Phương trình vi phân - đại số và phương trình sai phân ẩn = Differential-Algebraic Equations and Implivit Difference Equations

N Ộ I D U N G
I. Lời nói đẩu
II. Tóm tắt kết quả nghiên cứu của đề tài
III. Tài liệu tham khảo
IV. Báo cáo kết quả thực hiện đề tài NCKH bằng tiếng
Việt
V. Báo cáo kết quả thực hiện đề íàỉ NCKH bằng tiếng
Anh
VI. Tóm tắt các công trình NCKH liên quan đến đế tài
VII. Phụ lục: Các bài báo liên quan đến đề tài
VIII. Tóm tắt luận án tiến sĩ
IX. Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu KH-CN
tr. 1-2
tr. 3-14
tr. 15
tr. 16-18
tr. 19-21
tr. 22-27
tr. 28-104
tr. 105-109
tr. 110-111
Phẩn I
Phương trình vi phân - đại số (PTVP - ĐS) và phương trình sai phân ẩn (PTSP ẩn)
là những vấn đề thời sự của Toán học ứng dụng, thu hút được sự quan lâm ciia nhiều
nhà khoa học (xem [1. 10, 14] và các lài liệu liên quan). Phirtttig I rì nil vi phím (lại
số xuất hiện liong nhiều vấn dề thực tế, từ những hài toán diều khiên hê dộng lực
có làng hu Ọc, mộl số hài toán cùa kỹ ihuậl diện và công nghệ lu KÍ line (lén |ilm oiiịỉ
pháp IIứa lời tạc giài phương trình dao hàm liêng, phương 1 lình ill 11 gọn liong hài
toán nhiễu kì dị. v.v
Tính không chính của các hài toán Cauchy và hài toán hiên dối với PrVP-ĐS

như sự không tổn lại hoặc không duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc không liên lục của
nghiệm vào các dữ liệu v.v làm cho việc nghiên cứu dịnh tính và giái gần đúng
PTVP-ĐS trở nên khó kliãn hơn nhưng cũng hấp dãn các nhà khoa hoc hơn.
Đến nay dã có hàng ngàn cóng (rình nghiên cứu về PTVP-OS. lộp trung vào một
số vấn (lổ sau:
1. XAy dựng kliiíi niCm chí sô' của PTVP-ĐS. Chỉ sô' của !yrV IM )S (lo mức
độ iTÍn cùa phương trình cíĩng như sự nhạy cảm của nghiệm Ihco Cík' (lữ liệ-ti han drill.
Nhiều khái niệm chỉ số (lã dược thiết lẠp. như chỉ số loàn cục (global index), chí sò
kha qui (Im cla lìility index), chỉ số nhiều (pertubalion index), v.v M ối lien liệ lìiứa
các kliái niỌm chỉ sô cũng nhu lính giải ikrực cùa hài tcnín Caucliv VÌI lìĩii toiíii biên
clio PTVP-ĐS trong nhiều trường hợp khá lổng quái dã dược nghiên cứu.
2. Sir (lụng công cụ hình học nhiều nhà khoa học đã coi ITV P-Đ S Iilur IT V I’
(lên (la tạp và đã thu dược một số kết quả hước (lầu về dántỉ (liêu nghic-in cùa
ITVP-DS
3. Phương pliáp tu vốn tính lioíí và tựa tuyến tính hná lổng quái cũng (liKíc
mội sỏ nhà loán học khai lliác dê nghiên cứu hài loán hiên (lói với n vp -ix s phi
[uyên.
4. M ộl sô phương pháp sô quen biết đỏi với lyr v p thường tlươc MỊihicn cứu áp
dụng clio PTVP-ĐS, như các phương pháp luyến tính một hước và ti;i bước (cliíi yêu
là phương pháp rin) dể giài hài loán CaucliỴ. phương pháp brill và hắn liói. phương
pháp sai phân hữu hạn, phương pháp colloi ation giải hài toán hiên cho ITVP-ĐS.
Phương trình sai phân ẩn xuâì hiện Irong nhiều bài loán lluix lê. nhu 111 ó hình kinh
tố đa thành pliíin cua Leontiev hay mô hình Leslie vổ sự lãng I rường thì 11 sô. các hài
toán dicu khiên (ối ưu rời rạc v.v Mặt khác nhiều PTSP fill là lie (|iiá cua vice lò i
rục lioá ITV M X S .
Lý tliuyêt ITS P rin tuyến tính với hệ số háng dã clirợc xây ilu iiị! kliii hoàn c 1111111
và lìm được nhiều ứng dụng trong lý thuyết diều khiển lõi ưu mi lac. Tuy nliiOn có
rAt ÍI kêì t|u;i đã bicl về tr rs p ẩn luyến lính không dừng \à lr I SP ân phi HiyOn (xem
[II).
Tù năm IW 7 dẽii nay seniiiui các phương pháp giải phương liìn h vi p11 ãn ịiõm

CỈS Phạm Kỳ Anh. (ÌS Nguyền ỉlĩrii Còn” . 1’tìS Nguyễn llữu Dư. I S vn Moinifi I .inh
c ù n g c á c n g h iê n c ứ u s in h và họ c v ic n c ao h ọc. dã têip ĩ r u n g m i l iii’11 c ứ u I11ÚI sú ván
2
đề vể PTVP-ĐS và PTSP ẩn. Những kết quả chính mà các thành viên semina dã thu
dược IÌI (xem [2-5J, [12], [16]):
1. Thiết lẠp dược diều kiện giíti (Urợc và giải (lirợc tltiv nliAt nghiện) t ho hài
toán hiên nhiều điểm dối với ITV P-Đ S chi' số ỉ trong các Irirờiig hơp chính qui VÌI
không chính qui.
2. Sir dụng các phương pháp bấn bội, lẠp bội, chính lạp tie giúi hài loiín hiên
cho H VP-ĐS tựa tuyến tính.
3. Thiết lập công thức hán kính ổn dịnh cho PTVP-ĐS tuyên tính hệ sỏ hàng.
4. Đề xuâl khái niệm chỉ số cho PTSP ẩn luyến tính, không (lùníí. Nghiên
cứu lính giỉii dirựơc và giái dược tluy nhất của bài loán hicn Iihicu (liếm cho IT S I’
ẩn tuyến tính chí số 1.
Trong khuôn khổ tie lài này, Inrớc hết chứng tôi nghiên cứu (láiiịỉ (liộii liỌm cẠ11
và hán kính oil định của hệ nhiễu kì dị của PTVP-t),S. Chúng lôi tin chứng ló riiniỉ
hán kính ổn (lịnh của liệ nhiễu kì dị hội lụ đến minimum tua hiín kính ổn định cua
họ lim gọn các "hiến chậm" và hệ lớp hiên "nluinh" khi lliiim sò
( •
0 Ticp ilico,
môi liên hệ giữa n VP-ĐS và PTSPiiii, 111:ậII (lược: lừ việc lời lịic hoá H V P-Đ S liiMig
sơ tlổ Euler dã diuíc lliic l lập. Sụ hội lụ cua nghiệm cùa hài loàn Caucliv VÌ1 hài toán
biên hai diem cho lr rsp All tới Ii” hiệm cũa các hài toán lươn Lĩ ứng cho ITV P-Đ S khi
hước lưới drill clí'11 không (lã (lược cliiliifi minh. Kèì <111.'i liny kliiMií' (lịnh lính (liìiiy
đắn cún hiió iii’ Million cứu về phương Irìnli Síú phân ẩn iln các tliìmli \ it’ll dí’ tíú tiê11
liimli. l ính J'.iiii (luơi/ và giíii < Iin < lu \ nhỉil (Hii 1'I SI’ ;m lu.i liiy i’ 11 linh OÌIIỊ’ (lu<a
khán s;íl. Tiling MỈ1II1 2()<M, nlióm nghi II úm CII'I tic tỉii (lii Ihư (liroi moi MI lú'1
mới. Nghiên CIÍ1I líiili ổn dinh và sụ hoi lụ cua plién lặp ấn. < 11 lin*1 lói <1 1 Iliiĩ'1 lỉìp
dược m õi licn hệ giữa sự hội lụ ciịa phuniig và |]ội (LI toàn cục n ia ph rp I;1|1 ã 11 M ót
dicu kiện đu dế phép lặp ẩn liội lụ (lịa phương cũng (liiov chứng mini), lii'p llicc).

