Bài toán tĩnh và động của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp

DẠỈ nọc QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
* * *
BÀI TOÁN TĨNH VÀ ĐỘNG
CỦA MÔI TRỪỜNG ĐÀN - DẺO
CHỊU TẢI PHỨC TẠP
Mã số: QT - 02 - 02
TPUSGĨAV 'i i iÍÁ it.: íil ự 7!ẼM
Ko 0T U ầ ?
CHỦ TRÌ ĐỀ TÀI PGS.TS. ĐÀO VĂN DŨNG
CÁN B ộ THAM GIA GS. TSKH. ĐÀO HUY BÍCH
HÀ NỘI - 2003
A. BÁO CÁO KẾT QUẢ THƯC HIỆN ĐE t à i
NĂM 2002 và 2003
1. Tên đề tài:
"Bài toán ữnh và động của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp"
(Static and dynamic problems in elastoplastic media subjected
to complex loading processes)
Mã số: QT - 02 - 02
2. Chủ trì đề tài: PGS.TS. ĐÀO VÃN DŨNG
3. Cán bộ tham gia: GS. TSKH. ĐÀO HUY BÍCH, trường ĐHKHTN
4. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Trong thực tế người ta thấy rằng nhiều kết cấu bị mất khả năng làm việc
không phải do không đủ độ bền mà do bị mất ổn định mạc dù thời gian làm
việc của chúng chưa nhiều. Do vậy nghiên cứu vấn đề ổn định của các kết cấu
thành mỏng được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm.
Đặc biệt các vấn đề ổn định của bản và vỏ mỏng đàn - dẻo chịu tải phức
tạp còn có ít công trình nghiên cứu. Do vậy đề tài này nhằm giải quyết các bài
toán sau đây:
* Ôn định đàn dẻo của vỏ tròn xoay.
* Ôn định của mảnh vỏ trụ tròn theo lý thuyết quá trình đàn dẻo.

* Ôn định đàn dẻo của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp với các điểu kiện biên
động học khác nhau.
* Các tính toán bằng số cho một số bài toán ổn định.
* Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.
* ứng dụng phương trình Van der Pol để nghiên cứu hiện tượng mất ổn
định khí động.
5. Các kết quả đạt được.
a) Bài toán ổn định của vỏ tròn xoay: Bài toán ổn định của vỏ đàn hồi
tròn xoay đã được nghiên cứu, tuy nhiên với vỏ đàn - dẻo đang còn ít được
quan tâm. Vì vậy trong cỏng trình này tác giả đã sử dụng lý thiiyết quá trình
đàn - dẻo dể thiết lập các hệ thức cơ bản cho bài toán ổn định vỏ tròn xoay
1
đàn - dẻo chịu tải phức tạp. Đã khảo sát bài toán ổn định của bản tròn và vỏ
cầu. Từ biểu thức của lực tới hạn có thể nhận lại kết quả của Timoshenco và
Hutchinson cho vỏ đàn hồi. Phương pháp đề xuất phù hợp, khoa học và có độ
tin cậy cao.
b) Vê' vấn đề ổn định của mảnh vỏ trụ tròn đàn - dẻo.
Trong bài báo, tác giả dựa trên tiêu chuẩn rẽ nhánh trạng thái cân bằng
và phương pháp Bubnop - Galerkin đã nghiên cứu hai vấn đề sau đây:
* Thiết lập hệ phương trình ổn định của mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu nén dọc
theo đường sinh, giải bài toán, đưa ra hệ thức chung của lực tới hạn đồng thời phân
tích chi tiết các trường hợp riêng cho phép nhận được kết quả cụ thể hơn.
* Giải bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt bằng phương pháp
Bubnop - Galerkin, dẫn ra được hệ phương trình đại số của Am. Từ đó nghiên
cứu lực tới hạn ở các gần đúng thứ nhất, thứ hai và thứ ba.
c) Về sự ổn định của mảnh vỏ trụ đàn dẻo chịu tải phức tạp với liên kết
biên tựa bản lề và liên kết biên ngàn.
* Đã xây dựng hệ các phương trình ổn định.
* Giải bài toán bằng phương pháp Bubnov - Galerkin.
* Xây dựng hệ thức tìm lực tới hạn cho mảnh trụ dài.

d) Phương pháp số cho bài toán mảnh vỏ trụ đàn - dẻo chịu lực trượt:
Trong công trình này tác giả đã sử dụng công cụ máy tính để tính toán
bằng số cho một số dạng kết cấu cụ thể là mảnh vỏ trụ thép 30XTCA. Đã
nhận được các bảng số liệu tính toán, từ đó đưa ra những nhận xét. Kết quả
khá phù hợp với tính chất cơ học của kết cấu.
e) Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.
* Khảo sát xem trường hợp nào thì phương trình Matchie có nghiệm đúng.
* Trường hợp nào không có nghiệm đúng và cách tìm nghiệm gần đúng.
f) ứng dụng phương trình Var der pol để nghiên cứu hiện tượng mất
ổn định khí động.
* Sử dụng phương pháp tựa cân bằng điều hoà để nghiên cứu tính chất
nghiệm của phương trình.
* Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tố cưỡng bức.
* Điều kiên mất ổn định khí động.
2
Các kết quả nghiên cứu được thể hiện trẽn các bài báo và báo cáo
khoa học sau:
Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích, ứng dụng phương trình Van der pol
để nghiên cứu hiện tượng mất ổn đinh khí động. Tuyển tập các công trình
Hội nghị Cơ học Toàn quốc lần thứ v n , Hà Nội, 12-2002.
2. Đào Văn Dũng, về bài toán ổn đinh của mảnh vỏ trụ theo lý thuyết quá
trình đàn - dẻo. Tuyển tập các công trình Hội nshị Cơ học toàii quốc lần
thứ VII, Hà Nội, 12 - 2002.
3. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích. Cách tìm nghiệm của phương trình
Matchie. Tuyển tập các công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ
VII, Hà Nội, 12 - 2002.
4. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the cylindrical
panels subjected to complex loading with the simply supported and
clamped boundary constraints. VNU. Journal of science, Mat - Ph.
T.XIX, No.3, 2003.

5. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the thin round
cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various
kinematic boundary conditions.
(Tạp chí cơ học đã nhận đăng vào số 1 năm 2004).
6. Dao Huy Bich. On the elastoplastic stability problem of shells of
revolution. Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.
* Năm 2003:
+ Các bài báo và báo cáo khoa học và thù lao chuyên môn 10.000.000d
6. Tình hình kinh phí hai năm 2002 và 2003:
* Nám 2002:
+ Chi hội nghị khoa học
200.000đ
6.000.000đ
l.OOO.OOOđ
800.000đ
+ Bồi dưỡng chuyên môn và xemina khoa học
+ Chạy chương trình trên máy tính
+ In ấn tài liệu, đánh máy và các chi phí khác
Tổng cộng: 8.000.000đ
+ Hội thảo và xemina khoa học
+ Chế bản điện tử, chạy chương trình
+ Các chi phí khác
2.400.000đ
1.600.000đ
l.OOO.OOOđ
T ổ n g cộ n g : 15.0 0 0.000 đ
3
7. Nhận xét và đánh giá kết quả thực hiện đề tài.
* Đã hoàn thành tốt mức dự kiến và các mục tiêu của đề tài, vượt chì riêu
về số bào báo và báo cáo khoa học: 3 bài báo đăng ở tuyển tập Hội nghị Cơ

học toàn quốc tháng 12 năm 2002; 1 bài đăng ở tạp chí khoa học ĐHQG năm
2003; 1 bài đã đăng Tạp chí Cơ học tập 25, số 1, năm 2003; 2 bài gửi đăng
Tạp chí Cơ học năm 2004.
* Các vấn đề nghiên cứu cập nhật và cần thiết.
* Đề tài không những góp phần về lý luận khoa học mà còn có ý nghĩa
trong ứng dụng thực tiễn.
* Đề tài góp phần thúc đẩy chuyên môn của cán bộ cũng như góp phần
đào tạo cao học, NCS thông qua các xemina khoa học định kỳ và thường
xuyên. Điều này góp phần phát triển đội ngũ cán bộ cũng như ngành Cơ học
của Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội.
* Đã hướng dẫn 3 sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp.
* Đang hướng dẫn 2 sinh viên làm khoá luận tốt nghiệp theo hướng đề tài.
* Nhóm đề tài kiến nghị được tiếp tục nghiên cứu theo phương hướng này.
XÁC NHẬN CỦA BAN CHỦ NHIỆM KHOA CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI
PGS. TS. Đào Ván Dủn.
'■g
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG
PHÓ HIỀU TRƯỚNG
SCIENTIFIC PROJECT
Branch. Mathematics - Mechanics
1. Title: STATIC AND DYNAMIC PR OBLE MS IN ELASTOPLASTIC
MEDIA SUBJECTED TO CO MPLEX LOADING PR O C ES SES
2. Code: QT - 02 - 02
3. Key implementors: Dao Van Dung
Dao Huy Bich
4. Duration: From 2002 to 2003
5. Main results:
In this project, our staff have studied the following topics.
1. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Application of Van der pol

equation for solving aerodynamic instability problems. Proceedings of the
seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.
2. Dao Van Dung. On die stability problems of cylindrical panels in the
theory of elastoplastic processes. Proceedings of the seventh National
Congress. On Mechanics, Hanoi, December, 2002.
3. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Solutions and propeties of solution
of Matchie equation. Proceedings of the seventh National Congress on
Mechanics, Hanoi, December, 2002.
4. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the
cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported
and clamped boundary constraints. VNU Journal of science, Mat - Ph. T.XIX,
No.3, 2003.
5. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the thin round
cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various
kinematic boundary conditions. Accepted to publication in the Vietnam
Journal of Mechanics, 2004.
6. Dao Huy Bich. On the elastoplastic stability problem of shells of
revolution. Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 I, 2003
6. Results: 3 research papers have been published in the Proceedings of
the Seventh National Congress on Mechanics Hanoi, December 2002 and 1
research paper published in VNU Journal of Science Math-Phys. TXIX, N23,
2003; 1 research paper published in Vietnam Journal of Mech, Vol 25, N21,
2003; 1 research paper accepted to publication in the V Journal of mech 2004.
5
B. NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐE t à i .
I. Lòi mở đầu:
Vấn đề tĩnh và động lực học của môi trường đàn - dẻo chịu tải phức tạp
có một nội dung rất quan trọng đó là việc nghiên cứu sự ổn định của các kết
cấu đàn dẻo khi chịu tác động của quá trình tải phức tạp.
Để giải quyết bài toán đặt ra cần phải xây dựng các phương trình ổn

