Các bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.01 MB, 95 trang )
I HC QUI
I HC KHOA HC T
,
LUC
i
I HC QUI
I HC KHOA HC T
,
:
: 604640
LUKHOA HC
NG DN KHOA HC:
TS.
i
MC LC
5
7
8
8
9
9
1.1
: 9
1.2
: 9
1.3
: 9
1.4 : 10
1.5 : 10
1.6
: 11
1.7 : 11
1.8
: 11
1.9
11
1.10 Mt s bng thn 17
1.10.1 Bng thc Cauchy 17
1.10.2 Bng thc Bunhiacopxki (B.C.S) 17
1.10.3 Bng th 18
20
20
20
2.1.1
20
2.1.2 Nhng biu dic (2.1.4) thng b
(2.1.1) 22
2.1.3. Nhng min con cng vi nh
24
u thc ca nh p,x,y
26
gia nhng trong m 28
2.2
35
2.2.1
35
60
NG MINH BNG TH 60
ng minh bng thc d c 60
dng bng th chng thc trong tam
66
dng bng th chng thc trong
74
3.4
81
KT LUN 94
liutham
k
h
o
95
g
.
, .
,
.
:
1:
-
,
,
, ,,
,
-
1.9
-
1.10
.
2:
.
.
p cho
=
+ +
2
=
4(+ + )
+ +
=
8
2
3
2
+
2
+
2
+ 2(+ + )
(+ + )
2
.
,
, , , .
.
2.2
,
R, r, p.
(, , )
.
3
,
, ,
,
.
, .
, Ts.
.
, ,
.
!
.
,
,
,
.
,
.
.
, 10\05\2013
A, B, C :
a, b, c : , B, C
,
,
: , B, C
:
:
,
,
: A, B,
:
:
1:
1.1
sin:
=
=
= 2.
1.2
cos:
2
=
2
+
2
2.
2
=
2
+
2
2 .
2
=
2
+ 2.
1.3
tan:
+
=
2
+
2
+
=
2
+
2
+
=
2
+
2
1.4 :
=
1
2
=
1
2
=
1
2
=
1
2
. =
1
2
. =
1
2
.
=
4
= = ()
= ()
= ()
=
( )()( ) ( -ron).
1.5 :
=
2
=
2
=
2
=
4
= ()
2
= ()
2
= ()
2
=
:
=
2
=
=
2
=
=
2
=
.
1.6
:
2
=
2
+
2
2
2
4
2
=
2
+
2
2
2
4
2
=
2
+
2
2
2
4
.
1.7 :
=
2
+
2
=
2
+
2
=
2
+
2
1.8
:
= . + . = (
2
+
2
)
= . + . = (
2
+
2
)
= . + . = (
2
+
2
).
1.9
Bi tp 1.9.1C
:
1.9.1.1+ + = 4
2
2
2
.
1.9.1.2 2+ 2+ 2= 4.
1.9.1.3
2
+
2
+
2
= 2(1 + ).
1.9.1.4 + + = 1 + 4
2
2
2
.
1.9.1.52+ 2+ 2= 1 4 .
1.9.1.6
2
+
2
+
2
= 1 2.
Chứng minh
,
. A + B + C = . Ta
1.9.1.3
2
+
2
+
2
=
1 cos2A
2
+
1 cos2B
2
+ 1 cos
2
C
= 2 (+ )()
2
= 2 +
()
= 2 + (2)
+
2
2
= 2(1 + ).
1.9.2
ABC :
1.9.2.1
2
+
2
+
2
=
2
2
2
.
1.9.2.2
2
2
+
2
2
+
2
2
= 1.
1.9.2.3+ + = 1.
1.9.2.4 + + =
. ( )
Chứng minh
,
1.9.2.3 .
(+ ) =
1
+
=
+ + = 1.
1.9.3
ABC k Z :
1.9.3.1(2+ 1)+ (2+ 1)+ (2+ 1)
= (1)
4(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
.
1.9.3.2 2+ 2+ 2= (1)
+1
4
1.9.3.3(2+ 1)+ (2+ 1)+ (2+ 1)
= 1 + (1)
4(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
.
1.9.3.42+ 2+ 2= 1 + (1)
4 .
1.9.3.5 + + = .
1.9.3.6(2+ 1)
2
+ (2+ 1)
2
+ (2+ 1)
2
=
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
.
1.9.3.7(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
+ (2+ 1)
2
(2+ 1)
2
+
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
= 1.
1.9.3.8+ + = 1.
1.9.3.9
2
+
2
+
2
= 1 + (1)
2.
1.9. 3.10
2
+
2
+
2
= 2 + (1)
+1
2.
