Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp Vectơ, tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC





NGUYỄN THẾ NAM




XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƯỢC GIẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC
PHẲNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH




LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2012


2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC





NGUYỄN THẾ NAM


XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƯỢC GIẢI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC
PHẲNG NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH





LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH: VŨ ĐÌNH HOÀ







HÀ NỘI – 2012


4
MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài ……………………………………………………… 1
2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………………3
4. Giả thuyết khoa học …………………………………………………… 4
5. Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………………4
5.1. Nghiên cứu lý luận……… ……………………………………………4
5.2. Phương pháp quan sát điều tra…………………………………… …4
5.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm……………………………………4
5.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm……………………………………5
6. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu……………………………5
7. Cấu trúc của luận văn………………………………………………….…5

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU………………6

1.1. Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo………………………………………………6
1.1.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy…….…6
1.1.1.1. Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy……………… 6
1.1.1.2. Quá trình tư duy………………………………………………………7
1.1.1.3 Các hình thức cơ bản của tư duy………………………………………7
1.1.1.4. Các thao tác tư duy……………………………………………………9
1.1.2. Sáng tạo, quá trình sáng tạo………………………………………….11
1.1.2.1. Khái niệm sáng tạo………………………………………………… 11
1.1.2.2. Quá trình sáng tạo……………………………………………… ….12
1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo……… 13
1.1.3.1. Tư duy sáng tạo……………………………………………………….13
1.1.3.2. Thành phần của tư duy sáng tạo…………………………………… 14
1.2. Dạy học giải bài tập ở trƣờng phổ thông……………………………… 16
1.2.1. Vai trò của việc giải bài tập toán…… 16
1.2.2. Phương pháp giải bài tập
toán… ….18
1.3. Phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng phổ thông 23
KẾT LUẬN CHƢƠNG I……… 24
CHƢƠNG 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CÁC CHỦ ĐỀ ĐƢỢC GIẢI BẰNG
PHƢƠNG PHÁP VECTƠ, TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG NHẰM PHÁT
TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH…… 26
2.1. Các định hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh ở trƣờng THPT
qua nội dung giải bài tập bằng vectơ và tọa độ trong hình học phẳng 26

5

2.1.1. Rèn luyện năng lực giải toán theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng
tạo… ….26
2.1.2. Hướng vào rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh qua giải các bài tập
toán…… 31
2.1.3. Khuyến khích tìm nhiều lời giải cho một bài toán… ….34
2.1.4. Sáng tạo bài toán mới…… 38
2.1.5. Hướng việc bồi dưỡng năng lực giải toán vào các phương pháp tiêu biểu để
giải toán hình học phẳng bằng vectơ và tọa độ…… 42
2.2. Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ,
tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.47
2.2.1. Một số vấn đề về xây dựng hệ thống bài tập vectơ và tọa độ trong hình học
phẳng dành cho học sinh khá giỏi ở bậc THPT……………………………….47
2.2.1.1. Những kiến thức, kỹ năng, năng lực cần thiết đối với học sinh…….….47
2.2.1.2. Yêu cầu cơ bản của hệ thống bài tập và một số định hướng xây dựng hệ
thống bài tập vectơ và tọa độ phẳng …………………………………………… 48
2.2.2. Hệ thống bài tập…………………………………………………… ….49
2.2.2.1. Hệ thống bài tập về đẳng thức vectơ………………………………….49
2.2.2.2. Hệ thống bài tập về tập hợp điểm …………………………………… 52
2.2.2.3. Hệ thống bài tập về tọa độ và vectơ trên trục………………………….53
2.2.2.4. Hệ thống bài tập về hệ trục tọa độ và phương trình đường thẳng…….55
2.2.2.5. Hệ thống bài tập về đường tròn và đường cônic……………………….58
2.2.2.6. Một số bài tập bất đẳng thức dùng vectơ và tọa độ…………………….64
2.2.2.7. Một số lời giải tiêu biểu cho từng chùm bài tập…………………….….66
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2…………………………………………………… 74
CHƢƠNG 3
BIỆN PHÁP SƢ PHẠM VÀ THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM……………… 75

3.1. Biện pháp sƣ phạm 75
3.1.1. Trong giờ học chính khoá……………………………………………… 75
3.1.2. Tổ chức các hoạt động về môn toán…………………………………… 76

3.2. Thực nghiệm sƣ phạm 77
3.2.1. Mục đích của thực nghiệm 77
3.2.2. Nội dung thực nghiệm 77
3.2.3. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………….77
3.2.4. Kết quả thực nghiệm…………………………………………………… 81
KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ……………………………………………… 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………… 84








6
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay ở Việt Nam, cũng nhƣ ở nhiều nƣớc trên thế giới, giáo dục
đƣợc coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với
nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con ngƣời phát
triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng
đƣợc kiến thức trong tình huống công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện
và phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh ở các trƣờng phổ thông của những
ngƣời làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con ngƣời Việt Nam phát
triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung
thành với lý tƣởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi
dƣỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Luật giáo dục 1998, Chƣơng I, điều 2).

