Phương trình vi sai phân và ứng dụng trong hệ sinh thái

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
ĐÉ TÀI NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC CÁP ĐHQGHN
PH Ư ƠNG TRÌNH VI SAI PHÂN VÀ ỨNG D ỤNG
TRON G HỆ SINH THÁI
DIFFERENCE AND D IFFER ENTIAL EQUATIONS AND
APPLICATION S IN ECOLO GY
Mã số : QT - 07 - 05
Chủ nhiệm đề tài: Lê Đình Định
Cán bộ tham gia:
- GS TS Nguyễu Him Dư ĐHKH Tự Ìikiên
- CN Trịnli Kliáuli Duy ĐHKH Tự Ìiliiên
- TliS Tạ Việt Tôn ĐHKH Tự uliiêu
- TliS Nguyẻii Trọug Hiếu ĐHKH Tự nliiêu
I OẠ HOC Quốc GIA HÀ NOi
pVUNG_TAM thong tin thi f V|gN
HÀ NỘI 2008
MỤC LỤC
Trang
B á o cáo tóm tắt bằng tiếng Việt 4
B á o cáo tóm tắt bằng tiếng Anh 6
N ội dung chính của đề tài. 7
Chương 1: Mở đầu 8
Chương 2: Nội dung và các kết quả đạt được 10
Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phán 12
Chương 4: Tính đon điệu và hội tụ của nghiệm phương trình 14
sai phàn
Chương 5: Tính bị chặn của nghiệm 15
Chương 6: Tính ổn định địa phương 16
Chương 7: ứng dụng 18
Chương 8: Kết luận 21

T ài liệu tham khảo 22
Phiếu đăng kỷ đề tài 43
I. BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THựC HIỆN ĐỂ TÀI QT-07-05
1. Têu đề tài (hoặc dự án):
Tiếng V iệt: Pliươug trùỉli vi sai phân và ínig dụng troug liệ sink thái.
Tiếiig Anh: Difference and differential Equations and Applications iu
Ecology
M ã sô: Q T -07-05
2. Clià trì để tài: TS Lê Đình Định
3. Têu các cáu bộ phối hợp ugliiêu cứii:
• GSTS Nguyễu Hĩm Dư ĐHKH Tự uliiêa
u v
• CN Trịuli Kliánli Duy
ĐHKH Tụ I iliiê u u v
• TliS Tạ Việt Tôu
ĐHKH Tự nlúêu u v
• TliS Nguyẻu Trọug Hiếu
ĐHKH Tự uluêii
Thirký
4. Mục tiêu và nội dimg nghiêii cứu:
Một trong ulifnig bài toáu quau trọug cùa sinli tliái liọc qnầu tliể là dáuli giá
số lượng cá thể troug quầu thể cùa một loài tlieo tliời gian. Tốc độ biếu dổi số
lirợng cá tliể cùa loài tlieo tliời giau đirợc mô tả bời pliircmg trìuli vi-sai pliâii.
Nghiêm của pliưcnig trìnli này clio ta biết được quá trìuli tiếu triểa số lirợug cùa
loài, tìr đó có k ế lioạcli khai tliác tối ưu loài uày lioặc đưa ra Iiliiiug chíuli sácli
kịp tliời uliằiu đảm bảo clio sự phát triển bều vữug cùa loài.
Mục tiêu của đề tài là đưa ra kết quả lý thuyết về sự tồn tại ugliiệm cùa
pliirơug trình sai pliâu là sai phân lióa cùa pliươug trình vi pliâu, cũng nliir sự liội
tụ về Ìiglúệm dúug cìia phương trìnli vi pliâu, mà Ìighiệm uày là các điểm câu
bằng của loài rroug các liệ siuli thái. Đề tài QT 07-05 dược tlụrc lúệu từ tliáug 5

