ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG

1







ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG

2

CHƯƠNG I:
Không gian Mêtric
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu khái niệm không gian metric, không gian metric đủ, bổ sung
đủ một không gian metric, khái niệm tập hợp đóng, tập hợp mở, tập hợp compact;
Sinh viên hiểu khái niệm ánh xạ liên tục, liên tục đều.
- Sinh viên vận dụng khái niệm có thể chứng minh được một số không gian là
metric, metric đủ.
- Sinh viên có kỹ năng cơ bản trong việc xét tính liên tục, liên tục đều của một
số ánh xạ giữa các không gain metric.
- Sinh viên có thể giải được một số bài tập cơ bản về các khái niệm trong
chương.
I.1 KHÔNG GIAN METRIC. SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC
1. Đại cương về không gian metric
Không gian metric là một cặp (X,
ρ
), trong đó X là một tập hợp khác rỗng và
ρ

là một hàm thực
ρ
: X
×
X
→
R thỏa mãn:
M1)
ρ
(x, y)
≥
0, với mọi x, y
∈
X,
ρ
(x, y) = 0
⇔
x = y.
M2)
ρ
(x, y) =
ρ
(y, x), với mọi x, y
∈
X.
M3)
ρ
(x, z)
≤

ρ
(x, y) +
ρ
(y, z), với mọi x, y, z
∈
X.
Tiên đề M1) gọi là tiên đề thống nhất, tiên đề M2) gọi là tiên đề đối xứng, tiên
đề M3) gọi là tiên đề tam giác. Tập hợp X gọi là không gian, mỗi phần tử của X gọi
là một điểm của X. Hàm số
ρ
gọi là một metric (hay khoảng cách) trên X,
ρ
(x, y)
gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y.
Ví dụ 1. R là một không gian metric với metric
ρ
(x, y) = |x - y|, với mọi x,y
∈
R.
Ví dụ 2. C là một không gian metric với metric
ρ
(x, y) = |x - y|, với mọi x,y
∈
C.
Ví dụ 3. Không gian R
n
là một không gian metric với các metric được xác
định:
ρ
(x, y) =

2
1
( )
n
i i
i
x y
=
−
∑
;

1
1
( , ) | |
n
i i
i
x y x y
ρ
=
= −
∑
;
1 i n
( , ) Max | |
i i
x y x y
ρ
∞

≤ ≤
= −
.

3

với mọi
1 1
( , , ), ( , , ) R
n
n n
x x x y y y= = ∈
.
Ví dụ 4. Không gian C[a, b]các hàm số liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a,
b] là một không gian metric, với các metric được xác định:
a t b
( , ) Sup | ( ) ( ) |, ( ), ( )
x y x t y t x t y t
ρ
≤ ≤
= − ∈
C[a, b].
( , ) | ( ) ( ) | , ( ), ( )
b
a
x y x t y t dt x t y t
ρ
∞
= − ∈
∫

C[a, b].
Ví dụ 5. Cho tập X = N* = {1, 2, …, n, …}, khi đó X là một không gian
metric, với metric:
0 khi
( , )
1
1 khi
m n
m n
m n
m n
ρ
=


=

+ ≠

+


Ví dụ 6 . Cho Không gian l
1
các dãy số thực hoặc phức khả tổng tuyệt đối là
một không gian metric, với metric:
1
( , ) | |
n n
n

x y x y
ρ
∞
=
= −
∑
, x = {x
n
}, y = {y
n
}
∈
l
1
.
Ví dụ 7. Không gian l
0
các dãy số thực hoặc phức hội tụ về 0 là một không gian
metric, với metric:
n=1,
( , ) Sup | |
n n
x y x y
ρ
∞
= −
, x = {x
n
}, y = {y
n

}
∈
l
0
.
Ví dụ 8 . Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý. Ký hiệu B(X) là tập hợp tất cả các hàm
số thực bị chặn trên X:
X
Sup | ( )|
x
f x
∈
< +∞
. Khi đó B(X) là một không gian metric với
metric cho bởi:
X
( . ) Sup | ( ) ( ) |
x
f g f x g x
ρ
∈
= −
, f, g
∈
B(X).
Ví dụ 9. Cho X là một tập hợp khác rỗng, X là một không gian metric, với
metric:
0 khi
( , )
1 khi

x y
x y
x y
ρ
=

=

≠


Ta thường gọi (X,
ρ
) là không gian metric rời rạc.
Không gian metric rời rạc cũng là một không gian siêu metric.
Không gian con. Cho A là một tập con của không gian metric (X,
ρ
). Với mỗi
x, y
∈
A
ρ
A
(x, y) =
ρ
(x, y)

4

hiển nhiên cũng là một metric trên A.

ρ
A
được gọi là metric cảm sinh bởi metric
ρ

trên A và A cùng metric cảm sinh được gọi là không gian metric con (không gian
con) của không gian metric (X,
ρ
).
2. Sự hội tụ trong không gian metric
Giả sử {x
n
} là dãy những phần tử của một không gian metric X.
Ta nói dãy hội tụ đến phần tử x
0
của X nếu :
0
lim ( , ) 0
n
n
x x
ρ
→∞
=

hay, với mọi
0
ε
>
tồn tại n

0
sao cho:
ρ
(x
n
, x
0
) <
ε
, với mọi n
≥
n
0
.
Khi đó, ta viết
0
lim
n
n
x x
→∞
=
, hoặc x
n

→
x
0
, x
0

được gọi là giới hạn của dãy {x
n
}.
Mệnh đề 1.1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Mệnh đề 1.2. Trong một không gian metric (X,
τ
) cho các dãy {x
n
} và {y
n
}
hội tụ đến a và b tương ứng. Khi đó
ρ
(x
n
, y
n
)
→
ρ
(a, b).
Ví dụ 1. Sự hội tụ trong R, C là sự hội tụ thông thường.
Ví dụ 2. Trong không gian R
k
với các metric đã được xác định ở trên, giả sử
(
)
(
)
1

( , , )
n n
n
k
x x x
=
và
0 0
0 1
( , , )
k
x x x
=
, khi đó
+)
1
0
n
x x
ρ
→

⇔
k
0 0
i=1
lim | - | 0 lim | - | 0, 1,
n n
i i i i
n n

x x x x i k
→∞ →∞
= ⇔ = ∀ =
∑

⇔
0 0
i i
x x
→
.
+)
0
n
x x
ρ
→

⇔
2
k
0 0
i=1
lim | - | 0 lim | - | 0, 1,
n n
i i i i
n n
x x x x i k
→∞ →∞
= ⇔ = ∀ =

∑

⇔
0 0
i i
x x
→
.
+)
0
n
x x
ρ
∞
→

⇔
0
1
lim max | - | 0
n
i i
n
i k
x x
→∞
≤ ≤
 
=
 

 
0
lim | - | 0, 1,
n
i i
n
x x i k
→∞
⇔ = ∀ =

⇔
0 0
i i
x x
→
.
Vì vậy, người ta nói sự hội tụ trong R
k
với các metric trên là sự hội tụ theo toạ độ.
Ví dụ 3. Trong không gian C[a, b], với metric
a t b
( , ) Sup | ( ) ( ) |,
x y x t y t
ρ
≤ ≤
= −
với mọi
( ), ( )
x t y t
∈

C[a, b]. Cho dãy hàm {x
n
(t) }, và hàm x(t). Khi đó
lim
n
n
x x
→∞
=
⇔
lim | ( ) ( ) | 0
n
n
a t b
Sup x t x t
→∞
≤ ≤
− =

⇔
với mọi
ε
> 0, tồn tại n
0
, sao cho với mọi n
≥
n
0
ta đều có
a t b

( , ) Sup | ( ) ( ) |
n
x y x t x t
ρ ε ε
≤ ≤
< ⇔ − <
. Do đó
| ( ) ( )| , a t b
n
x t x t
ε
− < ∀ ≤ ≤
và với
mọi n
≥
n
0
. Chứng tỏ dãy hàm {x
n
(t)} hội tụ đều về hàm x(t). Vậy sự hội tụ trong C[a,
b], (với metric
a t b
( , ) Sup | ( ) ( ) |
x y x t y t
ρ
≤ ≤
= −
) là hội tụ đều.
Ví dụ 4. Trong không gian metric rời rạc, mọi dãy hội tụ đều là dãy dừng.