Chúng ta đang trong giai đoạn đổi mới sách giáo khoa và phƣơng pháp
giảng dạy chƣơng trình phổ thông, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học
tập của học sinh, để học sinh đáp ứng đƣợc yêu cầu của xã hội, đặc biệt là
trong xu thế hội nhập toàn cầu, cũng là nhằm đáp ứng đƣợc yêu cầu đó.
Theo điều 28 Luật Giáo dục: " Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với
đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học,
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Để làm đƣợc điều này, với lƣợng kiến thức và thời gian đƣợc phân phối
cho môn toán bậc THPT, mỗi giáo viên phải có một phƣơng pháp giảng dạy
phù hợp thì mới có thể truyền tải đƣợc tối đa kiến thức cho học sinh, mới phát
huy đƣợc tƣ duy sáng tạo của học sinh, không những đáp ứng cho môn học
mà còn áp dụng đƣợc kiến thức đã học vào các khoa học khác và chuyển tiếp
bậc học cao hơn sau này.

7
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học. Việc sử
dụng rộng rãi khái niệm vectơ và tọa độ trong các lĩnh vực khác nhau của
toán học, cơ học cũng nhƣ kỹ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng phát
triển. Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, phép tính vectơ đã đƣợc phát triển và
ứng dụng rộng rãi.
Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo
điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trƣờng phổ thông.
Phƣơng pháp vectơ và tọa độ cho phép học sinh tiếp cận những kiến
thức hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả một
cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó có tác dụng
tích cực trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo, trừu tƣợng, năng lực phân tích,
tổng hợp
Khái niệm vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phƣơng pháp tọa

độ theo tinh thần toán học hiện đại, có thể xây dựng lý thuyết hình học và
cung cấp công cụ giải toán, cho phép đại số hóa hình học.
Việc nghiên cứu vectơ góp phần mởi rộng nhãn quan toán học cho học
sinh, chẳng hạn nhƣ tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán
trên những đối tƣợng không phải là số, nhƣng lại có tính chất tƣơng tự. Điều
đó dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số,
cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm trong
số những khái niệm quan trọng của Toán học hiện đại.
Trong chƣơng trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh đƣợc
học về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phƣơng tiện trung
gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa
những đối tƣợng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số.
Với ý nghĩa nhƣ vậy, có thể coi phƣơng pháp vectơ và tọa độ là phƣơng
pháp toán học cơ bản đƣợc kết hợp cùng phƣơng pháp tổng hợp để giải toán
hình học trong mặt phẳng và trong không gian ở bậc THPT.

8
Thực tế giảng dạy áp dụng vectơ và tọa độ để giải toán ở phổ thông
hiện nay đa số còn rất sơ sài, chƣa có hệ thống các bài toán áp dụng. Sách
giáo khoa, với lý do sƣ phạm cũng chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học
sinh cũng chƣa thực sự nắm đƣợc nhiều ứng dụng của phƣơng pháp này.
Dạng bài tập ứng dụng vectơ và tọa độ ở THPT đòi hỏi học sinh phải
có năng lực nhất nhất định, phải có khả năng tƣ duy trừu tƣợng và khái quát
tốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo. Do đó, dạy học chủ đề này có
tác dụng lớn trong việc bồi dƣỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
thông qua các thao tác tƣ duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hóa
đƣợc kiến thức hình học cơ bản, tăng cƣờng năng lực giải toán.
Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dƣỡng, phát triển năng lực trí
tuệ học sinh bậc THPT, đề tài đƣợc chọn là: "Xây dựng hệ thống bài tập theo
các chủ đề được giải bằng phương pháp vectơ, tọa độ trong hình học phẳng

nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh"
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu quá trình rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo toán học ở
đối tƣợng học sinh phổ thông.
- Trên cơ sở lý thuyết vectơ, tọa độ trên mặt phẳng trong chƣơng trình
THPT, cùng với các kiến thức hình học tổng hợp khác, xây dựng một hệ
thống phân loại các dạng bài tập ứng dụng phƣơng pháp vectơ và tọa độ trong
hình học phẳng, góp phần phát triển tƣ duy sáng tạo toán học cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tƣ duy sáng tạo, quá trình rèn luyện và
phát triển loại hình tƣ duy này ở bậc THPT.
- Đƣa ra hệ thống các bài tập ứng dụng, hƣớng dẫn học sinh khai thác
và phát triển các bài toán đó theo hƣớng sáng tạo.
- Đƣa ra một số biện pháp sƣ phạm nhằm thực hiện mục đích nghiên cứu.
- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính
khả thi để áp dụng vào giảng dạy.

