Động học của quần thể được mô tả bởi phương trình vi phân tất định và ngẫu nhiên

£>ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
■ ■ ■ ■
ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN
ĐỘNG HỌC CỦA QUẨN THỂ Được MÔ TẢ BỞI
■ ■ ■
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TẤT ĐỊNH VÀ NGẪU NHIÊN
m
Dynamics of Population Described by Deterministic and
Stochastic Differential Equations
Mã số: QT 05-03
Chủ trì để tài: Nguyễn Hữu Dư
HÀ NỘI 2006
DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN
ĐỘNG HỌC CỦA QUẦN THỂ Được MÔ TẢ BỞI PHƯƠNG
■ ■ ■
TRÌNH VI PHÂN TẤT ĐỊNH VÀ NGAU nhiên
Dynamics of Population Described by Deterministic and
Stochastic Differential Equations
Mã số: QT 05-03
Chủ trì để tài: PGS TS Nguyễn Hữu Dư
Cán bộ tham gia:
- GS TSKH Nguyễn Duy Tiến ĐHKH Tự nhiên
- TS Lê Công Lợi ĐHKH Tự nhiên
- TS Trịnh Tuấn Anh ĐHSưphạmHN
- ThS Tống Thàng Trung ĐHKH Tự nhiên
HÀ NỘI 2006
MỤC LỤC
Trang

I. Báo cáo tóm tắt bằng tiẽng Việt 4
II Báo cáo tóm tắt bằng tiếng Anh 9
III. Nội dung chính. 12
IV. Kết luận. 21
V. Tóm tắt kết quả nghiẽn cứu khoa học 27
VI. Phụ lục: Các bài báo liên quan đến đề tài 29
VII. Phiếu đăng ký đề tài. 77
4
I. BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỂ TMI QT-05-03
1. Tên đề tài (hoặc dự án):
Tiêhg Việt: Động học của quần thể được mô tả bởi phương trình
vi phân tất định và ngẫu nhiên
Tiêng Anh'. Dynamics of Population Described by Deterministic and
Stochastic Differential Equations
Mã số'.
Q T-05-03
2. Chủ trì để tài: PGS TS Nguyễn Hữu Dư
3. Tên các cán bộ phối hợp nghiên cứu:
• GS TSKH Nguyễn Duy Tiến
• TS Lê Công Lợi
• TS Trịnh Tuấn Anh
• ThS Tống Thàng Trung
4. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Một trong những bài toán quan trọng của sinh thái-môl trường là nghiên cứu
dáng điệu của số lượng các cá thể trong hệ trên khoảng thời gian lâu dài. Trong
tiến trình phát triển của mình, một vài loài của hệ có thể bị diêt vong và một số
nhưng cung có thể số lượng các loài tiến tới một trạng thái cân bằng nào đó. Việc
biết thông tin này sẽ giúp cho các nhà hoạch định chiến lược đưa ra những quyết
sách đúng đắn để khai thác tối ưu hệ sinh thái hay đưa ra những chính sách kịp
thời để đảm bảo cho sự phát triển bền vững của môi trường.

Sự phát triển của hệ sẽ phức tạp lên rất nhiều nếu như có sự tham gia của các yếu
tố ngẫu nhiên như khí hậu, di nhập cư
Mục tiêu của đề tài là đưa ra những kết quả lý thuyết về dáng điệu tiệm cận của
một hệ sinh thái được mô tả bởi phương trình vi phân Lotka-Voltera trong môi
trường ngẫu nhiên như là phương trình vi phân Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn thực
hay hệ Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn trắng. Đề tài QT 05-03 được thực hiện từ
tháng 3 năm 2005 đến tháng 3 năm 2006 nhằm giải quyết một số vấn đề sau đây:
+
Nghiên cứu dáng điệu của hệ sinh thái gồm có hai loài phát triển trong theo mô

hình cạnh tranh. Trước hết nghiên cứu hệ Lotka-Volterra khi các hệ số là
những
ĐHKH Tự nhiên u v
ĐHKH Tự nhiên uv
ĐHSưphạmHN uv
ĐHKH Tự nhiên Thư ký
5
hàm tuần hoàn có cùng chu kỳ. Sau đó, ta xét những hệ như vậy nhưng có sự

tham gia của tiếng ồn kiểu điện báo.
+
Nghiên cứu tính hỗn loạn của hệ thú mồi, trong đó có một thú và một mồi. Các

hệ số của hệ là nhũng quá trình markov bước nhảy có hai trạng thái.
5. Các kết quả đã đạt được
a) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ có hai loài cạnh tranh nhau, số
lượng của mỗi hệ được mô tả bởi phương trình Lotka-Volterra với hệ số tuần hoàn
trong môi trường ngẫu nhiên. Sự ngẫu nhiên can thiệp vào hệ thông qua một quá
trình Markov bước nhảy có hai trạng thái, ở mỗi trạng thái, hệ có hệ số tuần hoàn
và thỏa mãn các điều kiện ổn định, do đó tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn hút các

