Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh yếu kém qua dạy học giải phương trình lượng giác ở trường trung học phổ thông (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRỌNG DUẨN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU KÉM
QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRỌNG DUẨN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU KÉM
QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Ngành: LL&PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14. 01. 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trịnh Thị Phương Thảo

THÁI NGUYÊN - 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Tác giả luận văn

Hoàng Trọng Duẩn

i


MỤC LỤC
Trang bìa phụ
Lời cam đoan ..................................................................................................................i
Mục lục ..........................................................................................................................ii
Danh mục các từ viết tắt .............................................................................................. iii
Danh mục các bảng .......................................................................................................iv
Danh mục biểu đồ .........................................................................................................iv
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................. 2
3. Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 2
5. Đối tượng nghiên cứu và giới hạn phạm vi nghiên cứu ............................................ 2
6. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................... 2
7. Cấu trúc của luận văn................................................................................................. 3
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................................ 4
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán. ................................................................................ 4

1.1.1. Kỹ năng ................................................................................................................ 4
1.1.2. Kỹ năng giải toán ................................................................................................. 5
1.1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán chủ đề phương trình lượng giác ............. 9
1.1.3.1. Kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lương giác dựa vào mối quan hệ
giữa các cung ................................................................................................................. 9
1.1.3.2. Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại ................................. 12
1.1.3.3. Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc ................................................................. 13
1.1.3.4. Kỹ năng đưa về phương trình tích .................................................................. 15
1.1.3.5. Kỹ năng kết luận nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản...................... 18
1.2. Học sinh yếu kém môn Toán. ............................................................................... 19
1.2.1. Quan niệm về học sinh yếu kém môn Toán ...................................................... 19
1.2.2. Đặc điểm của học sinh yếu kém Toán ............................................................... 19
1.2.3 Phân loại học sinh yếu kém toán ........................................................................ 20

ii


1.3. Thực trạng việc bồi dưỡng kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lượng giác
cho học sinh yếu kém lớp 11 trung học phổ thông. ..................................................... 20
1.3.1. Mục đích điều tra ............................................................................................... 20
1.3.2. Phương pháp và đối tượng điều tra .................................................................... 20
1.3.3. Kết quả điều tra .................................................................................................. 21
Kết luận chương 1 ........................................................................................................ 29
Chương 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU
KÉM THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
LỚP 11 ........................................................................................................................ 28
2.1. Định hướng đề xuất biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh yếu kém trong dạy học chủ đề phương trình lượng giác lớp 11. ......................... 28
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề phương
trình lượng giác cho học sinh yếu kém ........................................................................ 28

2.2.1. Biện pháp 1: Bổ sung, củng cố kiến thức nền cho học sinh yếu kém. .............. 28
2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng hệ thống bài tập vừa sức theo từng dạng và tổ chức
cho học sinh rèn kỹ năng giải toán theo từng dạng. .................................................... 32
2.2.3. Biện pháp 3: Quan tâm phát hiện, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho
học sinh yếu kém. ........................................................................................................ 40
2.2.4. Biện pháp 4: Tổ chức dạy phụ đạo, tổ chức học theo nhóm nhằm hình thành
và nâng cao kĩ năng tự học cho học sinh yếu kém. ..................................................... 44
2.2.5. Biện pháp 5: Khai thác khai thác mạng xã hội học tập Edmodo trong hỗ trợ
học sinh yếu kém tự học ngoài giờ lên lớp. ................................................................. 47
2.3. Thiết kế một số kế hoạch dạy học có sử dụng các biện pháp sư phạm đã đề
xuất nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lượng giác cho học
sinh yếu kém ................................................................................................................ 51
2.3.1. Chuyên đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản .................................................. 51
2.3.2. Chuyên đề 2: Một số phương trình lượng giác thường gặp............................... 57
Kết luận chương 2 ........................................................................................................ 63
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................. 64
3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................................... 64

iii


3.2 Nội dung thực nghiệm ........................................................................................... 64
3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm.............................................................................. 64
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ...................................................................................... 64
3.3.2. Tiến hành thực nghiệm. ..................................................................................... 64
3.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ..................................................................... 65
3.4.1. Phương pháp quan sát ........................................................................................ 65
3.4.2. Phương pháp thống kê toán học ........................................................................ 65
3.4.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp ................................................................ 65
3.5. Kết quả thực nghiệm ............................................................................................. 65