9
4. Giả thuyết khoa học
Với nội dung toán học đƣợc lựa chọn và các biện pháp sƣ phạm đã đề
xuất trong luận văn, qua kiểm nghiệm bƣớc đầu trong thực tiễn, có thể tin rằng
đề tài góp phần nâng cao trình độ nhận thức của học sinh, khơi dậy hứng thú
học tập, phát huy khả năng tƣ duy sáng tạo toán học, tính tích cực học tập của
học sinh THPT. Trang bị cho học sinh THPT một phƣơng pháp giải toán hình
học hiệu quả bên cạnh các phƣơng pháp khác.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu khai thác các tài liệu về tƣ duy biện chứng thông qua việc
giảng dạy môn Toán ở trƣờng phổ thông, đặc biệt ở khía cạnh tƣ duy sáng tạo.
- Nghiên cứu khai thác các tài liệu liên quan đến hứng thú học tập,

động cơ học tập, phát huy tính tích cực học tập của học sinh qua môn Toán.
- Nghiên cứu chƣơng trình và nội dung đổi mới sách giáo khoa và
phƣơng pháp giảng dạy bậc THPT, đặc biệt là hình học lớp 10 bậc THPT.
5.2. Phương pháp quan sát điều tra
- Điều tra thực trạng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh
trƣớc và sau thử nghiệm.
- Quan sát việc học tập của học sinh, khảo sát mức độ tích cực học tập,
tƣ duy sáng tạo trong giờ học để phát hiện nguyên nhân cần khắc phục và lựa
chọn nội dung thích hợp cho luận văn.
- Thu thập kết quả thực tế của học sinh làm cơ sở thực tiễn để đƣa hệ
thống bài tập phù hợp có tính khả thi dƣới dạng chuyên đề.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm.
5.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Thống kê số liệu trƣớc và sau thực nghiệm, giữa lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng.
- Lấy ý kiến đánh giá tham khảo của giáo viên trực tiếp giảng dạy để điều
chỉnh luận văn cho phù hợp thực tiễn dạy và học vectơ, tọa độ ở bậc THPT.

10
5.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực nghiệm ở một số cơ sở rồi đối chứng với giả thuyết khoa học đã
đề ra để điều chỉnh mức độ khả thi của luận văn.
6. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của tƣ duy sáng tạo, áp
dụng vào dạy nội dung toán hình học vectơ và tọa độ ở lớp 10 THPT. Từ đó
phân loại và phát triển hệ thống bài tập có thể dùng phƣơng pháp vectơ, tọa
độ phẳng để giải.
Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận phát triển tƣ duy sáng tạo toán học,
gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn.
- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán

THPT thuộc trƣờng : THPT Đoàn Thƣợng, Huyện Gia Lộc, Tỉnh Hải Dƣơng.
- Kiểm nghiệm và đối chứng 6 lớp.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, danh mục tài liệu tham
khảo luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống bài tập theo các chủ đề đƣợc giải bằng
phƣơng pháp vectơ, tọa độ trong hình học phẳng nhằm phát triển tƣ duy sáng
tạo cho học sinh.
Chƣơng 3: Biện pháp sƣ phạm và thực nghiệm sƣ phạm
* Kết luận
* Tài liệu tham khảo
* Phụ lục






11
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy
1.1.1.1. Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy
Trong cuốn " Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" , PGS.TS Trần
Thúc Trình có định nghĩa: " Tƣ duy là một quá nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện
tƣợng mà trƣớc đó chủ thể chƣa biết".[13,tr.1]

Theo Pap-lôp: Tƣ duy là " sản vật cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc
biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan
bằng biểu tƣợng, khái niệm, phán đoán Tƣ duy bao giờ cũng liên hệ với một
hình thức nhất định của sự vận động của vật chất- với sự hoạt động của
óc Khoa học hiện đại đã chứng minh rằng tƣ duy là đặc tính của vật chất".
Pap-lôp đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ
cấu vật chất của hoạt động tâm lý. Ông viết: " Hoạt động tâm lý là kết quả
của hoạt động sinh lý của một bộ phận nhất định của óc ". [16,tr.873]
Tƣ duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thƣờng bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có
vấn đề. Dù cho tƣ duy có khái quát và trừu tƣợng đến đâu thì trong nội dung
của tƣ duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính.
Con ngƣời chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành
các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tƣ duy. Ngôn ngữ đƣợc xem là
phƣơng tiện của tƣ duy.
Sản phẩm của tƣ duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận đƣợc
biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu , ký hiệu, công thức, mô hình.
Tƣ duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tƣợng.

12
Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Tƣ duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Ngƣời ta dựa vào tƣ
duy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng
những quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình.
1.1.1.2. Quá trình tư duy
Tƣ duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bƣớc cơ bản:
- Xác định đƣợc vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tƣ duy. Nói cách
khác là tìm đƣợc câu hỏi cần giải đáp.
- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tƣởng, hình thành giả thiết

về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giải thiết không đúng thì qua
bƣớc sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
- Quyết định đánh giá kết quả, đƣa ra sử dụng.
1.1.1.3 Các hình thức cơ bản của tư duy
- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tƣ duy phản ánh một lớp đối tƣợng
và do đó nó có thể đƣợc xem xét theo hai phƣơng diện: Ngoại diên và nội
hàm. Bản thân lớp đối tƣợng xác định khái niệm đƣợc gọi là ngoại diên, còn
toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tƣợng này đƣợc gọi là nội hàm của
lớp đối tƣợng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy
luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngƣợc lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì
khái niệm A đƣợc gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B
đƣợc gọi là một khái niệm loại của A.
Ví dụ. Ta định nghĩa phép vị tự từ phép biến hình: " Cho điểm O và một số k 0,
phép biến hình biến điểm M bất kỳ thành điểm M' sao cho
OM' kOM
 
gọi là
phép vị tự tâm O, tỉ số k". Nhƣ vậy ta đƣợc khái niệm phép vị tự là một phép
biến hình đặc biệt, là tập con thực sự của phép biến hình,

