lời giải của bài toán từ mô hình động học của rừng ngập mặn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

-........ ca...........

TÊN ĐỂ TÀI:

LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN
TỪ MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC
CỦA RỪNG NGẬP MẶN
M Ã

SỐ : Q T -0 7 -0 9

C h ủ trì đé tài: GS. T SK H . N guyễn Văn Mậu
C á n bộ th a m gia:
ỉ. TS L ê H u y C h u ẩ n
2. P G S TS N g u y ễ n M in h Tuấn
3. TS Đ in h C ô n g H ư ớ n g
4. TS L é H o à n g T rí
5. P G S TS L a Thị C a n g
6. T h S B ù i Thị G ia n g

Đ A I H Ọ C Q U Ọ C G IA H À N Ộ I 1
TÍ?ƯNG TẨM T H Ị N G TIN THƯ VIÊN

Ằ ỉ L 110
HÀ NỘI - 2007


M Ụ C LỤC

Trang
B áo cáo

tóm tắt

03

M ở đầu

05

Các kết quả chính nhận được từ v iệc nghiên cứu m ô hình (* )

06

C h ư ơ n g I. H ệ đ ộ n g lực củ a m ô hình rừ n g

06

1. N gh iệm địa phương

07

2. N gh iệm toàn cục

09

3. H ệ đ ộ n g lực

09

C h ư ơ n g I. D á n g điệu tiệm cận cù a n e h iệ m

10

1. H àm L y ap u n o v

10

2. C ác tập w - 2 Ìó'i hạn

10

3. Sự ôn dịnh của n ah iệm thuân n h ấ t

1]

4. Đại lượn tỉ toán học đặc irưim cho sức k h o e cu a r ừ n e

12

Kct luận

12

Tài liệu th am kiião

13

P hụ lục

14


BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐÈ TÀI Q T-07-09
Tên đề t à i : Lời giải cùa bài tốn từ mơ hình động học của rừng ngập mặn
Mã số: Q T - 0 7 - 0 9
Chủ trì đề tài: GS. TSKH . Nguyễn Văn Mậu
Các cán bộ tham gia:
1.TS Lê Huy Chuẩn
2. PGS TS Nguyễn Minh Tuấn
3. TS Đinh Công Hướng
4. TS Lê Hồng Trí
5 PGS TS La Thị Cang
6.
ThS Bùi Thị Giang
Mục tiêu và nội dung nghiên cứu
Đe tài được thành lập nhàm tập hợp một số cán bộ trẻ ở các đơn vị trong và
ngoài ĐHQGHN cùng tham eia nghiên cứu về mơ hình tốn cho rừng ngập mặn,
giải một số bài tốn ứng dụng trong khoa học mơi trường. Các kết qua cùa đê tài
được phân làm 2 nhóm chính:
.

Nghiên cứu lý thuyết về giải phương trình vi tích phân, phương trinh sai
phân, các biến đồi tích phân hàm.

•

Nêu lời giải của mơ hình rừng ngập mặn do nhóm hợp tác aiữa ĐH Osaka
(Nhật Ban) và ĐHKHTX. ĐIIQGIĨN.
Các kết quả đạt được
Kữr lỊitu k h o a h ọ c :

- Vồ mặt lý thuvel đã có những đóng góp thiêt thực, mant: tinh ihai sự và
có V imhĩa khoa học. Nhữnti két qua cư ban dà dưực tỏna kẽt đưói dạnu hốn
ch in h , x â y dụm” v à th iết lập các nu u yên K c a hàn củ a uiài tích - dại sỏ.

- Phương pháp aiai tích dại só rmàv cànu được xây dựnQ hỗn chinh như
một lĩnh vực Tốn học độc lập và dã to ra có nhữnti hiệu lực to lởn trone nhiều
chun nềnh khác nhau cùa tốn học. Dặc biệt, trone lý thuvèt aiãi lích hiện đại.
khi số krợne các mơ hình đưa ra dã q tai. khơnu đáp ứne được cho nhừiit: ứnsi
d ụ n s t r ự c t i ê p , m à c h ì d ừ i i e lại t r o m : c á c k h u ô n k h ỏ t h u ã n l u % c u a l oi i ic h i n h i h i r c

với các cấu trúc và nhừn2 thuật tốn định tính như: các tiêu chuãn eiai chuàn.
tính ổn định và ước lượne số nchiệm. ihì \'iệc hệ thồna hố. khái quat hố và
thuật tốn hữu hiệu đê eiai các bài tốn có cùne một cội neuồn là nhu cẩu bức
t h i ế t t r o n e c á c h o ạ t đ ộ n a t h ự c t i ề n. C á c p h ư ơ n t i p h á p n n h i ê n c ư u n à v đ à c h o
n h i ề u ứ n c d ụ n e t r o n e A'iệc k h á o sá t c á c p h ư o n ẹ t r ì n h t í c h p h â n dnriLi c h ậ r k< dị.
- Đ ã c ó n h ữ n a ứ n s d ụ n a b a n đ â u ir oiìi i \ i ệ c á p d ụ n e m ơ h ì n h l o i i ì h ọ c

tronu ntihièn cứu mơi trireme. Neồi ra. \ è mặt inm dụm: cũnt: có mội 50 kẽt quà
qunn trọne. tro nu do phai kC' Jen \ iệc cai tiên các eiao trình cho các A'7 sau dại
h ọ c . N ó c h o p h é p v ớ i m ộ t t h ò i Liian h ọ p K c ó (hị J ạ > c h o c á c h ọ c \ i ẻ n n ă m b ắ i

dược nhicu tư tiròmii cua toan học hiện dại mà truoc đàv thường phai \ c ỉc thành
các chiivẻn đè hẹp khác nhau. Nhĩnm luận vãn 1hạc s\ và liên SV là nhừnL; minh
chửni: có lính thuvèt phục.

- Sừ dụng có hiệu quả kinh phí đã được cấp. Hàng tuần vào thứ Năm, có
semina khoa học liên trường (ĐHQGHN, ĐHBKHN, Viện Toán học, Viện
CNTT, Học viện Ngân hàng, ĐH Thuỷ lợi, Nhà XBGD, Đ H SPH N ,...) hoạt động
đều và có hiệu quả, tham dự và chủ trì hai hội nghị khoa học vê giải tích và tốn
học trong nghiên cứu mơi trường.
- Đã tổ chức một topic riêng về "Tốn học trong nghiên cứu mơi trường"
trong Hội nghị quốc tế theo dự án nghiên cứu môi trường vùng đới duyên hải và
đã được phê duyệt thành chương trình thành phân của dự án JSPS.

Kết quả đào tạo
Đẻ tài đã lạo điều kiện thuận lợi cho một số học viên cao hoc và nghiên cứu
sinh dược lảm việc vả tham dự các hội nghị khoa học.
___________________ ___
Họ và tên
N ăm b
Tên đề tải
Cán bộ HD
TT
HVCH
Đặc trung nghiệm của đa thức G S T S K H
Lê Thị Thanh
2007
1
Nguvễn Văn Mậu
níiun hàm và ứng dụng
Bình
GSTSKH
Đào Thu Hiên
Một sơ lớp phương trình hàm

2007
2
Nguvễn Văn Mậu
sinh bởi dãv số
3

Nguyễn Thị Thu
Hằng

4

Mai Văn Thi
...

Một sơ lóp bât đăng thức hàm
khơrm đơi xứng

TS Neuyễn Thành
Văn

2007

Cơntz thức nội suy Hermite và
—írrm durm.
-w • it-

GSTSKH
N tíu\ễn Văn Mâu

2007

ỉ / ơ i l l h i n v à h ợ p t ú c i ị i i n c ũ'

Dê tài dã tỏ chức 2 hội hội ntihị khoa học tại Dà Nana (troriii chưưnu
trinh hợp tác với JSPS Nhặl Ban) vá lỉa Nội - Vĩnh Phúc (iroiiLi chưoníi trinh
Semina liên trườn” viện. TP Hà Nội).
Mathematics in environmental studies
1 ốn 2,iài tích irone rmhièn cứu Ú dụrte và đào tạo.
TIÍI
Đè tài có môi liên hộ mặi thièt \'ới các chuyên cia vê tinh toan tronti mỏi
trường: G S T S Y a e i T r u ô n g D I Ỉ T H O s a k a . G S T S O n a k a . P G S Ĩ S L a r h i C a n u

DIỈQG TpHCM. PGS TS Nsuvcn Q uanc Kim ĐIỈ Thủv Lọi Hà Nịi
Tình hình kinh phí của đề tài
Dè tài được nhận 25 triệu và đã chi theo dự tốn đirợc phê duvệt
Khoa qn lý

Chủ trì đề tài

TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T Ị NHI í . \
...