chúng lỏ i dii m ỏ KHU’ kliiíi niệm chi so cho phUdiitỉ liìn li sai |'h;m ail I>hị liivĩn \à (!;ĩ
lliiêl l;)p tínli giiii (luuv duy nliiìl cua bai luiín giá trị han dấu <. tn 1 I’ 1SI’ an phi linen
chí sô ỉ. Mỏl ihànli vjen khác cua cỉc lài. TS Vĩi Iloìmtỉ Linh ( n 11 tỉ (líĩ (lc xiúit kliííi
11 iỌm c;ìp liên hợp cho ÌTVIM XS và (l,ì fhirnji (ó nmj.! kh;íi niOm mói nãy phù hop
với khái niệm cặp Mên hơp cho PTVP Ihưòníi. Đã cluing tó i;mu. c :íc phirniig trình vi
phàn lliừa kò \'à phuơiiịi (lình vi phàn CÔI lõi cùa một cặp lien li(í|i hai phirctno trình
vi phím đại sô là liên hợp llieo nghía lliông linking.
TÓI11 lại tie lìii QT -03-02 dã cho mội bức Ininli hoàn llúcn hơn vẽ phiro'Mg (m ill
vị pliíìn dại sỏ VÌI irrsp ẩn cũng nlur mối liên hệ giữa clúniíỉ.
Trong quá Irinh Ihực hiện dể tài này. chúng tói dã nhân dược sự dộng viên cổ vũ
của các bộ phạn cluíc năng. Nhân dịp Iiàv. cluing tôi xin chím ihànli cám (ill Klioíi
Toìím - Cơ - Till học. Phòng Khoa học - Công nghệ, 'I rường Đ IIK 1 IIN . Bail KIkm
học - Cõng nựliệ, DIIỌ CÌIIN (lã
1
.
1(1
nmi tlicu kiệ
‘11
lliuận lơi (lr (lr
1,11
í.) I (H-02 ílnoc
lioìm lliìinh (liìiiị1. hạn
I là nôi, Iigíiv 12 lining 12 niim 2004
Clm liì di tìii ỤT-íM-02
c.s TSK1I Phạiìi Ky Anh.
3
Phẩn II
N ội dung chính
Trong phần này chúng lôi trình bày các kết quả chính mà đc lài QT-03-02 dã thu
dược. Chứng minh chi tiết các kết quà này xin xem các hài báo (rong phán phụ lục.

§1 Bán kính ổn định cùa hệ nhiễu kì dị
Khoáng hơn một thập kí trớ lại (.lây, dã có nhiều công trình ntỉliiC’ 11 ám lính ổn
dịnh vững cíia các hệ động lực lời rạc và liên tục. Khái niệm bán kính ổn (lịnh (1ế
xuâì bới llenrichsen và Pritchard cho phương trình vi pliân luyến lính hệ số hãng clíì
được mớ rộng cho mộl sô' lớp phương trình vi, sai phân Ihường và n vP-ĐS cũng
Iilur PTSP ẩn (xem [11-13]).
Xét hệ nhiễu kì dị suy rộng:
Í^iiỊ/i ~'4ní/M
- A\2V2
I I
ự lĩ n y
'2

^ 2 1 Wi +
A
22
Ị
/2
Irong dó
PJị, € A jj
€ K " '* ',J, 7’,
I
1 ,2 ,K — R hoặc 1’ CÒM
( -■
(I là lliiiin
số bé. Ta luôn già thiết ma trận
E \i
và
A
22 không suy hiến còn

h
\>2 LÓ ihế suy hiún.
Hệ (1.1) có lliể coi như trường hợp tổng quát của bài toán nhiễu kì (lị. vì khi
không suy biến, ta có hệ nhiễu kì dị thông thường:
Ị
!/[ A
11.V1 -f
y\nV2
f V'i
—
Ả n y\ + Ay>}-ịì
với
Ầ,J
- /í’,, /, /
ỉ , â2.
1 lệ (1.1) có thể viết dưới dạng khối:
E ,ỉ/ — A y
1.2
(E ll I) \ A _ (^1 1 ^ l 'A - _ f !l\ \
,,on* 1,0
E’ ■■ =
( I)
eÈ-iì)
’ ~
[ 2 Z )
; à ■" -
Q
■
Trước hếl la nliăc lại mội số khái niệm. Cho hai ma Irận hang /1
< \K."

", Irniiịỉ
(ló m;i liịin có lilt* suy hiên. T il nói cliùin nia Irím .1) III rliíníi qtii IKII lổn liii
A
F
c sao cho (k-M A /1) / 0. Khi (ló tồn tụi t;k ma IrẠn khmụ’ suy Him 11 \ a
7' sao cho
E -
II
(í; « ) 7' ' 'à '
Irong (lú /,, \ à/,, là các ma Irận dơn vị kích thước /; '
n
v;i <11
I ) ■ ỉ I! rì
lương ứng còn /V IÌI mội nia Irận luỹ linii Cííp /,• lúc là
V/
/.• V' r 1 \;i V' C).
□ li sỏ cùa cạp ma 1 lận {/? ,/1 } dược dịnli ngliìít h;u>g hâc luv litili < m Y Iliv lii
ìikI} /’■. 1*1)0 cùa Irùni ma Irận { /-’,/1 } là lộp hợp
4
ơ (E ,A )
= {A 6 c : đ el(A E - /1) 0}
Ta nói hệ phương Irình
Fạị' =- € [:r0,o o ) l.:{
ổn dịnh liện cân nếu với mọi ỊỊ/o £ R '\ lổn tụi cặp hai số dương (r ,n ) sao cho nghiệm
của bài loán giá (rị ban dầu
Ị E y ' - Áy, ĩ (. ' i
n. -X. I
|H y ( r o ) ~ y o ) = 0
tổn tại duy nhất và có ước lượng ||ỉ/(:í')lỉ ^ H|Jri?/()|k
-,,í:r~'T" \ :r ^

'n ^ y .
ỉ ’

là một ma trận chiêu dược chọn 111Ộ1 cách thích hợp. Ví dll lie’ll i n t l .1} I,
ta có Ihê lấy
r ỉ - Q,
trong dó
(.}
là phép chiếu lêu Kcr/'.’. song song với
s - {z £:
lfí" :
Az
<- Im/v’ }. Nlnr dã biết hệ (1.3) ổn (lịnh Item Ciìn khi vì\ chi khi
f l( / i, / l) c C .
Giá sử hệ (1.3) (111 clịnli liêm cận. Ta xét hệ có nhiễu cấu Irúc
Ẻ V - (/1 + Ổ A C ) y , 1.1
tiong đó
n
€ 1K” X)’ và
c a
K '/x " là các ma hân dã cho, A p IK/'"'' 1 à nhiều hâl (lịnh
còn / i A
( '
là nhiều cấu tl úc (nhiều mội số phàn tử ciui /1).
Đặt M r { A r K '" r' : chùm ma trân {/V ,/4 !
D
A ( '} không ổn (lịnh hoặc khõiiịi
chính (ỊIIĨ }. Khi ció bán kính hội lụ của hệ (1.3) là
7’k — inf'll/\II : A
(=

lijc.
Bán kính ổn clịnh pluíc cùa hệ (1.3) xác tlịnli hải công 111 ức san:
r r — {.‘'Up,e,R||ơ (.‘ì)l|} 1,
trong đó
C (s ) C {s E
—
A)~r lì
là hàm chuyền của (1.3).
Có lliể clning minh đưực rằng, nếu in d{E ,
A }
< 1 tliì > 0
Từ nay vể sau, ta luôn giả lliict hệ (1.1) có các tính chủt sau:
i.
E\
I ,
A
22 không suy hiên
ii. in tl{/■-’.>.>.
A j>\
—■ /. < I
iii. rr(
h T>, A '
2 2 ),
rr{ I-
11,
A
11 —
A ị'
2
ẢJ

-2
A-Ji) c.
c
Định lý 1.1
'lon tại f >
0
sctn cli() hệ (I I) on (lịnh tiậ iì t ận với mọi r '
|ỉ), í Ị.
Chứng minh ( I . I ) qui về việc chứng ló
n( E ,. A)
khi
r
tlú nhó. Oi'in với
ri
I
< \ r
>)
và
o(E\\,A\\ - AịỉA
^-2
A'
2
ì).
'Ill XÓI các ma tIỘ11 chuyền cỉia (I I) cũng Iilnr cua lie các hién clinm và hê các
biên Iihanli:
( /,( /) -
ĩ),Ụ ) \ r , ( n « p ; u - .\,(D) 'Í ỉ .ín
Cr's(t)
-
!)

