Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường trung học cơ sở

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



TRỊNH THỊ QUYÊN



RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP,
ĐÁNH GIÁ TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG
“PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT ĐẲNG THỨC” Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10



HÀ NỘI – 2010

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRỊNH THỊ QUYÊN



RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP,
ĐÁNH GIÁ TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG
“PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT ĐẲNG THỨC” Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Vũ Lƣơng






HÀ NỘI – 2010

3
LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn
đến Ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội cùng
các thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn
Vũ Lƣơng - người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong
quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trường
THCS Nam Trung Yên, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên,
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.


Hà Nội, tháng 12 năm 2010
Tác giả



Trịnh Thị Quyên

4
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt Viết đầy đủ
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
THCS : Trung học cơ sở
PT : Phương trình
HPT : Hệ phương trình
BĐT : Bất đẳng thức
VT : Vế trái
VP : Vế phải
NXB : Nhà xuất bản














\

5
M ỤC L ỤC

Trang
MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài
1
2. Lịch sử nghiên cứu
2
3. Mục tiêu nghiên cứu
2
4. Phạm vi nghiên cứu
3
5. Mẫu khảo sát
3
6.Vấn đề nghiên cứu
3
7. Giả thuyết nghiên cứu
3
8. Phương pháp nghiên cứu
3
9. Kết quả đóng góp của luận văn
4
10. Cấu trúc luận văn
4
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
6
1.1. Khái quát về tư duy toán học

6
1.1.1.Tư duy là gì?
6
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
6
1.1.3. Tư duy toán học
8
1.2. Kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá
8
1.2.1. Kĩ năng
8
1.2.1. Kỹ năng phân tích
10
1.2.3. Kĩ năng tổng hợp
11
1.2.4. Kỹ năng đánh giá
12
1.2.5. Mối quan hệ giữa kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong
dạy học toán

14
1.3. Những căn cứ để rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá
trong dạy học nội dung “phương trình, hệ phương trình, bất đẳng
thức” ở trường trung học cơ sở


20
1.3.1. Dạy tư duy
20
1.3.2. Nội dung chủ đề PT, HPT, BĐT ở THCS với vấn đề rèn luyện

kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá

21

6
Kết luận chương 1
22
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HÀNH
GIẢNG DẠY VÀ VẬN DỤNG THIẾT KẾ BÀI GIẢNG RÈN
LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP, ĐÁNH GIÁ
CHO HS TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PT, HPT, BĐT Ở
TRƢỜNG THCS




24
2.1. Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp
24
2.1.1.Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp qua từng bài tập
24
2.1.2. Phân tích, tổng hợp qua từng lớp bài tập
32
2.2. Rèn luyện kĩ năng đánh giá.
37
2.2.1. Rèn luyện cách đánh giá lời giải bài toán
37
2.2.2. Rèn luyện kĩ năng đánh giá các giải pháp
39
2.2.3. Rèn luyện kĩ năng đánh giá qua phát hiện và khắc phục sai

lầm khi giải toán

41
2.3. Kết luận
46
2.4. Thiết kế một số giáo án dạy học nội dung PT, HPT, BĐT ở
trường THCS theo hướng rèn luyện các kĩ năng phân tích, tổng hợp,
đánh giá.


47
Chƣơng 3: THỰC NGHỆM SƢ PHẠM
109
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
109
3.1.1. Mục đích
109
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm
109
3.2. Nội dung thực nghiệm
109
3.3.Tổ chức thực nghiệm
110
3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm
110
3.3.2. Phương pháp và tiến trình thực nghiệm
111
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
116
3.4.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm

116
3.4.2. Phân tích kết quả thực nghiệm
117
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm
120

7
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
123
1. Kết luận
123
2. Khuyến nghị
124
TÀI LIỆU THAM KHẢO
125
PHỤ LỤC

8
MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài
Trong xã hội hiện đại, dạy phương pháp học trong đó cốt lõi là phương
pháp tự học là một trong những mục tiêu dạy học ở tất cả các nước trên thế
giới. Quá trình đổi mới phương pháp dạy học cũng đòi hỏi phải quan tâm hơn
nữa đến việc dạy cách học, cách tư duy, dạy cho HS có phương pháp tư duy
tốt để các em có thể tiếp tục tự học suốt đời. Để tự học môn toán đòi hỏi
người học phải có những kĩ năng cần thiết như đào sâu suy nghĩ, khai thác bài
toán, đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán, kĩ năng tự tổng kết các vấn
đề…hay nói cách khác đòi hỏi người học cần có kĩ năng tư duy phân tích,
tổng hợp, đánh giá. Trang bị cho HS các kĩ năng đó cũng góp phần làm cho
việc học ở nhà của HS đạt hiệu quả, nâng cao chất lượng giáo dục.
Thực tế cho thấy nhiều nội dung thi HS giỏi toán quốc tế thuộc chương
trình toán ở THCS trong đó nội dung: bất đẳng thức, phương trình, hệ phương
trình chiếm vị trí quan trọng. Đó cũng là nội dung then chốt trong các đề thi
vào 10, đặc biệt đề thi vào các trường THPT chuyên. Hầu hết các dạng toán
nâng cao ở các nội dung đó đều giàu tính thách thức và đó cũng chính là các

