Một số định lý giới hạn dạng luật số lớn trong lý thuyết xác suất không giao hoán

[

I-l^^C

.g A,,U

Trong the'i g i a n can day, l y t h u y ê t zec suât không

I

g i s o hoan (hey coe gpi l e xac suât t r ê n d^l so von ire-jmann,
X8C s u i t lu^vng t u ) phet t r i e n m^nh me.Sy phét t r i e n n a y ,
mpt m^t l à do nhu cõu phet t r i e n n ỗ i t ^ i cua crdnh r,£at.h
l y thu\^e-t xéc suât m|'.t khéc l e do nhu câu urj? diing t r o n g
ợ^

.

'"

,

v^t l y luỗi'ng t ỷ . Kgoei re con do sy phet t r i e n t^^nh T.e c

»

i-a

l y t h u y e t d^i so cac t o a n uU.
Trong l y thuyTrt xsc suât kh5.ng g i a o h o e r , n h l ê u
qua ce ban eue l y

l:lt

t h u y e t r e e s u â t co dien kl'.ônr cca d'ong

n u e . Chang h^n su ton t ^ i ky vyng co dieu k i ^ n C^ mỗt

dpi

so doi vc'i riot dei so eho trur^'c ; t i n h cỗn^ t i n h eue phep
V

'

^

'^

"^

,

*

"%

J

^

chuyen que gio'i h^n. . . . knong con l a r.^t vàr: de hJ.én nhien*
ïïguo'i

t s cung khoag t h e noi ve mex, min, sup, ir^i c*aa cee

toar: tu nh^r: g i e tin. khong khong g i a n r l i ^ o e r t , Tirjh ^^Srj^\-ii
g i a o hoan eue cec t o a n tu dôi "^TO'i phep nh^n, v i ^ c không t o n
t ^ i m^t khcng g i a n xac suât co' ban curig l e nhung vân de gay
kho khan eho vipc nghien cuu. < . Tat ce nhog dieu do c::u'ng
t o ran^::. : de r^ghiên cuu l y t h u y e t zec su?.t không g i e o

hcfn,

cân p h a i co nhurzg cong c;i n^-i va phuo'.a,": phep mo'i,
Lu=n en ney t r i n h bey rn9t so k e t qvc n-grden cuu- eue
-chiing.-tôi^ ve 'l-^^t co d^nh l y gic'^i h^n dang Lug-t so Ic'n
t r o n g l y t h u y e t xỗc s u õ t khụng gi^^o hoan^'. \:-<^t v i n de ở?-^s

/^

ã?

day duỗ'c n h i e u t a c g i e ' ouan tâ^;..
Lu^n an gôr. 3. c h u c n r , Trong ehut)'ng I^ sau k h i

gioi

t h i f u mpt cach tong quan vâti ce se à : v c nghien cuu \ chilng
t o i t r i n h \:B^' mft cach \Av. t | t

cac k h é i râ.^iTi co ban e u e l y


t h u y e t xac sua^ khong g i a o hoan, can t k i e t chc v i t e nglrl'in
cuu cee chuovrig sau. Do l a cac k h e i nifrr. : XJ^~^. SO vor: ::eu:
in'-t r p n g t h É l s v é t , dpi so do du^c , c a c à^i:i^ hpi tp^ t i n h d;;c
l ^ p cua Cac t o a n tu do QU:Ç'C , ky vpng co d i e u k i ^ n ,
...

c -

'-— -• -.es.

Doi vo'i cec k h a i ni^n: do, chung t o i cô g^'ng t r i n h br^j
*

é

*

'

'

^

'

ngân gpn nhat tron-g chun^-: myc co t h ê d u ^ c ITgoei r e , c.:u.ng
t o i cung nêu therr. mÇ-t so t i n h c h a t , nh^n x e t ma chung t c a

se su dyng ve sau.
tằ

^

/

>

/ã

Trong chuo'ng !Eô-) da ngliien cuu myt so dT.nh l y g i c i
h^n ^^':ig, luflt B6 I c n dôi SK'X day va day nliieu c h i sd cac
t o e n t u co dup^c dôe l ^ p . ô tỵ\: cac d^nh l y g i o i h^n duỗ-c
'

'

"

y.

^

'

^

x e t vc'i nhu'ng hyi ty. hõu deu, hỗi t y hâu deu h a i p h i a , hỗi tvi t h e o n g h l e

n s u - R o b b i n s - Cec Ket QUE cua chung t c i eho day nrj.êu c r u
so l e cac k ờ t qae dau t i e r . thuỗ^c à^n£ xie'j t r o n g l i r : h ^yc
xac s u â t khong gieo hoen. Cec k e t que khee cung l e nhung
mo' r$ng dpng ke rriỗt so k e t que moi x a a t rJ.^n gà,n. day.
Chuo'ng 3 cung t r i n h bey mỗt so dinh l y gio'i h^n d^r^
l u ^ t so lo"n nhung l a doi voâ m e r t i n g a l e . . t f day, chung t o i
de t h i ê t l ^ p duỗằc nhun-g dieu k i ờ n du eho sy hỗ t u hõu d i u
h e i phi a va h?i t ^ t h e o dp do cua t o n g co t r p n g lv?ỗ^ng va
datig t o e n phu'o'ng eue m a r t i n g e l e h i ^ u . céc k e t qua eue chung
t o i ûio' r-png msjt-^o-keir-qW'tuovng ung t r o n r t i w . n g hj'p zec
s u â t co d i ê n ve cung l à nhung k e t qua dâu t i e n t h u p c dỗ.ng
nay tr-cng l ï n h vyc xac s u i t khong g i e o hoan.
Phan lo'n cac k ê t qua cua l u ^ n an da dug'c bao c a c •^ po .
to
xemine cr : bf mon xéc s u â t thong kê khoa Toan-Cc-«Tin hỗ
X

^

T i w ù i g 5fci hpc Toùiấ \q-ự Ha i:?ivs fie àutj- ccflc bo t r o n g


h

c-^ /

se eotij;
*

5

•*

?

*

L'ae g i e bay t o I o n .

,

/ . .

L.J.-Z.<.

^

T i e n s i i'.-gayeri jjuy ^'len ve m o
da ôenh n h i ê u t h c i g i a n ,
gie
lU'C m en l u a n a '
•- ^ .

^

o n

^

w>au

-

-^

£r,C

^

.

I

LJ.._c. V

^

.

^

- O _.

.

-_c-

*

^

nun.
u-iao su zj^.r^ nw^^^

'"1 >

>• -'

. - c --

CLO

cor.£ suc hucng dan

X rC

V

7

s

f

7

0

^

*
Tan g i a e n a"nn tt.hff>n"r- ca:n CTL op -non xa^ C ^aà.X t h S n ^
h a n n nr-""n r.*n on ' i o n T A
1 •,(-1 p n
:mê.n 1Q- Va dcn^
n i-pe
OfT:
k h o a Toan
gop n h i ê u y k i ê n veo bar. l u ^ n an n a y

Trc

bav t o l o n g

Van Thu. cac nho

oie'

CT. c h â n

thenn
r^UU U-l

-\

CL:-

on

•\r.