nghiệm khác. Khi thay đổi trạng thìa của quá trình Markov, sự phát triển của hệ
thay đổi theo tạo thành một sự phát triển hỗn loạn. Tuy vậy, chúng tôi đã chỉ ra
được dáng điệu của tập Ò mê ga giới hạn. Việc biết thông tin này rất qua trọng vì
nó chỉ cho chúng ta là dù có sự biến động ngẫu nhiên, hệ vẫn luôn phát triển bền
vững.
Song sự phát triển bển vững này chỉ tồn tại về phương diện lý thuyết. Trên
thực tế khi số lượng của một loài nào đó thấp hơn một ngưỡng cho trước thì ta xem
loài đó đã bị diệt vong. Trong kết quẩt đã chứng minh rằng một phần thuộc biên
thược về tập Ồ mê ga giới hạn nên ta phải xem một trong hai loài sẽ bị diệt vong.
b) Nghiên cứu động học của hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên:
Chúng ta xét hệ sinh thái gồm có hai loài, trong đó loài thứ nhất là con mồi của loài
còn lại. Chúng ta cũng giả thiết hệ được phát triển trong hai chế độ khác nhau của
môi trường và sự chuyển đổi giữa các chế độ này tuân theo quá trình quá trình
Markov bước nhảy. Được biết rằng trong môi trường tất định, hai loài được phát
triển theo quy luật tuần hoàn. Tuy nhiên chúng tôi đã phát hiện ra rằng trong môi
trường ngẫu nhiên, hệ phát triển hết sức hỗn loạn, số lượng của các loài khi thì trở
nên rất nhỏ bé, khi thì trở nên rất lớn và như vậy thì hệ không phát triển bền vững.
Cũng như trong mô hình cạnh tranh nhận được ở phần a), hệ thú mồi trong môi
trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp. Số lượng các loài có thể dao
động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức vô cùng) và về thực tế
thì hệ có nguy cơ bi tiêu diệt.
Các kết luận từ các mô hình trên đều khẳng định rằng, trong một môi trường, khi
chế độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu cũng như chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi
một cách ngẫu nhiên thì sớm hay muộn sẽ có một loài bị diệt vong. Các kết luận
này đóng vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn thực hành. Nó giúp cho các nhà
đầu tư hoach định chiến lược để kịp thời can thiệp vào hệ để khai thác tối ưu hệ và
tránh việc phá hủy môi trường sinh thái.
6
c) Đã viết được 01 cuốn sách
"Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên".

Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho Cao học hoặc tài liệu
chuyên khảo cho NCS
Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên các bài báo và báo cáo
khoa học sau:
1. Nguyễn Hữu Dư.
”Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên”.
NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội 2005.
2. Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam. Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra
model perturbed by white noise, đang in trong tạp chi
Jour of Mathematical

Analyse and Applications
3. N. H. Du , R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Dynamical behavior of lotka -
volterra competition systems]{dynamical behavior of lotka - volterra
competition systems: non autonomous bistable case and the effect of
telegraph noise,
Journal of Computational and Applied Mathematics
, 170
(2004), no 2, pp. 399-422
4. N. H. Du, R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Evolution of Periodic Systems
under Telegraph Noise,
Tohoku Mathematical Journal
, December 2005, Vol
57, No 4.
5. Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population
under random environment. Proceeding of International conference on
Mathematical Modeling in Biology
6.

N. H. Du, Y. Takeuchi, N. T. Hieu and K. Sato. Evolution of predator-prey
systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment,
đang in trong tạp chi
Jour of Mathematical Analyse and Applications
a)
Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
của hệ có hai loài cạnh tranh nhau. Chỉ ra
sự cạnh tranh trong môi trường ngẫu nhiên rất phức tạp và quỹ đạo của hệ dao
động giữa hai trạng thai cân bằng
b)
Nghiên cứu động học
của hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên:
Cũng như trong mô hình cạnh tranh nhận được ở phần a), hệ thú mồi trong môi
trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp. số lượng các loài có thể dao
động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức vô cùng) và về thực tế
thì hệ có nguy cơ bi tiêu diệt.
c)
Đã viết được
01 cuốn sách
"Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên".

Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho Cao học hoặc tài liệu
chuyên khảo cho NCS
7
Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên 05 bài báo và báo cáo
khoa học sau và một cuốn sách:
d)
Đề tài đã góp phần đào tạo
được nhiều cử nhân khoa học, 03 học viên cao
học là Phạm Thị Hằng, Nguyễn Thị Hồng và Nguyễn Thị Oanh. Đề tài đã hỗ trợ

đắc lực cho nhiều NCS của khoa Toán - Cơ - Tin học.
6. Tình hình tài chính của để tài
Đề tài được cấp 20.000.000d trong năm 2005 và 2006 vaddwowcj chi vào các
mục sau đây:
+ Các bài báo và báo cáo khoa học và các thù lao chuyên môn: 10.000.000 đ
+ Hội thảo và Seminar khao học 4.600.000 đ
+ Hỗ trợ xuất bản cuốn sách
"Điều khiển tối ưu ”
4.600.000 đ
+ Quản lý cơ sở, nghiệm thu đề tài 1.400.000 đ
Tổng cộng:
20.000.000 đ
Xác nhân của Ban Chủ nhiêm Khoa
Chủ trì đề tài
Ị 'ìí/i).’v Á * 4
PGS TS Nguyễn Hữu Dư
Xác nhận của Trường ĐH Khoa học Tự nhiên
TGS.TS / ã 'i t o J ^ l i n /ư
8
n. SCIENTIFIC PROJECT
1. BRANCH: Mathematics PROJECT CATEGORY: National University
2. Title of Project: Dynamics of Populations Described by Deterministic and
Stochastic Differential Equations
3. Code of Project: QT 05-03
4. Head of research group: Assoc. Prof. Nguyen Huu Du
4. Managing Institution
5. Implementing Institution
6. Collaborating Institutions:
7. Participants:
• Prof. Nguyễn Duy Tiến Member