I
C ị ir : v
- ,ĩ) 1
n ụ )
và
5
GVƠ) -
('Á lK n
-
Iro n g d ó À - /1|1 h j4ia(íf£2ạL- v4M ) '/Ỉ2 i;Ổ , = B| 4
A v iự tE -u - A-a)
Cị
(
C -i{tfE -n_- A -n )"xM \\D , = ('-ỉỤcE-
22 - / W ’ tfa- Các ma trộn /ì. /).(".
I>
nhận được từ
À f,B f l Cf, D f
tương ứng bằng cách cho
( —
0.
Định lý 1.2.
Bán kính ôn đinh n ia hệ ( ỉ .ỉ ) klii f đủ bé dược cho hới ( õiif> lluh
r € (
r) {sup(p,R||ơ ,(0 ||}
K lii ( —
0
bán kính (hì (lịnh did lie
//í/í
ÍỊỌ/I là

r s -
{sup,c,:E|Ị(7.s'(f)||}~\
Cuối CÍIIIự, bán kính ổn (tịnh cùa liệ lớp hiến nhanh fFJti!/') \>ỉ'h x‘ì< ‘tị1'!'
hài
r F -
{ sup,f-,rB II r //. (/) II}
KOI I|tui chính của mục íịl (lưực phái biêu như sau:
Định lý 1.3. lim, I T/í//í{ 7's-, 7 /.}
Định lý 1.3 mớ rộng một kết quả luơng ứng cùa V.Dragan. khi
K
II
K r, I

Hơn nữa chúng minh định lý 1.3 lại dơn giản hơn râl nliiều chứng minh cùa cùa
V.Diagíin, Kỹ tlmậl sử dụng trong tilling minh định lý 1.3 có 11lổ áp (lụiiị! cho biú
toán tổng quát hơn:
{!■:
I
(,.)!/' AỊ/,
Irong dó
Lj ,
/■’,
A
là các ma trận dã cho và
E
có lliê suy liiõn.
§2. M ỏi liên hệ giữa PTVP-ĐS và PTSP ẩn.
Trước hêì ta nhắc lại khái niệm chí sô' cua PTVP-ĐS. Theo Cìiiepcnlm” v;i M ãr/.
ITVP-ĐS lu yen tính không dừng
A ịlỊ r'

i
lìd ỵ .r
./(/;.
t
e ./ ị/„. 7’|, 2.1
trong đó
A, ìì
f - f R T"X"') và
(Ị
G ("(./, K ” ’) đã cho. có chí so ] néu:
i. Tồn lại phcp chiếu
Q
e
c l
(./, I R ™ ) lên Ker
A {t),
lức là
Q -
í/) -
Q (ỉ).
lin Ợ Í/) -
K e i-4 (/), V/ f ./.
ii. M il l lã 11
Cí(f) A ịi) [ ìì(l)(J (t)
không suy hiên V/ •- ./
Tiorni I l(í| . kluíi niệm in s i’ rin clií sô I (lã clirợc (lề xuũt. Tính (luoc và liiiii
(lược duy Iihíìl cú;i hài loán "iá liị him drill \'ÌI bìu loiín Hiên nliKU (licm cho IM.SI’ i'm
chí sỏ I (lã đirơc kháo sál.
6
Nhằm chứng tỏ khái niệm chỉ số của PTSP ẩn dưa ra là liựp lý, Irong mục này

chúng tôi sẽ chứng mình rằng nếu rời rạc PTVP-ĐS chỉ số 1 (2.1) bàng phương pháp
Euler hiện, ta sẽ thu được PTSP ẩn chỉ số I. Hơn nữa, nghiệm cùa hỉii Inán Cauchy
và bài toán biên nhiều điểm cúa PTSP rill này sẽ hội tụ lới nghiệm cua các bài loán
Cauchy VÌI hài toán hicn (Ương ứng cho ITV P-Đ S.
Giả sứ PTVP-ĐS (2.1) có chí số I. Khi dó rankv4(/) =
r,
( I
V III).
Xci
kliiii liiểti kì tlị
A (l) 11(1
)5J(/)
V 1 ( I
), Mong tlú giá ihiél c;ic m;i liiìn liuv giai)
I!
e
('(./,V
e r l ( ./,R mxm) còn
r,(t.)
e là ma liiìn ilừímg
chéo với các giá trị kì dị
ơịự.)
^

^ (7, (7) > 0 nằm trên dường chéo cliínli. Dặt
Q (t) = V (t) Q * V 1 ịt.)
trong dó
Q *
diag(0,r) thì
Q (t)

là phép chiêu ươn
lên K e r/l(/). Mơn nữa ma trận
G (1,t ) : A ịt)
khi
T
> 0 (111 bé. kliúiig
suy biến và ||G’ '( / ,t ) || ^
c/ t .
Clio N là một số nguyên dương. ĐẠI r
(T - 1ị))/N
là bước lưới t ua phim hoiich
dổu ./ thìmli N cloạn con |/„, /„ I I], II (), Ã7 - 1, lion g dó I /(I I III. Kí hiệu .1,,
A Ụ n );U „ ọ ụ „ y ,v „ r = vụ„)-u„
*'■(/„)
[n i),K)
và V. 1 - I V
Xct lược dồ Euler hiện giải PTVP-ĐS (2.1)
A„ =
•r,, + -1 ~ - - I
iì„.v.„ -
f/„ (7* = Ĩ Ũ T l ) 2.2
T
liay
A „ t „ I I - ( A „ - t B „ ) x u I TtỊ„ (7
1
- 0 , /V ì) .
Định [ý san cliìy chứng ló sự lương lliíc li giữa các khái niệm chí số I clio rrV ÍM )S
và PTS1> án.
Định lý 2.1.
Phương pháp Enlei hiện áp chilly cho Pỉ \ lJ-ỉ)S liiyru lin li ( lu ,\ò

/
dẫn tic'll PTSP an luyến tính chi sò ị
Chứng minh chilli tv 2.1 qui vé kiểm Ira lính khong SLIV hiùii cua mil Irạn
( 'n il )
:
A „
-I- (Ạ , -
T ÌÌ„)V „ ịQ
*
V 'Ị
với
r >
0 dù bé.
Định lý 2.2.
J}hn'(fin> pháp Euier hiện úp (lụitíỊ < ltt> hài tpán f>icĩ trị htui ilàn liòi với

m r-Đ S tuyên lính chỉ số ì là hội III.
Tiếp theo la quan tàm đến bài loán biên hai (liếm cho ỉy[ V I’-ĐS (2.1). tức là lìm
nghiệm của IM VP-ĐS (2.1) tlioả mãn dieII kicii hiõii
I
C r >■{ !')
- ).
'ĩ~■'
Im n g d ó •) f \R "',( \u C t € lit các v e c tơ và m a lậ m ch o m in e .
] lộ lờ i rac luơn g ỨHị> khi áp tỉỊ111 Ịi cóng thức lũ ile! h ten IÌI
A „.I „ , 1 - ( A „ ■- T Ỉ Ỉ u ).r„ I T<
1
„ [n - (),
N
i )

2
. I
7
Như đã biết, hài toán biên hai diêm (2.1), (2.3) giải được duy níúU với mọi <1
^

C iJ jR ’") và 7 6 Im (C u,C y) nếu và chỉ nếu ma trận bắn
D ■-
Í.'()A'(/(|) I
(
7 ■ A’ (7')
thoả mãn các tính chất
Ker£> = Kei\4 (/.()); IiruD = Im (f'
0
,
C'r) 2(y
liong dó
X (l)
là ma HỘI! nghiệm cơ him của hệ
A{t)X'
-I
11(1.)X -
0 ;
P ( t0) ( X ( t0) ~ ỉ) 0.
Trong klii tló llieo [4], bài toán rời IỊIC (2.4). (2.5) giải dược tkiV nliAI khi và chi khi
dim (K er(/)(T ),
C’i
Ọ/v- I )) — 1 1 1
, 2.7
trong dó

D ( t ) - C nX n{T )
I
(
V-Vyv(^), Ã'„(r) - A .,,À 'w(r) :
ỉ \
,/1/':V',(r}
còn
M Ỉ," \(t )
1 i;:=ỘC7;; •,
k( r ) lỉ „
, , ( r )
(n
- Ũ V Ị ; / I„ ( r ) ,t„
ĩ /ỉ,,;
/],. i(t) : - ỉ
\'„ 1
v j Q „C n
'( r )/ ? „ ( r ) và
C „ ( t ) A „
I
(A „ rli„)\'n
Có nhiều ví dụ chứng tỏ diếu kiện (2.fi) không suy ra điểu kiện (2.7), nói cách khííc
bài loán biêu hai clicm cho PTVP-ĐS có thể giải dược cliiv nliíil nhmiịi hài loán lòi
rạc lương ứng lại vỏ nghiệm hoặc võ số nghiệm. Để khắc phục lình Irạiiịi I1ÌIV, la XÓI
bài toán mớ rộng gồm các phương tlình (2.4), (2.5) và hệ thức
/l/v r /v II ■"
ỉ 3w{t ):i
/V I Í//V.
'2.H
Ta nói bài loán hiên 111Ở rộng (2.41. (2,5). (2.8) giải cliiực duy nhài llicn