>^MÓ Hlfl ĩ Rưỏng


M Ở ĐẦU
Việt Nam có đường bờ biển kéo dài với hệ thống rừng ngập mặn rất phong
phú và đa dạng được phân bố từ Bắc vào Nam. Rừng ngập mặn là hệ sinh thái đậc
biệt ờ vùng cửa sông, ven biển nhiệt đới, có giá trị và ý nghĩa to lớn vê đa dạng sinh
học đối với việc bảo vệ môi trường và phát triên kinh tê - xã hội. Nghiên cứu sự bào

tồn vả phát triển cùa rừng ngập mặn là một trong những vấn đề rất quan trọng.
Như ta đã biết, để theo dõi sự phát triển của rừng nói chung và rừng ngập
mặn nói riêng địi hỏi thời gian dài cùng chi phi rất lcm. Chính vì vậy mà việc
nghiên cứu hệ động lực rừng bầng cách tính tốn dựa trên cơ sờ mơ hình tốn học lả
một phương pháp rất quan trọng để dự báo sự tồn tại phát triẻn cua rừng. Sức mạnh
của mô hình tốn học ờ chỗ ta có thề mơ phịng biểu diễn rất nhiêu các thành phần
có tác động qua lại lẫn nhau, đồng thời các kết q tính tốn có thê được kiểm tra
đối chiếu với những quan sát thực tế. v ấ n đề quan trọnc đật ra đó là việc xây dựng
được mơ hình tốn học hợp !v dể mơ phịng sự phát triển cùa rừne.
Năm 1981, Antonovsky đã đưa ra mơ hình cấu trúc tuồi cua cây trong bài
báo [ 1]. Họ xét mơ hình rừng đơn giàn chi u.ồm có hai thành phân là câv non và câv
già. Sau đó vào năm 1994, Kuznetsov (xem [5]) đã mờ rộns mỏ hình đó bàng cách
đưa thêm thành phân "hạt" vào đê mô tả sự tái tạo cùa rừntỉ thơntí qua sự hinh thành
và phát triển của hạt. Họ đưa ra mơ hình động học rừng sau:
ut - Ịìỗv - y(v)u - f u .


(*)

11', = ơ.v - (ì\v + d ầ w .
T r o n ” d ó . u v á V là m ậ t đ ộ c ã \ n o n v à c â y g i à ; i r là m ậ t d ỏ c u a h ạ l i r o i m k h ò n n kh i.

Phưorm trinh thứ nhát à ihứ hai mô ta sự phai triền cùa cây. con phưoniĩ trình thử ba
m ơ là đ ộ n a h ọ c c ủ a h ạt . ổ là ti lệ n á y m ầ m c u a h ạ i ; y(v) là ti !ệ c h ó i c ủ a c â y n o n : /

lá lốc dộ phai triền cua cáv non: /? là ti lệ chết cùa câv ỉiìà: a vá [ì lá lốc dộ tạo hạt
của cày cià và ti lệ tãne dọrm cua hạt; d là harm số khuéch tan cua hạt.
Trên cư sở mỏ hình độim học rừim. Yaoi cùnu các tác aiá tronc [6] dà dưa ra
mơ hìiih độna học rime nêp mận bane cách đưa thêm thành phần “đất” vào ìmhiên

cứu:

ẽí

= fiỗ(l)u - y ( v ) u - f u

in Q .x (0 . n

<
“
S

V - = f i t - hv
< ẽt
(7

in Q X(0. x ) .

= í/,, A u ' - Z/V •{ u / } - B w + ưv
= í / . \ ‘ + l A ■ { ! / } -r Ị /(* ) { / > n +

Troim do

I

...

in Q x ( 0 . x )

cịy)

là đ ộ c a o c u a đ ã i l ã n e d ọ n t i ; /

in Q x ( O . x ) .

= [ ( L - I ) (1 - p u - (Ị\ )] \ I là đ ò n ”

nước trong rừ ng tạo ra bới sụ khác nhau về đô cao cua đ ii: p \ a Lị là các hộ số ma
s.ii CĨK1 cà> n o n \ à cà> c i à ,

u( i)

la ti lệ l à n e d ọ n i : a i a d ắ t p h u s a : t h à n h p h ầ n


/UV -{WX} vã uV ■\^x) mô tả sự thay đổi của hạt và đất lắng đọng do dòng nước
tạo ra.
v ề mặt giải tích tốn học thì (**) là một hệ phương trình vi phân đạo hàm
riêng parabolic khá phức tạp nên để nghiên cứu câu trúc nghiệm của nó rât khó
khăn. Do đó chung tơi bắt đầu bàng việc nghiên cứu mơ hình động lực rừng (*). là
một sự đơn giản hóa cùa mơ hình (**).
CÁC KÉT QUẢ CHÍNH NHẬN ĐƯỢC TỪ VIỆC NGHIÊN c ứ u iMƠ HÌNH (*)
Lý thuyết:
Chọn không gian nền:

X - Ữ ( Q ) X ữ { Q ) X Z r( Q )

Tập các giá trị ban đầu:

K = {(«, V, w) e X ; u > 0. V > ơ.ii' > o}.

1. Chứng minh được sự tồn tại và duy nhắt của nghiệm toàn cục với mỗi giá
trị ban đâu (m0,v 0. wữ) 6 K , đồng thời xây dune được hệ độne [ực

( S ( t ) , K . X ) . Tức là ta có thề mơ tả được sự phát triên cùa rime bằng q
trình tiến hóa cùa hệ động lực ( S ( t ) . K . X ), và sư dụne nó để nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận cùa nghiệm khi thời gian đù lớn
2. Tìm được hàm Lvapunov cho hệ (*). I làm Lyapunov biêu chưng cho
energy cùa hệ độn2 lực. do đó có thê thấy rãne sự phát triển của rừrm luôn
theo chiêu hướne làm liiàm energy.
3. Xét sự ôn định cua các tmhiộm dừní> thuần nhất.
4. Đưa ra đại lượni: tốn học dặc chinm chí) "sức khoe" cua r'UT.^:
f ìaổ , Ị
f t /,
I c
4 > ( a .b . c .J , h ,a , ỗ ) =
- .
ub

t r o n e đ ó a . h . c . f . h . a . ỗ là c á c t h a m s ố c ù a h ệ í * ).

Các phát biêu và chimn minh chi tiết có thơ xem ờ các bai hao [ 1.2.3],
Tính tốn:
Lập chươne trình ma\ linh đẽ tinh tốn nshiộm của hệ (* ):
1. Kiẻni tra các mội >ô kõt CỊ l\ thii\êt: Sir tơn lại cua niihiẻm tồn cục. sự
aiảm enereN của hê. íự lịn tại cùa nehiệm khơna liên tục
2. Chi ra mòi quan hệ eiCra đại lirựng ít> và kha nãns tái tạo cua runs.
C h u o n g I. H ệ độn" lực cúa m ô hình rừ n g
Xét mô hình J à \ du \ c sự pli.il tricn của rìrnii dirọc K.uznei>0\ I\em [5]) dua
ra vào nãm 1994 nhu sau:

trong Q x (0 ,o o ),
trong Q x (0 ,o o ),
trong Q x (0 ,o o ),

(*)

trong ổ Q x (0 ,o o ),

w (x ,0 ) = w0(x )

trong n .

Trong đó Q ỉà miền hai chiều bị chặn. Các hàm u ( í . x ) và v ( t , x ) là mật độ câv
non và cây già; w( t , x ) là mật độ của hạt trong khơng khí. Phương trình thứ nhất và
thứ hai mô tả sự phát triển của cây, cịn phương trình thứ ba mơ tả động học của hạt.
ỏ là tỉ lệ này mâm cùa hạt; f là tôc độ phát triên cùa cây non; h là tỉ lệ chêt cùa cây
già; a và p là tốc độ tạo hạt cùa cây già và tì lệ lẳng đọng cùa hạt; d là hàng số
khuêch tán cùa hạt.