định, đưa ra lời giải, tìm các biểu thức xác định lực tới hạn. Sau đó tính toán
bằng số cho một số dạng kết cấu.
Nội dung thứ hai cũng cần được quan tâm là xây dựng những phương
pháp giải cho các hệ phi tuyến, chỉ ra những tính chất nghiệm, những tương
tác giữa yếu tố phi tuyến và điều kiện mất ổn định khí động.
Do vậy đề tài có ý nghĩa khoa học và thời sự cũng như góp phần vào việc
phát triển cơ học vật rắn biến dạng và đào tạo đội ngũ cơ học.
ũ . Nội dung chính.
1. Vấn đề ổn định của vỏ tròn xoay đàn - dẻo.
Bài toán Ổn định đàn hồi cúa vỏ tròn xoay đã được giải quyết, tuy nhiên
bài toán ổn định theo lý thuyết quá trình đàn dẻo còn ít được quan tâm. Đề tài
nhằm thiết lập các hệ thức cơ bản của bài toán ổn định đàn dẻo của vỏ tròn
xoav chịu quá trình tải phức tạp. Đã xây dựng hệ các phương trình ổn định.
Khảo sát bài toán ổn định của vỏ cầu và bản tròn, nhận được biểu thức của lực
tới hạn cho các trường hợp sau:
* Bản tròn đàn - dẻo chịu tải đối xứng.
* Vỏ cầu đàn - dẻo chịu tải phân bố đều.
* So sánh các kết quả tìm được với các kết quả đã biết trước đây.
2. Bài toán ổn định đàn - dẻo của mảnh vỏ trụ.
Xét mảnh trụ tròn tựa bản lể hoặc ngàm theo các cạnh, mặt trung bình có
bán kính bằng R, bề dày h. Vạt liệu không nén được, không xét đến sự cất tải.
Giả sử kết cấu chịu các lực Pjj = p,j(t). Vấn đề là cần phải xác đinh giá trị tới
hạn t* và tương ứng là các lực tới hạn Pij* = Pjj(t*). Đề tài đã xây dựng được
biểu thức tìm lực tới hạ II ch'j các trường hợp sau:
6
* Mảnh trụ chịu nén dọc đường sinh.
* Mảnh trụ chịu tác dụng của lực trượt.
* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương, tựa bản lể tại bôn cạnh.
* Mảnh trụ chịu nén theo hai phương có hai canh tựa bản lề còn hai canh
kia chịu ngàm.

* Tính toán bằng sô' với những quy luật tải phức tạp khác nhau.
* Các kết quả phản ánh đúng ý nghĩa cơ học khi kết cấu làm việc.
3. Bài toán Ổn định của vỏ trụ tròn chịu tải phức tạp.
Xét vỏ trụ tròn dài 1, bán kính R và bề dầy h, chịu nén theo hai phương
bởi các lực p = p(t), q = q(t). Bài toán là cần tìm các tải tới hạn p* = p(t‘),
q* = q(t*). ở đây sử dụng tiêu chuẩn tựa tĩnh để xét sự ổn đinh của vỏ trụ. Đã
tìm được lực tới hạn bằng phương pháp Bubnov-Galerkin cho các trường hợp
sau:
* vỏ trụ tròn tựa bản lề tại = 0 và Xị = L
* Vỏ trụ tròn chịu ngàm tại = 0 và X; = L
* Tính toán bằng số đối với vỏ bằng thép 30XrCA với các quy luật đặt
tải bậc 2, bậc 3.
4. Cách tìm nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình Matchie.
Trong kỹ thuật có nhiều bài toán dao động của cơ hệ một bậc tự do dẫn
đến việc khảo sát phương trình Matchie:
ỷ -(c o 2 - u)y = 0
trong đó co2 không đổi, u = u(t)
Đề tài đã xét các trường hợp sau:
* Khi nào thì phương trình Matchie có nghiệm đúng.
* Khi phương trình Matchie không có nghiệm đúng thì đã chỉ ra cách tìm
nghiệm gần đúng của nó.
* Đã khảo sát được tính chất nghiệm phụ thuộc vào các tham số của
phương trình và điều kiộn đầu.
7
5. ứng dụng phương trình Van der pol đ ể nghiên cứu hiện tượng mất
ổn định khí động.
Nghiên cứu hiện tượng mất ổn định khí động dẫn tới nghiên cứu tính chất
nghiệm của phương trình Van der pol với hệ số phụ thuộc vào tần số của lực
kích động và có giá trị hữu hạn, do đó không áp dụng được phương pháp tham
số bé. Để tài đã áp dụng phương pháp tựa cân bàng điều hoà để giải bài toán.

Vấn đề đặt ra là khi áp dụng phương pháp đó có cần đưa vào những giả thiết
nào đối với các hệ số.
+ Bài báo đã đưa ra được những điều kiện cho phép bỏ qua các đại lượng
điều hoà bậc cao.
+ Phát hiện một sô' tính chất phù hợp với kết quả thực nghiệm, góp phần
giải thích về phương diện lý thuyết đối với các hiện tượng đó.
+ Tương tác giữa yếu tố phi tuyến và yếu tố cưỡng bức trong phương
trình Van der Pol và điều kiện mất ổn định khí động đã được khảo sát trong
bài.
III. Kết luận.
Đề tài QT - 02 - 02 đã thực hiện đúng với bản đăng ký nghiên cứu và đã
hoàn thành tốt. Các kết quả đạt được là mới và có ý nghĩa khoa học. Đây là
những vấn đề thời sự được trong nước và ngoài nước quan tâm. Đề tài góp
phần phát triển chuyên môn cũng như đào tạo sinh viên, cao học, nghiên cứu
sinh. Đã góp phần hướng dẫn 3 sinh viên làm khoá luận tốt nehiêp và đang
hướng dẫn 2 sinh viên theo hướng nghiên cứu này.
IV. Các kết quả.
1. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Application of Van der pol
equation for solving aerodynamic instability problems. Proceedings of the
seventh National Congress on Mechanics, Hanoi, December, 2002.
2. Dao Van Dung. On the stability problems of cylindrical panels in the
theory of elastoplastic processes. Proceedings of the seventh National
Congress. On Mechanics, Hanoi, December, 2002.
3. Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich. Solutions and propeties of solution
of Matchie equation. Proceedings of the seventh National Congress on
Mechanics, Hanoi, December, 2002.
8
4. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the
cylindrical panels subjected to the complex loading with the simply supported
and clamped boundary constraints. VNU Journal of science, Mat - Ph. T.XIX,

