Bài giảng Đại số 10 chương 6 bài 3 Công thức lượng giác

TRƯỜNG PTDT NT GIA LAI
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
BÀI GIẢNG MÔN TOÁN LỚP 10
Kiểm tra bài cũ:
Câu 2: Nhắc lại công thức cộng đối với sin và côsin?
cos( ) cos cos sin sin (1)
− = +
a b a b a b
Câu 1: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết :
⇒
Nếu lấy (1) cộng (2)
vế theo vế ta được
đẳng thức gì?
cos( ) cos cos sin sin (2)
+ = −
a b a b a b
sin( ) sin cos cos sin (3)
+ = +
a b a b a b
sin( ) sin cos cos sin (4)
− = −
a b a b a b
Nếu lấy (1) trừ (2)
vế theo vế ta được
đẳng thức gì?
cos( ) cos( ) 2cos cos
− + + =
a b a b a b
Nếu lấy (3) cộng (4)
vế theo vế ta được
đẳng thức gì?

[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
= − +⇒ +
a b a b a b
cos( ) cos( ) 2sin sin
− − + =
a b a b a b
[ ]
1
sin sin cos( ) cos( )
2
= − −⇒ +
a b a b a b
sin( ) sin( ) 2sin cos
− + + =
a b a b a b
[ ]
1
sin cos sin( ) sin( )
2
= − +⇒ +
a b a b a b
Ba công thức trên
được gọi là công
thức biến đổi tích
thành tổng.
1 3
sin cos và

2 4
+ = < <
π
π
a a a
Giải:
Ta có: 1 = sin
2
a + cos
2
a = (sina + cosa)
2
– 2sinacosa
2
1 3
sin 2a sin2a
2 4
−
 
= − ⇒ =
 ÷
 
3 3
Do nên 2 2 cos 2a 0
4 2
< < < < ⇒ >
π π
π π
a a
2

2 2 2
3 7
Mà: cos 2a + sin 2a = 1 cos2a 1 sin 2a 1
4 4
−
 
⇒ = − = − =
 ÷
 
3
sin 2a 3 3 7
4
tan 2a
cos2a 7
7 7
4
−
− −
⇒ = = = =
III. Công thức biến đổi tích
thành tổng, tổng thành tích:
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (TT)
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
= − + +
a b a b a b
[ ]
1

sin sin cos( ) cos( )
2
= − − +
a b a b a b
[ ]
1
sin cos sin( ) sin( )
2
= − + +
a b a b a b
1. Công thức biến đổi tích thành
tổng:
VÍ DỤ ÁP DỤNG:
15 5
sin cos .
12 12
π π
Giải:
Ví dụ 1: Tính cos75
0
cos15
0
,
Ta có:
15 5
sin cos
12 12
1 15 5 15 5
sin sin
2 12 12 12 12

1 10 20
sin sin
2 12 12
1 5 5
sin sin
2 6 3
 
   
= − + +
 ÷  ÷
 
   
 
 
= +
 
 
 
= +
 
 
π π
π π π π
π π
π π
( )
1
sin sin 2
2 6 3
1

sin sin
2 6 3
1 1 3 1
1 3
2 2 2 4
 
   
= − + − +
 ÷  ÷
 
   
 
 
 
= + −
 ÷
 
 
 
 
= − = −
 
 
 
π π
π π
π π
( ) ( )
0 0
0 0 0 0

0 0
cos 75 cos15
1
cos 75 15 cos 75 15
2
1
cos60 cos 90
2
1 1 1
0
2 2 4
 
= − + +
 
 
= +
 
 
= + =
 
 
Từ u = a – b và v = a + b ta
thấy: u + v = 2a và u – v = 2b.
Do vậy:
III. Công thức biến đổi tích
thành tổng, tổng thành tích:
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (TT)
cos cos 2 cos cos
2 2
+ −

+ =
u v u v
u v
cos cos 2sin sin
2 2
+ −
− = −
u v u v
u v
sin sin sin cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
u v
2. Công thức biến đổi tổng thành
tích:
sin sin cos sin
2 2
+ −
− =
u v u v
u v
Bằng cách đặt u = a –
b, v = a +b hãy suy ra
cosu + cosv, sinu +
sinv
cos cos cos( ) cos( )
2cos cos
cos cos 2cos cos

2 2
+ = − + +
=
+ −
⇒ + =
u v a b a b
a b
u v u v
u v
III. Công thức biến đổi tích
thành tổng, tổng thành tích:
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (TT)
cos cos 2 cos cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
u v
cos cos 2 sin sin
2 2
+ −
− = −
u v u v
u v
sin sin sin cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
u v

2. Công thức biến đổi tổng thành
tích:
sin sin cos sin
2 2
+ −
− =
u v u v
u v
VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 2: Tính
5 7
sin sin sin .
9 9 9
= − +
A
π π π
Giải:
Ta có:
7 5
sin sin sin
9 9 9
 
= + −
 ÷
 
A
π π π
4 5
2 sin cos sin
9 3 9

= −
π π π
4 5
sin sin
9 9
 
= − −
 ÷
 
π π
π
4 4
sin sin 0
9 9
= − =
π π
III. Công thức biến đổi tích
thành tổng, tổng thành tích:
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (TT)
cos cos 2 cos cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
u v
cos cos 2sin sin
2 2
+ −
− = −
u v u v

u v
sin sin sin cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
u v
2. Công thức biến đổi tổng thành
tích:
sin sin cos sin
2 2
+ −
− =
u v u v
u v
VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong
tam giác ABC ta có:
sin 2 sin 2 sin 2
4sin sin sin .
+ +
=
A B C
A B C
Giải:
Ta có:
sin 2A sin 2 sin 2
+ +
B C
2sin( ) cos( ) sin 2= + − +A B A B C

Mà:
0
sin( ) sin(180 ) sin ;
+ = − =
A B C C
sin 2 2sin cos ;
=
C C C
( )
( )
0
cos cos 180
cos
 
= − +
 
= − +
C A B
A B
2 sin cos( )
2 sin cos( )
⇒ = −
− +
VT C A B
C A B
[ ]
2sin cos( ) cos( )
= − − +
C A B A B
( )

2sin . 2sin .sin
 
= − −
 
C A B
4sin sin sin
= =
C A B VP
⇒
ĐPCM
Củng cố toàn bài
 Công thức biến đổi tổng thành tích:
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC(TT)
 Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
= − + +
a b a b a b
[ ]
1
sin sin cos( ) cos( )
2
= − − +
a b a b a b
[ ]
1
sin cos sin( ) sin( )
2

= − + +
a b a b a b
cos cos 2 cos cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
u v
cos cos 2sin sin
2 2
+ −
− = −
u v u v
u v
sin sin sin cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
u v
sin sin cos sin
2 2
+ −
− =
u v u v
u v
Bài tập về nhà:
Bài tập: 6, 7, 8 (trang 154, 155 sgk)
Bài học đến đây là kết thúc.
Thân ái chào các em !

Chúc các thầy cô giáo mạnh
khỏe!