Đề cương bài giảng Môn Đại số đại cương

Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
Chơng 1
nửa nhóm và nhóm

1. nửa nhóm
Mục đích yêu cầu:
Sinh viên nắm đợc khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết các
khái niệm trên trong các trờng hợp cụ thể.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập .
1.1.Phép toán hai ngôi:
Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thờng. Ta thấy: a, b N
luôn có: a+b = c N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ đợc không? Hãy
lập ánh xạ đó. ( +: NxN N
(a,b) c )
2.Cũng hỏi nh trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân
trong N ?
T: NxN N
(a,b) c= a
b
)
các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi.
Định nghĩa 1: SGK(37)
Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu không
có lý do nào khiến ta phải viết khác.
Định nghĩa 2: sgk(38)
A X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. x,y A xy A .
(Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên
A )
Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ?
Định nghĩa 3: Tr 38.
Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính là

một trong hai phần tử đó ?
+: NxN N . : NxN N T: NxN N
(a,o ) a (a , 1) a (a , 1) a
1
=a
Định nghĩa 4: tr 39
Hãy cho nhận xét trong các phép toán nêu trên cái nào có phần tử đơn vị trái,
phải? Một phép toán vừa có đơn vị trái, vừa có đơn vị phải thì phần tử đơn vị
trái và đơn vị phải có quan hệ gì với nhau? Hãy chứng minh? ( tr 39).
Định lý1: tr39.
Hệ quả: tr39.
1.2.Nửa nhóm:
Định nghĩa 5: tr39
1
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
Hãy chỉ ra trong các ví dụ trên tập N với các phép toán nào là một nửa nhóm ? (
trừ phép mũ hoá- phép toán trừ ).
Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A
là một nửa nhóm. Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.
Trong một nửa nhóm X:
Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó.
Tổng quát : x
1
x
2..
x
n-1
x
n
= (x

1
x
2..
x
n-1
)x
n
gọi là tích của n phần tử lấy theo thứ
tự đó.
Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40.
Định nghĩa 6: X là nửa nhóm:
n N, n 0 a X ; a
n
gọi là tích của n phần tử bằng a.
Do tính kết hợp ta có:
a
m
.a
n
= a
m+ n
; (a
m
)
n
= a
m.n
( Sinh viên tự CM)
Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi là
bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dới dạng tổng:

( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a )
Định lý 3: tr41.
Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42.
Bài tập: 1 5 tr 42-43.
2
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
Bài tập chơng 1
Trang 42:
Bài 1: X là nửa nhóm. a X ; b Xsao cho: ab = ba.
a) CMR: (ab)
n
= a
n
b
n
n > 1 ; n N
b) Nếu (ab)
2
= a
2
b
2
thì có suy ra đợc ab = ba không ?
Bài giải:
a).Quy nạp theo n:
Với n = 1 ta có ab = ba.
Giả sử với m = n-1 có: (ab)
n-1
= a
n-1

b
n-1
Ta CM đúng với m = n.
Có (ab)
n
= (ab)
n-1
(ab) = a
n-1
b
n-1
(ab) = a
n-1
(b
n-1
b)a =a
n-1
b
n
a. (1)
Nh vậy nếu có b
n
a = ab
n
thì từ (1) suy đợc ra điều phải CM. Ta đi CM điều đó:
Bằng quy nạp theo n:
- Với n =1 ta có ab = ba
- Với m = n-1 giả sử có : a
n-1
b = ba

n-1
- Ta CM đúng với m = n.
Có : a
n
b = a(a
n-1
b) = a(ba
n-1
) = a(a
n-1
b) = (aa
n-1
)b = a
n
b (2)
áp dụng (2) vào (1) ta có ĐPCM.
b). Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. Chẳng hạn a, b X : a b
Xét nửa nhóm X với phép toán ab = a a,b X. Ta có :
a
2
= a , b
2
= b , ab = a , a
2
b
2
= a
2
= a . Nên: (ab)
2

