SKKN Phương pháp giải PT căn bậc hai, bậc ba (CẤP TỈNH CỰC HAY)

Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình toán học THCS có nhiều nội dung mới, cơ bản và làm
tiền đề cho việc học ở cấp THPT. Trong đó việc giải phương trình chứa căn thức
bậc hai, bậc ba là nội dung quan trọng. Thực tế, học sinh lớp 9 sau khi được học về
“ Căn bậc hai, căn bậc ba ” thì được làm quen ngay với giải phương trình chứa căn
thức bậc hai, bậc ba và cũng được các thầy, cô dạy các phuơng pháp giải phương
trình. Đặc biệt, với học sinh khá, giỏi; học sinh học bồi dưỡng thi huyện, thi tỉnh.
Nhưng học sinh thường hay thụ động đứng trức bài toán giải phương trình chứa
căn thức bậc hai, bậc ba. Vì các em khó xác định cách làm cụ thể cho từng loại
toán, đồng thời các em còn hay mắc sai lầm khi làm và sai ngay cả khi xác định rõ
được cách làm. Đôi khi, một bài toán có nhiều phương pháp giải nhưng học sinh
không biết lựa chọn phương pháp tối ưu nhất. Điều đó dẫn đến học sinh ngại làm,
nản học hay không tự tin khi giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba.
2. Ý nghĩa và tác dụng
Với thực tế nêu trên, đối với mỗi giáo viên dạy toán không chỉ là cung cấp
những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo
mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các
dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn
thiện kĩ năng, kĩ xảo.
Chính vì thế, việc tìm hiểu chất lượng học sinh lớp 9 học như thế nào về
phương trình chứa căn thức và dạy lớp 9 một số phương pháp giải “Phương trình
chứa căn thức bậc hai, bậc ba” để giúp học sinh định hướng bài làm, khắc phục sai
lầm khi làm và tự tin hơn khi gặp bài toán giải phương trình chứa căn thức là cần
thiết và quan trọng đối với mỗi giáo viên toán và với mỗi nhà trường trong thời
điểm hiện nay.
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 1
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
3. Phạm vi nghiên cứu

Một số phương pháp giải “Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba ” ở
chương I “ Căn bậc hai, căn bậc ba ” trong chương trình toán 9. Từ đó, phân tích
nguyên nhân và đề ra giải pháp trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy; giúp
nâng cao khả năng giải phương trình chứa căn thức của học sinh.
Giáo viên dạy toán kinh nghiệm các trường trong huyện và học sinh lớp 9
trường THCS Cẩm xá, Mỹ Hào, Hưng Yên ở năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014.
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
1. Cơ sở lý luận và thực tiển
Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình
chứa căn thức bậc hai, bậc ba, giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ
bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải
một cách kịp thời. Với mỗi phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện
ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất, nhanh nhất; qua mỗi dạng tổng quát
cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho
học sinh. Nếu biết phân dạng, chọn các ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư duy
cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và
nâng cao hiệu quả giáo dục .
Trong quá trình dạy học nhiều năm ở trường THCS Cẩm xá tôi nhận thấy đa
số học sinh (Cả học sinh khá, giỏi; học sinh đi thi huyện, thi tỉnh) đều chưa phát
huy hết năng lực giải toán của mình đối với phương trình chứa căn thức bậc hai,
bậc ba.
Qua khảo sát cho học sinh làm bài kiểm tra ở lớp 9
B
(lớp gồm nhiều học sinh
khá, giỏi) của trường THCS Cẩm xá năm học 2012 - 2013 (chưa áp dụng đề tài )
Tổng số Trên trung bình Dưới trung bình
41 15 26
% 36,6 63,4
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 2
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”

