Một số bài toán của lý thuyết xác suất trên không gian vô số chiều

MUC LUC
trang
M§ đầu
.
2
Chư ơn,r; ĩ đo ổn định và toẫn tủ p-tong hoắ
1. Cắc định nghĩa và kết quẳ chuẩn bị

5
2*- Toắn tu! sinh ra đọ do p-on định

3 . Khong gian cổ đối lo ại p-on định

lk
Chưđn;; 2 Dắn£ đi|u t i | 1 cận cua M artincale
1. Martingale tren khon^ £ian Banach cổ tính
Rađon-Nikodyra .
.
19
2. M artingale trên không gian Banach trơn đều
(lồ i đều) 23
Chưđn/: 3 Sự liên tục tuyẹt đoi theo nghĩa yếu
1 . Sự liê n tục tu yft dối theo nghĩa yếu của haỉ
dọ đo.Dịch chuyển chấp nhận yếu

29
2. Tru’cJn£j hỢp cắc đọ đo ổn định

36
3 . Trương h£p đọ đo on định vối phổ rồ’i rạc l\2.
Tằi liệ u tríc h dẫn

52
Hỏ ĐÌƯ
Lỵ thuyết xắc suất trên cắc khong gian vo số chieu lằ v i|c nghỉ
cú'u cẳc phần tử ncẫu nhiẽn và phân’ bố của chung trên khong gian
vo số chiều.Lĩnli vực n£hiên cíu này nằm è giao điểm của lỵ thuyết
xắc su ất,lý thuyết đọ đo và gỉẳ i tíc h ham.Khẽi n^uon tĩĩ cons tr ìn
của F*Maurei và R-Forter trong nhữri£ nom I950,khoảng 20 năm gần
ctây lĩn h vực nay đã phẩt triể n 'khậ mạnh mẽ do nhu cầu phắt triể n
nội tẹl của lý thuyết xạc suất(nhầm g iẳi quyết cắc bài toẩn xạc
suất trên lihong gian hàm và đặt co’ sẫ cho ly thuyết quậ trìn h ngẫ
nhien)cuns như do nhu cầu của mọt số ngành vật lý lỵ thuyết cần
những cong cụ mêi để xử lý cắc h | thống ngẫu nhiên vỗỉ vo số bậc
*
tự do.
Nhiều kết quẳ cơ bẳn cửa xạc suất cổ điển(xẩc suất trên không
£ian hữu hạn chiều)khi chuyển len khong gian vo số chiều đã khong
con đung nữa.Điều đọ nổi lên rằng v i|c nghiên cứu trên lĩn h vực
nay đòi hỏi những phương phắp mối vằ cong cụ mỗi.
V i|c nghiên cứu xắc suẩt trên khong gian Banach vạch ra sụ liê n
h | mịt th iế t £iữa cậc tín h chất xậc suất Và tín h chất hình học
cùa không gian đang xẹt.sự liê n hf đọ mật th iế t đến mức cậc phươn
pháp xậc suất đã trỗ thành một công cụ nỗi(nhiều khỉ khẫ hữu h l|u
đl nghiên cúu hình hpc không gian Banach.cặc nàixẳc suất cổ điển
-2-
thực ra vẫn thứồ’ng xuyên sỗ dyng cac tính Chat tc t cua khong
gian hữu hgtn chiều mọt cắch khong cổ ỷ thiìc cũng như ong Jourdaj
mọt nhân vật của M olière,đã hết sậc sửng sốt khi thầy học cho
b iế t ong vẫn thưctos nọi văn xuoi.
Luận ận đưp’c chia lam 3 chương vỗỉ n$i dung như sau

Chương I nghiên cứu cậc đọ đo p-ổn định và nối quan h | của chuni
vSỉ cầc toắn tử p-tong hoẫ,i»§ rọnc cắc k ết quẫ của Chobanian và
Tarieladze [2] xểt cho đọ đo Gauss.Chương 2 nghỉen cưu dắng đ i|u
tifn cận của Martingale nhận gỉẩ t r ị trên khong gian Banach,mơ
rọng cắc kết quẳ của Neveu£l2j trong trưồ’n^ hỢp thực.Cắc kết
luận ctgit đư^c ẫ hai chương nay cỗ liê n quan chặt chẽ vSỉ tính
chất hình học của khong gian đang xễt như tính chất lo ạ i và đối
lo ạ i,tín h chất Radon-Nykodym,tính chất p-trơn đều.Chương 3 đưa
ra khắi n i|n tương đương yếu cua haỉ độ đo và nạnh dạn tiết) cận
giẫ thuyết: Hai đọ đo ồn định hoặc tương đương hoặc trực giao 9
Tắc gỉẳ bẳn luận ắn bày tỏ lồng b iế t ơn chân thành nhất tố i
Giắo sư Tien sĩ Nguyễn Duy tiến,ngưc?ỉ đã dành cho tắc giẳ sự
giụp đS to lơn và sự hư ống dẫn n h ỉ|t tĩnh trong khoa học cũng
như trong cuọc sống.Tắc giẳ bày tỏ lòng biế t ơn sâu sắc tố i Giặc
sư Hoàng hữu Như và Gỉắo sứ Nguyễn văn Hữu đã tạo những điều kif
thuạn lỷ l để tẩc gỉẳ hoàn thành bản luận văn^ạc giẳ cũng xin
chân thành cắn ơn Tiến s ĩ Nguyễn văn Thu vằ Giắo sư Tiến sĩ
-3 -
-k~
Nguyen Xuân Lọc ve những ỷ kiến nhạn xễt sầu sắc và quý bau ehe
ban luận văn, caía ơn sự giụp đ3 của anh em trong tồ bọ mon xắc
suất-Thống kê cùng cắc bạn bè đồng nghiçp.
CHƯƠNG I
ĐỘ ĐO ổìí ĐỊNH v\ TOẬN TỬ p-TỔNG HOẪ.
I.Cắc định n,F;hĩa và kết quẳ chuẩn bị
Trong mục này chung toi nhắc lạ i iíiọt vài khai ni|m và kết quả
đã biết sẽ đưj?c sỗ dụng trong chương này«,
a) Đp đo •~>-ồn định
ĩ »ĩ . Định n.shĩa: Giẳ sử E lầ mọt khong gian ^anach.Đọ đo xắc
suất JLC trên E đư^c gọi là p-ẩn định( 0 < p £ 2) nếu vSi mỗỉ sc

dương 0( , p iiàm đặc trưng jCl(a) cua Jtt thoẳ -:ãn h | thức
ọ
______
Ị
jx (o u x ) jU , ( pa.) - ( fẽ7~ỊỴ r a. ^ Va. 6 E
Ky h l|u (£) là tạp tấ t ca cắc đọ do TD-ẩn định trên E.
I »2.Đinh lý Ị ĩ l : Nấu ỷjc là đọ đo p-ổn định tren E th ì cổ tồn tạ i
mọt đọ đo hữu hạn \J trên mặt cầu đơn vị của E sao cho
p.(a) s exp Ị “ j |(x JCL>|*eív>(x'>
Đọ đo v> đưp’c gọỉ lầ đọ đo phổ của JJL .
ĩ >3*Sính Mỗi độ đo p-ổn định đều c ỉ ũ lent cắp r <
nhưng ‘chong cỗ mo íient cẩp p nếu p < 2.
1.4 .¿ịnh n,-;hĩa:Khô ng gian Banach E đứj?c gọi là có lo ạ i p-ổn địr
(0 < p ^ 2) nếu vó’i mổi dãy (x ) c E sao cho Y llx li** < oữ
n X / n
ta cọ chuỗi £ xn 6^p) hội tụ h .c .c . ẫ độ e£p) l'a dẫy cậc
biến ngẫu nhiên thực,đọc lạp,cổ cùng hằm đ£c trưn r là e x p Ị -|t|:
TÎïih. cheit cổ logii p-on định. lo. nọt "tinh. ch.s.'t liiĩili h.£)C cua kh.0H£
-i an E.Thạt vạy, Mau re y và Pisie* đã ch'tzr; 'lỉnh rằạg neu p < 2
th ì E cọ loạ i p-on định nếu và chỉ nếu E khong chiìa l n mọt cậch
đeu*
Vị djjl L cỗ lo ại p-ổn định nếu r > p và- kho&g cổ loại p-cn định
nếu r ^ p < 2*
b) Toan tử vọ-tổn, ; hoa
ĩ . 5. Dinh iy;hĩa: Giẳ sử E và F là hai khong gian Banach.Toắn
tỏ T : E w ẩứỢc g ỵ l lầ p-tẩng hoậ nếu vối mỗi dãy (x ) c E
p
sao cho £ |(x ,a)| < oo, V a £ E' ta cộ
2 l|TXn l,P < 00 •
Tạp hj?p cắc toắn tầ p-tổng hoắ tĩỉ E vạo F đư^c kỵ h i|u là T Ĩ ( I ,

Neu p < q th ì Tĩp(E,F) c TTl(E,F)*Mpt toắn tử p-tổng hoắ
vỗi mọi p đư^c gọi là hoàn toàn tồng hoẳ.Ta cổ
ĩ , 6«Định lỵ : Neu T : E1 —^ F là p-tổĩi£ hoắ và E có lo ạ i p-ổn
định thỉ. T là hoàn toàn tồng hoắ .
ĩ nnhĩa: Giả sỗ E và F là hai khong £iaa Banach.Toắn
tử T : E F đươc gçi la p-Hadon neu vỗĩ mỗđ đọ đo try. X CC
lo ại p trên ,đọ đo ẳnh T(A) lằ một đọ đo Radon cỗ lonent cấp Ị
1*8» Định lý r io ] : Toẩn tử p-lâd©a luon la toắn tử p -tomg hoa*
Neu p > 1 th i mỉá án tử p-t© ắ cũiii ẽ -Radon*
ĩĩ » Toắn tử sinh ra đo đo ~p-on đinh
Trong suốt chương này ta luon kỷ higu X là mjt khong gian
Vt.
4 $ 'ĩ- < p
Banach đẳng cấu vỗỉ một không gian con đọng cùa .
¿ . ĩ .Đinh n,';hĩa: Toắn tử T : À’ X đũị>’c gpỉ la toạn tu sinh
Ị)
ra đọ đo p-ổn định nếu hằm
*^(a) = expỊ- II Ta II Ị (I-I)
là hàm đặc trưng của nột độ đo p-ổn định trê n E.
Ky h±fu oA.p(E’ ,X ) l à tập t ấ t cả các toận tỗ T tĩỉ E' vào X
p p ?
sinh ra đọ đo p-ổn định*
2»2 .Sinh l ý :ĩs 1 -A p(S ',X ) l ạ một khôag g iaa Banachộ. < p $
vỗi chuẩn S"(T)
z
S*t (T )s Ị j IIXfjfL j
ỗ đỗ JUL la đọ đo p-ẩn định sinh bẫi T
Sau đẳy ta sẽ nghiên cứu mối quan h| giữa toẩn tử sinh ra đọ
đo p-ổn định và toận tử p-tổng hoẩ.
¿>5•Bịnh lý : Ta luon cổ bao hằm thức

-Ap(E<,xp) c T ĩp (E ',x p)
Chứii;; 'linh; Gia sỗ T là toắn tố sinh ra đ$ đo p-ổn định.T ấy
0 <, r < p.vì (x,a) là biến ngẫu nhiên trên khong gian xắc suất
(E, ,JU- ) vỗỉ hằm đặc trũng expỊ- ||Ta|| Itf j nên
j|(x ,a )| rdju. - c II Ta II r
ỗ đỗ c là hầng số*vỗi ,a^ , . , a K ta cổ
£ | T \ l | r = C ' <j ^ | ( x , a n )l'td iu = c ' j u x i l ^ K ^ j O I * ^ -
E E
c J|| : II sup Ị (x, a^)| jdp. rfc ijx II rd yu(x)j sup £|(x,a )|1
E ttxlls* E I/Xllsi
- 7 -
Biểu thức tronc mổc vuông hữu h^n.vậy T là r-tong hoạ do đọ la
p-tong hoẩ.
Định lý dưệi đây sẽ đặc trưng những khong gian Eftrong đổ mỗi
toẩn tử p-tong hoắ sẽ sinh ra đọ đo p-on định.
¿»4»Định 1 1 1 2 ] : Cắc khẳng định sau là tương đương
i) E cổ lo ại 2-ồn định.
ỉ i ) l ĩ * (E ',x2) c A
4
( ĩ '. x s)
lỵ: Giả sỗ 1 < p < 2.Cắc d I định sau tương đương
i) E cổ lo ại p-ổn định va đẳng cấu vỗl :iọt không gỉan con đổng
của L
p
ii) T T p(E.,Xp) c Ap(E',Xp)
Châng ninh : Ta co bồ đề sau
Neu T : E1 X sao cho T* : —* E là r-tổng hoẩ vối
p p ’
r < p th ì T là toắn tử sinh ra đọ đo p-ổn định.
Thạt vạy,giẳ sỗ là đọ do trụ trên X7 vối hàm dặc trưng

exp{-|u|l j .Ta cổ í là mọt đọ do trụ cấT) r vỗỉ 1 < r < p*
VÌ T * là r-t©ng hoắ nên nổ lạ r-RadoiuVgty T*(tf ) la đo trên
E.De thấy rang T*( X ) Ị ạ đf đo p-ổn định sỉiih bải toẩn tỏ T,
i) —> ỉi) Giả sỗ T ệ TlpC 1 , - ). VÌ đẫn| cấu vái lột khong
gian COĨ1 đổng cua L nên ta cổ thể xểt tập -An (X; ,E ).v l E có
r p
lo ạ i p-ổn định nên theo định lý 1.6 T là r-tong hoậ.Theo bố đề
ta cọ T £ J ^ .Đ(X ,E) Theo định ly 2.5 T* lằ r-tồn g hoắ.Lai ắp
1 •
dụng bồ đề ta có T £ A o (E .,X ) .
r
- ö -
i i j —Ì 1 J: ifau tiên ta chứng minh E có lo ạ i p-ổn định.Gia su
(x ) lầ dãy trons E sao cho y IIX Ị| < oồ *Xẹt toạn tủ T:2 1 >
n Z-i n
đư^c cho như Gau
Ta = { < v a)},
T lầ p-tổng h©a*That v|y,¿'ia sỗ (a ) c E1 sạo cho \ ị(::,a )| ^< (
n / •
(x,a )] tĩỉ E vào 1 cổ đồ th ị k ín do đo liê n
n * 1
tục.Vạy ton tạ i c y 0 sao cho
^ |( x , a ) | P ^ C||::||p vối npi X € Ẽ
Vậy
2 2 i(v V |P= Ị Ị k v . x 1'« c Ị X ,p < -
vậy T là p-tong hoắ*Theo gỉả th iế t T sinh ra đọ đo p-on định.
Tồ định lý Ito-N isio ta cổ chuỗi họi tụ h•c •c • Như
vậy ta đã chứng minh E cổ lo ạ i p-ồn đ^ih.
Tiếp theo ta chứng nỉnh ■’ ăỉ':\Q cể.u v S l ÌỌ t khons gi an con đong
của L Gỉẳ sử khong phẳỉ như vạy.Theo tiê u chuẩn L indenstraus-

p
Pelzinski tồn tạ i hai dãy (x ) và (y ) trong E sao cho
n Ĩ1
£ |( x ^ ,a ) | £ ^ ị(yn>a)Ị vỗỉ mpi a £.E'
và £ (| yỉilfP< oc. , nhưng £ II xnll =. oo
xểt toận tồ T: E1 —^ 1 đừỢc cho như sau
p
Ta = Ị(xn ,a ) Ị “
T lầ p-tẩng hoậ*Thât va 3 số (a ) c E' Gao cho y I(x ,a Ỷ < o
n ¿S n 1
vỗĩ mgi X E*£o định ly đo thị kíaf tồn tại G> 0 sao cho
2^ Ị(x,a )ị ^ c lị x ịp vệỉ 1ỌỈ X K
-9 -
Anh xa X
-1 0 -
TU ao za. ÜO
£ 0 T a n H - ¿ Ẹ I ỉ (yk * an }l =
V\- k. fc- "■*
z I r 'V N< - £ a • " <
»< rt. K
Theo g iẫ th iế t T sinh ra độ đo p-ổn định.Lập luận nhu’ phần trứớc
ta cỗ chuỗi T x ty h .c .c .v ì p < 2 n ê n y ||x II < co
U n ^ 6 n
Điều nằy mẳu thuẫn.Định lỵ dư^c ch5ng minh.
B a y g i o’ t a c h u y ể n s a n g n g h i ê n CTỈU c ắ c t o ẫ n t ử đ ố i n g ẫ u c ủ a
'1—f
toẵn tồ sinh ra dç> đo p-ổn định.Kỵ h ỉ|u 1 Ip (E*,x ) là tập
cẩc toắn tỏ T : E1 —ỳ X sao eho T * : x # ^ £ lầ ọ-tong ho,
• p ?
2.6. Định ly : Giả sỗ 1 < p < 2.Cắc khang định sau tương đươag

ỉ) E cổ lo ại p-ồn định
i i ) T T p (E',Xp ) c j \. p ( E ',X p)
Chứnr; ininh: ỉ) —^ ỉ i ) : Giẳ sử T* là p-tồng hoắ.Gọi J l à phểp
nhung cua X vào L (T,ỉ-i).sỏ dụng định lỵ Kwapien^ôl ta cổ J*T
j p p
là p-phân tích đư^c.vậy tồn tạ i ham F: T —ÿ E sao cho F thuọc
L (T,nf.E) và J(Ta) (F (.),a )
p
Khi đọ II Tall - Il J ( Ta)Il X j ị ( F ( t ) ,a ) ị pdm
T
vậy
expị-||Ta|| ] “ expỊ- j |(F (t) ,a)| ?dmJ
VÌ E cỗ lo ạ i p-ổn định nên e x p Ị - ( j(F(t) ,a)j d aj là hạm đặc
T
trứng của một độ đo trên E.vậy T sinh ra độ đo p-ổn định.
i i ) —
5
> i) Theo g±ẳ th iế t TĨB(E' ,1 ) c - A „ (E ' ,
1
_) .Phin
r p p
nhúng của |.|p(S',l ) vào -A-_( 1 ,1 ) cổ cto thị kía nên lỉên
r p r ?
tục.vậy tồn t j i hằng só c S ũ sao cho
-lĩ-
Giẳ sử E không cọ lo ại p-ồn định.Thoo định lỵ P isie r E chú'a l n
a p t cạch đều.vối nỗi n ,tồn tẹ.i ,::4 , . . . trong E sao cho v ệi
Ìpi , . . . , t ta co
(IIU |r)Vf í II L t„O I ị a.(llt.lr)V'
xểt anh xa T : E* —^ 1 đươc cho như sau

p
Ts. Ị 9. ) , ‘>J 5 0 , • • ^
Khi đo vỗi s r (ổ,.) è ta cổ
nT*GII ^ z [ ỵ \ \ \ Ỹ)'e = ^ [ 1 Uj,*oiM p
¿
tron:; đổ V là đọ đo xắc suất trên hĩnh cầu dđn vị s của 1
7 4 o
VÌ thế do định ly Piesch
Tfp(T*) $ 2nVr
Mặt khắc y
(TrCT) *ỊĩllI>:nC « ' ] % [6(II6 "V )%] V ^ ( ^ r ) Vp
TĨỈ (1-3) ta suy ra
4/p Ạị
CQ(n l0£n) ^ 2Cn ^ vỗỉ n đủ lỗn
Song điều nay la VC lỵ.vậy E cỗ loại p-ổn định.
<3¿(t) ^ c TfpCT*) (1*3)
Bay giò’ chúng ta sẽ đặc trưng những >hong gian Banach mà ề đỗ
mỗi toắn tỏ sinh ra đọ đo p-ồn định sẽ cỗ đối ngẫu 7)-tong hoẩ.
rly.c đích nay dẫn ta đen khẵi ni|m sau
2.7* Định nr;h ĩa : Khong ~ian E được nọỉ là cọ đốỉ lo ạ i p-ổn định
(0 < p ^ 2) nếu vSi mỗi dãy (x ) trong E sao cho
(a)
Ị 2) nếu vSi mỗi dãy (x ) trong E sao c]
1 - expị- £ |(xn,a)| Ị { 1 - JU
vối mọi a £ E1 va. jVA nao dọ thuọc H (E) th ì X M < 0 0 .
¿♦3»£ậnh l ý : Gỉẳ sỗ 0 < p ^ 2 .Cắc :hẳn£ định sau là tương đươĩi£
i ) E co đoỉ lo ạ i p-ổn định.
ỉ i ) J V p(E',X p ) <c T í x? )
CliLỈnr 'linh: i) -■* ỉ i ) Gia sử T là toạn tử sinh ra đọ đo
p-ổn định và giẫ sử (& ) c sao cho 2.1« Gn »x )lp <

0 0
vỗi moi :: £ X .Ta sẽ chổng minh 2, Brr*g II < oứ .x ểt toắn
tỗ S : X > 1 xắc định như sau
p p
Sx „ { (ẩn ,x )}^°
s là tuyến tính liễ n tue và s*e s ■ (e ) là dãy vecto đơn vị
n n > n
Ta °' II STall <: ị|SịlP|ỊTaị|P (1-4)
Mặt khắc
|ST a f= 2 l(STa»en)l ' = £ | ( ^ e n, . f (1-5)
Giả sử JUL là độ đo ổn định vối hàm đặc trưng
jû.(a) - expỊ-ỊsịplT all j
TĨf (1 - 4) và (1 - 5) ta cổ
1 - expỊ- ị(T‘S*e ,a)Ị °J ^ 1 - jíX(a)
VÌ E cổ đối lo ạ i p-ốn định nên
s»e. || = £ | | t % || < 00
i i ) i) Gỉẳ sử E khong cỗ dối lo ạ ỉ p-ổn định.Như vậy,tồn
tạ i đọ đo p-ốn định JU và dãy (x ) thupe E sao cho
a )
-1 2 -
ĩo p-ốn định JU và dãy (x ) thuọc E
1 - expỊ- £ Ị(xn,a)Ị } « 1 - jCL(
V&L mọi a nhưng £ (I X II «
(1 -6 )
n
G±ẳ aử jCL ( a ) — exp j- I - II J s đọ T: E* ) Tjp la
bao kín của TE' trong L -Khi đỗ X là not khons gian con đọnc
• p r p
của L va T A A_ (Ef .x )*Ta sẽ chỉ ra rằng T* khong là p-tSng
p c -#wp

ho ắ.xểt toan tỏ B: E! 1 dtươc cho như sau
p
Ba r Ị(x ,a ) j
Ta xạc định toắn tử V : TE* 1 bằng cắch đặt
V(Ta) d Ba .
V xắc định đung đắn-Thật vậy,do (1-6) ta cổ
|lB (al - a 2 )|l Ặ ỉ |T ( a 1 - a p )|Ị
do đổ Ta — Ta keo theo Ba^ n Ba^ .
V là tuyến tín h ,liê n tục nên V thắc triể n đươc liê n tục lên toàĩ
X va ta cổ V6T =1 B .Tồ do B* - lằ p-tổn£ hoắ nên
là p-tong hoặ.vậy £ l B*enll - 8 xnll < oa .
Dieu nằy trắ l vSi (1-6) .vậy T* khong lằ p-ton£ hoắ*Định lý
đ ú ý c Chung m inh.
¿♦9»Định l ỵ : Ngu aSi đọ đo p-ổn định trê n E là ẳnh lỉê n tục
của mọt đọ đo p-ổn định trên mọt >hSnr gian con đổn£ của L
p
th ì E phải có đối lo ạ i p-ẩn định*
Chưn " "Inh : Ắp đụn£ định lý trên ta sẽ chỉ ra
-1 3 -
Giẳ s ử T sinh ra đọ đo p -ồ n định JUL . iẵ t h i ế t JLC SS v( X ) t
vơi A la m$t đọ do p-ồn định tren khong gian con đổng s của L ,
p
V là toận tử tuyến tính liê n tục tĩỉ s vào E^Khong £Ỉẳm tons quắt
- I tị-
cọ tue gia sử V lạ dơn ặnh,do vậy V*(E') trù nật trong S '.Gia
sỏ >(s*) - sxpj-JHs'll p Ị
:':hi 1 ' p.(a) - exp [-|T a |pJ = exp[-||HV*a||PJ
Suy ra Q Ta (I =1 II HV*a I vSi -AỌ± a £ E1 (1-7)
Ta định nghĩa toắn tử W: V*(Ef ) X bằng cong thốc
w(v*a) s Ta

w được xắc định đúng đắn*Thật vạy,nếu th ì do
(1-7) 0T(a1 - a ^)|| s ịịHCV^ - v*a2) I s 0
nên Ta s Ta . w la tuyến tín h ,liê n tục,V*(E') trù mật trong S'
nên V/ düÿc mẫ rọng thành toắn tử tuyến tính lie n ty.c xạc định trêĩ
toàn Sf và T : wê V* .Mặt khắc
A(sf ) - expỊ-jHsfl| J =r expỊ-|Ws*ị| J
Vạy w là toẩn tử sinh ra độ đo p-ổĩi định trên s.v i s CC đốỉ
lo ại p-ổn định nên w* là p-tõng hoắ do đổ T* - V V/* cũng là
p-tSng hoắ-Định lỵ đư^c chổng -flinh.
I I I . Ilion,: ¿¡lan CO đ ồi l 0 £ i ">-011 ctịnh
T iế t này dành cho v i|c nghien cưu khong gian co đối lo ại p-on
định
3.1 . Định l ỵ : Cắc khẳng định sau lằ tương đương
ỉ) E cổ đối loạ i 2-ổn định,
i i ) E co đoi lo ại 2.
Slìâ&I
_
lisỉìl ỉ) “•) i ỉ ) Giả sử (x ) là dãy trong E sao cho chuỗi
V X 0 W hoi tụ h-c-c-Ta phẳi chứng minh Wx * < oo
la phân bố cua £ X 6 ^ .Ta cổ (U. 6 v&
~ n ri J
ju (a) - exp Ị- ^ Ị(xn ,a)Ị J
TÌỈ định nghĩa rut ra ^ |1 X II < oô .
i i ) i) Giẳ sử (x ) là dãy tron£ E sao cho
n
1 - expỊ- ^ |(x ,a)Ị j ^ 1 - JU (a) (1-8)
vSi nọi a E1
Gọi V la đọ đo trụ Gauss vỗi ham địíc trứng
^(a) r ex p Ị- ^ |( x ,a )| j
TĨỈ (1-8) ta cỗ

1 - ^(a) ^ 1 - jCL( a)
TĨĩ mọt định lỵ quen b iế t về đọ đo trụ Gauss ta suy ra v> 1 à nọt
đ£> do Gauss.Theo định lý I to-Nỉ s i 0 ta cổ chuỗi họi
p
tụ h .c .c .v ì E cổ doi lo§đ. 2 nên ll < oo .
3»2»Định l ỵ : Neu E cổ đối loại p-ồn định th ì nổ cũng cỗ đối loạ i
q vSỉ p < q.
ChSnr; , -inh: Gỉẳ sử T £ A (K ',x ) tức là exp ị- UTe. II ] là
q q i J
ham đặc trứng của mọt đọ đo q-ổn địnluDo định lý 2 /I I / khi đỗ
expỊ-IIT ã Ịp jcung lạ hạ» đặc trximặ của mật độ đo p-ổnđịnh nếu p < q*
VI E cỗ đối lo g ỉ p-ồn định nen theo định lỷ 2*8 T * là p-tổ&g
hoa do đổ là q-tồng hoẵ*T^ định lỵ 2.8 ta cỗ E cổ đối lo ại q-ồn
định
3«5«Định l ỵ : Neu E là mọt S-khong gian thỉ. E cọ đối lo ại p-ổn
định vối mỗi 0 ^ p ^ 2.
-15 -
ChiSn^ minh: Gia số (x ) là dãy trong E sao cho
— *— u

n
1 - expỊ- ^ |(x ,a)j J 1 - ju(a) (1-9)
vỗi r.iọi a Ế E1 va jut la. đọ đo p-on định*
Glẳ sử z là s-topo trên E'.TÙ’ (1-9) ta rụ t ra
3(a) = expị- ^ICx^a)! Ị
là ham xắc định dưdug, Tỉ -lie n tục và v(o) — l.v i la s-
khong gian nen v (a ) là hầu» đặc trưng cua mọt đọ đo xắc s u ấ t.
Theo định lý Ito-N isio ta co ctoSl 2^ X ô ^ h$i tụ h .c .c .v ì
p < 2 nên ta cổ 2 N < 00.
3. 4.HS quẳ: Mỗi không gian con đổng cua L (1 í 8 < 2) co đoi

- ’ s
lo§l p-on định vối mỗi 0 4 p g 2»Khong gian L (s y 2) khS&g CC
đối lo ạ i p-ổn định vỗi bất cổ p nào.
3*5*Dinh l y : Neu đồng tho’i cỗ lo ại p-ẩn định vầ đoi lo ạ i p-ổĩi
định th ì E nhung ctư$?c vào L .
Ghứnr; ninh: sử dụng tiêu chuẩn Lindenst rauss-Pelczynski ta sẽ
chống minh rằng: Neu (x ) Vä (y ) là hai dãy trong E sao cho
n n
X, l(v a)l 4 Z, l(v a)l v5ỉ mpi a É e/
và 2 11 ynilp < o0 (I-IO)
thì £ \\ X |Ị < oô
Thật vậy ,siẫ sử (x ) va (y ) lằ hai dãy như vậy trong E.vì
E cổ lo ại p-on định nên chuỗi V y họỉ tụ h .c .c . Gọi ẠX,
- 1 6 -
là phằn bố của ^ -Ta cọ jx là đọ đo p-ổn định va
ju.(a) = expị- 2 |( y n,a)ị Ị
TĨỈ (I-IO) ta ru t ra
1 - expỊ- £ ị( x ,a ) ịpj ^ 1 - jU.(a) vệi mọi a ér E»
VÌ E cỗ đối lo ạ i p-ồn định nen I < oớ .
3 »6»H§ quả: Xhong gian Banach cỗ đốỉ lo ạ i p-on định vSi p < 1
thì cổ thể nhúng được vào L .
p
Qụẳ vạy,vi mỗi :honj gian. Banach cổ logđ. p-on định vỗi p < 1#
5 .7 .HI quẳ: Khong gian Banach cổ đoi log1 p-ốn định m p < 1
v à cổ t í n h x ấ p X I m e tr ic l à s -k h o n g c i a n
3»8»x>inh l ý ; Khong gian Banach E đồng thc?ỉ cổ lo ại p-ồn đ^ĩh
f
vằ cổ đối lo ạ i p-ồn dị nil (1 ^ p ^ 2) nếu và chỉ nếu no đẳng cấu
vỗi mọt khong gian con done cua L rS đ | q t 2 eu p s 2 vầ

<1
p < q < 2 nếu p < 2.
Chun : linh: Khẳng định ’nếu1 suy tù’ định lý 3*5 và định lý
Hoseltanl / 14/ .Khẳng định 'chỉ nếu1 suy tí? h | quẳ và sự k i|n
L cổ loai p-on định s đọ p s 2 ncu q JJ 2 và p < q < 2 neu q < 2 .
q '
Định lỷ 3.8- nỗ rộĩi£ myt kết quẳ của Kwappien / 6/
3- 9• Định l ỵ : Neu Ji: cỗ M-đồi lo ạ i p (theo nr.hĩa cưa Mouchtari / I I /
th ì E cũng co đoi lc ại p-on định-
ủ ' "S-'.I- : Gọi 5\ La 1 a t tre 1 tặc t
của tấ t ca cắc đọ đo p-on định trê n 2 l i ê n tục.E đước nỗi là
Ị TOONG •^I^OCTONG HỌẼrtANO- ị
e l M-đốỉ lo ai p neu nỗi hàn F xắc địnli dứđng, <r - liê n tục và
i * - * 0
F(0) s 1 lầ hằm đặc trưng cua m ọt đọ đo xẩc suất trê n E.
Cắch chiỗng linh tương tự như chú’ng minh dịnh lỵ 3*3*
'ì .IC. Di h ly : Giả sử TD < q, q > l*Khi đổ ten tg l khõng gian có
đốỉ lo ạ i q-ổn định nhưn£ khong cỗ đối lo ạ i p-on định.
Chứng .V : Xet ho (1 ) o đó q ) > t ) , t y 1.
s t
định lỵ 7 /II/,l:hong gỉan 1 (1 ) cổ M-đốỉ loạ i q nen co đối lo ạ i
s z
q-on định.vỉ. 1 cổ lo§± p-ổn định va s ) p ê (1 ) cỗ 3 oại
"fc s t
p-ồn định.Neu nó cỗ đối loạ i p-ổn định th ì theo định lý 3*5 nó
nhúng dtư^c vầo L • Nhưng như đã chỉ ra trong / I I / } 1 (1 ) vệi
J) s t
s S t khong nhung đưđc vào L .Vay 1 ( 1 ) khong cổ đối loại p-ồn
f p s t
đ ịn h .

-1 8 -
D ÍN G Đ IỆ U TIỆM CẬN CỦA MARTIN GALE
ĩ . i l a rt i n n a le t r e n ':hon,; ■ ;lan cổ t í n h -:ad on -:!l'-od i-i
Gia sỗ (Jl,3r,p) là khong gian xẫc suất cơ sS,E lằ không gian
Banacb^ỵ hiçu L (il) là tập cắc biến ngẫu nhiên E -giắ t r ị sao cho
'0
HXII < o0 .Giả sỗ ( ĩ ) là. dãy tăng cắc Ç* -trüo’ng con của ĩ .
Dãy (X ) thuọc (E) du’ÿc gọỉ la nọt Martingale E-giặ t r ị nếu vễl
mỗi n, X là 7 -đo đươc và
n n
E(x /% ) s X h .c .c .
n*rl r\. n
E đư^c nổi la cổ tính Radoĩi-Nykodin(tính. R-N) nếu vỗi mỗi đọ
do Jtt xắc định trên cắc tập Borel của đoạn [0,1] nhận gỉắ t r ị
trong E,cỗ biến phẵn g iỗ i ĨIỌỈ th ì
JU.CA ) r \ f ( t ) d m ( t )
A
trong đọ f : £0,1 ] E là hàm khả tích Bochner con ni là biến
phân to àn phần cua JU.
Cạc khon£ ¿lan phần xạ, cắc khong oi an là đối n^ẫu của ••■Jt khõng
:;ian kha ly cể tính M L T resf khi đọ những khSng gian như 1
Co’ L1 ,Loồ -kõnc c? tính R-N .3au đây là Igt đặc trưng hình
học lý thu của tính R-N
ĩ . ĩ «Định l y : Kho nr ¿lan E cọ tính lĩ-N khi và chỉ khi mỗi tap con
giỗi nọi cua E là tập nhọn.
-1 9 -
GHƯC "G II
TÍnh R-N co liê n h | mật th iế t vỗỉ cắc tính chất họỉ tụ của
Martingale
ĩ»2«Định lý : [5] Cắc khẳng định sau là tư ơn/, đương

a) E cố tính H-IT
b) Mỗi Martingale (X ) jil-£ỉậ t r ị thoẳ nãn đieu k i|n
n
sup E|x II < oô
sẽ họi tụ h .c.c . (theo chuẩn của E)
c) Moi Martingale (X ) E - £ ỉ ậ t r ị kha tíc h đeu sẽ họi ty. trong
L (E)
-2 0 -
d) Mỗi M artingale (X ) E-giẩ tr ị thoẳ mãn điều kiẹn
sup IIX II < 0 0 ,p > 1
sẽ họỉ tụ trong L (E)
p
Cho (X^ ) là mọt Martingale E-giậ t r ị thưọc L (E),p "ỳ l . K h i để
^ II X H ^ là nọt su taarting ale thự c.x ểt khai triể n Doob của nổ
1* a = » l?) 1- ¿ %
A ^ là 71$ t dãy tăng.Đặt — lim A
ĩ .3»Định l y ; Gỉẳ sử (X ) là Martingale E-giậ t r ị thuọc L (E) và
Ĩ1 1 p
X — 0. -Chi đỗ
0
a) sup Bx ft = E
1 \ ' , ( l"1 ) . /
b) v oi p ) 1 vả s A w < oo ta cộ
E sup
I II $ ( p /l - l) p ] A ^ }
Chứng ::lnh: Tồ coĩir thức truy hồi xắc định A ỵ ta cổ
W
'21-
= Ị II w II ■ Il : I / ? -J
Do cto vol p s i

a ' ” ’ - 0, A<*> - . «
n-H rt
sup I II - su A ^ } -
V ơi
p ta cổ (xenỊl
L sup|x II £ (p/p -l) sup 1 11X II =
r (p /p-l) supl' - (p /p - l) PE A 'qq
TĨỈ định lý 1.2 va 1.3 ta suy ra
1,4 «31 il!1- l ý : Gỉẳ sử 1. cổ tính 3-N va (X ) là M artingale thuọc
L (E).iĩếu E < oo th ì ( c ) họi tụ h .C.c. và hgi tụ tro n
L (E) neu > 1.
p
Ĩ •5»Bjnh ly Cắc khẳng định sau là tương đương
a) E cổ tính R-ỈT.
b) Vối mỗi M artingale (X ) thuọc L (E) ta cổ bao hà'.i thức
h* c . c
.
ir ti r r a le (X ) thuọc L (E; tc
Ị Aoo < 00] c { ;:n — > ]
Ị : ù-nil : a) b) v ỗ l mỗi a ) Û ta x ể t thcìỉ điểm dồng
• í A(p) p ?
Iin t n: A^Vi > a )
(p)
p
K*i
> a
M
A(p>
neu
n +1

T -
a 1 " ^ p «
öö neu ' < a voi moi n
n-H x r
3t dãy (X A T ) . Đo là aọt M artingale vol dãy tăng tương ứng
• » 3.
(t>)
la (A ^ ^ T ).Do định lỵ 1.3 ta cọ dãy (X ) hội tụ
h . c. c . Ta co
(p)
Do đổ
Xn * T = ‘n. " [ = • » ] = ( * « í }
{ * - * *P J c { x n - - - > j
TĨỈ dọ I^Aoo < oO Ị = [ a * $ a ị c [ ^ h .c .c .
b) a) Đầu tiê n ,x ể t tru’o’ng hç?p p r l.G iẫ sử (X ) là M artingale
E-giắ tr ị thoẫ :nãn điều kiện
sup I x 1 < 0° •
n
Ta cỗ E : sup }(:. II < 00 *v|y <0 0 h .c .c . TÒ
bao hằm th ứ c Ị < o o Ị c Ị ^ t a s u y r a la y (X )
họi tụ h.c.c.Theo định lỵ 1.2 E cỗ tín h K-N.
x ểt p y l.G iẳ sử (X ) la Marti - ;lắ t r ị thuọc I ( ) thoa
lãn điều k ỉ|n sup E |x ]Ị < oo
Ta cọ E a 2 a sup E(x |Ị^ < oo «Vay A 2L <
00
h .c .c . Î iẳ
n ^
th iế t ta suy ra dẩy (X ) họi ty. h .c .c . tS ỉ :nọt bi ẩn ngẫu nhiên
E-giẩ t r ị X.Do bo đề Fatou ta cỗ
IX# £ l i 1 E| X II < 00

n
Mft -hác Hxn - xflp Ặ 2P_1 (supix ||P + u :|| )
Do định lỹ ĩ . 3 và định lý hpỉ tụ chặn ta cổ
lim E II X - x|| s 0
n
vậy dãy (X ) họi tụ tố i X trong L (E).Theo định lỵ 1.2 ta cỗ
E co tính R-N*
1 .6 .Đinh lý : Giả sử (X ) la M artingale E- ±ẩ t r i sao cho

M- n '
E su pỊ xn|>1 - X J r oo
Khi đổ ^ Ị c Ị ^ 00 ^ ° ° j h • c . c •
Oh*': - â n h : xểt thcJi die™ đĩỉng
-22-
T -
-23-
[ : I \ I > }
Doob
của 11 X m 11
" n A T 11
a
«—Î
n ’ =
E Atp)
n A T
'a
a
■ lĩ Ị
T ^ ml .Trên tẹ
IV

A ^ rn «Vạy ta cỗ E || X
n A T n
Ta cỗ I X I $ RP trê:
il A T ^
a
ta cổ 11 X m a - |l X II $ 2‘ (ap \ sup|x - X II )
n A T 1 T 1 * n n-1*
a a
E a£P> z l i a £ ACP\ . = lira : flx r„ 11 $ c
T n A T n A T
a a (
vậy < O
0
h .c .c . vối nỗi a. vì A ^ trên
a a
|T c ooỊts Ịsup|X r ll ^ a j nên
Ị su p IX II ^ a j c Ị Aoo< 00 ] h .c .c . v ỗ i n ỗ i a .v ậ y
Ịsupịx u < ooj c Ị^A ^ <, ooj h .c.c* Suy ra
{ cn > }< = Ị Aoo < * ] h-c-c -
ĩ»7»Bịiih ly : Gỉẳ sử E cọ tín h R-N và (X ) l à M artingale E-giầ t r ị
sao cho Ẽ supllx , - A |l“ <
00
11 Ĩ1Ỷ 1 n11
Chỉ đọ Ịx n -* ] = Ị A 33 < 00]
Chứn0 linh suy tì? định lỵ 1.5 va 1.5.
■■ậ
II. 'ĩa rtin .alc tren . ,;ian trdn c/HiO.ồi. ^ '0
a sử ] la khong gian Banach.ĩ đữ^c nổi l à p -trớ ii'đ e u (l ^ p < 2 )
nếu ỹ(*c) » 0 (Ị ) , ỗ đỗ ỹ (% ) la aodun trơn cua E*Khong p.an
đưj?c gç>i là p-trơn đều hoẩ nếu E cổ thể định chuẩn tương đương

để trỗ thằnh mọt khonr gian p -trđ n đều.
Chong gian E đự£?c nối l à q -lồ i đeu (2 £ q. <
00
) nếu tồn tạ i hằng
30 K sao cho ¿'(6) s K ỉ . E U'/.'OC noi lằ q-lồ i đều hoắ n?u nổ
-2 4 -
co thề định chuãn tương đương để trỗ thành ìiọt 'chong gian q -lồ ỉ
đều-Định lỵ P isie r sau đẫy cho ta đf.c trưng của ’.thons gian p-trơ n
đeu hoắ vằ q -lo ỉ đều hoẩ qua /nọt b ất áẫnc thức lartỉngale*
¿»ĩ «Định l y : Cắc kh?Jig định Gau là tương đương
a) E là p-trơn đeu hoắ.
b) Ton t ạ i hầng 30 G ) 0 sao cho vối mỗi M artingale E -giẳ t r ị
(X ) thuọc L (E) ta cỗ
2* 1'. Sịnh ly : Cắc '.diẳng định sau lằ tươĩir dương
a) E lằ q -lo i đều hoắ.
b) Ton t ạ i hằng so c ) 0 sao cho mỗi M artingale E-giạ t r ị (X )
n
thuọc L (E) ta cổ
p
q.
n p
2 5 -
[ B » < Oûj c Ịx a - > Ị h .c .c .
3) v ỗ i n ỗ i M a r tin g a le (X ) th u ọc L ( i ) th o ẳ -lãn đ ie u I iỉ |n
n '0
s ẽ h ộ i tụ h .c.c.
Lị) vSi mỗi M a r tin g a le (X ) th u oc L ( :) th o ẳ lãn đ iề u ldL§n
n p
ỹ n"p E II : - A
/L, n+1 n

s ẽ tu ẫn t h e o l u ậ t s ố l ố n .
V ị p < o o
y /:- ~ ; ' îh : I ) —$ 2) Do định, lỵ 2.1. ĩồn t ạ i c > 0 sao cho
A l ĩ' X c B' ' vSi ;oỉ n
Do đổ
(p) <
rv. V
c
B(£>
(p) <
n
J
00 V
\j
< 00 j c
v ậ y { b to < 0 0 ] e { a (¿ < 00 ]
-IhSn¿ gian p-trơn đều hoẩ lằ phan xẹ. do đó cỗ tính K-N.TỒ định
lý 1.5. ta cọ [ B o„ <*<»} c Ịx —ạ j
2) —> 3) Ta cọ
E B » - I l w - :n» < “
(p)
v ậ y B < oo h.c.c.Do đổ họi tụ h .c.c.
3) —) k ) Ta x ễt dãy (Y ) như sau
Y r 0 , Y s i f 1 (X A - X )
o n n 41 n
Đãt u • S' Y . Dãy (Ư ) la -lot M artin g ale.Ta cổ
n 4 k n
I « V * - = z ° ' l x» . - % # < “
VẬy u hffi tụ h .c .c . Theo bổ đề Kronecker ta cỗ n 'X họỉ tụ
tối 0 h«c.c*

lị) —> I) ĐÕ là .:iọt định lý của Woyczyns.'ti [
1 7
J