cơ hội tốt để HS rèn luyện các kĩ năng tư duy: phân tích, tổng hợp, đánh giá.
Với đối tượng HS cấp THCS, khối lượng kiến thức toán học được tiếp
cận còn ít nên khoảng cách chênh lệch về kiến thức giữa HS giỏi và HS kém
chưa nhiều. Việc rèn cho HS đại trà các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp,
đánh giá là cần thiết và hoàn toàn có thể thực hiện được .
Mặc dù đã có nhiều công trình đề cập đến rèn luyện các kĩ năng tư duy,
nhưng việc chỉ ra cách thức tổ chức hoạt động thực hành giảng dạy như thế
nào để rèn các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá khi dạy học nội dung
cụ thể còn ít được đề cập đến. Với đối tượng HS THCS, việc rèn các kĩ năng
trên thường ít được quan tâm đúng mức. Chính vì vậy tác giả bản luận văn

9
tìm cách xây dựng các phương pháp thực hành giảng dạy nội dung phương
trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, để rèn luyện các kĩ năng tư duy này cho
các HS còn nhỏ tuổi. Phải khẳng định rằng mọi hoạt động giảng dạy theo
hướng rèn các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS THCS là
hiệu quả nhưng nhiều hay ít phụ thuộc vào phương pháp, hình thức tổ chức
giảng dạy và trình độ, nghệ thuật giảng dạy của giáo viên. Sự trưởng thành,
thành công của nhiều thế hệ HS giỏi được rèn luyện, đào tạo từ rất sớm ở Việt
Nam chính là cơ sở vững chắc cho công việc này.
Vì các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của bản luận văn
là: “Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội
dung “ phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức” ở trường trung học
cơ sở. ”
2. Lịch sử nghiên cứu
Có nhiều công trình nghiên cứu về các kĩ năng phân tích, tổng hợp,
đánh giá, tuy nhiên qua tìm hiểu chúng tôi chưa thấy có công trình khoa học
nào xây dựng các phương pháp thực hành giảng dạy nội dung phương trình,
hệ phương trình, bất đẳng thức để rèn luyện các kĩ năng tư duy phân tích, tổng
hợp, đánh giá cho đối tượng học sinh THCS.

3. Mục tiêu nghiên cứu
Trong luận văn này tác giả đưa ra các mục tiêu sau :
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về tư duy toán học, các kĩ năng phân tích,
tổng hợp, đánh giá trong tư duy. Nghiên cứu cơ sở lý luận về rèn luyện kĩ
năng phân tích, tổng hợp, đánh giá của người học.
- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy nội dung
phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức theo hướng rèn luyện kĩ năng
phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS trung học cơ sở.
- Thiết kế một số bài giảng về nội dung phương trình, hệ phương trình,
bất đẳng thức vận dụng các biện pháp trên.

10
- Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và
hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Rèn luyện cho học sinh THCS kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá
trong dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức.
- Đưa ra các số liệu khảo sát, thực nghiệm được thực hiện đối với một
số lớp và GV giảng dạy môn Toán trường THCS Nam Trung Yên, quận Cầu
Giấy, Hà Nội.
5. Mẫu khảo sát
- HS khối 9 trường THCS Nam Trung Yên, quận Cầu Giấy, Hà Nội.
6.Vấn đề nghiên cứu
- Xây dựng, tổ chức các hoạt động thực hành giảng dạy nội dung
phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS như thế nào để
rèn luyện cho HS các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá?
7. Giả thuyết nghiên cứu
- Nếu đề xuất và xây dựng được những biện pháp tổ chức thực hành giảng
dạy thích hợp khi dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức
ở trường THCS thì sẽ rèn luyện các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá cho

HS, từ đó góp phần nâng cao chất lượng khi dạy học nội dung này.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
8.1. Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu
- Nghiên cứu lý thuyết đã có về kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá
qua các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến đề tài .
- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung phương trình, hệ
phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS, chương trình sách giáo khoa,
sách tham khảo, mục tiêu dạy học, phương pháp dạy học phục vụ chuyên môn
giảng dạy nội dung trên