2. Phiện pháp tiến hành, thời gian
* Phương pháp
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có
nội dung liên quan đến giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba.
Phương pháp phân tích, tổng hợp: Phân tích các số liệu từ tài liệu để sử
dụng trong đề tài. Sau đó tổng hợp các số liệu.
Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực trạng về năng lực giải Toán
Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba của học sinh lớp 9; đặc biệt là học sinh
khá, giỏi và các em trong đội tuyển toán huyện.
Cụ thể :
Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà
học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải phương trình.
Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong lớp 9 khá, giỏi của trường.
(41 học sinh lớp 9B) trong năm học 2012 – 2013 và (32 học sinh lớp 9A) trong
năm học 2013 – 2014 để thống kê học lực của học sinh. tìm hiểu tâm lý, quan điểm
của các em khi học
phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba
.
Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết
phụ đạo, bồi dưỡng, kiểm tra. . . tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng
trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng
giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm
trong khi giải bài tập. Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong
sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để
xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang
nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 3
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
học sinh thường mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các

giờ dạy tiếp theo.
* Thời gian ( Được chia làm 3 giai đoạn chính)
+ Giai đoạn 1
Bắt đầu từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 04 năm 2013. ( Thời gian học và ôn
thi học sinh giỏi huyện và thi vào 10 để : Tìm hiểu thực trạng thực tiễn, phát hiện
nguyên nhân và đó ra biện pháp bồi dưỡng )
+ Giai đoạn 2
Bắt đầu từ tháng 9 năm 2013 đến tháng 12 năm 2014. (Thời gian học và ôn
thi học sinh giỏi huyện để: Áp dụng các biện pháp vào giảng dạy)
+ Giai đoạn 3
Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 01/ 14 đến 3/ 14.
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 4
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU
Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục
tiêu như sau:
+ Đưa ra bàn cùng các giáo viên toán nói chung và giáo viên dạy toán trường
THCS Cẩm xá nói riêng, về một số phương pháp giải
phương trình chứa căn thức
bậc hai, bậc ba
.
+ Giúp các thầy cô dạy toán rễ ràng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu. khi
áp dụng phương pháp vào dạy học; đồng thời cũng tạo cơ sở để các thầy cô dạy
toán xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra “Một số phương pháp giải
phương trình
chứa căn thức bậc hai, bậc ba.”
cho học sinh lớp 9 trường Cẩm xá nói riêng và lớp
9 nói chung trong quá trình học phương trình có căn, giải bài tập hoặc trong thi cử,

kiểm tra. . . được thuận lợi, nhẹ nhàng hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh
nghiệm để làm tài liệu cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản và bổ sung kiến thức.
- Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ
thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ; căn bậc hai
+
( )
0)(
2
≥
n
xf
;
( )( ) ( )( )
nn
xfxf
22
−=
với mọi x
( )
Nn ∈
+
( )( ) ( )( )
1212 ++
−=
nn
xfxf
với mọi x

( )
Nn ∈
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 5
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
+
( )
xf
xác định với
( )
0≥xf
;
( )
3
xf
xác định với mọi x
+
( )
( )
( )
xfxf =
2
;
( )( ) ( )
xfxf =
2
;
( )( ) ( )
( )
( )
xfxfxf ==

3
3
3
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thứ .
+ Đặt nhân tử chung
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Nhóm hạng tử, phối hợp các phương pháp
+ Tách hạng tử, thêm bớt hạng tử
+ 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
- Các bất đẳng thức côsi, bunhiacopski, bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối.
+
abba 2≥+
dấu bằng khi : x = y
+
( )( )
( )
2
2222
byaxyxba
+≥++
dấu bằng khi
y
x
b
a
=
+
baba +≥+
dấu bằng khi a.b ≥ 0

baba +≤−
dấu bằng khi a.b ≤ 0 và
ba ≥

( )
kxkkkx ≤≤−⇒≥≤ 0

( )
kxhoacxkkkx −≤≤⇒≥≥ 0
- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn, cách giải
hệ phương trình.
+ Công thức nghiệm, nhẩm nghiệm phương trình bậc hai
+ Giải hệ bằng phương pháp thế, phương pháp cộng.
- Bổ sung các kiến thức để giải các phương trình đơn giản:
+
BABA =⇔=
2
;
BABA =⇔=
3 3
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 6
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
+
A
=
B