13
- Phán đoán: Phán đoán là hình thức tƣ duy, trong đó khẳng định một dấu
hiệu thuộc hay không thuộc một đối tƣợng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng
hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trƣờng hợp đó mà thôi.
Trong tƣ duy, phán đoán đƣợc hình thành bởi hai phƣơng thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trƣờng hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của qua trình tri giác một đối tƣợng, còn trong trƣờng hợp thứ hai
phán đoán đƣợc hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy

luận. Cũng nhƣ các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các
phán đoán về những đối tƣợng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai
của các luận điểm.
Ví dụ. Xét mệnh đề : "

,

ab
thì
| | | |  
   
a b a b
" là một phán đoán và là phán
đoán sai, vì điều này chỉ đúng khi
(a,b)


không tù, do bình phƣơng 2 vế bất đẳng
thức và thu gọn ta đƣợc:
a.b 0 | a |.| b|.cos(a,b) 0  
   



cos(a,b) 0


.
- Suy luận: Suy luận là một quá trình tƣ duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi
là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những

quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp. Suy diễn
đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung.
Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngƣợc lại
suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
Ví dụ. Định lý côsin ở lớp 10: " Trong mọi tam giác ta có bình phương một
cạnh tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ hai lần tích của chúng
với côsin góc xen giữa".
Ta có thể suy luận qua một số trƣờng hợp đặc biệt để kiểm chứng điều
đó, chẳng hạn hệ thức: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA.
- Nếu ABC vuông tại A thì cosA = 0

a
2
= b
2
+ c
2
đúng (Định lý
Pitago).
- Nếu ABC đều thì a = b = c, cosA = 1/2

Đẳng thức đúng.

14
- Nếu ABC cân tại B  b = 2a.cosA  Đẳng thức đúng.
Vậy có thể kết luận là đẳng thức đúng cho ABC. Đó là phép quy
nạp không hoàn toàn. Bằng suy luận, ta chứng minh nhƣ sau:
Ta có:
2 2 2
2
BC (AC AB) AC AB 2AB.AC    
      

 a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA.
Với hai đẳng thức còn lại tƣơng tự. Ta có điều phải chứng minh.
1.1.1.4. Các thao tác tư duy
* Phân tích-tổng hợp: Phân tích là thao tác tƣ duy để phân chia đối tƣợng
nhận thức thành các bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau. Còn tổng
hợp là các thao tác tƣ duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần
đã tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là
hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất. Phân tích tiến hành theo hƣớng
tổng hợp, tổng hợp đƣợc thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học tập môn
toán, phân tích-tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tƣ duy
quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
* So sánh-tương tự: So sánh là thao tác tƣ duy nhằm xác định sự giống nhau
hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không

bằng nhau giữa các đối tƣợng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân
tích-tổng hợp và đối với các hình thức tƣ duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn
nhƣng vẫn có thể nhận thức đƣợc những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tƣợng.
Tƣơng tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tƣợng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tƣợng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Nhƣ vậy, tƣơng tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tƣợng ở một
mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
Ví dụ: Trong ABC vuông tại A, ta có : a
2
= b
2
+ c
2
,
2 2 2
a
1 1 1
=+
h b c
,

15
Trong tam diện vuông SABC, SA = a, SB = b, SC = c, đƣờng cao mặt huyền là h
ta cũng có: S
2
(ABC)
= S
2
(SAB)
+ S

2
(SBC)
+ S
2
(SCA)
,
2 2 2 2
1 1 1 1
= + +
h a b c
,
* Khái quát hóa- đặc biệt hóa: Khái quát hóa là thao tác tƣ duy nhằm hợp
nhất nhiều đối trƣợng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc
tính, những liên hệ hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung
bản chất.
Theo G.S Nguyễn Bá Kim: " Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp
đối tƣợng sang một tập hợp đối tƣợng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng
cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát".
[6,tr.51].
Nhƣ vậy có thể hiểu khái quát hóa là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát
hơn. Trong toán học, ngƣời ta thƣờng khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố
của khái niệm, định lý, bài toán thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hóa là thao tác tƣ duy ngƣợc lại với khái quát hóa.
Ví dụ: Xét các bài toán sau:
Bài 1. Cho 2 điểm A, B phân biệt và 2 số thực

,

thoả mãn


+



0 thì:
Tồn tại duy nhất một điểm I sao cho:
IA IBa +b = 0
  
và với M ta có:
MA MB MIα + β =(α+ β)
  