X
! I thànli
phíỉii drill, nêu với mọi dãy vcclơ {r/„};T 0 Vil va: lơ -) Im (r <!,('/ ) hái In;in Iiliy >
nghiệm i Hơn nữa
N
I 1 thành pliiin drill là xác ilịn li duy I llic it.
nghĩa là nếu
{ ■ „ ,, } » "
là nghiệm khác của (2.4), (2.5), (2.8) ihì :/■„ -
Ị/„ (n
(), Ã').
Đãt
D(t) :
f ’[,A '„(r) I
C r X N ( j
), trong dó X (,(r) :r= / \ j; ,Y „(r) I/U „ ,
(n - l,N) CÒM M„ - p„ , - TỈ\,Ỡ„ ' B, (n - 0, N -1). / ’„ : / \ , ợ <
Tương lự như hài toán biên hai điểm cho Pỉ VP-ĐS, ta có
Định lý 2.3.
Bài toán mờ rộ/ìíỊ (2.4), (2.5), ị 2.8) giải (lược duy nhất ihco
/V I 1
llitìnlt p h ầ n (hiu k h i rờ (lu kh i m a H ậ n h ắ n ỉ ) ( t ) iho ti m ã n lá í t h r u kiện sau
K e i\D (r) = Ker/l(7o); lm /J (r ) V)
Kêì C|ná chính cùa mục này cỏ thê phát hiếu như sau.
Định lý 2.4. (ỉiá .sii h à i to á n bir n hai d i e m (2.1 ì, (2 .3 ) ỉiiìii tliíực (luv Iilhiì VòI m o i
vế phải
r/ 6 C'(./, R m)
vtì -)
F lm(C 0 ,
(

V)
Khi
ii Với r -
0
(hí nhò, bài mán Itìó' rộn.i> (2 .4 ì. (2.1S) íịìtu ihíCi <ln\ nlicit llt< ('
A; I I
thành /i/ith i thin

ii/ 1’hươiiịị pháp I'ltlc i' liii’ii liộ i lụ, tức là
9
Un
:= a J in G - 'l l +
0n\\VnV ^ Q „ G - l \\
< 1, :ỉ (i
thì bài toán Cauchy (.ỉ.Iị, (3.3) tỊÍải dược duy nhát.
Kết luận của định lý 3.1 còn đúng, nếu (hay vì điều kiện (3.ÍĨ) ta ỊỊĨii Ihièl
In 1 •— ■(</,:/■) c V.T,;/ e R "',và
ơy
n m x{n ri||PnG - l ||,/?„||K,V;;i+ ,Ọ nG '-, ||} < u » 2 0 ).
Trong ihực lế, biết /().T0 / ’ I:/•(), la di tìm 11,1
— l\)X ị
và ợ ]./■„. Nói chung,
biốl
II.,,
ị , ta sỗ lìm
/>„
- VÌ1 7/„.| I - II- Nhu vậy liẽn mỏi
bước, la mắc licii loại sai số: sai số các dữ liệu (do
u„
línti clirực [!ần (lúng

ớ
Iniớc
Irước) và sai sỏ lính loán khi lìm
v„
VÌI Í/,M |. Định lý sau d;ìy chim h;io (!c (Illicit Idán
xấp xí cho la kết quá dáng tin cây.
Định lý 3.2.
(lid sử PTSP (ill (3.2) có chỉ sỏ
/,
CÒIÌ hàm sò liitiíi lìiiĩii (ỉicn kiậ ì
(3.4),(3.5). Hơn nữa, í>iả sử các diêu kiện sau được Iìi>liiệm dim Ị’
i/M a trận J
- l ’„ v ^ .| ợ „(7 „ 1/j„
bị chận dền, tức là
l|/ -
V „V Ịv iQ „ G - 'ĩì n
II <
c
iiỉ Chiidiì (lia ma trận
1
Ỉ3„ bị chặn tiền h(ỉi liằnạ \ÍI n liii lum I ,
II
I
»(',) 1
ftn
II ^ c5[) < 1
iii/ Các liệ sô'
fíT1,/?„
đủ nhó Síio clio
-n ị,\\v „v ;Ị'+ iQ „G -x\ \ ^ u j<

I,
(1 —
lơ)
1I I I I (bin'll 'I
C ịỉ„)
^ í | < 1 — A().
\'ủ
(1
—Lư)
1II
\ V'h
I
Q1,Cn
1 ||(rV>u + OV)
^ ( \ ■
Khi (tó cho lì trớr sai sô ( >
0,
la có llìê thự< lìicn một số hữu liợn cóc hunt

l ậ p đ ê tì m {7 „ } ( ? í 5? 0 ) s a o c h o ||J „ — .r„II < f(i I > 0 ) , imiìf> (ló } i n >- 0 )
là HỊỊliicm (IÚIH> (líd hài toá n C ciik Iiỵ (3.1), (3.3).
Rây giờ la chuyển sang trường hợp lổng quát hơn khi phần chính tuyến lính (3.2)
ỉà lựa chi sò' I. Sứ (lụng định lý điểm bấl clộna Brouwer, chúng la sẽ lliiêl lập lính
giíii dIIơc ciìii hìii loíín CíUicliy (3.1), (3.3).
Định lý 3.3. ( ì ni .\ừ plni'o'Ufi II ình (3 .2) lí) tự a (lu ,\ò I. Ill'll mill v n i Ml' ì „ , I
r „ [n >
0).
I'ic p theo, lià n t SÔ
/,)(//,-'■)
th ori HKĨH ( /it'll h 'O i ( i ll \ () th r u k ir n

hhn> I Hit'mil
II/„ÍÍ,C )I| < I M c i r I '
10
trtìHỊịdó a „, bn,
(■„,
ưn, là các hằHiị sô'không ủm và, ()„ : Iim .rịi
',,, /(,,} V 1.
T ro ng trư ờ ng hợ p, fl„ - ỉ la ỊỊÍCỈ ìh iế t thêm rằ n iỊ ịn „
I 'II ■ I.
K h i (lõ b à i
toán Cauchy (3.1), (J.J) có nghiệm.
§4. Về sự hội tụ và ổn định của phép lặp ẩn
Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quá về sự hội lụ loàn cục cũa các
lỊiiá Irình lặp ẩn
X-ỊỊ ỉ
( ./ TỊ ,
X /I
I )
y
ỉ . ]
tới tập nghiêm cùa phương trình
X — T(:r, r).
1.2
Xél phương trình toán tử (4.2), trong đó
T : X
X
X
—>
X
là toán lử không nliíil lliiêl

luyến tính và
{X ,d )
là không gian metric.
Định nghĩa 4 .1. D ãy {:/■„}, n ^ {) i>ọi là i/nỹ dạo chấp Iihận (ỈIÍỢC cúa (-4 !) Midi phdl
lử a
G
X liến
:í'n
(V và thoa’ mãn pillion ạ trình (4.1) với mọi II . l ập í lít (Ịttỹ
dạo nhu' vậy (tược kỷ hiện là
./(n ).
Giã sử với mồi c €
X
cố định, lẠp các nghiệm của phương (rình
r
'/'(;/■, í,). ký
hiệu là ICI, khác rỗng và giới nội. Tệp các Iigliiệm của plurơtig (lình (4.2) cũng giá
thiết là khác lỏng và được ký hiệu là
F {T ).
Miển hội lụ cùa quá Irìnli lặp (4.1) (lược
xác định như sau:
C {T )
{n t
X
: 3{ í ,,} e
J { (\) ji( ịx „ \, F {T )} ->
0, as
II
->
trong đó

ị1(A, lĩ)
supr,e/lr/(a,
D).
với các tập giới nội .4,
n c X .
Định nghĩa 4.2.
Quá lì ình lập (4,1) Itội lụ toàn (lie, liến c ự r ) X. Quá trình này

l() h ộ i III <Jịa p hn 'o iii’ . lic it 3c
> 0 :
F, -
{.r E
X
:
d { : r , F { T ) ) ■- <
Ị c
( '{ '! ) .
Định nghĩa 4.3.
Qttá H ình (4.1) là ôn (linh ilôì vói xâp .xi han <l(hi
\
nrit
Vf > 0
3Ỗ
=
ỗ{f,:!•")
> 0 : y.r €
V {.r„} G ./(.7°), V{//„} e ./(./■) /ỉ(Ị:r„Ị; Ị.VmI) < f: V/ỉ. 1.
Định nghĩa 4.4.
Quá liỉiìlì (4.ì) là lựa ôìì (lịììli dôi với xãp xỉ han (ÌUIÍ
./■"

(-
A
licit
vv - 0 -Ifl í ( f, .r (l) > 0 : v.r
c- n (.r'\,ỉ),
V ị!/,,}
e ./(.<■), VAr > 0 3
/I
^
//((,
{;/■„}, {.//„}) ặ
N - >
/í(|.r„|. |//„| >
<
Ọiìíi (rìnli (2.1) là 011 clịnli (tựa ổn (tịnh) nếu I1Ó ổn dịnli (lựa ổn định) (loi vói moi
xílp xí han ctíìn rn V.
Định lý 4.1. (!i(i sử quá nìỉih (2 .1) là ôn (tinh irong không gian m chtt hen ihoiìịi
(A' (!) ìioậi lự<i òn tlịnli Iroiiíỉ klìônx f>i<m metric lien ihôiì'i> (Iirứnx ị.x.il). Kill (ló
phép lặp (ill (2.1) lìội III loàn cục khi và chi khi nó hội III (lid phtinux

Định lý 4 .2. ( 'ho toán 111 T : X X X -4 ) . Irmiạ (ló X và } li) (ái klif'nii’ iỊÌtm
Iỉơikh Ii , U kÍ vi licit IIK tlico biên lliứ Itlnĩì IIODỊỊ X và lirn lụt l.iỊìst lìil then h ifii
llìử hai trong hình cán mở Ì3{{),
/?).
Hơn nữa, giả sứ
V.T
€ X
V//
e.
/ỉ((>. /?)