⇔




=
≥
2
0
BA
B
;
3
3
BABA =⇔=
+



=
≥
⇔=
BA
A
BA
0
;
BABA =⇔=
33
+
00 ==⇔=+ BABA
2. Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba
2.1. Phương pháp 1: Nâng lên lũy thừa
2.1.1 Dạng 1:

f (x) g(x)=
⇔
2
g(x) 0
f (x) [g(x)]
≥


=

* Ví dụ 1 Giải phương trình:
x 1 x 1+ = −
(1)
Giải: (1) ⇔
2
x 1
x 1
x 1
x 3
x 3x 0
x 1 x 1
≥
≥

≥



⇔ ⇔
  

=
− =
+ = −




Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
* Nhận xét lỗi hay mắc ở học sinh :
- Học sinh hay bình phương luôn 2 vế mà không đặt điều kiện
1+x
, x - 1
hoặc chỉ đặt
1+x
xác định hoặc chỉ x – 1 ≥ 0 hoặc đặt cả hai điều kiện trên.
* Cách sửa cho học sinh :
- Giáo viên nhắc học sinh nhận dạng
A
=
B

⇔



=
≥
2
0
BA

B
trước, rồi áp dụng
cách làm
- Chú ý ta phải đặt 2 diều kiện:
A
xác định và B ≥ 0 ; ta chỉ cần B ≥ 0 vì
khi đó A = B
2
tự nhiên sẽ có A ≥ 0
- Một số trường hợp đặc biệt: không có x để A, B cùng thỏa mãn. Nếu nhận
thấy điều kiện này sẽ giúp ta kết luận ngay phương trình vô nghiệm.
* Ví dụ 2 Giải phương trình:
xx −=− 24
(2)
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 7
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
- Ta thấy
4−x
xác định <=> x ≥ 4, khi đó thì 2 – x < 0 => PT vô nghiệm.
Sau đây là bài tập tương tự:
* Bài tập tương tự Giải các phương trình sau:
a.
329 −=− xx
b.
34 −=− xx
c.
xx −=− 292
d.
05316 =−−− xx
2.1.2 Dạng 2 :

f (x) g(x) h(x)+ =
* Ví dụ 3 Giải phương trình:
x 3 5 x 2+ = − −
(2)
Giải: Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
(2) ⇔
x 3 x 2 5+ + − =
⇔
2x 1 2 (x 3)(x 2) 25+ + + − =
⇔
(x 3)(x 2) 12 x+ − = −
⇔
2 2
2 x 12
2 x 12
x 6
25x 150
x x 6 144 x 24x
≤ ≤
≤ ≤


⇔ ⇔ =
 
=
+ − = + −


Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
* Nhận xét lỗi hay mắc ở học sinh :

- Học sinh hay bình phương luôn 2 vế mà không đặt điều kiện hoặc cứ để
như đề rồi bình phương mà không chuyển.
* Cách sửa cho học sinh :
- Ở phương trình trên hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm
để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn . Vì vậy, giáo
viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho
học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2: a = b
⇔
a
2
= b
2
( khi a, b cùng dấu )
- Muốn vậy, khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương
với phương tŕnh ban đầu khi hai vế cùng dấu.
* Bài tập tương tự Giải các phương trình sau:
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 8
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
a.
xxx 35292 −−=−−
b.
3342 −−=−+ xxx
c.
192 +−=− xxx
d.
3334 −+=−− xxx
2.1.3 Dạng 3 :
f (x) g(x) h(x)+ =
* Ví dụ 4 : Giải phương trình
23151 −=−−− xxx

(4)
* Nhận xét:
- Tương tự, giáo viên sai thường gặp của học sinh
- Ở phương tŕnh (4), VP
≥
0 , nhưng vế trái chưa chắc đã
≥
0 vì vậy ta nên
chuyển vế đưa vế phương trình có 2 vế cùng
≥
0.
(4)
⇔

23151 −+−=− xxx
Đến đây học sinh có thể b́nh phương hai vế:
23151 −+−=− xxx
⇔

21315272
2
+−=− xxx
(*)
Ta lại gặp phương tŕnh có một vế chứa căn, học sinh có thể mắc sai lầm là
bình phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để hai vế đă cùng dấu hay
chưa.