5

I.2. TẬP HỢP MỞ VÀ TẬP HỢP ĐÓNG
1. Tập hợp mở
Cho không gian metric (X,
ρ
). Với mỗi a
∈
X và với mỗi
ε
> 0, tập hợp
S(a,
ε
) = {x
∈
X :
ρ
(a, x) <
ε
}
gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính
ε
hay
ε
-lân cận của điểm a.
Tập hợp
S[a,
ε
] = {x
∈

X :
ρ
(a, x)
≤

ε
}
được gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính
ε
.
Giả sử A là một tập hợp con của một không gian metric (X,
ρ
). Điểm x
∈
X
được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại một hình cầu S(x,
ε
) chứa trong A.
Rõ ràng, nếu x là điểm trong của tập hợp A thì x
∈
A.
Tập hợp con A của X được gọi là tập hợp mở (hay nói gọn là tập mở) nếu mọi
điểm của A đều là điểm trong của A.
Hiển nhiên, X và
∅
là những tập hợp mở của X. Hình cầu mở là tập mở.
ĐỊNH LÍ 2.1. Trong họ các tập hợp con của không gian metric (X,
ρ
) ta có:
a) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở;

b) Giao của họ hữu hạn các tập mở là tập mở.
Giả sử x là một điểm bất kỳ của không gian metric (X,
ρ
). Một tập hợp mở G
chứa x được gọi là một lân cận của điểm x.
Hiển nhiên, một tập U trong không gian metric (X,
ρ
) là tập hợp mở khi và chỉ
khi U là một lân cận của mọi x
∈
U.
Phần trong của một tập hợp. Giả sử A là một tập hợp con của một không gian
metric (X,
ρ
). Hợp tất cả các tập hợp mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập
hợp A, kí hiệu là IntA hoặc
0
A
.
Phần trong của một tập hợp là tồn tại vì luôn có
∅
là tập mở chứa trong A.
Ta luôn có :
1) Phần trong của một tập A là một tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A.
2) Tập hợp A là tập hợp mở khi và chỉ khi A = IntA.
3) Nếu A
⊂
B thì IntA
⊂
IntB.

2. Tập hợp đóng
Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
) được gọi là một tập hợp
đóng (hay nói gọn là tập đóng) nếu phần bù của nó X \ A là một tập hợp mở.

6

Vì X và
∅
là những tập hợp mở của X nên
∅
và X cũng là những tập hợp
đóng của X. Hình cầu đóng là tập đóng.
ĐỊNH LÍ 2.2. Trong một không gian metric (X,
ρ
) ta có:
1) Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là tập hợp đóng.
2) Hợp của một họ hữu hạn những tập hợp đóng là tập hợp đóng.
ĐỊNH LÍ 2.3. Tập hợp con F của không gian metric (X,
ρ
) là đóng khi và chỉ
khi với một dãy bất kỳ {x
n
} những phần tử của F, nếu x
n
hội tụ về x thì x
∈
F.
Bao đóng của một tập hợp. Giả sử A là một tập hợp con của một không gian

metric (X,
ρ
). Giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng của
tập hợp A, kí hiệu
A
. Vì X luôn là tập hợp đóng chứa A nên
A
luôn tồn tại.
Hiển nhiên ta có:
1)
A
là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
2) Tập hợp A là tập đóng khi và chỉ khi A =
A
.
3) Nếu A
⊂
B thì
A

⊂
B
.
ĐỊNH LÍ 2.4. Giả sử A là một tập hợp con của không gian metric (X,
ρ
) và
x
∈
X. Khi đó x
∈

A
khi và chỉ khi mỗi lân cận của x đều có điểm chung với A.
ĐỊNH LÍ 2.5. Giả sử A là một tập hợp con của không gian metric (X,
ρ
) và x
∈
X. Khi đó x
∈
A
khi và chỉ khi tồn tại một dãy những phần tử của A hội tụ về x.
Tập hợp trù mật. Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
) được gọi
là trù mật trong X nếu
A
= X.
Tập không đâu trù mật. Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
)
được gọi là không đâu trù mật nếu Int
A
=
∅
.
Không gian khả li. Không gian metric (X,
ρ
) được gọi là khả li nếu tồn tại
một tập hợp con đếm được trù mật trong X.
Từ định lí 2.5, ta có tập hợp A là trù mật trong X khi và chỉ khi với mỗi điểm x
∈

X tồn tại một dãy {x
n
} những phần tử của A hội tụ về x.
Ví dụ. Vì Q là tập hợp đếm được trù mật trong R nên R là không gian khả ly.
I.3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC
1. Ánh xạ liên tục
Giả sử (X,
ρ
X
) và (Y,
ρ
Y
) là hai không gian metric, ánh xạ f: X
→
Y được gọi
là liên tục tại x
0

∈
X nếu với mỗi
ε
> 0 đều tồn tại
δ
> 0 sao cho với mỗi x
∈
X, nếu

7

ρ

X
(x, x
0
) <
δ
thì
ρ
Y
(f(x), f( x
0
)) <
ε
.
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập con A của X nếu nó liên tục tại mọi điểm
x
∈
A. Ánh xạ f được gọi là liên tục (liên tục trên X) nếu nó liên tục tại mọi điểm x
∈
X.
Ta có:
1) Ánh xạ f liên tục tại x
0

∈
X khi và chỉ khi với mọi dãy {x
n
} những phần tử
của X, nếu x
n
hội tụ về x

0
thì dãy {f(x
n
)} hội tụ về f(x
0
) trong không gian Y.
2) Ánh xạ f liên tục tại x
0

∈
X khi và chỉ khi mỗi số dương
ε
đều tồn tại số
dương
δ
sao cho
1
0 0
( ( ( ), )) ( , )
f S f x S x
ε δ
−
⊃

3) Nếu X, Y, Z là các không gian metric f: X
→
Y và g: Y
→
Z là những ánh
xạ liên tục thì gof : X

→
Z là ánh xạ liên tục.
ĐỊNH LÍ 3.1. Cho ánh xạ f: X
→
Y từ không gian metric (X,
ρ
X
) vào không
gian metric (Y,
ρ
Y
). Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i) f liên tục trên X.
ii)
1
f
−
(G) là tập hợp mở trong X với mỗi tập hợp mở G trong Y.
iii) f
-1
(F) là tập hợp đóng trong X với mỗi tập hợp đóng F trong Y.
2. Ánh xạ liên tục đều
Ánh xạ f: X
→
Y từ không gian metric (X,
ρ
X
) vào không gian metric (Y,
ρ
Y

)
được gọi là liên tục đều trên tập hợp con A của X nếu với mọi
ε
> 0,
∃
δ
> 0 sao cho
với mọi x, x’
∈
X, nếu
ρ
X
(x, x’) <
δ
thì
ρ
Y
(f(x), f(x’)) <
ε
.
Một ánh xạ liên tục đều thì liên tục. Điều ngược lại nhìn chung là không đúng.
3. Phép đồng phôi
Song ánh f: X
→
Y từ không gian metric (X,
ρ
X
) lên không gian metric (Y,
ρ
Y

) được gọi là một phép đồng phôi nếu f và f
-1
: Y
→
X đều là những ánh xạ liên tục.
Khi đó hai không gian metric X và Y được gọi là đồng phôi với nhau.
4. Phép đẳng cự
Song ánh f: X
→
Y từ không gian metric (X,
ρ
X
) lên không gian metric (Y,
ρ
Y
) được gọi là một phép đẳng cự nếu với mọi x, x’
∈
X, ta đều có:
ρ
Y
(f(x), f(x’)) =
ρ
X
(x, x’).
Khi đó, hai không gian metric X và Y được gọi là đẳng cự với nhau.
Hiển nhiên, phép đẳng cự là một ánh xạ liên tục đều và hai không gian đẳng cự

8

thì đồng phôi với nhau.

