhiễu loạn, nhưng bao gồm tất cả các bậc khai triển ứng với lý
10
Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 11
thuyết nhiễu loạn và các đóng góp bậc cao hơn trong các quá trình vật lý, lại vừa
giữ được những tính chất phi tuyến của lý thuyết trường lượng tử liên quan với các
hiệu ứng tập thể và liên kết.
Từ những năm đầu thế kỷ XX, Feynman đã đưa ra hình thức luận tích phân
đường, mở đầu cho sự phát triển phương pháp tích phân phiếm hàm của lý thuyết
trường lượng tử. Sau đó, năm 1962, J. Goldstone, A. Salam và S. Weinberge đưa

vào phương pháp tác dụng hiệu dụng dựa trên cơ sở tích phân phiếm hàm. Phương
pháp này là một trong những phương pháp không nhiễu loạn đã chứng tỏ tính ưu
việt khi tiếp cận những vấn đề trên, đặc biệt là khi khảo sát những hiện tượng tập
thể mà các phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông thường không thể áp dụng
được. Chẳng hạn, khi mô tả các dao động tập thể trong chất siêu dẫn, các dao động
plasma của electron tương tác qua lực Coulomb, các hadron có cấu trúc tập thể gồm
quark và gluon, chuyển động tập thể trong hệ hạt nhân nhiều nucleon,
Trong phần này, chúng tôi trình bày tác dụng hiệu dụng ở nhiệt độ không và
khai triển bất khả quy một loop (một hạt) của tác dụng hiệu dụng. Từ đó cho phép
tính toán thế hiệu dụng ở gần đúng một loop trong những trường hợp cụ thể.
1.1.1 Đối với trường vô hướng
Xét trường vô hướng φ(x) được mô tả bởi Lagrangian L[φ(x)] và tác dụng
S =

d
4
x L[φ(x)]. (1.1)
Mọi đặc trưng động lực học của trường đều được xác định từ biên độ chuyển dời
chân không thành chân không với sự có mặt của nguồn ngoài j mà nó được biểu
diễn bằng tích phân đường
Z[j] ≡ O
out
|O
in

{j}
=

Dφ e
i(S[φ]+φj)

, (1.2)
trong đó, ký hiệu
φj ≡

d
4
x φ(x)j(x), (1.3)
Z[j] là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần vì các đạo phiếm hàm của nó
Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 12
cho
1
Z[j]
δ
n
Z[j]
i
n
δj
n
δj
2
δj
1





j=0
= 0|T (φ

1
φ
2
φ
n
)|0 ≡ G
1,2, ,n
. (1.4)
Sử dụng (1.2) chúng ta nhận được phiếm hàm sinh W [j] cho các hàm Green liên
kết G
c
W [j] = −i ln Z[j]. (1.5)
Bằng cách đưa vào trường cổ điển
¯
φ(x) là giá trị trung bình của trường φ(x)
¯
φ(x) = φ ≡
δW [j]
δj
, (1.6)
thì tác dụng hiệu dụng Γ[
¯
φ] nhận được qua phép biến đổi Legendre loại I
Γ[
¯
φ] = W [j] −
¯
φj. (1.7)
trong đó, ký hiệu
¯

φj =

d
4
x
¯
φ(x)j(x), với
¯
φ là biến tự nhiên của phép biến đổi.
Phép biến đổi (1.7) được gọi là biến đổi Legendre loại I vì nó tạo ra các đỉnh bất
khả quy một hạt (1PI).
Đạo phiếm hàm của Γ[
¯
φ] theo biến tự nhiên
¯
φ cho hệ thức liên hợp Legendre loại
I
δΓ[
¯
φ]
δ
¯
φ
= −j. (1.8)
Từ (1.2), (1.5), (1.6) và (1.7) ta có
e
iΓ[
¯
φ]
=


Dφ e
i

S[φ]−(φ−
¯
φ)
δΓ[
¯
φ]
δ
¯
φ

. (1.9)
Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển S[φ] dưới dạng
S[φ] =
1
2
φ iG
−1
0
φ + S
int
[φ], (1.10)
thì với
¯
φ = 0, phương trình (1.9) trở thành
e
iΓ[0]

=

Dφ e
i

1
2
φ iG
−1
0
φ+S
int
[φ]−φ
δΓ[
¯
φ]
δ
¯
φ


¯
φ=0

. (1.11)
Khi đó, phiếm hàm Γ[
¯
φ] thỏa mãn (1.11) có thể viết dưới dạng
e
iΓ

1
[
¯
φ]
=

D

φ e
i

1
2

φ iG
−1
0
(
¯
φ)

φ+S
int
[

φ,
¯
φ]−

φ

δΓ
1
[
¯
φ]
δ
¯
φ

, (1.12)
Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 13
Thực hiện phép đổi biến φ →

