bdt tam giác và ứng dụng

Sáng kiến kinh nghiệm

Phần a. Đặt vấn đề
1)Lí do chọn đề tài:

- Trong những năm gần đây việc đổi mới phơng pháp trong dạy học
nói chung ngày càng đợc quan tâm, chú trọng. Với Toán học, môn học
thu hút đợc nhiều đối tợng quan tâm thì việc đổi mới phơng pháp
dạy_học càng là chủ đề sôi nổi hơn. Cùng với đổi mới phơng pháp
dạy_học thì việc phát hiện và bồi dỡng học sinh có năng khiếu là việc
làm thờng xuyên của mỗi thầy cô bộ môn. Với chơng trình Hình học 7,
học sinh bắt đầu làm quen với những bài toán chứng minh từ cơ bản
và dần đợc nâng cao hơn về tính suy luận lô-gic, hệ thống, chặt chẽ.
Do nội dung là cơ sở nền tảng cho các lớp sau nên việc nắm chắc
những kiến thức, tính chất rất quan trọng cho việc học Hình sau này.
Mỗi tính chất, định lí học sinh không chỉ nắm đợc nội dung lý thuyết
thuần tuý mà cần phải biết vận dụng vào giải những bài tập trong
những tình huống khác nhau. Cùng với nắm bắt đợc những tính chất
qua đó còn giúp học sinh rèn khả năng suy luận lô-gic, chặt chẽ.
Chính vì vậy mà đối với học sinh khá - giỏi, học sinh có năng khiếu về
Toán thì giáo viên càng phải giúp học sinh phát huy đợc năng khiếu
của các em. Nội dung bất đẳng thức tam giác là một trong những tính
chất quan trọng, nó không chỉ dừng lại ở môn Hình mà còn đợc vận
dụng vào trong Đại số.
- Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài này với mong muốn phần nào giúp
các em học sinh khá- giỏi Toán có thể hiểu sâu hơn về bất đẳng thức
tam giác, cũng nh giúp các em có khả năng suy luận tốt hơn, vận
dụng vào những tình huống có thể và bớc đầu có thói quen nhìn nhận
một bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau, có ý thức trong việc liên
hệ giữa Hình học và Đại số.
2)Mục đích, đối t ợng, ph ơng pháp :

a)Mục đích:
- yêu cầu đổi mới phơng pháp trong dạy học Toán là cần phát huy
khả năng sáng tạo, khả năng t duy, suy luận cũng nh phát huy năng
khiếu học Toán cho học sinh.
- Khái niệm bất đẳng thức là một khái niệm mới đối với học sinh lớp 7


Năm học 2005 - 2006
3
Sáng kiến kinh nghiệm
(các em cha đợc học).Vì vậy đối với những học sinh khá - giỏi thì ta có
thể trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
thông qua phần bất đẳng thức tam giác.
*) Qua việc dạy bất đẳng thức tam giác giúp học sinh:
-Phát huy đợc khả năng suy luận lôgíc, khả năng vận dụng Toán
học vào các tình huống khác nhau cũng nh vận dụng vào giải bài toán
Đại.
- Bồi dỡng, khắc sâu, nâng cao kiến thức cho các em giúp các em có
vốn kiến thức cho việc học Toán cũng nh các kì thi sau này.
b)Đối t ợng nghiên cứu :
- Bất đẳng thức tam giác trong Hình học 7.
- Học sinh khá giỏi môn Toán khối 7.
c)Ph ơng pháp nghiên cứu :
- Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo:
+ Toán cơ bản và nâng cao 7
+ Tuyển chọn và phân loại toán cấp 2 Hình học.
+ SGK_SBT Toán 7
- Phơng pháp thực nghiệm.
- Phơng pháp kiểm tra so sánh, đánh giá.
- Trao đổi với đồng nghiệp

Phần b. giải quyết vấn đề.


