Rèn luyện kĩ năng giải toán về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
================

NGUYỄN THỊ ĐỊNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ “ĐƢỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG
SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ mơn Tốn học)
Mã số
: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS. TS. Bùi Văn Nghị

Hà Nội 2009


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................

1

2. Lịch sử nghiên cứu ............................................................................

3

3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................

3

4. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu ..................................

4

5. Mẫu khảo sát ........................................................................................

4

6. Vấn đề nghiên cứu................................................................................

4

7. Giả thuyết khoa học..............................................................................

4

8. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................

4

9. Cấu trúc luận văn ................................................................................

5

Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...............................

6

1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp
dạy học tích cực .....................................................................................

6

1.1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thơng ....

6

1.1.2. Một số phương pháp dạy học tích cực ..........................................

6

1.2. Kĩ năng .............................................................................................

8

1.2.1. Khái niệm kĩ năng .........................................................................

8

1.2.2. Kĩ năng giải toán ............................................................................ 14
1.3. Thực tiễn dạy học “đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan
hệ song song” trong chương trình hình học 11 nâng cao THPT .................... 18
1.3.1. Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong

không gian, quan hệ song song ................................................................ 18
1.3.2. Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian , quan hệ song song ............................................ 20
1.3.3. Những khó khăn của HS khi học nội dung đường thẳng và mặt


phẳng trong không gian, quan hệ song song ............................................. 24
Tiểu kết chương 1 .................................................................................... 26
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI
BÀI TẬP VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG
KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG SONG ........................................... 28
2.1. Biê ̣n pháp 1: Rèn luyện kĩ năng tìm tòi lời giải theo 4 bước giải
tốn của Pơlya .......................................................................................... 28
2.2. Biê ̣n pháp 2: Rèn luyện kĩ năng xác định hình .................................. 34
Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ....................................... 35
Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .................... 42
Dạng 3: Xác định thiết diện ...................................................................... 46
2.3. Biê ̣n pháp 3: Rèn luyện kĩ năng chứng minh .................................... 60
Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng ................................................ 61
Dạng 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy ....................................... 67
Dạng 3: Chứng minh các quan hệ song song trong không gian ................ 75
2.4. Biê ̣n pháp 4: Rèn luyện kĩ năng tính tốn .......................................... 90
2.5. Biê ̣n pháp 5: Rèn luyện kĩ năng tìm tập h ợp điểm ............................. 106
Tiểu kết chương 2 .................................................................................... 114
Chƣơng 3: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................. 115
3.1. Mục đích thử nghiệm......................................................................... 115
3.1.1. Mục đích ........................................................................................ 115
3.1.2. Nhiệm vụ ........................................................................................ 115
3.2. Tiến trình thử nghiệm ........................................................................ 115
3.3. Nội dung thử nghiệm ......................................................................... 116

3.4. Kết quả thực nghiệm và những kết luận rút ra từ thực nghiệm........... 121
3.4.1. Về khả năng lĩnh hội kiến thức của HS ..............................................
121
122
3.4.2. Về kết quả kiểm tra ............................................................................
KẾT LUẬN ............................................................................................ 125


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

GV : Giáo viên
HS : Học sinh
Đpcm : Điều phải chứng minh
HĐ : Hoạt động
TN : Thử nghiệm
ĐC : Đối chứng


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Luật giáo dục mới nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt nam, năm
2005, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê
học tập và ý chí vươn lên” (chương I, điều 4); “Phương pháp giáo dục phổ
thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh, phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự
học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (chương I, điều 24).
Những yêu cầu trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục,
để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng

còn chậm đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay.
Mục tiêu của giáo dục phổ thơng là “Giúp học sinh phát triển tồn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc ”.
Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn giữ một vị trí hết sức quan
trọng. Nó góp phần to lớn vào việc đào tạo những con người lao động mới
thông minh sáng tạo.
Trong các phân mơn của Tốn học thì Hình học khơng gian là một
phần khá quan trọng và thiết thực, bởi thơng qua việc dạy và học hình khơng
gian, phát triển ở người học trí tưởng tượng cao, khả năng phân tích quan sát
tốt, từ đó giáo dục cho học sinh những phẩm chất cần thiết cho con người lao
động xã hội chủ nghĩa. Tuy nhiên trên thực tế hình học khơng gian được xem
là một chủ đề hay nhưng khó dạy, khó học. Học sinh thường lúng túng khi