.
Bài 2. Cho 2 điểm phân biệt A,B, I trung điểm của AB thì ta có:
IA + IB = 0
  

và M thì:
MA + MB = 2MI
  
.
Bài 3. Cho 2 điểm phân biệt A,B, I là điểm thoả mãn:
IA = 2IB
 
thì với M ta
có:
MA - 2MB = -MI
  
.
Từ bài toán 1, cho


=

= 1 ta đƣợc bài toán 2, cho

= 1,

= -2 đƣợc
bài toán 3. Nhƣ vậy, bài toán 1 là khái quát của bài toán 2 và bài toán 3, còn
bài toán 2 và bài toán 3 là đặc biệt hóa của bài toán 1.

16
* Trừu tượng hóa: Trừu tƣợng hóa là thao tác tƣ duy nhằm gạt bỏ những mặt,
những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ
lại các yếu tố cần thiết cho tƣ duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất
ở đây chỉ mang nghĩa tƣơng đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
Ví dụ: Trừu tƣợng hóa khái niệm tập số đƣợc khái niệm tập hợp với phần tử là
những đối tƣợng nào đó, trừu tƣợng hóa khái niệm hàm số đƣợc khái niệm
ánh xạ
1.1.2. Sáng tạo, quá trình sáng tạo
1.1.2.1. Khái niệm sáng tạo
Lecne cho rằng: " Sự sáng tạo là quá trình con ngƣời xây dựng cái mới về
chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem nhƣ là hệ thống các thao
tác hoặc hành động đƣợc mô tả thật chính xác và đƣợc điều hành nghiêm ngặt".
Solso R.L quan niệm: " Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó
đem lại một cách nhìn nhận hay cách giải quyết mới mẻ đối với một vấn đề
hay tình huống".
GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: " Ngƣời có óc sáng tạo là ngƣời
có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đã đặt ra".
Có hai mức độ sáng tạo:

- Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận
gốc các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng. Nhƣ sự phát
hiện ra hình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa
- Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng.
Nhƣ sự phát triển của máy tính, của lazer
Đối với ngƣời học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu
họ tự đƣơng đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc
lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đƣợc cái mới mà họ chƣa từng biết.
Nhƣ vậy một bài tập cũng đƣợc xem nhƣ là mang yếu tố sáng tạo nếu
các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là ngƣời

17
giải chƣa biết thuật toán để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bƣớc đi
chƣa biết trƣớc.
1.1.2.2. Quá trình sáng tạo
Nhƣ J. Adama đã "Nghiên cứu về tâm lí học sáng tạo trong lĩnh vực
toán học" đã chỉ ra quá trình lao động sáng tạo ấy trải qua bốn giai đoạn:
+ Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu
liên quan.
+ Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tƣ duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm
thức lại chiếm ƣu thế, các hoạt động bổ sung cho vấn đề đƣợc quan tâm.
+ Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm đƣợc lời giải đáp, đó là các bƣớc nhảy
vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo.
+ Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả. Ý thức lại đƣợc tham
gia tích cực. Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng lôgic để có thể
chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo
mới đƣợc khẳng định.
Đặc điểm của quá trình sáng tạo:
+ Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới.
+ Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc.

+ Nhìn ra các chức năng mới ở những đối tƣợng quen thuộc.
+ Nhận ra cấu trúc của đối tƣợng đang nghiên cứu.
+ Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm
đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
+ Năng lực tìm kiếm và quyết định phƣơng pháp giải quyết độc đáo trong khi
đã biết đƣợc nhiều phƣơng pháp giải quyết truyền thống.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thƣờng xuất hiện những trạng thái
hay tình huống một tƣ tƣởng nào đó đột nhiên bừng sáng trong đầu óc con
ngƣời hoặc đặt con ngƣời trong trạng thái " hứng khởi" cao độ, khi đó các tƣ
tƣởng hình nhƣ cứ theo nhau kéo đến một cách dồn dập, giúp họ đi đến những
kết quả mới.

18
1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo, thành phần của tư duy sáng tạo
1.1.3.1. Tư duy sáng tạo
Trong cuốn sách " Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh
qua môn toán ở trƣờng THCS" của Nguyễn Bá Kim - Vƣơng Dƣơng Minh -
Tôn Thân , các tác giả cho rằng: " Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc
lập, tạo ra ý tƣởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tƣởng
mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Tính độc đáo của ý tƣởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất" [28,tr.72].
Theo nhà tâm lý học G. Mehlhorn: " Tƣ duy sáng tạo là hạt nhân của sự
sáng tạo cá nhân đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục".
Khi xem xét tƣ duy sáng tạo trên bình diện nhƣ một năng lực của một
con ngƣời thì J. Danton quan niệm: " Tƣ duy sáng tạo, đó là năng lực tìm thấy
những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối liên hệ mới, là một chức năng của
kiến thức, trí tƣởng tƣợng và sự đánh giá ".
Tuỳ vào mức độ tƣ duy, ngƣời ta chia nó thành: tƣ duy tích cực, tƣ duy
độc lập, tƣ duy sáng tạo. Mỗi mức độ tƣ duy đi trƣớc là tiền đề tạo nên mức