• Lecturer Trịnh Tuấn Anh Member
• Lecturer Lê Công Lợi Member
• Lecturer Tống Thành Trung Member
9. Duration: from 03-2005 to 03-2006
10. Budget: 20.000.000 VND
11. Main results:
a) Results in science and technology:
With a moderate budget 20.000.000
VND, our research group has carried out some good results. We have written
some scientific papers in which there are two papers have been published in
rather famous international journal. We have took part many conferences to give
talk and discuss to other on our scientific obtained results. Understanding
dynamical relationship between population systems with the random factors of
environment is a central goal in ecology. The variation of random factors can
cause sharp changes in an ecological system.
This research is concerned with the study of trajectory behavior of Lotka-Volterra
predator-prey system under the telegraph noises. It is well-known that for a
predator-prey Lotka-Volterra model
\begin{equation}\label {E1.1}
\begin{cases}
\dot x(t) = X (t)(a - by (t)), w
\dot y (t) = y (t)(-c +dx (t)),
\end{cases}
\end{equation}
where $a,b,c$ and $d$ are positive constants,
if there is no influence from environment, the population develops periodically.
However, in practice, the effect of random environment or of seasonal
9
dependence must be taken into account. Up to the present, many models reveal
the effect of environmental variability on the population dynamics in mathematical

ecology. Especially a great effort has been expended to find the possibility of
persistence under the unpredictable or rather predictable (such as seasonal)
environmental fluctuations.
The noise makes influences on an ecological system by various ways. By the
complexity of stochastic models, we are limited on considering a simple color
noise, say telegraph noise. The telegraph noise can be illustrated as a switching
between two regimes of environment, which differ by elements such as the
nutrition or as rain falls. The changing is non-memories and the waiting time for
the next change has an exponential distribution. Under different regimes, the
intrinsic growth rate and interspecific coefficient of (1.1) are different. Therefore,
when random factors make a switching between these deterministic systems, it
seems that the behavior of the solution is rather complicated. By intuition, we see
that the behavior of the solution of perturbed system can inherit simultaneously the
good situation and the bad situation.
In a view of ecology, the bad thing happens when a species disappears and a
good situation occurs when all species co-exist and their amount of quantity
increases.
Slatkin concentrates on analyzing a class of models of single population which
grows under this kind of telegraph noise, and obtained the general conditions for
extinction or persistent fluctuations.
We consider the behavior of a two-species population, developing under two
different conditions of environment connected each other by telegraph noise.
It is proved that under the influence of telegraph noise, all positive trajectories of
such a system always exile from any compact set of int$\R_+A2=\{(x,y): x>0,
y>0\}$ with probability one if two rest points of the two deterministic systems do
not coincide.
If these two rest points coincide and if the quantities of population do not converge
to the rest point, then the quantity of each species oscillates between $0$ and
$\infty$. That explains that for a random eco-system, the population varies
complicatedly.

b) Results in practical application:
We consider an ecology system of two
competing species. Suppose that the evolution of every species depends on the
quantity of rainfall for every period. If the rainfall is sufficient, their competition
potential is equal and they develop periodically. Whenever the rainfall is small, the
second species becomes very weak and its amount gets smaller with increasing of
time although the influence of the other environment elements is still seasonally
10
(periodically). However, in case the rainfall is in a stationary regime, the quantity of
every species oscillates between the good situation and bad situation. There is no
species to be disappeared.
Practically, when the quantity of a species is small, we consider that it perishes.
Thus we see that in an eco-system, if two species compete under the influence of
random environment or in model with white noise, one of them must be vanished.
This conclusion warns us to have a timely decision to protect species in our eco
system.
c) Results in training:
• Support to many bachelor’s degrees of science;
• Support to three master's diplomats of science: Pham Thi Hang, Nguyen
Thi Hong and Nguyen Thi Oanh;
• Support to some Ph. D students
d) Publications:
1. Nguyễn Hữu Dư.
"Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên".
NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội 2005.
2. Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam. Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra
model perturbed by white noise, đang in trong tạp chi
Jour of Mathematical

Analyse and Applications
3. N. H. Du , R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Dynamical behavior of lotka -
volterra competition systems]{dynamical behavior of lotka - volterra
competition systems: non autonomous bistable case and the effect of
telegraph noise,
Journal of Computational and Applied Mathematics,
170
(2004), no 2, pp. 399-422
4. N. H. Du, R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Evolution of Periodic Systems
under Telegraph Noise,
Tohoku Mathematical Journal,
December 2005, Vol
57, No 4.
5. Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population
under random environment. Proceeding of International conference on
Mathematical Modeling in Biology
6.
N. H. Du, Y. Takeuchi, N. T. Hieu and K. Sato. Evolution of predator-prey
systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment,
đang in trong tạp chi
Jour of Mathematical Analysis and Applications
12.Evaluation grade: good (if the project has been evaluated by the
evaluation committee: excellent, good, fair)
11
III. N Ộ I D U N G C H ÍN H C Ủ A Đ Ể T À I
3.1 Mở đầu
Một trong những bài toán quan trọng của sinh thái-môi trường là nghiên cứu dáng điệu của
số lượng các cá thể trong hệ trên quãng thời gian lâu dài. Trong tiến trình phát triển của
mình, trong một số trường hợp, một vài loài của hệ có thể bị diêt vong. Tuy nhiên nhiều lúc
có thể số lượng các loài tiến tới một trạng thái cân bằng nào đó hoặc diễn ra sự phát triển