1


giải bài tập về hình học khơng gian, có tư tưởng ngại và sợ làm bài tập hình
khơng gian, khả năng tưởng tượng không gian kém, chưa biết vận dụng lí
thuyết vào giải bài tập.
Theo GS. Nguyễn Cảnh Tồn: dạy Tốn là dạy kiến thức, kĩ năng, tư
duy và tính cách, trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì
khơng có kĩ năng thì khơng thể phát triển được tư duy và khơng tìm được lối
thốt cho việc giải quyết vấn đề.
Trong q trình dạy học, người thầy không chỉ cung cấp kiến thức mà
còn dạy cách học, phát huy khả năng tư duy, phân tích, tổng hợp, nhận xét,
đánh giá, phát hiện vấn đề làm cho học sinh chủ động trong học tập, say mê

nghiên cứu, gạt bỏ tư tưởng ngại và sợ hình học khơng gian, làm cho hình học
khơng gian trở thành một môn học gần gũi và thiết thực đối với học sinh.
Khi nói tới phương pháp giải bài tập tức là nói tới phương tiện, cách thức,
con đường để đạt tới một mục đích nhất định trong nhận thức và cả thực tiễn.
Đứng trước một bài toán, điều quan trọng nhất là xác định được phương pháp
giải. Thiếu những phương pháp giải tương ứng cho một dạng bài tập cụ thể nào
đó thì khơng thể có định hướng đúng đắn để nắm bắt được nội dung bài học.
Một trong những khó khăn của người học tốn là đứng trước một bài
tốn khơng biết bắt đầu từ đâu, tìm đường lối giải như thế nào. “Quan hệ song
song trong không gian” là một trong những nội dung quan trọng của chương
trình tốn học phổ thơng, đây cũng là nội dung tương đối khó với học sinh bởi
các em mới bước đầu được làm quen với hình học khơng gian, địi hỏi người
giáo viên phải lựa chọn những phương pháp dạy học tích cực để tạo được
niềm vui, hứng thú cho học sinh.
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng giải toán
về “Đƣờng thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song”
cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông”

2


2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có một số cơng trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này, nghiên cứu
về việc xây dựng, vận dụng qui trình giải bài tốn của G.Pơlya, những qui trình
xác định hình trong dạy bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, quan hệ song
song trong không gian. Chẳng hạn như: “Rèn luyện kĩ năng xác định hình trong
hình học khơng gian” - bài báo của Bùi Văn Nghị (Tạp chí Thơng tin KHGD,
số 60, tháng 3/1997); "Rèn luyện kĩ năng giải bài tốn Hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ của Thái Thị Anh
Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ năng giải các bài tốn thiết diện của

các hình khơng gian trong chương trình Hình học 11 THPT" - luận văn thạc sĩ
của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006 v.v....
Đề tài này khác những đề tài nói trên là: tập trung nghiên cứu những kĩ
năng cơ bản nhất về giải tốn hình học khơng gian chỉ giới hạn trong chương
thứ nhất.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm đề xuất được một số biện pháp khả
thi và hiệu quả trong rèn luyện các kĩ năng giải bài tập về “Đường thẳng và
mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song”.
Từ đó, đề tài có các nhiệm vụ nghiên cứu là:
- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu kĩ năng giải bài tập về hình học trong khơng gian.
- Nghiên cứu nội dung, mục tiêu dạy học “Đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian, quan hệ song song”
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải tốn về “ Đường thẳng và
mặt phẳng trong khơng gian, quan hệ song song” cho học sinh lớp 11 Trung
học phổ thơng”.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề
tài.