IITX'/:,//) - 7’(.r, ỷ)|| ^ Lịl.y - ỹ||,
irony đỏ D ịT là đạo hàm F rcd icl í úaT lliro

biên tltứ nluĩl. Tiếp theo, ÍỊÌỎ xử lập ( ức điểm bất dộnịị F ( l') lừ kliò iìi’ initỊì \ù

F (T )
c
ỈJ ((ì,r), IIong dó V < R /2. Nếii
7
L
< 1
thì quá trình lặp (4.1) là hoàn

loàn xác dinh vờ hội tụ địa phtỉơng.
Trong công trình [8 ]. chúng tôi đã xây dựng một sô' ví dụ về các quá Ilình lặp
ẩn ổn định, tựa ổn dịnh và hội lụ địa phương.
§5. Về phương trình sai phan íín phi tuyến chỉ sỏ' I
Trong hài |9|, cluing tỏi (tể xuftt khái niệm chỉ số cho phương trình s;ii plúin fill
phi luyến VỈI điứng minh mội sô clịni) lý tồn tại duy Iiliâì nghiệm cho bìii loan giá
trị han (lilti đui với phương liình Siù phan ÍỈI1 phi tuyến chỉ sô I. Ciiii sú A,, VỈI
N,i

là hai không gian con ciia K "' có cùng số d iic u
III
/ ( I <
r
■
III
I). (io i ợ,,
và là hai phcp thiếu bâì kỳ lên

N „
và
Nự
tương úng. Khi (ló. la có khai Iriển
Qn - VnQV„
1 và
Q ịị
=
V p Q V ịị
Irong dó
Q ■
diag(r
'la Xíìy dựng loán lử Hỏi hai không gian con
N n
và
N:j
(gọi lắt là loán lử nối)
QnH - K Q V ,, '■ Đễ
Ihíìy:
Qn/I - Q nQ itịi - Q n/iQ li —
1 “ K> l
1Q ,v.
Xél phương Hình sai phân ẩn tuyến tính:
A nx
n + 1 f
B „:r„
■= 7 „,
(n >
0). (ru )
trong đó

A ,„ B „
€ e K "’ là các dữ liệu đã cho. Giả sú rank/!,, =
r ị
1 <
r <
m —
1) với mọi
V >
0. Gọi
Q „
là một loán tử chiếu lên Kcr/1,,,
I
ọ,, vn xcl kliiii
triển
Q „ V„Q Y U \ (u
Ị> 0). Để xác ctịnli la c1ặt
A
1
Aị)\Q
I :
Qịũ
/ ’ [ : / 0
và r_ i VỊ). Nlui vậy toán (ừ nối
Q „-\ „
: - V’„ 1 hoàn loàn xác íliiili cho
mọi 11
>
0.
Lemma 5.1
M (t H ận c „

:-=
A „
^
I3„Q n - ị „ khôiiỊi suy biên khi vù chi khi
s„
n Kcr,4„ i = {()}, ( r 2)
lro/n> dó, ftlnx nhít iritửnt’ hop l yr\ r~l>s, s „
{ í 6 IR’" :
li ni
Im .l,, Ị.
Hệ quả 5.2.
Tilth Uit'>ni> suy hiến cùa (!,, klỉõiìí’ pìuỊ tluiọc vàn ( th li rlìon hxín tứ

nò i, lức là u rn (),, I,, : \ I Q V „ 1 UI \ ’n 1 ilti x i h o t III'I " li u
( ! „ : / 1„ I / í „ ợ „ ] „ và (ì,, : / 1„ I H „ < ỉ„ ị,„ lù (!<">}’ th ờ i suy h in t linth k lin n ự
suy hiến.
Hệ quả 5.2 cho phép chúng la dua m khái niệm chỉ số sau tlâv cho pluionu liìiili sai
pliAn án. hoàn loàn tương tự nhu khái niệm chi sò cho lyI VIM)S :
Định nghĩa 5.1.
PTSP ân (5.1) có chi sò I licit với mọi II ^
0
12
u
rank Ạ , — r
m G „ := A „
+
DnQ „.
J „
không suy biển.
Sự khác biệt lớn Iiliâì giữa PTVT-ĐS và lr rsp ẩn là ử chỗ clũim ma tlận {. !(/). /?(/)}

Irong trường hợp PrVP-ĐS luôn có chỉ số 1, trong khi dó chùm Ilia tlận { .
lỉ „ \

(rong Iruờng hợp PTSP án không nhất thiết có chỉ số I. Chính điều này làm cho koì
quả vể ITSP ẩn có vẻ ngoài không giống những kết quả lưưng ứng Irong ITVP-ĐS.
Đặl
u„
1
^
0). Bằng một kỹ tliuậl phân lã. ta có lliẽ dưa
PTSP Án (5.1) về hệ phương Irìnli sai phân Ihường và mội làng bu óc (hũ so :
ll„
I I I
I lỉ n 11 II I ’n(ì li* <h>,
(r> •’)
'V - Ki . I
'(Q n<ỉn '< b ,-Q nG ^ I Ì nun)
(r,.i)
Từ day,
•Ỉ:T1 — +
vn = (J
—
Q „ 13„)ìi.„
+
Qn-
lf/" (r*-r>)
Như vây, bài toán giá trị ban đầu: Tìm nghiệm cùa.PTSP ẩn chỉ số I (5.1) Ihoii diều
kiện đầu:
PqTd = p„ (r,.{ i)
là giái dược duy nhai.

Xcl l)Ọ ITSI’ íỉn phi luyến:
/„(■<■„ n ,:r„)
-
(),(■/» ỉ> 0). (r,.7)
trong dó
f „
:
— >
IR'" là những hàm-veciơ dã clio.
Định nghĩa 5.2.
PTSP (5.7) có chỉ sổ ì nếu:

il Hàm sò'
/’„
khá vị liên tục, lĩơn nữa
Kcr^ệ1 (?y,.r) — A?„,d im À r„ —
n i~ r,\/i) 'ỹ
0, V
//,;X
G R " \ trong tló ]
r
< 1 1 1 I.
ii/ Ma trận G„
7 ^' (?/, :r) + (?; ặ 0),
klwitfi MIỴ him ,
à cỉâv N — /v„; V I — \‘\ ù Q \ -■ Qịị\ c ò n Q „ - ị „ là íc á n n ì n òi h a i khòiỊỊ.ỉ iịian
con N „_ ị,N n.
Đê liệu phát biểu các kêì qua liếp theo, ta giả llìiốt cluiẩn Irong p.’” là F.uclicf.
Định lý 5.3.
Giá sử phương trình (5.7) có chỉ sô I, Hon nũiĩ. ỳ à sử lằnỊ>

IK'„^ -I / i l k l l -t Tn<E l m;V// ;> I),
trolly (ló ( \ „ j ị ,
ỉ? 0 , > 0
là vác hằììỊ> srì. Khi dó hủi toán lìm ni>liicnt r n ciiii
phif<m\> trình (5.7) thoii (Hờn kiện (5.6 ) là \>iái c liiự c liny iiIhìi.
Định lý 5.4.
( tia sữ
./•) — //„(//, .r) I
h,r) tìmả niiĩn các ỉìtru kiện

il Ị
/„(//,./')
khá vi hen tục. hon nữa
K cr— -( //,.r) — Ar„;ciim /V„ •- m - r, Vn > 0; V:r,
Ị ị <-
ỈỈJ:’"
i)ìj ■
! 3
ii/
G n{ỵ ,x )
=
^ { y , x )
+ ^ ( y ,
:i:)Q,(n
> 0), có /ỉ^/í/c/í
dáo giới nòi. tức lù
\\Gn '(y,x)\\ < 7 t,,Vn z (),Vt/,.r e R .
iiiỉ hn(y, x) -■ h „{P „y ,
.■/.■), Vtỉ ỉ? (),V//,;r e R "’
/r/ ||/i„(ĩ/,.i:) - /)„(?;, Ẽ)II ^ L„(||?y - y||2 + ||.T - x||2) 1/a; Vn ^ 0, V//, r , //, ./■ ẹ Hỉ"’.