tuần hoàn. Việc biết thông tin là hệ sẽ phát triển theo kiểu nào là một điều hết sức quan
trọng. Nó sẽ giúp cho các nhà hoạch định chiến lược đưa ra những quyết sách đúng đắn để
khai thác tối ưu hệ sinh thái hay đưa ra những chính sách kịp thời để đảm bảo cho sự phát
triển bền vững của hệ và của môi trường.
Sự phát triển của hệ sẽ phức tạp lên rất nhiều nếu như có sự tham gia của các yếu
tố ngẫu nhiên như khí hậu, di nhập CƯ Mục tiêu của đề tài là đưa ra những kết quả lý
thuyết về dáng điệu tiệm cận của một hệ sinh thái được mồ tả bởi phương trình vi phân
Lotka-Volíera trong môi trường ngẫu nhiên như là phưng trình vi phân Lotka-Volterra chịu
nhiễu ổn thực hay hệ Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn trắng. Từ các kết quả lý thuyết này, ta có
thể điều chỉnh cho hệ phát triển theo sự mong muốn của mình. Để tài QT 05-03 được thực
hiện từ tháng 3 năm 2005 đến tháng 3 năm 2006 nhằm giải quyết một số vấn đề sau đây:
+ Nghiên cứu dáng điệu của hệ sinh thái gốm có hai loai phát triển trong theo mô hình
canh tranh. Trước hết nghiên cứu hệ Lotka-Volterra khi các hệ số là những hàm tuần hoàn
có cùng chu kỳ. Sau đỏ, ta xét những hệ như vậy nhưng có sự tham gia của tiếng ổn kiểu
điện báo.
+ Nghiên cứu tính hỗn loạn của hê thú mồi, trong đó có một thú và một mồi. Các hệ số
của hệ là nhũng quá trình markov bước nhy có hai trang thái.
3.2 Nội dung và các kết quả đã đạt được
3.2.1 Dáng điệu quỹ đạo của hệ cạnh tranh Lotka-volterra
có hệ sõ tuần hoàn trong m ôi trường ngẫu nhiên
Cho
(íĩ, T ,
P) là không gian xác suất và
(Ẹt)t^o
là xích markov xác định trên (Q, JF, P), lấy
giá trị tong tập hợp
E
= { + , - } . Giả sử (£t) có cường độ chuyển + - và — i + với
a >
0,

p
> 0. Quá trình (£,) có phân phối dừng
V = lim P {£ , = + } = q = ì™ p { & = - } =
f —*00 O i p t —*OC
a + 6
a
(3.2.1)
Giả sử
(3.2.2)
là thời gian nhảy của
ị(t).
Đặt
(3.2.3)
12
Xét một hệ sinh thái trong đó có hai loài. Ta ký hiệu số lượng của từng loài tường ứng
tại thời điểm
t
là
x(t)
và
y(t).
số lượng của chúng được mồ tả bởi PTVP cạnh tranh kiểu
Lotka-Volterra
X
=
X (a(Ẹt, t) - b{Ẹt, t)x
-
c(£í,
t)y)

ỷ = y (d(&, t
) -
e(Zt,t)x - f(Ẹt, t)y)
(3.2.4)
trong đó
g
:
E
—* for
g =
a, ò, c, d, e, / với p(i, •) là các hàm dương, liên tục, tuần hoàn
với chu kỳ
T
> 0.
Quá trình ( ft) can thiệp vào phương trinh (3.4.1) như là tiếng ổn. Nó tạo ra sự chuyển đổi
giữa hai hệ tất định
và
±+(í) = x+(í)(a (+ ,í) -
b{+,t)x+{t) - c{+,t)y+{t)),

ý+(t) = y+(t){d{+,t)
- e(+,
t)x+(t) -
/(+ ,í)y +(í)),
x~(t) = X~{t)(a(-,t) - b(-,t)x~(t)
-
c(-,t)y-(t)),

ỷ-(t) = y~ (t)(d( — , t) - e(-,t)x-[t) -
(3.2.5)

(3.2.6)
Vì vậy sự tương tác giữa hai hệ này sẽ tạo nên sư phát triển của hệ (3.4.1).
Như đã biết, sự phát triển của hệ phụ thuôc vào hai phương trình biên. Vì vậy trước hết
chúng ta nghiên cứu hệ
ủ = u(a{£t,t) - b(£u t)ù), li(O) G :R+ ,
V = v(d(£ft) - f(£t,t)v), -ỉ'(0) <E £ + .
(3.2.7)
(3.2.8)
Nếu
u(t)
là nghiệm của (3.2.7) và
v(t)
là nghiệm của (3.2.8) thì (
Ẹt .
u (f)) và
{Ẹt,v{t))
là
các quá trình markov.
Phương trình (3.2.7) có duy nhất nghiệm tuấn hoàn (£t, !/*(£))
exp{.4(í)}
ỉloo s)
exp{.4(s)}
ds
trong đó
A (t)
— /q
a(Ẹs, s) ds.
Tương tự phương trình (3.2.8) có nghiệm tuần hoàn
v*(t)
BỔ để 3.2.1.

Với m ọi Uo
> 0
(tương ứng Vũ > 0),
lim t_ 00(u(í)
- u *(t)) =
0
a.s.

(tương ứng
lim t_ 00(u(/) -
v*(t)) =
0
a.s.), trong đó u(t) là nghiệm của phương
trình (3.2.7) thỏa mãn
u(0) —
u0 (tương ứng v(t) nghiệm của phương trìn h (3.2.8)

thỏa m ãn i’(0) = Va).
BỔ đề 3.2.2.
VỚI m ỗi hàm h(t, i, u), tuầ n hoàn theo t chu kỳ T ta có
l í * '
1
Í T
Jim
- h{s.ẸSĩu’ (s))ds =
£ ^
h(s. £Sĩ u '{s)) ds
t~'°° t J
0
T Jo

(3.2.9)
Tương tự,
1 ' 1 f T ■
+ h{s.Ẹ s,v'(s))ds
= £
^ h(s.Ẹ5,v t (s))ds

t J
0
1 J
0
13
Chúng ta nghiên cứu các điều kiệnđảm bảo tính bền vững của phương trình (3.4.1).
Đ ịn h lý 3.2.1.
a) Nếu
[ ịaiiut) - c(it,t)v’{t))dt
Jo
> 0
(3.2.10)
th ì
lim in fi_ 00 I / 0'
x(s,x, y) ds
> 0
với P —a.s. và
X > 0, y > 0.
N ếu
7 :=
r
[ (d(tt,t) - e(Zt,t)u'(t))dt
Jo .