3.5.1. Đánh giá định tính.............................................................................................. 65
3.5.2. Đánh giá định lượng .......................................................................................... 66
3.5.3. Một số nghiên cứu trường hợp .......................................................................... 71
3.6. Theo dõi sự tiến bộ của một nhóm học sinh (Nghiên cứu trường hợp)................ 68
3.6.1. Lựa chọn chọn mẫu............................................................................................ 68
3.6.2. Phân tích kết quả theo dõi .................................................................................. 69
Kết luận chương 3 ........................................................................................................ 71
KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................. 72
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................. 73
PHỤ LỤC

iv


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt

Cụm từ viết tắt

ĐTLG

Đường tròn lượng giác

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HSYK

Học sinh yếu kém

MTBT

Máy tính bỏ túi

PTLG

Phương trình lượng giác

THPT

Trung học phổ thông

TLTK

Tài liệu tham khảo

iii


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Quan điểm của giáo viên khi dạy học chủ đề giải phương trình lượng giác.... 21
Bảng 1.2. Những vấn đề giáo viên quan tâm khi dạy học giải bài tập cho học sinh ... 21
Bảng 1.3. Các sai lầm học sinh yếu kém thường mắc phải khi giải toán phương

trình lượng giác ............................................................................................................ 22
Bảng 1.4. Những nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải toán phương trình lượng
giác của học sinh yếu kém ........................................................................................... 22
Bảng 1.5. Các biện pháp đã đưa ra đối với học sinh yếu kém..................................... 23
Bảng 1.6. Danh sách các trường có học sinh đóng góp ý kiến về thực trạng .............. 24
Bảng 1.7. Những khó khăn khi giải phương trình lượng giác ..................................... 25
Bảng 1.8. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải phương trình lượng giác ..... 25
Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng............. 66
Bảng 3.2: Phân loại kết quả học tập ............................................................................ 66
Bảng 3.3: Xử lý số liệu thống kê ................................................................................. 66
Bảng 3.4: Kiểm tra tính hiệu quả của việc thực nghiệm sư phạm ............................... 67
Bảng 3.5: Kiểm định phương sai ................................................................................. 67

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Hứng thú học tập của học sinh yếu kém trong chủ đề phương trình
lượng giác ..................................................................................................................... 24
Biểu đồ 1.2. Nhận định của học sinh yếu kém về chủ đề phương trình lượng giác ..... 26

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện
đại hóa đất nước, để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc
cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo. Cùng với việc thay đổi về nội
dung cần có thay đổi căn bản về phương pháp dạy học.
Trong Luật Giáo dục nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam có qui định:
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh (HS), phù hợp với đặc điểm của từng lớp, môn học, bồi dưỡng

phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”.
Trong những năm gần đây phong trào đổi mới phương pháp dạy học được đẩy
mạnh ở tất cả các cấp học và đã đạt những thành tựu đáng kể. Đối với môn Toán
trong chương trình trung học phổ thông (THPT) việc đổi mới phương pháp dạy học đã
và đang diễn ra rất mạnh mẽ, có nhiều kết quả nghiên cứu về việc áp dụng những mô
hình và kỹ thuật dạy học như thảo luận nhóm, thiết kế bài giảng điện tử, ứng dụng phần
mềm dạy học, dạy cách học tập phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá,...
Toán học có vị trí quan trọng trong nhà trường và trong cuộc sống. Tất cả các
môn khoa học khác nhau đều nghiên cứu dựa trên nền tảng của toán học. Những kiến
thức, kĩ năng của môn toán giúp HS phát triển năng lực tư duy như phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hóa, khái quát hóa,… và rèn luyện những phẩm chất như tính cẩn thận,
chính xác, kỉ luật, phê phán, sáng tạo… qua đó góp phần hình thành và phát triển nhân
cách cho HS. Do vậy, phát triển năng lực giải toán cho HS là một việc làm rất cần thiết.
Tuy nhiên trong thực tế dạy học có nhiều đối tượng HS. Với HS khá giỏi thì việc phát
triển năng lực giải toán rất thuận lợi nhưng với học sinh yếu kém (HSYK) thì việc phát
triển năng lực giải toán gặp rất nhiều khó khăn. Trong chương trình Đại số và Giải tích
lớp 11 thì phương trình lượng giác (PTLG) là phần nội dung quan trọng nhưng không
dễ đối với HS phổ thông đặc biệt là với HSYK. Vậy làm thế nào để HSYK có thể tiếp
thu và thích học toán? Làm thế nào để giờ học toán thật sự có hiệu quả, đem lại niềm
say mê, hứng thú cho HS, phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo và phát triển
năng lực giải toán của tất cả các em HS nói chung và HSYK nói riêng?
1


Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh yếu kém qua dạy học giải phương trình lượng giác ở trường trung học phổ
thông” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu thực trạng kỹ năng giải toán của HSYK từ đó phân loại và đề xuất

một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho HSYK lớp 11 trong
dạy học PTLG góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng bài giảng sử dụng các biện pháp sư phạm, kết hợp với tổ chức
ôn tập hệ thống lý thuyết một cách khoa học, xây dựng các dạng bài tập phần lượng
giác lớp 11 phù hợp thì sẽ phát triển được kĩ năng giải toán cho các HSYK, góp phần
nâng cao chất lượng học tập.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán.
- Hệ thống lý thuyết và xây dựng các dạng bài tập PTLG nhằm phát triển kĩ
năng giải toán cho HSYK.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục tình trạng yếu kém môn
Toán trong dạy học PTLG lớp 11.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm đề xuất.
5. Đối tượng nghiên cứu và giới hạn phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu: Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HSYK thông qua
dạy học chủ đề PTLG lớp 11.
5.2. Phạm vi nghiên cứu: HSYK lớp 11 trên địa bàn tỉnh Bắc Giang
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Nghiên cứu lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán.
- Nghiên cứu lí luận về vai trò của bài tập toán trong dạy học.
- Nghiên cứu lí luận về nguyên nhân và các dấu hiệu nhận biết HSYK môn toán.

2


6.2. Phương pháp điều tra và khảo sát thực tiễn.
- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng HSYK ở trường phổ thông nhằm

phát hiện vấn đề nghiên cứu.
- Trao đổi với GV có nhiều kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng HSYK về nội
dung, số lượng bài tập của mỗi bài học và cách hướng dẫn làm bài tập đó trong quá
trình dạy học cho đối tượng HSYK.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
- Nghiên cứu trường hợp: Theo dõi, phân tích và đánh giá kỹ năng giải toán của một
số HS tham gia thực nghiệm sư phạm để thấy rõ tác động của các tác động sư phạm
đối với các đối tượng HS.
- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi
và hiệu quả của đề tài.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung
chính của luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh yếu kém thông qua dạy học
chủ đề phương trình lượng giác lớp 11.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

3


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng và kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
1.1.1.1. Một số quan niệm về kỹ năng nói chung
 Một số quan niệm về kỹ năng
- Kỹ năng có thể hiểu là khả năng vận dụng tri thức khoa học, những kiến thức
được thu nhận trong một lĩnh vực nào đó vào thực tiễn. [1]
- Theo tâm lý học “kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu, các tri thức hay khái

niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự
vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”
- Các nhà giáo dục cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin kiến
thức thuần túy và một phần là kỹ năng”.
- Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt
được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất
định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp [3]
 Theo Nguyễn Bá Kim [7], kỹ năng có các cấp độ sau:
- Kỹ năng ghi nhớ và tái hiện thông tin (kỹ năng biết).
- Kỹ năng giao tiếp sử dụng các thông tin đã có (kỹ năng thông hiểu).
- Kỹ năng áp dụng các thông tin vào tình huống mới mà không cần sự gợi ý (kỹ
năng vận dụng).
- Kỹ năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa chúng (kỹ năng phân tích).
- Kỹ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu
mới (kỹ năng tổng hợp).
- Kỹ năng phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào đó
(kỹ năng đánh giá).
Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức
đã học để được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng là
khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở
hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi.