No.3, 2003.
5. Dao Van Dung. On the elastoplastic stability problem of the thin round
cylindrical shells subjected to complex loading processes with the various
kinematic boundary conditions. Accepted to publication in the Vietnam
Journal of Mechanics, 2004.
6. Dao Huy Bich. On the elastoplastic stability problem of shells of
revolution. Vietnam Journal of Mech, NCST, Vol 25, N2 1, 2003.
9
c. PHỤ LỤC
10
T u y ể n t ậ p c á c c o n g t r ì n h H ộ i n g h ị Ccr Ỉ1ỌC :o à a a u ố c l ầ n t i ứ v u
Hà íVội, 12-2002
VỀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA MẢNH v ỏ TRỤ
THEO LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH DÀN DẺO
Đào Văn Dũng
Đại học Quác gia Hà iVộj
T ó m feắt. Dựa tr in tiêu crulán rê nhánh trạng thái càn binq và phuơnq pnáọ
3uònoo - Gaitriãn, báo cáo ngnie'n cưu nán đ ì á t điruĩ cùa mánh vó trti đàn - iio
làm òdnq vát liêu khónq nén đuơe, chiu nén dọc ứìeo iuà nq sữúi node chiu lực ir u ợ t
3 ã záy dung đutre àiétẩ thúc tim tái tà i 'nạn. Vỡĩ két cáu là đàn hài node đàn dio
nhá, từ két qua náy có th ỉ nilận itạ tá c truớnq hạp đã òiét irướe đây.
1. 3 à ỉ :oán án định
Xét một mánh rò trụ ĩròn tựa bàu lề theo các cạnh, mạt trung bìnn của aó
có bán kính bàng R , bè dầy là k. Vật liệu là kiòng nén. được và không xét dến sự
cắt tải. Chọn hệ tọa độ trụ sao cảo trục r hướng dọc đường sinh, trục y = R8\
:heo aưcmg vòng tròn, :rục 2 theo hướng pháp tuyến cùa mành võ, ờ dây 91 ià
3-óc òm ờ tâm. Gọi a, b là chiêu dài và chiêu rộng của mánh vò tưcmg ứng theo
:rục Ox và Oy. Già sừ kết cấu chịu tác dụng của các lực a?oài pij ĩhay đổi tùy
ý theo một ;ham số tài í nào đấy. Vấn đè đặt ra là xác định giá trị :ới han í . và
"tnmg ứng là các ì ực tói ỉxạn. p-j sao ciio khi •nrọrt auá các giá :rị nàỵ thi kết cáu

bị mát ổn dịnh.
Sau đây giải bài toán đá nêu trong h.ai tnrờng hạn
2. M ảnh v ò trụ cìũu nén doc đ ư ờng sinh
Già thiết ring manj trụ bị nén dọc đưcm? sinii bời iực phân bó đêu với caróm?
dộ bàng P(t). Tại thời điếm nào đấy tồn tại rrạng ihái ứng suát ọảằng trong két
~ p(^)j Gyy = 0, & zy = &z z = & 'jz = Q zz = Qĩ
<T% = p(t) = ?■ (2-1)
T ừ đây say ra các thành phần cùa tenxor tốc độ biến dạng tvxmg ứng được
xác định :heo lý tiiuyết quá crìnii dàa dẻo Í2Ị là
- - — p ẻ = 0 ỉ"**)
“ ỷ ịs ) ' ” ~ 2®/(ò) ’ s? 1 j
Độ dài cung cùa quỹ dạn biến dạng cảo bời
— — — lè2 • C1 • - - J. \ 1(,: — Ếííl
V r ™ ytf =»' “ ®'(s)
Tích phàn phương trình này tìm đưọrc
®(J) = pit) = O'u- (2.3)
Phương 'rình, đa định đàn - dẻo của -nành trụ có dạn? [3i
d*Sxu _ d*5w d*5w 9 ! 325w 1 <52\3'
<*1
c^ỉtí/ a 9w ơ ỡw y / crỉu/ 1 ỡ*\3\ . ,
d ĩ* đ i- ỡ y - ~ ởy* “ Ã*]ỹ l p <?=- " I ơ ĩ 7 / °
34,ị5 N d25w
^ J x ^ ' ^ d x - d y àx- = 0 ^ ‘5)
trong đó
V — ĩa. — í ■ - — ' — >t \
3 ’ ai = Ì ^ Ú ’ 3=3W’
3 1 V 'V _ V
@1 - , — , “ 7 . — 3 — -J , J5 = -7 (2.6)
4 4 © ạr <0;
Ta chọn biếu tiiứe của gia só độ võng, sao cho thõa dãn điều kiện biên tựa

bàn lè, dưới dạng
m-TX n-zy
01» = A sin

sin —— ■ (2.7)
a i
Tỉiay hệ thức này vào (2.5) tim được phương trình, xác dinh p, aghiệm riêng cùa
pnirơng trinii này là
m ir z riĩr y
ạ = B s in

sin

(2.3)
a 0
trong đó.
3 - - r , , , ( ? ) •
T * ( = ) * - * ( = ) ( t ) s^ ( t ) ‘
Thay ôm và ỈỌ vào (2.4) và từ điều kiện không :ầm thương của nghiệm tức là
A r= 0, nhận được hệ thức xác dịnh lực :ới hạn của màniĩ trụ
9 frrvK \' f m ir \4 4%/ m ir \2 /TOT\ 5 /n ỉT \*
h?iV ( a ) p~ai\~r) *2{~J ( t ) ~ ( t )
k 2 R *
ư ớc lược và biến đổi Hầ-n đến
* u ầ ' y ( Ề ! ^ ^ ) V ™
Sau đây Qgiiiên cứu chi tiết hệ thức (2.9).
Trường hợp 1: Nếu mành trụ vuông (tức là a = á) và m = n = 1 tìù (2.9)
trờ thành
_ Nh? /T \ • .V a2 t
p = 9 U J (a i 3 )- ^ ( ^ - * 3 - * ) •