Năm học 2005 - 2006
4
A
B C
Sáng kiến kinh nghiệm
I)Nhắc lại kiến thức Bất đẳng thức trong tam giác :
1) Định lí:
Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn
hơn độ dài cạnh còn lại".
Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB

2) Hệ quả :
- Trong một tam giác hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng
nhỏ hơn độ dài cạnh còn lạ".
- Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức:
AB AC < BC AB BC < AC AC BC < AB
AC AB < BC BC AB < AC BC AC < AB
3) Nhận xét :
- Trong một tam giác độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu
và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại".
Tam giác ABC chẳng hạn ta luôn có:
AB AC < BC < AB + AC
4) Kiến thức bổ sung :
- Vì học sinh lớp 7, các em cha đợc học về Bất đẳng thức" vì vậy

trong quá trình bồi dỡng tôi cũng đ trang bị cho các em những kiến ã
thức cơ bản về Bất đẳng thức":
+) Định nghĩa: a > b nếu a b là một số dơng.
+) Tính chất:
1. Nếu a > b thì a + c > b + c
2. Nếu a > b và c > 0 thì a.c > b.c
3. Nếu a > b và c < 0 thì a.c < b.c
II)Nội dung ph ơng pháp:
*)Trên cơ sở những kiến thức đó ta có thể bồi dỡng cho học sinh khá
- giỏi với các nội dung nh sau:


Năm học 2005 - 2006
5
Sáng kiến kinh nghiệm
1)Những bài tập vận dụng cơ bản:
Qua nội dung bài tập về nhà, giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm
những bài tập có thể là trong sách bài tập hoặc bài tập giáo viên tự
lựa chọn.
Ví dụ 1:
Bài 27(SBT-27)
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi của tam giác ABC.
Lời giải:
xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC,
theo bất đẳng thức tam giác ta có:
MA + MB > AB
MA + MC > AC
MB + MC > BC

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của ba bất đẳng thức lại
ta có:
2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
MA + MB + MC >
+ +
AB AC BC
2
( đpcm)
Ví dụ 2:
Bài 30(SBT-27)
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh: AM <
2
ACAB
+
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA. Dễ dàng chứng minh đợc


AMB =

DMC (c.g.c)
CD = AB (hai cạnh tơng ứng) (1)
Xét tam giác ACD theo bất đẳng thức ta có:
AC + CD > AD = 2AM mà CD = AB ( theo (1) )
AC + AB > 2AM
AM <
2
ACAB
+

(điều phải chứng minh).
Ví dụ 3:
Cho điểm I nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng: BI + IC < BA + AC
Lời giải


Năm học 2005 - 2006
6
D
A
B C
M
A
C
M
B
K
A
C
I
B
Sáng kiến kinh nghiệm
Kéo dài BI cắt AC tại K.
Xét

AKB có BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)
BI + IK < AB + AK BI < AB + AK - IK (1)
Xét

KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)
IC < IK + (AC AK) (2)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải của (1) với (2) ta có:
BI + IC < AB + AK IK + IK + AC AK
BI + IC < AB + AC (đpcm)

*)Nhằm khắc sâu hơn về bất đẳng thức tam giác trong quá trình
bồi dỡng tôi đ cho các em làm những bài tập có tính nâng cao hơn:ã
2)Những bài toán nâng cao.
Ví dụ 1:
Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M nằm
trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), vẽ MK vuông
góc với Oy( K thuộc Oy ).
Chứng minh: MH < MK.
Lời giải:
Gọi A là giao điểm của MK với Oz.
Vẽ AB

Ox ( B thuộc Ox ). Nối B với M.
Xét

KOA vuông tại K và

BOA vuông tại
B có:
OA là cạnh chung

ã ã
BOA KOA=
(Oz là tia phân giác)

Do đó

KOA =

BOA( cạnh huyền góc nhọn )
AK = AB ( hai cạnh tơng ứng )
Xét

AMB có BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác)
Do đó BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK
Mặt khác MH < BM (Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc)
Suy ra MH < MK. (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC có AB > AC,
AD là tia phân giác của BAC ( D

BC).
M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD.
Chứng minh: MB MC < AB AC.
Lời giải
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = AC
vì AB > AC nên E nằm giữa A và B suy ra


Năm học 2005 - 2006
7
K
x
M
A

B
z
y
O
H
A
M
E
C
B
D