4


1.1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi vì,
cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những

điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc
tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức
với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ
tầm quan trọng của kỹ năng.
- Kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động.
1.1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành các kỹ năng là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao
tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu được từ đối
tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động.
Sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như là những sản phẩm của
những tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh
hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đối tượng đang được
nghiên cứu. Con đường chính của sự hình thành các kỹ năng đó là dạy học sinh nhìn
thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng những khái niệm
muôn hình, muôn vẻ diễn đạt các quan hệ đa dạng của đối tượng này trong khái niệm.
Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiều con
đường khác nhau. Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, con đường dạy học
Algôrit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học sinh chính là hoạt
động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Thông qua giải bài tập, thông
qua nhiều hoạt động giáo dục khác…
1.1.2. Kỹ năng giải toán
1.1.2.1. Kỹ năng giải toán
Bàn về kỹ năng giải toán, nhiều tác giả đã đưa ra quan điểm của mình. Có thể kể
đến một số quan điểm chính như sau:
- Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài
tập toán (bằng suy luận, chứng minh).

5

- KN giải bài tập toán học (KN giải toán) là khả năng sử dụng những tri thức
toán học đã học để giải những bài tập toán học [16].
- Theo [13] có nói: G.Polia khẳng định rằng: “Trong toán học, kĩ năng là khả
năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các
lời giải và chứng minh nhận được”.
Chúng tôi thống nhất với các quan niệm trên đó là: Kỹ năng giải toán là khả
năng vận dụng các tri thức khoa học để giải các bài toán cụ thể.
Trong các nghiên cứu về kỹ năng giải toán, các tác giả đều thống nhất quan điểm
chung: Trong toán học việc hình thành và phát triển kỹ năng giải toán là vấn đề cơ bản
và quan trọng. Trong cuốn “Sáng tạo toán học” của G.Polya có viết: “Kĩ năng trong
toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[13].
KN giải bài tập toán học bao hàm một hệ thống các KN: KN giải bài tập vận
dụng lý thuyết; KN tính toán; KN thực hành và các phép biến đổi. Các KN này nằm
trong một thể thống nhất, trong cùng một hệ thống. Các KN đều có mối liên hệ chặt
chẽ, hỗ trợ lẫn nhau; KN này là cơ sở hình thành KN kia và ngược lại; việc hình
thành KN sau lại củng cố rèn luyện KN trước đó.
Ví dụ 1.1: Giải phương trình sin x 

1
1
2

Nhiều học sinh giải như sau:



x   k 2



1  sin x    6
k 
6
 x  5  k 2

6



Như vậy HS đã hiểu sai bản chất một cung đặc biệt và giá trị sin của một cung
đặc biệt

1 
 .
2 6

Để giải quyết bài toán này yêu cầu các em phải có KN vận dụng lý thuyết để
phân biệt một cung đặc biệt và giá trị lượng giác của một số cung đặc biệt.
Như vậy thầy giáo có thể nhấn mạnh lại bảng lượng giác của một số cung đặc
biệt hoặc hướng dẫn HS sử dụng MTBT giải.

6


1.1.2.2. Phân loại kỹ năng giải toán.
a) Có nhiều cách phân loại kỹ năng giải toán. Trong luận văn, chúng tôi chia kỹ
năng giải toán thành hai loại, tương ứng với hai loại bài tập toán học: KN giải bài tập
toán học cơ bản và KN giải bài tập toán tổng hợp.
 KN giải bài tập toán học cơ bản
KN giải bài tập toán học cơ bản có thể hiểu là kỹ năng vận dụng tri thức vào

hoạt động giải các bài toán cơ bản, đã có sẵn các dạng, có sẵn phương pháp giải. HS
chỉ cần áp dụng chính xác các định nghĩa, định lý, tính chất... vào giải quyết các dạng
bài toán cơ bản đó.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình 2cos x  3  0
Đây là bài toán dạng cơ bản, đã có sẵn dạng và công thức nghiệm, HS chỉ cần
có KN nhận dạng bài toán và KN đọc nghiệm của PTLG cơ bản là có thể làm được.
Cụ thể HS có thể biến đổi như sau:



x

 k 2

3

6
2cos x  3  0  cos x 
 cos x  cos  
k 
2
6
 x    k 2

6
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x 


6

 k 2 ; x 


 k 2  k 
6




 KN giải bài tập toán tổng hợp
KN giải bài tập toán tổng hợp được hiểu là kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt
động giải các bài toán tổng hợp. Lúc này vấn đề then chốt là HS cần có khả năng lựa
chọn các phương pháp giải và các kỹ thuật giải khi thực hiện khi giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.3. Giải phương trình cot x  tan x  4sin 2 x 