> 0
(3.2.11)
th ì
lim in f É_o o J
f 0 y(s
,
x yy) ds
> 0
với P —a.s. và
X > 0,
y
> 0.
ở đây
(x(£, X, y ), y (í , X, y))
/à
nghiệm của phư ơng trìn h (3.4.1).
Remark 3.2.1. a) Chúng ta chú ý rằng tính bền vững trung bình kéo theo
lim sup^QQ x(í) > 0 và limsupt^OQy{t) > 0.
b) Các điều kiện (3.2.10) và (3.2.11) có thể kiểm tra bằng phương pháp mô
phỏng.
Để có được tính chất sâu hơn của của quỹ đạo của nghiệm của (3.4.1), Chúng ta cần
cẩn thêm giả thiết.
3.2.2 Động học của hệ con ổn định
• o • • •
Giả thiết 3.2.1.
Các hệ sô của phương trin h (3.4.2) và (3.4.3)thỏa m ãn:
a (i,t) d (i,t
sup r < in í
0
<t< T b {i,t)

ũ
<t<T e (i.t
a (i.t) d íi.t
in f 7- - > sup
0
< t<Tc(i,t)
0<t<T
f { l, t
b(i, t) c (i,t
in i 7- . > sup
0<t<T e(i, t)
0
<t<T f { i j
với m ọi i e E.
Do (3.4.4), (3.2.13), tồn tại các hằng số sao cho
fl(+ ĩ
t)

Ễ>( + ,
t)

a { - , t)
1 e(+,s) c (+ ,f) 2
f ( + .s)
, „
d (-,s ) a { - , t ) d ( - , s )
< *1 < /— s ; /— N > ^2 >
e (-,s
c ( - ,t)
(3.2.12)

(3.2.13)
(3.2.14)
(3.2.15)
(3.2.16)
b { - ,t)
e (-,s )
c ( - , t )
/ ( - , s )
với mọi
t, s €
3? và
i
e
E.
Nhờ các kết quả trong in [?, 9] chúng ta có thể chứng minh sự
tồn tại nghiệm tuần hoàn của (3.4.1). mà quỹ đạo 7 + (res. 7 “ ), hút tất cả các nghiệm xuất
phát trên (0, 00) X (0, 00), tức là
lim p ((x + ( í) , y + (f)),'Y + ) = 0; ( res. lim p ((x "(í),
y~(t)),
7~) = 0). (3.2.17)
Ể—»ỠO t — o c
ở đây chúng ta ký hiệu p(x, .4) = in f{||x —
z\\
: 2 € .4}.
14
Chúng ta chọn
£
> 0,
s
> 0 sao cho

a(+,í) - b(+,t)e - c(+,t)kỊ > ỏ, d(+,t) - e(+,t)kf - f(+,t)e > ỗ, (3.2.18)
a( — ,t) — b(—,t)e — c{ — ,t)k ^ > ỗ, d( — ,t) — e( — , t ) k ĩ — f ( — ,t)e > ô ,
(3.2.19)
với mọi
t
> 0.
Ký hiệu
Tỵ =
maxj/cj1-,
k ĩ}
và
T
2
=
max{/c^, },
BỔ đề 3.2.3.
Với 5i
> 0,
ỏ
2
>
0
đủ nhỏ, tồn tạiT *
= T]*(ỏ 1,ố2) > 0
sao cho
(xl (t),y l (t))
€
Us1('yl ) với m ọi t 'ỷ T{, miễn là
(V(0), yl (0)) G
JCị2. ở đây ƯStiY) là

5\-lãn cận của
71
và i
6
E.
BỔ để 3.2.4.
Tổn tại
T2* > 0
sao cho xHt*)
^
ki \ yl{t*)
^
kị fo r t*
G [0,
T ’ \, miễn là

(x’(0 ),2/(0)) € /Co. ở đ ạ y ĩ G
E.
Hệ quả 3.2.1. Với
mỗi
0 <
£i < £ và
0 ^
t\ < t% tồn tạ i an
£2 (éTi > £2 > 0)
sao

cho với m ọi i
Ễ

E,
a) N ếu r 2
^ ^ El
(res. Tị
^
x i (ti)
^
E]) th ì Ĩ
2 ^
yi {t)
^ C2 (Ves.
T'i ^ I l(í) ^ uớỉ
mọi t > t\.
b) N ếu (xl ( ti),y l(ti)) E
[<s, r'i) X [0, £2] ỈÀÌ I l(í) G [e:, 7~i] Ví > íi.
N ê u thêm điều

k iện yl{t2) < £1 ta có supẾi<t<(2 yl{t) ^ £ỵ.
Tổn tạ i kết quả tương tự cho (xi(ti),y i (ti))
6 [0. £'2] X
\s,T
2
)-
BỔ để 3.2.5.
Với m ỗi I
e
E, ký hiệu {(xl(t),yl(t))
:
ti
^ í ^ í2} = 7[t

ị ■ Thì,

với m ọi
61 > 0, ở đây ỈS ổ2 > 0 sao
cho N ếu
(xs(íi), y2(íi)) G
Us
2
(Y ) ta có

'yỊu,t1+
2
T]
n
USl{x *,y*) Ỷ
0 u * 1
m ọi (x *,y *)
G 7 1.
Đ ịn h lý 3.2.2. Giả SI? rằng các
điều kiện (3.2.10), (3.2.11), (3.4.4), (3.2.13),
(3.2.14) có được. G iả sử u
;(x, y) Zà
tập UJ— giới hạn của nghiệm
(x(t, X, 2/), y(í, X, y))
Cíỉa
phương trìn h (3.4.1) với X >
0,
y >
0.
Thì