I.4. KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ
1. Đại cương về không gian metric đầy đủ
Cho không gian metric (X,
ρ
), dãy {x
n
} những phần tử của X được gọi là dãy
cauchy (hoặc dãy cơ bản) nếu
lim ( , ) 0
n m
n
m
x x
ρ
→∞
→∞
=
, tức là với mọi số dương
ε
bất kỳ, tồn
tại một số tự nhiên n
0
sao cho:
( , )
n m
x x
ρ ε
<
với mọi n, m
≥

n
0
.
Mỗi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy cauchy.
Ví dụ 1. R và C là các không gian metric đầy đủ.
Ví dụ 2. Không gian metric rời rạc là không gian metric đầy đủ.
Ví dụ 3. Không gian N* = {1, 2, …, n,…} là không gian metric đầy đủ với
metric:
0 khi
( , )
1
1 khi
n m
m n
n m
m n
ρ
=


=

+ ≠

+


Ví dụ 4. Không gian l
1
tất cả các dãy số thực hoặc phức khả tổng tuyệt đối là

không gian đầy đủ với metric
1
( , ) | |
n n
n
x y x y
ρ
∞
=
= −
∑
, x = {x
n
}, y = {y
n
}
∈
l
1
.
Ví dụ 5. Không gian metric C[a, b] là đầy đủ với metric:
a t b
( , ) Sup | ( ) ( ) |,
x y x t y t
ρ
≤ ≤
= −
với mọi
( ), ( )
x t y t

∈
C[a, b].
Nhưng không là không gian metric đầy đủ với metric:
( , ) | ( ) ( ) | , ( ), ( )
b
a
x y x t y t dt x t y t
ρ
∞
= − ∈
∫
C[a, b].
Ví dụ 6. Trong không gian các số hữu tỷ Q, xét dãy {x
n
} với
1
1 , 1,2,
n
n
x n
n
 
= + =
 
 
. Trong giải tích cổ điển chúng ta đã biết x
n

∈
Q nhưng

lim
n
n
x e
→∞
= ∉
Q. Vậy dãy {x
n
} không hội tụ trong Q chứng tỏ dãy {x
n
} là dãy cauchy
nhưng không hội tụ trong Q nên Q không là không gian metric đầy đủ.
ĐỊNH LÍ 4.1. a) Nếu X là một không gian metric đầy đủ và M là một không
gian con đóng của X thì M là không gian đầy đủ.
b) Nếu M là không gian con đầy đủ của không gian metric X thì M là không

9

gian con đóng của X.
2. Bổ đề Cantor và định lí Baire
Mở rộng bổ đề về dãy các đoạn thắt trong giải tích cổ điển, ta có:
Bổ đề 4.2. (Cantor) Giả sử {S[a
n
, r
n
]}, n
≥
1 là một dãy các hình cầu đóng bao
nhau trong một không gian metric đầy đủ X, tức là:
S[a

1
, r
1
]
⊃
S[a
2
, r
2
]
⊃
S[a
n
, r
n
]
⊃
…
có bán kính r
n

→
0. Khi đó, các hình cầu đó có điểm chung duy nhất.
Tập hợp con A của không gian metric (X,
ρ
) được gọi là tập hợp thuộc phạm trù
thứ nhất nếu nó là hợp của một họ đếm được những tập không đâu trù mật. Một tập hợp
không thuộc phạm trù thứ nhất thì được gọi là thuộc phạm trù thứ hai.
ĐỊNH LÍ 4.3.(Baire) Không gian metric đầy đủ là một tập thuộc phạm trù thứ
hai.

Chứng minh. Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và X thuộc phạm trù
thứ nhất. Khi đó X =
1
n
n
A
∞
=
∪
, trong đó A
n
là những tập không đâu trù mật. Gọi S là một
hình cầu đóng bất kỳ . Vì A
1
là một tập thưa nên tồn tại một hình cầu đóng S
1
bán
kính r < 1 chứa trong S và S
1

∩
A
1
=
∅
. Vì A
2
là một tập thưa nên tồn tại một hình
cầu đóng S
2

bán kính nhỏ hơn 0,5 và chứa trong S
1
và S
2
∩
A
2
=
∅
. Bằng quy nạp, ta
được một dãy các hình cầu đóng thắt dần {S
n
} có bán kính dần tới 0 và S
n

∩
A
n
=
∅

với mọi n. Theo bổ đề Cantor, tồn tại một điểm chung a của mọi hình cầu và vì S
n

∩

A
n
=
∅

với mọi n nên a
∉
X =
1
n
n
A
∞
=
∪
. Điều này vô lí. Vậy X là một tập thuộc phạm trù
thứ hai.
□

3. Thác triển liên tục
Giả sử f : X
→
Y là một ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào không gian
metric Y và M là một không gian con của X, khi đó ánh xạ g = f|
M
: M
→
Y cũng là
một ánh xạ liên tục.
Đảo lại, giả sử M là một không gian con của không gian metric (X,
ρ
) và g: M
→
Y là một ánh xạ liên tục từ M vào Y, nếu tồn tại một ánh xạ f : X
→

Y liên tục sao
cho: f|
M
= g, thì f được gọi là một thác triển liên tục của g từ M lên X.
ĐỊNH LÍ 4.4. (Nguyên lí thác triển liên tục) Giả sử M là một không gian con
trù mật của một không gian metric X và g : M
→
Y là một ánh xạ liên tục đều từ M
vào không gian metric đầy đủ Y. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ f : X
→
Y liên

10
tục đều sao cho: f|
M
= g.
Chứng minh. Với mỗi x
∈
X và x
∈
X \ M, vì M trù mật trong X nên tồn tại một
dãy {x
n
} những phần tử của M hội tụ đến x. Hiển nhiên {x
n
} cũng là dãy cauchy trong
M. Vì g liên tục đều trên M nên {g(x
n
)} cũng là dãy cauchy trong Y. Do Y là không
gian metric đầy đủ nên g(x

n
) hội tụ đến một phần tử của Y, và ta đặt là f(x). Dễ dàng
chứng tỏ được f(x) chỉ phụ thuộc và x không phụ thuộc vào dãy {x
n
}.
Nếu x
∈
M, thì chọn dãy {x
n
}, với x
n
= x với mọi n. Khi đó
( ) lim ( )
n
n
f x x g x
→∞
= =
.
Như vậy ta đã xây dựng được một hàm f xác định trên X, nhận giá trị trong Y
và f|
M
= g.
Vì g liên tục đều trên M nên với mọi số dương
ε
> 0, tồn tại
δ
> 0 sao cho với
mọi x
1

, x
2

∈
M, nếu
ρ
( x
1
, x
2
) <
δ
thì
ρ
( f(x
1
), f( x
2
)) <
ε
.
Giả sử x’, x’’
∈
X và
ρ
( x’, x’’) <
δ
. Gọi { x’
n
} và { x’’

n
} là hai dãy những
phần tử của M lần lượt hội tụ đến x’, x’’. Vì
lim ( ' , '' ) ( ', '')
n n
n
x x x x
ρ ρ
→∞
=
nên với n đủ lớn
ta có
( ' , '' )
n n
x x
ρ
<
δ
. Do đó
( ( ' ), ( '' ))
n n
g x g x
ρ
<
ε
với n đủ lớn. Cho n
→

∞
, ta được

( ( ' ), ( '' ))
n n
g x g x
ρ

≤
ε
. Vậy f liên tục đều.
Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất của f. Thật vậy, giả sử h : X
→
Y cũng
là một thác triển liên tục đều của g. Với mọi x
∈
X. Vì M trù mật trong X nên tồn tại
một dãy {x
n
} những phần tử của M hội tụ đến x. Vì h liên tục nên
( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ).
n n n
n n n
h x h x g x f x f x
→∞ →∞ →∞
= = = =

Vậy f = h.
□

4. Bổ sung đủ một không gian metric
ĐỊNH LÍ 4.5. Giả sử (X,
ρ

) là một không gian metric không đủ. Khi đó tồn tại
duy nhất một không gian metric đầy đủ


( , )
X
ρ
sao cho:
1) X đẳng cự với một không gian con X
1
của

X
.
2) X
1
trù mật trong

X
.
Không gian


( , )
X
ρ
được xác định duy nhất nếu coi các không gian metric đẳng
cự là đồng nhất.
Không gian



( , )
X
ρ
được gọi là bổ sung đủ của không gian metric (X,
ρ
).
Chứng minh. Gọi Z là tập tất cả các dãy cauchy những phần tử của X. Trong Z
xét quan hệ tương đương: Nếu {x
n
} và {y
n
} là hai phần tử của Z thì {x
n
}
∼
{y
n
} khi