'-' — "^
gu-v^ên Vàn Kung, ^"~ en T; an, u-i an^ va cac c ^ n ce
cac an.
guy
^:nac ne l u c n l u o n opng v i e n va t ^ n t m n g i u p o c t a c g i a
t r o n g cua t3rinh*rhv'C h i ^ n l u ^ n P^TL.


-

^

-

Ghuc'nf: I
ã MOT SO KẻUI : : i M VA KET QUA LIEIT QUAI^^
11 ) IThu da b i e t , t r o n g l y t h u y e t xac s u â t , cec dinh l y g i c i
hpn d^ng l u | . t se Ic'n dong-raÇt vei t r o quan t r p n g , ^M-'ci l i e n

VD'i t ê n *tuoi cua nhiêu nha toan hpc n o i tié.ng nhu Kolmogore^
Khinchinjbhebyshev. L'Iereinicievâcs, Zygnumd, i^su va Robbins
• .

•

0

0

0

0

/

0

E h i nghien cuu cac dj.nh I3" gio'i h^n dpng lu^.t so I c n ,
nhiờu dpng hỗi t u da duỗ'c x e t . Hpi t u theo xac s u â t , hoi t'yi
hõu chac chan, hỗi tpi theo ngh^ia Hsu.-Robbins. Cac doi tuv'ng
0

*

0

ằ

0

0

*t

ằằ

0-

duỗ'c xet khong ngu^ng dirỗ'c rnc vovi^. Tr-uc'c h ở t . do l e day cec

dgi luỗ'ng .ngâu nhiên djc If.p vol môirien cap 1 (ve <^ZXJ 2 t r o n g trucng. hỗ'p dey khong cung phan phoi) b^ ch|i.n. Sau do
l a da;' cec d^i luỗ'ng Aợờn n h i ờ n dpc lf.p v c i mô raen cap r
( o < r

< 2)- l'guo'i t e cung khong h^n che c* vi§c x e t cac

d^ng hpi t]i cua day cac t r u n g b i n h cong
.n
^n "

^—
•^

-ne

k = l

ma con mo r^iig ra xet ca Z.TS- cac tong co t r p n g luvng-.cec
dong t o e n phuo'ng.
^%Xi day, nguo'i t a cung de m ằ rỗng dUQ'c m$t sụ' k e t
o
eho dey nh.ờu c h i so (xem / " ^ J
m a r t i n g a l e (xem /"-l 1^7)

C ZJ) J

qua

/"3^,7;.cho

...

Mjic t i ê u cua chung t o i t r o n g l u ^ a an X^BTJ l à n g h i e n cu
mpt so di.nh l y gio'i h^n dpng l u g t so Ic'n eho t r a r à g I^p xec
s u â t khong g i a o hoén. Theo huo'n-: ney, de co i.-igt so k e t

que


Cua B e t t y F + J

Jerte (/"-ir^?

/ " ^ ^ ^ 7 ) iuczek

Cac van de me cec t a c g i a na:-r de nghien cuu l e

(/' •^'-iJ)

• L u ^ t so i o n

eho ^rQ::j ceo toen t u ce cuve d^c l ^ p không cung phân p h c i
( l'^^bj/),
X

luf.x 30 I c n dp.ng r.arcinkievâczygmund ^^C ^

JCL'^^^

-

L^i^t so ;Lc'n d^ngrisu-Hobbins t r o n g xrao'rg hỗ'p dgc b i ^ t

(/.

i\

Ilhu t h e , van con nhiêu vân dé l i e n ouan ^^i\ l u ^ t so I c n chue
duyc g i e i quyêt- Tror^ l u | r - an nay? chung t o i se x e t û.en mÇt
sơ t r o n g nhu'ng van de noi t r e n .

*

0

y

1

^

^

0

0

^

0

0

^

ni^m va t i n h chat co ban nhât cua l y t h u y e t xac s u â t khong
g i a o hoan, càn t l i i e t cbjD vi^c t r i n h bay cac cnu'cn-g eau.
1.2^' C'ia s"3: ri l a không g i a n I-Iilbert phuc ;

:7j(>-) l e d ° i se

( t s t c e ) cec toan t u tuyen t i n h b;_ ch^n t r e n :1. L o t d^i se
con A C.>§(-"-) duyc g p i l e c^i sd von-i^eumann neu A t'^- l i ợ n

ãhỗ'p ( t u e 1 E nêu x tr A t h i x * ^ A, ^si. r.^ l a t o e n t u l i e n hỗ'p
cua x) ; A ch^'a t o a n t u aùr.^. nhât va A dong y eu.
ITh^n xet rang t r o n g djnh rjghia t r ê n ,
0

0

^

•»>.

^

dieu k i g n dong

^

_

y eu co t h ê t n a y bgr^ dieu k i | n dong m^nh : (xem /

?- 7 ) .

1.3) Tfip hỗ'p csc t o é n t u ehn.eu tr^i'e g i s o t r e n ?:. thu-^c A se
duỗ'c ky hJ.êu l e P r o j A. Doi W i hp ( p . ) .
d^t

r

_ CI

Px-o^A t e

J:Z:;7'~V :I

V . Pj_ = V^riév chdeu t r ; ' e g i a o l e n khôn^g g i a n con

i-él
A

. p^ = phep eh_ilu tr;'c gieo lên không gian con

A

p.(H)

Doi vc'i cec phep t o a n t r e n .

Le cun£ co ccn.^: 'cnuc

sau,

t^j'OTie' ty: riiu côn^ t h u c D e - m o r r e n t r o n ^ ; l y t h u y e t t^.p nỗ-'P
(

^'^
e i

n.)-

=

. H e i phép c h i e u p 4 P r o 3 A ,
n ê u t o n t^±

V
p.
1 ^ ^ -

q^ProôA gpi l e tucnc

duo'ng

mỗt phep dlrig cy oỗ v^r^::^ u ^ A s e o eho u * u = p

va u u*'= q. r . h i do t ỗ v i ê t p -

c.

Gie su r t P r o ^ A , p t P r o j A ,
tpi

.

ta viet

r ^

p

neu

q t- P r o j A sao eho q - P ve r l e phep chJ-eu t r ,^ ' ù

ton

o

l ờ n 'cc^ỗt khỷP^ g i a n con dong e u e q ( H ) .
Ta co công thu'c s a u (xem l
P V q - q
Dge b i f t ,

neu.pA c

P = p - p / \ q
tue

3 4./)

*- P - p ^i q

"^P^q e P r o j A

= C thi
- p v ^ q - q ^ 1 - q

= q

le
p ^ q^

1 . 4 ) Ky h i § u A"^ l a t^.p c é c phan t u du-ong c u a A ( t u e
A"*" = ( X ^ A ; ixhjh)

>/

C

Vh ^ H ) . Mot p h i e n h'am t u y e n

t i n h 4" t r ê n A du^'c g p i l a

--f

a) du'ong n e u ^ ( x ) ^ 0 vo'i mpi x
b ) c i i i n h xac n ê u t u x ér A'^

e A*^ - _ -

—

<^(X) = 0 suy r e x = C

e ) c h u ê n t a c n e u vo'i n p i l u o ' i ( x ^ ) ér A"^ x ^
( t h e o t ô p ô mgnh) t a co
0

Hêu

^

^

x e A'^

^ ^ ( x ^ ) 4^ <^x)
0

0

X

S l a phiem hem t u y ê n t i n h duong t r ê n A t h i
^ {n^

ve

f

la

) = 4 (x)

TO'i

mpi X e- A


(y^x)l '^ i ^iy^y)

^ i^^y^^ vol n o i x , y è A.