11
8.2. Phương pháp điều tra, quan sát
- Dự giờ trao đổi với các đồng nghiệp cùng chuyên môn trong trường.
- Quan sát những hoạt động của GV và HS trong một số giờ dạy để rút ra
những nhận xét về việc rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy
học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS.
- Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động học của HS bằng trao đổi,
hỏi, phỏng vấn nhằm đánh giá hiệu quả việc vận dụng các biện pháp đã
nghiên cứu trong đề tài, tìm hướng khắc phục, kịp thời hỗ trợ cho việc đánh
giá kết quả thực nghiệm.
8.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Dạy thực nghiệm tại một số lớp khối 9 ở trường THCS Nam Trung
Yên, quận Cầu Giấy, Hà Nội.
8.4. Phương pháp thống kê toán học
Xử lí các số liệu sau khi điều tra.
9. Kết quả đóng góp của luận văn
- Hệ thống hoá các vấn đề lý luận có liên quan đến tư duy, rèn các kĩ
năng phân tích, tổng hợp, đánh giá.
- Đề xuất, xây dựng một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy rèn

luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học môn Toán nói
chung và dạy nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường
THCS nói riêng.
- Thiết kế một số bài giảng thuộc nội dung phương trình, hệ phương
trình, bất đẳng thức vận dụng các biện pháp trên.


12
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ
lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận
Chƣơng 2: Một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy và vận dụng
thiết kế bài giảng rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS
trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường
THCS.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm.

13
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.3. Khái quát về tƣ duy toán học
1.1.1.Tư duy là gì?
Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực
khách quan. [20, tr.1]
Theo từ điển Tiếng Việt [14], tư duy: “ Giai đoạn cao của quá trình
nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính qui luật của sự vật bằng
những hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lý”.
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính
cụ thể, trực quan, bề ngoài. Nảy sinh trên cơ sở cảm tính và vượt xa giới hạn
nhận thức cảm tính, tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó con người phản ánh
được các đối tượng, các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản
của chúng, vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng,
hiện tượng và giữa các đối tượng, hiện tượng với nhau.[6]
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra tư duy có một số đặc điểm chính sau:
+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ : “Tư duy chỉ tồn tại dưới
cái vỏ ngôn ngữ” [6, tr.94]. Hay nói cách khác ngôn ngữ được xem như là
phương tiện của tư duy. Tư duy mang tính gián tiếp, nó được phản ánh bằng
ngôn ngữ.
+ Tư duy mang tính khái quát: Phản ánh những thuộc tính chung,
những mối quan hệ có tính qui luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng. Tư duy

mang tính trừu tượng.
+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính. Tư duy thường
được bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy
sinh tình huống có vấn đề. Trong quá trình diễn biến của tư duy, nhất thiết

14
phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức cảm tính đem lại. Dù cho
tư duy có khái quát và trừu tượng thế nào thì trong nội dung của tư duy cũng
chứa đựng những thành phần cảm tính. Và ngược lại, tư duy và những kết quả
của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác, tri giác, làm cho khả năng
cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người
mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa.
+ Tư duy luôn luôn hướng vào việc giải quyết một nhiệm vụ nào đó.
Tư duy chỉ nảy sinh khi có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức, đặc điểm này được
gọi là tính “có vấn đề” của tư duy. Tính có vấn đề của tư duy được tính đến
trong quá trình dạy học, thầy giáo đặt HS trước một nhiệm vụ nhận thức (câu
hỏi, bài toán…). HS phải đi tìm cách giải quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống
nhau, cái khác nhau, khái quát các sự kiện và tự mình rút ra các kết luận. Vai
trò của bài toán mà người thầy đưa ra đặc biệt được coi trọng, nó được xem
như một lực thúc đẩy tư duy HS tích cực học tập, do đó để dạy tư duy cho HS,
người thầy cần chọn lựa được hệ thống bài tập phù hợp.
Theo [6, tr.103], trong quá trình giải toán, kiến thức và tư duy có mối
quan hệ tương hỗ với nhau. Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có
thể được chia làm hai loại: Thứ nhất là những kiến thức mà người giải toán
thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán khi đọc kĩ đề bài; Thứ hai là
những kiến thức về định nghĩa, định lí, định luật toán học mà người giải toán
đã thu thập được từ trước để thiết lập mối quan hệ lôgic giữa điều kiện và kết
luận của bài toán. Quá trình tư duy trong giải toán có tiến triển được hay
không là tuỳ thuộc ở chỗ hai loại kiến thức trên có thiết lập được mối liên hệ
qua lại hay không. Những mối liên hệ qua lại này được thực hiện thông qua

những hành động trí tuệ với những kiến thức loại thứ nhất. Sự phát triển của
các năng lực tư duy đòi hỏi phát triển cả mặt nội dung của tư duy (các kiến
thức) lẫn mặt hành động của tư duy (các hành động trí tuệ).