⇔

)21315(449144

22
+−=+− xxxx
042411
2
=+−⇔ xx

0)2)(211( =−−⇔ xx




=
=
⇔
2
11
2
x
x
và trả lời phương trình (*) có 2 nghiệm :
2;
11
2
21
== xx
Sai lầm của học sinh là ǵì tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm :
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 9
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi
giải không đối chiếu với điều kiện ở (4) : đk

1
≥
x
vì vậy
11
2
1
=x
không phải là
nghiệm của (4)
+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện
7
2
072 ≤⇔≥− xx
vậy
2
2
=x
không là nghiệm của (4)
- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp, từ đó tôi cho học sinh
tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích .
Cách 1: Sau khi tìm được
11
2
=x
và
2=x
thử lại (4) không nghiệm đúng
vậy (4) vô nghiệm. (cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phương tŕnh đă cho
là tương đối phức tạp)










≥
≥⇔≥
≥
2
3
1
5
1
1
x
xx
x
Cách 2: Sau đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (4)
Sau khi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt thêm điều kiện
7
2
≤x
vậy
x

thoả măn :





≥
≤
1
7
2
x
x
nên phương trình (4) vô nghiệm
Cách 3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình .
điều kiện của (4) :
1
≥
x
do đó
1511515 −<−⇒−<−⇒< xxxxxx
Vế trái <0. VP
≥
0 nên phương tŕnh (4) vô nghiệm .
Sau đây tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải.
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 10
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Bài tập tương tự : Giải phương trình
a.
24314 −=+−+ xxx

b.
31212 +−−=+−− xxxx
c.
x 1 x 7 12 x+ − − = −

2.1.4 Với phương trình chứa căn thức bậc ba ta cũng làm tương tự
* Ví dụ 5 : Giải phương tŕnh :
271
33
=−++ xx
(5)
Ở phương trình (5) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến
việc lập phương hai vế :
Chú ý:
+ ở căn bậc lẻ:
12 +n
A
có nghĩa với
A∀
nên không cần đặt điều kiện



≥−
≥+
07
01
x
x
+ Ở luỹ thừa bậc lẻ: a = b

⇔
a
2n+1
= b
2n+1
; (n
∈
N) nên không cần xét đến dấu
của hai vế.
Giải:
+ Lập phương hai vế
( ) ( )
87.137.1371
2
33
2
3
=−++−++−++ xxxxxx
(**)
Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phương hai vế, vế trái
nhìn rất phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức:
(a + b)
3
=a
3
+ b
3
+ 3a
2
b + 3ab

2
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
Vậy (**) có thể viết :

( )
871.)7)(1(371
33
3
=−++−++−++ xxxxxx
(I)
(đến đây thay
271
33
=−++ xx
vào phương trình) ta được:
0)7)(1(82.)7)(1(38
3
=−+⇔=−++ xxxx
(II)
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 11
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Giải ra:
7;1
21
=−= xx
; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng, nên để

là 2 nghiệm của PT ban đầu.
Vậy phương trình (5) có 2 nghiệm :
7;1
21
=−= xx
+ Ở phương trình (5) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng
thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản A.B = 0 rồi giải.
Chú ý:
Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương, vì nó
chỉ tương đương khi x thoả mãn :
271
33
=−++ xx
. Vì vậy việc thay lại nghiệm
của (II) vào phương trình đă cho là cần thiết. Nếu không thử lại có thể sẽ có
nghiệm ngoại lai.
* Bài tập tương tự : Giải phương trình :
a.
333
511 xxx =−++−
b.
42312
33
=−++ xx
c.
333
101212 xxx =++−

2.2 Phương pháp 2: Trị tuyệt đối hóa
Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể

viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức:
AA =
2
để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản
* Ví dụ 6 : Giải phương trình
532813232222 =−+++−+− xxxx
(6)
Nhận xét:
+ Ở phương tŕnh (6) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên
có thể bình phương hai vế; nhưng ở phương trình này sau khi bình phương (lần 1)
vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp.
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 12
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
+ Biểu thức trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức.
Giải : ĐKXĐ:
2
3
032 ≥⇔≥− xx
;
( ) ( )
(*);5432132
5432132
5164.322)32(1322)32(
532813232222
22
=−−++−⇔
=−−++−⇔
=+−−−++−+−⇔
=−+++−+−
xx

xx
xxxx
xxxx
Cách 1: Đến đây để giải (*) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước khi phá
dấu
A
thì cần xét dấu của A
Nhận xét:
0132 >+−x
vậy chỉ xét dấu
432 −−x
+ Nếu
2
19
2
3
1632
0432 ≥⇔