= a = a
2
b
2

Nhng: ab = a ba = b.
Bài 2:
Gọi X là tập thơng Z/nZ = {
0
,
1
,...
1

n
} ; ( a b (modn) . a và b chia cho
n có cùng số d. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp (
a
,
b
) cho tơng ứng với
lớp tơng đơng
ba
+
.
a). CM R có một ánh xạ từ X
2
đến X
b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a)
c) Nếu với mỗi cặp (

a
,
b
) cho tơng ứng với lớp
ab
Thì X cũng là một vị
nhóm giao hoán.
Bài giải:
a).Ta CM tơng ứng (
a
,
b
)
ba
+
. Không phụ thuộc vào các đại
diện a, b của các lớp tơng đơng
a
,
b
.
Nếu
a
=
'
a
thì: a - a

chia hết cho n
Nếu

b
=
'
b
thì: b-b

chia hết cho n
Suy ra: (a+b)-(a

+b

) cũng chia hết cho n hay
ba
+
=
''
ba
+
Vậy ta có ĐPCM.
b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X
2
X
(
a
,
b
)
ba
+
=

Kiểm tra t/c kết hợp:
a
,
b
,
c
:
Phần tử không là :
0
.
3
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
c) Sinh viên tự CM.
Bài 3:
X là tập tuỳ ý. Xét ánh xạ:T: X.X X
(x,y) x.
CMR: X là một nửa nhóm đối với phép toán trên. Nửa nhóm đó có giao hoán
không ,có phần tử đơn vị không?
Bài giải:
x, y, z X ta có: xT(yTz) = xYy = x
(xTy)Tz = xTz = x
Vậy: xT(yTz) = (xTy)Tz Nên X là nửa nhóm.
Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. x, y X, x y ta có
xTy = x yTx =y nên X không giao hoán.
Không có đơn vị vì: giả sử e là đơn vị thì: eTx = e x x X.
Bài 4:
Gọi X là tập thơng của ZxN
*
trên quan hệ tơng đơng S xác định bởi:

(a,b) S(c,d) <=> ad = bc .
Ta ký hiệu các phần tử C(a,b) của X bằng a/b, (a,b) ZxN
*
a). f: XxX X

(a/b , c/d) (ad+bc)/bd Là một ánh xạ.
b). CMR X là một vị nhóm giao hoán với phép toán ở câu a).
c). Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tơng ứng với lớp tơng đơng ac/bd. CMR lúc đó X
cũng là một vị nhóm giao hoán.
Bài giải::
4
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
2. Nhóm
(Số tiết: 18 = 9 + 9)
Mục đích yêu cầu:
Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm . biết chứng
minh các tính chất về nhóm.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm.
Phơng pháp:
Thuyết trình - Luyện tập.- Đàm thoại
Chuẩn bị: SGK- SBT môn ĐSĐC
Nội dung:
2.1. Nhóm:
2.1.1. Định nghĩa 1: X là nửa nhóm.
e X: x X : ex = x
x X , x
'
X : x
'
x = xx

'
= e
Khi ấy X là một nhóm.
X là nhóm hu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn. Số phần tử của X còn
gọi là cấp của nhóm X
Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben )
Ví dụ: SGK tr 44
2.1.2. Các tính chất:
1.Trong một nhóm X mỗi phần tử có duy nhất một phần tử đối.
CM: x X giả sử có hai phần tử đối xứng là a và b.
Ta có: xa = ax = e , xb = bx = e nên: bxa = be hay ea = b hay a = b.
Phép toán ký hiệu bằng dấu . phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử nghịch
đảo. Viết x
-1
Phép toán ký hiệu bằng dấu + phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử đối. Viết
- x
Vậy (x
-1
)
-1
= x ; (- (-x) = x.
Nếu X là aben thì : (.): xy
-1
= y
-1
x nên còn viết x/y gọi là thơng của x trên y
(+): x-y = -y + x viết x - y gọi là hiệu của x và y.
2. (Luật giản ớc)
Trong một nhóm X : x , y , z X. Nếu xy = xz ( yx = zx ) thì: y = z
CM: nếu :xy = xz