độ tƣ duy đi sau. Đối với chủ thể nhận thức, tƣ duy tích cực đƣợc đặc trƣng
bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực. Còn tƣ duy độc lập thể hiện ở
khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả
đạt đƣợc. Không thể có tƣ duy sáng tạo nếu không có tƣ duy tích cực và tƣ
duy độc lập.
Mặt khác, có ý kiến cho rằng: " Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê
phán là những điều kiện cần thiết của tƣ duy sáng tạo, là những đặc điểm về
những mặt khác nhau của tƣ duy sáng tạo". [27,tr.33].
Ví dụ về các loại hình tư duy:
- Tƣ duy tích cực: Học sinh chăm chú nghe giáo viên giảng cách chứng
minh định lý và cố gắng hiểu bài.

19
- Tƣ duy độc lập: Học sinh nghiên cứu tài liệu, tự mình tìm hiểu cách
chứng minh định lý.
- Tƣ duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá định lý, tự chứng minh định lý đó.
Tƣ duy sáng tạo có tính chất tƣơng đối vì cùng một chủ thể giải quyết
vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo trong điều kiện khác,
hoặc cùng một vấn đề đƣợc giải quyết có thể mang tính sáng tạo đối với
ngƣời này nhƣng không mang tính sáng tạo đối với ngƣời khác.
1.1.3.2. Thành phần của tư duy sáng tạo
Mang đặc thù của một quá trình sáng tạo, có thể nói tƣ duy sáng tạo là
sự kết hợp ở đỉnh cao của tƣ duy độc lập và tƣ duy tích cực, tƣ duy sáng tạo
gồm các thành phần sau:
+ Tính mềm dẻo: Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ
thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác,
định nghĩa lại sự vật, hiện tƣợng, gạt bỏ sơ đồ tƣ duy có sẵn và xây dựng
phƣơng pháp tƣ duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điều phán đoán. Tính
mềm dẻo gạt bỏ sự sơ cứng trong tƣ duy, mở rộng sự nhìn nhận vấn đề từ

nhiều khía cạnh khác nhau của chủ thể nhận thức.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp
giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đƣa ra giả thuyết mới và ý
tƣởng mới. Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy sáng tạo đƣợc đặc trƣng bởi khả
năng tạo ra số các ý tƣởng mới khi nhận thức vấn đề.
+ Tính độc đáo: Là năng lực độc lập tƣ duy trong quá trình xác định mục đích
cũng nhƣ giải pháp, biểu hiện trong những giải pháp lạ, hiếm, tính hợp lý, tính
tối ƣu của giải pháp.
+ Tính hoàn thiện: Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành
động, phát triển ý tƣởng, kiểm tra và chứng minh ý tƣởng.

20
A
I
J
M
N
P
Q
T
+ Tính nhạy cảm vấn đề: Là năng lực nhanh chóng phát hiện vấn đề, sự mâu
thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chƣa tối ƣu và từ đó đề xuất hƣớng giải quyết, tạo
ra cái mới.
Ngoài ra tƣ duy sáng tạo còn có một số yếu tố quan khác nhƣ: Tính
chính xác, năng lực định giá, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán.
Sau đây là ví dụ minh hoạ sự thể hiện các thành phần của tƣ duy sáng tạo:
Bài toán. Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A = (0,4) và hai đƣờng tròn (I),
(J) đi qua A, với I = (-2,0), J = (4,0). Viết phƣơng trình đƣờng thẳng () qua
A, cắt (I) tại M, cắt (J) tại N sao cho AM = AN.
Đây là một bài toán trong hình học lớp 10. Thông thƣờng nếu xét

đƣờng thẳng () qua A, cho cắt (I) và (J) tại M, N rồi cho AM = AN thì bài
toán trở lên rất khó khăn và phức tạp. Vì nhƣ vậy ta phải xét trƣờng hợp
đƣờng thẳng () trong 2 trƣờng hợp có hệ số góc và không có hệ số góc, rồi tìm
giao điểm M, N với (I) và (J) rất phức tạp. Tuy vậy, nhờ mềm dẻo trong trong
duy, ta có thể giải quyết gọn gàng hơn nhiều, nhờ tính chất của đƣờng tròn.
Sau đây là một số lời giải thể hiện đƣợc các thành phần của tƣ duy sáng tạo:
Cách 1: Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN, theo tính chất của dây cung
 IPAM và JQAN và A cũng là trung điểm của PQ.
Ta có hình thang vuông IPQJ, đƣờng trung bình của hình thang này qua
A và cắt IJ tại trung điểm T = (1,0).
Vậy () là đƣờng thẳng qua A và có
vectơ pháp tuyến
AT