≥
≥−
⇔≥−− x
x
x
x
thì

43283225432132 =−⇔=−⇔=−−++− xxxx
Giải ra
2
9
=x
(không thoả mãn điều kiện)
+ Nếu
2
19
2
3
432 ≤≤⇔<− xx
thì
005432132 =⇔=+−−+− xxx
vô số nghiệm x thoả mãn
2
19
2
3
≤≤ x
Kết luận: Nghiệm của phương trình là:
2
19
2
3
≤≤ x
Cách 2: ( Để giải (*) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối .
.BABA +≥+
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B
≥

0)
Giải: (*)
Có
53241325432132 =−−++−⇔=−−++− xxxx
ta có:
5324132324132 =−−++−≥−−++− xxxx
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 13
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
vậy:
5324132 =−−++− xx
khi
( )( )
0324132 ≥−−+− xx





≥
≥−−
⇔
2
3
0324
x
x
Giải ra:
2
19
2

3
≤≤ x
* Bài tập tương tự: Giải phương trình
a.
2
x 4x 4 x 8− + + =
b.
1267242 =−−++−−+ xxxx
c.
21212 =−−+−+ xxxx

d.
x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1+ + + + + − + = + − +
2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc, phương
pháp này có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình
Ở phương pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình chứa
căn thức đơn giản
Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ
+ Đặt 2 ẩn phụ
+ Đặt nhiều ẩn phụ
2.3.1 Cách đặt 1 ẩn phụ :
Cách 1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn
là ẩn phụ đã đặt. Giải phương trình tìm ẩn phụ, từ đó tìm ẩn chính.
* Ví dụ 7 : Giải phương trình
2
2
x
+ 6x + 12 +
23

2
++ xx
= 9 (7)
- Nhận xét:
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 14
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương tŕnh bậc 4
mà việc tìm nghiệm là rất khó
Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan :
2x
2
+ 6x + 12 = 2(x
2
+ 3x + 2) + 8
Hướng giải:
+ Đặt ẩn phụ là y =
23
2
++ xx
+ Chú ý: Đối với ĐK: x
2
+ 3x + 2
0≥
có thể giải được nhưng với những bài
toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có
thoả mãn ĐK hay không
Giải: ĐK x
2
+ 3x + 2
0≥

(⇔
x+1) (x+2)
0≥
⇔



−≥
≤
1
2
x
x
Đặt :
23
2
++ xx
= y
0
≥
khi đó phương trình (7)
⇔
2y
2
+ y + 8 = 9

⇔
2y
2
+ y – 1 = 0

Giải ra: y
1
=
2
1
(thoả mãn ĐK); y
2
= -1 (loại)
Thay vào:
23
2
++ xx
=
2
1
⇔
x
2
+ 3x + 2 =
4
1
Giải ra : x
1
=
2
23 +−
; x
2
=
2

23−−

Đối chiếu với ĐK: x =
2
23 +−
thoả mãn là nghiệm của phương trình (7)
* Ví dụ 8 : Giải phương trình
071262
22
=+−+− xxxx
(8)
Hướng dẫn
ĐKXĐ :
xxx ∀≥+− ;07126
2
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 15
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Ta biến đổi để thấy được mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương
trình:
07)2(62
22
=+−+−
xxxx
Đặt :
axx =− 2
2
ta có phương tŕnh:
aa =+ 76
(I)
Giải (I) tìm a từ đó tìm x

* Ví dụ 9: Giải phương trình
xxx 2)11)(11( =+−−+
(9)
Hướng dẫn:
Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt :
ux =+1
;
Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phương tŕnh để đưa về
phương trình ẩn u.
Giải: ĐKXĐ : -1
1
≤≤
x
Cách 1: Đặt
ux
=+
1

[ ]
)1(2)12()1()1(2)12)(1()9(
1)20(
222
2
+−+−−⇔−=+−−⇔
−=⇒≤≤
uuuuuu
uxu





=+−+−
=−
⇔
0)1(212
01
2
uu
u
+ Nếu :
(101 =⇒=− uu
thoả mãn)
011 =⇒=+⇒ xx
(Thoả mãn ĐK)