φ = φ −
¯
φ dẫn đến S[φ] = S[

φ +
¯
φ]. Khai triển
S[φ] quanh
¯
φ
S[φ] = S[
¯
φ] +

φ
δS[
¯

φ]
δ
¯
φ
+
1
2

φ iG
−1
0
(
¯
φ)

φ + S
int
[

φ,
¯
φ], (1.13)
với
iG
−1
0
(
¯
φ) =
δ

2
S[
¯
φ]
δ
¯
φ
2
= iG
−1
0
+
δ
2
S
int
[
¯
φ]
δ
¯
φ
2
. (1.14)
Khi đó, (1.12) trở thành
e
i
{
Γ
1

[
¯
φ]+S[
¯
φ]
}
=

Dφ e
i

S[φ]−(φ−
¯
φ)
δ
(
Γ
1
[
¯
φ]+S[
¯
φ]
)
δ
¯
φ

. (1.15)
So sánh (1.15) với (1.9) ta được

Γ[
¯
φ] = Γ
1
[
¯
φ] + S[
¯
φ], (1.16)
trong đó Γ
1
[
¯
φ] là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy 1PI ứng với đỉnh
tương tác S
int
[φ,
¯
φ] và hàm truyền G
−1
0
(
¯
φ).
1.1.2 Đối với trường fermion
Mọi đặc trưng động lực học của trường đều được xác định từ biên độ chuyển
dời chân không thành chân không với sự có mặt của các nguồn ngoài η, ¯η cặp với
các trường
¯
ψ, ψ mà được biểu diễn bằng tích phân đường

Z[¯η, η] ≡ O
out
|O
in

{¯η,η}
=

D
¯
ψDψ e
i
(
I[
¯
ψ,ψ]+
¯
ψη+ψ ¯η
)
, (1.17)
trong đó, tác dụng
I[
¯
ψ, ψ] =

d
4
x L[
¯
ψ(x), ψ(x)], (1.18)

với L[
¯
ψ(x), ψ(x)] là mật độ Lagragian của trường fermion. Ký hiệu
¯
ψη ≡

d
4
x
¯
ψ(x)η(x), ψ¯η ≡

d
4
x ψ(x)¯η(x), (1.19)
Z[¯η, η] là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần.
Phiếm hàm sinh W [¯η, η] cho các hàm Green liên kết
W [¯η, η] = −i ln Z[¯η, η]. (1.20)
Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 14
Bằng cách đưa vào các trường cổ điển
σ(x) = ψ ≡
δW [¯η, η]
δ¯η
,
¯σ(x) = 
¯
ψ ≡
δW [¯η, η]
δη
, (1.21)

thì tác dụng hiệu dụng Γ[¯σ, σ] nhận được qua phép biến đổi Legendre loại I
Γ[¯σ, σ] = W [¯η, η] − ¯ση − ¯ησ, (1.22)
trong đó, ¯σ, σ là biến tự nhiên của phép biến đổi.
Đạo phiếm hàm của Γ[¯σ, σ] theo biến tự nhiên cho hệ thức liên hợp Legendre
δΓ[¯σ, σ]
δ¯σ
= −η, (1.23)
δΓ[¯σ, σ]
δσ
= −¯η. (1.24)
Từ (1.17), (1.20), (1.21) và (1.22) ta có
e
iΓ[¯σ,σ]
=

D
¯
ψDψ e
i
{
I[
¯
ψ,ψ]−(
¯
ψ−¯σ)
δΓ[¯σ,σ]
δ¯σ
−
δΓ[¯σ,σ]
δσ

(ψ−σ)
}
. (1.25)
Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển I[
¯
ψ, ψ] dưới dạng
I[
¯
ψ, ψ] = −
¯
ψ iS
−1
0
ψ + I
int
[
¯
ψ, ψ], (1.26)
thì với
¯
ψ = ψ = 0, phương trình (1.25) trở thành
e
iΓ[0,0]
=

D
¯
ψDψ e
i


−
¯
ψ iS
−1
0
ψ+I
int
[
¯
ψ,ψ]−
(
¯
ψ
δΓ[¯σ,σ]
δ¯σ
+
δΓ[¯σ,σ]
δσ
ψ
)


¯σ=σ=0

. (1.27)
Khi đó, phiếm hàm Γ
1
[¯σ, σ] thỏa mãn (1.27) có thể viết dưới dạng
e
iΓ

1
[¯σ,σ]
=

D

¯
ψD

ψ e
i


¯
ψ iS
−1
0
(
¯
ψ,ψ)