11
và chỉ khi
lim ( , ) 0
n n
n
x y
ρ
→∞
=
. Gọi


X
là tập thương các lớp tương đương trong Z. Ta kí
hiệu các phần tử của

X
là
ɵ
x
và
ɵ
y
,…
Giả sử
ɵ
x
và
ɵ
y
là hai phần tử của

X
và {x
n
}, {y
n
} lần lượt là hai dãy cauchy
thuộc
ɵ
x

và
ɵ
y
. Với hai số tự nhiên m, n bất kỳ ta đều có:
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
n n n m m m m n
x y x x x y y y
ρ ρ ρ ρ
≤ + +

Từ đó
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
n n m m n m m n
x y x y x x y y
ρ ρ ρ ρ
− ≤ +

Tương tự ta cũng có
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
m m n n n m m n
x y x y x x y y
ρ ρ ρ ρ
− ≤ +

Từ hai bất đẳng thức trên ta được:
| ( , ) ( , ) | ( , ) ( , )
n n m m n m m n
x y x y x x y y
ρ ρ ρ ρ
− ≤ +

Vì {x
n
}, {y
n
} là hai dãy cauchy, nên từ bất đẳng thức trên
{
}
( )
n n
x y
ρ
cũng là một dãy
cauchy trong không gian đầy đủ R. Do đó dãy
{
}
( )
n n
x y
ρ
hội tụ. Đồng thời
lim ( )
n n
n
x y
ρ
→∞

không phụ thuộc vào việc chọn các dãy {x
n

}, {y
n
} thuộc hai lớp
ɵ
x
và
ɵ
y
. Đặt

ρ
(
ɵ
x
,
ɵ
y
)
=
lim ( )
n n
n
x y
ρ
→∞
.
Dễ dàng kiểm tra được

ρ
là một metric trên không gian


X
. Bây giờ ta sẽ
chứng minh
1) X đẳng cự với một không gian con X
1
của

X
.
2) X
1
trù mật trong

X
.
□

5. Nguyên lí ánh xạ co
Định nghĩa. Cho không gian metric (X,
ρ
), ánh xạ f : X
→
X được gọi là ánh
xạ co nếu tồn tại một hằng số 0
≤
c < 1 sao cho:
ρ
(f(x), f(y))
≤

c.
ρ
(x, y)
∀
x, y
∈
X.
Điểm x được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x) = x.
ĐỊNH LÍ 4.6. (Banach - Nguyên lí ánh xạ co) Mọi ánh xạ co từ không gian
metric đầy đủ vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất.
I.5. TẬP HỢP COMPACT
1. Tập hợp compact
Trong giải tích cổ điển, chúng ta biết khoảng đóng hữu hạn [a, b] trong R có
nhiều tính chất đặc sắc. Chẳng hạn, một hàm số liên tục trên [a, b] thì đạt giá trị lớn

12
nhất, giá trị nhỏ nhất và liên tục đều trên đó. Những tính chất này được suy ra từ một
trong những tính chất đặc trưng của [a, b]: Mọi dãy những phần tử thuộc [a, b] đều
chứa dãy con hội tụ đến một phần tử thuộc [a, b]. Khái quát tính chất này vào không
gian metric tổng quát ta có khái niệm tập hợp compact.
Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
) được gọi là một tập hợp
compact (hoặc tập compact) nếu mọi dãy bất kỳ những phần tử của A đều chứa một
dãy con hội tụ đến một phần tử của A.
Tập hợp con của một tập hợp compact được gọi là tập compact tương đối.
Tập compact là conpact tương đối nhưng điều ngược lại là không đúng.
Từ định nghĩa ta có:
1) Tập compact là tập hợp đóng.
2) Tập con đóng của một tập compact là tập compact.

3) Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
) là compact tương đối khi
và chỉ khi
A
là compact.
4) Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
) là compact tương đối khi
và chỉ khi với mỗi dãy những phần tử của A đều chứa một dãy con hội tụ đến một
phần tử của X.
Ví dụ 1. Đoạn [a, b]
⊂
R là compact.
Ví dụ 2. Tập hợp con A của không gian metric rời rạc là compact khi và chỉ khi
A gồm hữu hạn phần tử.
2. Tập hợp bị chặn và tập hợp hoàn toàn bị chặn
Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
) được gọi là bị chặn (hay giới
nội) nếu nó được chứa trong một hình cầu nào đó.
Giả sử A là một tập hợp con của không gian metric (X,
ρ
), đặt
d(A)=
, A
( , )
x y
Sup x y
ρ

∈

gọi là đường kính của tập hợp A.
Hiển nhiên, A là một tập hợp bị chặn khi và chỉ khi d(A) là một số hữu hạn.
Tập hợp con A của một không gian metric (X,
ρ
) được gọi là hoàn toàn bị
chặn (hay hoàn toàn giới nội) nếu với mọi
ε
>0, có thể phủ A bởi một số hữu hạn
hình cầu bán kính
ε
, tức là tồn tại
1 2
, , ,
n
x x x
sao cho
1
( , )
n
i
i
A x
ε
=
⊂
∪
.
Tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn, mệnh đề đảo nhìn chung là không đúng.

13
Ví dụ. Giả sử X là một tập có vô hạn phần tử được trang bị metric rời rạc và A
là một tập hợp con vô hạn phần tử. Với mỗi điểm a của A, với mỗi số dương r > 1, ta
luôn có
[
]
, X
S a r
= ⊃
A nên A là tập bị chặn. Mặt khác, với mỗi số dương r < 1, ta
luôn có
[
]
{
}
,
S a r a
=
nên không thể phủ A bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính r. Vậy
A là một tập bị chặn nhưng không là tập hoàn toàn bị chặn.
Ta có:
1) Tập hợp con của một tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn.
2) Bao đóng của một tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn.
ĐỊNH LÍ 5.1.(Hausdorff)
1) Trong không gian metric một tập compact là đóng và hoàn toàn bị chặn.
2) Trong không gian metric đầy đủ một tập đóng và hoàn toàn bị chặn là
compact.
Mối quan hệ giữa tính compact tương đối, hoàn toàn bị chặn và bị chặn.
1) Trong không gian metric bất kỳ:

Compact tương đối
⇒
Hoàn toàn bị chặn
⇒
Bị chặn
2) Trong không gian metric đầy đủ:
Compact tương đối
⇔
Hoàn toàn bị chặn
⇔
Bị chặn
3) Trong không gian Euclide R
k
:
Compact tương đối
⇔
Hoàn toàn bị chặn
⇔
Bị chặn
Trước hết ta nhắc lại một tính chất quen thuộc trong hàm phức.
Bổ đề (Heine – Borel) Nếu A là tập con đóng, bị chặn của không gian các số
phức
ℂ
và
{
}
t
t T
U
∈

là một phủ mở của A thì tồn tại một phủ con hữu hạn.
Suy rộng tính chất này cho tập compact, ta có:
ĐỊNH LÍ 5.2.(Heine – Borel) Một tập con A của không gian metric (X,
ρ
) là
compact khi và chỉ khi mọi họ các tập mở
{
}
t
t T
U
∈
phủ A:
t T
t
U A
∈
⊃
∪
, đều chứa một họ
con hữu hạn:
1 2
, , ,
t t tn
U U U
vẫn phủ được A:
1
n
t i
i

U A
=
⊃
∪
.
Chứng minh. Giả sử tập con A của không gian metric (X,
ρ
) có tính chất
Heine – Borel (mọi phủ mở bất kỳ đều có một phủ con hữu hạn). Xét một dãy bất kỳ
{
}
n
x
⊂
A, với mỗi số tự nhiên k
≥
1, kí hiệu
{
}
:
k n
A x n k
= ≥
. Gọi
A
k
là bao đóng của
k
A
, và