2
1
sin 2 x

Với bài toán này, HS cần biết quan sát, lựa chọn các cách biến đổi để đưa (1)
về PTLG dạng cơ bản. Chẳng hạn như HS cần phải có KN tìm điều kiện xác định của
phương trình, kỹ năng sử dụng các công thức lượng giác...
sin x  0
k

Điều kiện: cos x  0  sin 2 x  0  x 
k 
2
sin 2 x  0


7

*


Ta có: 1 

cos x sin x
2

 4sin 2 x 
sin x cos x
sin 2 x



cos2 x  sin 2 x
2
 4sin 2 x 
sin x cos x
sin 2 x



2cos 2 x
2
 4sin 2 x 
sin 2 x
sin 2 x

 2cos 2 x  4sin 2 2 x  2
 cos 2 x  2sin 2 2 x  1  0

 cos 2 x  2 1  cos2 2 x   1  0
 2 cos 2 2 x  cos 2 x  1  0 **

Sau khi đưa được phương trình (1) về phương trình (**) tức là sử dụng các
phép biến đổi để đưa phương trình ban đầu về PTLG có 1 ẩn duy nhất. Trong bài toán
này HS còn cần có KN đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ, từ đó giải và kết luận
được đúng nghiệm của phương trình đã cho
Đặt t  cos 2x , điều kiện: t  1
Khi đó phương trình  ** trở thành: 2t 2  t  1  0

t  1
  1  t / m 
t 
2

Với t  1  cos 2x  1  2x  k 2
 x  k  k 

Với t 

 (không thỏa mãn điều kiện *

1
1
2
 cos 2 x 

 cos 2 x  cos
2
2
3

2



2
x


k
2

x

 k


3
3


k 

2



2 x 
 x   k
 k 2


3
3
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:

x


3

).

 k ; x 


 k  k 
3



8

 ( thỏa mãn điều kiện * ).


b) Có thể chia KN giải toán theo ba mức độ khác nhau:

+ Biết làm: Nắm được quy trình giải một bài tập toán học cơ bản nào đó tương
tự như mẫu nhưng chưa nhanh.
+ Làm thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài mẫu.
+ Làm một cách mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được những cách giải
ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu dó biết vận dụng vốn kiến thức, KN đã học
không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả những bài tập toán học mới.
Trong luận văn này, với đối tượng nghiên cứu là HSYK, chúng tôi xác định
KN giải toán theo ba mức độ: Chưa có kỹ năng, kỹ năng yếu và kỹ năng cơ bản.
1.1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán chủ đề phương trình lượng giác
1.1.3.1. Kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lương giác dựa vào mối quan hệ giữa
các cung
Trong khi giải PTLG, thì việc xem xét mối quan hệ giữa các cung là việc làm
hết sức cần thiết, từ đó kết hợp với các công thức lượng giác để đưa về PTLG quen
thuộc là một vấn đề then chốt. HS sẽ cần sử dụng đến kỹ năng này khi gặp những bài
toán có nhiều cung khác nhau trong một phương trình. Muốn giải được các phương
trình dạng đó, bắt buộc HS cần tìm cách đưa các phương trình về cùng một cung.
Kỹ năng giải toán chủ đề PTLG dựa vào mối quan hệ giữa các cung có thể
được nhận biết bởi các biểu hiện sau:
- Nhớ được các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.
- Có khả năng quan sát, nhận biết những góc có thể “đưa về” cùng 1 góc bằng
cách sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi.
Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau
Cấp độ
Chưa có kỹ năng

Biểu hiện
Không nhìn ra các góc, các cung có liên quan đặc biệt; hoặc có
thể đưa về cùng một góc thông qua các phép biến đổi

Kỹ năng yếu

Có thể nhận ra các góc, các cung có liên quan đặc biệt; hoặc có thể
đưa về cùng một góc thông qua các phép biến đổi. Tuy nhiên còn
thường xuyên nhầm lẫn trong quá trình biến đổi, tính toán.

Kỹ năng cơ bản

Có thể nhìn ra các góc, các cung có liên quan đặc biệt; hoặc có
thể đưa về cùng một góc thông qua các phép biến đổi. Thực hiện
biến đổi, tính toán đúng.