Chứng minh
1.9.3.1 1.91.1
: (2+ 1)+ (2+ 1)+ (2+ 1)=
= 2(2+ 1)
+
2
(2+ 1)
2
+ 2(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
= 2(1)
(2
+ 1)
2
(2+ 1)
2
+ (2+ 1)
+
2
= (1)
4(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
.
1.9.3.2 ; 1.9.3.3 ; 1.9.3.4:
1.9.1.2;
1.9.1.4; 1.9.1.5 1.9.3.1.
1.9.3.5 1.9.2.4
: =
(+ )
= (+ )
=
+
1
.
+ + = .
1.9.3.6 1.9.2.1
1.9.3.5.
1.9.3.7 1.9.2.2
(2+ 1)
2
= (2+ 1)(
2
+
2
)
=
(2+ 1)
2
+ (2+ 1)
2
=
1
(2+ 1)
2
+ (2+ 1)
2
=
1 (2+ 1)
2
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
+ (2+ 1)
2
(2+ 1)
2
(2+ 1)
2
+ (2+ 1)
2
(2+ 1)
2
+ (2
+ 1)
2
(2+ 1)
2
= 1.
1.9.3.8 1.9.2.3
1.9.3.7.
1.9.3.9 1.9.1.6.
:
2
+
2
+
2
=
1
2
(1 + 2) +
1
2
(1 + 2) + (1)
(+ )
= 1 + (1)
() + (+ )
= 1 + (1)
2.
1.9.3.10 1.9.1.3
1.9.3.9.
1.9.4
, y,
1.9.4.1 + + (+ + )
= 4
+
2
+
2
+
2
.
1.9.4.2+ + + (+ + )
= 4
+
2
+
2
+
2
.
1.9.4.3+ + (+ + )
=
(+ )(+ )(+ )
(+ + )
.
1.9.4.4 + + (+ + )
=
(+ )(+ )(+ )
(+ + )
.
Chứ ng minh
1.9.4.1+ + (+ + )
= 2
+
2
2
2
+ + 2
2
+
2
= 2
+
2
2
+ + 2
2
= 4
+
2
+
2
+
2
.
1.9.4.2 1.9.4.1.
1.9.4.3+ + (+ + )
=
(+ )
(+ )
(+ + )
=
(+ )
(+ + )
.
(+ + )
=
(+ )
2 (+ + )
.
(+ + 2 ) + (+ )
(+ ) ()
=
(+ )(+ )(+ )
(+ + )
.
1.9.4.4 1.9.4.3.
: Thay{ , , } 1.9.4
{, , }; {(2+ 1), (2+ 1), (2+ 1)}; {2, 2, 2};
{(2+ 1)
2
, (2+ 1)
2
, (2+ 1)
2
}
, ,
1.9.1; 1.9.2; 1.9.3.
1.10 Mt s bng thn
1.10.1 Bng thc Cauchy
Cho n s
1
,
2
, .
. ng thc :
1
+
2
+ +
=
1
2
.
Dng thc x khi
1
=
2
= =
.
1.10.2 Bng thc Bunhiacopxki (B.C.S)
Cho n cp s bt k
1
,
2
, ,
;
1
,
2
, ,
ng thc:
(
1
1
+
2
2
+ +
)
2
(
1
2
+
2
2
+ +
2
)(
1
2
+
2
2
+ +
2
).
Hay g :
(
=1
)
2
(
2
=1
)(
2
=1
).
Dng thc x khi :
:
=
()
Vi = 1,2, , (Nu
0 () c vit :
1
1
=
2
2
= =
)
1.10.3 Bng th
Cho hai sp th t ging nhau:
1
2
1
2
ng thc sau:
1
+
2
+ +
1
+
2
+ +
(
1
1
+
2
2
+ +
)
Du bng thc xy ra khi:
1
=
2
= =
hoc
1
=
2
= =
Chứng minh
. .
1
=1
(
1
=1
)(
1
=1
)
=1
(
=1
)(
=1
)
=1
=1
(
=1
)(
=1
)
(
)
,
0
(
+
)
<
0
(
) +
(
) 0
=1
(
) +
(
) 0
=1
vi >
1.10.4
.
.
1.10.4.1
= () [a, b].
:
1,
2
(, ), , 0: + = 1,
(
1
+
2
) (
1
) + (
2
).
1.10.4.2= () [a, b] ,
() .
()
Cho f(x)
m
(a, b).
*
> 0( , ) (x) (a, b).
*
(x)< 0(, ) (x) (a, b).
1.10.4.3
Cho f (x) [a, b].
1,
2,,
[, ]
> 0, =
1, 2, , ;
1
+
2
+ +
= 1.
=1
(
).
=1
:
1
=
2
= =
=
1
,
f(x) [a, b],
:
1
+
2
+ +
1
[(
1
) + (
2
) + + (
)
].