Ta có: x
-1
(xy) = x
-1
(xz) hay (x
-1
x)y = (x
-1
x)z hay ey = ez hay y = z.
3. trong một nhóm X phơng trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất
x= a
-1
b ( y = ba
-1
)
CM:
Ta có: ax = a(a
-1
b) = (aa
-1
) b = eb =b hay x = a
-1
b là nghiệm. Nghiệm này là
duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật
giản ớc ta đợc: x = c.
5
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
4. X là nhóm: x , y X ta có (xy)
-1
= y

-1
x
-1
CM:
(xy)( y
-1
x
-1
) =x(yy
-1
)x
-1
= xex
-1
= xx
-1
= e
(y
-1
x
-1
)(xy) = y
-1
(x
-1
x)y = y
-1
ey = y
-1
y = e

Vậy có (xy)
-1
= y
-1
x
-1
Tổng quát: (x
1
.x
2
..x
n
)
-1
= x
n
-1
x
-1
n-1
..x
2
-1
x
1
-1
.
Đặc biệt (a
n
)

-1
= (a
-1
)
n
n N, n 0
Quy ớc viết : a
-n
Đặt a
0
= e
CMR: , à Z: a + àa = ( + à )a
à ( a) = à a.
5. Một nửa nhóm X là một nhóm khi và chỉ khi hai điều kiện sau đợc thoả
mãn:
i) x X , ex = x ( X có đơn vị trái)
ii) x X, có một x

X Sao cho: x

x = e
CM:
Đ/k cần là hiển nhiên.
Đ/ k đủ:
x X theo ii) x

X: x

x = e. cũng theo ii) x

X: x

x

= e
Ta có: xx

= exx

= x

x

xx

= x

ex

= x

x

= e .
Mặt khác: xe = xx

x = ex = e
Vây : X là nhóm.
Sinh viên tự phát biểu và cm cho trờng hợp ứng với phần tử đơn vị phải.
6. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi:

các phơng trình ax =b và ya = b có nghiệm trong X
CM:
: đã cm trong t/c 3
Đủ: Do X nên a X vì phơng trình ya = b có nghiệm nên phơng trình
ya = a có nghiệm. Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X.
Thật vậy: b X phơng trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c
Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b. hay e là đơn vị trái.
b X xét phơng trình yb = e theo (gt) phơng trình này có nghiệm trong X nên b

sao cho : b

b = e
Theo đ/ lý 5 ta có đpcm.
Bài tập 3,5,7,10 tr 70.
Bài tập 2 sinh viên làm tại lớp.

6
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
2.2.Nhóm con:
Nhóm cộng các số thực R, tập Z các số nguyên. Z R, Z cùng phép cộng
cũng là một nhóm. Ta còn gọi đó là một nhóm con của nhóm cộng các số thực R
Định nghĩa 2:
X là một nhóm, A là một bộ phận ổn định của X. A cùng với phép toán cảm sinh là
một nhóm Thì A gọi là một nhóm con của nhóm X.
Nếu A là nhóm con của X thì liệu phần tử trung lập của A có phải là phần tử
trung lập trong nhóm X không? Phần tử nghịch đảo của một phần tử x trong A có
trùng với phần tử nghịch đảo của x trong X không? Sinh viên tự CM.
A nhóm con X hiển nhiên có:
1. x, y A, xy A
2. Giả sử b là phần tử trung lập của A thì x A bx = x;

mặt khác do x X nên ex = x ( với e là trung lập của X) Do đó: bx = ex áp dung luật
giản ớc trong nhóm ta có: b = e.
3. x A giả sử có x

A mà x

x = e ta cũng có x
-1
x = e nên x

x = x
-1
x hay:
x

= x
-1
.
Ngợc lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một nhóm
( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X.
Định lý 1: X là một nhóm; A X
1. x, y A, xy A
A là nhóm con của X Khi và chỉ khi 2. e A, với e là phần tử TLập của X
3. x A, x
-1
A
Hệ quả:
X là một nhóm. A , A X các mệnh đề sau là tơng đơng
a) A là một nhóm con của X a)
b) x, y A, xy A, x