ψ+I
int
[

¯
ψ,

ψ,¯σ,σ]−


¯
ψ
δΓ
1
[¯σ,σ]
δ¯σ
−
δΓ
1
[¯σ,σ]
δσ

ψ

. (1.28)
Thực hiện phép đổi biến ψ →

ψ = ψ − σ,
¯
ψ →

¯
ψ =
¯
ψ − ¯σ dẫn đến I[
¯
ψ, ψ] =
I[

¯

ψ + ¯σ,

ψ + σ]. Khai triển I[
¯
ψ, ψ] quanh ¯σ, σ
I[
¯
ψ, ψ] = I[¯σ, σ] +

¯
ψ
δI[¯σ, σ]
δ¯σ
+
δI[¯σ, σ]
δσ

ψ +

¯
ψ iS
−1
0
(¯σ, σ)

ψ + I
int
[

¯

ψ,

ψ, ¯σ, σ],
(1.29)
với
−iS
−1
0
(¯σ, σ) =
δ
2
I[¯σ, σ]
δ¯σδσ
= −iS
−1
0
+
δ
2
I
int
[¯σ, σ]
δ¯σδσ
. (1.30)
Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 15
Khi đó, (1.28) trở thành
e
i{Γ
1
[¯σ,σ]+I[¯σ,σ]}

=

D
¯
ψDψ e
i

I[
¯
ψ,ψ]−(
¯
ψ−¯σ)
δ(Γ
1
[¯σ,σ]+I[¯σ,σ])
δ¯σ
−
δ(Γ
1
[¯σ,σ]+I[¯σ,σ])
δσ
(ψ−σ)

.
(1.31)
So sánh (1.31) với (1.25) ta được
Γ[¯σ, σ] = Γ
1
[¯σ, σ] + I[¯σ, σ], (1.32)
trong đó Γ

1
[¯σ, σ] là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy 1PI ứng với
đỉnh tương tác I
int
[
¯
ψ, ψ, ¯σ, σ] và hàm truyền S
−1
0
(¯σ, σ).
Tiếp theo là lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn.
1.2 Lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn
Hình thức luận được sử dụng trong lý thuyết trường lượng tử truyền thống rất
thích hợp để mô tả các đại lượng quan sát được trong không-thời gian trống. Tuy
nhiên, ở thời kỳ đầu tiên của vũ trụ, khi nhiệt độ rất cao, môi trường đã có một
lượng vật chất và mật độ bức xạ đáng kể, dẫn đến các giả thuyết của lý thuyết
trường lượng tử truyền thống không thể sử dụng được. Vì lý do đó, cần phải có một
lý thuyết trường lượng tử tổng quát hơn, gần với nhiệt động lực học, trong đó trạng
thái nền là một bể nhiệt, đó là lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn.
Ý tưởng chủ đạo của lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn là sử dụng
phương pháp tích phân đường trong lý thuyết trường lượng tử truyền thống và mô
tả nhiệt độ xuất hiện trong thừa số Boltzmann e
−βH
Lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn đã tỏ ra rất hữu ích khi nghiên cứu nhiều
lĩnh vực khác nhau: vũ trụ học sử dụng để nghiên cứu những hiện tượng xảy ra
trong thời kỳ đầu tiên của vũ trụ như các dịch chuyển pha , vật lý học thiên thể
sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng liên quan đến hệ vật lý có mật độ vật chất
rất cao trong các sao mật độ cao , nghiên cứu các va chạm ion nặng và nghiên cứu
các hiện tượng ngưng tụ
Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm cơ bản của lý thuyết

Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 16
trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn thông qua hàm Green nhiệt độ, hình thức luận
thời gian ảo và quy tắc Feynman.
1.2.1 Cơ sở chính tắc lớn
Cở sở chính tắc lớn được sử dụng để mô tả một hệ vật lý có số hạt N và thể tích
V , được nối với bể nhiệt ở nhiệt độ T , mà giữa chúng có sự trao đổi năng lượng và
số hạt khi T , V và thế hóa µ là không đổi.
Xét một hệ động lực được đặc trưng bởi Hamiltonian H và một hệ điện tích bảo
toàn Q
A
có tính chất giao hoán. Trạng thái cân bằng nhiệt động của hệ ở trạng thái
nghỉ trong một thể tích lớn được mô tả bởi toán tử mật độ chính tắc lớn
ρ = exp(−Φ) exp


A
α
A
Q
A
− βH

, (1.33)
Trong đó Φ = log {Tr [exp (−

A
α
A
Q
A

− βH)]} là hàm Massieu (biến đổi Legendre
của entropy), α
A
và β là các thừa số Lagrange, β = T
−1
, α
A
= −βµ
A
.
Từ biểu thức của toán tử mật độ, chúng ta định nghĩa trung bình chính tắc lớn
của một toán tử O bất kỳ
O ≡ Tr(O
ρ
), (1.34)
thỏa mãn tính chất 1 = 1.
Trong các phần tiếp theo chúng ta coi thế hóa bằng không, nó sẽ được đưa trở
lại khi cần thiết.
1.2.2 Hàm Green nhiệt độ và phiếm hàm sinh
Để đơn giản, chúng ta khảo sát trường vô hướng thực φ(x), không mang điện
tích, biến đổi theo quy luật
φ(x) = e
iHt
φ(0, x)e
−iHt
, (1.35)
trong đó thời gian t = x
0
giải tích liên tục trên mặt phẳng phức.
Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 17