::êu <^ l à phJ.em hem tuyên x i n n dux.'ng t r e n A t h o e nen
^(.-ỵ) = 1 th-i

1.5) Ta gpi mỗt hốm^ A^ ^

rụ,oo3

l e mpt v e t c h u a n t : c ,

chinh x e c , nue huu h^^n neu.

1.

•^(x+y) = 1:(X) + ^ (y)

2. I- ( Ax) = A Z- ( X )

vc'i m?i x , y 6 A"^

VX e A^

^

>^^ tt3>^^) iv^±

qui

uc'c l e O. oo = 0 ; 00. oo = oo ; .

3. t ( x ' x ) = 3 ( X X 5

^^ e

A

4. Doi \é± mpi x €: A- , ton t^.i l u o i ( x ^ )^<1-A
(theo t o pô m^.nh) seo eho ^ (xc^ ) < oo
5. tù

r-^^-^x

(T^(X).

X t A"^ le (X) = C

0. vo'i moi luo'i ('-r^ ) c A^ ^^,^ ^-^ <- A'^ (theo tƠpơ r^^nh)
"
^
t a co
7.

Z (::c< ) ^ S(:^:).

l (p V c) <5(p) + " ( q ) . r p e P r o ô A
C

^ T ' ^ ^ .

^.

—

—

.^

„ - , ^ ^

^ _ , , ^

^ _

]5 'duvc gpi l e v ê t huu hen. ErJ. do,

^ . , , . ,

Vqe Pro^ A

, . ,

li ( l ) < oo t h i

T co t h e mo x^r-ng- thanl

m$t phiem ham tuyen t i n h duc^ng t r ê n A. B^c b i f t
^

0

?

%

0

'

neu 7 ( l ^ ^ l
^

t h i mo r j n g do l a mpt tr^ng' t h e i , t r 3 n g t h a i co

dvivc g p i

l e t^^ng t h a i v e t , hay vàn t e t l e vet t r ê n A. Doi voà- v e t , '
0

t a co

"T: (xy) = ãf(yx)

%

ƠzfA

J

0

'f-y ^ A

\

0

0

^^ t o n t ^ i ' c u a t r p n g t h a i va t r ^ n g t h a i v e t t r ê n A.,
l i e n nysP ch^t che ùe'd câu t r u c eue c h i n h dcii se nay. Cy. t h
*

r

v

X

0

"^

0

0

0

^

l e '" Tren A t o n t g i t r ^ n g t h e i ciriuàn t a c , c n i n h xec kr-i va


ch-i khj. A l a dpi so von Teum^nn

/C-nuu hf,n. t u e l e t r ê n A,

moi tp.p hj'p céc phep c h i e u tr^-c g i e c l a n nhau deu ce l u e
luỗTxg khụng qua dem duve. [Trờn A t o n t ^ i t r ^ n g t h a i

vêt

chuàn t i c , c h i n h xac k h i va chi k h i A l e d^.i so von Ỵ-Ieumenn
hûu h^n, tue l e t r o n g A không t o n t ^ i ^toen t u p t ProjA seo
0

•%

0

— ^

eho p . l e phep c h i e u t i y c giao l ê n khôr^ g i a n

cdcrvjoon th\rc

SV eue ïï va p tuo'n^ duovng vo'i phep c h i e u ôo'n vj..
1.6) Gie su A l e dp-i so von-Neumenn vo'i vet huTi hgn, chuan
tac,

c h i n h x l c Ij . Tụpc dỗ do t r ê n A l e tôpô eho bc^'i h^ l a n

c ^ không :
^Ht

,h)~

( x 6 A | seo eho ton t ^ i p e Pro-*A t h o a men

llxpfi
7(p)>

i - c O , t > o ; ơyo

Ky hipu c a i day du ia A doi voi tôpô dp do l a A . A
la

- - d^l
X
*

so (tue l a d^i so vo'i phep doi hg'p) va duỗ-'c
0

Jf

^

T

gpi l a d^i so cae t o a n t u do duỗ'c,
j^Tguo'i t a de ch^ ra duvc rang moi toen t u do duyc
X e A thye c h a t l a mpt t o a n t u do.ng, xac dj.nh t r u met t r ê n
0

*

H Va co d^ng
{%)
vo'i \x\
u ê A

X= u IX j

= (x^x)*^"^^ va u l à phép ding ey.' bo phfln t r ê n - n ;
va mpi phep c h i e u pho eue t o a n tu

\y.\

cûng t h u p c A.

ỴTgoai r e A = (f) {^.) {\ A. cụng thue (x) duỗ'c gpi l a phộp phõn
t i e n eue ( p o l a r décomposition) eua t o e n t u x .
Trong cac chiro*ng s a u , chung t e se su dpr^s cac t i n h •
*"

7

0

^

c h a t sen day eue t o a n t u do du-ỗ'c.
e) Vo'i moi t o e n t u do duỗ-c x f i

ve {)0

oYÊ> t r u o c ,


ton t p i p é P r o j A sao eho xp ê A va

b) ITêu £.C
inf

?(p )<è .

0,00) —-> 0 , 0 0 3 l e hW do duỗ'c sao eho

g""^ ( A jOo)

> 00 k h i A

•> 00 ve x l e t o e n t u

do duỗ'c t h i g ( l x | ) l e t o é n tu do d u v c
1,7) Dutri dB.j, se t r i n h bey mpt so dgng hỗi tyi se duỗ-'c s'a'
tror-g l u ^ n en. De ngin

gon va tong qu,at, chung t o i c h i xây

dung cac k h a i .nifm nay vc'i oay .nh-iêu chi. so ; xem dey mpt
ehi so nhu l a tri50'.ng h^'p r i e n g .
De lam dieu do, truo'o het t e dgt '
N

=( n = (n^,

KhJ. do ỵ.
(^

, . , . ,n^^ n^^ ^ N

i = 1, d; y

l e tS.p sa? thu t u bô ph^n -^Tod quan h^

^)S=(m^,..

,...,!n^)£n

= (n^ ,. , , . . - :

n^) ^

m^ < n^

i,C.

l'eu m = "(m.^ , .- , . . . ,m .) v-c- n = (m^ , . , . . . , n , )

thoa

man m i n

t h i t e noi'^m nho ho'n hoge bàng n '* . D^'.c b i ^ t nêu

m.. < n.

i=1,d

ỵleu m

Va n

, t h i t e noi "m nho bon n" \,rg

khong t h o a m.an h^ thuc {-^ t)

0

^

<.