3


4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học các nội dung của hình học
khơng gian.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu quan hệ song song trong khơng gian
Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học ở trường THPT Văn giang Hưng yên
5. Mẫu khảo sát
Lớp 11TN4; 11TN7 trường THPT Văn giang - Hưng yên

6. Vấn đề nghiên cứu
Rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán về đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian, quan hệ song song cho học sinh như thế nào để mang lại
hiệu quả cao?
7. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng những biện pháp đã đề xuất trong luận văn thì sẽ rèn
luyện cho học sinh THPT kĩ năng giải quyết vấn đề liên quan đến đường
thẳng và mặt phẳng trong khơng gian, quan hệ song song, góp phần nâng cao
hiệu quả dạy hình học khơng gian ở trường phổ thông.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận:
Nghiên cứu lí luận về phương pháp dạy học. Phân tích, tổng hợp, phân
loại, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan đến đề tài.
+ Phương pháp điều tra quan sát:
Xây dựng và sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học
“đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song” (điều tra
qua giáo viên và điều tra qua học sinh).
Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong trường và các
đồng nghiệp ở trường khác.

4


Điều tra thực trạng tiếp thu kiến thức về quan hệ song song trong không
gian.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Triển khai dạy thực nghiệm một số giáo án (vận dụng một số biện pháp
trong các biện pháp) để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài, kiểm định
giả thuyết khoa học (để chứng tỏ giả thuyết đưa ra là đúng)
9. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Những biện pháp rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề liên quan
đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

5


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học và những phƣơng pháp
dạy học tích cực
1.1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông
Điều 28.2 - Luật giáo dục đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng
làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”.
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “giúp học sinh phát triển tồn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm
theo Quyết định số 16/2006 /QĐ- BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ
giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối
tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương
pháp tự học, khả năng hợp tác rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực

tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập
cho học sinh”.
Đổi mới phương pháp dạy học cần khắc phục lối truyền thụ một chiều,
rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, áp dụng các phương pháp tiên
tiến và phương tiện hiện đại, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên
cứu cho học sinh. Rất cần phát huy năng lực tự học, học suốt đời trong thời
đại bùng nổ thông tin. Như vậy cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là

6


hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập
thụ động, đổi mới nội dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh,
đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong
dạy học với định hướng:
+ Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông
+ Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể
+ Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh
+ Phù hợp với cơ sở vật chất, các điều kiện dạy học của nhà trường
+ Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy - học
+ Kết hợp giữa việc tiếp thu có chọn lọc, có hiệu quả các PPDH tiên tiến, hiện
đại với việc khai thác những yếu tố tích cực của PPDH truyền thống
+ Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học và đặc biệt
chú ý đến ứng dụng của công nghệ thơng tin
1.1.2. Một số phương pháp dạy học tích cực
Thực hiện dạy và học tích cực khơng có nghĩa là phủ nhận những
phương pháp dạy học truyền thống mà cần kế thừa, phát triển những mặt tích
cực của hệ thống những phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời vận
dụng một số phương pháp mới phù hợp với hoàn cảnh, điều kiện dạy và học
ở nước ta. Sau đây là một số phương pháp dạy học tích cực:

- Phương pháp đàm thoại phát hiện: Là phương pháp trong đó giáo viên
đặt những câu hỏi để học sinh trả lời hoặc có thể tranh luận với nhau và với cả
giáo viên, qua đó học sinh lĩnh hội được nội dung bài học.
- Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề: Vấn đề cốt yếu của
phương pháp này là thông qua quá trình gợi ý, dẫn dắt, nêu câu hỏi, giả định,
GV tạo điều kiện cho HS tranh luận, tìm tịi, phát hiện vấn đề thơng qua các
tình huống có vấn đề.
- Phương pháp dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ: Bằng cách nói ra
những điều đang nghĩ, mỗi người có thể nhận rõ trình độ hiểu biết của mình