Y( v)

lả ti lệ chết của cây non xác định bời công thức:
y(v) = a ( v - b ) 2 + c .

Các giá trị ban đầu w0(.í), v0(,v) và vv0( x ) cho trước không âm trên Q .
1.

Nghiệm địa phương:

Xét hệ phươnti trình (*) ưén khơna «ian nên X và khôiiL: liian các tiiá trị han
đâu K xác định như sau:

X = {[j - (u. V. u ) : II.V e ữ ( Q ) . 11' e L2( Q) \ ;
K = { ơ 0 =.(z/,1
.v,).u-0 ) € X : un > 0. v„ >

> 0Ị .

Gọi A là toán từ sinh bởi toan từ Laplace -CỈÁ + /ỉ trone khỏníi eian l } {Q) với
điêu kiện biên Neumann. Khi đo A lã toán tử xác đinh dưonu. tụ liên hợp ircn

cn
Với mỗi 6 > 0 . toán tử mũ .V' cũn S xác đinh dưorno. tự liên hợp trên khôna sian
i

L2( Q) vỏd miền xác địnli là

H 2"(Cì )

D(A") = <

Gọi A là tốn tu đưọc định n^hĩa như sau

khi 0 < 0 < —


2.

Nghiệm tồn cục

Nghiệm tồn cục của hệ phương trình (*) được xây dựng bằng cách thác triên
nghiệm địa phương lên tồn miền 0 < í < 0 0 . Đầu tiên, ta cần đánh giá tiên nghiệm
sau:
M ệnh đề 3. Giả sừ U Q = (w0,v 0,w 0) e K và u - ( u , v , w ) là nghiệm địa phương

cùa hệ phương trình (*) ứng với giá trị ban đầu ƯQ trẽn đoạn [0, Tị j ) sao cho
<

0 s u, V € C ( [0 , Tu ); £ " ( « ) ) n c ' ( ( 0, Tu ); c ( n » ,
0 < w € C ([0,7'ơ );Z,2( Q ) ) n C l ((0 ,7 ’ );Z-2( Q ) ) n C ( ( 0 , 7^ ) ; / / y (Q )).
í

Khi đó, tồi tại các hằng số dương c và p chỉ phụ thuộc vào | ơ 0| sao cho
ị U ( t ) \ \ < C { e ^ \ \ Ư 0\ị+ \},

0<í
Sừ dụng đánh giá tiên nghiệm trên, ta chứne minh được sự tồn tại và duv nhât cùa
nghiệm toàn cục:
Định lý 4. Với mọi giá trị han đâu UqG K , hệ phương Irình (*) ln cỏ duy nhât
m ộ t n g h iệ m t o à n c ụ c u = ( u , V, Ít') c ủ a n ă m ( r o n g k h ô n g g i a n

j o < //. r e C ( [0 . a>): r (Q )) n c 1((0 , « ) ; ( Q) X
( u s u s C ’( | 0 . X ) : / . 2 ( í ì ) ) n C ' l ( ( 0 . o o ) ; A: ( Q ) ) n C ( ( 0 .

(Q)).

Hơn nừu nghiệm I11HI niũn phmrníỉ trình tích phân san:

1
u{t) - e

- í {;•( r(i 11+ f)(ìs

V( I ) -

Ị* - f {■ v (r)l- ( \dl
•(

ÌI0 + Ịìồ I e

e ~ h’ v 0 + /

'

j ^ í? - ( , _ 'T>/' w ( 5 )£/5 ,

\\ịf) = t’~/An 0 + a f

)Av(s)ds.

u ịs )d s .

0 < t < cc.

0 < t < X,

0 < ỉ < X.

( 'hứng minh:
T h eo Đ ịnh K 2 . p h ư ơ n g trình (*) có duy nhất m ộ t n a h i ệ m địa p h ư o n e
i r è n đ o ạ n [ 0 . 57, 1 -

M ệ n h đ è 3 . Ị | ơ ( r o )Ị| đ ư ợ c đ à n h s i á c h i b ơ i

c ó thị t h a c iriòn n tih i ộ m L

Ư

L'cý . D o đ ó . ta

l ê n đ o ạ n [ 0 , T 0 + r ] . t r o n e đ ó T > 0 đ ư ợ c x á c đ ị n h bvTĨ

ị | ơ ( r 0 )Ịi. t ứ c là c h ỉ p h u i h u ộ c v à o Ị | ơ 0 ||.

T i ế p t ụ c q u á t r i n h đ ó . ta t h u đ ư ợ c n ^ h i Ọ n i

t o á n c ụ c c u a p l n r ơ r m t r ì n h ( * ì t r ê n m i c n [0 . 2C ) .

3.

Hệ độ ng lực:
T h e o n ịn h ụ 4 . \ ớ i mồi gia irị ban Jau i ' () e K . hộ phư oim trinh { ' ) ln có

d u y nhâl m ột nehiộin toàn cục

l \ t . U 0) = (i< ụ ).v ụ ).w \t))

\;i c h ư n e m in h đ u o c

V


ràng nghiệm này biến đổi liên tục theo giá trị ban đầu. Do đó, ta có thể định nghĩa
một nửa nhóm { 5 ( /) } />0 xác định trên K bời S(t)ƯQ = ư ( t , U 0 ) và ánh xạ
( / , ơ 0 ) -> S ( t ) U 0 liên tục từ [0,co)xẢT vào K. Chứng tỏ ( S ( t ) , K , X ) là một hệ
động lực và nó được sinh ra bởi hệ phương trình (*).

C hương II. D áng điệu tiệm cận của nghiệm
Trong phẩn nay, chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm cùa
hệ phưcmg trình (*) khi thời gian đù lớn. Đe là việc đó, ta sẽ đưa ra ba loại tập cogiới hạn, nghiên cứu tính chất của chúng và sừ dụng hàm Lyapunov tìm được tư hệ
động lực.
1.

Hàm Lvapunov
Băng cách biến đổi, ta chứng được rằng:
d
£
dt

| ( / m - M

2

+ h a ĩ(v ) + ^

- w

2 -ự a fiỗ )v w

dx

= - ị ị a { y ( v ) + f + h } ( ^ ) 2 + J J Ì Ỏ ( ^ - ) 2 dx < 0, 0 < r dx <

Chú V
“ ị /ÌI - h v ỷ

+

ịVu 2 + h o T ( v ) + ^

ở XV2 - ( f a f i ổ ) Y M > c

.

trong dó c la hăne sô khônu phụ thuộc vào u. Từ đó chirrm minh được răn” hàm số
f
w
,
>
í ! -U f u - h \ ' Ỷ + ~ ^ i V h -|2 + / ? « r ( v ) + ^ ứ M ’2
4:21 - '
2
1
2
>
là hàm Lyapunov cùa hệ độnii lực ( S ( í ) . K , X ).

4>( ơ ) =

(

dx
I

Sư dụnu ham I.vapunov. ta chứnti minh dược kết quà sau:
Đinh lý 5. Với mọi đườns cons nsihiệm S ụ ) U n = U ( t ) . đao hàm —^ ( 0
u
•
dĩ

ln hơi

tụ Y 0 theo lơ pị cua L khi / — 0 .
C
> c
2. Các tập Cư-Ịíiói hạn:
Các lập (ư-eiói hạn được định nehĩa như sau:
• r ư - í i i ớ i h ạ n ( t h ò n c thuòrriìi):

= 1^1 \ S ( t ) í 0; í < T < oc}

(bao donii lấ\ ilico lõ pò cùa X).

I 0
W e a k * (0 -Lĩiói h a n :

•

\\

- 10 (L, 0 ) = P i [ S { t ) L 0 : t < T < oc} ( b a o d ó n u lắ> t h e o W e a k * l õ p ó c u a X) .

C0

10


•

ứ - C -giới hạn:
ú
L2 - co( U 0 ) = f ' l { S ( t ) ư q ; / < r < 00} (bao đóng lấy theo 1'} tơ pơ cùa X).
t>ị

Ta chứng minh được các két quả sau:

Định lý 6. Với mỗi U q g K thì cư(ưữ) d ữ Đinh lý 7. Giả sử rằng h >

củ( U q ) cz w

- co( U q ).