15
1.1.3. Tư duy toán học
Tư duy toán học được nảy sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu với
những đối tượng và quan hệ toán học. Tư duy toán học bao gồm các thao tác
tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, qui nạp, suy
đoán…trong đó phân tích, tổng hợp là các thao tác tư duy cơ bản.
1.4. Kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá
1.2.1. Kĩ năng
1.4.1. 1. Khái niệm kĩ năng
Theo định nghĩa trong từ điển Tiếng Việt [14] : “Kĩ năng là khả năng vận
dụng những kiến thức thu nhận được trong lĩnh vực nào đó vào thực tế”
Có những quan niệm khác nhau của các tác giả trong và ngoài nước khi
xem xét khái niệm kĩ năng. A.Petrovaxki coi kĩ năng là cách thức thực hiện
hành động phù hợp với mục đích và điều kiện của hành động mà con người
nắm vững [15]. Như vậy với quan niệm này tác giả xem xét kĩ năng nghiêng
về mặt kĩ năng của hành động. Trong giáo trình Tâm lí học đại cương [22],
Nguyễn Quang Uẩn cho rằng kĩ năng là năng lực thực hiện có kết quả với
chất lượng cần thiết và thời gian tương ứng không những trong điều kiện
quen thuộc nhất định mà còn trong những điều kiện mới. Quan điểm này
không chỉ coi kĩ năng là kĩ thuật hành động mà còn là năng lực, biểu hiện của
năng lực con người, đòi hỏi con người phải luyện tập theo một qui trình xác
định mới hình thành được các kĩ năng.
Từ điển giáo dục học [5] chia kĩ năng thành hai bậc. Kĩ năng bậc I là
khả năng thực hiện đúng hành động, hoạt động phù hợp với những mục tiêu
và điều kiện cụ thể tiến hành cho hoạt động ấy, cho dù đó là hành động cụ thể
hay hành động trí tuệ. Kĩ năng bậc II là khả năng thực hiện hành động, hoạt

động một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo phù hợp với những mục tiêu
trong các điều kiện khác nhau.

16
Như vậy dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng
kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Kĩ năng vừa thể hiện kĩ thuật hành
động vừa thể hiện năng lực của con người trong hoạt động nhận thức, hoạt
động xã hội.
1.2.1.2. Sự hình thành kĩ năng
Sự hình thành kĩ năng đó là một quá trình nắm vững cả một hệ thống
phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri
thức và tiếp thu được từ các đối tượng, qua một quá trình đối chiếu và xác lập
thông tin với các hành động.
Kĩ năng được hình thành bằng con đường luyện tập, tạo khả năng cho
con người thực hiện các hoạt động không chỉ trong các điều kiện quen thuộc
mà cả trong những điều kiện thay đổi. Thông qua quá trình tư duy để giải
quyết các nhiệm vụ đặt ra, kĩ năng được hình thành. Khi tiến hành tư duy trên
các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra
những khía cạnh và những thuộc tính mới. Tất cả những điều này được ghi lại
trong tri thức của chủ thể tư duy và biểu hiện bằng ngôn ngữ.
Hoạt động tư duy của HS được thể hiện ở các thao tác tư duy : phân
tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, qui nạp, diễn
dịch…Mỗi bước thực hiện các thao tác tư duy mà nhờ việc khám phá ra
những khía cạnh mới của đối tượng đã thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời
quyết định bước tiếp theo của tư duy.
Kĩ năng bậc thấp được hình thành đầu tiên qua các hoạt động giản đơn.
Khi kĩ năng đạt tới thành thạo, khéo léo thì trở thành kĩ xảo, và khi có tri thức
kết hợp với kĩ xảo thì sẽ nảy sinh kĩ năng bậc cao.
Quá trình hình thành kĩ năng được chia thành 5 giai đoạn:

17
+ Giai đoạn 1: Kĩ năng sơ đẳng, ý thức được mục đích hành động, biết
được cách thức thực hiện hành động dựa trên vốn hiểu biết đã có. Giai đoạn
này được đánh giá là kĩ năng bậc thấp.
+ Giai đoạn 2: Biết cách làm nhưng chưa thành thạo. Có thể hiểu biết
về phương thức hành động, sử dụng được những kĩ xảo đã có.
+ Giai đoạn 3: Có hàng loạt kĩ năng nhưng còn mang tính riêng lẻ ,
chưa kết hợp được với nhau.
. + Giai đoạn 4: Có kĩ năng phát triển cao, có sự phối hợp và sử dụng
sáng tạo vốn hiểu biết và các kĩ xảo đã có. Biết lựa chọn kĩ năng phù hợp với
mục đích.
+ Giai đoạn 5: Có tay nghề cao, sử dụng thành thạo, sáng tạo các khả
năng khác nhau.
Một kĩ năng chỉ biểu hiện thông qua một nội dung, tác động của kĩ
năng lên nội dung ta đạt được mục tiêu. Yêu cầu cơ bản của hoạt động giáo
dục, dạy học, chính là làm cho HS nắm được kĩ năng bậc cao trong từng hoạt
động cụ thể mà chương trình đề ra.
1.4.2. Kỹ năng phân tích
“Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng
bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hoá đi một mặt nào đó những
dấu hiệu và những phần riêng lẻ nào đó” [6, tr.109]
Theo J Mason, phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của
những sự vật hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của
chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất
định. Quá trình đó nhằm mục tiêu nghiên cứu chúng đầy đủ hơn, sâu sắc hơn
từ đó nhận thức trọn vẹn các sự vật, hiện tượng. Hay nói cách khác phân tích
là thao tác chia nhỏ sự vật hay hiện tượng thành các phần, các tính chất, các
dấu hiệu, các yếu tố thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan
hệ giữa chúng, rồi xem xét riêng biệt từng thành phần đó [13].

18
Biểu hiện của kĩ năng phân tích đó là khả năng vận dụng thành thạo,
sáng tạo, có mục đích các thao tác phân chia sự vật, hiện tượng, từ đó nhận
biết các xu hướng, nhận biết cấu trúc, nhận ra những ẩn ý và nhận biết được
các bộ phận cấu thành của sự vật, hiện tượng.
Học toán ở trường phổ thông chính là hoạt động toán học, trong đó hình
thức hoạt động chủ yếu của HS là giải bài tập. Giải bài tập toán được coi là
một mắt xích của quá trình giảng dạy toán học. Kĩ năng phân tích trong giải
bài tập toán thể hiện ở hai hoạt động phân tích chủ yếu là: phân tích theo từng
bài tập và phân tích theo từng lớp bài tập.
Theo G.Polya, khi giải một bài toán, việc phân tích bài toán đó thể hiện ở
khả năng tách ra những yếu tố chính của bài toán để từ đó nghiên cứu từng
yếu tố chính, thiết lập quan hệ có thể có được giữa một chi tiết và những chi
tiết khác, giữa mỗi một chi tiết với toàn bài toán [18]. Làm được như vậy có
thể vạch ra những chi tiết của bài toán mà sau này đóng một vai trò nhất định
trong việc tìm ra lời giải. Kĩ năng phân tích khi giải toán cũng thể hiện ở khả
năng tách một bài toán thành các bài toán nhỏ (hay chia thành các trường hợp
nhỏ) đã biết cách giải để từ đó giải được bài toán ban đầu.
Sau khi đã tìm được lời giải một bài toán, việc rất quan trọng cần rèn cho
HS là nhìn lại cách giải đã tìm ra, khảo sát và phân tích lại kết quả, con đường
đã đi. Việc làm đó giúp HS củng cố kiến thức và phát triển khả năng giải các
bài toán.
Với từng lớp bài tập, mục tiêu phân tích đòi hỏi người học phải biết phân
loại các dạng bài tập, xây dựng các phương pháp giải từ cụ thể đến hướng
chung.
1.2.3. Kĩ năng tổng hợp
“Tổng hợp là kết các thành phần riêng lẻ lại, là khái quát hoá các dấu
hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn”.[6]