Thay biếu thức cùa a i, Ị3\, 0Z, Í3s từ (2.6) vào đây :a được
N t : Ị h \ 2 (13 3<d'\ N cr 4®'
p ~ ~ 9~ ( ỉ ) ( 4 “ ỉ i v “ x i (15« ' - ,V) ( )
Khi R — -hoo từ (2.10) suy ra
Nir1 fh\*(iz . 3 ó'
p =
fh \'1 (1Z 2Ó '\
( ĩ ) ( r + ĩ f ) (2-u)
Đây chính là hệ thức xác dinh lực tới hạn của bân đàn - dẻo ciiỊu aén theo một
phương [3|
Trường hợp 2: Nếu giả thiết z ~ — 1 ss 2 (xem (lỊ), ;iù tử (2.6) dễ dàng suy
X , \ N „ -V
ĩ \ = £3 = ^7 3 - ^ - 1 ) » 2 ^7 , ,35 = ~
(p' ợ \ ỵ J ợ o'
Đặt i = ^- và x = (mr) a i ^ j ” - 2 -T ^ j ”j , khi đó (2.9) đưa vè dạng
■’ - ĩ L ỵ - ĩ L — - -
r ~ p p ã 2 ’ N X
Suy ra hệ tíiức xác dịnh i2 là
,2 N X * „ _ iV b2 i t ,
p X - 3 ’ p R2ÍY t2’12*
Bây giờ ta tìm giá trị ahò Tì hất của t". Trước àết ta :ín i
d i2 iV X * - 2 3 X
a x p [ X -
3
)
-
= 0
dẫn đến X . m 2 3 . M ặt khác vì
d2i2
d X 2

2 N „
= —- > 0
X=X' p 3
Vậy giá trị niiò nhất của là
Tĩr đây tìm được biếu thức xác đinh lực p tới kạn
(2.13)
(2.14)
Nếu kết cấu là đàn dẻo niiò tức là iV = — , o' = dịĩ-i) từ (2.14) nhận được kết
-ti
quà trong [lị.
Ip /
Trvờng hợp 3: Ta không sứ dụng già thiết 3 - 1 as 2.
Trước hết đặt
3Ố . /TTIỐN2
* = T« & = í ì ’ * =
h \naJ
khi đó hệ thức (2.9) trờ ihànii
r n r J 2 ,
, -V , „ 1. iV à3
0' ' p iỉ2
ứ
T ừ đây suy ràng
, _ . V ý 3 ( a x g -T 2 -T
3 . / „ „ „ \ -VÒ'
Cực tiểu hóa biếu tixứe aày theo é và. 9 nhận dược
-V ố2 / đ5\ - l
ở =
(2.16)
Thay (2 .16) Tào hệ thúc của i“ dẫn rign
Sừ dụng biểu thức (2.6) của ữ ị, 01, /?3, 0

S và s
trong (2.16), từ dây tìm đtrợc
D l dàng tháy ràng, aéu sử dụng già thiết 3 ^ - 1 as 2 thì (2.17) trờ thành àệ
chức (2.13).
Trường hợp kết cáu là đàn hoi tức là .V = é' = 3G thì từ (2.IT) suy ra
„ Gb , 2 Gk
i = 6—— hay 3 = ——
pR R
K ét auả này trùng với àệ thức trong [l|
3. Mành vỏ trạ chịu tác dung của lưc trượt
Giả thiết mành trụ ciiỊii tác dụng bời lực tnrơt phân bố đêu với ctròng độ
r(í), kìù đó trạng tiiái tniớc tới hạn là
<TS X ~ 0 ’ ^ s y = ~ r i & 'jy ~ O i & Z Z ~ G 'J Z = G z z — 0 ,
(2.17)
ffu = ì /3 r ; r = rịt)
(3.1)
Các :hành phần teaxor tốc độ biến dạng tương ứng đirợc cho bời
3 t
0, e „ = 0, : ty =
(3.2)
Do vậy độ dài (mug cda quỹ đạo biến dạng được xác dịnà như sau
T ừ đây suy ra
^ (5) = Vĩ rịt)
[22).
Phương -rùm ổn đính dàn - dẻo của m ành trụ được mô tả như san 3Ị
d 4Sia d*Sru d*5vi 18r 3*510 9 1 di*v _ , ,
dx* ' ° 3 d x 2dy2 ' dy* ' ii2y dxởy k2ỈÝ R âx2 1 * 1
d ÁV d * v d* v IV 3*510 _ .
dx* 0*d x 2dy2 ởy* R dx2 ( }
đr dây