. Khi đó

c + f

c o ( ư 0 ) = L 2 - O J(Ư 0 ) = w * - c o ( U 0 ) = { ( 0 , 0 . 0 ) ;

với mọi U0 g K.
Đ ịn h lý 8. G i ả s ử r à n g a b 2 < 3(c + f ) . K h i đ ó ữ

- co( ư q ) = U’ - új ( U q ) v ớ i m ọ i

U0 g K .
Định lý 6. Với mỗi ƯQ € K , mối phần từ trong ữ —co(Uq)

đểu là nghiệm càn

hăng của hệ.

3. S ự ốn đ ịn h của nghiệm thuân nhât:
Trong phân này ta sẽ nahiẽn cứu tính ơn định cua các ntihiệm thuân nhât cùa
hộ phưcme trinh (*). Tuy thuộc váo các tham sơ ban dâu. hệ (*) có các nghiệm
t h u â n nhâl s a u :
Khi 0 < h <

a.

và

P+ =

' ÍA

-. (*) có

lị[b+yfD}.b + ^ . ị [ b + y Í D ]

Ư
p+ Ổn định cịn o khơnu

ơn

N

hai r m h i ẽ m i h u á n nhài O - (0.0.0)
•;

n _

fo.ỏ-(c- f ) h

T

VỚI D - - — ----- ------------. Trona dó
ah

p
định. Mọi nsihiệm cùa phươrm trinh (*) xuất phát từ uiá

trị han đầu L'0 = o đều tiến đen p_ khi thời eian t —> oc .

Khi

faỗ
ủb + c - f

faổ

(*)

có

ba

niihiệm

ihuần

nhất

C+ J

o = (0.0.0) và p , = Ị ỉ ị [ b ± ^ D ] . b ± 4 D . ~ \ b ± ^ D Ỷ . Tror.ù do 0 Na p
V/
/’
dịnh còn
khòm: ỏn định.

ổn


c.
p = p± =
d.
là nghiệm ổn định toàn cục. Tức là mọi nghiệm cùa phương trình (*) đêu hội tụ vê

o khi thời gian t —• 00 .
»

4. Đ ại lượng tốn học đặc trưng cho sức khỏe của rừng
Có rất nhiều những định nghĩa khác nhau về “sức khòe” của rừng phụ thuộc
vào từng lĩnh vực nghiên cứu cũng như các cách tiếp cận khac nhau. Từ các kết quà
lý thuyết đạt được, ờ đây chứng tôi muốn đưa ra một đại lượng toán học xác định từ
những tham số ban đầu, để đặc chưng cho dáng điệu cùa rùng khi thời gian đủ lớn.
v ề một m ặt n à o đ ó , n ó c ũ n g phản ánh “ sức k h ỏ e '’ cù a rừng.
Hàm < được định nghĩa bời công thức sau:
t>

Q ( a , b , c , f , h , a , ỏ ) = ---------- 2
ab
ironu dó a .h .c . f . h . a . s là các tham số cùa hệ (*).
l ừ các kẽt quá K thuvêt vá V nuhĩa cua các hệ số. ta chi ra được ran” khi giá trị
cùa o càna lớn thi khả nãrm tôn tại và phát tricn của rime càní: lém. khi o < 0 thì
chắc chăn rừne sẽ bị triệt tiêu khi thời uian đu lớn. Còn khi < > 1 thi rừne sẽ tồn tại
t>
và phát triên hội tụ đén aiá trị p+ .
K É T LL1ẠN
L ó p cá c p h ư ơ n iĩ trình tích phân kỳ dị ià d õ i t ư ạ n s n e h iê n cử u c ơ bàn cù a cá c

bài lồn b iên cùa hàm siâi tích. Một so d ạ n e phươne trinh đ ặc trưnii có thể biểu
diễn nahiệm ihịns qua bài tốn Riemann. Hâu hêt các dạna phưcme trình tươnc íme
đ cu k h ơ n ti c ó thuật tốn hữu h iệu đê iiiai. Y i v ậ y Việc x â \ d ự n e lớ p c á c bài toán
to n e quát c h o n s h iệ m d ư ớ i đạnti tư ò iiii m in h c ó m ột V n a h ĩa quan trọna. C ác kết
quả c a bản Theo h ư ỏ ric nảv. ch ủ v êu tập irun" v à o \ iệc k h ảo sát cá c đặc ĩrư n a đại số

cua lóp các tốn tư tích phàn kv dị lỏniì qt, áp dụne các đặc trimc đại số và thuật

toán đã biốT cu a K ih u v èt cac bài toán b ièn c ò d iên , la c o thê tnai đ u ợ c m ột số lớp
p h ư ơ n a trình tích phân kv dị d ạ n e đ ầ v đu c ó ch ứ a các Toán từ dịch c h u v ẻn và phần

đồn ỉrone hạch cua úch pli.il’.
P h ư ơ n c p háp iiiãi tích đại sị n e à \ c à n c d ư ợ c x â v d im e hoàn ch in h nliư m ột

lĩnh vực toán học độc lập và đã ló ra có nhfrne hiệu ]ực 10 lon tronií nhiều chuvên
nuành khác nhau cua to;in học. Độc biệt, ironn K’ thm ịi 'Jìãi úch hiộn Jại. khi số
lư ợ n a c á c m ị h ìn h đưa ra đà quá tài, k h ô n ” đáp im ” d ư ợ c c h o nhừnti im e d u n ” true

i:


tiếp, mà chỉ dừng lại trong các khuôn khổ thuần tuý của logic hình thức với các cấu
trúc và những thuật tốn định tính như: các tiêu chuẩn giải chuẩn, tính ổn định và
ước lượng số nghiệm, thì việc hệ thống hoá, khái quát hoá và thuật toán hữu hiệu đê
giải các bài tốn có cùng một cội nguồn là nhu cầu bức thiết trong các hoạt động
thực tiễn. Các phương pháp nghiên cứu này đã cho nhiều ứng dụng trong việc khảo
sát các phương trình tích phân dạng chập kỳ dị.
v ề mặt lý thuyết, ữong năm qua nhóm tác giả đã có những đóng góp thiết
thực, mang tính thời sự và có ý nghĩa khoa học. Những kêt quả cơ bản đã được tơng
kết dưới dạng hồn chinh, xây dựng và thiết lập các nguyên lý cơ bản của giải tích đại số.
v ề mặt ứng dụng: đã có những ứng dụng ban đầu trong việc áp dụng mơ hình
tốn h ọ c tro n g n g h iê n cứ u m ô i trư ờng. N g o à i ra, v ề m ặt ứ n g d ụ n g c ũ n g c ó m ột số

kết quả quan trọng, trong đó phải kể đến việc cải tiến các giáo trình cho các lớp sau
đại học. Nó cho phép với một thời gian hợp lý có thể dạy cho các học viên nắm bắt
được nhiều tư tưởng cùa toán học hiện đại mà trước đây thường phải xé lẻ thành các
chuyên đề hẹp khác nhau.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.

M. Ya. Antonovsky and M. D. Korzukhin, Maihemaũcaì modeling o f
economic and ecological-economic process, in Proc. International Svrnp.
"Integrated Global Monitoring o f Environmental Pollution" Tbilisi 1981.
Leninurad: Hydromct. (1983). 353—
358.

2.

I.. H . C h u a n a n d A. Y a ” i. D yn a m ic a l system for iu/csi kinematic model.

Adv. Math. Sci. Appl. 16 (2006). 393-409’
3.

L. H . C h u a n . T. T s u ji k a w a a n d A . Y a s i . A sy m p to tic behavior o f solutions for
fo r e s t

4.

kinematic model. Funkcial. Ekvac. 49 (2006 ). 427-449 .

L. H . C h u a n . T . T s u j i k a w a a n d A . Y a e i . Stationary solutions to forest

equations, G l a s g o w M a th . .1. to a p p e a r .

5.

Yu A, Kuznetsov. M, Ya, Antonovsky. V. N. Biktashev and A Aponina. A

cross-diffusion m odel o f fo r e s t boundary dynam ics. .1. M a th . B iol. 3 2 ( 1 9 9 4 ) .
219-232.