19
Tổng hợp là thao tác kết hợp các bộ phận, các thuộc tính và mối quan
hệ của đối tượng thành tổng thể, là thao tác liên kết những yếu tố có liên hệ
với nhau thành một khối thống nhất. Tổng hợp là hoạt động nhận thức sự vật
trong mối quan hệ qua lại giữa các yếu tố cấu thành của nó.
Biểu hiện của kĩ năng tổng hợp là khả năng sử dụng những kiến thức đã
học để tạo ra những cái mới. Khái quát hoá những dữ kiện đã biết, liên hệ những
điều đã học từ nhiều lĩnh vực khác nhau, khả năng dự đoán, rút ra kết luận.
Kĩ năng tổng hợp có thể cụ thể hoá bằng khả năng : kết hợp nhiều yếu tố
riêng thành một tổng thể hoàn chỉnh, khái quát hoá những vấn đề riêng lẻ, cụ
thể, phát hiện các mô hình mới đối xứng, biến đổi hoặc mở rộng từ mô hình
đã biết ban đầu.
Kĩ năng tổng hợp là một trong những kĩ năng thuộc nhóm kĩ năng về tư
duy. Trong giải toán, kĩ năng tổng hợp thể hiện ở :
+ Khả năng liên kết các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt đựơc nội dung bài
toán, kết cấu lại đề toán, định hướng được tiến trình giải toán.
+ Khả năng đưa ra một kế hoạch hay phát triển một qui tắc giải toán
+ Khả năng trìu tượng hoá, tổng quát hoá bài toán
+ Khả năng vận dụng các kiến thức đã học, tổng kết các phương pháp
giải khác nhau cho cùng một bài tập.
+ Khả năng nhận dạng bài tập và thuật giải, từ đó viết được các bài tập
tổng kết của một chương dựa trên các kiến thức đã học.
1.2.4. Kỹ năng đánh giá
Đánh giá là khả năng xác định giá trị của tài liệu, bình xét, nhận định,
xác định được giá trị của một tư tưởng, một phương pháp, một nội dung kiến
thức mới.
Các hành vi của kĩ năng đánh giá biểu hiện bằng các hoạt động tương
ứng như:

20

+ Sẵn sàng xem xét các ý tưởng, các giải pháp khác nhau và cân nhắc
chúng một cách thận trọng. Có khả năng tìm kiếm những bằng chứng để ủng
hộ các ý tưởng, các giải pháp.
+ Sẵn sàng tranh luận, đánh giá các quan điểm. Có khả năng xác định
được các tiêu chí đánh giá khác nhau và vận dụng chúng để đánh giá các ý
tưởng, các giải pháp.
+ Biết tóm tắt các ý tưởng và giải thích chúng một cách hiệu quả.
+ Có khả năng phát hiện và loại bỏ những thông tin sai lệch.
Từ việc nghiên cứu về tư duy, tư duy toán học, tham khảo tài liệu, kết
quả nghiên cứu của một số tác giả đã nghiên cứu về tư duy phê phán, chúng
tôi thấy rằng kĩ năng đánh giá của HS trong môn Toán thể hiện qua một số
dấu hiệu:
+ Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau, các lời giải khác nhau của một
bài toán. Có khả năng xác định được các tiêu chí đánh giá khác nhau, và vận
dụng chúng để đánh giá các ý tưởng, các lời giải, các phương pháp. Sẵn sàng
tranh luận để tìm ra cách giải quyết tốt nhất. Cụ thể với bài toán có nhiều lời
giải khác nhau, kĩ năng đánh giá thể hiện ở khả năng phân tích từng giải pháp
, nhận xét được ưu điểm và nhược điểm của từng giải pháp, đưa ra nhận xét
lời giải nào đơn giản, ngắn gọn, lời giải nào độc đáo, sáng tạo, lời giải nào có
phạm vi áp dụng cao… và nên lựa chọn cách giải nào trong những tình huống
cụ thể, có lợi theo những tiêu chí đặt ra.
+ Có khả năng đưa ra những kết luận và những cách giải quyết tốt phù
hợp với kiến thức đã học, và những tiêu chí đã đưa ra (đánh giá lời giải của
bạn, của mình, dựa vào đáp án, hướng dẫn). Khi đứng trước lời giải bài toán
trong phạm vi kiến thức đã học, HS phải có khả năng đưa ra ý kiến cá nhân
của mình nhận xét tính đúng sai của lời giải, công nhận hoặc bác bỏ đáp số
bằng cách phân tích các bước giải.
+ Có khả năng phát hiện những thiếu sót, sai lầm trong lập luận và khả

21

năng sửa chữa những sai lầm.
Sự phân chia các dấu hiệu trên chỉ mang tính tương đối. Các dấu hiệu
có liên quan chặt chẽ với nhau và có sự giao thoa.
1.2.5. Mối quan hệ giữa kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy
học toán
Khi giải toán, quá trình phân tích các dữ kiện đã cho, phân tích các yêu
cầu của bài toán, tìm mối liên hệ giữa giả thiết với những kiến thức đã biết,
đòi hỏi phải có suy xét, cân nhắc, tổng hợp các kiến thức đã học. Việc lựa
chọn giải pháp nào để đưa ra lời giải của bài toán lại đòi hỏi phải có kĩ năng
đánh giá. Phân tích lời giải của các bài toán cùng loại từ đó đưa ra phương
pháp giải của một dạng toán đòi hỏi phải có kĩ năng tổng hợp. Xuất phát từ đề
và lời giải bài toán gốc, mở rộng bài toán, tổng quát hoá bài toán, sáng tạo bài
toán mới đòi hỏi kết hợp cả kĩ năng phân tích, tổng hợp và đánh giá. Trong
quá trình tư duy, phân tích và tổng hợp tốt là cơ sở cho kĩ năng đánh giá, và
ngược lại, kĩ năng đánh giá tốt sẽ định hướng cho phân tích và tổng hợp. Như
vậy phân tích, tổng hợp, đánh giá luôn gắn bó với nhau, đan xen nhau, thẩm
thấu nhau trong quá trình tư duy.
Trong dạy học toán, các kĩ năng phân tích, tổng hợp và đánh giá luôn
có cơ hội được rèn luyện. Dù dạy một đơn vị kiến thức hay chỉ qua hướng dẫn
HS giải một bài tập, nếu GV biết khai thác và tổ chức các hoạt động hợp lí
đều có thể rèn luyện cả ba kĩ năng này cho HS. Ta xét một số ví dụ minh hoạ
sau đây:
GV hướng dẫn HS giải bài toán 1.1 sau khi HS đã học những kiến thức
cơ bản về HPT: HPT tương đương; một số phép biến đổi tương đương HPT.
Bài toán 1.1. Giải hệ