-1
A
c) x, y A, xy
-1
A c) b)
CM:
a) b): theo đ/lý trên.
b) c) : do x, y A nên theo b) y
-1
A, và cũng theo b) xy
-1
A
c) a): vì A nên x A theo c): xx
-1
= e A
x A ,do e A, cũng theo c): ex
-1
= x
-1
A
x, y A theo trên y
-1
A nên x(y
-1
)
-1
A hay xy A Vởy A là nhóm con
của nhóm X
Các ví dụ : Tr 49 Sinh viên tự đọc tại lớp (5 phút).
Định lý 2:

Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X
7
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
CM:
Gọi A = A
i
, trong đó A
i
I là họ các nhóm con tuỳ ý của nhóm X
- A vì e A
i
i I nên e A
- x, y A, nên x , y A
i
i I suy ra xy
-1
A
i
i I ( do A
i
là các nhóm
con ) từ đó xy
-1
A (theo hệ quả đ/l 1). cho đpcm.
* Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một nhóm
con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các nhóm con
của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U. Đó là nhóm con bé nhất của X
chứa U.
định nghĩa 3:
U X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U .Khi ấy A gọi là

nhóm con sinh ra bởi U.
Nếu A = X ta nói U là một hệ sinh của X; X đợc sinh ra bởi U
Nếu U = {a}, a X.
Tập hợp A = { a
k
: k Z }là Nhóm con sinh ra bởi U
Thật vậy:
- Hiển nhiên A , vì a A
- x, y A x = a
k
; y = a
l
xy
-1
= a
k
(a
l
)
-1
= a
k
a
-l
= a
k-l
A
- A là nhóm con bé nhất của X chứa U. Vì: nhóm con B của X chứa U = {a}
đều chứa các luỹ thừa của a. A còn gọi là nhóm con sinh ra bởi a.
Định nghĩa 4:

X gọi là nhóm xyclic X ={ a
k
: k Z ; a X}; phần tử a gọi là phần tử sinh của X
Ví dụ1: Cho nhóm các phép thế bậc ba: S
3
e = (1) ; f
1
= (1 2 3); f
2
= (1 3 2 )
f
3
= (1 2 ) ; f
4
= (1 3 ) f
5
= (2 3 )
Tìm các nhóm con là xyclic sinh ra bởi : e; f
1
; f
2
; f
3
; f
4;
f
5
.
Giải:
Giả sử A = { f

1
k
: k Z }
Ta có : f
1
2
= (1 2 3 )(1 2 3 ) = (1 3 2 ) = f
2
f
1
3
= ( 1 2 3 )(1 3 2 ) = e
k Z: f
1

k
= f
1
3q+ r
=f
1
3q
f
1
r
= (f
1
3
)
q

f
1
r
= e
q
f
1
r
= f
1
r
trong đó 0 r < 3. Từ đó suy ra
A = { f
1
k
: k Z } = {f
1
0
= e ; f
1
1
= f
1
; f
1
2
= f
2
}
( các trờng hợp còn lại sinh viên tự CM)

Ví dụ 2:
Nhóm cộng số nguyên Z là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử 1 hoặc -1
(Sinh viên tự CM)
Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a X. Nếu không có một số
nguyên dơng n nào sao cho a
n
= e thì nhóm con sinh bởi phần tử a là vô
hạn, vì a
k
a
l
k l.
Trong trờng hợp ngợc lại gọi m là số nguyên dơng nhỏ nhất sao cho a
m
= e
thì nhóm con sinh ra bởi a có nm phần tử: a
0
, a
1
, a
2
,.a
m-1
.
Định nghĩa5:
8
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
X là một nhóm; a X; A là nhóm con sinh ra bởi a
a gọi là có cấp vô han nếu A vô hạn. Khi ấy: n: a
n