6.

K. Osaki and A. Yaai. Global existence fo r a chemnraxis-ori Will system in

R 2 , Adv. Math. Sci. Appl. 12 (2002). 587-606.
7.

A . Y a « i . T . M i v a c i a n d p. N . H o n e . A m a t h e m a t i c a l m o d i . '!■> m a n g r o v e
’
-

v e o -eco svstem focusing on interactions b etw een trees ,rr,J MJ.'.V to a p p e a r .


PHỤ LỤC

ỉ4


THE 7th g e n e r a l s e m in a r o f th e c o r e u n iv e r s it y p r o g r a m

1HE 4™seminar
ON ENVIRONMENTAL SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSUE:
RELATED TO THE SUSTAINABLE DEVELOPMENT
FOR URBAN AND COASTAL AREAS
Topic: Mathematics in Environmental Studies

Organized by
Vietnam National University - Hanoi, University of Danang and Osaka University

Septem ber 27- 28,2007


Contents
S u sp en d ed se d im e n t d y n a m ics in m an grove a reas, D o n g tra n g E stu ary, Can
Gio m an grove fo rest

L.T. Cang, N.c. Thanh, p. Czemiak, K.

Schwarzer, K. Rickiefs.........

1

M ath em a tica l D efin itio n s o f F o rest E n erg y and F orest H ea lth for Forest
in em atic M odel
L.H . C huan, A . Y a g i .................................................................................................................

13

D yn am ics of P red ator-P rey P op u lation w ith M odified L eslie - G ower and
H olling- T ype II S ch em es

Du Nguyen H uu..................................................................................................... 21
Som e d efin ition s for co n volu tion s and th e co n volu tion s for th e fourier
tran sform s w ith geom etric v a ria b les
B.T. G iang, N . v . M au , N .M . T u a n ......................................................................................... 33
On th e d yn am ic o f th e d iscrite p op ulation m odels

H uong D in h C o n g ...........................................................................................................................48
A novel p t- b a s e d c a t h o d e c a t a ly s t d e s ig n by firs t p rin c ip le s
H. K a s a i ...............................................................................................................................................53
D e c r e a s in g th e t e n s e d u r i n g th e p ro c e s s o f c o m p e n s a tin g a n d c le a rin g a w a y on
ừ rig a tio n a l 0 h yd roelectric w orks
N .T .K .L o a n , T .N . D u n g ............................................................................................................... 58
C o n tro lla b ility of L i n e a r S v s te m s w ith G e n e r a l iz e d In v e r ti b le O p e r a to r s
M au N g u ye n V a n ............................................................................................................................ 63
C h a r a c te r is t ic C a u c h y p r o b le m for f ir s t- o r d e r q u a s i l i n e a r e q u a t io n s
N goan H a T i e n ..................................................................................................................................85
P s e u d o - d if fe re n tia l o p e r a t o r s r e l a t e d w ith o r t h o n o r m a l e x p a n s io n s of
g e n e r a liz e d f u n c ti o n s a n d a p p lic a tio n s to d u a l s e m e s e q u a t io n s
Ngoc N g u y en V a n ............................................................................................................................ 91
On a n i n v e rs e s o u rc e p r o b le m for 3 - d im e n s io n a l w a v e e q u a t i o n
K. O h a k a ...................................................... ....................................................................................106


M athem atical Definitions o f Forest Energy
and Forest H ealth for Forest K inem atic M odel
Le Huy Chuan
Faculty of Mathematics, Mechanics and Informatics, Hanoi University of Science
and Atsushi Yagi
Department of Applied Physics, Osaka University

A bstract
We are concerned with a forest kinematic model presented by Kuznetsov et a]
[4], In this report, we will survey some results obtained from investigation of this
model equations (see [1.2.3]). By using Lyapunov function, we can define forest
energy and represent the direction of the growth of forest Moreover, on the basis
of theoretical results combining with some numerical results, we will propose a

mathematical quatitv to measure the helth of forest ecosystem.

1.

Introduction

In t h e s t u d v of forest c ro w th d v n a m ic s , th e n u m e ric a l s im u la tio n s on th e bai:s of s u ita b le
m a t h c m a u c a J m o de ls a re b e c o m in g one of in d isp e n sa b le m e th o d s . W h e n wc coiHcrnr-d
w ith d y n a m ic s of forest c c o sy s tc m , age d e p e n d e n t tr e e r e la tio n s h ip is more in te re stin g
than th e in d iv id u a l of trees. B y forest age stru ctu r e d y n a m ic s VC m ean the s p a re and
tim e v a ria tio n of tre e n u m b e r s in different age classes, c a u se d bv various :r.:e::iaJ an d
e x te r n a l factors.
In th is talk , we are c o n c ern e d w ith th e A g e - S tr u c tu r e d C o n t in u o u s S?ECC- M odel
Among others we consider a prototype model describing the growth of a forest by aged e p e n d e n t tre e s re la tio n s h ip s a n d by r e g e n e ra tio n processes, w h ic h was p ro p o se d bv
K u z n e ts o v ct aJ.

j4 \

T h e y con sid e re d a m o n o s p e c i c s e c o s y s te m w ith oniv tw o SẸO

classes of trees, t h e v o u n g age class a n d th e old age class, a n d m o d e l th e re g e n e ra tio n
process by seed p r o d u c ti o n , seed dispersion a n d e s ta b lis h m e n t of seeds. The-::
of


equations reads
' du
oị =

- l( v ) u - f u

in

Í7 X (0, oo),

Ệ - / U - *

in

fì X (0, oo),

dw
— = dAw - 0W + av
ut
dw

in

n

on

dĩì

dv

u ( x , 0 ) = u 0( i ) , v ( x , 0 ) = v0( i ) , i o ( x , 0 ) = w 0 { x )

in

X

(0, oo),
X

( 1- 1)

(0 ,oo),

n .

Here, ĨÌ is a c 2 or convex, bounded domain in R2 The unknown functions u = uix.t)
and V = v{x , i) denote the tree densities of young and old age classes, respectively, at a
position I Ệ Í1 and at time í E [0, oo). The third unknown function w = w(x,t) denotes
the density of seeds in the air at X € ÍÌ and Í £ [0, oc). The third equation describes the
kinetics of seeds; d > 0 is a diffusion constant of seeds, and a > 0 and 0 > 0 are seed
production and seed deposition rates, respectively. While the first and second equations
describe the growth of young and old trees, respectively: 0 < < ^ 1 is an establishment
5
rate of seeds, / > 0 is an aging rate, h > 0 is a mortality of old trees. And j(v) > 0
is a mortality of young trees which is allowed to depend on the old-tree density V and is
expected to hit a minimum at a certain optimal value of t\ Wc assume as in the paper
[4j that the function 'yịv) is given by a quadratic function
7 (v) — a(v —br ~r c.

1 . 2 1

w here a, b, c > 0 are all p o sitiv e c o n sta n ts .
In th e p a p e rs [1], we c o n s tr u c te d a d y n a m ic a l sy s te m ( S ( t ) . K . X I d e te r m in e d from
th e in it ia l- b o u n d a r y value p r o b le m (1.1). As th e u n d e r ly in g spacc A', we set a sp a ce of

th e form
A' =

Ị

: u e

I°°(fìj.

V

€ L x ạr,. U £
'

L - r n

1j>

(1.3)

It is necessary to h a n d le th e first a n d second o r d in a r y differential e q u a tio n s in th e B a n a c h

space L °°(Q ).

Indeed, since ~f(v)u contains a nonlinear term like V2V. isee (1.2)). the
Banach sp a c e to be chosen m u s t en jo y a n o r m p r o p e r ty íịi,2ĩi|| < C ;|i'iỊ 2!lu|j. nam ely, th e

spacc m u s t be a B a n a c h alg eb ra. M oreover, even if th e initial fu n c tio n s U . I’o a n d IL are
.Q
'O

s m o o t h , its s o lu t io n (u, V. w ) can t e n d t o a d is c o n t in u o u s s t a t i o n a r y s o lu tio n as í. —‘ oc

(see [2, S e ctio n 6j). T h a t is. th e c o n tin u o u s fu n c tio n sp a c e C: fĩ is n o t su ita b le .
phase sp acc K co n sists of t r ip le ts of n o n n e g a tiv c fu n c tio n s cf X . 1 0

K =

0 < u c

LX [Q). 0 < r e L x (ũ). 0 < li' € L: 9. Ị

The

( 1.41

T h e n o n lin e a r s e m ig ro u p S{t) a c ts on K for 0 < í < oc. In '2 . \vc fou nd a L y a p u n o v
f u n c tio n a n d in v e s tig a te d a s y m p t o t i c b e h a v io r of t r a je c t o r ie s

14

L'o £ K.