VI e

r>

t h i t a n o i '^m khô

nho bo'n n" va ^niet m 4^ n.
Trên i:

, co t h ê t r e n r bj. phep công t h a n h phân va phép

nhân vo hucng. Cu the l a ,
m = (m^,

nêu

, - . . , n^) n = (n^,.

t h i t a dj.nh nghia

'

m + n = (m, + n , . • . , m. -r n . )
i

l

, . . . ,n^) vè k 6 R

-

u

,

kir. - (km. , . . . .km J

u

I

'

Q

Cuô'i c ù r ^ , vo'i moi n = ( n ^ , . : , . . . , n ^ ^ ) e 11^, k^' h i | u

f n I = n...

n^


i:h^n x e t râlni
,rct(k^I^''

1^^

h s n)

e
I . £ ) Qia su: A l a df-.i 20 Von keuxiann vo'i tr^.ng t n a i vexo cnuan
t i c , c h i n h xéc Z J

l a it - d^i se céc t o é n tu do ựxỗ^o xheo

ngble 'd' nờu trong (X.o) . Te noi day d - e h l so céc t o a n "u
do duvc (x(n) n t- k^) C A hpi ty. hàu deu (hâu dêu h a i p h i e )
den t o ộ n tu do duỗ'c x 6 A khJ. \n\

•

^ 00 vin

vo'i mpi O C

eho t r u c ' c , ton t a i p ^ Pro::A seo eho ~&(p-^ ) < ^ , ( x ( n ) - x ) p érJ
( p ( x ( n ) - x) p ^A)

li ( x ( n ) - x ) p i |
I n \ —>

>C

i^
(

1 ) ve

\lp(x(n)-x)p|(

-> 0 ) . Khi

00 .

Heu thay dieu k i | n | n [
1Jd

00 nc'i Cl eu m e n .ỗi_.

t hi t e d>sỗ c d^. n h l'ig hi e hp i hlo

(hàu deu phai phi a) klii n

-:> .00

oeu

~ > 00 •

Hhê-n x e t rang hpi t y hau deu (hâu deu hai phi a; krm •
^n|

^ 00

chinh l a sy hỗi t u x e t t r o n g qua t r i n h

mex n^.
^ 0 0 . Con hpi t u hâu deu (hâu deu hai p h i a ; khJ.
1 ^i £ à
n
) 00 l e s^;' hpi t u x e t trong aue t r i n h mi.n n^. "—^ 00.
1 < iDôi vo'i day mpt chi so t h i s^^ hpi tyi hâu deu vhaudêu h a i
p h i a ) k h i {"nj — ^ 00

va k h i n

—-^

00 l a mpt. Trong trucTig

hq-p day nhieu c h i so t h i hpi t y hâu deu (hâu deu h a i p h i e )
khi | n )
khi n

—>
—:>

00 kéo theo hpi t]i hêu deu (hâu deu h a i p h i a )
00.

Tu dj.nh l y Egorov, suy r e r i n g céc k h é i ni§m hpi t]x
hau deu ve hpi t y hâu deu hei p h i e l a me rpng t u n h i ê n eue
k h a i niê^m hpi t u hêu chac 'cb^n t r o n g l y t h u y e t xac s u â t
c o di e ,n s


A

K h i A (vé do do I )

le

~m

gieo hoen, t h i

hei-khai

^\

h p i t u hâu dêu ve h p i t y hau ceu h e i p m a

TA^XTI

h p i t y hâu dêu l e m^nh ho-'n. Th^t v ^ y , g i e su'

-^.

f X hau deu k h i In |

x(n) ^
vc'i

oo

Kmỵni

oo) l e t r ù n g nhau. T r o r ^ t r u c r ^ hỗ'p t o n g

(khi n
khội

ni|m

i^o

eho t r u c ' c ,

•> oo ) ,

00 (kixL

-

Vây

T; h i

,

r o n t ^ i p e P r o j A seo eho ^(p"^) < ^

( x ( n ) - x ) p e A va tt(x(n) - x ) p l l

• oo (n^ — -> œ
>

^ o khijnj^

¥ . = TTd ). Luc c o , t a cung ce p ( x ( n ) - x ) p = p [ ( x ( n ) - x ) pje A
vé l l p ( x ( n ) - x ) p i ỵ = llPif -il ( x ( n ) - x ) p f | < | | ( x ( n ) - x ) p [|
—^ oo ( k h i n,

n

tu

eu day
^^~

'-^•a,-'

^

00 ( k h i n

.

-- eec ono (x

jirs^ng t a ' >:: et

>

.

+-T

L. w i l

rié A

n V- o n

-"'^T

nnu v^y l a v i vc'i nnun;_: t r ^ n g -cne

1 o

^

J

e xn^i'c
0

,

•

cac

y)j

ûbi. vo\i t o p o dp do g p i l a

(xem/r£7)

sy h p i t u t h e o

c o . ' l i e u c n u a n s a u a a y t h u o n g duo'c su cyng klxi

.-.^^.i^-.

uu

c é c d-lnh l y h p i t y t h e o dp do :
^

_

A

rm

D&y (x (n)^-riéỵ\^ )-CA
do (ky h i ^ u x ( n ) - ^

h p i t y ôin

x) k h i

(n

t o é n t u x (^
oC' n e u va c

mpi £ > o eho t r u o ' c , mot t r o r ^ h a i d i e u k i ê n
nipn

(^

thuc

t o p o h p i t y m^nh t r o n g hj.nh c â u don v ;

^*5_)_I_^UWIPA-_>/^^.

>

7

k h e e nhan t h i

d ( x , y ) = ^ [ ( x - y ) ^ (x cung ^a:y nin

on

: J . .

1. ' ^

•

s

eno oo'i cong

V-

hp e a u

; h p i zv. ve x nau oeu

t nue myc ;:a.

1
^

^ x

) .

li riiêm h p i t y hâu deu va hp

enet.

met n e

00

au déu V£ h p i t y m^nh co moi l i e n

(x^) cl A hp

on (x^

kni

> oo -¥1 = 1 ,'d •: K g h ï e l a x ( n ) •

hêu deu h a i p h i a khn.in
Giua hpi

^o

:u

eo es
neu voa

dp


^)

^(e^^^^)

( fx(n) - x l ) ) — >

0

khi

!n]---co

i i ) ton t ^ i d^y (p(n) S t K ^ ) C P x o j A sac eho
x(S) vin)

G A va

il x ( n ) p ( S ) |i ^ f

ZivHn)

)
vo'i \v.\ du lo-n.

(o- day, vo'i moi t o é n tu t y l i e n hỗ'p x , e^, (x) 1^ phộp c h i l u
pho eue X, ung vc'i t^p &orel /^ c R).
Trtjo^ng hỗT ^=1ằ "t^^u chuan nay duQ'c cri/"AS 7

( A.'ff ) Truo-ng hg'p d > 1, phép chu,ng minh hoan t o a n

tuo*ng t y .

Tu ( i i ) suy ra r i n g k h ộ i niỗm hpi t y theo dp do yêu
ho'n k h a i niem npi t y hau oeu.
I.IC) TÙ dey d-ehi so (x(n) n é N^) ^

A , co t h i l ^ p dupx:

dav d - c h i so n^'i tù céc tong r i ê n g .

S(H) = n

x(k) = IZ

. IZ ^ ( )
^S

(vo'i ỵi = ( n . , , . . . ,n^) , k = ( k ^ , . . . ,k^)

)

ỵỵeu dey (S(n) né:K^) hpi t y hau dêu (hâu deu h a i pliia)
( v l t o é n t ù X el

) khi (ni

> oo hc£e k h i n

-^ oo thii

t a noi chuụi

^
*ô.

/
5tK^

00

00.

x(n) =
.

y

...