7


về chủ đề nêu ra, thấy mình cần học hỏi thêm những gì. Bài học trở thành quá
trình học hỏi lẫn nhau chứ không chỉ là sự tiếp thu thụ động từ GV.
- Phương pháp dạy học khám phá: Là phương pháp dạy học trong đó
dưới sự hướng dẫn của giáo viên, thông qua các hoạt động, học sinh khám
phá ra tri thức.
- Phương pháp dạy học tự học.
1.2. Kĩ năng
1.2.1. Khái niệm kĩ năng
1.2.1.1. Khái niệm
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người thuộc các lĩnh vực lí
luận thực hành hay nhận thức. Để giải quyết được công việc, con người cần
vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm xử lí các vấn đề gặp phải. Yêu cầu cốt
lõi nằm ở chỗ phải vận dụng được chung nhất cho từng trường hợp cụ thể.
Trong q trình đó, con người dần hình thành cho mình những kĩ năng giải
quyết vấn đề đặt ra.
Theo [31], “kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay
khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản

chất của các sự vật và giải quyết thành cơng nhiệm vụ lí luận hay thực hành
xác định”.
Theo [25], “kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận
được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.
Theo [29], “kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những
hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng cịn có thể
đặc trưng như tồn bộ các thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc
có phương pháp”.
Theo [28], “trong Toán học kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng
minh nhận được”.

8


Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất
rằng, kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp,...) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức,
thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã
định. Kĩ năng chính là kiến thức trong hành động.
1.2.1.2. Đặc điểm của kĩ năng
Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kĩ năng:
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết
quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách của hành động.
- Muốn có kĩ năng về hành động nào đó thì cần phải:
+ Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện,

cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động.
+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua
thời gian đủ dài.
Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn
trong việc vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được
vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể. Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không
biết phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đó phát hiện những
mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có với đối tượng đó. Trong trường hợp
này, tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận thức, và như vậy

9


khối kiến thức mà họ có là khối kiến thức khô cứng, không gắn với thực tiễn
và không biến thành cơ sở của các kĩ năng.
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật. Như vậy để
tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa
chọn tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, nói cách khác, cần lựa chọn tri
thức phản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hành động.
Ví dụ 1
Cho tứ diện ABCD, I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,
CDA, ABC. Xác định giao tuyến của (IJK) với các mặt phẳng (BCD), (CDA),
(ABC).

A

Q
J
K

D

B
I

P

M

C

Dễ thấy IJ // AB. (IJK) đi qua IJ và có điểm chung K với (ABC) nên
(IJK) cắt (ABC) theo giao tuyến PQ đi qua K, song song với AB, P  BC,
Q  AC. (IJK)  (CDA) = JQ, (IJK)  (BCD) = PI
Với bài toán này, cơ sở của kĩ năng là những kiến thức về tính chất
trọng tâm tam giác, khơng có kiến thức này, HS không thể phát hiện được

10


IJ // AB. Cơ sở thứ hai của kĩ năng là định lí: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần
lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với
hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)”. Khơng
có kiến thức này, HS không thể xác định được giao tuyến PQ, từ đó xác định
các giao tuyến cịn lại.
Trong thực tiễn giảng dạy chúng tơi nhận thấy có nhiều HS học thuộc lí

thuyết nhưng khơng vận dụng được lí thuyết đó vào bài tập. Nhiều HS thuộc
hết các định lí về giao tuyến song song nhưng không biết lựa chọn định lí nào
phù hợp với bài tốn mà mình cần giải. Nguyên nhân của hiện tượng đó là do
kĩ năng chưa được hình thành.
1.2.1.3. Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có
kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho
đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…
Kĩ năng chỉ được hình thành thơng qua q trình tư duy để giải quyết
các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường
phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc
tính mới. Q trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu
tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mơ hình về một mặt
nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài tốn đã cho.
Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau:
Con đường thứ nhất là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết,
rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài tốn vận dụng những tri thức đó. Từ
đó, học sinh sẽ phải tìm tịi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm
đúng đắn hoặc sai lầm (thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu),
qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải
biến thông tin, những thủ thuật hoạt động. Người ta còn gọi con đường dạy
học này là dạy học nêu vấn đề. Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác định