Since


some S(t)Uo can converge to a discontinuous stationary solution even if the initial value
Uo E K consists of smooth functions and since if so the trajectory S(t)ƯQ has an empty
u>-limit set in X, the dynamical system (S(f), K, X) never enjoys any compact attractor
in general. By this reason we introduced three kinds of w-limit sets for Uo € K, i.e.,
u(Uo) c L2-u(Uo) c w'-u(Uo) Í 0, here u(Uo) denotes the usual one, L2-ui(Uo) is

an w-limit set with respect to the L2 topology and w*-w(t/0) is that with respect to
the weak* topology of L°°(fi). And we proved by utilizing the Lyapunov function that
L2-uj(Uo) consists of stationary solutions only. So, roughly speaking, every trajectory
S(t)Uo, Uo E K , converges asymptotically to some stationary solution of (1.1).
In the paper [3], we study the structure of stationary solutions of (11) The structure
depends on the param eter h drastically. In fact, when 0 < h < abể ne' Ị • where a, 6 and
+

c are positive constants contained in j(u) (see (1.2)), it is shown that there exist two
homogeneous stationary solutions P+ (which is non zero solution) and the zero solution
0 — (0,0,0) and that P+ is stable and o is unstable. This means that in this case
any forest starting from a non zero initial state holds alive. In the meantime, when
< h < oc, the zero solution o is a unique stationary solution and is globally stable,
that is, every forest is going to vanish asymptotically. When aJ ° 6 < h < te j, there exist
+f
three homogeneous stationary solutions p± (which are non zero) and the zero solution
0\ here, p+ and o are stable meanwhile
is unstable This means that some forests
can hold alive and others are going to vanish. What is more interesting is that, in this
case, there exist many inhomogeneous stationary solutions. Especially when a and b
are sufficiently large, one can construct ail infinite num ber O discon tin u ou s stationary
Í
so lu t io n s (Ũ. T. ITj's. ũ. ĩ' E L 00(ft) b ein g d is c o n t in u o u s and w €

Q ’l b e in g con tinu ous

By using th is re s u lts a n d c o m b in in g w ith t h e L y a p u n o v f u n c tio n (kinctic cncrg> of
d y n a m ic a l s v s tc m ) . we c a n re p re s e n t th e d ire c tio n of t h e g r o w th OÍ forest as in F ig u re 1

'P

ỷ
t

I

I
/
/

o

;

V

() r

p

p

ib! h > {zj
F ig u re 1

f'

K

^ ^ faé

c af‘— J < n < ^ 7*
r-TTT 7
c—
c—

G r a p h of L v a p u n o v f u n c tio n

Case 1■ 0 < h < at" ~e- T T h e r e exists tw o h o m o e e n e o u s s t a t i o n a r y s oiutio iii p - and
J at'
0. w h e re Pj. is s ta b le a n d m in im a l energy: a n d o is u n s ta b le . A s sh o w n in F ig u re 1 ;a j,
ev en - t r a j e c t o r y s t a r t i n g from a n initial s t a t e L'o = 0 alw ay s p r o c e c d i in th e wav th a t its
energy d e c re a ses a n d te n d s to p . .

15


Case í . % < h < oo. The zero solution 0 is a unique stationary solution and
minimal energy (see Figure 1 (b)). Therefore, every trajectory of dynamical system tends
to 0.
Case 3. aJ+S < h <
+f
There exists three homogeneous stationary solutions
P+, P- and 0, where P+ and 0 are stable and local minimal energy; and P- is unstable.
More precisely, as shown in Figure 1 (c), there exists so many stationary solutions (perhaps
discontinuous) which are local minimal energy. It implies that some trajectory can tend
to P+, or 0 or some stationary solution depending on the initial condition.

2.

M athem atical m easurem ent of forest health

There are many definitions of "forest health” depending on the viewpoint of the user of the
forest. Forest health reflects many concerns about the sustainability of forest ecosystems.
T he im portan t m ean in g o f forest h ealth is th a t th e ab ility of a forest to recover from

natural and human-caused stresses or disturbances. On the basis of theoretical results,
we will propose a mathematical quantity to measure the health of forest ecosystem which
is described by (1.1). This definition is from the viewpoint of asymptotic behavior of
solutions.
W hen 0 < h < a0/ Q J , we known there e x ist tw o hom ogeneous stationary solu tion s
lJ

p+ which is stable and tne zero solution 0 which is unstable. In addition, there is no
nonnegative stationary solution other than homogeneous ones. This means that in this
case any forest s t a r t i n g from a n on z e ro initial s t a t e holds alive.

Wc can in te r p r e t th is

fact as follows. Let us c o n sid er a re g e n e ra tio n of tre e s of old age class. T h e v p ro d u c e
seeds w ith r a te a a n d th e seeds are e s ta b lis h e d w ith r a te Ố a n d b e c o m e yo ung trees, a n d
th e n som e y o u n g trees die w ith r a te an- - b)2 — c b u t o th e rs grow to w a rd old trees w ith
r a te / ; so th e n e t of ag in g r a t e is given by — J- In th is way, on one h a n d , we see
th a t th e re g e n e r a tio n r a te of tre e s of old ago class is

(— J. In th e w orst case, i.e.,

V = 0. we h a v e a r a t e CO — /7 . O n th e o th e r h a n d , th e d e a t h r a t e of old trees is c v e bv
p
L~ c—

h. T h e re fo re , if 0 < h < J '— Ĩ , th e n th e re g e n e ra tio n r a t e alw av s d o m in a te s the d e a t h
rate, n a m e lv t h e forest is n e v e r e x tin c t.
In th e m e a n tim e , w h e n

< h < DC. th e zero so lu tio n IS a u n iq u e s ta t io n a r y solution

a n d is globally s ta b le , t h a t is. even- forest is going to van ish a s y m p to tic a lly . As shown
above, w h e n V — b. w e h a v e an o p tim a l r e g e n e r a tio n ra te t e ị . so

< h < yz m e a n s

t h a t th e d e a t h r a t e h of old age trees IS large t h a n th e o p tim a l re g e n e ra tio n rate. T h a t
is. t h e forest c a n n o t b e a liv e in any form.

]n th e case w h e n

, / 0< - < h < t e l is valid, th e r e exist th r e e h o m o g e n e o u s s ta tio n a r y
l

so lu tio n s p± a n d t h e zero s o lu tio n O: here P- ar.d 0 are s ta b le m e a n w h ile P - is u n sta b le .
We know also t h d i ill th is c ase th e re a re m a n } ’ s t a t i o n a r y s o lu tio n s ( so m e tim e infinite
n u m b e r of s t a t i o n a r y s o lu tio n s ’) T h is m e a n s t h a t so m e forest c a n hold lilivc a n d o th e rs
are going to v a n ish
such a wav t h a t

In view ,'f th e se facT< we a re n a t u r a l l v :ed to define 1 n u m b e r Í 1 :::

h= — M
cb-ỉ' — c — f

1D


or

ỉ>(a, ò, c, / , h, a, Ổ = ---- 1*2
) ttn.
By the discussion above, if $ < 0 then
i> > 1 then 0 < h <

( 2 .1)

< h and the forest is going to vanish; if

any forest starting from a nonzero initial state holds

alive; and if 0 < $ < 1, then oJ^ + j < h <
and some forests can hold alive and
others are going to vanish depending on the initial states.
Then, in some sense, we can say that the quantity 4>(a, b, c, f , h, a , Ố) is a measurement
for forest health. In this way we have defined
from the arguments of mathematical
analysis. But, as will be observed in the next section, such a definition can be justified
by numerical results.

3.