^f^

y

x(n)

fỗiợl.-::./::-":-:;:ã-ã-ã

hpi t y (ve t o e n t u x ér A ) hâu deu (hâu deu h a i p h i a ) kho,
jnj

^ oo ho^c k h i n
0

\

^ oo , tuovng ung.
y

"

7

Z

'

*

*

Trong l u ^ i an ney, ehunog t o i cuog su dvuog de:a cac day
so , e hué i so d- c hx so. Cung nhu t rê n , c hung t e ce t he xây
dyng k h e i nipm hpi t y eue dey sd d - c h i so khi. l n | — ^ oo va
khi n

— ^ oo. De y rëag doi vo'i cnuoi sd duong t h i h e i k h a i


nipn này t i ^ n g ahau. Khi ào',

t e se khcng can ,noi ohuoi hỗ

ty. Ichi ! il i — ^ oo iisy ^^

— ? oo .

»

1.11) Te noi dây céc t o é n tu' do cuve (x(n) n ér i: ) C ^' ^Qi
t p dly dû vl toen t i do duvc r. GI
mpi

i}0

i^l-J- ( n |

^ oo neu vc'i

eho t r a o ' c , ton t g i dêy pnép c h i e u tr^vc g i e o

(ajn) n e l ' ' ^ ) C ProjA seo eho TZl^-^-^^^"^'^ "^ ^ •
^'=-^d
( x ( n ) - x ) q ( n ) 6 A ve fl(x(B) - x ) q ( n ) | ( < £ S^h

e"'^)

Kêt qua ssu day de dup'c chuvng minh cnotruo'nÊ: hỗ'p a= 1
(xem r

\^ J)

vé co thê de dB.n^ suy rpng r e cno truonj^ hp'p

d 7 1 ; l'eu dây (x(n) n ^ i:^) C A

hpi t y dly du vê t o e n t ù

do duvc X e A , t h i day do' cûn^ hpi t y hau dêu den x
(khi (ni — > 00 ) .
^

X

X

X

N

0

^

1.12) D^ng hpi t y cuôi curig me chung t e de e$.p dên l a hpi t
theo nghir Shu-Robbins. Te noi r£>.ig dey t o a n t ù do duỗ'C
A

*w

"

s,

0

t

( x ( n ) n ^ V ) hpi t y ::heo n:_:hiie Shu-Robbins vê t o s n t u 00
dUQ'c X ^ A

khA | n l -—5*00, neu vo*i moi t > ^-

eho t i \ r o c

T£,oo)
neij^
De dang c h i r e rang hpi t u t h e o Tighie Shu-Hobbins l e
mpt àp.ng r i ê r ^ eue hpi t y day du.
1.1,3) Truo'c khi chuyen sang cac k h e i nJ.em dôe If-P, chung t a
can dj.nh n^hie sau.
Gie S'a' A va A duỗ'c xac d;Lnh nhu trcn:j ( 1 . 5 ) . Kh-i do
mpt df.i sd con V cJl, dure gpi Ir- ^ - d^i ?c con cu.^ -"^ f
/

f

'

,

'

?

"

*

IL

so cec topn tu d^ du'p'c A nêu V
.

0

0

dỗt
-

9

tr; l i e n h'/n, c hua t can t u

dong nhat va dong doi v c i t ô pô dp do.


' 0

X

-t

0

ỵ

^

'-

, . 7

^..T

_

Y.\Ji.i, x e t ra.ng neu W - d^i so con cua A t^xi i = ' • ' ; ) • ' '
l à d f i ?.o -/on ^.yeuma'nn con A. Tn^.t v ^ y , t a d o i v i e e chung minh
5 dong m^nh.
Gia su ( b ^ ) C 3

; b ^ - ^ ^ b t h e o tÔpÔ m^nh. Y^y t h i

bêA

^vi A dong m^nh)
l!f.t k h é c , cini£ do \> ^

b t h e o t o p o mgnh xxZv^ t o n ^

t ^ i dey con ( b ^ )

—::* b hau d ê u . Suy r a
k
'^
•''k
b t h e o dp do. B i ê u nay k e o xheo b èr V' ( v i 7/' dong
nk
c o i VO'I t o p o ap G ^
O

vgy
/l A =
Tue l 8 ^ donr msnh. Do l e d i ^ u n h a i chun-r m.inh
Go t h ê kiem t r a tiy^c t i ê p r a n g B

h i n h l a C'^'i so

von Leumiann s m n re d ^ i so cec t o e n t u do duvc W .
1 . 1 4 ) Gie su- A^.A^ l à h a i A - c p i

se

A^ va A2 dpc l^:p v o i nhau n e u v o l mpi a . ^ A- '0 A
ag ^ ^2 -^ -^•'
T ( e ^ . a^) =
Day d - e h l

(; ( e - ) . f ( a ^ )

se ( x ( n ) n ^ IT )

A duỗ-c g

e :

Dp-c l ờ p t u r ^ c^p n e u vo'i mpi m e k"^) n ^ N^
c é c S " d £ i se' ïï^ (x ( m ) ) vé W^ ( x ( ? J )
x(n)

s i n h b e l x(i?J

in t
vé

t u c n g ung l à dpc l ^ p .
i)pc l.^p l i ê n " t i e p n é u vc'i mpi" ỵn é k ^

W"^ ( x ( m ) )

A - dfl

so

s i n h b o l x(m) dpc l ^ p vc'i mpi X -- d,^-.! so

W^ ( x ( k ) k c H) s i n h b e l ho ( x ( k )

; 2 /n)

vo^i - c i Ii < 5 .

n


Dpc l ^ p m^nh, neu c o i vtvi mpi t ^ p k ^ M 0 ỵw^

=
A - d ^ i se v;^ ( x ( n )

k ^ C k^

: n 6 k ^ !' s i n h b o l

hp ( x ( n ) ; n ^ k ) dpc l^-,p ^^'i A - d ^ i se ïï-^(x(n) , n ^ k ^
s i n h b o l hp ( x ( n )
Ro TeriSi
tiep,

)

: n ^^''2''

mpt dey d - c h i se dpc l»~.p m^nh t h i ^dpc l £ p

lien

dôe l ^ p l i e n t i é p t h i dpe I g p tù.ng c à p .
ỵlh^n x e t r l r ^ ,

t r o n g céc t e i l i r ' ^ h l ^ n e o , nguol

ta

chn. t r i n h bày k h é i ni^m doc lf.p eho c e c p h â n t u t h u p c A
(xem C

"T

1 C'^^J "^ ^ dêrj,

do c a c v â n de chung t c i

nghien

c u u dlv. l i e n ouan d l n céc phân t ù t h u ỗ c A; n ờ n chung t o i

da

duTJT cac k h a i .ni|m dpc l ^ p eho c e e phân t u^^r: h u p
h-By-.
t i-y,^nc

A.

d i n h rg:hla cua chung t o i phu hỗ'p v o l miụ h i n h x a c s u â t

co

Cee

a i en
^

0

^

^

f»

0

0

%

^

0

Mpt k h e i :c±pr:: r g n £v± \ ^ 1 k h a i ni^m dỗo 1^-p l e '•'^^c—
rl-^m tr'u'c g i e o . Te n o i r ^ n g da:v d - c h i
l e cay t r u c g i a o ,

sb (xiv.)

neu v c l mpi m ^ Y.^ n (r-Y^

^^i G " ^ ) c A
m r^' n.

tni

7,(>:^(mJ x ( H ) ) = 0 .
1 . 1 5 ) I^Tong l y t h u y e t xéc s u â t ,
d i e u k i f n va m a r t i n g a l e

céc k h é i

niêm ky vong co'

dong v e i t r o r a t eo b à n . I>uol

d$.j

se u r i n h b a y mp u c a e n van " e t c e e k h a i .ni^mi nay e h o l y
xac EUat khong g i e o

hoan.