= (1,-4).
Vậy phƣơng trình () là:
1.( x – 0 ) - 4.( y – 4 ) = 0, hay: x - 4y + 16 = 0.
Cách giải này, kết hợp đƣợc tính chất của dây cung
trong đƣờng tròn, có tính mềm dẻo trong tƣ duy. Hình 1.1
Cách 2: Nếu học sinh chú ý đến tính chất A là trung điểm MN, thì gợi nhớ đến
phép đối xứng tâm. Đối xứng đƣờng tròn (I) qua A đƣợc đƣờng tròn (I'). Do

21
M(I) nên N(I'). Do đó, () chính là trục đẳng phƣơng của (J) và (I'). Cụ thể:
Phƣơng trình (I): (x + 2)
2
+ y
2
= IA
2

= 20;
Phƣơng trình (J): (x - 4)
2
+ y
2
= JA
2
= 32;
Do A trung điểm II' nên



I' A I
I' A I
x = 2x - x = 2.0 - (-2)= 2
y = 2y - y = 2.4 - 0 = 8
. Vậy I' = (2,8)
 (I'): (x - 2)
2
+ (y - 8)
2
= 20. Lấy (J) trừ (I') có phƣơng trình trục
đẳng phƣơng () của chúng là: (): x - 4y + 16 = 0.
Nhƣ vậy dựa vào tính chất đối xứng, ta dùng kiến thức trục đẳng
phƣơng của hai đƣờng tròn, thể hiện tính chất nhuần nhuyễn của tƣ duy.
Cách 3: Nếu gọi M = (x
M
,y
M
)(I) thì ta có: (x

M
+ 2)
2
+ y
2
M
= 20 (1)
Do A trung điểm MN nên



N A M M M
N A M M M
x = 2x - x = 2.0 - x = -x
y = 2y - y = 2.4 - y = 8 - y

Vì N(J) nên: (- x
M
- 4)
2
+ (8 - y
M
)
2
= 32 (2).
Lấy (1)-(2) ta có: x
M
- 4y
M
+ 16 = 0.

Vậy phƣơng trình () là: x - 4y + 16 = 0.
Cách này chỉ dùng đến công thức trung điểm của đoạn thẳng, thể hiện
đƣợc tính độc đáo của tƣ duy.
Qua cách giải bài toán trên ta thấy, nếu sử dụng thành thạo các kiến
thức về vectơ và tọa độ trong chƣơng trình có thể giải quyết đƣợc nhiều bài
toán hay và độc đáo. Với lối suy nghĩ nhƣ vậy, ta có thể giải quyết nhiều bài
toán vectơ và tọa độ bằng cách kết hợp chúng với tính chất của hình học.
Những bài toán nhƣ vậy, ta sẽ gặp trong những phần sau.
1.2. Dạy học giải bài tập ở trƣờng phổ thông
1.2.1. Vai trò của việc giải bài tập toán
- Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm
một cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ
ràng nhƣng không thể đạt đƣợc ngay. Giải toán tức là tìm ra phƣơng tiện đó.

22
- Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán. Để giải
bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã
học. Nhƣng đối với bài toán, để giải đƣợc phải tìm tòi, giữa các kiến thức có
thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống còn có khoảng cách, vì các
kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phƣơng tiện xử lý thích hợp. Muốn sử
dụng đƣợc những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho
chúng thích hợp với tình huống.
- Hiện nay trong sách giáo khoa toán trên thế giới, sau mỗi bài học đều
có ba loại bài thực hành, bài tập và bài toán, trình bày tách biệt với nhau,
trong đó những bài toán thực tiễn chiếm một tỉ lệ cao.
- Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn
toán ở nhà trƣờng phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt
động nhƣ: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc-
phƣơng pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung,

những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học.
- Vị trí bài tập toán: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán
học, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng kỹ
xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Chức năng của bài tập toán là: Dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra.
- Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội
dung và phƣơng pháp của quá trình dạy học. Cụ thể:
+ Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau
hƣớng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán nhƣ:
* Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán
học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
* Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tƣ duy, hình
thành các phẩm chất trí tuệ.

23
* Hình thành, bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng nhƣ
những phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
+ Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phƣơng tiện để cài đặt nội
dung dƣới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã
học ở phần lý thuyết.
+ Về mặt phƣơng pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để
học sinh kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục đích dạy học khác. Khai thác tốt bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức tốt
cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ
động sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài
tập là phƣơng tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức,
khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tƣ duy của học sinh, cũng

nhƣ hiệu quả giảng dạy của giáo viên.
1.2.2. Phương pháp giải bài tập toán
Theo G. Pôlya, phƣơng pháp chung giải một bài toán gồm 4 bƣớc: Tìm
hiểu nội dung của bài toán, xây dựng chƣơng trình giải, thực hiện chƣơng
trình giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cụ thể:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán
- Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn đƣợc điều kiện hay
không? Điều kiện có đủ để xác định đƣợc ẩn hay không, hay chƣa đủ, hay
thừa, hay có mâu thuẫn?
- Hình vẽ. Sử dụng một ký hiệu thích hợp.
- Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều
kiện đó thành công thức không?
Qua bƣớc 1 ở trên, ta thấy việc đánh giá đƣợc dữ kiện có thoả mãn hay
không, thừa hay thiếu đã bƣớc đầu thể hiện tƣ duy sáng tạo. Nếu làm tốt

24
đƣợc khâu này thì việc giải bài toán đã có thể rất thuận lợi để tìm đƣợc lời
giải đúng.
Bước 2: Xây dựng một chƣơng trình giải
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chƣa? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng hơi khác?
- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể
dùng đƣợc không?
- Xét kỹ cái chƣa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có
cùng ẩn hay ẩn tƣơng tự.
- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng
nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phƣơng pháp?
Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng đƣợc nó không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa?
Quay về định nghĩa.