11


giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, có thể thơng qua một hệ thống bài
tập, trên cơ sở đó HS tự đúc rút được qui trình giải để vận dụng cho một lớp
các bài tập cùng dạng.
Con đường thứ hai là: Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà

từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng
đường lối giải đó vào bài tốn cụ thể. Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác
định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, có thể xây dựng qui trình
giải, sau đó cho HS áp dụng giải các ví dụ minh họa.
Cuối cùng, con đường thứ ba là: Dạy cho học sinh chủ yếu là những
hoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Trong trường hợp
này, GV khơng những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn
lọc các dấu hiệu và các thao tác, mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong
việc cải biến, sử dụng thông tin thu được để giải các bài toán đặt ra.
Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất)
của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa
dưới dạng sơ đồ, kí hiệu về các đối tượng, còn các thao tác và các mốc định
hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động đối tượng.
Ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng
được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngơn ngữ.
Như vậy, người giáo viên đã định hướng cho học sinh: để chứng minh
bài toán, trước hết phải phân loại dạng bài tập và tìm nội dung đã được học
để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể. Từ đó xây dựng được cho
học sinh các phương pháp giải bài toán.
Tuy nhiên để phát triển bài toán và để khắc sâu cho học sinh, giáo viên
cần cho học sinh mở rộng bài tốn: tìm các cách giải khác, tổng qt hóa bài
tốn ...
Như vậy, học sinh được hình thành kĩ năng tư duy suy luận logic. Người
ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành

12


động trí tuệ qua từng giai đoạn. Chẳng hạn, ở ví dụ 1, giai đoạn đầu tiên là
cho HS xác định giả thiết, kết luận, từ đó HS xác định được các yếu tố đã cho

và yếu tố cần tìm. Khi đó GV cần định hướng: Muốn xác định giao tuyến của
hai mặt phẳng có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó
hoặc tìm một điểm chung và phương của giao tuyến. Theo định hướng thứ
nhất, HS sẽ gặp khó khăn khi xác định hai điểm chung phân biệt của (IJK) và
(ABC). Khi đó, HS sẽ phải liên hệ với những kiến thức đã có để lựa chọn
đường lối giải thích hợp. Cụ thể: từ việc phát hiện IJ // AB, học sinh sẽ liên hệ
với các định lí đã học để xác định được giao tuyến của (IJK) và (ABC) là
đường thẳng PQ đi qua K, song song với AB.
Trên thực tế, khi hình thành các tri thức mới (có nội dung chứ khơng
phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy
nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn khơng được tổ chức một
cách có ý thức. Vì thế, học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính
hay những dấu hiệu logic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những
hành động thích hợp để làm điều đó.
Thực chất của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng
nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ
các thông tin chứa đựng trong bài tốn.
Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tịi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mơ hình khái qt để giải các bài toán
cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tốn mơ hình khái qt và kiến
thức tương ứng.
Sự hoạt động để hình thành kĩ năng và kĩ xảo cũng bao gồm cả sự vận
dụng bước đầu kiến thức vào thực tiễn và cả công việc luyện tập để hoàn

13

thiện hành động đó. Sự hình thành kĩ năng sẽ diễn ra thơng minh hơn, nếu
ngồi hoạt động thực hành q trình đó cịn kèm theo cả hoạt động trí tuệ tích
cực của học sinh nữa.
1.2.1.4. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng
- Nội dung của bài tốn: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị
che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự
hình thành kĩ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng. Việc
tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc
hình thành kĩ năng.
- Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách tồn thể ở mức cao hay thấp.
1.2.2. Kĩ năng giải toán
1.2.2.1. Khái niệm
Giải một bài tốn là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do
đó chủ thể giải tốn cịn phải nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện
hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả
trong những điều kiện khác nhau. Trong giải tốn, chúng tơi quan niệm về kĩ
năng giải tốn của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích
những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện
có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán
một cách khoa học ”.
Để thực hiện nhiệm vụ mơn Tốn trong trường THPT, một trong những
yêu cầu đặc biệt về tri thức và kĩ năng cần chú ý là những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kĩ năng
tương ứng, chẳng hạn tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương
trình, tri thức và kĩ năng chứng minh tốn học, kĩ năng hoạt động tư duy hàm,
v v...Tuy nhiên tùy theo nội dung tốn học mà có những u cầu rèn luyện kĩ
năng khác nhau.