Gia su A l e d^i sd Von keumenn v o l t r g r i g t h é i v i t
tac,

c h i n h T.^ZI

tlriuyet

cmân

\ A l e ï - dpi so c a c t o a n t u do ùy::<^'o thfX)

n g h l e de n ê u t r o n g

(„-.5),

1 1 - il

Gie su

1 £ r <: 00 • Dgt

= •?( 1 ^ / ^ ) ^ ^ ^

¥x

e A

r
Co t h e chii'nr minh dup'o r a n g
0.

?

1 . ỴL l à mpt c h u a n t r ê n A va A
1

cung vo-i chuânil • \\^ l ? p - h c n h k h c n g r i e n

c;Lnh c : ^ â n .

CÉi cây


"0 "•

' d u eue khơng g i a n dinh

c h u à n nay se dup'c ky M ç u 1 E L ' C A . 6 ^'•

•Ngu-cl t e e ù n r dà e h i r e r a n g co t h ê xem L - ( A , T )
cÙaÀgèm t l t

cà c é c t o é n t ù -Khiu t i ' c h b ^ c r " .

Truo'.ng hp'P r = 2 t h i không g i e n I

(xem / "

X

l à t h u hpp e u e

C ^'

le

ïï(yV-).

df:i so Von keumanji con e u e A va

"f t r ê n B. K h i c e ,

duvc r b i g L'i'B.'Ci)

'^^J),

(A,"? ) c/hJjih

không g i a n H i l b e r t v r i t i n h vô hu:o'ng ( x , y ) =
Bây g i o , g i a su B l à

nhu l à t â p ,co.

Xk,l

)

(

r g i r o l t e de c h u n g minh

1i r

< oo) va t o n

t^i

duy n h l t énh x^ t u y e n t i n h duo'ns, eo c h u â n b à n ^ 1,

3 ^1
E"' L ' ( A , T : )
^

m

^

—

L^(B,rx)

0

t h o a men h^ t h u c
(A)

ï

(r^O =

^ ( ( E ^ x ) y ) ¥x ^ L ^ A , ? ) ,
0

^y

^ B.

%

Hon t h ê nivs, t h u hpp e u e enh x ^ do t u khcn^:' g i e n H i l b e r t
L ( A , f ) vao khôn^ g i e n H i l b e r t L ' ^ ( B , T
trv'c g i e o

(xemi / " 3 J

''

B

Anh Xp S

C

) l a mpt p h e p

chlêu

^J^*
•*•

'

xec dj.nh nhu t r e n

^

"
*

duvc g c i l e ky

d i e u k i ^ n cua a p i se A a o i vc"i a p i

'

v'pn^

co

so r,.

I . 1 6 ) K h e i ni§m m . e r t i n g e l e va m i e r t i . n g e l e 't^'c. duỗ-c d4.nh n g h i a
hoan t o ^ n tu'c^vng t\v nhu t r o n g tru'o'nr; hỗ'p co d i e n .
Gia s^'^ A l a d p i se •^on keumenn eo di.nh (B ) l a

day

t a r ^ e a c a g i so von Heumenn con e u e A. r h l " i ỵ D ~ d a y " ( x

J^X'(A,
n

duỗ-c g p i l a m.arti.ngale ( d o i v o l dey
i)

x^

G-

^
ii) E n

L^(E^,

(B^.))neu
n

^!^^

¥ n (- IT
"^ f k
Vn

X.

n

• . T <

. N

eu t n a y c i eu kif:n ( i i ;

.

» .

oc'i

(2, T )

L,- T c >-•


h T. r.

" n (r k

= C

Vj- 1

hi t a dup'c di_nh .ng-hie m r t i n g a l e hl0u,
Ko r a n g ,

nêu dey (:-:,J l à m a r t i n g a l e blpu t r i

t o n r riê.ng c ùa né (S^ = f

day cac
1 ^.-i

: v ) l à m e r t ing el e . i; guỗ'c

neu dy (S^_) l m e r t i n g e l e t h i dey (:?Y. "" ^ n ' ^ n - l ' '

^^^^

^^^

uo'c S = C) l à m s r t i n g a l e i l p u ,
0

De dhiS chung minh dii^*c rar^g nêu day (r.^,) dôe I g p l i e n
tiêp ( x j d

L i (A,-5 ) ; ? C^^) = 0 t h i (x^) l à m e r t i n g a I

„ i ^ u CCI \^'-i aay r.^ = v
t

e

(x^,...,x^) n A

(vc'i V.'^ ( x ^ , . . . , x ^ ^ ) l à A - dpi se do cuve s i n h b o l x ^ . . . x ^ J
1.17) 3o sung va nh^n x é t : ki:ù.ng t : 6 n g t i n d%:y du hc'n ve dpi
so /on keumenn va r^o s u i t khôn^ g i a o ,hoan co t h ê tim dpc

tron^ ryij r\tj

Trong l y t h u y e t xec s u â t không

rt^j

g i e o hoan, n^oai cec deng hpi ty. de t r i n h bay t r o n g cm'cvr^v
Q-ày, nguol t e con de c|;p d^n mpt so dpng hpi t y khae nx^e^
logeai re» con co the xet k h e i rdpm hpi t y t r o n g t r u o n g hỗ'p
tong q u a t , khi t r p n g t h a i khôr^ n h â t t h i ê t l e tre.ng t h a i

vet

(xem / ~ z - ^ 7 ) . Tinh liinh nhu t h e cung xay r a doi \T)1 k h a i
nipm dỗc Ipp (xem C ^J)
0

k h e i nifm ky vpng co d i e u k i ^ n va
^

k h a i nipra mier-tingele (xem / léj/)-

•^

0

\

'

Khi do, sy* hơn t a i »

0

tâiih

c h a t dong^ k i n doi vol cac phep t o a n l e nhu.ng vân de cân dup'c
xem x e t . Trong l u â n an nay, churog t a se không di sau veo
nhung van de do.

r~Ur^

hi^:^


Qhuo^n^': I I
MOT SO DỴTTH LY GIOI H^ DAKG LUAT SO LON
DOI VOI CAO TOAk^ TU D DUOC DOC LAP
O

' l . Mo* dâu :
Trong chuo^ng này chung t e tighiên cuu mpt so d^nh l y
gio'i hpn dpng l u ^ t so lo'n doi w i dey va dey n n i ê u c h i so
céc t o ộ n t ự do duỗ'c dpc lĐ.p. Ce chuo^ng gôm 4 t i é t

