Phương pháp tọa độ giải toán Hình học không gian

Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Nhân dân ta có truyền thống hiếu học, có ý chí học tập vươn lên. Tinh thần tất cả vì
tương lai con em, sẵn sàng chịu khó, chịu khổ nuôi con học tập nên người, đã trở thành
truyền thống, tập quán của dân tộc. Tinh thần đó đã tạo nên những nguồn lực nhất định mà
toàn xã hội đã và đang giải quyết những mâu thuẫn giữa quy mô và điều kiện phát triển giáo
dục.
Đặc biệt trong giai đoạn phát triển khoa học công nghệ hiện nay, trình độ tri thức của
con người từng bước được cải thiện và phát triển rõ rệt. Đáp ứng nhu cầu học tập của mọi
người dân bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của
nhân dân. Vì thế trong dạy học người giáo viên cần tạo cho học sinh phát triển năng lực trí
tuệ, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết nhận biết vấn đề ở từng góc
độ khác nhau,tìm tòi những cái cũ trong cái mới, cái mới trong cái cũ để từng bước hình
thành kiến thức mới. Để phát huy tính tực của học sinh, người giáo viên phải đặt học sinh vào
những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn đề mới.
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học
sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các
mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc
lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về
việc hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải một số
bài toán hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái tiếp thu và chủ động giải quyết
các bài toán hình học không gian.Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ
cùng đồng nghiệp, đồng môn ; để góp phần cùng cộng đồng trách nhiệm, chung sức để tìm ra
biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại các trường vùng sâu, vùng xa như
trường THPT Thanh Bình.
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chưng trình lớp 11, làm
công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với

mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không
gian.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách
diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác
một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong
không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán
hình học không gian.
2. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân
tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một
cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, dôi lúc không phân biệt được đâu là
giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không như mong đợi.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp
thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúp
các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết
tâm cao của cả thầy và trò.

1
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam
3. Số liệu thống kê.
Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp;
1
12A
;
10
12A
năm học 2007 - 2008, lớp
3
12A
;

8
12A
, năm học 2008 - 2009, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :
+ Bài kiểm tra một tiết (2007 - 2008 ), trong 92 bài kiểm tra có :

• 5 bài diểm 8 tỷ lệ 5,4 %
• 14 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 15,2 %
• 27 bài điểm 5 tỷ lệ 29,4 %
• 46 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 50,0 %
+ Bài kiểm tra một tiết (2008 - 2009 ), trong 90 bài kiểm tra có :
• 7 bài diểm 8 tỷ lệ 7,8 %
• 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 21,1 %
• 26 bài điểm 5 tỷ lệ 28,9 %
• 38 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 42,2 %
Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả
môn toán cuối năm học 2006 - 2007 xếp loại trung bình yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận
được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em có kỹ năng tính toán tương
đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn qúa hạn chế .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn
“ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước
tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ
độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình
học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học
trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến
hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn
bước của Polya để giải một bài toán gồm :
• Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

• Bước 2 : Xây dựng thuật giải
• Bước 3 : Thực hiện thuật giải
• Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy
hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết
vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức
có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo
các bước sau :
• Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ
Oxyz
thích hợp, chú ý đến vị trí
của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích
• Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
• Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình
học tương ứng.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán
thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát
hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng
2
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam
dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ
độ.
Các dạng toán thường gặp :
• Độ dài đoạn thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng

• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện
• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâmg cao, Đoàn Quỳnh
(Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số
tính chất sau :
Tọa độ của cá vectơ đơn vị :
Năm 2008, tôi thực hiện chuyên đề : “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa
độ để giải toán hình” và đã nhận được nhiều góp ý của quý Thầy trong Hội đồng chuyên
môn của Sở. Lần này, tôi cố gắng tìm hiểu sâu hơn về một nội dung :” Vận dụng phương
pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian”làm sơ sở ôn tập cho học sinh lớp 12, chuẩn
bị tốt cho các kỳ thi vào cuối năm học
a. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
trong không gian
M
z
k
j
O
x
i
3
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho :
);;(... zyxvkzjyixv
=⇔++=
);;(... zyxMkzjyixOM

=++=
Với :
),;(
321
aaaa
=
và
);;(
321
bbbb
=
, ta có :
•
),cos(... bababa
=
•
332211
. babababa
++=
•
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
•
00.
332211
=++⇔=⇔⊥
bababababa
Tích có hướng của hai vectơ