= e
a gọi là có cấp m nếu A có cấp m .
Khi ấy m là số nguyên dơng bé nhất sao cho: a
m
= e
2.2.3.Nhóm con chuẩn tắc- nhóm thơng:
X là một nhóm; A là nhóm con của X. Ta định nghĩa quan hệ ~ trong X nh
sau: x, y A, x~y x
-1
y A.
Bổ đề 1: Quan hệ ~ trong X là một quan hệ tơng đơng.
CM:
-Phản xạ: x A , x
-1
x = e A x~x
- đối xứng: x, y A, x ~ y tức x
-1
y A. ta có: (x
-1
y)
-1
A hay y
-1
x A y~x
-Bắc cầu: x~y, y~z , tức x
-1
y A, y
-1
z A (x
-1

y)(y
-1
z) = x
-1
z A x~z
Ký hiệu: - với mỗi x X, ta ký hiệu:
x
=
}{
yxXy ~:
- xA =
{
xa
{ a A
}
, a chạy khắp A
Bổ đề 2:
x
= xA
CM: y
x
thì: x~y tức x
-1
y = a A y = xa xA vậy
x
xA
y = xa xA x
-1
y = a A Vậy xA
x

Định nghĩa 6:
Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X; tơng tự các lớp
phải Ax của nhóm con A trong X là tập gồm các phần tử có dạng ax với a A
Tơng tự cũng có x ~y xy
-1
A
Hệ quả: X là một nhóm, x, y X khi ấy:
+ xA = yA x
-1
y A
+ xA yA = x
-1
y A
Tập hợp thơng của X trên quan hệ tơng đơng ~ gọi là tập thơng của nhóm X trên
nhóm con A, Kí hiệu: X/A. các phần tử của X/A là các lớp trái xA
Định lý 3: ( đ/l Lagrănggiơ)
Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp mọi nhóm con của nó.
CM:
Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m.
A = { x
1
, x
2
,.,x
m
} khi ấy x X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng:
xx
1
, xx
2

,., xx
m
. các phần tử này là phân biệt vì nếu xx
1
= xx
2
thì x
1
= x
2
. Do X là
hữu hạn nên có số các lớp trái xA là hữu hạn. gọi số các lớp trái là l và do các lớp trái
là rời nhau nên n = ml.
Số l các lớp trái xA gọi là chỉ số của nhóm con A trong X
Hệ quả 1:
Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn X là ớc của cấp của X
Hệ quả 2:
Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và đợc sinh ra bởi
một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm .(sinh viên tự CM)
9
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
( Số nguyên tố p chỉ có ớc là 1 và chính nó. Nên một nhóm hh có cấp nguyên
tố p thì mọi phần tử tuỳ ý của nó chỉ có thể có cấp là 1 hoặc p. loại trừ e thì
các phần tử tuỳ ý còn lại đều có cấp p và do đó chính nhóm đã cho đợc sinh
bởi phần tử đó.Hay đó là một nhóm xyclic)
Ví dụ : SGK tr 54- (Sinh viên tự đọc 05 phút)
Định nghiã 7:
X là một nhóm, A là nhóm con của X.
A gọi là chuẩn tắc x
-1

ax A, a A và x X
Định lý 4:
X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X, thì:
i) Quy tắc sau là một ánh xạ: X/A xX/A X/A
(xA, yA) xyA
ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) xyA là một nhóm, gọi là nhóm th-
ơng của X/A.
CM:
i)
Giả sử có xA = x
1
A và yA = y
1
A ta phải CM: xyA = x
1
y
1
A.
Theo hệ quả bổ đề 2 ta có: x
-1
x A, y
-1
y A .
Nên (xy)
-1
(x
1
y
1
) = y

-1
(x
-1
x
1
)y
1
= y
-1
(x
-1
x
1
)y(y
-1
y
1
) A, (vì A là chuẩn tắc nên
y
-1
(x
-1
x
1
)y A)
ii)
+ x, y, z X ta có: (xA.yA)zA = xyzA = xA.(yA.zA) do đó phép toán đã cho là
kết hợp
+ Xét lớp trái eA = A trong đó e là phần tử trung lập của nhóm X Ta có:
eA.xA = exA = xA, xA X/A vậy eA = A là phần tử đơn vị trái của X/A