: Tilt

I

l à phan mo dau. T i e t I I dành eho v i | c n g h l ê n cuu céc d i e u
k i p n hpi t u cua tong co' t r o n g l i r p ' n g c e c t o e n t u do davc
dpc l $ p co thê xem dây nhu l e mo rpng cac k e t que c e B.
J a m i t s c n , S.Crey, Y/. P r u i t t / " l 7 _ 7 va O.C Heyde / " 1l„7 eho
ly t h u y e t xéc suât không g i e o hn. ỵv'pt k h e e , t u cec k ê t
que eue t i é t này I p i nhpn duyc mpt sô k é t que mol day eue
A. i u c z e k /"ZùJ?

va C.J.K B e t t y /""4-.7 nhu l à nï^-n^

trucng

hp'p r i ê r ^ .
TroDg t i é t I I I , chung t o i x e t den lup.t yeu va l u p t
mpnh sô I c n eho day nhiêu c h i s o . khu de b i e t , t r o n g l y
t h u y e t xec s u â t co d i e n , k h i nghien cuu l u ^ t mpnh sô loT.
eho day nhlêu c h i s o , phân Ion cac t a c g i a deu su d'png den
cac ky t h u ^ t va k e t qua khe s â u - s â c eue l y t h u y e t m a r t i n g a l e ,
l i e n quan dên cac m a r t i n g a l e r.guvc cac b a t dëiig t h u c c;rc t r i
f/

25^7,

/"'30_7) Dieu ney gêy n h l ê u kho khân eho v i ^ c mù

rpng van de eho l y t h u y e t xec s u â t khong g i a o hoen. Pkuo'ng
phap chung minh l u ^ t mpnh so lo'n eho day n r l e u c h i so e u e
chung t o i dya t r ê n phuxjTig phép eue k.Etemedi. C'cJ,
ihu^ong phap eho phep chung minh luf.t mpn::

/ ..

m.pt


mpt va nhieu c h i se khôr^g que eac b a t dang thuc cyc dpi
k i e u b a t dkng thuc Kolmogorov ma cha cân su* djmg b a t dang
thiic Tchebyshev. Tuy n h i ê n , k h i su diing phuoTig phé? này,
Etemedi d'à phai dimg dên m.pt s6 t i n h chat kha t i n h v i cua
t ê P so thyc va gio'i hpn t r ê n t p p sô th^i'c. Vi v^-y kiii chuyen
sang eho trúng iVP 2:éc s u â t khơng g i e o hoén, chung t o i de

phai khac phuc nhiêu kho khan.
Do co l i e n hp ch^t che vol cec k e t que khee eue t i è t ,
nên l u p t mpnh sô lo'n dôi vol dey mpt c h i so x é t v o i sv' hpi
t v hâu dêu hei p^nLe cung dutJ'c nghien cuu t r o n g t i é t

nay.

Trong l y t h u y e t xac su.êt co d i e n v i p c nghien cuu cec
l u ^ t so I c n d^ng Esu-Roboins cung duỗ'C n h i e u t e c g i a 'qusn
tâm (xem / " l 3 _ 7 [i^J

L^'iJ')^

l u y n h i ê n t r o n ^ l y thuyê't

xec s u â t khong g i e o hoan, van de nay-chi mol duvc de cpp
dên t r o n g mpt bei bao eua H.Je^^te/"/"* 15_7) • Trong b a i béo
n e y , R . J e ^ t e chi xet vân de t r o n g t r u c n g hp'p dpc b i ^ t

d^y

( x ^ ) C Â co t i n h chat l a (x^) dpc I p p l i e n t i é p va (x^) hopc
( Ix^i

) cùng phân phoi. Chung t o i dùng t i e t lY de t r i n h

bey vân de t r o n g t r u c n g ^pp tong quét bon. Dey (x,^) k h ô r ^
nhât t h i é t l a cung phân p h o i , céc tong co thê l ê y chpy t r ê n
nhur^ dey con do'n di§u cac so ty^ n h i ê n , dpng e u s tong .cung
tong quat hcn. Ngoai ra chung t o i cung x é t cà l u p t s"o lo'n

dpngHsu^uObbins dho day 2 c h i so nùa.
Trong chuo'ng ney, tuy theo céc truDvng hp'p 051 t h ê ma
cac dgng dpc Ipp khee nheu de duvc x e t : Dpc l^p t ù n g c ^ p ,
"dpc l ^ p l i e n t i e p , dpc Ipp mpnh,
s

Trong mpt chuo'ng nlrj va ehucng s a u , t a l u ô n l u ô n
g i s i-*-iei, A -»-£ dpi so V-j:- keumann,

*J l a trt"^^ t h a i

vet


- l'.
chuàn t i c chinh xéc t r ê n A, A l a dpi so céc t o ộ n t ự do
duỗ'c theo r ^ h i e o (I.'5) chuo'ng I . k g c e i r e , t r o n g nhu'ng
trJOTig hỗT khụng gky nen hieu lam, vol mpi sụ phu.'c a

C

va t o é n tû do'n vj. 1 ê A t e se -vlet a t h a y eho a . 1 .
I I - gu hpi t u eue tong co_ t r g n ^ luvosỗ

A. Su hoi t u theo. dg. jỵp..
Dinh nghie II,» 1 : Bang (e ^ ) cec so duvng duvc
me
:pi l e mpt me t r p n T o e p l i t z n e u
(i)

l i m e^,, = 0

VCI m o i

i: y, 1

VC'I m o i

n >,1

n -> 00

^ii' X

^Bk = ^

k=i

•

Dinh nghia I I . 2 : Già su' x i A , y

A l à nhung

t o e n tu do duvc t^v l i e n hỗ'p, k h i do t e noi x ve y cung
phân phôi néu vol mpi t^p ho r e l
X (e.^

(X)) = Z{e^

^ c:t. R t e co
(y) ) ,

^

Duci day, chung t e se xét dieu k i p n hpi t p t h e o dp
do eue day tong dpng

Trons do' ( e ^ ) l e ma t r ^ n ToeplitZ (jc^) l à d"^:/ cÉc t o g n t^j
do duvc, dpc l ^ p tùng c g p , t y l i e n h^'p va cùtig phân p h o i .
Se lam d i e u do, clrao^ t a câa rayx so bo de.
3o de I X U : ( 3 l t d | n s tha'c ỵ c h e b y s i i e v ) . Gia sxr x
l a t o a n t;r do duvc, g ; H'-^H^là hàm do d^v^ khÔng giam.


1

-i

Khi do vc?i n o i 1 > 0 eho tï^Jt)'c, t e co -'
^

t^ (g( I X ( ))

phép chung minh bo de này hoan t o e n tuo*ng ty^nhu phép
ch\rng minh b§ de ( l . l ) t r o n g / " 2 0 _ 7 - Chung t a không t r i n h
bày 0'- dTay.
Bo de I I » 2 : C-ie su* A t a c dpng t r ê n không g i a n K i l b e r t
K ; X e A l e t o a n tu do dtrp*c. Khi do, vol moi t ^ O ^ t a co
( i ) il lx( e j^^^

(ii)llixl

e^,

^ ) ( \x\
^x

) ( h ) ( | <: i flhll

v o l moi h

e

H

( | x ( ) ( h ) ! | >/ i (f h i l v o l moi

0

Chung minh
(i)

Gie su

I x f co b i e u dien pho
oo
o

v^y t h i

i
X I e

C o , £ )( f ^ l ) =

) À
o

^dA

dû do

2

'^

2

(ô dây, w i moi h é H ; e^^^, l à d$ do xac d;.nh bo-i cÔng
thirc


e^ ^( ^ ) - (e^ ( IX I ) h , h ) = \[ e^^ ( f x i ) ( h )
vol

/^

l à tâP con Borel eue ducng thang t n v c Tv: do ( i )

d'jrp'c chung m i n h / i i ) cung du^c chunê: minh tuo'ng

Dinh Iv I I , . 1

C-ie su' r i n g >^ =

^_
tl S ^ ^^
^ '^'
'

xéc dinh t ù ( l . l ) . Neu
(U.2)

lim
t

t

Zie

^^^^)

{ \x^\

ty.