:
2
u ng cnh ln nh nht ca mt tam
nh th ba c
0 < < + (2.1.1)
2.1.1
=
+ +
2
,
=
4(+ + )
+ +
,
=
8
2
3
2
+
2
+
2
+ 2
+ +
+ +
2
. .
Chng minh rng nhng bng th
> 0 ; 0 < < 1; < 2
2
(. . )
Li gii.
1. Bng thc > 0hi
2. T (2.1.1) ta nhc
4 (+ + ) = 3 (+ ) + 2 (+ )
= (+ ) > 0
> 0.
3. 4 (+ + ) = + 2(+ ) < + 2(+ ) (+ ) =
(+ + ) ,
< 1.
4ng thc sau:
+ > 0, + > 0, 2 > 0
ta nhc 2b
2
2a
2
2c
2
+ 4ac > 0 vii dng
5
2
3
2
3
2
+ 2
+ +
>
+ +
(3)
Hoc
8b
2
3
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
(a + b + c)
2
>
3b a c
a + b + c
> .
5ng thc sau 0, 0, 8 > 0, ta nhn
c 8
2
+
888
0 vit lc
5
2
3
2
3
2
+ 2
+ +
2 (+ + ) (3) (3)
2
Ho
8
2
3
2
+
2
+
2
+ 2(+ + )
(+ + )
2
4
+ +
+ +
3
2
+ +
2
2
2
.
Ta gii h (2.1.2) i vi a, c
=
1
4
3
; =
1
2
+ 1
; =
1
4
(3 + ), (2.1.4)
=
2
+ 10+ 1 8(2.1.5)
Biu thc (2.1.5) t vy, t (2.1.3)
8168
2
=
2
+ 10+ 1 (31)
2
2
+ 10+ 1(2.1.6)
2.1.2 Nhng biu dic (2.1.4) thng
b2.1.1)
Li gii.
18> 8 = 168 + 8(1 ) > 168 vit li biu
th(3 )
2
>
2
+ 10+ 1 8 ho(2.1.3) (2.1.6)
dn 3 > > 0
2 8168
2
ho
(31)
2
2
(2.1.7)
Vi <
1
3
b(2.1.7) vii dng
(31) (2.1.8)
Bng th
1
3
. Ta vit (2.1.8)
1
4
2+ 2
1
4
3
, ta nhc .
3. Vi >
1
3
b(2.1.7) vii dng
(31) (2.1.9)
Bng th
1
3
. Ta vit (2.1.9)
1
4
2+ 2
1
4
3 +
, ta nhn c b .
4. Ta vit b8> 8 ng (+ 1)
2
>
2
+ 10+ 1
8 ho(2.1.3) (2.1.5) ng + 1 > vit li
1
4
(3 ) +
1
4
(2+ 2) >
1
4
(3 + ) , + > .
2.1.1 2.1.2t lp quan h gia nhng cp s
(x,y, p) th(2.1.1) (2.1.3). Mi quan h ng mt - mt.
ng nn t tuy
i s c nh mt t th
0 < < 1; < 2
2
(2.1.10)
t c nh(, , ) ng dng. Bng thc (2.1.10)
nh trong h t mt min gii hn bng thng =
parabol = 2
2
m n
nhm n u thuc tng
vn nhng dng v
Nhm ca minh tt c nhng tam gii nhng lng
dng.
2.1.3. Nhng min con cng vi nh
u n nht c
=
2
+
2
2
2
.
thuu
thc
2
+
2
2
> 0, = 0 hoc< 0.
T ph thuc
7
2
101
3
2
hoc <
7
2
101
(3)
2
Ph th c=
7x
2
10x1
(x3)
2
, 0 < < 1, nm trong min G, th
hing parabol = 2
2
ti
- 2
2 , 8
2 - 11).
1. Nhc vi tt c nhm trong min
3 2
2 < 1, =
7
2
101
(3)
2
Vi nhcung PM ca T tr m M.
2. Nhc t nhm trong min
0 < < 3 2
2, < 2
2
,
= 3 2
2, 3 2
2 < < 8
2 1. (2.1.12)
3 2
2 < < 1, < <
7
2
101
(3)
2
t nhm gii hn bng thng =
parabol = 2
2
.
3. Nhn nhc t nhm trong min
3 2
2 < 1,
7
2
101
(3)
2
< 2
2
. (2.1.13)
t c nhm gii hn ba parabol
= 2
2
.
4ng vi nh
T = c 1 3=
2
+ 10+ 1 8
1
3
ng thc tc dng
= 2
2
y ta nhc cung parabol:
OQ : = 2
2
, 0 <
1
3
c nh
QM: = 2
2
,
1
3
< 1.
= = ch tm Q(
1
3
,
5
9
).
X
1
0
O
1
Y
M
Q
P