7 +
và ~ị~ là các tập con của uj(x,y).
Đặt
xn
= x (r„,x,y );
yn
=
y{rn,x,y).
B ổ để 3.2.6. Giả sứ
(x*,y*) £
7 _ ưà ố! > 0,
ta có
F {(x n,y n) e ,y*) i.o. n } =
1. (3.2.20)
Tồn tạ i kết quả tương tự đối với
7 +.
Đ ịn h lý 3.2.3.
M ọ i quỹ đạo của phương trình (3.4.2), xu ât p h á t trên
7 ,
tập con

của u j(t, y) với X >
0,
y >
0.
Tương tự, mọi quỹ đạo của phư ơng trìn h (3.4.3), xuất

p h á t từ một điểm trên
7 +,
tập con của u(x, y

).
3.2.3 Đ ộng học của các hệ con song ôn định
Trong mục này, chúng ta giữ các giả thiết (3.4.4),(3.2.13) và (3.2.14) for
i —
+. Như vậy,
phương trình (3.4.2) có duy nhất quỹ đạo tuần hoàn 7 + . Đối với phương trình (3.4.3) Chúng
ta giả sử rằng
15
Giả thiết 3.2.2.
inf_ 77——- > sup - 7— : sup - 7——V < inf_ —7—-— :
0<t<Tb{-,t) 0<t<re(-,t) 0<t<Tc(-,t) 0<t<T f l - t y
(3.2.21)
(3.2.22)
BỔ đề 3.2.7.
D ưới các điều kiện (3.2.21) và (3.2.22), tồn tạ i hàm ự} :
[0, a*) —* 3Ỉ+
sao cho Nếu y < íp(x) th ì
limt^oo
y~(t,
X,
y) =
0
và
lim t_^00(x_ (í, X,
y) — u~
(í,
x))
— 0.
Ngược lại, nếu y > <p(x) thì lim t^oo x~(t, X, y) = 0 và lim t_ 00( y ~ (í, X, y) — v~ (t, -y)) =
0.

N h ư vậy, tồn tại m ột đường cong tru ng tính i, sao cho N ếu
(xo,yo) G
l th ì

nghiệm (x~(t,xo,yo),y~(t,xo,yo)) bị chặn trên và dưới bởi các hăng sô dương.

H ơ n nữa, tồn tạ i duy nhất một quỹ đạo tuần hoàn chứa trong í, (ký hiệu J~),

được viếng thăm bởi mọi nghiệm xuất p h át từ m ột điểm trên i, i.e., với mọi

ỏ >
0,
(x",y*)
e
J~, tồn tại một t
> 0
sao cho (x~ (t, x0,yQ),y~ (t,x0,y0))
€ ơá(i*,y*)
với m ọ i (xo, yo) E i.
Đ ịn h lý 3.2.4.
Giả sử rằng các điều kiện (3.2.10), (3.2.11) có được. G iả sử Lư(x, y)

là tập UI- giới hạn của nghiệm (x(t, X, y), y(t,x, y)) với X > 0, y > 0.
a) M ôi quỹ đạo
7 - (x*,y‘ )
của nghiệm của phương trìn h (3.4.3), xuảt p há t từ

m ột điểm của
7 +
là tập con của Lj(x,y).

b) N ếu
7 + n
A
0
th ì Tx
X {0} c
lu(x , y
).
c) N ế u
7 + n
B Ỷ
0
th ì
{0} X r y c
U){x,y).
d) Nếu c
:= 7+ n
i
/ 0
th ì phần liên thông nhỏ n hất của i, chứa
7 -
thuộc vào

uj{x,y).
3.3 Sư tiến hóa của các hê thú-mồi mô tả bởi
• •
phương trình Lotka-Volterra trong môi trường
ngẫu nhiên
3.3.1 Mở đầu
Ta biết rằng hệ thú mồi

ở đây
a,
ò,
c
và
d
là các hằng số dương,
Nếu ở đây không có ảnh hưởng của môi trường , quần thể phát triển một cách tuần hoàn
[4, 8]. Tuy nhiên, trên thực tế ảnh hưởng của môi trường như khí hậu thời tiến là rất quan
trọng
x{t)
=
x(t)(a - by(t)),

ỳ it) = y {t){ - c + dx(t)),
(3.3.1)
16
V 3
Ịfl
3
✓ 1
?5;
1 /
/
V "
' ỉ
• .*»
_ _ E 3
<1

/ i
153 1
M' ;
k;
3
i
\
!
1 t 5 ? ? b 3 :• s
H inh 3.3 : Imax — Imax >
° y
M ệ n h đề 3.4.5.
Tồn tại El
> 0
sao cho nếu Ă2 thỏa m ãn
y^2ax
- 'm > ơx ở đây

m > q
+
6ũ, thì ỹ > m + ơx/2 đối với mỗi
(ĩ,
ỹ)
6 A2 n
[p -
2ei,
p]
X [ợ, 00).
Tổng kết lại ta nhận được
M ệ nh để 3.4.6.