  






22
3
x y xy 1 (1)
2x x y (2)


22
*GV dành thời gian cho HS suy nghĩ tìm đường lối giải; đặt câu hỏi gợi
ý ở những thời điểm cần thiết, hướng dẫn HS phân tích đề bài, tổng hợp các
kiến thức đã học về HPT, từ đó HS có thể:
+ Xác định được mục tiêu chung: để giải hệ, cần biến đổi HPT đã cho
thành HPT mới tương đương đơn giản hơn, (thông thường HPT mới có một
PT chỉ còn một ẩn ). Để đạt được mục tiêu đó cần biến đổi, tìm kiếm mối liên
hệ đơn giản giữa x và y.
+ Phát hiện được đặc điểm của HPT : Nếu nhân vế trái của PT(1) với
vế phải của PT(2) ta thu được hằng đẳng thức chứa x
3
, y
3
, từ đó ta thu được
PT hệ quả biểu thị mối liên hệ đơn giản giữa x và y.
Kết quả của quá trình phân tích đó gợi ý HS tìm đường lối giải bài toán:
Viết PT(2) thành 2x
3
= (x + y ).1; sử dụng PT(1) để biến đổi PT(2)
2x
3
= (x + y )(x

2
+ y
2
- xy )

  
   
3 3 3
33
2x x y
x y x y

HPT ban đầu tương đương với HPT





3
2x x y
xy
.
Đến đây công việc trở nên đơn giản.
Như vậy quá trình tổ chức các hoạt động giúp HS định hướng tìm ra
đường lối giải quyết bài toán cũng chính là quá trình rèn luyện kĩ năng phân
tích, tổng hợp.
*Sau khi đã có lời giải, GV yêu cầu HS “ nhìn lại lời giải”, trả lời các
câu hỏi: +Điểm mấu chốt của cách giải này là gì?
+Cơ sở để thực hiện được cách giải đó là gì?
+Dấu hiệu để thực hiện được cách giải (ý tưởng) đó?

Trả lời các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích, tóm tắt ý tưởng của
lời giải để đưa ra nhận xét: điểm mấu chốt của lời giải đó là tạo dựng được
hằng đẳng thức từ các PT của hệ để thiết lập PT thay thế. Áp dụng được cách

23
giải này dựa vào dấu hiệu về đặc điểm của các PT trong hệ có thể biến đổi tạo
dựng được PT hệ quả có dạng các hằng đẳng thức, từ đó thiết lập được PT
thay thế đơn giản hơn.
Quá trình HS tóm tắt ý tưởng, phân tích lời giải, đưa ra nhận xét đồng
nghĩa với HS được rèn kĩ năng đánh giá. Đánh giá đó giúp HS mở rộng cách
giải cho những bài tập cùng loại và từ đó tổng quát hoá thành phương pháp
chung giải cho các bài cùng dạng:
Bước 1: Tìm hằng đẳng thức có bậc tương ứng (với bậc cao nhất của số
hạng trong các PT của hệ)
Bước 2: Kết nối các PT của hệ (cộng, trừ vế với vế các PT, thế PT này
vào PT kia…) tạo ra hằng đẳng thức, chọn làm PT thay thế.
Bước 3: Lập HPT mới tương đương, trong đó có một PT là PT thay thế
ở bước 2. Giải HPT mới
Qua đó HS được rèn kỹ năng tổng hợp.
* Từ phân tích, đánh giá lời giải, GV có thể hướng dẫn HS sáng tạo các
bài toán mới tương tự bắt đầu từ khai triển một hằng đẳng thức bất kì. Ví dụ
từ hằng đẳng thức :

 
3
3 2 2 3
33
x y x 3x y 3xy y
= x y 3xy(x y)
    

  

Chọn (x + y)
3
= 27
+ Nếu chọn x
3
+ y
3
= 9 ta sẽ có bài toán: Giải HPT:
33
x y 9
xy(x y) 6






+ Nếu chọn x( x + y) = 6 ta sẽ có bài toán : Giải HPT
33
x(x y) 6
x y 18xy 27



  


Tương tự như vậy HS sẽ sáng tạo được nhiều bài toán khác.