N um erical R esults

T his scction is d ev o ted to presenting som e num erical results for the system (1.1). T hrough­

out all num erical com p u ta tio n s, we set n = [0,1] X [0.1], T h e coefficients of svstem ( 1 1 )
are fixed as 0 = 1.0, Ố = 1. a = 10. c = 0-2, d = 0.05 and 6 = 1
The rest coeffi­
cients Q, / , h w ill b e fixed depending on the purpose o f calculations. We con sid er a forest

ecosystcm in which there exists the stationary state P+. It is already known that
an e x p o n e n tia lly s ta b le e q u ilib riu m of th e d y n a m ic a l s y s te m
to influence, forest can hold alive in th is s t a t e forever

Figure 2: Initial fu n c tio n P i = ị U q .

V

q

is

H cn c c if th e r e is n o th in g

.

U'c '

Now we c u t a p a r t of forest (in clud e y o u n g trees a n d old tr e e s ; in a Q u a r t e r ::rc ic \v;:h

radius r as sh o w n in F i g u r e 2. and observe w h a t h a p p e n to th e forest ecosvsteir. h is easv
to sec t h a t if w e c u t a little p a r t, say r is sm all, th e n forest c a n evolve t o w a r d * rtv o v e r di]
d o m a in to s t a t i o n a r y s t a t e p _ ; if w e CUT to o m u c h , say r is large, forest IS goin g t o vanish,

a n d in so m e cases, forest c a n te n d to a d i s c o n tin u o u s s ta te .

T h e following n u m c n c a ]

exam ple* sh o w th is fact.
In t h e n u m e r ic a l c o m p u t a t i o n , th e coefficients are fixed a s o = 1.0 a n d f - I. b u t th e
m o r t a li ty of old tr e e s h a n d th e rad iu ? r arc variable

W e c o n sid e r t w o eases b = 1 and
H O C c.
c GIA HÀ Mỏi
-.V / -H C -.'r TiM TH ; /|FN


b = 3. From the theoretical results it follows that, if b ~ 1 then ab2 < 3(c + / ) and every
stationary solution is continuous, therefore we can not expect that the solution will tend
to a discontinuous stationary solution. Contradictorily, if b — 3 then (lb2 > 3(c + / ) and
it is possible that some solution tends to a discontinuous stationary solution.
Now for each value of h, we calculate the values of T such that forest starting from
initial state /+ is going to vanish, or recover to homogeneous stationary solution p +, or
tend to a inhomogeneous stationary solution. We performed numerical computations for
sufficiently large tim e u n til th e graph of solu tion s and the values of L vapunov function
are stab ilized num erically. T h e relation betw een h and r is as show n in Figure 3.

Case 1. 6 = 1. All solutions tend to homogeneous stationary so lu tio n s p . or o. There
are two regions R and E as shown in 3 (a). If (h, r) € E then the forest is going to vanish;
meanwhile if (h.r) e R then the forest is going to recover to p +.
Case 2. b —3. There axe three regions R, D and E. If ( h ,r ) € D then the forest tends
to a discontinuous stationary solution.

(b) b = 3

(a) 6 = 1
F ig u r e 3: R e la tio n b e tw e e n h a n d r

T h e re fo re we are le d to define, for each forest e c o sv s te m . th e r e s r :T‘.:T:^r. r a d iu s by

R = s u p { r > 0: forest s t a r tin g from P T is going to rec o v e r 'U r _
_

,3.1)

T h is r a d iu s R — R{a. b. c. d. f .h. Q. J . Ỗ d e p e n d s on ail p a r a m e t e r s of m o c e i.
Now we p re se n t so m e n u m e r ic a l re su lts to show t h e r e la tio n b e tw e e n th e rr.c a ĩu re m e n t
of forest h e a lth $ w h ic h is d e n n e d in .2.1) a n d tile r e s t i t u t i o n r.ii!;-.:.' /{ T h e H'.air. id e a
IS t h a t , first we fix an in itia l f u n c tio n FỊ_ (see F ig u re 2): se c o n d '.V ch an g e vaiues of
C
param eters of th e s y s te m ( 1 1 ) a n d c a lc u la te to find if t h e so lu tio n s t a r t i n g from p* is
going to te n d s to p+ or n o t, th ir d , from th ese c a lc u la tio n s , wo can d iv id e values of all
p a r a m e t e r s in to reg io ns R. D or E X saiue m e a n in g .vs ab ove.
V
if values wf Ỉ 1 ill
each region a r e s e p a r a t e d in d e p e n d e n t of p a r a m e t e r s t h e n WP c an sav Ộ ;s c h a r a c te r is tic
for r e s t i t u t i o n of forest w ith re sp e c t to initial fu n c tio n P T

IS


The numerical calculation is performed in the following way. The initial function Pi
is fixed with r = 0.5. For simplicity of calculations, we fix all param eters ex cep t tw o of
them and find out the relation between the two parameters.

Case 1. Fix / = 1, b = 1. The parameters h and a are variable. In this case,
alJ < 3 (c + / ) therefore all stationary solutions are continuous. For each value Q in
2
[0.1,1], we find the values of h such that forest starting from
5 is going to vanish, or

recovers to hom ogen eous sta tio n a ry solu tion p + .

Figure 4: Relation between h and a
Figure 4 show s n u m e r ic a l plot of h an d Q. I t is easy to see t h a t th e r e is a linear relatio n
b etw e en h and Q. and t h e lin e (h. q ) se p a r a te s t w o region s R and E M oreover, th e valu es

of 4> in th is lino ca n b e a p p r o x i m a t e by a c o n s ta n t c € (0. 1).
to the region for th a t

> c

Hence, if

k.Q) belong

th en t h e forest s t a r t in g from p f 5 te n d s To h o m o g e n e o u s

s ta tio n a r y so lutio n p +. O n t h e c o n tra ry , if [h.a) b elong to th e region for th a i 4> < c
th e n th e forest s t a r t i n g from p °'5 is going to vanish.

Case 2. Fix Q = 1, 6 = 1. T h e coefficients h and / arc v a ria b le

Let / € 10.2.1'.

th e n ab2 < 3 (c + / ) a n d th e re fo re ail s t a tio n a r y s o lu tio n s arc c o n tin u o u s. T h e g ra p h uf

h and / is sh o w n in F ig u r e 5 (a). T h e r e axe tw o regions R a n d E s e p a r a te d by a curve
F ig u re 5 (b) show s t h e g r a p h of 1 f h a n d 1 //■ It is easy to see t h e r e IS a linear relatio n
betw een l / h a n d I f f . M o reov er, values of $ in th e cu rv e se p a r a te ? tw o regions R a n d E
can be approximate by t h e s a m e c o n s ta n t c as in Case 1 H once. if (ft. f : belong to the
region for t h a t $ > c th e n t h e forest s ta r ti n g from p c 5 te n d s to h o m o g e n e o u s s ta tio n a r y
solution p +. O n t h e c o n tra ry , if (h. f ) b elong to th e region for th a t $ < c :h e n th e fore?T
startin g from

is going to vanish.

T h e s e n u m e ric a l r e s u lts show t h a t , if th e p a r a m e t e r s of s y s t e m arc taker, so That the
r e s t itu t io n r a d iu s is c o n s ta n t w ith R = 0 5. th e n Q a n d h a rc p r o p o r tio n a l arid 1 I and
1 :h a r e in a lin e a r re la tio n . T h e s e th e n m e a n t h a t th e m e a s u r e m e n t of fores: nccU;h i>
also c o n s ta n t w ith $ = c . c b e in g a su ita b le c o n s ta n t, for t h e c h a r.sc of p a r a m e te r s
u n d e r t h e r e s tr ic ti o n R = 0.5. S o m e o th e r n u m e ric a l c o m p u t a t i o n s show inverse results,
nam ely , if th e p a r a m e t e r s ƠÍ s y s t e m are ta k e n so th a t th e m n a s u r c m e n : of fore?: Ikv.M:
is c o n s ta n t, t h e n t h e r e s t i t u t i o n r a d iu s is c o n s ta n t. T h e s e o b s e rv a tio n s sugges: us t h a t <
ỉ'
an d R a r c connectc'd in tim a te ly , p r o b a b ly th e r e w o u ld exist a o n e - t o o n e c o r r e s p o n d e n c e
a m o n g t h e m . O n e c o u ld c a lc u la te th e r e s tit u tio n r a d iu s from t h e m e a s u r e m e n t 4’ aJom

10


(a) Graph of (h, f )

(b) Graph of ( l/h. I / f )

Figure 5: Relation between h and /
which is determined by the ecological parameters appearing in the system. And one could
therefore characterize the restitu tio n radius from the ecological param eters alone.
It is now very i m p o r t a n t p ro b le m to know how th e r e s t i t u t i o n ra d iu s is d e te r m in e d
from the m easurem ent $> To know this, however, it is needed to perform m ore num erical
c o m p u ta tio n s a n d to a n a ly s e th e se results. For th e m o m e n t it is only possible to sav t h a t
R IS an in creasing fu n c tio n of < and the diffusion coefficient d o f seeds in th e air also
Ị>
c o n trib u te s to th e correspondence ộ —> R. a lth o u g h d dors not. a p p e a r in the definition
of '!>

References
il' L H. C h u a n a n d A. Yagi. Dynamical system for forest kinematic model. Adv. M a th .
Sci. A pp l

16 (2006), 393-409.