• [
ba,
]
);;(
122131132332
babababababa
−−−=
•
,a b a
 
⊥
 
r r r
;
,a b b
 
⊥
 
r r r
•
a
cùng phương với
⇔
b
[
ba,
]
O=
•
, ,a b c

r r r
đồng phẳng
, 0a b c
 
⇔ =
 
r r r
M
1
y
( )
1;0;0i =
r
( )
0;1;0j =
r
( )
0;0;1k =
r
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam
Ta có :
, , Ox Oy Oz
vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh
vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
''''. DCBAABCD
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a
Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b


Với hình hộp đáy là hình thoi
''''. DCBAABCD
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục
Oz
đi qua 2 tâm của 2 đáy
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao
SO h=
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó :

















−
0;0;
2
2
;0;0;
2
2 a
C
a
A
2 2
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
2 2
a a
B D S h
   
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng
h
. Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
A B
   
−
 ÷  ÷
   
A
B
C
D
D’
C
A’
B’
O
O’
x
y
4

B’
A
D
C
B
D’
A’
C’
y
z
x
z
B
D
C
A
O
S
x
y
z
B
H
C
A
I
S
x
y
z

Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam

3 3
0; ;0 ; S 0; ;
2 6
a a
C h
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA
⊥
(ABCD)
ABCD là hình chữ nhật
;AB a AD b= =
chiều cao bằng
h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)
Khi đó :
( ) ( )
;0;0 ; ; ;0B a C a b

( )
0; ;0 ; (0;0; )D b S h
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA
⊥
(ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh

a
chiều cao bằng
h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
O(0;0;0)
Với hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) và
∆
ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có
;AB a AC b= =
đường cao bằng
h
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó :
( ) ( )
;0;0 ; C 0; ;0B a b

( )
S 0;0;h
Với hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) và
∆
ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có
;BA a BC b= =

đường cao bằng
h
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
Khi đó :
( ) ( )
;0;0 ; C 0; ;0A a b
5
B
D
C
A
O
S
x
y
z
B
D
C
A
O
S
x
y
z
B
C
A

S
x
y
z
z
B
C
A
S
x
y
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam

( )
S ;0;a h
Với hình chóp S.ABC có (SAB)
⊥
(ABC),
∆
SAB cân tại S
và
∆
ABC vuông tại C
∆
ABC vuông tại C
;CA a CB b= =
chiều cao bằng
h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho

C(0;0;0)
Khi đó :
( ) ( )
;0;0 ; B 0; ;0A a b

( ; ; )
2 2
a b
S h
Với hình chóp S.ABC có (SAB)
⊥
(ABC),
∆
SAB cân tại S
và
∆
ABC vuông tại A
∆
ABC vuông tại A
;AB a AC b= =
chiều cao bằng
h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0;0;0)
Khi đó :
( ) ( )
;0;0 ; C 0; ;0B a b

(0; ; )

2
a
S h
Với hình chóp S.ABC có (SAB)
⊥
(ABC),
∆
SAB cân tại S
và
∆
ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA CB a
= =
đường cao bằng
h
.
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; A 0; ;0
2 2
a a
C
   
 ÷  ÷
   
6
B

C
A
H
S
x
y
z
B
H
C
A
H
S
x
y
z
B
C
A
S
x
y
z
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam

( )
B 0; ;0 ; S 0;0;
2
a
h

 
−
 ÷
 
b. Bài tập áp dụng
Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh
O. Gọi
γβα
, ,
lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng
(ABC).Chứng minh rằng :
1coscoscos
222
=++
γβα
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn
Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(O
;
)0;0;(aA
;
)0;;0( bB

);0;0( cC
;

)0 ; ; ( baAB
−=
) ; 0 ; ( caAC
−=

Tìm vectơ pháp tuyến của :
• Mặt phẳng (ABC)
• Mặt phẳng (OBC)
• Mặt phẳng (OCA)
• Mặt phẳng (OAB)


[ ]
) ; ; (, abacbcACABn
==
)0 ,0 ,1 (
=
i
vì :
)(OBCOx
⊥
)0 ,1 ,0 (
=
j
vì :
)(OCAOy
⊥
)1 ,0 ,0 (
=
k

vì :
)(OABOz
⊥

Sử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:
( )
)(),(coscos ABCOBC
=
α
( )
)(),(coscos ABCOBC
=
β
( )
)(),(coscos ABCOBC
=
γ

222222
.
cos
baaccb
cb
++
=
α

222222
.

cos
baaccb
ac
++
=
β
222222
.
cos
baaccb
ba
++
=
γ
Kết luận
1coscoscos
222222
222222
222
=
++
++
=++
baaccb
baaccb
γβα
Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương
''''. DCBAABCD
có cạnh bằng a.