0145
)12(2
012
)1(212
2
22
2
=−+⇔



+=−
≥+
⇔+=+−
uu

uu
u
uu
Giải ra:
(1
1
−=u
loại);
25
24
1
5
1
5
1
2
2
−=−






=⇒= xu
thoả mãn điều kiện
Vậy:
25
24
;0 −== xx

là nghiệm của (9)
Cách 2: Ở bài này có thể đặt :
bxax =+=− 1;1
;
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 16
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Đưa về hệ phương tŕnh:





=+
−=+−
2
)1)(1(
22
22
ba
baba
* Ví dụ 10: Giải phương trình
xx −=− 22
2
(10)
Nhận xét:
- Nếu bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô
tỷ. Nên ta có thể đặt ẩn phụ nhưng chưa đưa về phương trình chỉ chứa một ẩn.
- Hãy tìm cách đưa về một hệ phương trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ.
Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đưa về phương trình đơn giản.
Giải: ĐK:




≥−
≥−
02
02
2
x
x

Đặt:
2
22 yxxy −=⇒−=
; ta có hệ:





=−
=−
xy
yx
2
2
2
2
Đây là hệ phương trình đối xứng




=−
=
⇒=−+−⇒
yx
yx
xyxy
1
0)1)((
+ Nếu x = y ta có phương trình:
xx =−2
Giải ra
1
=
x
(thoả mãn ĐK)
+ Nếu 1 – x = y ta có phương trình:
xx −=− 12

Giải ra:
2
51−
=x
(thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (10) có 2 nghiệm
2
51
;1
21

−
== xx
* Ví dụ 11: Giải phương trình
20062006
2
=++ xx
Cách 1: Đặt
yx =+ 2006
ta có hệ phương trình
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 17
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”





=+
=+
2006
2006
2
2
yx
yx
giải ra




+=+

−=+
⇔



−=
−=
12006
2006
1
xx
xx
yx
yx
từ đó sử dụng phương pháp 1 để giải tiếp.
Chú ý : Cách này thường sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đưa được
về hệ phương tŕnh đối xứng.
Cách 2: Đưa 2 vế về cùng bậc:






+−=+
−+=+
⇔







−+=






+⇔++−+=++
2006
2
1
2
1
2
1
2006
2
1
2
1
2006
2
1
4
1
20062006
4

1
22
2
xx
xx
xxxxxx
Đến đây tiếp tục giải theo phương pháp 1
Bài tập tương tự : Giải phương trình
a.
3
3
1221 −=+ xx
; HD: Đặt ẩn phụ
3
12 −= xy
ta có hệ :





=+
=+
xy
yx
21
21
3
3
b.

14122
2
+=++ xxx
; HD : Đặt ẩn phụ
xxy +=
2
c.
15932764
22
=+++++ xxxx
2.3.2 Cách đặt 2 ẩn phụ :
Ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương tŕnh 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị
của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đưa về
phương trình đơn giản.
* Ví dụ 12: Giải phương trình
112
3
=−+− xx
(12)
Nhận xét: Ở vế trái của căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế
để làm mất dấu căn là rất khó.
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 18
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ:
112 =−+− xx
(hằng số)
+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải.
Giải: ĐK:
1
≥

x
Đặt:
vxux =−=− 1;2
3
Ta có hệ phương trình:



=+
=+
1
1
33
vu
vu
giải ra
2;1;0
321
−=== uuu
Từ đó:
10;2;1
321
=== xxx
( thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (12) có 3 nghiệm:
10;2;1
321
=== xxx
* Ví dụ 13: Giải phương trình
312

3
=++− xx
Hướng dẫn:
Đặt :
bxax =+=− 1;2
3
; ta có hệ:



−=−
=+
3
3
23
ba
ba
Giải ra: a = 1; b = 1 ; từ đó giải ra tìm được x = 3
Tổng quát: Đối với phương trình có dạng:
cxfbxfa
mn
=±+− )()(
Ta thường đặt:
mn
xfbvxfau )(;)( +=−=
Khi đó ta được hệ phương trình:





+=+
=+
bavu
cvu
mn
hoặc



−=−
=+
bavu
cvu
mn
Giải hệ này tìm u, v sau đó tìm x
* Ví dụ 14: Giải phương trình
( ) ( )
( )
0191313
3
2
3
2
3
2
=−+−++ xxx
(14)
Nhận xét:
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 19
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”

Nếu lập phương hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đưa được về dạng
A.B = 0 như ở phương trình trước.
)13)(13(19
2
−+=− xxx
. Nên có thể đặt 2 ẩn phụ
Giải: Đặt
3
13 += xu

3
13 −= xv
(14) trở thành:





=+
=++
2
1
33
22
vu
uvvu
Giải ra:




−=
=
1
1
v
u
vậy ta có:
0
113
113
3
3
=⇒





=−
=+
x
x
x
Vậy (14) có nghiệm x = 0
* Bài tập tương tự: Giải phương trình :
a.
1
2
1
2

1
3
=−++ xx
b.
1
33
=+−+ bxax
Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhưng không đưa được về hệ
phương trình thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ, thay vào hệ thức đã đặt lúc
đầu để đưa về phương trình đơn giản. Như ví dụ sau:
* Ví dụ 15: Giải phương trình
15)2(2
32
+=+ xx
(15)
Nhận xét:
Nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ đưa về phương tŕnh bậc 4 rất
khó giải:
Hướng dẫn:
+ Nhận xét gì về biểu thức: x
3
+ 1 ? có dạng HĐT: x
3
+ 1 = (x+1)(x
2
-x+1)
+ Tìm mối quan hệ giữa x
2
+ 2 và x
3

+ 1
x
2
+ 2 = (x
2
– x + 1) + ( x + 1)
+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ:
1;1
2
+−=+= xxbxa
và tìm mối quan hệ
a, b từ đó tìm x
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 20
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Giải: ĐK :
1
−≥
x
;
)1)(1(5)1(2
22
+−+=+ xxxx
Đặt
1;1
2
+−=+= xxbxa
Ta có: a
2
= x + 1 ; b
2

= x
2
– x + 1 ; x
2
+ 2 = a
2
+ b
2
Phương trình đã cho trở thành:

0)2)(2(5)(2
22
=−−⇔=+ babaabba



=
=
⇔
ab
ba
2
2
* Với a = 2b ta có:
121
2
+−=+ xxx








−
=
+
=
⇒=−−⇔
2
375
2
375
035
2
1
2
x
x
xx
(thoả mãn điều kiện)
* Với b = 2a ta có:
121
2
+=+− xxx
. từ đó giải ra tìm x
(Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng .
Vì vậy, trước khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phương pháp giải phù hợp).
Bài tập tương tự: Giải phương trình
a.

30239)53(2
22
++=++ xxxx
( Hướng dẫn:
bxax =+=+ 9;32
2
)
b.
);8(21625
23
+=+ xx
( Hướng dẫn:
bxxax =+−=+ 42;)2(2
2
)
c.
83)23(2
32
+=+− xxx
( Hướng dẫn:
4343
01;032
22222
−+=⇒+=+⇒
≥+=≥+=
vuxxvu
xvxu
)
d.
1635233132

2
−+++=+++ xxxxx
020)()(220
222
=−+−+⇔+−+=+ vuvuuvvuvu
2.3.3 Cách đặt nhiều ẩn phụ :
* Ví dụ 16: Giải phương trình
23222312
2222
+−+++=−−+− xxxxxxx
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 21
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Nhận xét:
+ Phương trình này nhìn rất phức tạp, nếu nghĩ đến phương pháp bình
phương 2 vế thì sẽ đưa về một phương trình phức tạp .
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp, nên ta giải
phương trình tìm x rồi thử lại.
+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn :
)2()322()23()12(
2222
+−−++=−−−− xxxxxxx
Nên có thể nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ :
Giải:
Đặt
txxzxxvxxux =+−=++=−−=− 2;322;23;12
2222
Ta có hệ :