Khi đó, nếu
7 „ L u < 1 / \/2, Vn ^ 0, //?/
hài toán Cauchy (5.7), (5.6) có nghiệm tlny

nhá).
Hệ quả 5.5
Giả SỪ f „{y ,'■!'■) — A „y
I-
D „:r
t
h ,,(y ,r) với A „. Iì„ c
IF'"'’ "’ vờ
h„ :
R "’ X R "' — > R ’1'
tlioci mãn các dỉều kiện san:
iỉ
rank/l,, =
r, còn ma trận G „ - A „
I
B „Q I,
i „
khôìiỊ’ suy h irii vứi mọi II
■ 0,
ờ

(lây Q „
I „
lờ toán tử nối
K cr/t„ j
rà

Kei/I,, ,
A.
I /1().
iiỉ khá vi lira lục, ho’n Iiilti
K e r/l„ c KeiẠ"(ii, r).v.'» -ĩ (),V f/,r t= Iff'".
<ht
II/i,.(//,./■) M / / - Í:)ll ^
^ Á \\v
■■ //II2 I II-'1 - .r|H l/-’ ;V7i ^ l),Ví/, ./•,//,
.r r
IF:’".
Khi (ló nếu
'II < l/v /2 ,
thì bài toán Caitclix (5.7), (5.6) ịịiá i thi'o
’1
tliiv nhai
§6. c’ạI> liOn hợp của hai phương trìiili vi phan dại số
Xct 1TVP-ĐS luyến lính lluián Iiliấl
A{D :v) \ B.r ^
0 (fl.ll
và phương trình liên hợp của nó
ir ( A 'r )
I
IV .r
- 0 ((. :M
với các hệ sỏ u i lương lin'd). Cìiii sử các phương trình ((í. I )-(6.2) 111 kIKI hÌLH Uiacliibk')
với chỉ sô không quá
2.
Trong hài [ 171. các tác giả dã thiết lập điều kiện dè những
phương liinh vi phân tliira kê f 1 nhcrcnl ODEs) cùa (6.1). (6.2) là liên hợp. liếp llico.

CÍÍC lác giá dã mù tà ciíc cặp
cơ
sớ trong không gian hâl hiến. Irong (ỉó các phươni!
trình vi phân CÔI lõi (Essentially unde!lying ODEs) cùa cặp liên hop 2 ITVP-Đ S
(6.1), (6.2) là liên hợp llieo nghía thông thuòng. Đòị với một lớp các hài loán lu liên
hợp hì nil Ihúc, các lác giá tlã \;íc ilịnli những diều kiện bièn cho hài tdíín bicn lu
liên tiợp (lối với lie Ilam illonian CỐI lõi.
Iị 7.
Kc( liiiỊn.
lr r V [ ’-f)S \'á I’ I SI’ All XLUÌI liiêii lioim nliicii \ All do tflire lõ. I lull kIĩ(>II!_! c hính L u;i
các hài loán bicn clio PI Vp-DS \ à I’TSI’ â11 là ihácii thức lớn clcuiụ ilini là dón<_! Iu<
lliiic (l;ì\ ciíc nhà khon hoc lap Im no n u 11 i I - ] 1 (.1111. Dc liii O T -í)í-íP (t;i Ilium (lutK m ill
số kôl quá \v liiíu kính oil clịnh nìa ho 111 tic II ki (lị ( ;í( p'| V I’ l>s. ú kliíii ÌIÌCIII c;ip
M
liôn liựp hai r i'V I’-DS, VC IT S I’ iỉn lựa luyến lính và chí sỏ cùa r i s i’ ;'in phi Iuycii.
vể mối liên hệ giữa PTVP-ĐS VÌ1 PTSI’ Án cíing nhu về sự rill dị nil và hôi lu ciìii phóp
lặp íín. Các kết quá này giúp chúng ta hiểu sAu hơn VC PTVIMXS . KI SI’ ;in VÌI moi
lien l)Ọ qua lại cúII chúng. Nlùcu kêl t|Uii cùa tie tài này CÒM có the liq i lục pli;il liicn.
Nhóm nghiên cứu của dề tài đã nhạn được các kết quá mới VC han kính (in (lịiili cùa
hô không dừng, cúa hệ có chậm. Đã lliu (lược một số kcl quá bail dâu vồ phương
trình sai phan ẩn nhạn được từ việc l ời rạc hóa phương Irình vi phân thio hà 111 riêng
-đại số (Partial DifTcrential-Algebiaic Eijuations-PDARs).
Các kèì quá chính cùa dề tài dã dược trình bày trong
6
hài báo khoa học.
}
hài
đã dược đãng và nhạn đãng trong các lạp chí quốc lế (Systems and Control Lellcrs.
Advances in Difference Equations, Applied Numerical Melhods) 3 bài (lược (lfm« Iren
2 lạp chí Toán học hàng đẩu của Việl Nam (Acla Math. Viel. VÌI Vietnam I. Malli).

Các kết quả liên đểu (lược lliống kê Hong M athematical Reviews và tlên M iilhSeiNel.
15
Phẩn III
Tài liệu tham kìưìo
!. R. p. Agarwal,
Difference equations and inequalities. Theory, liu ’ihixls, Iiinl

applications.,
Marcel Dekker Ins. ,2000
2. P. K. 'Anh, M ultipoint boundary-value nroblcms for transferable clillcrciitial -
algebraic equations. I - Linear case.
Vietnam J. Math.
25(4) (1997) 347 - 358.
3. P. K. Anil. Multipoint boundary-value problems for transferable (tiNcrcnlial -
algebraic equations. IĨ - Quasilinear case.
Vietnam J. Math.
26(4) ( l c)98) 337 - .^49.
4. P. K. A n il and L. c . Loi, On m ultipoint boundary-value pi'ohlems lor liiic.il'
implicit noil-autonomous systems of difference equations,
Vietnam Mdih.
2() (3)
(2001) 281-286.
5. P. K. Anh and N. V. N g lii, O il linear regular MPBVPs for l)A !'s . 1
K'lihuii .1

Math.
28(2) (2000) 183 -188.
6. P. K. An il, N. II. Du and L. c. Lni, Connections between im p liiil (lilĨL-iriRX'
equations and cli(ÍClcntiai - algebraic equations.
A d d M atli. Viet. 2(X

1 )(20(M p3-6y.
7. I’ K. Anh, II. T. N. Yen and T. Ọ. Bi nil. O il quasi linear im plicil (lillc tv iK c
equations,
Vietnam
./.
Mailt.
32(1) (2004) 75-85.
8. I’.K. Anh and T.Ọ. Bilili, Slahitily and convergence of im plicit iteration processes.
Vietnam
./.
Math.
32(4) (2004) 467-473.
9. P. K. A nil and H. T. N. Yen , On (lie so lvability (>r iiiilia l-vn hic problems loi
nonlinear implicit difference equations,
Advances ill Difference I'.f/Itaiioiis
2004:3
(2004) 195-200.
10. K. li. Brcium, s. L. Campbell and L. R. Pelzold,
Num erical solution <>j !\ Ts

ill DAEs,
North Holland, New York. Amsterdam. London, 1989.
11. V. Dragitn. The asynilolic behavior o f the stability radius for ;i singularly
perturbed lineal syslcm,
hit. J. Rcbnsl Nnnl. Contr.
8 (19()8) 817 - X2<).
12. N. II. Dll, D. T. Lien, and V. II. Linli, On complex stability radii Ini im plicil
discrete lime systems,
Vietnam
./.