14

1.2.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
Truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu
của mơn Tốn. Rèn luyện kĩ năng tốn học và kĩ năng vận dụng toán học vào
thực tiễn mà trước tiên là kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần
thiết sau:
- Giúp cho học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ
bản xuyên suốt chương trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ. Cụ thể là rèn luyện và
phát triển:
+ Tư duy logic và ngơn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong khơng gian.
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái quát hóa,...
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính tốn trong các giờ học, nói
chung là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua mơn Tốn gắn bó với việc rèn
luyện các kĩ năng thực hành (tính tốn, đo đạc, vẽ hình...).
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ: tính kiên
trì, cẩn thận, chính xác, thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh những sai lầm
có thể gặp.
1.2.2.3. Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán
Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết
làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải tốn học sinh cần có nhóm kĩ năng sau:
 Nhóm kĩ năng chung
- Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài tốn:
Phân tích bài tốn, làm rõ các dữ kiện đặt ra. Nếu bài tốn có tính chất
là một vấn đề thì cần tìm khâu nào cịn chưa biết, một qui tắc tổng quát hoặc
một phương pháp có yếu tố thuật tốn để giải bài tốn, xác định đó là trọng

15


tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải. Đây là kĩ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải bài tập
toán. Cần làm rõ các thành phần mối liên hệ (tường minh hoặc không tường
minh) qua các yếu tố (có hoặc khơng có) trong bài tốn.
- Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải cho bài tốn.
Vấn đề khó khăn nhất của HS khi đứng trước một bài tốn, đặc biệt là
bài tốn hình học là đường lối giải. Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu để đi
đến kết quả của bài toán. Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài tốn bao
gồm hai quá trình: thứ nhất là tìm hướng giải, thứ hai là tiến hành giải bài
tốn cịn gọi là chiến thuật giải bài tốn. Hai q trình này độc lập và hỗ trợ
nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành hai quá trình riêng biệt. Yêu
cầu xác định hướng giải bài toán phải được quan tâm trong suốt q trình giải
tốn, kết quả giải bài tốn phụ thuộc phần lớn vào khâu này. Có nhiều cách để
giúp HS thực hiện biện pháp này: chẳng hạn, giúp HS phân loại, phân dạng
bài tập để xác định phương pháp chung giải các loại, dạng bài tập đó. Phương
pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài tốn cụ thể.
Ví dụ: Với bài tốn xác định một điểm trong không gian, HS phải trả lời được
câu hỏi: một điểm trong khơng gian hồn tồn xác định khi nào, hai đường
thẳng trong không gian chỉ cắt nhau khi nào để từ đó xây dựng qui trình giải.
Với bài tốn tìm tập hợp điểm trong khơng gian, HS cần có định
hướng: Một là đưa về các tập hợp điểm cơ bản của không gian, hai là đưa
điểm cần tìm quĩ tích vào trong một mặt phẳng và sử dụng các tập hợp điểm
cơ bản của mặt phẳng.
Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán
bao gồm hai dạng. Dạng 1 là những nội dung HS sản sinh ra một cách tích
cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành. Dạng 2 là

những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá
trình tư duy sáng tạo.