9


Ví dụ 1.1: Giải phương trình:

1

sin x

 7

 4sin 
 x
3 

 4

sin  x 


2 

1

 Nhận xét: Với bài toán này, HS gặp phải khó khăn đó là sự xuất hiện của hai
cung x 

3
7
3
7
và
và
 x . Từ sự xuất hiện hai cung x 
 x HS cần nghĩ đến
2
4
2
4

việc đưa hai cung về một cung x bằng cách sử dụng công thức cộng hoặc công thức
về cung góc có liên quan đặc biệt. Ta có cách biến đổi sau:
Cách 1: Sử dụng công thức cộng.

3

Ta có: sin  x 
2


3
3

 cos x.sin
 cos x
  sin x.cos
2
2


7
7
 7

sin 
 x   sin
cos x  sin x cos
4
4
 4



 2
2
 2
cos x 
sin x 
 sin x  cos x 
2

2
2

+ Cách 2: Sử dụng công thức cung góc có liên quan đặc biệt.

3

Ta có: sin  x 
2


3



 2   cos x
  sin x  x 
2




3

Hoặc: sin  x 
2









  sin x   x    2   sin x  x    cos x
2
2






 
  2
 7



sin 
 x   sin x  2    x      sin  x   
 sin x  cos x 
4 
4
2
 4





Từ đó HS có thể tiếp tục giải phương trình trên.
Ví dụ 1.2: Giải phương trình: 3cos 4 x  cos6 x  2cos2 x  3  0
Phân tích và trình bày lời giải:

 Nhận xét 1: Trong phương trình này xuất hiện cung 4x và cung x . Ta có thể
nghĩ đến việc đưa 4x về cung x bằng công thức nhân đôi, cụ thể như sau:

cos 4 x  2cos2 2 x  1  2  2cos2 x  1  8cos 4 x  8cos 2 x  1
2

Từ đó ta có cách giải sau:

10


Cách 1:

3cos 4 x  cos6 x  2cos 2 x  3  0
 3  8cos 4 x  8cos 2 x  1  8cos6 x  2cos 2 x  3  0
 4cos6 x  12cos 4 x  11cos 2 x  3  0
Đặt t  cos 2 x,0  t  1

t  1
Khi đó ta có: 4t  12t  11t  3  0   1
t 
 2
3

2

 t / m

1) Với t  1  cos 2 x  1  sin 2 x  0  x  k  k 



1
1
 k
 cos2 x   cos 2 x  0  x  
k  
2
2
2 2
 k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x  k ; x  
k  
2 2
 Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cosx ta có thể nghĩ đến
việc chuyển về cung 2x bằng công thức hạ bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x
bằng công thức nhân đôi cụ thể như sau:
2) Với t 

cos 2 x 

1  cos 2 x
2

 1  cos 2 x 

cos x  

2



3

6

cos 4 x  2cos2 2 x  1
Từ đó ta có cách giải khác như sau:
Cách 2:
3cos 4 x  cos6 x  2cos2 x  3  0
 1  cos 2 x 
 1  cos 2 x 
 3  2cos 2 x  1  8 
  2
3 0
2
2




3

2

 cos3 2x  3cos2 x  2cos2 x  0

 cos 2 x  cos2 2 x  3cos 2 x  2  0

cos 2 x  0  t / m 

 k



2
x


k

x


 cos 2 x  1 t / m   

2
4 2 k 


cos 2 x  2 loai
2 x  k 2

 x  k





Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x 

11


4





k
; x  k  k 
2




1.1.3.2. Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại
Kỹ năng này thường được dùng để ghép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai
cung bằng nhau bằng cách dùng công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
Tuy nhiên chỉ nên áp dụng công thức tổng và tích khi các hệ số đằng trước sin và cos
bằng nhau (hoặc bằng 1) mà không cần quan tâm tới cung của chúng.
Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại có thể được nhận biết
bởi các biểu hiện sau:
- Nhớ được các công thức biến đổi tổng thành tích và ngược lại.
- Có khả năng quan sát, nhận biết các yếu tố có thể kết hợp với nhau để sử
dụng được công thức biến đổi tổng thành tích và ngược lại.

Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau
Cấp độ
Chưa có kỹ năng

Biểu hiện
Không nhớ công thức, không nhận ra các yếu tố có thể kết hợp
với nhau để sử dụng công thức.

Kỹ năng yếu

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố có thể kết hợp với nhau để sử
dụng công thức tuy nhiên còn thường xuyên nhầm lẫn trong biến
đổi, tính toán.

Kỹ năng cơ bản

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố có thể kết hợp với nhau để sử
dụng công thức và biến đổi, tính toán đúng.

Ví dụ 1.3. Giải phương trình: sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x

 Nhận xét: Trong vế trái của phương trình xuất hiện các cặp

 sin 3x  sin x  ;  cos3x  cos x 

đồng thời 3x  x  4x , ta nghĩ đến công thức biến đổi

tổng thành tích, cụ thể ta có:

cos3x  cos x  2cos2x cos x

sin3x  sin x  2cos2x sin x
Đến đây ta thấy xuất hiện nhân tử chung là cos2x, ta biến đổi đưa về phương
trình tích.

12


Giải:
sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x
  sin 3 x  sin x    cos3 x  cos x   2 cos 2 x  0

 2cos 2 x sin x  2cos 2 x cos x  2 cos 2 x  0





 cos 2 x 2sin x  2cos x  2  0

cos 2 x  0

 2sin x  2cos x  2  0
Đến đây ta đã thấy phương trình ban đầu đã được đưa về các phương trình dạng
cơ bản, HS hoàn toàn có thể giải được.
Ví dụ 1.4. Giải phương trình: sin x  sin 2x  sin3x  sin 4x  sin5x  sin6x  0
Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos )
ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau.
Ta có thể ghép cặp  sin x  sin 6 x  ;  sin 2 x  sin 5 x  ;  sin 3x  sin 4 x  cụ thể ta có:

7x

5x
cos
2
2
7x
3x
sin 2 x  sin 5 x  2sin cos
2
2
7x
x
sin 3 x  sin 4 x  2sin cos
2
2
sin x  sin 6 x  2sin

Đến đây xuất hiện nhân tử chung là 2sin

7x
, ta biến đổi đưa về phương trình tích.
2

Giải:

sin x  sin 2x  sin3x  sin 4x  sin5x  sin6x  0
  sin x  sin 6 x    sin 2 x  sin 5 x    sin 3 x  sin 4 x   0

 2sin

7x

5x
7x
3x
7x
x
cos  2sin cos  2sin cos  0
2
2
2
2
2
2

 2sin

7x 
5x
3x
x
 cos  cos  cos   0
2 
2
2
2

7x

 2sin 2  0

cos 5 x  cos 3x  cos x  0 *


2
2
2

13


 5 x 3x

 2  2
x
5x
3x 

  ta sử
Ở phương trình  * ta thấy xuất hiện  cos  cos  và 
2
2
2
2 





dụng công thức biến đổi tổng thành tích, xuất hiện nhân tử chung cos

x
ta lại đưa về

2

phương trình tích. Cụ thể ta biến đổi như sau:

cos

5x
3x
x
 cos  cos  0
2
2
2

5 x 3x
5 x 3x


2 cos 2
2  cos x  0
 2cos 2
2
2
2

x
x
 2cos 2 x cos  cos  0
2
2

x

cos  0
x

 cos (2cos 2 x  1)  0 
2

2
 2cos 2 x  1  0
Đến đây ta biến đổi phương trình ban đầu về phương trình dạng cơ bản HS hoàn toàn
có thể làm được.
1.1.3.3. Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc
Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử
bậc cao, khó giải.Vì vậy HS cần có được kỹ năng này. HS cần nắm vững các công
thức hạ bậc, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt. Tuỳ thuộc
bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp. Chẳng hạn đối với phương
trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thường ta không đi hạ bậc tất
cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc. Với các nhân tử bậc cao hơn
3 ta phải hạ bậc dần dần.
Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc có thể được nhận biết bởi các biểu hiện sau:
- Nhớ được các công thức hạ bậc.
- Có khả năng quan sát, nhận biết các yếu tố có sử dụng công thức hạ bậc.
Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau

14


Cấp độ

Biểu hiện

Chưa có kỹ năng

Không nhớ công thức, không nhận ra các yếu tố có thể sử dụng
công thức để hạ bậc.