\ A
k
k
G X=
. Với mỗi tập hữu hạn I
⊂
{1, 2, …} rõ ràng
A
k
k I∈
∩

≠
∅
, cho nên

14
A
k
k I∈
∩

≠
∅
và do đó
X\ ( \ ) X\ ( )
k k
k I k I
X A G
∈ ∈

= ≠ ∅
∪ ∪
, tức là họ các tập hợp mở
{
}
k
k I
G
∈

không phủ được X. Vì điều này đúng với mọi họ hữu hạn
{
}
k
k I
G
∈
nên theo tính chất
Heine – Borel cả họ {G
k
} cũng không thể phủ được A. Vậy phải có một điểm x
∉
\ A
k
k
G X=
, suy ra x
∈
A
k

với mọi k
≥
1. Từ đây ta có một dãy con {x
n k
} hội tụ.
Vậy A là compact.
Đảo lại, giả sử A là một tập compact nhưng có một phủ mở
{
}
t
t T
U
∈
của A mà
không có một phủ con hữu hạn nào. Ta chọn một dãy bất kỳ số dương r
n

→
0. Vì A là
compact suy ra A là hoàn toàn bị chặn, nên có thể phủ A bởi một số hữu hạn hình cầu
bán kính r
1
. Trong số các hình cầu đó tồn tại một hình cầu, kí hiệu là S
1
, sao cho
1 1
A A S
= ∩
không thể phủ được bằng một số hữu hạn tập U
t

. Tập A
1
là một tập con
đóng của một tập compact nên A
1
cũng là compact, do đó A
1
là hoàn toàn bị chặn, nên
có thể phủ được A
1
bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính r
2
, trong số đó lại tồn tại
một hình cầu, kí hiệu là S
2
, sao cho
2 2
A A S
= ∩
không thể phủ được bằng một số hữu
hạn tập U
t
. Bằng quy nạp, ta được một dãy các hình cầu S
n
và tập
n n
A A S
= ∩
. Trong
mỗi tập A

n
lấy một điểm x
n
. Hiển nhiên A
n

⊂
A
n- 1

⊂
A
n-2

⊂
…
⊂
A nên x
n

∈
A với mọi
n . Vì A là compact nên tồn tại một dãy con {x
n k
} hội tụ đến điểm a
∈
A. Ta có a
∈
U
t0

nào đó, và do U
t0
là tập mở nên có một hình cầu S tâm a chứa trong U
t0
. Gọi r là bán
kính của hình cầu đó. Ta hãy chọn k đủ lớn để
( , )
2
nk
r
a x
ρ
<
và
4
n k
r
r
<
: khi đó
∀
: ( , ) ( , ) ( , ) 2
2
nk nk nk nk
r
x A x a x x x a r r
ρ ρ ρ
∈ ≤ + ≤ + <

Chứng tỏ: A
n k

⊂
S
⊂
U
k
, nghĩa là A
n k
có thể phủ bởi một tập U
t0
, điều này trái với
cách xây dựng của nó. Mâu thuẫn này chứng tỏ mọi phủ mở của A đều có một phủ
con hữu hạn.
□

3. Không gian compact
Không gian metric X được gọi là compact nếu nó là một tập compact.
ĐỊNH LÍ 5.3. Không gian metric compact là đầy đủ và khả ly.
Chứng minh. Giả sử X là một không gian metric compact và {x
n
} là một dãy
cauchy những phần tử của X. Khi đó tồn tại một dãy con {x
n k
} hội tụ đến a
∈
X.
Hiển nhiên khi đó
lim

n
→∞
x = a. Vậy X là không gian đầy đủ.
X là khả ly. Thật vậy, vì X là hoàn toàn bị chặn nên với mỗi số tự nhiên n, có

15
thể phủ X bởi một số hữu hạn hình cầu bán kính
1
n
:
1
1
( , )
k n
i
n
i
X S a
=
=
∪
. Đặt M
n
= {a
n 1
,…,
a
n k
} ta sẽ chứng minh tập đếm được M =
1

n
n
M
∞
=
∪
trù mật trong X. Thật vậy, giả sử x là
một phần tử bất kỳ của X và
ε
là một số dương tùy ý. Khi đó với n
0
đủ lớn thì
0
1
n
<
ε
nên x thuộc hình cầu
0
0
1
( , )
n i
n
S a
nào đó. Do đó
0
0
1
( , )

n i
n
a x
ρ ε
< <
.
□

4. Hàm số liên tục trên tập compact
ĐỊNH LÍ 5.4. Hàm số f liên tục trên tập compact K thì liên tục đều và bị chặn
trên K.
Chứng minh.
- Giả sử hàm số f liên tục trên tập compact K nhưng không liên tục đều trên K.
Khi đó dẫn tới một mâu thuẫn. Vậy f liên tục đều trên K.
- Giả sử f không bị chặn trên K. Khi đó với mọi số tự nhiên n tồn tại một phần
tử x
n
của K sao cho | f(x
n
) | > n. Ta được một dãy {x
n
} những phần tử của K. Vì K là
compact nên có một dãy con {x
n k
} hội tụ, x
n k

→
a
∈

K. Vì f liên tục, do đó | f | cũng
liên tục, nên
lim
k
→∞
| f(x
n k
) | = | f(a) |. Điều này là không thể vì | f(x
n
) | > n. Vậy f bị chặn.
□

ĐỊNH LÍ 5.5. Cho ánh xạ f : X
→
Y liên tục từ không gian metric X vào không
gian metric Y và K là tập compact trong X. Khi đó f(K) là compact trong Y.
Hệ quả. Cho ánh xạ f : X
→
R liên tục từ không gian metric X vào R và K là
tập compact trong X. Khi đó tồn tại a, b
∈
K sao cho
( ) ( ) ( ),
f a f x f b x K
≤ ≤ ∀ ∈
.

16
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
Câu hỏi:

1. Khái niệm không gian metric, metric đủ ? cách chứng minh một không gian là
metric, metric đủ ?
2. Khái niệm không gian compact, compact tương đối và các điều kiện tương đương ?
Cách chứng minh một không gian là compct, compact tương đối ?
3. Khái niệm tập hợp compact, compact tương đối, bị chặn, hoàn toàn bị chặn và các
điều kiện tương đương ? Cách chứng minh một tập hợp là compct, compact tương
đối, bị chặn, hoàn toàn bị chặn ?
4. Sự liên hệ giữa tính compact, compact tương đối, bị chặn và hoàn toàn bị chặn ?
5. Định nghĩa ánh xạ liên tục, liên tục đều và các điều kiện tương đương ? Tính chất
của ánh xạ liên tục trên tập compact ?
Bài tập:
Bài 1.1. a) Với mọi x = (x
1
, … , x
n
), y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
, đặt

ρ

1
(x,y) =
1
n
i i

i
x y
=
−
∑
;
{
}
1 1
( , ) max , ,
n n
x y x y x y
ρ
∞
= − −

Chứng minh
ρ
1
và
ρ
∞
là các metric trên R
n
.
b) Trong mặt phẳng toạ độ R
2
hãy vẽ hình cầu S(0,1) theo các metric Euclide,
ρ
1

và
ρ
∞
.
Bài 1.2. Hãy lần lượt kiểm tra các tiên đề về metric đối với các hàm:
a)
( , ) sin( ) ,
x y x y
ρ
= −
,
x y R
∈

b)
( , ) ,
x y arctgx arctgy
ρ
= −
,
x y R
∈

c)
( , ) ,
x y
x y e e
ρ
= −
,

x y R
∈

Bài 1.3. Giả sử X là một tập khác rỗng và d là một metric cho trước trên X. Hãy
chứng minh rằng hàm
( , )
( , ) ,
1 ( , )
d x y
x y
d x y
ρ
=
+
,
x y R
∈

cũng là một metric trên X.
Bài 1.4. Giả sử C[a, b] là tập tất cả các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Hãy chứng
minh rằng các hàm cho dưới đây là metric trên C[a, b]
a)
[ , ]
( , ) max ( ) ( )
x a b
f g f x g x
ρ
∈
= −

17
b)
ρ
(f, g) =
( ) ( )
b
a
f x g x dx
−
∫

Bài 1.5. Cho X là một tập khác rỗng và
ρ
1
,
ρ
2
là những metric trên X. Ta nói
ρ
1

tương đương với
ρ
2
nếu tồn tại các hằng số dương A
1
, A
2
, sao cho:

A
1
ρ
1
(x, y)
≤

ρ
2
(x, y)
≤
A
2
ρ
1
(x, y) , với mọi x, y ∈ X.
a) Chứng minh hai metric trong bài 1.1 là tương đương.
b) Hãy xét xem các metric trong bài 1.4 có tương đương hay không.
Bài 1.6. Giả sử
ρ
là một khoảng cách trong không gian metric X, thoả mãn bất đẳng
thức siêu metric
ρ
(x, z)
≤
max{
ρ
(x, y),
ρ
(y, z)},

trong đó x, y, z
∈
X.
a) Chứng tỏ rằng nếu
ρ
(x, y)
≠

ρ
(y, z) thì
ρ
(x, z) = max(
ρ
(x, y),
ρ
(y, z)).
b) Chứng tỏ rằng trong không gian metric ấy, mọi hình cầu mở B(x, r) đều là một
tập vừa mở vừa đóng, và B(y, r) = B(x, r) với mọi điểm y
∈
B(x, r).
c) Chứng tỏ rằng trong không gian metric ấy, mọi hình cầu đóng B’(x, r) đều là
một tập vừa mở vừa đóng, và B’(y, r) = B’(x, r) với mọi điểm y
∈
B(x, r).
d) Chứng tỏ rằng nếu trong X hai hình cầu có một điểm chung, thì một hình cầu
được chứa trong hình cầu kia.
e) Chứng tỏ rằng khoảng cách giữa hai hình cầu mở khác nhau, có bán kính r và
được chứa trong cùng một hình cầu đóng có bán kính r, là bằng r.
Bài 1.7. a) Giả sử {x
n

} là một dãy trong không gian metric X. Hãy chứng tỏ rằng nếu
ba dãy con {x
2n
}, {x
2n+1
} và {x
3n
} đều hội tụ thì dãy {x
n
} cũng hội tụ.
b) Hãy nêu lên một ví dụ về dãy {x
n
} các số thực, không hội tụ và có tính
chất: với mọi k
≥
2, dãy con {x
kn
} hội tụ.
Bài 1.8. Với mọi tập con A, B của một không gian metric, chứng minh:
a) (A
∪
B)
0

⊃
A
0

∪
B

0
; (A
∩
B)
0
= A
0

∩
B
0
b)
;
A B A B
∪ = ∪

.
A B A B
∩ ⊂ ∩

Bài 1.9. Với mọi a thuộc không gian metric X và r > 0 ta gọi tập
B’(a, r) = {
x X
∈
:
ρ
(x, a)
≤
r}
là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.

a) Chứng minh hình cầu đóng là tập đóng,
( , ) '( , )
B a r B a r
⊂
.
b) Cho một ví dụ
( , ) '( , )
B a r B a r
≠


18
c) Chứng minh rằng trong R
k
bao đóng của hình cầu mở là một hình cầu đóng
có cùng tâm và bán kính.
Bài 1.10. Cho a, b
∈
R, a < b. Trong C[a, b] Chứng minh.
a) E = {x
∈
C[a, b] : A < x(t) < B với mọi t
∈
[a, b]} là tập mở.
b) F = {x
∈
C[a, b] : A
≤
x(t)
≤

B với mọi t
∈
[a, b]} là tập đóng.
Bài 1.11. Cho x
o

∈
C[a, b]. Chứng minh.
a) E = {x
∈
C[a, b] : x(t) < x
0
(t) với mọi t
∈
[a, b]} là tập mở.
b) F = {x
∈
C[a, b] : x(t)
≤
x
0
(t) với mọi t
∈
[a, b]} là tập đóng.
Bài 1.12. Hãy chứng tỏ rằng hợp của một tập hợp bất kỳ và của tập hợp các điểm
ngoài của nó trong không gian metric X là trù mật khắp nơi.
Bài 1.13. Cho U, V là các tập mở không giao nhau của không gian metric X, chứng
minh
U
V

∩
=
U V
ϕ
∩ =

Bài 1.14. a) Cho A là tập mở và B là tập tuỳ ý của không gian metric X. Chứng minh
rằng:
A B A B
∩ ⊂ ∩
.
b) Tìm các tập A, B trong R sao cho
A B A B
∩ ⊄ ∩

Bài 1.15. Cho X là một không gian metric rời rạc. Chứng minh rằng :
a) Mọi tập con A của X vừa mở vừa đóng.
b) X khả ly nếu và chỉ nếu X đếm được.
Bài 1.16. Cho không gian metric X và tập con A của X. Với mọi x
∈
X đặt :
ρ
(x, A) = inf{
ρ
(x, y): y
∈
A}.
Chứng minh: a)
ρ
(., A) là hàm liên tục trên X. b)

x A
∈
nếu và chỉ nếu
ρ
(x,
A) = 0.
Bài 1.17. Cho X, Y, Z là các không gian metric và f: X
→
Y; g: Y
→
Z là các ánh xạ
liên tục. Chứng minh rằng:
a) g
o
f là ánh xạ liên tục.
b) Nếu f là toàn ánh, g
0
f là phép đồng phôi thì f và g là các phép đồng phôi.
Bài 1.18. Cho A là tập con trong không gian metric (X, d). Đặt
:
{
}
( , ) : ( , )
B A r x X d x A r
= ∈ <
.
Hãy chứng minh rằng : a) B(A, r) mở. b)
( , ) ( , )
B A r B A r
=

Bài 1.19. Cho X là một không gian metric đầy đủ, {G
n
} là một dãy các tập con mở

19
của X, mỗi G
n
là trù mật trong X. Chứng minh
1
n
n
G
∞
=
∩
trù mật trong X.
Bài 1.20. Hãy chứng tỏ rằng từ mọi phủ mở của không gian metric khả ly, đều có thể
trích ra một phủ mở đếm được.
Bài 1.21. Giả sử A là một tập hợp trong không gian metric X. Điểm x thuộc A gọi là
điểm cô lập nếu tồn tại một lân cận V của điểm x trong X sao cho V
∩
A chỉ gồm một
điểm x. Hãy chứng tỏ rằng tập hợp các điểm cô lập của không gian metric khả ly X là
không quá đếm được.
Bài 1.22. Cho f : X
→
Y là một ánh xạ liên tục đều và tập con A của X hoàn toàn bị
chặn. Chứng minh f(A) là tập con hoàn toàn bị chặn của Y.
Bài 1.23. Cho X và Y là hai không gian metric, A là tập con compact của X, B là tập

con compact của Y. Chứng minh rằng với mọi tập mở W của X x Y chứa A x B tồn
tại tập mở U của X chứa A và tập mở V của Y chứa B sao cho U x V chứa trong W.
Bài 1.24. Cho X là một không gian metric compact và ánh xạ f : X
→
X thoả mãn
ρ
(f(x), f(y))
≥

ρ
(x, y) với mọi x, y
∈
X. Chứng minh f là phép đẳng cự.
Bài 1.25. Cho f : X
→
Y là ánh xạ liên tục trên mọi tập compact của X. Chứng minh f
là ánh xạ liên tục trên X.
Bài 1.26. Cho X là không gian metric compact và f : X
→
X là ánh xạ thoả mãn:
ρ
(f(x), f(y)) <
ρ
(x, y) với mọi x, y
∈
X, x
≠
y.
Chứng minh f có một điểm bất động duy nhất.
Bài 1.27. Giả sử A là một tập compact, B là một tập hợp đóng trong không gian

metric X, và
φ
Α ∩Β =
. Hãy chứng tỏ rằng d(A, B) > 0.Kết luận trên còn đúng không
nếu A và B chỉ là các tập đóng rời nhau mà không compact?
Bài 1.28. Chứng minh rằng tập A trong không gian metric X là compact tương đối
nếu và chỉ nếu mọi dãy trong A đều có một dãy con hội tụ trong X.
Bài 1.29. Hãy chứng minh rằng mọi hàm số liên tục f: [a,b]
→
[a,b] đều có ít nhất
một điểm bất động.
Bài 1.30. Giả sử f: X
→
X là ánh xạ liên tục từ không gian metric đủ X vào chính nó
và giả sử rằng có một số
, 0 1
θ θ
< <
sao cho :
{
}
( ( ), ( )) max ( , ), ( , ( )), ( , ( )) , ( , X)
f x f y x y x f x y f y x y
ρ θ ρ ρ ρ
≤ ∀ ∈

Hãy chứng tỏ rằng f có điểm bất động và điểm bất động đó là duy nhất.
Bài 1.31. Chứng minh rằng: Trong không gian metric đủ mọi dãy tập đóng lồng nhau
với đường kính dần tới 0 đều có một điểm chung duy nhất.