- Nếu bạn chƣa giải đƣợc bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán
có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không?
Một bài toán tổng quát hơn? Một trƣờng hợp riêng? Một bài toán tƣơng tự?
Bạn có thể giải đƣợc một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều
kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn đƣợc xác định đến một chừng mực nào đó,
nó biến đổi nhƣ thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích
không? Có thể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho
ẩn và các dữ kiện mới đƣợc gần nhau hơn không?
- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chƣa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện
hay chƣa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chƣa?
Qua các phần dẫn dắt của bƣớc 2, ta thấy rằng tƣ duy sáng tạo đã đƣợc
thể hiện ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan,
hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tƣ duy sáng tạo.
Bước 3: Thực hiện chƣơng trình giải

25
Hãy kiểm tra lại từng bƣớc. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bƣớc đều đúng
chƣa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?
Qua bƣớc này ta thấy việc thực hiện đƣợc chƣơng trình giải và chứng
minh đƣợc là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tƣ duy sáng
tạo đã đƣợc thể hiện đầy đủ.
Bước 4: Trở lại cách giải (Nghiên cứu cách giải đã tìm ra)
- Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình
giải bài toán không?
- Có tìm ra đƣợc kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trực
tiếp kết quả không?
- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phƣơng pháp đó cho mọi bài toán nào
khác không?
Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung của
lôgic hình thức một cách có ý thức, xem nhƣ vốn thƣờng trực quan trọng để

làm việc với toán học cũng nhƣ để sử dụng trong quá trình học tập liên tục,
thƣờng xuyên. Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần có
phần nhìn lại phƣơng pháp đã sử dụng để giải. Dần dần những hiểu biết về
lôgic sẽ thâm nhập vào ý thức của học sinh.
Rất nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô
hình nào đấy để học sinh thấy đƣợc những tính chất đa dạng thông qua các
chủ đề và mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết chƣơng), cũng là cơ sở quan
trọng để phát triển tƣ duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Ví dụ: Cho ABC, M  BC. Chứng minh:
MC MB
AM AB AC
BC BC

  
.
1. Tìm hiểu nội dung bài tập:
Đây là một bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, hay phân tích một
vectơ theo 2 vectơ không cùng phƣơng. Với giả thiết điểm M tuỳ ý trên BC.
Phải có các tỉ số MC:BC và MB:BC. Đó là một số chú ý trong đề bài toán.

26
B
C
A
N
M
2. Xây dựng chương trình giải:
Ta cần tìm mối liên hệ giữa các vectơ:
AM,AB,AC
  

với điểm M.
Từ các tỉ số gợi ta dùng định lý Talet: Kẻ MN//AC, NAB, thì ta có:

AN CM
AB CB

và
MN BM
AC BC

.
Và đến đây ta đã có một lời giải.
3.Thực hiện chương trình giải: Hình 1.2
Ta có:
AM AN NM
  
. Kẻ MN//AC, dùng phân tích vectơ và định lý
Talet ta đƣợc:
AN MC
AN AB AB
AB BC
NM MB
NM AC AC
AC BC










  
  
. Cộng lại có điều phải chứng minh.
4. Kiểm tra tính dúng đắn và nghiên cứu sâu lời giải:
+ Kiểm tra: Qua cách giải nhƣ trên ta thấy cách phân tích vectơ theo quy tắc
tam giác, đƣa một vectơ về vectơ cùng phƣơng với nó, sử dụng định lý Talet
đều chính xác. Có thể kiểm tra lại điều này khi cho M là trung điểm BC, M
chia BC theo tỉ số k bất kỳ.
+ Nghiên cứu sâu lời giải:
- Cách giải khác:
Ta có:
AM AB BM MC.AM MC.AB MC.BM
AM AC CM MB.AM MB.AC MB.CM

   



   


     
     
.
Cộng lại có:
(MC MB).AM MC.AB MB.AC (MC.BM MB.CM)    
    


BC.AM MC.AB MB.AC
  

MC MB
AM AB AC
BC BC

  
.
- Sử dụng các thao tác tƣ duy:
a) Bài toán tương tự: Cho tứ giác ABCD. Các điểm M,N lần lƣợt thuộc các
đoạn AD, BC sao cho: MA:MD = NB:NC = m:n.
Chứng minh:
nAB mDC
MN
mn



 

. Khi cho A≡D, đƣợc bài toán trên.