Kỹ năng yếu

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố có thể hạ bậc tuy nhiên còn
thường xuyên nhầm lẫn trong biến đổi, tính toán.

Kỹ năng cơ bản

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố hạ bậc và biến đổi, tính toán
đúng.

Ví dụ 1.5. Giải phương trình: cos 2 x  cos

4x
3

Giải:

cos 2 x  cos
Đặt t 

4x
1  cos 2 x
4x

4x

 cos
 1  cos 2 x  2cos
2
3
3
3

2x
3





Khi đó: 1  cos3t  2cos 2t  1  4cos3 t  3cos t  2 2cos2 t  1

 4cos3 t  4cos2 t  3cos t  3  0

  cos t  1  4cos2 t  3  0
t  2 k 
cos t  1
cos t  1





k 

t     2k 
cos 2 t  3
cos 2t  1
3
4
2



Với t  2k 
Với t 

2x
 2k  x  3k  k 
3






2 x 
 3k
 k 2 

 k 2  x 

k 
3
3

3
4
2

Vậy phương trình đã cho có ba họ nghiệm: x  3k ; x 
Ví dụ 1.6. Giải phương trình: sin 2 x  cos2 2 x  cos2 3x
Giải:

sin 2 x  cos2 2 x  cos2 3x

15



 3k

k 
4
2






1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos6 x


2
2

2

1 cos2x  1  cos4x 1  cos6x

 cos6x  cos4x  cos2x 1  0
 2cos5x cos x  2cos2 x  0
 2cos x  cos5 x  cos x   0

 4cos x cos3x cos2x  0


 x  2  k
cos x  0

 k

 cos 2 x  0   x  
k 

4 2
cos3x  0

 x    k

2 2



Vậy phương trình đã cho có ba họ nghiệm:

x


2

 k ; x 


4



k
 k
; x 
k 
2
2 2



1.1.3.4. Kỹ năng đưa về phương trình tích
Đây là loại phương trình phong phú và đa dạng nhất. Phương trình loại này không
có phương pháp giải cụ thể, mà chủ yếu dựa vào kinh nghiệm khả năng biến đổi
lượng giác của mỗi HS, mục đích cuối cùng là làm xuất hiện nhân tử chung.
Kỹ năng đưa về phương trình tích có thể được nhận biết bởi các biểu hiện sau:
- Nhớ được các dạng nhân tử chung thường gặp ở PTLG
Chẳng hạn như các biểu thức:

1  sin 2 x   cos x  sin x 

cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
cos x  sin x
1  tan x 
cos x
sin x  cos x
1  cot x 
sin x

2

Có nhân tử chung là: cos x  sin x

Hoặc các biểu thức sin 2 x và tan 2 x có nhân tử chung là 1  cos x 1  cos x 

cos2 x và cot 2 x có nhân tử chung là 1  sin x 1  sin x 

16


- Có khả năng quan sát, nhận biết, phân tích để nhóm được nhân tử chung, đưa
PTLG đã cho về phương trình tích.
Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau
Cấp độ

Biểu hiện

Chưa có kỹ năng

Không nhớ các dạng nhân tử chung thường gặp; không tìm ra
cách biến đổi.

Kỹ năng yếu

Nhận ra các dạng nhân tử chung thường gặp; tuy nhiên không
tìm ra cách biến đổi để đưa về phương trình tích.

Kỹ năng cơ bản

Nhận ra các dạng nhân tử chung thường gặp; có thể tìm ra cách
biến đổi để đưa về phương trình tích.

Ví dụ 1.7. Giải phương trình:

3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1

 Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy có sự xuất hiện của sin 2x ,

2cos x và cos2x  1 ta nghĩ đến dùng công thức nhân đôi biến đổi sin 2x , 1  cos2x
để xuất hiện nhân tử chung 2cos x .
Giải:
3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1
 3 sin 2 x   cos 2 x  1  2cos x  0

 2 3 sin x cos x  2cos 2 x  2cos x  0

 2cos x





3 sin x  cos x  1  0

cos x  0
cos x  0

 
cos  x     cos 
3
sin
x

cos
x

1

 
3
3



x   k 2


2


x



k
2


2
2

 x 
 k 2  k 

3
 x       k 2
 x  k 2

2
3



17