20

CHƯƠNG II
Tôpô đại cương
Số tiết: (Lý thuyết: tiết; bài tập, thảo luận: tiết )
*) Mục tiêu:
- Sinh viên hiểu khái niệm: không gian tôpô, tập hợp mở, tập hợp đóng, phần
trong, bao đóng, biên, tập hợp dẫn xuất của một tập hợp; ánh xạ liên tục, ánh xạ mở,
ánh xạ đóng, phép đồng phôi giữa các không gian tôpô; tôpô xác định bởi họ các tập
hợp đóng, tôpô đầu, tôpô cuối xác định bởi họ các ánh xạ.
- Sinh viên hiểu và từ đó có thể chứng minh được một không gian là các T
i

không gian.
- Sinh viên hiểu cách xây dựng tích decac của một họ không gian tôpô.
II.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN TÔPÔ
1. Định nghĩa. Không gian Tôpô là một cặp (X,
τ
) trong đó X là một tập hợp
khác rỗng và
τ
là một họ những tập con của X, (
τ
⊂
P(X)), thoả mãn các điều kiện:
a)
∅
∈
τ
và X

∈
τ
.
b) Nếu A, B
∈
τ
thì A
∩
B
∈
τ
.
c) Nếu
{
}
t
t T
U
∈
là một họ những tập con của X và U
t

∈
τ
với mọi t
∈
T thì
t
t T
U

τ
∈
∈
∪
.
Tập X gọi là không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, mỗi phần tử của
τ
gọi là một tập mở trong không gian X. Họ
τ
gọi là một tôpô trên tập X. Như vậy:
1) Tập
∅
và toàn bộ không gian X là tập mở.
2) Giao hữu hạn những tập mở là tập mở.
3) Hợp tùy ý những tập mở là tập mở.
Ví dụ 1. Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng và
τ
= P(X) là họ tất cả các tập
con của X. Khi đó
τ
là một tôpô trên X và (X,
τ
) được gọi là không gian tôpô rời
rạc.
Ví dụ 2. Cho X là một tập hợp khác rỗng và
τ
= {
∅
, X}. Khi đó
τ

cũng là một
tôpô trên X và (X,
τ
) được gọi là không gian tôpô phản rời rạc hay không gian tôpô
tầm thường.
Ví dụ 3. Cho (X,
ρ
) là một không gian metric, họ tất cả các tập mở theo metric
ρ
là một tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô sinh bởi metric
ρ
. Không gian

21
metric luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi metric.
Ví dụ 4. Cho X là một tập hợp, a
∈
X. Họ
τ
= {
∅
}
∪
{A
⊂
X: a
∈
A} là một
tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô có điểm đặc biệt. Một trường hợp đặc biệt của
tôpô này là tôpô Sierpinski trên X = {0, 1} cho bởi

τ
= {
∅
, {0}, X}.
Ví dụ 5. Cho X là một tập hợp, a
∈
X. Họ
τ
= {X}
∪
{A
⊂
X: a
∉
A} là một
tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô bỏ đi một điểm.
Ví dụ 6. Cho X là một tập hợp vô hạn bất kỳ. Họ
τ
={
∅
}
∪
{A
⊂
X: X \ A là
hữu hạn} là một tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô có phần bù hữu hạn hay tôpô
Zariski.
Ví dụ 7. Cho X là một tập hợp vô hạn bất kỳ, a
∈
X. Họ

τ
= {A
⊂
X: a
∉
A
hoặc X \ A là hữu hạn} là một tôpô trên X. Tôpô này được gọi là tôpô Fort.
Nếu x là một điểm của không gian tôpô X và U là một tập mở chứa x thì U gọi
là một lân cận của điểm x.
Giả sử A là một tập con của không gian X và x
∈
A; x được gọi là điểm trong
của A nếu tồn tại một lân cận của x chứa trong A.
Dễ thấy: A là tập mở trong X khi và chỉ khi mỗi điểm x của A đều là điểm
trong của A.
Giả sử B là một họ tập mở của không gian tôpô (X,
τ
). B được gọi là một cơ
sở của không gian tôpô (X,
τ
) (hoặc cơ sở của tôpô
τ
) nếu mỗi tập mở trong X là
hợp của một họ nào đó những tập thuộc B. Cho B
⊂
τ
, B là cơ sở của không gian
tôpô (X,
τ
) khi và chỉ khi với mọi tập mở A

⊂
X, với mọi x
∈
A: tồn tại U
∈
B sao cho
x
∈
U
⊂
A.
Từ định nghĩa cơ sở lân cận ta dễ dàng chứng minh được:
ĐỊNH LÍ 1.1. Mỗi cơ sở B của một không gian tôpô (X,
τ
) có các tính chất:
a) Với mọi U
1
, U
2

∈
B, với mọi x
∈
U
1
∩
U
2
, tồn tại U
∈

B sao cho: x
∈
U
⊂
U
1
∩
U
2
.
b) Với mọi x
∈
X, tồn tại U
∈
B sao cho: x
∈
U.
Giả sử x là một điểm của không gian tôpô X. Họ B(x) những lân cận của x
được gọi là một cơ sở lân cận của không gian tôpô (X,
τ
) hay cơ sở lân cận của tôpô
τ
tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của x, tồn tại một tập hợp U
∈
B(x) sao cho U
⊂
V.
Từ định nghĩa cơ sở lân cận tại một điểm ta dễ dàng chứng minh được:
ĐỊNH LÍ 1.2. Với mỗi điểm x của một không gian tôpô (X,
τ

), gọi B(x) là một
cơ sở lân cận của tôpô
τ
tại x. Lớp { B(x), x
∈
X}, có các tính chất:

22
a) Với mọi U
∈
B(x), x
∈
U và x
∈
X, B(x)
≠
∅
.
b) Với mọi x
∈
V
∈
B(x), tồn tại U
∈
B(x) sao cho U
⊂
V.
c) Với mọi U
1
∈

B(x), với mọi U
2
∈
B(x), tồn tại U
∈
B(x) sao cho U
⊂
U
1
∩
U
2
.
Lớp {B(x), x
∈
X} gọi là hệ thống đầy đủ các lân cận của không gian tôpô (X,
τ
).
Giả sử (X,
τ
) là một không gian tôpô, tập hợp F
⊂
X được gọi là tập hợp đóng
hay tập đóng trong X nếu phần bù X \ F là tập mở trong X.
ĐỊNH LÍ 1.3. Gọi D là họ tất cả các tập đóng trong không gian tôpô (X,
τ
).
Khi đó:
a)
∅

∈
D, X
∈
D.
b) Nếu F
1
, F
2

∈
D thì F
1

∪
F
2

∈
D.
c) Nếu F
t

∈
D với mọi t
∈
T thì

i
t T

F
∈
∩
∈
D.

Giả sử (X,
τ
) là một không gian tôpô và A là một tập hợp con của X. Giao của
họ tất cả các tập hợp đóng chứa A gọi là bao đóng của tập A, ký hiệu là
A
. Bao đóng
của tập A tồn tại vì luôn có X là tập đóng chứa A.

Từ định nghĩa ta có một số tính chất đơn giản:
a)
A
là một tập hợp đóng và là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A.
b) A
⊂
X là tập đóng khi và chỉ khi
A
= A.
c) Nếu A
⊂
B thì
A

⊂
B

.
ĐỊNH LÍ 1.4. Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X,
τ
) và x
∈
X. Khi đó
x
∈
A
khi và chỉ khi mọi lân cận U của x đều có giao khác rỗng với A.
ĐỊNH LÍ 1.5. Giả sử (X,
τ
) là một không gian tôpô, A và B là những tập hợp
con của X.
Khi đó:
a)
∅ = ∅
. c)
A B = A B
∪ ∪
.
b) A
⊂
A
.
d)
A
=
A
.