«8 = 1 + ^ , & = 3 ^ - i , -V = — , *>' = *'(*)
Ta tìm biểu thức của gia 30 độ võng dưới dạng sao cào 'hòa mãn diều kiện
biên tựa bàn ỉè trên các canh, do vậy
T- ' V—' . m ir z . niry . _
5w = > > rlmn sin — — sin —r~ (3.S)
*—> & 0
m= 1 n= L
khi đó tỉiay ÕVJ vào (3.5), ta ;ìm được nghiệm riêng 'P niur sau
iV 1
2 mT3 ^7ry
31H

sin —T—
1 ó
a l
( = )
4
1 - ^ 3
( = )
M
í t )
í ^ 4
i à J
' ■ E E ' ị / TÍT T 7 1 T ' TÌX ' ■ ’ í n r ; < A " " ( 3 - T )
( t v +*(.) It ) ”(*)
Bây giờ sứ dụng phương pháp Bu'onop - Galerkin đói với phương trình (3.4) ta
được
n à _
/■ [ f d 45w d45w d 45w 1 8r 3 2<5tí/ 9 1 d ’Ọ \ ivz jiry
] j \~ d ĩr ~ CLz dx2d y - ~ ~ w ~ HJn dzdy ' I ^ N R Ĩ Ĩ 1 ) T 9 y -

0 ó
Thay các biểu thức của 5w và ÌỌ vào hệ thức aày, thực hiện các phép đạo Hàm
riêng và lấy tícà Dàân, với CÌLÚ ý rằng
1 ( a
[ m iĩx . iirx - khi m = í
/ s in sin

ax=< 2
ị a a { 0 kiũ m = i
và- , „ •
* ( 2a i , , .
f iirx rmrz I

7 iiũ m — ! lẻ
/ s i n

C O S 0 1 =
J a a
khi đó ta thu được kết quả sau đây
aó f (m iỉ \* f T m ỉ \ - f m r \ z T \*
4Ỉ(a) + *»(«) (6 ) - ( ĩ )
9 f mĩr) 4
__________
k*R* v ~ j
_________
/ m i \ 4 / m i \ - ! i l l \ - ỉ TƯK
(v) +*(t ) (f) -Gr
T 2 r ^ T71TLI]
Ĩ^N f - f-; - m-)(7- - »-) A'7
với m -r i; n~rj lẻ.

■ A ^ Ế Í^ Í* - 8- ™ ^ 3-* 5)
rn r\4 Amn
J
A ,? = 0 (3.3)
Bây già ký hiệu.
^ ( t ) ! ( ” ) (?)T1=
khỉ đó kệ (3.3) dược viết dưới dạng
fmnAmn -i- f r J 2 1 2 (,-2 _ m‘ ) (p - a-)Aij ~ 0 ^ -10)
Đ iy là hệ vò hạn các phưcmg trình, đại số tuyến tính, đối với Amn, giải hệ aày rắt
phức tạp do vậy sau dây xét một vài gằn đứng.
a) Gần đúng thứ nhất. Ta. chọn m, n, i, j thuộc tập {1,2} tức là
m,n
(1,1) (2,2)
(i,j) I (2,2) (1,1)
Hệ (3.10) trong trường họrp này trờ thảnh
4
h iM i — ~ĨT M2 = 0
gĨTMl — J22-A.11 — 0
Do diễu kiện A ll Ỷ 0* Ă-22 Ỷ 0 nẽn ciịnh tầức sau phải bằng không
(3.11)
/11 V T
\ ĩ r / a
= 0
suy ra hệ thức xác định lực tới hạn là
/1 1/2 2 — = 0
Kỉiai triến cụ tiiể phương trìnii trên dẫn đến
(aó)2 í f/'ir\ 4 l _ ó'
r~ =
* M © H 4 )© s(ỉ)M ỉn
Xý hiệu c = T , ih i đó ta được danz khác để tìm lực tới hạn là

ở ■ •
rét. Nếu R —» -Ị-oo till Í3.12Ì SITV ra
r =
A 1/2
1 /2
(3.12)
Nhận xét. Nếu R —<•-i-oo tỉù (3.12) suy ra
r* N h 2 r
32c-5 ố2
Đây- là kết quả dã có trong [lị đối với bản tnrợt
Nếu theo lý thuyết đàn dẻo nhò thì (3.12) dẫn đến hệ :hửc của (lỊ.
b) Gằn đúng thứ 'nai. Ta lấy ba số hạng
TTX Ty 2TTZ . 2x y Zirz 3x y
õw = A n sin —- sin -7- — A22 s in

3in —— - A33 s in

sin —7—
a o a 0 a o
khi đó ta. có
(nui)
(1,1) (2,2) (3,3)
Hệ (3.10) bây giờ có dạng
(2,2) (1, 1) (2,2)
(3,3)
fllMl + g / ' ^ ĩ 2 = 0
gfTMi + Ỉ22A22 T -^frAzz = 0
4
~ / r"4.22 - ĩzzM z = 0
Do các hệ số A n , -^33 không dông thời bần? không dẫn đến định íiiúrc hệ

3ố của nó bàng không ta được
= 0
Khai triển và nít gọn tim được hệ tinrc xác dịnh lực tới hạn là
r* =
/ n
9 / r
0
- f r
9
/22
ẳ/r
0
ắ /r
/33
______
/1 1 /3 3 /33
( è /33" ẫ /u ) /2
trong đó
k‘R2
= a*{íu +
/ « = f ( l 6 * 11 + ^
, _ < t 4 / 01 9
/3 3 = —
}
‘11
/33= 9 V81?11 + Ã2fl2AuJ
(ĩ) * (í)‘
*-■-(;)*[(:) - * ( ỉ) ‘(ĩ) - ( ĩ ) l
c) Găn đúng thứ ba. Ta càọn m, n, t, j niiir sau
(m,a) I (1,1) (1,3) (3,1) (3,3) (2,2)