Giả sử Xi và
Aj
là đường cong tích ph â n của
(3.4.2).
Giả sử răng

Ai n A2 n [p + £\ 00) X [0, 00)
Ỷ
0
và
n
Ằ
2 n
\jị —
2
£i,p\
X [g, 00) ^ 0
thì
m ax m ax V •
II: Hệ với các điểm dừng phân biệt
Chúng ta giả sử rằng (pi, Ợi) (p2, Ợ2)- Chúng ta xét P2 ^ Pi; 92 > 91 ■ Các trường hợp
khác tương tự.
M ệ nh để 3.4.7. Với £■ Ã/ló 7i/iỏ,
tồn tạ i các số dương
£2
và ơy
> 0
sao cho: nếu tồn tạ i

x2,

nối các
điểm (ĩ,ỹ) € [pi- e , 00) X [qi-£2, qi+eỉị và (ĩi^ỵ) G [pi, 00) X [q2, q2 + 2 E2\
th i đỗi với mỗi
Ai,
đ i qua ("Si
, ỹ j),
chúng ta có
ĩ l - 5 > <v
(see
Fig ure 3.4).
06 i 15 ? fr S 3 3$
f*j p.
H ình 3.4: - X >
ơy.
%
19
ước lượng thời gian đi vào
Với trường hợp I, chúng ta đặt
u
= [p + e, 0 0) X [q,q + 2e2], Ui = \p + 2e, oo ) X [q,q + e2},
V = [ p - 2 e i,p ] X [g + 0 0,0 0), Vi = [p-Eup] X [ọ + 2ớ0,o o )
Đối với trường hợp II, chúng ta đặt
u
=
[pi - £,
oo) X [Ợl - e2,gi +£2], t/i = [pi,oo) X [Ợl - £T2, Ợi],
V = [pi,oo) X [<72, <72 + 2ễt2], Vi = b i, 00) X [<?2, <72 + £2]-
Giả sử
Ti(x, y) = in f {5 : h o ặ c (xi(t + s), yi(t + s)) e [/1 h o ặ c ( x i( í + s), yi(t + s )) € H 1 }
đối với trường hợp I

và Tj(x,
y)
= in f{s : (xi(í + s),
Ui(t + s)) £ U \}
đối với trường hợp II.
Tương tự,
T2{x,y) = m f{ s : h o ặ c {x2{t + s),y2{t + s)) e VL h o ặ c ( x 2(í + 5 ) , y2{t + s)) € H\).
Vì mỗi đường cong tích phân dễ thấy
T \(x,y )
< 00, 72(x,y) < 00 và không phụ thuộc
theo í.
Giả sử
H 2 =
[fci, £2] x [m i, 7n2] là hình chữ nhật bất kỳ chứa các điểm dừng của (3.4.2)
và (3.4.3). Do Ti(x,
y)
và 72(1 , y) là liênd tục theo (x, y), tồn tại một hằng số
T" >
0 sao
cho
Ti(x, y)
^
T ', y)
^ T* đối với mỗi (x,
y)
€
Ỉ Ỉ
2
-
Hơn nữa tổn tại í* sao cho nếu

(xi(í).y i(O )
£ Ui n H 2
thỉ (x i
(t
+
s),yi(t
+
s))
€
u
đối với mỗi 0 ^
s
^ í*. Tương tự,
nếu (x2(í), ỉ/2(0) € Vi n
H
2 thì
(x
2(í + s),
y2{t
+ s)) e V" đối với mỗi 0 < s ^ í*.
Ký hiệu
H = H
2
\ H ị
trường hợp I
và H = H 2
trường hợp II.
3.4.1 Động học của của quần thê có tiếng ổn
Đ ịn h lý 3.4.1.
Giả sử rằng

(3.4.2)
và
(3.4.3)
có điểm dừng chung. VỚI mỗi

(
X
,
y)
€
irifR ^, chúng ta có với xác suât 1, hoặc
lim ( x (í, X, y),y(t,x,y)) = (p,q),
(3 .4 .8)
hoặc,
lim su p x(t,x, y) = 0 0 , lim in f I ( í , X, y ) = 0,
/ — 00 t—*00
(3 .4 .9)
lim su p y(t,x, y) — 0 0 , lim in f y(t. X, y) — 0.
í —*0o t — 00
(3 .4 .1 0)
20
3.5 Các công trình khoa học chính và ân phẩm
khác
c) Đã viết được 01 cuốn sách "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên". Cuốn sách này
có thể dùng làm tài liệu ging dạy cho Cao học hoặc tài liệu chuyên kho cho NCS
Các kết qu nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên các bài báo và báo cáo khoa học
sau:
1. Nguyễn Hữu Dư. "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên". NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội 2005.
2. Nguyễn Hữu Dư. "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên". NXB Đai học Quốc

gia Hà Nội 2005.
3. Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam. Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra model
perturbed by white noise, đang in trong tạp chi Jour of Mathematical Analyse and
Applications
4. N. H. Du , R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Dynamical behavior of lotka - volterra
competition systems: non autonomous bistable case and the effect of telegraph noise,
Journal of Computational and Applied Mathematics, 170 (2004), no 2, pp. 399-422
5. N. H. Du, R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Evolution of Periodic Systems under
Telegraph Noise, Tohoku Mathematical Journal, December 2005, Vol 57, No 4.
6. Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population under random
environment. Proceeding of International conference on Mathematical Modeling in
Biology
7. N. H. Du, Y. Takeuchi, N. T. Hieu and K. Sato. Evolution of predator-prey systems
described by a Lotka-Volterra equation under random environment, đang in trong tạp
chi Jour of Mathematical Analyse and Applications
3.6 Kết luận
Ta đã nghiên cứu động học của số lượng các cá thể của một hệ được mõ t bởi phưng trinh
cạnh tranh Lotka-Volterra với hệ số tuần hoàn hoặc phương trình thú mồi trong môi trường
ngẫu nhiên. Sự ngẫu nhiên có thể can thiệp vào hệ thõng qua một quá trình Markov bước
nhảy có hai trạng thái, ở mỗi trạng thái, hệ có hệ số tuần hoàn và thỏa mãn các điều kiện
ổn định, do đó tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn hút các nghiệm khác. Khi thay đổi trạng thái
của quá trình Markov, sự phát triển của hệ thay đổi theo tạo thành một sự phát triển hỗn
loạn. Tuy vậy, chúng ta đã chỉ ra được dáng điệu của tập u,'— giới hạn của hệ. Việc biết
thông tin này rất quan trọng vì nó chỉ cho chúng ta là dù có sự biến đông ngẫu nhiên, hệ
vẫn luôn phát triển bển vững. Song sự phát triển bền vững nàỵ chỉ tồn tại về phưng diện iý
thuyết. Trên thực tế khi số lượng của một loài nào đó thấp hơn một ngưỡng cho trước thi ta
xem loài đó đã bị diệt vong. Trong kết quả đã chứng minh rằng mồt phần thuộc biên thuồc
về tập
uj—
giới hạn nên ta phải xem một trong hai loài sẽ bị diệt vong.