Mailt.
31(4) (2003) 475-488.
13. N. II. Du and V II. L ilih , Im plicit - system approach to the lolxisi siah ilily I<M
a chiss of singularly pci (111 bed linear systems,
Systems and C ontrol
/.r//f7 v54(2()(l I )
33-41.
14. E. Ciiiepentiog, R. Mar?.,
DAEs ami llie ir numerical Iictiimeni. I'cuhncr Tc\

ta il M iiilic niiin l
iSVV. le u liner, Leipzig. l l)H6.
15. I). I lim it hscn, A. I. Pi i Ic hard. Si a hi lily radii ol linciii systems.
Swhin
s
Control I.('tiers.
7(l98fi). 4 - 10.
16. L. c. Loi. N. II. Du and p. K. Anil. Oil linear implicit non-iuiiniiomous svsk-ins
of clifTei’ence ecjuatioiis. ./
Diffcrcn.
/•>/.
Appì
X (5) (2002) 10X5-1105.
17. K. Balia. VII. LJnli, Adjo in t pairs of (lirferential-alizehniic ec|u;ilions and
Hamiltonian systems, accepted lor publication in
Applied Niufi( i i((il M ullit Iiitilit
s
MẢ SỐ: QT 03-02
Hà Nội, ngày 18 tháng 12 năm 2004
BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỂ TÀI NCKH

• ■
CẤP ĐẠI HỌC QUỐC GIA 2003-2004
1. Tên để tài (hoặc dự án):
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÁN Ẩ n
(D ifferential-A lgebraic Equations and Im plicit Difference E quations)
2. Mã số: QT 03-02
3. Cơ quan chủ tri để tài (hoặc dự án):
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội
4. Số cán bộ tham gia
Tên các cán bộ phối hợp nghiên cứu:
• PGS TS Ngũyễn Hữu DƯ
• TS Vũ Hoàng Linh
• ThS Lê Công Lợi, ThS Đào Thị Liên, ThS Nguyễn Văn Minh,
• ThS Trần Q uốc Bình, ThS Nguyễn Văn Nghi.
• NCS Hà Thị Ngọc Yến, HVCH Nguyễn Trung Hiếu.
5. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
• Tính bán kính ổn định phức của hệ nhiễu kỳ dị. Chứng tỏ rằng giới hạn của
bán kính ổn định phức của hệ này khi tham số bé dần tới không !à giá trị nhỏ
nhất giữa bán kính ổn định của hệ thu gọn các "biến chậm" và bán kính ổn
định của hệ các lớp biên "nhanh".
• Thiết lập sự tương thích giữa khái niệm chỉ số của PTVP-ĐS và PTSP ẩn thu
được từ việc rời rạc hóa PTVP-ĐS nói trên bằng sơ đổ Euler. Chứng minh SƯ
hội tụ nghiệm của bài toán Cauchy và bài toán biên nhiểu điểm của PTSP ẩn
tới nghiệm của các bài toán tương ứng cho PTVP-ĐS khi bước lưới dẩn tới
không.
• Sử dụng nguyên lý điểm bất động Banach và Schauder, thiết lâp tính giải
đươc và giải được duy nhấỉ của bài toán Cauchy cho PTSP ẩn tựa tuyên tính
với phẩn chinh tuyến tính nó chỉ sổ I hoặc tựa chỉ sô I
• Nghiên cứu tính ổn định và sụ hội tụ của phép lặp ẩn. Đã chứng tỏ rằng nêu
phép ỉặp ẩn ổn định (tựa ổn định) trong không gian metric liên thông (lién

thòng đường) thl từ sự hội tụ địa phương suy ra sự hội lụ toàn cục. Một đieu
kiện đủ để phép lặp ẩn hội tụ địa phương đã được thiết lập
• Đưa ra khái niệm chỉ số cho phương trinh sai phân ẩn phi tuyến. Thiẻp
tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cho phương trinh sai phản ãn phi
tuyến chỉ số 1 Kết quả này mở rộng các kết quả tương ứng đã biết cùa p K
Anh, N.H. DƯ, L.c. Lợi.
• Nghiên cứu phương trinh vi phân đại số tuỵẽn tinh thuàn nhát c.lii so khonq
quá 2. Đưa ra khái niệm phương trinh vi phân đại số lién hơp. Cluing Ininh
rằng các phương trinh vi phân thừa kế (inherent ODEs) vã phương trình VI
phản cốt lồi (underlying ODEs) của một cặp liên hợp hai phương trinh vi phan
đại số là liên hợp theo nghĩa thông thường.
6. Các kết quả đạt dược:
Đã hoàn thành 6 bài báo khoa học, trong đó có 3 bài được đăng hoặc nhản dãny tií?n
các tạp chí quốc tế, 3 bài đăng trên tạp chí quốc gia:
• 01 bài báo ( Systems & Control Letters, 2005, V.54, 33-41) về sư ổn dinh tiêm
cận vả bán kính ổn định của hệ nhiễu kì dị của PTVP-ĐS.
• 01 bài báo (Acta Mathematica Vietnamica, 2004, Vol.29, N 1. pp. 23-39) vế múi
liên hệ giữa PTVP-ĐS và PTSP ẩn.
• 01 bài báo { Vietnam Journal of Mathematics. 2004, Vol. 32, N.1, pp. 75-85) ve
PTSP ẩn tưa tuyến tính.
• 01 bài báo ( Vietnam Journal of Mathematics, 2004, Vol 32, N 4, 1-7) vê sư on
định và hội tụ của phép lăp ẩn.
• 01 bài báo (Advances in Difference Equations, 2004, N 3, 195-200) vẻ phương
trinh sai phân ẩn phi tuyến chỉ số 1.
• 01 bài báo (Applied Numerical Methods) về khái niệm cặp liên hợp các phuơng
trình vi phân đại sô.
vể Đào tạo
Có 03 NCS (rực tiếp tham gia nghiên cứu nhứng vấn đề của Đé tai OT 03-02 Tronq
đó NCS Lê Công Lơi đã bảo vệ thành cõng luân án tiến sĩ với đề tài Phương trình
phân ẩn tuyến tính không dừng chỉ sổ 1 NCS Trần Quốc Binh đá homt thanh luan ;in

"Phép lặp ẩn va điểm bât động của ánh xạ hai nhóm biến" Víi fJ.] báo cao két quá liKin
án tại Sominoi cú:] Bỏ môn Giải tích thuộc Khoa Toán-Cơ-Tin hoc. TniiJny D H KIIIN .
ĐHQGHN
7. Tinh hinh kỉnh tê của để tài:
Vể NCK H
Năm 2003
a) Số tiến được cấp:
15000.OOOđ
b) Tình hình chi tiêu
• Vât tư văn phòng:
• Thông tin liên lac:
• Hội nghi:
• Thuê chuyên gia trong nước va hỗ trợ NCS
283.000đ
234 OOOđ
2 8no OOOđ
9.600 OOOđ
1
• Chỉ phí nghiệp vụ chuyên môn của ngành: 1,633.000đ
• Hỗ trợ đào tạo và NCKH: 450 OOOđ
Tổng cộng: 15.000.000d
Năm 2004
c) Số tiền được cấp: 20.000.000đ
d) Tinh hình chi tiêu
Vật tư văn phòng: 1,500.000đ
Thông tin liên lạc: 500.000Ơ
Hội nghị: 2.000.000đ
Công tác phí: 2.000.000đ
Thuê chuyên gia trong nước và hỗ trợ NCS 10.000.000d
Chi phí nghiệp vụ chuyên môn của ngành: 2.400.OOOđ

Hỗ trợ đào tạo và NCKH: 800.000đ
Quản lý cấp cd sở: 800 OOOđ
Tổng cộng:
20.000.000đ
Xác nhận của Khoa Toán-Cơ-Tin học Chủ nhiệm Đề tài
p íri TS -Đũ-Õ V a t D
ĩ
Xác nhận của Trường ĐH Khoa
ÍỈS T S K II Phạm Kv A
học Tự nhiên
R E P O R T O N P R O J E C T Q T -0 3 -0 2
I. T itle o f Project: D ifferential-A lgebraic Equations and Im p licit
Difference Equations
II. Project’s code: Q T 03-02
III. Head o f Research Group: Prof. DSc. Pham K y Anh
IV . Participants:
Assoc. Prof. Nguyen H ull D ll, Dr. Vu Hoang L in li, MSc. Le Cong Loi,
MSc. Dao Thi Lien, MSc. Nguyen Van M in li, MSc. I ran Ọuoc Binh,
MSc. Nguyen Van N ghi, BSc. Ha T ill Ngoc Yen, BSc. Nguyen Trillin,
Hieu.
V. Target and Contents
The Project studies the robust stability o f differential-algebraic equations
(D A E s), the solvab ility o f im plicit difference equations (ID E s), the
convergence and stability o f im p licit iterative processes, a criterion for a
pair o f linear homogeneous DAHs to be adjoint one. The main results of
this project can he summarized as follow s:
- A form ula lor the com plex stability ratlins o f Í1 class o f singularly
perturbed systems o f linear DAE s is obtained, ll is proved that when
the small parameter ill the leading term, w hich in general may he
degenerated, tends to zero, the stability radius for singularly perturbed

systems tends to the smallest value o f the stability radius for the
“ reduced slow systems” and that for the “ fast boundary layer system” .
- The com patib ility o f the index notions for linear DAI'S and lhal lor
IDEs obtained via the discretization by the lu ile r method, is
established. The convergence o f solutions o f the Cauchy and
m ultip oin t boundary-value problems for ID Es to solutions o f the
corresponding problems for DAEs is revealed.
- The solvability o f the Cauchy problem s for quasilinear IDP.S,
invo lving index I or qim si-indcx I principal linear pints, is
established.
- The global convergence o f locally convergent and stable (quasi-
stable) im plicit iterations in connected (palhw ise-connecled) m etric
spaces are obtained. A sufficient condition for the local convergence
o f im plicit iteration processes is also given.
- A natural de fin ition o f index for a class o f nonlinear IDI'S is proposed.
Some existence theorems for initial-value problems for in d e x-!
nonlinear IDỈỈS are proved.
- A criterion ensuring the inherent O D iis and the underlyinu ()l)[-s ()l
the p a ir 1)1'lin e ar hom oiieneou s DALỈS to be a d jo in t is es tablished.
VI. Resume o f main results.
a. Research activities: 3 papers have been published or accepted for
publication in international mathematical journals, w hile 3 other
papers have been published in national mathematical journals,
namely, Vietnam Journal o f Mathematics and Acta Mathematics
Vietnam ica:
• N.M. Du and V.H . Linh, Im plicit-system approach lo the robust lor
a class o f singularly perturbed systems,
Systems & C ontrol

Letters,

54 (2005), 33-41.
• P.K. Anh, N.H. Du and L .c. Loi, Connection between im plicit
difference equations and differential-algebraic equations,
Acta
M athem afica V ietnam ìca
, 29( 1 )(2004), 23-39.
• P.K. Anh, H.T.N. Yen and T .ọ . Binh, On quasi-linear im plicit
difference equations,
Vietnam J o u rn a l o f M athem atics,
32(1)
(2004), 75-85.
• P.K. A nil and T.Q. Binh, S tability and convergence o f im p licit
iteration processes,
Vietnam Journ o I o f M athem atics,
32(4)
(2004), 467-473.
• P.K. A n il and H.T.N. Yen, On the solva bility o f initial-value
problems for im plicit difference equations.
Advances in
D ifference E quations
, 3 (2004), 195-200.
• K. Balia and V.H. Linh, A djoint pairs o f diiTcrenlial-algebraic
equal ions and Ham iltonian systems, to appear in
A pplied
N unte ricaf M athem atics.
A ll papers are reviewed by the Am erica! Mathem atical Review and
M athSciN et.
b. Tra inin g activities: 4 PhD. students have been w orking in the
direction o f the Project ỌT 03-02, i.e. on im plicit difference
equations, im plicit iterations and the robust stability o f D A lis. 3 o f

them are financially supported by Ihe Project. One PhD student has
siiccesiLilly defended his thesis and obtained llic doctor degree.
Another p h t). student has completed and subm itted his thesis. The
third PhD. student are co-author o f 2 papers published ill national and
international journals.
Besides a seminar on DAEs and IDES supported by the Project lias
atlmclecl manv undergraduate, master and Phỉ), students.
V II. Finance
The Proịccl w as linnnciiilly supported by llic V N l ỈI I with a tolal grant
o f 35.000.000 V N D for 2 years. This sum was dclixercd as follow s:
Year 2003
Support for scientific research
9.600.000 V N D
Com m unications
234.000 V N D
Support for seminars and scientific activities
2.800.000 V N D
Books, photocopied m aterials, USB 1.633.000 V N D
Stationery and others
283.000 V N D
Support for training & research activities 450.000 V N D
Total 15.000.000 V N D
Year 2004
Support for scientific research
10.000.000 V N D
Com munications
500.000 V N D
Support for seminars and scientific activities
2.000.000 V N Ỉ)
Books, photocopied materials, USB 2.400.000 V N D

Stationery and others
1.500.000 V N D
Support for training & research activities 800.000 V N D
Transport, accomodations
2.000.000 V N D
Adm inistative works 800.000 V N D
Total
20.000.000 V N D
Hanoi, December, 12, 2004
Head o f Project
Prof. DSc. PI 1Ỉ1 in K y A n il
TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN cứu KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02
Ngành:
Toán học;
Chuyên ngành Toán học úng dụng
1. Tên bải báo: Phương pháp tiếp cận hệ ẩn tới tính ổn định vững cho một lứp các hệ
tuyến tính nhiễu kỳ dị.
2. Họ vả tên các tác giả của công trin h: Nguyễn Hữu Dư và Vũ Hoàng Linh
3. Năm xuất bản: 2005, V. 54, 33-41.
4. Tên tạp chí:
Systems & Control Letters
5. Tóm tắt công trin h bằng tiêng Việt: 1 rong bài báo này SƯ ổn đinh tiệm cán va bati
kính ổn định phức của hệ nhiễu kỳ dị các phương trình vi phân đại số đá dược kháo sát
Đã chứng lỏ rằng giới hạn của bán kinh ổn định cho hệ nhiễu ky dị ấn, khi tlicim sò trony
số hạng cả tiến tới không, bằng giá trị nhỏ nhất giữa bán kính ổn định cùa ho thu yon
các biến "chậm" và bán kính ổn định của hệ các lớp biên "nhanh
6. Tiếng Anh
+ Title: Implicit-System Approach to the Robust stability for a Class of Singularly
Perturbed Systems.

+ Journal:
Systems
Ẵ
Control Letters,
54 (2005), 33-41.
+ Summary: In this paper the asymptotic stability and the complex stability radius
of a class of singularly perturbed systems of linear differential-algebraic
equations are studied. It is proved that when the small parameter ill the lending
term tends to zero, the stability radius for singularly perturbed systems tends to
the smallest value of the stability radius for the "reduced slow system” and that
for the "fast boundary layer system".
Người khai
Pham Ky Anh
TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN cứu KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02
Ngành:
Toán học;
Chuyên ngành:
Toán ứng dụng.
1. Tên bải báo: Mối liên hệ giữa phương trình sai phân ẩn và phương trình vi phân-đại
số.
2. Họ và tên (các) tác giả của công trinh: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Hữu Dư ,
Lê Công Lợi.
3. Năm xuất bản: 2004, Vol. 29, N.1, pp. 23-39.
4. Tên tạp chí:
Acta Mathematica Vietnamica.
5. Tóm tắt công trinh bằng tiếng Việt:
Trong bài này sự tương thích giữa các khái niệm chỉ số của PTVP-ĐS và PTSP ẩn thu
được từ việc rời rạc hoá PTVP-ĐS nói trên bằng sơ đổ Euler đã được thiết lập. Sự hội tụ
của nghiệm của bài toán Cauchy và bài toán biên nhiểu điểm của PTSP ẩn tới nghiệm

của các bài toán tương ứng cho PTVP-ĐS khi bước lưói dẩn tới không đã được chứng
minh.
6. Tiếng Anh
+ Title: Connections between implicit difference equations and differential-
algebraic equations.
+ Journal:
A cta M athem atica Vietnamica.
+ Volume: 2004, Vol. 29. N.1. pp. 23-39.
+ Summary: III this paper, the compatibility of the index notion for linear DAEs
and that of IDEs obtained via the discretization by the Euler method is
established. The convergence of solutions of the Cauchy and multipoint
boundary-value problems for IDEs to solutions of the corresponding problems for
DAEs is proved.
Người khai
Phạm Kỳ Anh
TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN cứ u KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02
Ngành:
Toán học;
Chuyên ngành
: Toán ứng dụng
1. Tên bài báo: v ề phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính
2. Họ và tên các tác giả của công trình: Phạm Kỳ Anh, Hà Thị Ngọc Yến,
và Trần Quốc Bình
3. Năm xuất bản: 2004, Vol. 32, N.1, pp. 75-85.
4. Tên tạp chí:
Vietnam Journal of Mathematics
5. Tóm tắt công trinh bằng tiếng Việt: Bài báo đề cập đến tính giải được và nghiệm
xấp xỉ của bài toán giá trị ban đầu cho hệ phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính. Nhờ
có phẩn tuyến tính là chỉ số 1 hoặc tựa chỉ số 1 mà hệ vô hạn các phương trình có thể

phân rã thành các cặp phương trình, sử dụng định lý điểm bất động Banach hoặc
Schauder có thể chứng minh tính giải được hoặc giải được duy nhất của bài toán nói
6. Tiếng Anh
+ Title: On Quasi-linear Implicit Difference Equations
+ Journal:
Vietnam Journ al o f M athematics,
2004, Vol. 32, N 1, pp 75-85
+ Summary: This paper concerns with the solvability and approximate solution of
a class of quasi-linear difference equations. Thanks to the index-1 {quasi-index-
1) property of linear parts, the initial infinite system can be decomposed into
subsystems consisting of couples of equations. Then the Banach's and
Brouwer's fixed point theorems have been applied to ensure the unique
solvability (solvability) of the IVP for quasi-finear implicit difference equations.
Người khai
Phạm Kỳ Anh