a.Chứng minh rằng đường chéo
CA'
vuông góc với mặt phẳng
)''( DAB
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo
CA'
và mặt phẳng
)''( DAB
là trọng tâm
của
tam giác
''DAB
.
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng
)''( DAB
và
)'( BDC
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
)'( CDA
và
)''( AABB
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
7
x
y
z
γ
A
B
C

C’
O
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(AO
≡
;
);0;0(' aA

)0;0;(aB
;
);0;(' aaB

)0;;( aaC
;
);;(' aaaC

)0;;0( aD
;
);;0(' aaD


a. Chứng minh :
)''(' DABCA
⊥

Nếu
)''('
''
''
DABCA
ADCA
ABCA
⊥⇒



⊥
⊥
Ta có :







=
=
−=
);;0('
);0;('
);;('
aaAD
aaAB

aaaCA

Vì



⊥
⊥
⇔





=−+=
=−+=
''
''
00'.'
00'.'
22
22
ADCA
ABCA
aaADCA
aaABCA
Nên
)''(' DABmpCA
⊥
b. Chứng minh : G là trọng tâm của

tam giác
''DAB
Phương trình
tham số của đường thẳng
CA'
)(:' Rt
taz
ty
tx
CA
∈





−=
=
=

Phương trình tổng quát của mặt
phẳng
)''( DAB
0:)''(
=−+
zyxDAB

Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng
)''( DAB

[ ]
);;(','
222
1
aaaADABn
−−==
Gọi
)''(' DABCAG
∩=
Toạ độ giao điểm G
của đường thẳng
CA'
và mặt phẳng
)''( DAB
là nghiệm của hệ :









=
=
=
⇔








=−+
−=
=
=
3
2
3
3
0
a
z
a
y
a
x
zyx
taz
ty
tx







3
2
;
3
;
3
aaa
G
(1)
8
B’
A
B
C
D
D’
A’
C’
G

x
y
z
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam
Mặt khác :










=
++
=
=
++
=
=
++
=
3
2
3
33
33
''
''
''
azzz
z
ayyy
y
axxx
x
DBA
G
DBA

G
DBA
G
(2)
So sánh (1) và (2), kết luận
Vậy giao điểm G của đường chéo
CA'
và
mặt phẳng
)''( DAB
là trọng tâm của tam
giác
''DAB
c. Tính
( )
)'(),''( BDCDABd

Phương trình tổng quát của mặt phẳng
)'( BDC

0:)'(
=−−+
azyxBDC
Trong
đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
)'( BDC

[ ]
);;(','
222

2
aaaDCBCn
−==

Ta có :
0:)''(
=−+
zyxDAB


0:)'(
=−−+
azyxBDC

⇒
)''( DAB
//
)'( BDC

⇒
( ) ( )
3
)''(,)'(),''(
a
DABBdBDCDABd
==

d. Tính
( )
)''(),'(cos AABBCDA

⇒⊥
)''( AABBOy
Vec tơ pháp tuyến của
)''( AABB
là
)0 ; 1 ; 0(
=
j

Vectơ pháp tuyến của
)'( CDA
:
[ ]
)1;1;0();;0(,'
222
3
−=−==
aaaDCDAn
Vec tơ pháp tuyến của
)''( AABB
là
)0 ; 1 ; 0(
=
j
Vectơ pháp tuyến của
)'( CDA
:
)1;1;0(
3

−=
n

( )
2
1
)''(),'(cos
=
AABBCDA

⇒
( )
o
AABBCDA 45)''(),'(
=
Bài toán 3. Cho hình lập phương
''''. DCBAABCD
có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo
''DB
và
BA'
của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau.
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
''DB
và
BA'
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

vuông góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(AO
≡
;
);0;0(' aA
;
)0;;0( aB
;
);;0(' aaB

)0;;( aaC
;
);;(' aaaC

)0;0;(aD
;
);0;(' aaD


Chứng minh
''DB
và
BA'

chéo nhau, ta chứng minh ba
vectơ
',';'' BBBADB
không

đồng phẳng.
Cần chứng minh
tích hỗn hợp của ba vectơ
Ta có :
)0;;('' aaDB
−=


);;0(' aaBA
−=
;
);0;0(' aBB
=

[ ]
);;(',''
222
aaaBADB
=

[ ]
0'.',''
3
≠=
aBBBADB

⇒
ba vectơ
',';'' BBBADB
không đồng

phẳng.
9
A
B
C
D
D’
A’
B’
C’
x
y
z