Bài toán 1.2 [21, tr.82]
Tìm giá trị của m để phương trình : (m – 1)x
2
+ 2x + m = 0 (1)
có ít nhất một nghiệm không âm.

24
Với bài toán này, GV có thể dạy cho HS cách phân tích, tổng hợp, đánh
giá thông qua các hoạt động sau:
* GV dành thời gian cho HS suy nghĩ. Hướng dẫn HS cách phân tích
bài toán để tìm đường lối giải giải bài toán thông qua các câu hỏi gợi ý:
- Đề bài cho gì? hỏi gì?
- Nêu các trường hợp để PT (1) có ít nhất một nghiệm không âm?
HS phân tích và cần chỉ ra được hai trường hợp lớn:
+ Trƣờng hợp 1: PT (1) là PT bậc nhất và có 1 nghiệm không âm.
+ Trƣờng hợp 2: PT (1) là PT bậc hai và PT đó có nghiệm không âm
Trong trường hợp 2, HS cần phân tích và trả lời được câu hỏi, khi
m

1 PT(1) có nghiệm không âm khi nào?
i) PT (1) là PT bậc hai và PT đó có 1 nghiệm không âm (
12
0xx
)

ii) PT (1) là PT bậc hai và PT đó có 2 nghiệm không âm (
12
0 xx
)
Đến đây HS thảo luận đưa ra các hướng giải quyết trường hợp 2:

Cách 1: Tìm m để PT(1) có hai nghiệm và giải điều kiện nghiệm lớn
của PT là x
2


0
Cách 2: Phân tích, biến đổi điều kiện (i), (ii) về điều kiện với

, S, P
của PT.
- Điều kiện (i) gợi HS nhớ tới kết quả quen thuộc về điều kiện để PT
dạng ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu.Tuy nhiên để giải quyết vướng
mắc về dấu “ =” trong điều kiện
12
0xx
, HS cần xét trường hợp (i) thành
hai trường hợp riêng :
. PT (1) có nghiệm x = 0

P = 0
. PT (1) có hai nghiệm trái dấu

P < 0
- Điều kiện (ii)

'
0
0

0
P
S










25
Cách 3: GV: Tiếp tục hướng dẫn HS phân tích bài toán theo bằng cách
gợi ý: Có thể giải bài toán gián tiếp được không? Phát biểu bài toán gián tiếp?
HS đưa ra được bài toán gián tiếp: Tìm m để PT (1) không có nghiệm
không âm nào.
Tiếp tục như vậy, GV có thể đưa ra các câu hỏi gợi ý để HS giải bài
toán gián tiếp
- Xét m = 1
- GV: Khi m

1, PT(1) không có nghiệm không âm trong các trường
hợp nào?
HS phân tích đưa ra câu trả lời: Khi m

1, PT(1) không có nghiệm
không âm trong các trường hợp :
- Hoặc PT(1) vô nghiệm

- Hoặc PT (1) có hai nghiệm, và cả hai nghiệm đó đều nhỏ hơn 0.
Cách 4: Khi
'
0
, PT (1) có 2 nghiệm, khi đó nhận thấy tổng S =
2
1 m

biểu thị theo tham số m đơn giản hơn. Và nếu S > 0 thì PT(1) hiển nhiên có ít
nhất một nghiệm dương. Khi S < 0, để PT(1) có ít nhất một nghiệm không âm
cần bổ sung P

0.
Để có được các cách giải khác nhau đó, đòi hỏi HS phải phân tích đề
bài, chia bài toán cần giải thành các trường hợp. Đưa bài toán đã cho thành
các bài toán cơ bản quen thuộc. Đồng thời HS cũng phải tổng hợp các kiến
thức liên quan để giải quyết bài toán.
* Sau khi HS đã đưa ra được các hướng giải quyết khác nhau cho cùng
một bài toán, GV có thể chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm làm theo một
cách. GV cho cả lớp nhận xét bổ xung cho từng nhóm: về tính chính xác của
lời giải, về ưu nhược điểm của từng cách, như vậy HS được rèn kĩ năng đánh
giá. Cụ thể cả 4 cách đều là các hướng giải quyết khác nhau cho cùng một
loại bài tập tương tự, tuy nhiên: