Tìm hiểu cơ học lượng tử tương đối tính (Khóa luận tốt nghiệp)

Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





1




Tìm hiểu cơ học lợng tử
tơng đối tính
(Khóa luận tốt nghiệp)
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H

Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





2

A - Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí học cổ điển của thế kỉ XIX có 3 thành phần chủ yếu là cơ học,
nhiệt động lực học và điện động lực học. Nó tự coi mình là đã hoàn toàn đủ
khả năng để khảo sát và giải thích mọi hiện tợng của thế giới tự nhiên. Nhà vật
lí học Kenvin cho rằng vật lí của thế kỉ XIX không còn cái gì để phát minh nữa
mà chỉ còn nhiệm vụ là cách ứng dụng thật tốt những cái đã phát minh rồi. T
tởng đó đã dẫn đến cuộc khủng hoảng trong vật lí học đầu thế kỉ XX, khi ngời
ta thấy có những hiện tợng không thể giải thích đợc bằng các lí thuyết cổ điển.
Lí thuyết lợng tử đã ra đời trong hoàn cảnh đó và trở thành vũ khí sắc bén cho
con ngời tiến công vào thế giới vi mô.

Ngày nay một trong những đối tợng nghiên cứu quan trọng nhất của vật
lí học hiện đại là thế giới vi mô, đó là những vật thể vô cùng nhỏ bé nh nguyên
tử, hạt nhân và các hạt cơ bản. Cơ học lợng tử chính là cơ sở đầu tiên giúp cho
con ngời đi sâu nghiên cứu, lột tả bản chất vi mô của vật chất.
Phơng trình Schrodinger chính là phơng trình cho phép ta tìm đợc
hàm sóng của hạt vi mô, cho nên nó giúp ta giải quyết đợc nhiệm vụ cơ bản của
cơ học lợng tử và đợc gọi là phơng trình cơ bản của cơ học lợng tử. Khi xây
dựng phơng trình của mình Schrodinger xuất phát từ vật lí cổ điển là lí thuyết
chỉ đúng với những vận tốc nhỏ. Đối với những chuyển động có vận tốc lớn gần
bằng vận tốc ánh sáng thì vật lí cổ điển không đúng, do đó phơng trình
Schrodinger không đúng nữa. Vấn đề đặt ra là cần phải sửa đổi phơng trình
Schrodinger theo thuyết tơng đối của Einstein là lí thuyết cho những chuyển
động có vận tốc lớn xấp xỉ vận tốc ánh sáng, và lúc này thuộc tính spin của hạt
đã buộc phải chú ý tới.


Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý

Lý





3

Nhờ những lí do trên đã dẫn tôi đến việc nghiên cứu về cơ học lợng tử
tơng đối tính. Qua việc nghiên cứu này cho ta thấy rõ hơn bức tranh về cấu
trúc vi mô của vật chất.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài tìm hiểu cơ học lợng tử tơng đối tính là tìm hiểu,
xây dựng các phơng trình cơ học tơng đối tính cho hạt vi mô.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng đợc phơng trình sóng tơng đối tính đối với hạt có spin
không và spin khác không.
4. Đối tợng nghiên cứu
Đối tợng nghiên cứu là các hạt vi mô, chuyển động với vận tốc xấp xỉ
vận tốc ánh sáng và xét đến spin của các hạt.
5. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là cơ học lợng tử tơng đối tính.
6. Phơng pháp nghiên cứu
Phơng pháp vật lí lí thuyết và phơng pháp toán học.

Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





4

B - Nội dung
Chơng 1. Phơng trình Klein - gordon

1.1. Khái quát cơ học lợng tử tơng đối tính
Khi trình bày cơ học lợng tử tơng đối tính thông thờng ngời ta thảo
luận chuyển động của các hạt tự do không tơng tác với nhau đầu tiên, sau đó
tiến hành tổng quát hoá, bao gồm thêm sự tơng tác giữa chúng. ở đây xét các
hạt tự do khá dễ dàng và độc lập với các cách đợc sử dụng để trình bày lí thuyết,
khó khăn đợc xuất hiện ngay sau khi xét thêm sự tơng tác của các hạt. Có hai
loại khó khăn nh vậy: khó khăn cũ và khó khăn mới.
Khó khăn cũ làm cho các nhà vật lí lo nghĩ khi nghiên cứu cơ học lợng
tử lần đầu tiên, nhng bây giờ tất cả những khó khăn đó đợc giảng giải một
cách đầy đủ. Ngày nay ai cũng biết là có positrôn và electron - positrôn đợc
sinh ra và bị huỷ đi bằng từng cặp khi các electron tơng tác với trờng điện từ.
Nh vậy chúng ta gặp trở ngại lớn khi tổng quát hoá lí thuyết phơng trình một
hạt của Schrodinger lên vùng tơng đối tính cho nhiều hạt. Cần phải tính đến
chuyện một hạt biến thành 3 hạt. Điều này có nghĩa là thay cho 1 electron ở
trạng thái đầu chúng ta sẽ có electron và cặp electron - positrôn ở trạng thái cuối.
Mật độ xác suất tìm thấy hạt và mật độ dòng xác suất này cần phải xác
định và giải thích theo cách khác, vì bây giờ cần phải kể đến sự sinh và huỷ cặp.
Số hạt electron bây giờ không phải là hằng số và tích phân chuyển động nữa,
nhng điện tích vẫn còn bảo toàn nh cũ cho nên phơng trình liên tục bây giờ
cần phải viết cho mật độ điện tích và mật độ dòng điện tích. Các đại lợng này
tơng đơng với mật độ xác suất tìm thấy hạt và mật độ dòng xác suất cho hệ các
electron trong cơ học lợng tử phi tơng đối tính. Song, trong trờng hợp tơng
đối tính cũng có ý nghĩa khác đi. Ngoài ra, mật độ điện tích sẽ không còn là đại
lợng xác định nào nữa bởi vì các hệ đang xét bây giờ có thể chứa cả các
electron cũng nh các hạt positrôn.
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền

uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





5

Khi phơng trình Klein-Gordon và phơng trình Dirac lần đầu tiên đợc
thiết lập, positrôn còn cha đợc phát hiện (sự tồn tại của nó đợc Dirac tiên
đoán bằng lí thuyết) và khái niệm phản hạt còn cha đợc phát triển. Những
khó khăn cũ thực chất liên quan đến những khó khăn mô tả trong lí thuyết tơng
đối tính của thế giới giả thuyết không có positrôn, không có phản hạt, không có
sự tạo cặp hạt-phản hạt.
Những khó khăn mới xuất hiện do sự hiểu biết không tờng tận các hiện
tợng vật lí xảy ra ở khoảng cách rất nhỏ, có nghĩa là nghiên cứu các trạng thái
có bớc sóng rất nhỏ và năng lợng rất lớn. Nếu nh các electron là hạt điểm
thì năng lợng trờng Coulomb quanh nó là vô tận; trờng của electron nh vậy
tăng rất nhanh khi đến gần electron. Tiếp theo electron có thể bức xạ và hấp thụ
các phôtôn. Sự đóng góp của các quá trình hấp thụ và bức xạ các phôtôn vào
khối lợng hay năng lợng có thể tính đợc nhờ lí thuyết nhiễu loạn. Kết quả

chúng ta nhận đợc năng lợng riêng của electron là vô tận. Tích phân theo tất cả
các giá trị khả dĩ của phôtôn ảo là phân kì ở vùng xung lợng lớn (gọi là phân kì
tử ngoại). Những phân kì tử ngoại nh vậy xuất hiện mọi nơi trong lí thuyết
trờng lợng tử, khi chúng ta xem xét các đóng góp vào các đại lợng vật lí quan
sát đợc ở vùng xung lợng lớn.
Có thể cho rằng những phân kì này là không vật lí vì electron không phải
là điểm mà nó có kích thớc hữu hạn. ở đây ngời ta đã đa vào các hệ số
dạng nhằm giảm các đóng góp phân kì từ vùng xung lợng truyền lớn. Song cha
có thực nghiệm nào chứng tỏ là electron có kích thớc hữu hạn. Do đó khó khăn
này vẫn cha đợc giải quyết thoả đáng, trừ điện động lực học lợng tử. Trong
điện động lực học lợng tử các tích phân phân kì đợc khử bằng việc tái chuẩn
hoá lại khối lợng, điện tích của electron.
Cơ học lợng tử tơng đối tính là lí thuyết trờng lợng tử của các hạt cơ
bản. Nó phải là lí thuyết toán học hoàn chỉnh của các hiện tợng sinh huỷ và sự
biến đổi lẫn nhau của các hạt tơng đối tính. Chính vì vậy công cụ toán học của
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý

6

nó phải là sự kết hợp đợc các khái niệm của lí thuyết tơng đối tính và các khái
niệm của lí thuyết lợng tử.
Trớc đây trong cơ học lợng tử phi tơng đối tính trạng thái của hạt
đợc mô tả bằng phơng trình Schrodinger:
( )
2
2
( , )
, ( , )
2
r t
i u r t r t
t m




= +

(*)
Phơng trình này không phải là phơng trình bất biến đối với phép biến
đổi Lorentz.
Phơng trình (*) là phơng trình bậc nhất đối với đạo hàm theo thời
gian t, và là phơng trình bậc hai đối với đạo hàm theo toạ độ không gian. Chính
vì vậy (*) không thể bất biến đối với phép biến đổi Lorentz. Để phù hợp với đòi
hỏi bất biến với phép biến đổi Lorentz thì toạ độ không gian và toạ độ thời gian
phải đợc chứa một cách đối xứng trong phơng trình (*).
Biến đổi phơng trình (*) về phơng trình bậc hai theo đạo hàm của thời
gian t và các toạ độ không gian x, y, z ta có phơng trình mới gọi là phơng trình
Klein-Gordon. Biến đổi phơng trình (*) về phơng trình bậc nhất theo các toạ
độ thời gian t và không gian x, y, z ta có phơng trình mới gọi là phơng trình
Dirac.
1.2. Phơng trình sóng tơng đối tính đối với hạt có spin không
Trớc hết chúng ta sẽ thiết lập phơng trình Schrodinger cho một hạt tự
do. Xuất phát từ biểu thức cổ điển của Hamiltơn cho hạt tự do:
2
2
p
H
m
=

thay thế các đại lợng trên bằng các toán tử tơng ứng:


H H i
t

=


;

p p i
r

=



Ta tìm đợc mối liên hệ giữa toán tử

H
và toán tử

p
:
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D

K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





7

2
(1)
2
i
t m



=




Đây chính là phơng trình Schrodinger mô tả trạng thái của 1 vi hạt tự do.
Theo thuyết tơng đối Einstein, các phơng trình mô tả các quy luật vật lí phải
bất biến tơng đối tính, nghĩa là phải bất biến đối với phép biến đổi Lorentz. Từ
(1) ta nhận thấy rằng nó không thoả mãn những yêu cầu của thuyết tơng đối.
Nó không bất biến đối với phép biến đổi Lorentz.Theo thuyết tơng đối, các

phơng trình phải có dạng sao cho các toạ độ không- thời gian tham gia trong
các phơng trình bình đẳng với nhau, cụ thể là ba toạ độ không gian x= x
1
, y=
x
2
, z = x
3
và toạ độ thứ t x
4
=ict đều là bậc nhất. Trong khi đó phơng trình (1)
chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian và đạo hàm bậc hai theo các toạ độ không
gian.
Để thu đợc phơng trình lợng tử tơng đối tính cho hạt tự do, ta quan
tâm đến hệ thức lợng tơng đối tính-là hệ thức liên hệ giữa năng lợng toàn
phần với xung lợng và khối lợng tĩnh của hạt trong trờng hợp hạt chuyển
động với vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng:
2 2 2 2 4
H c p m c
= +
(2)
Với p là xung lợng của hạt
m là khối lợng tĩnh của hạt
H là năng lợng toàn phần của hạt.
Tiến hành phép thay thế sang các toán tử tơng ứng ta đợc:

2
2 2 2 2 2 4
2
( )

c m c
t



= +


(3)
Phơng trình này gọi là phơng trình Klein-Gordon, đợc thiết lập từ năm
1926. Trong phơng trình này các toạ độ không gian và thời gian tham gia vào
bình đẳng với nhau đều là các đạo hàm bậc hai. Phơng trình Klein-Gordon là
bất biến tơng đối tính.
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý

8

Trong giới hạn phi tơng đối tính khi coi vận tốc ánh sáng là vô cùng lớn
so với vận tốc của hạt, phơng trình Klein-Gordon lại chuyển thành phơng trình
Schrodinger. Thật vậy bởi vì giữa lí thuyết tơng đối và lí thuyết phi tơng đối,
gốc tính năng lợng khác nhau mc
2
nên ta sử dụng biến đổi unita:
2
( , ) '( , )exp (4)
imc
r t r t t



=





Trong chuyển động phi tơng đối tính năng lợng toàn phần của hạt rất
nhỏ so với năng lợng tĩnh nghĩa là trong hệ thức:
2
'
E E mc
= +

thì E
'
< < mc
2
,
do đó:
2
'
' ' '
i E mc
t



<<



Từ đó, tính đợc:
2 2 2 2
'
' .exp 'exp
imc imc t imc imc t
t t




=

(5)

2 2 2 4 2
2 2
'
. ' exp
imc m c imc
t
t t




= +




(6)
Thay (4) (6) vào (3) ta thu đợc phơng trình Schrodinger phi tơng đối
tính với hàm
'

:

2
2

'
2
i
t m




=



(7)
Xét trờng hợp hạt có điện tích e chuyển động trong trờng điện từ ngoài
đặc trng bởi

và
A

. Toán tử Hamiltơn trong trờng hợp không tơng đối tính
là :

2
1



( )
2
e

H p A e
m c

= +


(8)
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





9

Trong biểu thức tơng đối tính với năng lợng:

2
2 2 4
E c p m c
= +


Ta thực hiện thay thế:

E E e


;
i i e
t t







e
p p A
c



;
e
i i i A

c




Ta có:

2 2
2 2 4
e
i e c i A m c
t c



= +





(9)
Đây là phơng trình Klein-Gordon trong trờng hợp có mặt trờng điện từ.
Làm tơng tự nh trờng hợp hạt chuyển động tự do ta cũng thu đợc phơng
trình Schrodinger phi tơng đối tính:
2
' 1

' '
2

e
i p A e
t m c




= +






(10)
Hàm sóng
( , )
r t


mô tả trạng thái phụ thuộc vào 3 toạ độ và thời gian
mà không chứa biến số spin. Do đó rõ ràng rằng phơng trình Klein-Gordon xác
định bản chất của hạt spin không.
1.3. Mật độ diện tích và mật độ dòng xác suất đối với hạt spin không
Cách tìm mật độ điện tích và mật độ dòng xác suất đối với hạt đợc mô tả
bằng phơng trình sóng (9) giống nh đã tiến hành đối với phơng trình
Schrodinger.
Ta nhân phơng trình Klein-Gondon (9) với hàm sóng liên hợp phức
*

.
Ta lại nhân phơng trình sóng liên hợp phức với phơng trình (9) cho hàm sóng

. Sau đó trừ phơng trình thứ 2 cho phơng trình thứ 1, chuyển vế, ta có:
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





10
2 2 * *
2 * *
2 2
2 2 2 * * 2 * *
2

( ) ( ) ( ) 0 (11)
i e
t t t t
c i ec A A A A





+





+ + + =






Ta sẽ biến đổi các biểu thức chứa trong từng dấu ngoặc trong biểu thức (11) :
2 2 * *
* *
2 2
t t t t t

=



(12)
* *
*
( )
t t t



+ =

(13)
2 * * 2 * *
div grad div grad

=

* *
* *
= div( grad ) grad grad
div( grad ) g
rad grad



+

=
* *
div grad grad
(14)





(
)
(
)
* * *
2div( )
A A A A A

+ + + =

(15)
Bởi vì ta biến đổi biểu thức này nhờ hệ thức:
(
)
(
)
(
)
* * * *
A div A div A Agrad

= =


Thay (12) (13) (14) (15) vào (11) và nhân 2 vế phơng trình đó với
2
2
e
i m c

ta đợc:

0
e
div j
t


+ =


(16)

trong đó
* 2
* *
2 2
2
e e
imc t t mc

=




(17)
gọi là mật độ điện tích.
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý

11
2
* * *
2
grad grad
2
e
ie e
j A
m mc

=




(18)
gọi là mật độ dòng.
Trong lí thuyết không tơng đối, mật độ điện tích
e

có thể viết dới
dạng:
( , , , ) . ( , , , )
e
x y z t e x y z t

=

Trong đó

là mật độ xác suất, về bản chất đại lợng này là dơng. Biểu
thức đối với
e

có thể là âm, tơng ứng với việc chọn hàm

ở thời điểm ban
đầu.
Thật vậy, phơng trình Klein-Gordon là phơng trình vi phân hạng
hai theo thời gian. Các giá trị của bản thân hàm

và đạo hàm của nó ở thời
điểm ban đầu có thể cho bất kì. Nếu chọn

và
t



thích hợp ta có thể nhận
đợc các giá trị dơng lẫn âm của
e

.
Trong giới hạn cổ điển, đại lợng

lại là tích của
*

. Thật vậy, trong
trờng hợp hàm sóng

thoả mãn hệ thức:
i E
t



=



Thì mật độ

có thể viết dới dạng:
* *
2 2
E e
mc mc


=

Nếu ta tách riêng trong E ra phần năng lợng tĩnh, nghĩa là đặt
2
'
E mc E
= +

thì ta có:
*
2
'
1
E e
mc




= +



Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý

Lý





12
Nếu đại lợng
2
'
E e mc

<<
thì ta có biểu thức không tơng đối cần
tìm của

.
Phơng trình Klein-Gordon không thể rút mật độ xác suất xác định dơng.
Đó là nguyên nhân của việc trong thời gian dài, phơng trình này không đợc
ứng dụng vào thực tế. Về sau lí thuyết lợng tử về trờng khắc phục đợc khó
khăn này.
Hàm sóng trong phơng trình Klein-Gordon chỉ có một thành phần, nó là
một vô hớng. Nếu hàm sóng có một số thành phần thì hạt mô tả bởi hàm sóng
đó, ngoài bậc tự do liên quan đến sự dịch chuyển của hạt còn có những bậc tự do
nội tại. Bậc tự do nội tại này có thể là spin của hạt. Hàm sóng trong phơng trình
Klein-Gordon có một bậc tự do, điều đó có nghĩa là hạt mô tả bởi phơng trình
này không có các bậc tự do nội tại hay nói cách khác không có spin. Vì spin của
electron bằng 1/2 nên phơng trình Klein-Gordon không ứng dụng đợc cho các
electron, nhng có thể ứng dụng đợc cho các

- mezon là các hạt có spin bằng
không.











Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý

13
Chơng 2. Phơng trình Dirac
2.1. Thit lp phng trỡnh Dirac
Phơng trình Klein - Gordon gặp khó khăn về mật độ xác suất âm và
không mô tả đợc các hạt có spin 1/2. Điều đó đòi hỏi phải tìm một phơng
trình khác có thể ứng dụng đợc cho electron. Dirac đã giải quyết đợc vấn đề
này. Để khắc phục khó khăn do mật độ xác suất
e

âm, cần phải tách các đạo
hàm theo thời gian trong biểu thức của
e

. Nh vậy bản thân hàm sóng chỉ đợc
chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian.
Do yêu cầu của thuyết tơng đối, thì cả các đạo hàm theo các toạ độ
không gian trong phơng trình cũng phải là bậc nhất. Mặt khác, nguyên lí chồng
chất các trạng thái cũng đòi hỏi phơng trình phải là tuyến tính. Do đó, phơng
trình sóng cần tìm phải là một phơng trình vi phân tuyến tính bậc nhất theo thời
gian và theo các toạ độ không gian. Phơng trình Dirac mô tả các hạt có vận tốc
lớn so sánh đợc với vận tốc ánh sáng và có spin 1/2.
Trên những cơ sở nhận định nh vậy, Dirac đã đa ra phơng trình sau để
mô tả chuyển động của 1 hạt tự do:
' ' '
0

x y z

i
t x y z




= + + +




(19)
Biểu thức (19) là dạng tuyến tính tổng quát nhất chỉ chứa các đạo hàm bậc
nhất của hàm sóng cần tìm.
Để tiện lợi, phơng trình (19) đợc viết lại dới dạng khác một chút, sau
khi xác định lại các đại lợng
'

. Cụ thể ta viết:

(
)
0


x x y y z z
i p p p
t

= + + +


(20)
Trong đó các toán tử

, ,
x y z
p p p
là các toán tử hình chiếu xung lợng trên các
trục toạ độ, còn các toán tử

, ,
x y z

không chứa toạ độ. Tính chất của các toán
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý

Lý Lý
Lý





14
tử này sẽ đợc xác định sau. Đa vào kí hiệu:
0



X x y y z z
H p p p

= + + +
(21)
Phơng trình (20) có dạng:

i H
t



=


(22)
Về hình thức phơng trình này giống phơng trình Schrodinger, nhng ở

đây

H
đợc xác định bằng (21). Nếu giả thiết rằng toán tử

H
thực sự là toán tử
Hamiltơn, thì theo thuyết tơng đối ta có:
(
)
2 2 2 2 2 2 4
x y z
H c P P P m c
= + + +
(23)
Tính
2

H
theo (21) ta đợc:

2 2 2 2 2 2 2 2
0
0 0
0 0



( )

( ) ( ) ( )


( ) ( )
X x y y z z x y y x x y
x z z x x z x x x y z z y z y
y o y y z o z z
H p p p p p
p p p p p
p p



= + + + + + +
+ + + + +
+ + + +
(24)
Toán tử
2

H
sẽ có dạng (23) nếu các hệ thức sau đợc thực hiện:

2 2 2 2


x y z
c

= = =


2 2 4
0

m c

=



0
i k k i

+ =
vi
i k



0

0
i o i

+ =

ở đây i, k lấy các giá trị x, y, z.
Thay cho toán tử

i

, thờng ngời ta đa vào các toán tử

i

đợc xác
định nh sau:
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





15

2
0


, , ,
x x y y z z
c c c mc

= = = =
(25)
Giữa các toán tử


và


có các đẳng thức sau:
2 2 2 2


1
x y z

= = = =




0

i i

+ =

(26)


0
i k k i

+ =
với
i k


Dựa vào các toán tử (25) (26); phơng trình (20) có thể viết dới dạng:
( )
2



x x y y z z
i c p p p m c
t




= + + +

(27)
phơng trình trên gọi là phơng trình Dirac.
Nếu đa vào toán tử vectơ:

x y z
i j k

= + +



Ta viết phơng trình Dirac dới dạng cô đọng hơn:

i H
t



=


(28)
với
2

H c p m c

= +
(29)
Bây giờ ta tìm dạng cụ thể của các toán tử

i

và


. Chúng ta thử tìm các
toán tử đó dới dạng tập hợp các hằng số, nói chung là phức, nghĩa là dới dạng
các ma trận vuông có dạng:

11 12 1
221 22
1 2





n
n
i
n n nn
a a a
a
a a

a a a




=




giả thiết ma trận

cùng cấp với các ma trận
i


Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý

Lý





16
Dựa vào tính chất của định thức ma trận tích:
det det det
x x

=

Từ các quy tắc giao hoán,suy ra:
x x x
I

= =

Với I là ma trận đơn vị. Ta rút ra:
det det det det( )det det
x x x
I

= =

Vì các định thức là những con số thông thờng nên:
det(-I) = 1
Do đó: (-1)
n

= 1 (30)
Nh vậy n phải chẵn. Nếu n=2 thì ma trận cần tìm sẽ là hạng hai. Đó là 4
ma trận hạng hai độc lập tuyến tính gồm 3 ma trận Pauli và ma trân đơn vị. Ma
trận đơn vị giao hoán với cả 3 ma trận Pauli, do đó không thoả mãn các điều kiện
phản giao hoán(26).
Trong trờng hợp n=4 ta có thể xây dựng đợc các ma trận với các tính
chất đòi hỏi trong các bài toán cụ thể. Với những nhận định nh vậy Dirac đa ra
các ma trận hạng 4 dới đây cho các toán tử
x

, ,
y z

và


:

0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
x




=

0 0 0 -i
0 0 i 0
0 0 0
0 0 0
y
i
i




=






0 0 1 0
0 0 0 -1
1 0 0 0
0 1 0 0
z




=

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1




=



(31)
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





17
Sử dụng các ma trận Pauli, ta có thể viết các ma trận (31) dới dạng gọn
hơn:
0
0
x
x
x




=



0
0
y
y
y

=



0
0
z
z
z




=



1 0
0 1


=



(32)
Dễ dàng kiểm nghiệm lại đợc 4 ma trận trên thoả mãn các yêu cầu đã đa

ra. Chẳng hạn lấy chuyển vị và liên hợp phức của các ma trận
i

và

,ta lại thu
đợc chính các ma trận đó.Điều này thể hiện tính chất ecmit của
i

và

:
= ,
i i

+ +
=

Nếu thay cho các ma trận hạng bốn, ta đa vào các ma trận hạng cao hơn
thì lí thuyết vẫn không thay đổi. Với các ma trận cấp bốn, phơng trình tổng
quát Dirac mô tả đợc tính chất của các hạt có spin 1/2.
Chấp nhận dạng ma trận hạng bốn cho các toán tử

, ,
x y z

và


, ta

phải viết hàm sóng

dới dạng bốn thành phần. Chỉ trong trờng hợp này, khi
tác động các ma trận lên hàm sóng ta mới thu đợc 4 phơng trình chứa 4 hàm
thành phần. Hàm

có 4 thành phần viết dới dạng ma trận cột:

1
2
3
4








=



(33)
Dùng quy tắc nhân các ma trận, ta tách phơng trình (28) thành 4 phơng
trình:

Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





18

( )
2
1
4 3 1

x y z
i c p ip cp m c
t

= + +




( )
2
2
3 4 2

x y z
i c p ip cp m c
t



= + +




( )
2
3
2 1 3

x y z
i c p ip cp m c
t

= +


(34)

( )
2
4
1 2 4

x y z
i c p ip cp m c
t



= +



Mở rộng phơng trình Dirac sang trờng hợp hạt điện chuyển động trong
trờng điện từ. Muốn vậy thay toán tử

p
bằng

e

p A
c


và thêm toán tử
e

vào
toán tử

H
, trong đó
A

và

là các thế vectơ và thế vô hớng của trờng điện từ
ta thu đợc phơng trình Dirac cho hạt điện trong trờng điện từ:
2

e
i c p A e m c
t c





= + +

(35)
2.2. Mật độ xác suất và mật độ dòng trong lí thuyết Dirac
Trong phần này chúng ta sẽ chứng tỏ rằng, khó khăn mà phơng trình
Klein-Gordon gặp phải khi giải thích mật độ xác suất sẽ đợc khắc phục trong
phơng trình Dirac. Ta bắt đầu từ phơng trình:

2

i i c mc
t




= +



(36)
Phơng trình liên hợp với (3.6) có dạng:
2
i i c m c
t

+
+ + + +

= +


(37)
Chú ý
( )
ab a b
+ + +
=
; mặt khác


,

là các toán tử ecmit nên
+
,

+
= =
. Do đó ta có:
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền

uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





19

2
i i c mc
t


+
+ +

= +


(38)
Nhân

+
vào bên trái phơng trình (36); nhân

vào bên phải (38) rồi trừ
phơng trình thứ hai cho phơng trình thứ nhất, ta đợc:

[ ( ) ]
i i c
t t


+
+ + +


+ = +




(39)
Toán tử

trong dấu ngoặc đơn ở vế phải chỉ tác dụng lên

+
. Biến đổi
các biểu thức trong ngoặc của (39) đợc:

( )
t t t


+ +
+

+ =


( ) ( )div div

+ + + + +
+ = + =



Khi đó phơng trình (39) đợc viết lại:

(
)
i i c div
t


+
+

=

(
)
c div
t


+
+

=


Đặt

+
=
;
j c

+
=
; phơng trình trên viết thành:
0
divj
t

+ =


Phơng trình này có dạng phơng trình đối với mật độ xác suất và mật độ
dòng vẫn gặp.

chính là mật độ xác suất còn
j

chính là mật độ dòng đối với
hạt có hàm sóng

.
Nh vậy cũng nh trong lí thuyết schrodinger, hàm sóng có ý nghĩa xác
suất thông thờng. Từ tính chất tuyến tính của phơng trình Dirac và việc giải
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý

Lý Lý
Lý





20
thích xác suất thông thờng của hàm sóng

nh lí thuyết schrodinger, ta rút ra
kết luận là các luận điểm cơ bản của cơ học lợng tử vẫn còn hiệu lực, cụ thể:
- Đại lợng
2
( )
m
C t
là xác suất đo giá trị riêng của một đại lợng L. Trong
đó
( )
m
C t
là hệ số phân tích của hàm

theo hàm riêng
m

của một toán tử biểu
diễn đại lợng L:

m m
m
c

=


- Giá trị trung bình:


L L dV


+
=


Nh vậy toàn bộ sơ đồ xây dựng môn cơ học lợng tử vẫn còn hiệu lực.
2.3. Nghiệm của phơng trình Dirac đối với hạt tự do
Phơng trình Dirac đối với hạt tự do:
(
)
2

i c p mc
t



= +

(40)
Thay
0
iEt
e


=

vào (40) ta thu đợc phơng trình cho hàm sóng
0

không phụ thuộc thời gian:

(
)
2
0 0

E c p mc

= +

(41)
Ta xét các trạng thái có xung lợng xác định và tìm nghiệm của (41) dới
dạng sóng phẳng:

0
.
i p r
u e

=


(42)
Thay (42) vào (41) ta đợc:
(
)
2

Eu c p mc u

= +

(43)

Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D

K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





21
Ta viết u dới dạng:
1
2
3
4
'
u
u
w
u
u
w
u




= =

;
1
2
u
w
u

=


;
3
4
'
u
w
u

=


(44)
Và thay vào (44) chú ý đến (43) ta có:
2
'

Ew c pw mc w

= +

(45)
2
' '
Ew c pw mc w

=


Để hệ phơng trình tuyến tính có nghiệm không tầm thờng, định thức của
hệ phải bằng 0:

2
2
c
0
c
E mc p
c p E m



=
+


(46)

Tính định thức ta đợc:

2 2 4 2 2
( )
E m c c p

=


Nhờ tính chất của ma trận Pauli, ta có:

2 2
( ) ( )
p p

=

(47)
Thay trở lại biểu thức trên ta đợc hệ thức quen thuộc giữa năng lợng và
xung lợng của hạt:

2 2 2 2 4
E c p m c
= +

Năng lợng của hạt có thể nhận các giá trị cả âm lẫn dơng. Trong cơ học
cổ điển, tất cả các biến số thay đổi liên tục nên hạt chỉ có hoặc năng lợng âm
hoặc năng lợng dơng. Vùng năng lợng có chiều rộng 2mc
2
là bị cấm.

Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





22
Trong cơ học lợng tử tơng đối tính ta thừa nhận cả dấu âm và dơng
của năng lợng. Khi đó ta có thể giải đợc hệ phơng trình đồng nhất (45) với w
hoặc w

là tuỳ ý:
Nếu w là tuỳ ý, ta có:
2
c
'

c
p
w w
E m

=
+

(48)
Nếu w là tuỳ ý:

2
c
'
c
p
w w
E m

=


(49)
Chọn phơng của vectơ xung lợng theo trục z thì các hàm sóng tơng ứng
có dạng:

2
2

c
c
z
z
A
B
cp A
u
E m
cp B
E m




=

+




+


2
2
c
c

z
z
cp D
E m
cp F
v
E m
D
F





=






(50)
Trong đó A, B, D, E là những hằng số bất kì. Các hàm số w và w đợc gọi
là các spinơ còn các hàm sóng 4 thành phần u và v đợc gọi là các BispinơDirac.
Nếu chuyển sang giới hạn phi tơng đối tính, nghĩa là đặt E ~ mc
2
thì từ (48) có:
2
c

'
2 c
p v
w w w
m c

=


Spinơ u<<u thành thử :
0
0
A
B
u



=




Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





23
Với giá trị năng lợng âm:

2
c
' '
c
p v
w w w
m c

=


và
0
0

v
D
F



=




Toán tử
z

có giá trị riêng là
1

, ta dễ dàng tính đợc các hàm riêng w và
w của nó là:
1
0
w

=



0
'
1

w

=



Vậy ta có A=1, B=0, D=0, F=1

z
2
1
0
cp
c
0
u
E m



=


+




z
2

0
cp
c
0
1
v
E m



=







Ta cần nghiên cứu tính chất tính chất đầy đủ của hệ nghiệm vừa nhận
đợc. Nghiệm tổng quát của phơng trình Dirac đối với hạt chuyển động tự do có
thể viết dới dạng chồng chất của các hàm sóng (50) nghĩa là dới dạng tích
phân Fourier:
( , , , ) ( , ) . ( , ) .
i Et i Et
i pr i pr
x y z t u A B e e dp v D F e e dp


= +

Trong đó
x y z
d p dp dp dp
=


Nếu cho hàm sóng ở thời điểm ban đầu t = 0
Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D
K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý

24

( , , ,0) ( ).
i pr
x y z p e d p


=




;
1
2
3
4
( )
( )
( )
( )
( )
p
p
p
p
p

=










thì ta có thể xác định đơn giá các đại lợng
1 2 3 4
, , ,

qua 4 hệ số tuỳ ý
trong u, v.
Nh vậy tập hợp hàm sóng, một hàm tơng ứng với năng lợng dơng,
một hàm ứng với năng lợng âm tạo thành nghiệm tổng quát của phơng trình
Dirac. Nếu bỏ đi nghiệm riêng đối với năng lợng âm và chỉ giữ lại nghiệm
tơng ứng với năng lợng dơng thì hệ hàm tìm đợc sẽ là không đầy đủ và trái
với nguyên lí tổng quát của cơ học lợng tử.
Vậy đối với hạt tự do, ta có:

2 2 2 4
E p c m c
= +

Theo quan điểm cơ học cổ điển năng lợng âm của hạt tự do không có ý
nghĩa vật lý. Trong cơ học lợng tử, hai lớp trang thái này không còn bị phân
chia bởi hàng rào thế không truyền qua đợc. Các phép chuyển có bớc nhảy từ
trạng thái có năng lợng dơng sang trạng thái có năng lợng âm là khả dĩ.
2.4. Các trạng thái với năng lợng âm. Lý thuyết lỗ Dirac
Khi giải bài toán về chuyển động của một hạt tự do, chúng ta nhận thấy
rằng phơng trình Dirac chấp nhận các nghiệm tơng ứng với các giá trị năng
lợng dơng và năng lợng âm. Thực ra, các nghiệm với năng lợng âm không
phải là một đặc trng riêng của lí thuyết Dirac - Chúng xuất hiện trong mọi lý
thuyết tơng đối tính bất kì, kể cả lí thuyết tơng đối tính cổ điển. Cụ thể, trong
cơ học tơng đối tính, năng lợng E của 1 hạt tự do đợc xác định bằng hệ thức:

2 2 2 2 4
E p c m c
= +

Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tốt nghiệp
Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu H Trần Thị Thu H
Trần Thị Thu Huyền
uyền uyền
uyền -

- K29D
K29D K29D

K29D -

- Lý
Lý Lý
Lý





25
nhận 2 nghiệm bình đẳng với nhau:
2 2 2 4
E p c m c
= +

Hai miền giá trị năng lợng âm và dơng
ngăn cách nhau bằng một khoảng
2
2
m C

(h1). Các trạng thái tơng ứng với năng lợng
âm, mới thoạt nhìn có vẻ không hiện thực vì
miền năng lợng âm trải tới vô cùng. Vì thế
không thể tồn tại trạng thái năng lợng thấp
nhất. Điều đó có nghĩa là không một trạng
thái bình thờng nào có thể ổn định, vì bao

hình 1
giờ cũng có thể có sự dời chuyển tự phát sang một trạng thái năng lợng âm thấp
hơn và sinh một công hữu ích. Sự dời chuyển nh vậy có thể đợc thực hiện liên
tục vì năng lợng trong trạng thái sau không bị hạn chế. Nh vậy hạt tự do với
năng lợng âm có thể đợc dùng làm nguồn sinh công vô cùng lớn. Ngoài ra hạt
có năng lợng âm tất phải có khối lợng âm ( vì
2
E m C
= ). Một hạt nh thế sẽ
có những tính chất kì lạ, chẳng hạn nó sẽ tăng tần số theo hớng ngợc với
hớng tác dụng của lực.
Trong vật lý cổ điển, khó khăn khi phải giải thích năng lợng âm của hạt
tự do không đặt ra. Bởi vì trong vật lý cổ điển, năng lợng của hạt chỉ có thể biến
thiên liên tục, do đó các chuyển dời từ các trạng thái năng lợng dơng sang các
trạng thái năng lợng âm không thể xảy ra, vì khi đó năng lợng phải biến thiên
bằng bớc nhảy có độ lớn
2
2
E m C
. Do đó trạng thái năng lợng âm bị loại
trừ ngay từ đầu.
Nhng xét trong lý thuyết lợng tử thì các trạng thái năng lợng âm
xét về mặt cơ học không thể bị loại trừ vì ở đây năng lợng có thể biến thiên cả
liên tục và gián đoạn. Xác suất chuyển dời giữa các mức năng lợng
2
m C
+
và
2
m C

là khác không. Nói cách khác, cả hai lớp trạng thái không còn bị một