+ xA X/A ta có: x
-1
A.xA = x
-1
xA = eA = A. Vậy xA nhận x
-1
A là phần tử nghịch
đảo trái
Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi ấy:
A là chuẩn tắc xA = Ax , x X
CM: : xa xA ( a A) do A là chuẩn tắc nên: y
-1
ay A , y X, lấy y = x
-1

thì: xax
-1
A, đặt xax
-1
= a

xa = a

x Ax Vậy xA Ax
ax Ax, ( a A) do A là chuẩn tắc nên: x
-1
ax A, đặt x
-1
ax = a

A ,
ta có: ax = xa

xA, vậy Ax xA. Do đó: Ax = xA.
Ngợc lại:
a A, x X. Ta có: ax Ax = xA, nên a

A sao cho: ax = xa

suy ra:
x
-1
ax = a

A, Vậy A là chuẩn tắc.
Các ví dụ: tr 57 (sinh viên tự đọc 5 phút)
2.2.4. Đồng cấu:
Định nghĩa 8:
Một đồng cấu(nhom) là một ánh xạ f từ một nhóm X đến một nhóm Y sao
cho: f(ab) = f(a).f(b), a, b X
+ Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X.
10
Giáo án Đại số đại cơng - 2005- Thái Minh
+ Một đồng cấu là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu.
+ Một đồng cấu là toàn ánh thì gọi là một toàn cấu
+ Một đồng cấu là song ánh thì gọi là một đẳng cấu. Ký hiệu: f: X : Y
+ Một tự đồng cấu là song ánh thì gọi là một tự đẳng cấu
Ví dụ: Xét xem các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, tự đồng
cấu, tự đẳng cấu:
1).A là nhóm con của nhóm X. Đơn ánh chính tắc: f: A X

a a
2). f: X X ( tự động cấu đồng nhất)
x x
3). Log : R
+
R ; R
+
: là nhóm nhân các số thực dơng; ( đẳng cấu)
x logx R :nhóm cộng các.số thực
4). A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. ánh xạ: h : X X/A ( toàn cấu)
x h(x) = xA
5) X, Y là hai nhóm tuỳ ý:
f: X Y
x e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thờng)
6) f: X Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Hỏi f
-1
: Y X có là đẳng cấu
không ? (f
-1
là song ánh. Mặt khác: y, y
1
Y , đặt x = f
-1
(y) ; x
1
= f
-1
(y
1
). Ta có:

f(x) = y; f(x
1
) = y
1
vì f là một đồng cấu nên: f(xx
1
) = f(x).f(x
1
) = y.y
1
;
do đó: f
-1
(y.y
1
) = xx
1
= f
-1
(y)f
-1
(y
1
). Vậy f
-1
là một đẳng cấu.
Định nghĩa 9:
f: X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, e
x,
, e

y
tơng ứng là các phần
tử trung lập của nhóm X, nhóm Y. Ta ký hiệu:
Imf = f(X)
Kerf = { x X { f(x) = e
y
} = f
-1
( e
y
)
Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f
Các tính chất của đồng cấu:
Định lý 5:
X,Y, Z là các nhóm . f: X Y; g: Y Z là các đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích
gf: X Z là một đồng cấu.
CM: a, b X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b)
Định lý 6:
f: X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì:
i) f(e
x
) = e
y
ii) f(x
-1
) = [f(x)]
-1
, x X
CM:
i) x X ta có: f(x). f(e

x
) = f(x. e
x
) = f(x) = f(x) e
y
f(e
x
) = e
y
(sau khi thực
hiên luật giản ớc)
ii) x X. ta có: f(x).f(x
-1
) = f(xx
-1
) = f(e
x
) = e
y
= f(x).[f(x)]
-1
(sau khi thực
hiên luật giản ớc)
Định lý 7:
11