−=−
+=+
2222
tzvu
tzvu
từ đó suy ra:
3212
22
++=−⇒= xxxtu

Giải ra : x = -2
Thay vào thoả mãn phương trình đã cho, Vậy phương trình có nghiệm x = -2
(Phương pháp này tôi thấy hay và độc đáo, từ đó giáo viên có thể đặt nhiều
đề toán đẹp)
Bài tập tương tự: Giải phương trình
a.
200220052003220062004200520052006
2222
−++−+=−−+− xxxxxxx
b.
2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3+ + + + = + + + −
c.
x 2 x. 3 x 3 x. 5 x 2 x. 5 x= − − + − − + − −
2.4 Phương pháp 4: Đưa về dạng A
2
+ B
2
= 0 hoặc A.B = 0
( Ở phương pháp này ta sử dụng A

2
+ B
2
= 0 <=> A = B = 0 ;
A.B = 0 Khi A = 0 hoặc B = 0 )
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 22
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
* Ví dụ 17: Giải phương trình
32254
2
+=++ xxx
Nhận xét:
+ Sử dụng các phương pháp 1, 2, 3 đều khó giải
+ Biến đổi đưa về dạng: A
2
+ B
2
= 0
Giải: Điều kiện:
2
3
−≥x



=−+
=+
⇔=−+++⇔
=++−++++⇔=+−++
0132

01
0)132()1(
0)132232()12(032254
22
22
x
x
xx
xxxxxxx
Giải ra x = - 1
* Ví dụ 18: Giải phương trình
14122
2
+=++ xxx
Nhận xét:
+ Ở phương trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x
2
+ x từ đó đưa về hệ phương
trình đối xứng:





+=
+=
yyx
xxy
2
2

+ Từ đó suy ra:



−−=
=
yx
yx
2
rồi giải tìm x
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phương trình với 2 rồi đưa về dạng:
0)114(4
22
=−++ xx
Giải ra x = 0 (cách giải này đơn giản hơn)
* Ví dụ 19: Giải phương trình
31125 −=−−++ xxx
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 23
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Hướng dẫn:
Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức:
)1()1(435 xxx −−+=+
;
PT trở thành:
0112)1()12(
22
=−+++−−+ xxxx

0)115()1(
011)12(

=−++⇔
=+−−+⇔
xx
xx
Giải ra: x =
25
24−
( TMĐK)
Ngoài ra ta có thể đặt:
bxax =−=+ 1;1
; ta có hê:




=−+−
=+
042
2
22
22
baba
ba
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm được x
Bài tập tương tự: Giải phương trình
a.
126266
2
+=+− xxx

b.
5634224 −+−+−=+++ zyxzyx
c.
5
3
2314
+
=−−+
x
xx
d.
2x 1 x 2 x 3+ − − = +
e.
2
x 1 2(x 1) x 1 1 x 3 1 x+ + + = − + − + −

f.
3 2 4
x 1 x x x 1 1 x 1− + + + + = + −
2.5 Phương pháp 5 : Dùng bất đẳng thức
( Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt.)
* Ví dụ 20: Giải phương trình:
2
14
14
=
−
+
−
x

x
x
x
(`20)
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 24
Một số phương pháp dạy học sinh lớp 9 giải “ Phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba”
Giải: ĐK:
4
1
>x
;Sử dụng bất đẳng thức:
2≥+
a
b
b
a

với a, b > 0 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ta có:
2
14
14
≥
−
+
−
x
x
x
x

Do đó (20)
14 −=⇔ xx
Giải ra:
32 ±=x
thoả măn điều kiện
Vậy (20) có hai nghiệm:
32 ±=x
* Ví dụ 21: Giải phương trình:
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
(21)
Nhận xét:
+ Ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế
+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn.
3x
2
+ 6x + 7 = 3(x + 1)
2
+ 4; 5x
2
+ 10x + 14 = 5(x + 1)
2
+ 9;
4 - 2x - x
2
= -(x + 1)
2
+ 5 từ đó có lời giải:
Giải:
VT:

5942414105763
222
=+≥−−=+++++ xxxxxx
VP:
5)1(524
22
≤+−=−− xxx
Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó
101
−=⇒=+
xx
Kết luận phương trình (21) có một nghiệm x = -1

* Ví dụ 22: Giải phương trình:
271064
2
+−=−+− xxxx
Nhận xét:
Trường THCS Cẩm Xá Trang - 25