(*\i) I M (2,2) (2,2) (2,2) (1,1)
(1 .3 )
(3 ,1 )
(3.3)
Trường hợo này, ỉiệ (3.10) dẫn đến.
ỹỉrM2 — 0
4 . .
- — /> ^ 2 2 -!- /13-^13 — 0
4
~ ^ g / r -A?2 ~ /31-^31 = 0
4 .
—: r^ 2 ~ /33^33 = 0
1 9 1 1
T - / 2 2 - ^ 2 2 ■+■ - z z f r A z z - . Í ~ Ả \ Z — z f r A 31 = 0
9 25 5 5
(3.13)
Vì các hệ só A u , A22, ^ 33, ^ 13 , A31 không đông thời bang kỉiông suy ra dịnà
tiiức của các hệ số cda aó trong (3.13) phải bằng 0, khai trim dinh thúc này ta
được
r =
/1 1/2 2 /3 3 /1 3 /3 1
Ị \ 4 ^ \
( ^ / 1 1 /3 3 / 1 3 T j ^ f 11/33/21 T ^7/1 1 /1 3 /3 1 T 1 ^/3 3 /1 3 /3 1 J / 2
trong đó các dại lượng fm n. được xác định cừ biếu tầứe (3.9).
(3.14)
4. X ết luận
Trong báo cáo này tác giả đã giải quyết dược hai~váa đè eMail sau đay
a) Đã xây dựng hệ pỉnrơng trình, mô t i an rtịnh của. minh trạ chịu nén dọc
đường 3ink, biểu diễn, được nghiệm của pỉurorng trình, đong thời phàn tích chi tiết
các trường hợp cho phép tìm lực tới hạn của kết cấu

b) Đối ró i bài toán mAnh trụ chịu lục trượt bằng phtrcmg pháp Babnop -
Gaierkm, đã dẫn ra dược hệ phương trình đại số đối với Amn. Từ đó nghiên cứa
lực tái hạn ẻr các gần đúng thứ nhất, thứ hai Tà thứ ba
Công trình dược hoàn thành vói sự tài tro' của Chương trình nghiên cứu Car
bàn về Khoa học tự nhiên
T à i lĩệ u th am kilâo
[lị Volmir A. s. ổn đùìA của các hệ biến dartạ. Muxcơva, 1963
[2| Đào Huy Bícìl Lý thuyét quá ừinn đàn áio. N hì x u ít bán £)ại học Qaóc ỊÍi Hà Nội, Hà Nội
1999.
[3j Đào V ỉa Đũng. Sá i toán ch định ngoái giới hạn dàn hòi theo iý thuyết quả trinh biỉn dạng đàn
dio. Luận án PTS, Hà Nội 1993.
[4| Don. o . Brush, Bo. o . Almroth. SuddiruỊ o/ ban, pỉata and ihtilt. Me Graw-Hill book
company, 1975.
PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO BÀI TOÁN
MẢNH Vỏ TRỤ CHỊU TÁC DỤNG CỦA
L ự c
TRƯỢT
Đào Văn Dũng
Đại học Quốc gia Hà N ội
Phần này trình bày các kết quả tính toán bằng số cho bài toán mảnh vỏ
trụ bán kính R chịu tác dụng của lực tnrợt. Khi đó ta có hộ thức xác định lực tới
hạn ở gần đúng thứ nhất là ([2]).
X =
rc4N h 2
128c3b 2
1 +
f d>^
1 + -^
V N y
1 4

c + c +-
9cJb4
h2R V [l + (3 —-l)c2 +c4]
L ộ' J
16[1 + (1 + —)c: +c4] +
N
9cJb‘
h-R27i4[l + (3 —-l)c: +c4]
<t>'
Để tính toán được thuận lợi ta đặt
N = ^ = — = E0 (s)
( 1 )
<Ị>’(s) = Et(s); i = 3 — ! c = ■“
h b
Khi đó hệ thức (1) được đưa về dạng
s =
9V3V
128c3i2
1 +
1 +
E,(s)
E0(s)y
c2 -r c4 T
9cjb4
h2R V
1
1 +
.Eọ(s) t
V e ’ ( s ) \
9c4b4

h 2R 2Jt4
c2 +c4
1
16 1 +
E.(s).
2 4
c +c
(2)
1
Hệ thức (2) là phi tuyến đối vói s, do vậy ta giải bằng phương pháp lặp.
ở bước lặp thứ nhất lấy Et(s) = E0(s) = 3G khi đó ta có:
s, =
9V37Ĩ4
128c3i2
(1 + c ) +
c4i4
7C4(1 + c2)2
16(1 + c2)2 +
c4i4
9Í—Ỵtt4C1 + c 2)2
I h J
(3)
Nếu S[ < Ss (giới hạn đàn hồi) thì vòng lặp kết thúc ta nhận được giá trị tới
hạn trong miền đàn hổi là Tcr(1) = -j=(ị) (Sị).
Nếu s, > e, thì ta tiếp tục thực hiện các bước lặp tiếp theo bằng công thức
lặp sau đây:
s„ =
9^3714
128c3i2
1 +