16


- Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể giải bài toán
- Kĩ năng kiểm tra đánh giá q trình giải tốn và kết quả bài tốn
- Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài tốn thành kiến thức mới của
người giải tốn
Ngồi ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
 Nhóm kĩ năng thực hành
- Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán. Kĩ năng này được
rèn luyện trong quá trình tìm tịi lời giải của bài tốn
- Kĩ năng tính tốn: Địi hỏi tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí. Kĩ năng
này được rèn luyện thơng qua bài luyện tập, thơng qua tính nhẩm, bảng số,
máy tính ...
- Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị,
đọc và vẽ đồ thị ...
- Kĩ năng ước lượng, đo đạc ...
- Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn
 Nhóm kĩ năng về tƣ duy
- Kĩ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:
+ Sắp xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh
nghiệm hữu ích để giải tốn
+ Phân loại bài tốn để lựa chọn kế hoạch và phương pháp giải
+ Tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ
+ Xác định rõ giả thiết, kết luận, phản ánh rõ các ký hiệu trong bài toán
- Kĩ năng tổng hợp: Liên kết các dữ kiện trong bài tốn, tóm tắt nội
dung bài tốn, kết cấu lại đề tốn để định hướng giải.

- Kĩ năng phân tích:
+ Nhận dạng chung, phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán.
+ Nhận dạng ý trọng tâm, dự đốn, phân tích và khắc phục các sai lầm trong
giải toán.

17


+ Phân tích các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến lời giải.
- Kĩ năng mơ hình hóa: Chuyển bài tốn thành mơ hình và phân tích
các quan hệ toán học cũng như các phương pháp toán học trên mơ hình đó.
Đây là một kĩ năng cần thiết, đặc biệt là đối với các bài tốn của hình học
không gian.
- Kĩ năng sử dụng thông tin: Nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin
từ nội dung bài toán.
1.3. Thực tiễn dạy học “đƣờng thẳng và mặt phẳng trong khơng gian,
quan hệ song song” trong chƣơng trình hình học 11 nâng cao THPT
1.3.1. Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian, quan hệ song song
Việc dạy học hình học khơng gian ở trường THPT nhằm đạt các mục
đích, yêu cầu sau đây:
+ Về kiến thức
Trang bị cho học sinh một số cơ sở khoa học để hiểu rõ từ các khái
niệm ban đầu: điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ “thuộc”(đi qua),
quan hệ vng góc, quan hệ song song, với các tiên đề, định lí, khái niệm.
Giúp học sinh
- Nắm vững các điều kiện xác định mặt phẳng.
- Nắm vững các vị trí tương đối giữa các đường thẳng, giữa các mặt
phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt là quan hệ song song giữa
chúng.

- Nắm được cách xác định thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt
phẳng.
- Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình.
- Nắm vững định nghĩa và cách vẽ ba hình khơng gian: hình chóp, hình
lăng trụ và hình chóp cụt.

18


Để đạt được mục tiêu trên cần xây dựng một hệ thống bài tập phù hợp
để hình thành qui trình giải các dạng bài tập về đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian, quan hệ song song, hơn nữa rèn luyện kĩ năng vận dụng
qui trình đó vào giải các bài toán.
Với học sinh, nhu cầu củng cố, bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, rèn
luyện kĩ năng giải toán là tất yếu. Muốn thoả mãn được nhu cầu đó thì các em
phải được vận dụng nhiều, phải tích cực tham gia các hoạt động luyện tập,
đào sâu, hệ thống hoá và ôn tập. Trên thực tế, đa số học sinh khá giỏi có khả
năng tự đúc kết được tri thức và tri thức phương pháp thông qua con đường
kinh nghiệm (thơng qua giải một hệ thống bài tốn). Khi xây dựng hệ thống
bài tập nên phân bậc hoạt động, chia hệ thống bài tập thành hai nhóm:
- Nhóm 1: Những bài tập trung bình củng cố kiến thức cơ bản.
- Nhóm 2: Những bài tập nâng cao nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán,
cũng như phát triển năng lực tư duy thuật toán cho học sinh.
Thực tế cho thấy rằng, nếu giáo viên chọn lựa được một hệ thống bài
tập phù hợp, sẽ giúp học sinh có khả năng khắc sâu kiến thức cũ, củng cố kiến
thức và kĩ năng cần thiết, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tiếp thu kiến thức
một cách vững chắc.
+ Về kĩ năng
Thông qua dạy hình học khơng gian 11 chú trọng rèn luyện cho học
sinh các kĩ năng sau:

- Kĩ năng vẽ hình
- Các kĩ năng nhận dạng bài tập để lựa chọn đường lối giải
- Kĩ năng huy động các kiến thức lí thuyết đã được trang bị vào giải
một bài tốn cụ thể
- Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá, trình bày lời giải của bài toán
+ Về phương pháp

19


Trong thực tiễn dạy học từ rất xưa phương pháp dạy học tích cực đã
được xuất hiện, đến nay chúng ta cũng đang cố gắng đổi mới phương pháp
dạy học nhưng khơng có nghĩa là phủ định sạch trơn mà yếu tố ưu điểm còn
được phát triển mạnh. Chú trọng cho học sinh biết cách khai thác các phương
pháp khác nhau, lựa chọn ưu điểm của các phương pháp dạy học tích cực như
phương pháp dạy học thuyết trình minh họa, phương pháp dạy học đàm thoại phát
hiện, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học
khám phá, phương pháp dạy học tự học,…để giải các dạng tốn hình học khơng
gian bằng con đường tổng hợp. Giáo viên cần quan tâm bồi dưỡng cho học
sinh năng lực thiết lập mối liên hệ giữa các kiến thức Hình học khơng gian.
+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh.
Việc dạy học hình học khơng gian nhằm đạt mục đích, yêu cầu rèn
luyện kĩ năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ- rút ra các
kết luận từ các tiên đề (tiên đề, định lí, các mệnh đề đã được chứng minh
đúng đắn). Ngoài ra cần bồi dưỡng học sinh năng lực chứng minh, chú trọng
phát triển cho học sinh các biểu tượng không gian, u cầu học sinh hình
dung được các hình khơng gian, các quan hệ giữa các yếu tố của hình học
khơng gian từ hình biểu diễn và ngược lại, ở mức độ cao đối với học sinh khá
giỏi, biết hình dung các hình khơng gian qua các yếu tố đã cho trong bài tốn.
Hơn nữa kích thích học sinh tự hình thành thuật tốn của riêng mình, tìm

thuật tốn tối ưu.
1.3.2. Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian , quan hệ song song
1.3.2.1. Nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian , quan hệ song
song.
Nội dung về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song
song được thực hiện trong 16 tiết của chương trình hình học lớp 11.

20


§1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.

4 tiết

§2. Hai đường thẳng song song.

2 tiết

§3. Đường thẳng song song với mặt phẳng

2 tiết

§4. Hai mặt phẳng song song

4 tiết

§5. Phép chiếu song song

2 tiết

Ôn tập chương II

2 tiết

Bài đọc thêm: Phương pháp tiên đề trong hình học
Theo [2], ở cấp Trung học cơ sở, HS đã được học hình học khơng gian
thơng qua một số hình như hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón,
hình cầu,...và mối qua hệ giữa các đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng
nhưng chỉ ở mức độ làm quen với hình học khơng gian. Chương này nghiên
cứu một cách hệ thống hai khái niệm cơ bản của hình học khơng gian: đường
thẳng, mặt phẳng và các mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là quan hệ song
song, đồng thời bước đầu cho HS làm quen với phương pháp tiên đề.
Học xong chương này, GV cần tổng kết các điều kiện xác định mặt
phẳng cho HS. Cụ thể là:
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết một trong các điều kiện sau:
a) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
b) Mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó
c) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau
d) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song
e) Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng
chéo với đường thẳng ấy.
g) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng không chứa
điểm ấy.
Học xong chương này, GV cần giúp đỡ HS tổng kết các kiến thức đã
biết để trả lời được câu hỏi: Những dấu hiệu nào cho ta nhận biết hai đường
thẳng song song, nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng

21