Giả sử A là một tập hợp con của một không gian tôpô (X,
τ
). Hợp của họ tất
cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập hợp A, kí hiệu là IntA
hoặc
0
A
. Phần trong của A là luôn tồn tại vì, ít nhất
∅
là tập mở chứa trong A; IntA
có thể là tập hợp rỗng.
Từ định nghĩa trên ta có một số tính chất đơn giản:

23
a) IntA là tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A.
b) A
⊂
X là tập mở khi và chỉ khi A = IntA.
c) x
∈
IntA khi và chỉ khi x là một điểm trongcủa A.
d) Nếu A
⊂
B thì IntA
⊂
IntB.
ĐỊNH LÍ 1.6. Nếu A là một tập hợp con của không gian tôpô X thì
IntA = X \
\
X A

ĐỊNH LÍ 1.7. Giả sử (X,
τ
) là một không gian tôpô, A và B là những tập hợp
con của X.
Khi đó:
a) IntX = X. c) Int (A
∩
B) = IntA
∩
IntB.
b) A
⊂
IntA. d) Int(IntA)) = IntA
So sánh các tôpô. Giả sử trên cùng một tập hợp X trang bị hai tôpô
τ
1
và
τ
2
.
Ta nói
τ
1
mạnh hơn
τ
2
(
τ
2

yếu hơn
τ
1
) nếu
τ
2
⊂
τ
1
tức là mỗi tập mở đối với tôpô
τ
2
cũng là một tập mở đối với tôpô
τ
1
. Hiển nhiên tôpô rời rạc trên tập hợp X là tôpô
mạnh nhất và tôpô phản rời rạc trên X là tôpô yếu nhất trong tất cả các tôpô trên X.
Không phải hai tôpô bất kỳ trên cùng một tập hợp cũng luôn so sánh được với
nhau. Giả sử A và B là hai tập con thực sự và kghác nhau của Tập hợp X. Khi đó:
τ
A
= {
∅
, A, X} và
τ
B
= {
∅
, B, X}
là hai tôpô trên X. Hiển nhiên là

τ
A
và
τ
B
là không so sánh được.
II.2. XÂY DỰNG TÔPÔ CÓ CƠ SỞ CHO TRƯỚC HOẶC CÓ CÁC TẬP
HỢP ĐÓNG CHO TRƯỚC
Trong II.1, chúng ta đã biết là một cơ sở B của không gian tôpô (X,
τ
) có các
tính chất:
a) Với mọi U
1
, U
2

∈
B, với mọi x
∈
U
1
∩
U
2
, tồn tại U
∈
B sao cho:
x
∈

U
⊂
U
1
∩
U
2
.
b) Với mọi x
∈
X, tồn tại U
∈
B sao cho: x
∈
U .
Vậy, nếu một họ B những tập con của một tập hợp X thoả mãn hai điều kiện
trên thì có tồn tại hay không một tôpô trên X nhận B là cơ sở.
ĐỊNH LÍ 2.1. Giả sử họ B những tập con của một tập hợp X thoả mãn hai
điều kiện:
a) Với mọi U
1
, U
2

∈
B, với mọi x
∈
U
1
∩

U
2
, tồn tại U
∈
B sao cho:
x
∈
U
⊂
U
1
∩
U
2
.
b) Với mọi x
∈
X, tồn tại U
∈
B sao cho: x
∈
U .

24
Khi đó tồn tại một tôpô
τ
trên X sao cho B là một cơ sở của không gian tôpô
(X,
τ
).

Cũng theo I.1 ta có tập hợp các tập đóng của không gian tôpô (X,
τ
) có các
tính chất:
a)
∅
∈
D, X
∈
D.
b) Nếu
1 2
,
F F
∈
D thì
1
F F D
∪ ∈

c) Nếu
,
t
F D t T
∈ ∀ ∈
thì
t
t T
F D
∈

∈
∩

Đảo lại, nếu họ D các tập con của tập hợp X có các tính chất trên thì tồn tại hay
không một tôpô trên X mà các tập hợp thuộc D và chỉ các tập đó là các tập hợp đóng.
Định lí sau sẽ chứng tỏ điều này.
ĐỊNH LÝ 2.2. Giả sử D là một họ các tập con của một tập hợp X thoả mãn ba
điều kiện
a)
∅
∈
D, X
∈
D.
b) Nếu
1 2
,
F F
∈
D thì
1
F F D
∪ ∈

c) Nếu
,
t
F D t T
∈ ∀ ∈
thì

t
t T
F D
∈
∈
∩

Khi đó họ
τ
=
{
}
\ :
X F F D
∈

là một tôpô trên X. Các tập thuộc D và chỉ các tập đó là các tập hợp đóng của không
gian tôpô (X,
τ
). Tôpô
τ
được xác định như trên gọi là tôpô xác định bởi họ tập đóng
D.
II.3. BIÊN VÀ TẬP HỢP DẪN XUẤT CỦA MỘT TẬP HỢP
Giả sử (X,
τ
) là một không gian tôpô, A
⊂
X. Tập hợp
\

A A X A
δ
= ∩
gọi là biên
của tập A.
ĐỊNH LÍ 3.1. Điểm x
∈
X thuộc
δ
A khi và chỉ khi với một lân cận bất kỳ U
của điểm x, ta đều có:
U A
∩ ≠ ∅
và
\U A
≠ ∅
.
ĐỊNH LÍ 3.2. Giả sử A và B là các tập hợp con của một không gian tôpô
(X,
τ
). Khi đó:
a)
δ
A =
δ
(X \ A).
c)
A
= A
∪

δ
A.
e)
δ
(A
∩
B)
⊂
δ
A
∩
δ
B.
b) IntA = A \
δ
A. d)
δ
(A
∪
B)
⊂
δ
A
∪
δ
B.


25

Giả sử A là một tập con của không gian tôpô X. Điểm x thuộc X gọi là điểm tụ
của tập hợp A nếu
{ }
\
x A x
∈
.
Hiển nhiên x là một điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi một lân cận bất kỳ U
của x đều chứa ít nhất một điểm y của A khác x. Tập hợp tất cả các điểm tụ của A gọi
là tập hợp dẫn xuất của A, kí hiệu là A
d
.
Các điểm của tập hợp A\ A
d
gọi là các điểm cô lập của tập hợp A. Điểm x của
một không gian tôpô X là một điểm cô lập của X khi và chỉ khi {x} là một tập mở.
ĐỊNH LÍ 3.3. Giả sử A và B là hai tập hợp con của một không gian tôpô X,
{
}
t
t T
A
∈
là một họ tập con của X. Khi đó:
a)
A
=A
∪
A
d

.
c) ( A
∪
B)
d
= A
d

∪
B
d
.

b) Nếu A
⊂
B thì A
d

⊂
B
d
.
d)
d
d
t t
t T t T
A A
∈ ∈
 

⊂
 
 
 
∪ ∪

Giả sử A là một tập hợp con của một không gian tôpô X.
A gọi là trù mật trong X nếu
A X
=
.
A gọi là thưa trong X nếu IntA =
∅
.
A gọi là không đâu trù mật trong X nếu
A
là một tập thưa trong X, tức
là
Int A
= ∅
.
A gọi là một tập hợp tự trù mật nếu A
⊂
A
d
.
ĐỊNH LÍ 3.4. Giả sử A là một tập hợp con của không gian tôpô X. Khi đó:
a) A là trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi tập hợp mở khác rỗng trong X đều
có giao khác rỗng với A.
b) A là thưa trong X khi và chỉ khi mỗi tập mở khác rỗng trong X đều có giao

khác rỗng với phần bù của A.
c) A là không đâu trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi tập mở khác rỗng trong X
đều chứa một tập mở khác rỗng không có điểm chung với A.
Không gian tôpô X gọi là khả li nếu nó có một tập con đếm được trù mật.
Ví dụ. Tập hợp các số hữu tỷ Q là trù mật trong không gian các số thực R nên
R là không gian khả li.
ĐỊNH LÍ 3.5. Không gian tôpô X có một cơ sở đếm được B thì khả li.
II.4. ÁNH XẠ LIÊN TỤC. PHÉP ĐỒNG PHÔI
1. Ánh xạ liên tục
Cho hai không gian tôpô (X,
τ
X
) và (Y,
τ
Y
). ánh xạ f: X
→
Y gọi là liên tục