21
Câu chuyện cũng xảy ra tương tự khi nghiên cứu động học của hệ thú mồi trong môi
trường ngẫu nhiên. Chúng ta xét hệ sinh thái gồm có hai loài, trong đó loài thứ nhất là con
mồi của loài còn lại. Chúng ta cũng giả thiết hệ được phát triển trong hai chế độ khác nhau
của môi trường và sự chuyển đổi giữa các chế độ này tuân theo quá trình quá trình Markov
bước nhảy. Được biết rằng trong môi trường tất định, hai loài được phát triển theo quy luật
tuần hoàn. Tuy nhiên chúng ta đã phát hiện ra rằng trong môi trường ngẫu nhiên, hệ phát
triển hết sức hỗn loạn, số lượng của các loài khi thì trở nên rất nhỏ bé, khi thì trở nên rất lớn
và như vậy thì hệ không phát triển bền vững về phương diện thực tế. Cũng như trong mô
hình cạnh tranh, hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp.
Số lượng các loài có thể dao động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức
vô cùng) và về thực tế thì hệ có nguy cơ bị tiêu diệt. Các kết luận từ các mô hình trên đều
khẳng định rằng, trong một môi trường, khi chế độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu cũng như
chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi một cách ngẫu nhiên thì sớm hay muộn sẽ có một loài bị
diệt vong. Các kết luận này đóng vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn thực hành. Nó
giúp cho các nhà đầu tư hoach định chiến lược để kịp thời có thể thiệp vào hệ để khai thác
tối Ưu hệ và tránh việc phá hủy môi trường sinh thái.
22
Tài liêu tham khảo
[1] M. Ballys, Le Dung, D.A. Jones và H.L. Smith, Effects của random mortality
on Microbial growth và competition inflow reactor,
SLAM J. A ppl. M ath.
57, No 2
(1998), 573-596. 374-402.
[2] P. L. Chesson và R. R. W arner, Environmental variability promotes coexistence in
lottery competitive systems,
Amer. N atur.
117 (1981), 923 943.
[3] N. H. Du, R. Kon, K. Sato và Y. Takeuchi, Dynamical Behavior of Lotka - Volterra
Competition Systems: Non Autonomous Bistable Case and the Effect of Telegraph

Noise,
J. Comput. Appl. M ath.
170 (2004), 399-422.
[4] J. Hofbauer và K. Sigmund,
E volutio nary Game and Population D ynamics
,
Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[5] M. E. G ilp in
, Predator-Prey Comm um ities
, Princeton University Press, 1975.
[6] M. Loreau, Coexistence of temporally segregated competitors incyclic environment ,
Theoret. P opula tion B iol.
36 (1989), 181 —201.
[7] T. Nam ba và s. Takahashi, Competitive coexistence inseasonally fluctuating
environment : II. Multiple stable states and invasion success,
Theoret. P opulation

B iol.
44 (1993) 374-402.
[8] Y. Takeuchi,
G lobal D ynam ical Properties o f Lotka-V olte rra Systems,
World
Scientific Pub. 1996.
[9] Nguyen Huu Du. On Existence of Bounded Solutions forr Lotka-Volterra Equations,
Acta M ath. Vietnam.
25 (2000), no. 2, pp. 145—159.
23
Đê tài support cho các học viên cao học sau:
1. Phạm Thị Hằng
2. Nguyễn Thị Hoàng Oanh

3. Nguyễn Thị Hồng
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
• • • ■
PHẠM THỊ HẰNG
ĐÔNG HỌC CỦA QUẦN THẺ ĐƯỢC MÔ TẢ
BƠI PHƯỜNG TRÌNH LOTKA - VOLTERRA
CHỊU NHIẺU NGẪU NHIÊN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 1.01.04
Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS. Nguyễn Hữu Dư
Hà Nội - 2004
A2>'
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
• • • •
Nguyễn Thị Hoàng Oanh
ĐỘNG HỌC CỦA QUẰN THẺ ĐƯỢC MÔ TẢ
BỞI HỆ CẠNH TRANH LOTKA-VOLTERRA
* *
TRONG MÔI TRƯỜNG NGẢU NHIÊN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 1.01.04
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Hữu Dư
Hà Nội - 2005
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
• • • •
Nguyễn Thị Hồng
VÈ BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA

CÁC HỆ NGẢƯ NHIÊN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 1.01.04
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Hữu Dư
Hà Nội - 2005
Các công trình liên quan đến đề tài
1. N. H. Du, N. T. Hìeu, K. Sato and Y. Takeuchì. Evolution of
predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under
random environmen, in Print.
2. N. H. Du, R. Kon, K. Sato and Y. Takeuchi. Evolution of
Periodic Systems under Telegraph Noise, Tohoku Mathematical
Journal, December 2005, Vol 57, No 4.
4. Nguyễn Hữu Dư. Điều khiển hệ tất địng và ngẫu nhiên. NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội 2005.