uãm 2007 uliằm giải quyết một sô' vâói đề sau:
+ Tổiig quát hóa mô hìnli dộug học quần tliể đơu Loài ở dạng pliiroug trìuli vi
phân.
+ Nghiên cứu tíuli cliất cùa điểm câu bàug cùa quần thể bằug cácli sai phâu
lióa pliươug trình vi phân, sau đó tìm ugliiệm cùa pliircmg trình sai pliâu
+ Nghiêu cirú sự tồu tại duy uliất của Ìighiệm phương trìiili sai phân, ciìug
uliir sụ hội tụ về nghiệm đúng cùa uó.
I. BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THựC HIỆN ĐỂ TÀI QT-07-05
1. Têu đề tài (hoặc dự áu):
Tiếng Việt: Phương trùilx vi sai pliâu và írug dụng trong liệ siiili thái.
Tiếug Auh: Difference and differential Equations and Applicatious iu
Ecology
M ã số: QT- 07-05
2. Clnì trì để tài: TS Lê Đìnli Địnli
3. Têu các cáu bộ pliối liợp ughiêu Cl'ni:
• GSTS
Nguyễu Hfni Du ĐHKH Tự nliiêu uv
• CN TrỊnli Kiiánli Duy ĐHKH Tự uliiêu uv
• ThS Tạ Việt Tôu
ĐHKH Tạ ulúêu
uv
• TliS
Nguyễa Trọug Hiếu ĐHKH Tụ uliiêu Tliir ký
4. Mục tiêu và nội duug ugliiêu cứu:
Một troug ulifiug bài toáu quail trọng cùa sinh thái liọc quần tliể là đáuli giá
số lirợng cá tliể trong quầii tliể cùa một loài tlieo tliời gian. Tốc độ biếu đổi số
lirợug cá tliể cùa loài theo tliời giau đirợc mô tả bời pliitơug trìuli vi-sai pliâii.
Nghiệm cùa pliirơug trình Ìiày cho ta biết đirợc quá trình tiếu triển số lượiig của
loài, tìr đó có kế hoạch khai thác tối uu loài Ìiày lioặc đira ra uliĩhig clúuli sácli
kịp tliời nhằm đảm bảo clio sự phát triểu bều vữug cùa loài.

Mục riêu của dể tài là đua ra kết quả lý thuyết về sự toil tại ugliiệm cùa
phương trìuk sai pliâu là sai phân hóa cùa pluiơiig trìnli vi phân, cũiig uliu sự hội
tụ vể uglúệm điíiig cùa phirơug trìnli vi pliâii, mà ugliiệm uày là các điểm câu
bằug cùa loài troug các liệ siuli tliái. Đề tài QT 07-05 đuợc tliực liiệu từ tliáug 5
uãm 2007 Ìiliầm giải quyết một số vấu dề sau:
+ Tổiig quát lióa 1Ỉ1Ô hình độug học quần tliể đon loài ở dạng pliiroug trìuli vi
pliâu.
+ Nghiêu cứu tíuli cliất cùa điểm câu bằng cùa quầu tliể bằng cácli sai pliâii
hóa phương trình vi phâu, sau đó tìm uglúệm cùa phirơug trìuli sai pkâu
+ Ngliiêu cirú sự tổu tại duy nhất của agliiệm phirơug trìiili sai pliân, cũng
uliư sự liội tụ về Ìigliiệm đúng cùa uó.
5. Các kết quả đã đạt được
+ Đưa ra được điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình sai phân
phi tuyến, công thức nghiêm của phương trình sai phân phi tuyến.
+ Đưa ra điểu kiện đù cho tính bị chặn, tính hội tụ và tính ổn định của
nghiêm phương trình sai phân phi tuyến.
+ Đưa ra các tính chất cùa điểm cân bằng.
Các kết quả đạt đưực của đề tài giúp chúng ta xem xét một loài trong quần
thể phát triển theo số lượng đạt đén mức cân bằng bền vững hay không bền vững
phụ thuộc khá lớn về số lượng cá thể ban đầu hay quá trình đánh bắt cùa con
người. Từ đó chúng ta có chiến lược đánh bắt phù hợp sao cho loài luôn phát
triển ở dạng bển vững.
Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên 01 bài báo và 02 báo
cáo khoa học.
ĐỂ tài đã góp phún dùo lạo được nhiều cừ nhân khoa học, 02 hoc viên cao
học là Nguyễn Thị Minh và Nguyẻn Thị Minh Lý. Đề tài đã hỗ trợ đắc lưc cho
nhiểu NCS của khoa Toán - Cơ - Tin học.
6. Tình hình tài chính của đề tài
Để tài được cấp 2ơ.000.000đ trong năm 2007 và 2008 và được chi vào các
khoản sau đây:

+ Các bài báo và báo cáo khoa học: 10.000.000 đ
+ Hội thảo và Seminar khao học: 7.000.000 đ
+ Chi phí văn phòng phẩm: 2.200.000đ
+ Quản lý cơ sờ, nghiệm thu đề tài: 800.000 đ
Tổng cộng: 20.000.000đ
Xác nhận cùa Ban Chú nhiêm Khoa
Chù trì để tài
Xác nhận của Trường ĐH Khoa học Tự nhiên
II. SCIENTIFIC PROJECT
1. BRANCH: Mathematics PROJECT CATEGORY: National University
2. Title of Project: Difference Equations and Applications in Ecology
3. Code of Project: QT-07-05
4. Head of research group: Dr. Le Dinh Dinh
5. Collaborating Institutions:
• Prof. Nguyen Huu Du Member
• Lecturer Trinh Khanh Duy Member
• Lecturer Ta Viet Ton Member
• Lecturer Nguyen Trong Hieu Member
6. Duration: from 5-2007 to 5-2008
7. Budget: 20.000.000 VND
8. Main results:
a) Results in science and technology
One of the most important problem in ecology is estimate the number of
species in population. The rates of change in these number are described by
differential and difference equations. We can know the development of these
species by the solution of the equation, then we can make a good plan to exploit
without the extinction of them.
This researcher is concerned with the study of the existence of solution of
difference equation and the convergence to the equilibrium point. It has been
started since May, 2007 and we resolved some following problem:

• Generalization of single species model in differential equation form.
• Showing the properties of equilibrium points.
• Difference of differential equation and then we investigate the
existence, the unique and the convergence of solution.
With a moderate budget 20.000.000 VND, our research group has carried out
some good results. We have written one paper and two scientific reports.,
b) Results in training:
• Support to many bachelor’s degrees of science.
• Support to two master’s diplomats of science: Nguyen Thi Minh and
Nguyen Thi Huong Ly.
• Support to some Ph. D students.
c) Publications:
1. Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, NXBĐHQGHN 2004.
CHƯƠNG 1.
Mở đầu
Hầu hết các mô hình quần thể đơn loài là nghiên cứu tốc độ biến đổi
của số lượng các cá thể theo thời gian được quy về phương trình vi phân:
- - bN - dN + nhập cư - di cư (3.1.1)
S ạ sai khấc vế phải của (3.1.1) được một mô hình của từng loài. Vậy giả
thiết mô hình đơn loài có dạng:
= /(A') (3.1.2)
M ột trong những bài toán quan trọng của mô hình động học quần thể là
nghiên cứu điểm cân bằng của hệ, tức là nghiệm của phương trình:
hay f(N)=0 (3.1.4)
Việc tìm nghiệm của (3.1.4) hết sức phức tạp nếu f(N) có dạng phi tuyến.
Vì vậy ta phải tìm nghiệm gần đúng của phương trình (3.1.4) bằng cách sai
phân hóa phương trình (3.1.4). Sau đó chứng minh nghiệm gẩn đúng hội tụ
vể nghiệm đúng của (3.1.4).
Đề tài QT -07-05 được thực hiện từ tháng 5 nãm 2007 nhằm giải quyết
các vấn đề sau:

+ Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình sai phân là sai
1
phân hóa của (3.1.4). 2
+ Đưa ra điều kiện đủ cho sự hội tụ, tính ổn định.
■+- Nghiên cứu tính chất của điểm cân bằng.
Nội dung và các kết quả đạt được
CHƯƠNG 2.
Xét phương trình vi phân:
(ix
^ = G(x) = s ( x )/( x ) (3.2.1)
trong đó các hàm f(x), g(x) thỏa mãn các giả thiết sau:
H l, f(x), g(x) là các hàm không âm, liên tục từng khúc trong khoảng (0, oo).
H 2, g(x) tăng trong [0, oo], f(x) giảm trong [0,oo].
H 3, Phương trình G(x)=x (3.2.2) có các nghiệm X0 ,X\, thỏa mãn
0 <X 0 <X! < < T w < o c .
Ta định nghĩa
It =
17 =
(x ;.x , + 1) nếu G(x) > X, X G (x,;,x, + i)
0, trường hợp còn lại.
(Xi,r,+1) nếu G{x) <I,I E (xn x ỉ+1)
0, trường hợp còn lại
(3.2.3)
(3.2.4)
3
£>ạt F = xo, J+ = u T jlt, J- = u£õ!/ f . 4
íChi đó
/,+ n / r =
0,2
= 0,1, , m — 1.

<
/ , + u / r = (Ẽ i.ĩi+i)
V à [x0,xm] = J+ u u F.
FCý hiệu 5[xo,Xm] là không gian các hàm không âm, tăng, liên tục từng
k h ú c trên [ãfo,xm]. Trên B[xo,xm] có quan hệ < được định nghĩa như sau:
C h o Ễ B[x'o,xmj, ta nói <ĩ> < 'I' nếu
í>(x) < G J+
ĩ>(x) > Ý (x ),x G J~ (3.2.5)
4>(x) = ty(x),x 6 F.
B ổ đề 1: Xét tập M cho bởi M — {í> e 5 [x o ,x m] : í < /fi}. Khi đó ta
c ó kết quả sau:
Hàm
X,. nếu X = Xi, i — 0 , 1 , 2 , m.
3*0(x) = < X , ị
1
nếu X e /,+, i = 0 ,1 ,2 , m - 1 (3.2.6)
X, nếu X £ / “ , i = 0, , 771 - 1.
là phần tử thuộc M. Ví> £ M, ta đều có
$ 0
<
B ổ để 2: Giả thiết các hàm f, g thỏa mãn các giả thiết H l, H2, H3.
E £?[x
0
, xm], ĨJ : [0, oo] —> [0, oo] là hàm tăng. Khi đó ta có:
Nếu $ < Ỹ thì 77(í>) < //(Ỹ).
Nếu $ e M thì p_1( f ) e M.
Nếu ĩ>, 7? G Ai thì //((í>) 6 M.
Nếu í . í ' , !Ị G M , í> < $ thì $(??) < í ' (
77
).

Nếu $ , ty 6 A/, $ < 'í' thì í>2 < 'ỉ'2 trong đó í>2 = $($>), = 'P('I').
CHƯƠNG 3.
Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai
phân
Trong phần này ta đưa ra điều kiên đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương
trình sai phân:
X„+1 = g{xn)f{xn-i) (3.3.1)
là sai phân hóa của phương trình giải tích G(x)=x (3.3.2). Trong đó câc
hàm g, f thỏa mãn các điều kiện H l, H2, H3.
B ố để 3: Ta vẫn ký hiệu M = í> e B[xũ,xm\ : Đặt
(TÍ>)(t) e M (3.3.3)
/(* )
thì ta có kết quả sau: Mọi xích trong M đều đạt sup. T > M. T đơn điệu
trong M.
$ 0
< T$q.
Định lý 1 : Giả sử các hàm f, g thỏa mãn các giả thiết H l, H2, H3. T được
xác định trong (3.3.3). Khi đó:
a) Tồn tại ỗ e M sao cho rỏ = ỗ.
5
b ) ỏ thỏa mãn: 6
ổ(x) = x,x 6 F
ô(x) > X, X € J+
ố(x) < X, X e J~
w
Đ ịn h lý 2: Cho X_1 E [xo,im ],ổ là nghiệm của phương trình Tỗ = ỗ. Khi
đ ó dãy {xn} được xác định bởi xn = ỏ(xn-\),n — 0 ,1 , thỏa mãn phương
trìn h sai phân xn+x = y{xn)f(x n-i).
CHƯƠNG 4.
Tính đơn điệu và hội tụ của nghiệm

phương trình sai phân
Trong mục này ta dưa ra tính đơn điệu và hội tụ của nghiệm phương
trình sai phân về nghiệm đúng của phương trình giải tích.
Đ ịnh lý 3: Giả sử các hàm f,g thỏa mãn các giả thiết H l, H2, H3. Khi đó:
a) Vi = 0 ,1 , m — 1, — 0, thì tổn tại nghiệm của phương trình Xn
+ 1
—
g(xn)f(xn- 1) được cho bởi Xn = ỏ(xn-\),x-\ e I~ có tính chất Xr, tăng và
llĩTLỵi—►oo^-'n Xi+ \•
b) Vi = 0,1,m — 1, /j+ = 0, thì tồn tại nghiệm của phương trình xn+x =
g(xn)f(xn-
1
) được cho bởi Xn = ổ(xn-i),x _ i € I* có tính chất xn giảm
v à lirrin^ooXn = Xi.
Định lý 4: Giả sử các giả thiết H l, H2, H3 thỏa mãn và Xo = 0 , / 0 =Ịổ.
Nếu điểu kiện ban đầu Xo < X_1 e ỈQ thì nghiệm Xn+Ị — ổ(x„) đơn điệu
giảm và limn._00 Xr, T o =- 0.
7
CHƯƠNG 5.
Tính bị chặn của nghiệm
Dưới đây ta thu được kết quả về tính bị chặn và không bị chặn cúa
nghiệm phương trình sai phân:
Đ ịnh lý 5 : Giả sử các giả thiết H l, H2, H3 thỏa mãn. Nếu tồn tại các hằng
s ố L,p, q > 0, A, tì > 0 thỏa mãn:
g( x) < Axp, Vx > L
f(x) < ặ ,V x > L
0 < p2 < 4q.
Khi đó nghiệm của phương trình sai phân bị chặn bởi hằng số dương.
Đ ịnh lý 6: Giả sử các giả thiết H l, H2, H3 thỏa mãn, tồn tại các hằng số
L > 0 sao cho: G{x) — f(x)g(x) > X, Vx < L. Khi đó nghiệm {x„} của

phương trình sai phân với điều kiện ban đẩu X - I > L là dãy đơn điệu tăng
và limn_ 00 = +OC.
8
CHƯƠNG 6.
Tính ổn định địa phương
Trong phần này nghiên cứu tính ổn định địa phương của các điểm cân
bằng Xo, Ta có các kết quả như sau; Giả sử f(x), g(x) là các hàm
khả vi trung bình. X* £ F là điểm cân bằng dương. Tuyến tính hóa phương
trình sai phân ta được
Vn
+ 1
+ py,r + qy
n - 1
= 0 ,n = 0 ,1 , (3.6.1)
Trong đó p — = —g(x*)f'{x*). Vì g(x) tãng, f(x) giảm nên
p < 0, q < 0.
Phương trình đặc trưng P{A) = A2 + pX + q = 0 (3.6.2)
Đặt G(x) = g{x)f{x), H{x) = xf{x),x e [0, +
0 0
]. Ta có kết quả sau:
( ĐCB = Điểm cân bằng, ĐYN = Điểm yên ngựa, ĐKÔĐ = Điếm không
ổn định, ĐH = Điểm hút, ĐĐ = Điểm đẩy )
9
10
Trường hợp
ơ(x*) H'(x*) Nghiệm Ài, A2
ĐCB X* ^ 0
1 ơ(x*) > 1
H'(x*) G
0 < A] < 1 < A2

ĐYN
2
ơ(x*) = 1 > 0
Ai = 1,0 < A
2
< 1
3
ơ{x*) = 1
H \x*) — 0
Ai = A
2
= 1
4
ơ(x*) = 1
H'(x*) < 0
Ai = 1, A
2
> 1
ĐKÔĐ
5 G'(x*) < 1
H'{x*) > 0
l^ll, 1^2 < 1
ĐH
6 G'(x*) < 1
H\x*) = 0
|Ai| = |À2| = 1
7
ơ{x*) < 1
H'{x*) < 0
l^il, ỊA2I > 1

ĐĐ
N ếu X* — 0, khi đó ợ(0) = 0, suy ra q = 0 nên phương trình đặc trưng có
dạng: P(A) = A2 + pX = 0. Ta có kết quả sau:
Trường hợp G'(0) < 0
Nghiệm Ai, A
2
Điểm cân bằng X* = 0
1
0 < G'(0) < 1 Ai = 0,0 < A2 < 1
Điểm hút
2 G'(0) = 1
t—H
II
CN
ó
II
3
G'(Q) > 1
Ai = 0, A
2
> 1
Điểm không ổn định
CHƯƠNG 7.
ứng dụng
Trong phần này ta đưa ra áp dụng cho phưng trình sai phân phi tuyến có
dạng:
*■
_
______________ẼẺ.
____________

1 1 + Xĩ-\ + 1*11-1 -
trong đó X-I > 0,X() > 0 ,k,Ị3 > 0. Khi đó G(x) = g(x)f(x),g(x) = í3xk,
1 + xk + \x -
Ta có kết quả thu được ở bảng sau:
11
12
k
0
Điểm cân bằng
Nghiệm Ai, A2
0 < k < 1 /2
0 > o
£o* = 0
1 / 2 < k < 1
0 > 0
Xi* > 0 : ĐH
Xo* = 0
|A ], |a2 < 1
k = l
0 < /5 < 1
Xo* = 0 :DH
A] = 0. A 2 = li
k = l
fi= 1
Zo* = 0
Ai = 0. A2 = 1
k = l
0 > 1
X\* > 0 : ĐH
Xo* = 0

Aj = 0, A2 = Ị3
|Ai|, |A2| < 1
1 < k <
(k-1 ) ^
x0* = 0 :DH
X:* - w ~ l)
X1 fc
A i = A'2 = 0
A, = 1.
0 < A2 < v"2 '
1 < k < l-± fi
^ </}
Zo* = 0 :DH
*1* e (0, ^ V 0 ): DYN
£2* e ( ■■^.7.11; oo) : ĐH
A; = A 2 — 0
0 < Ai < 1 < A2
A] , a2 < 1
K k <
(™ ) V ^ T
Xo* = 0 :DH
n * G ( 0 , ^ ^ ) : ĐYN
x 2* e
A, = A2 0
0 < A] < 1 <c A 2
|Ai = A2| = 1
1 < k < 1±^ L Xo* = 0 :DH
XI* € (0, i(fc"1)): ĐYN
X2* G ( v~~’ ° ° ) : ĐĐ
A] = A 2 = 0

0 < Aj < 1 < A2
A]'. A2 > 1
1c — l + \/o
K 2
I< - l i f e ] * 1
£ 0* = 0 :DH
Xi* > 0
X\ — A 2 _ 0
A] I.A
2
2
k > ^
0 < n <

TTT
Xo* = 0 :DH
A] = A) = ()
k >
/-' — ' fc-l
(* -1 )^
£0* = 0 :DH
X]* > 0
A; = A) =■ 0
A - l.A, > v7 ;
k > x+f
li > — ± ^ r
(k-1)^
Xo* — 0 :DH
Xỉ* 6 ( 0 ,^ y ^ ) : ĐYN
19* 6 (J(k-'Koo): ĐĐ

A; = A 2 - I)
0 < A; < 1 < A2
A, I. A2 > 1
Các công trình khoa học chính và ấn phẩm khác 13
Các kết quả nghiên cứu được thể hiện trong các bài báo và báo cáo khoa
h ọ c sau:
N guyen Huu Du, Trinh Khanh Duy and Vu Tien Viet: Degenerate
c o c y cle with index-1 and Lyapunov exponents, Stochastics and Dynamics,
V ol.7, No. (2007) 229-245.
Nguyễn Thị Minh: ứng dụng nguyên lý điểm bất động vào phương trình
sai phân, luận văn thạc sỹ toán học, năm 2007.
Nguyễn Thị Hương Lý: Các phương pháp sai phân và ứng dụng, luận văn
thạc sỹ toán học, nãm 2007.
CHƯƠNG 8.
Kết luận
Việc nghiên cứu điểm cân bằng của hệ sinh thái là cần thiết và quan
trọng, vì nó giúp chúng ta có kế hoạch khai thác và đánh bát một loài trong
quần thể một cách tối ưu và giúp loài trong quần thể tồn tại, phất triển, bền
vững; trạng thái cân bằng là nghiệm giải tích của phương trình đại số. Việc
tìm nghiệm của phương trình đại số phức tạp, vì vậy ta phi tìm ở dạng gần
đúng bằng phương pháp sai phân.
Đề tài đã đưa ra một hướng nghiên cứu sự tổn tại nghiệm cùa phương
trình sai phân phi tuyến, hội tụ, đơn điệu vể nghiệm gii tích, giúp chúng
ta nghiên cứu được tính ổn định, không ổn định của các điểm cân bằng.
Tài liệu tham khảo
15
[1] E. Camouzis, G.Ladas, I.w. Rodrigues and s. Northshield, On the ra-
Bx^
tional recursive sequence Xn+1 =

-2 — , Computers Math. Appl. 28(1994),
1 + n—l
3 7 -43.
[2] V. Huston and K. Schmitt, Persistence and the dynamics of Biological
system s. Math. Biosciences 111(1992)1-72.
[3] V. L. Konic and G. Ladas. Global asymptotic behaviour of nonlinear
difference equations of higher order with applications, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 1993.
[4] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, phương pháp sai phân, NXBĐHQGHN
2004 .
ĐÊ TÀI SUPPORT CHO CÁC HỌC VIÊN CAO HỌC SAU:
1. Nguyễn Thị Minh
2. Nguyễn Thị Minh Lý
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
NGUYỄN THỊ MINH
ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIỂM BÁT ĐỘNG VÀO
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Chuyên ngành Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DÃ N KHOA HOC
TS. LÊ ĐÌNH ĐĨNH
Hà N ôi-2007
- A H' ' ' ; Sl A HÀ NÓI
ị - -
l ĩ / Ĩ C 2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN
NGUYÊN THỊ HƯƠNG LÝ

CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 40
LUẬN VĂN THẠC s ĩ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG D ÀN KHOA HỌC
TS. LÊ ĐÌNH ĐINH
Hà N ội-2007
Stochastics and Dynamics, Vol. 7, No. 2 (2007) 229-245
© World Scientific Publishing Company
World Scientific
m T
w w w .w or l d sc iin ti f i c .c om
DEG EN ER A TE COC YCLE W IT H IN D E X -1 AN D LYAPUNOV
EX PONENTS
NGUYEN HƯU Dư*, TRINH KHANH DƯY and VƯ TIEN VIET
Faculty of M athematics, Mechanics, and Informatics
Hanoi National University, 334 Nguyen Trai
Thanh Xuan, Hanoi, Vietnam
*dunh @vnu. edu. vn
Received 7 February 2007
Revised 23 March 2007
This paper deals with the solvability of initial-value problem and with Lyapunov expo
nents for linear implicit random difference equations, i.e. the difference equations where
the leading term cannot be solved. An index-1 concept for linear implicit random differ
ence equations is introduced and a formula of solutions is given. Paper is also concerned
with a version of the multiplicative theorem of Oseledets type.
Keywords: Random dynamical systems; linear implicit equation Lyapunov exponent;
index-1 tractable.
1. Introduction
Difference equations might define the simplest dynamical systems, but neverthe

less, they play an important role in the investigation of a dynamical system. The
difference equations arise naturally when we want to study the evolution of bio
logical population or economic models on a fixed period of time. They can also be
illustrated as discretization of continuous time systems in computing process.
An im portant class of difference equations is the linear one which leads to prod
ucts of matrices. The linear difference equations can be found when we handle
linearizations of nonlinear system
f( X n+uX n,n) = 0, n > 0 (1.1)
along solution. This leads to the difference equation
A „ x n + 1 = B „ X n + <7„ , n > 0 , (1 -2)
where An = and Bn = ■§£
If in (1.2) the matrix An is invertible for all n € N. we can multiply both sides
of (1.2) by A~l to obtain
Xu+x=A-'BnXn + A -\n. (1.3)
which has been studied for a long time by many authors both in theory and practice.
229