■> 4
c + c +■
4-4
c 1
9j —I .7T4
V h J
1
1 +
■» 4
c + c
. <16 1-
1 + jL(0 |c2+c4
4 -4
c i
/D A 2
u .
JC* 1 +
-,Eọ(Sn-i) 1
c: + CJ
Lực tới hạn ở bước lặp thứ n là
^cr(n) = =
(4)
(5)
Bây giờ tính toán cụ thè cho mánh vó là loại thép 30XTCA (xem bang sò
liệu bảng 8) vói Eo = Ec. Các đại lượng khác như sau
3G = 2,6.105 MPa
ơs = 400 MPa
Tĩnh toán cho hai trường hợp:
R. 3b a.
1) Tỷ số — thay đổi còn — lấy những giá tri cố đinh, tỷ số c = — cũng

h h b
cố định.
2) Đai lương i = — thay đổi còn — và c = — cố đinh.
h h b '
Qua các kết quả tính toán bảng 1 và bảng 2 ta có những nhận xét sau đây:
Mảnh vỏ càng mỏng thì lực tới hạn càng nhỏ điều này phù hợp với tính
chất cơ học của vật liệu.
Quá trình tính toán thường dừng ở vòng lăp thứ 4 đối với bài toán — thav
h
đổi, còn đối với — thay đổi thì dừng ở vòng lăp 14.
h
Tỷ số c = — cũng ảnh hưởng đến giá tri của lưc tói han.
b
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đào Huy Bích. Lý thuyết quá trình đàn - dẻo. Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội, 1999.
[2] Đào Văn Dũng. Về bài toán ổn định của mảnh vỏ trụ theo lý thuyết quá
trình đàn - dẻo. Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ
vn,
Hà Nội, 12-2002.
3
A. Kết quả lực tới hạn khi R/h thay đổi
3b/h =■ J.U t:+02 c = 3 00 Sai 50
= 1.00E-05
R/h
1 s
1
Ung suat 1
Tao [
lap 1

5.0E+02
1 1.98E-03
1
4 . 42E+02 1
2.55E+02 1 5 1
5.2E+02 1 1.97E-03
1
4.42E+02 1 2.55E+02 1
5 1
5.6E+02 1 1.95E-03
ỉ
4.42E+02 1 2.55E+02 1
4 1
6.2E+02
1 1.94E-03
1
4.42E+02 1
2.55E+02 1
14 1
6.2E+02
1 1.92E-03
1
4 . 38E+02 1
2.53E+02 ỉ
15 1
7.0E+02 1 1.91E-03
1
4 .38E+02 1
2.53E+02 1
5 ỉ

8.0E+02 1 1.39E-03
1
4.38E+02 1
2.53E+02 1
4 1
9.2E+02 1 1.88E-03
1
4.38E+02 1
2.53E+02 1
4 .1
3b/h = 3.0E+02 c = 4 00 Sai so
= 1.00E-05
R/h
1 s
1
Ung suae I
Tao 1
lap 1
5.0E+02 ! 2.36E-03
!
4.58E+02 !
2.54E+02 ỉ 4 1
5.2E-Ì-02
Ị 2.35E-03
1
4.58E-TŨ2 ! 2 . 6 4 E+0 2 1
4 1
5 . SE+02
1 2.34E-03
4.58E+02 i

2.54Ĩ+02 i
4
6 .2E+02
Ị 2.33E-03
ị
4 .53E-02 i
2.5 “£+02 1
4 !
7.3E+02
i 2.32E-03
4 .53E-CZ 1
z ■ 542-02 4 ;
3 . OE+02
1 2.31E-03
1
4.55E^02 !
2 .53E-02 1
4 1
9 . 2E+02 1 2.30E-Ũ3
1
4.55S+0" I
2 . Õ2H>02
4 I
3b/h =
3.0E+02 c = 5
30 3ai 30
= 1 .30E-Q5
R/h
1 5 1
rJng suaũ 1

Tao 1 lap ;
5.0E+02
1 2.31E-03
1
4.73E+02 i
2.73E+02 1
4 1
5.2E+02 1 2.31E-03
ỉ
4 . 73E-Ĩ-02 !
2 . ~3£+02 i
4 Ị
5.6E+02
í 2.30E-03
Ị
4.73E+02 !
2 . ' 3E+02 1
4 I
6.2E+02 1 2.79E-03
1
4.73E+02 !
2.73E-Ì-02 1
4 1
7.0E+02
1 2.79E-03
1
4.73E+02 1 2.73E+02 1 4 1
8.0E+02
1 2.78E-03
1

4.73E+Ũ2 1 2.73E+02 1 4 1
9.2E+02
1 2.78E-03
1
4.73E+C2 1
2 . ~ 3E+02 i
4 i
3b/h =
3.ŨE+02 c =
8 00 Sai so = 1.00E-05
R/h
1 s
1
ững suac 1
Tao 1
lap i
5.0E+02 ! 4.31E-03
1
5.05E+02 i 2 . 32E>02 I 4 1
5.2E+02 1 4.31E-03
1
5.05E+02 1 2.92H-02 1 4 1
5.6E+02 1 4.31E-03
1
5.05E+C2 1 2.32S+02 1 4 1
6.2E+02
1 4.30E-03 5 .05E+02 1
2 . 32E-02 !
4 1
7 . OE+02 1 4.30E-03

5.05E+C2 !
2.32E-02 ị
4 :
8.0E+02
1 4.20E-03
1
5.35E+02 í 2. 32Z.+02 1
4 1
9.2E+02 1 4.30E-03
5.0SE+02 1
2.32E+02 1
4 i
3b/h =
3 . 0E-Ì-02 c =
10
00 Sai 50 = 1.00E-05
R/h
1 s 1
Ung sua: Ị
Tao 1
lap 1
5.0E+02
1 5.34E-03
1
5.21E+02 1
3.31E+02 1
4 1
5.2E+02
1 5.34E-03
1

5.21E-1-G2 ị
3.311+02 1
4 1
5 . 6E+02
1 5.34E-03
1
5.21E+02 1
3.311+02 1 4 1
6.2E+02
1 5.34E-03
1
5.21E+02 1
3 .31E+02 1
4 1
7.ŨE+02
1 5.34E-03
1
5.21E+02 1
3.:is+02 1
4 1
8.0E+Q2
1 5.34E-Ũ3
1
5.21E+02 1 3.01E+02 1 4 1
9.2E+02
1 5.34E-03
1
5.21E+02 1 3.01E+02 1 4 1