;2i L. H. C h u a n , T . T s u jik a w a a n d A. Vagi. Asymptotic behavior of solutions for forest

kinematic model Fu n k c ia l. E kvac. 4 9 (2006). 427-449.
r3> L. H. C h u a n . T. T s u jik a w a a n d A. Vagi. Stationary solutions to forest kinematic

model. Glasg- M a t h . J-. to a p p e a r.
[4' Yu A K u z n e ts o v , M. Ya. A n to n o v s k y . V. N. B ik ta s h c v a n d A. A o o n in a . .4 crossdiffusion model o f forest boundary dynamics. J. M a th . Biol- 3 2 (199-1 . 219-232.
15' E. X akagu ch i a n d A . Yagi. Fully discrete appronmation by Galerhĩi Runoe-Kutta
methods fo r quasilinear parabolic systems. H o kk aido M a th . J. 31 (2 002 '. 385-429.
[6] K. O saki a n d A. Yagi.

Global enftev.ee h r a chemotaris-growth

Adv. M a th - Sci. A p p l. 1 2 (20021. 587-606.

20

 2.


S O M E D E F IN IT IO N S F O R C O N V O L U T IO N S A N D T H E
C O N V O L U T IO N S F O R T H E F O U R IE R T R A N S F O R M S
W IT H G E O M E T R IC V A R IA B L E S
B U I T H I G IA N G , N G U Y E N V A N M A U , A N D N G U Y E N M IN H T U A N

A b s t r a c t . T h is p ap er g iv es so m e gen eral d efin ition s o f c o n v o lu tio n s
w ith or w ith o u t w eig h t-elem en t for th e linear o p era to rs, and c o n str u c ts
so m e c o n v o lu tio n s w ith and w ith o u t w eig h t-fu n ctio n for t h e Fourier
tra n sfo rm w ith geo m etric variab les. A new gen eralized c o n v o lu tio n w ith
t h e w eig h t-fu n ctio n for the F ourier-cosin e, F ourier-sin e tran sform s is also
c o n str u c te d .

1. I n t r o d u c t i o n

T h e th eo rv of th e convolutions of integral tran sfo rm s has been studied
for a long tim e ago. and it has many applications (see Bochner Ị1]. Fox [5],
H o m a n d e r |7], T ichm arsh [1 1 ] and references whereas). O ne knows that
th e re are several relations, explicit or implicit, between th e integral trans­
forms of Cauchy, Fourier. Hankel, Laplace. Mein; .see ’11 j : Iii recent years
m any p a p e rs devoted 10 those transform s are given the convolutions, general­
ized convolutions, polvconvolutions arid theirs application? isee Brit Vina Ị2 .
[3], T u a n [12] an d references therein). O n the other h and , a constructed

convolution can be regarded as a new integral transform In our view, the
integral tra n sfo rm s of Fourier tvpe. in addition, deserve the interest
In this pap e r, we present some general definitions for convolutions with,
a n d w ith o u t weight-element for th e linear op e ra to rs from th e linear space
to the c o m m u ta tiv e aieebra. and to give some available convolutions for
the Fourier tra n sfo rm with th e geometric variables: shift, sim ilitude and
inverter. A usual, there exists some different convolutions :or the certain
transform, and conversely, the transform can be the con volu tion for some

different tran sfo rm s A new convolution w ith w eighi-iunction. a generalized
convolution axe co n stru c te d in Subsection 3 4. and the Fourier transform
with linear-fractionai shift is posed at the end of Section 4.

2000 M a th c m a U c s S u b je c t C la ssifica tio n . P r i m a r y 43A32
44A 15.
K e y w o rd s a n d p h r a s e s

Í1A3S. S e c ond arv 44-9?.

Fourier transfo rm , convolution, polvcon\ o im .o n . generalizes

c o n v o lu tio n , factorization idtvni'y
T h e se co n d n am ed au th or 15 p a n ia llv su p p orted by N B R P N S
T h e third a u th o r

IS

V if.r .a m .

partially supported by Central Proj ect-YNT \ ie:nam

33


B. T. GIANG, N. V. MAU, AND N. M. TUAN

2
2.

T h e g e n e r a l d e f in it io n s f o r c o n v o l u t io n s

Let u be the linear space and let V be the commutative algebra on the
field A . Let T € L(U, V) be the linear operator from u to V.
C
D e f in it io n 2 .1 . A bilinear m ap * u X u :— * u is called the convolution
for T, if T ( * ( / , g)) = T ( f ) T ( g ) for any f , g G u. The image * ( / , g) is denoted

b f*9y
Let 7 be the elem ent in algebra V.
D e f in it io n 2 .2 . A bilinear map * u X u :— * u is called the convolution
with the w eight-elem ent 7 for T, if T ( * ( f , g)) — 7 T ( f ) T ( g ) for any / , g € Ư.
The im age

is denoted by f * g.

Each of the identities in Definitions 2.1, 2.2 is called the factorization identity
(see B ritvina [2]). In [2], [8], the authors have dealt with the generalized
convolution for two integral transforms and constructed som e convolutions
for the well-known integral transforms. Let U 1 M 2 M 3 be the linear spaces
on 1C. Suppose th at K ị € L[ Ui, V), K 2 e L( U 2 , V). K z € L ( ư 3. V) are the

linear o p e ra to rs from u Ư2 - 1/3 to V respective!V.
D e f in itio n 2 .3 . A bilinear map * U\ X Ư2 :— ' 1 3 is called the convolution
w ith the weight-elem ent -> for the op e ra to rs K 3 . K 1 . K 2 ■ if Ki{*[J.g)) =
' y K \ ( f ) K 2 {g) for any / £ l \ . g £ Ư2- T h e image ' \ f . g i is d enoted by
/

*

0. If -V is th e un it of V. we say briefly th e convolution for K ỉ , K \ , K 2

K 3 . K 1 .K 2

■

R e ma r k 2.4. From Definition 2.3 it follows th a t if th e o p e r a to r K 3 is injec­
tive. the convolution f
*
q is formal dertermineci uniquely, because
■ k 3.k ,.k 2
f tststs q = K 7 l
1
A 3 ,I\ 1 2

for any f € U \ . g € Ư2 ~

In n ext sections, we onlv consider u = U\ = Í.Ọ = Ư2 = I ị Ị R 71) w ith the
integral bv L ebesgue's m ean.
th e aigebra of ail functions (real or complex)
defined on R n . For anv I . Ị / Ệ 3in , let < x , y > d en ote the scalar product, and

| x |2 = < x , x > .

3. S o m e c o n v o l u t i o n s f o r t h e t r a n s f o r m s o f F o u r i e r t y p e
T his section jives se m e convolutions for the tra n sfo rm s of Fourier type.
Namely, two c o nvolutions for each of the Fourier tran sfo rm s w ith geometric
variabels are e^ven. a n d a convolution w ith welght-function. a generalized
convolution for the Fourier-cosine and Fourier-sir.e tra n sfo rm s on entire R n
are ob tained.
3.1. C o n v o lu t io n s for t h e F o u r ie r tr a n s fo r m w it h s h ift. Let h 6 Rn
be fixed- D e n o te bv F the Fourier transfo rm . T he Fourier transform with