Hàm Green nhiệt độ được định nghĩa là trung bình chính tắc lớn của tích thứ tự
n toán tử trường
G
C
(x
1
, . . . , x
n
) ≡ T
C
(φ(x
1
), . . . , φ(x
n
)), (1.36)
trong đó, toán tử T
C
là tích trật tự thời gian (sắp xếp các trường theo trật tự thời
gian) dọc theo đường C trong mặt phẳng thời gian phức. Ví dụ, tích của hai trường
T
C
φ(x)φ(y) = θ
C
(x
0
− y
0
) φ(x)φ(y) + θ
C
(y

0
− x
0
) φ(y)φ(x), (1.37)
δ
0
T
C
φ(x)φ(y) = δ
C
(x
0
− y
0
) [φ(x), φ(y)] + T
C
δ
0
φ(x)φ(y). (1.38)
Nếu chúng ta tham số hóa đường C dưới dạng t = z(τ ), ở đây τ là tham số thực
và tăng đơn điệu, thì trật tự dọc theo đường C tương ứng với trật tự dọc theo τ.
Khi đó các hàm bậc thang Heaviside và hàm delta được viết
θ
C
(t) = θ(τ), δ
C
(t) =

∂z
∂τ


−1
δ(τ). (1.39)
Các quy tắc của hình thức luận phiếm hàm có thể được áp dụng như trong lý thuyết
trường thông thường, với quy tắc đạo phiếm hàm
δ
j
(y)
δ
j
(x)
= δ
C
(x
0
− y
0
)δ
(
3)(x −y). (1.40)
Phiếm hàm sinh Z
β
[j] cho các hàm Green đầy đủ được viết
Z
β
[j] =

T
C
exp


i

C
d
4
xj(x)φ(x)

β
(1.41)
và được chuẩn hoá sao cho
Z
β
[0] ≡ 1 = 1,
tích phân theo t được lấy dọc theo đường C trong mặt phẳng phức, j là nguồn
ngoài.
Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết W
β
[j] được định nghĩa
W
β
[j] = −i ln Z
β
[j]. (1.42)
Phiếm hàm sinh cho các hàm Green 1PI được gọi là tác dụng hiệu dụng Γ
β
[
¯
φ],
nhận được bởi phép biến đổi Legendre loại một

Γ
β
[
¯
φ] = W
β
[j] −

C
d
4
x
¯
φ(x)j(x), (1.43)
Chương 1. Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến luận án 18
trong đó
¯
φ(x) =
δW
β
[j]
δj(x)
≡ φ(x), (1.44)
với các trung bình trên là các trung bình chính tắc lớn.
Từ (1.43) ta có phương trình
δΓ
β
[
¯
φ]

δ
¯
φ(x)
= −j(x). (1.45)
Trạng thái cơ bản của hệ ứng với sự triệt tiêu của các nguồn ngoài, được xác
định bởi phương trình
δΓ
β
[
¯
φ]
δ
¯
φ(x)




j=0
= 0. (1.46)
Phương trình này nếu cho nghiệm
¯
φ = 0 có nghĩa là đối xứng bị phá vỡ tự phát.
Trong trường hợp bất biến tịnh tiến
¯
φ(x) = φ
c
là hằng số. Khi đó, ta có thể biểu
diễn tác dụng hiệu dụng Γ
β

[
¯
φ] qua thế hiệu dụng Ω
β
eff
[
¯
φ] như sau
Γ
β
[φ
c
] = −Ω
β
eff
[φ
c
]

d
4
x. (1.47)
Phương trình khe xác định trạng thái cơ bản của hệ được viết
∂Ω
β
eff
[φ
c
]
∂φ

c
= 0. (1.48)
Phương trình này, nếu tìm thấy nghiệm φ
c
khác không, ta nói đối xứng bị phá vỡ
tự phát.
1.2.3 Các điều kiện đối với hàm Green nhiệt độ
Đối với trường vô hướng
Từ biểu thức định nghĩa hàm Green nhiệt độ, ta có hàm Green hai điểm của
trường vô hướng
G
(C)
(x −y) = θ
C
(x
0
− y
0
) G
+
(x −y) + θ
C
(y
0
− x
0
) G
−
(x −y), (1.49)
trong đó

G
+
(x −y) = φ(x)φ(y), G
−
(x −y) = G
+
(y − x). (1.50)