) =O

~^CÛ

( I I - ; . 3) lim

X^(^^^^c,t)

^ 1^1»))

= ^^^

t —>00

ve

max
1^ k ^ n

k h i n - ^ 00

n.

s.

Thi

/^ U 1

7

(l l a t o é n t u dô.ng n h a t )
Chung minh : Gis su A t a c dpr-g t r e n khong g i a n H i l b e r t H,
Dct
X

= X

e -

-1

(

1 -V I
•k

)

w
Khi do, vol

^ ;?0 t ù y y , t a co'

p = e r 2£ ,oo) ( i Ç r
n

(

A
k=1

1
Lo,& \ - )

MM) A e^^ . )( 5 , , - A n ) /i
(

I Xy I ) ) = 0

K

Thât v^y ; neu ngvTQ-c I g i , se t o n t e l h è K . ffhf/ = 1
sao eho h é P ( H ) . Luc do' h é
(k = 1,n ) , nên x (h) = x

e ,„

.

-,

ùn^h)
2^

e ^

=

= 2£(|h(f

--•

( i s, l )

_. ^(h) = x
k

,, ^

(H)
-

"
•

Jj3^(h). DÙng bơ de I I . 2 , t e du-ỗ'c
< [| ^ ^ ^ -

Al.ll e

r2^ ,oo) (i s - /H. 11 )(h) ([


= li [ $,, - ^ t . i l (h)(l =11

Vô Ij.

( 5,,-Ati)(h)//<|f(4- .(,,„)(^-)//

Vgy P=0,
Suy ra ( xem ( l . 2) c hiro'ng I ) .

n

V (

V

e

k= 1

:

'

( Ix. t )

L ^n^ , 00 )

^
^

Tu t i n h àuo*ng cua v e t , t a nh^n du^'c
(n.4)

^

(e^

2e,oa)('

^ã^^\-^,cô)('

^an-

^^n " ^ ^ ' ^ i ^ ^

-^^-1 ' ) ) -

k - G(e^^-i
k=l

,^)M-kt

V.

Do fTr-^)-Vï-)l moi
(II.5)

i > 0 , t a co

ë;ï<'(a-^_ ,00) O - . l ) •

/^
, ; ^ .f ( e , ^ „ , „x,
..^f,-, ^,^)('^.

k=1

n
k^

k=1

VD*i n du lo'n
(vi

max a„
1 ;< k <

0

k hi

n

oo )

n

Tiep t h e o , bgng phwng phap t i c h phân tùng p h i n , t a à^V^

t-V

X2 . . .

A + 2

(I^^.
^

L t ,oo)

^ ^ (^^^.oo)^I^1i ),)dA = -^•^^n-t,œ)^i^^il''^'^
o
2t - 1

J A ^ (
o
CA ,00)^ ỵ -1 I ) û^ — ^

0

k'ai t —} œ


c-•£^ c u r dsy r r ) -V:

Dieu nay cung v c l t i n h cỗe l^'.r ^rvi;

i^a

r-- 1

C<: '"-/ = ỵ:
)

e^

A^c f (e

t.e,

L'o, ^ )

(Ix, 1

^ < ^n—^ C k h i

^ -•^'^
Ap dving bo de ( H , 1) , t e duy'c

(II.6) s^^^- ^ (s^.J4 - ^
ỵ.ỵ^t k n é c

0

^
—V

k=1

e ^^

- M

(

^ khi n
W

! ^-.. i ) )

-^ oo

f.= 1

Tu ( U . 6 ) va ( I I . T ) suy r e
^v-

e t hỗ'p d i e u ne
^r.
0

1 n

/V|_ằ ,

——^

l'O'

( I I . 5) Vp ( I I

^ •'^'' ''

s

—

''^"^ "

Do l e d i e u n h a i chung m -:

c*)

-^

-Ç

OỤ^'C

co

r-y

Ap âi,Lng d i n h l y eho t r u c n g iiỗ-^p e,

( 1 ^ k < n)

a duỗ'C
lùp__oi:-g I I y 1 ( l u ^ t yêu so I o n ) k ê u ( x )(^A
%

l e d'ày t o a ợ i t u
^

do dug-c dỗc l ^ p tu.ng c g p , t y l i e n hỗ-p ve cung p h õ n p h ô i ,
.^e.o.„ci?-Q__„"f ( / x k )

) <^

bdj

thi

n_
^
n

k=1

Su h o i tu, hau d^v

X.,

-^ *^. ( x ^ ) . 1

13.
kh

n —•>

00


Bo de 1 . 3
do du-c'C \'è

: Gie su ( x ^ ) va ( y ^ ) l e h e i dey t o a n

tu

(Su) l È dsy so -d-J'o-Es. D^t

E h i do, nờu

ầ(e

f
, ã

n=1

( [x^f
l^rJ^''
^

00

Thi chuoi

Y~
n=1

V

*

ợ

y^
(x^ + y^,) hầi t v hõu deu K.hl ve chn. k h i
*—
—•
n
nf'^ "
)

.00

chi

) < c^

*

*

^ ^vi""^ + y^^ ^^^ "^^ ^^^ ^^^'

Bo de I I . 4 : ( K r o n e c k e r ) / ' / " ' ^ . ^ ? ; Già su ( x ^ ) l à

day

t o é n t u do dup'c, ( b ^ ) l à dey so duong; b^^^ 1^ oo. l ' h i do n ê u
oo
'
n
chuoi

I ^ , -rrh ô i t v hàu deu t h i dày ( " 4 — ^-/yJn
& IT
n=1
t^
•
^ b^
k=1
h $ i t-^i hâu dêu ve không k h i n —-^ oo ,
Sy h ỗ i t u hờu deu eue day t o n g co trpr^^ lug'ng l i e n
quen dờn t o c dỗ

b i e n t h i e n e u e ham k ( x ) .

Hem. do duỗ'c dj.nh

n g h i a nhu sau.* Gie su c a c day so ( a ^ ) ve (An) t h o e man c e c
d i e u k i ê n a^ ) 0
0 < An ỵ" œ va ( a ^ / A n )
^ o kbl
X n '
n
n
> o o , K h i d o , L ( x J duvc xac d^nh b e l cong t h u e

An
(II.8)

ợUx) = card( n;

<

x)

a

ô .
,
.
De dang c h i r a r a n g

I

n
/
V .

00

Dut)l dB.y^ chung t a s e x é t day (x^^ <^, A t h o a màn d i e u
ki^n.

v o l c l e hang se ^c

. ^ con

xel

ỵ^éu ( x ^ ) C A ^ x è A t h o e màn ( I L 9 ) t h i t a v i e t

(x^^) /^ x,