Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
TRẦN PHƯƠNG DUNG
MỘT SỐ MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG
TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
1
Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . 3
1.1.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 4
1.1.6 Kì vọng có điều kiện đối với một σ− trường . . . . . . . . . . 5
1.2 Tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Phép biến đổi độ đo và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Danh mục tự cân đối tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá) . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính 13
2.1 Mô hình định giá trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 17
2
2.2 Mô hình định giá cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Mô hình cây nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Mô hình GBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Mô hình định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Mô hình cây nhị phân định giá quyền chọn . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Quyền chọn kiểu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Quyền chọn kiểu Mỹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Từ mô hình với thời gian rời rạc đến mô hình với thời gian liên tục . 37
2.4.1 Tổng hợp các kết quả thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Giới hạn trong mô hình CRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 Mô hình Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.4 Danh mục tự cân đối tài chính và sự phòng hộ . . . . . . . . . 45
2.5 Hàm lỗ - lãi và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Lãi - lỗ của một chiến lược khả đoán . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.2 Biểu diễn martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3 Hàm P &L và martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.4 Thị trường không có Acbit (Không kinh doanh chênh lệch giá) 53
2.5.5 Sự tồn tại của P
∗
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Kết luận 55
Tài liệu tham khảo 56
3

Lời mở đầu

Hiện nay, các mô hình ngẫu nhiên đã trở thành một trong những đối tượng nghiên
cứu quan trọng tro ng lí thuyết toán tài chính, giúp chúng ta có công cụ để phân tích
và định giá tài sản tài chính một cách tốt nhất. Công trình có tính chất cách mạng
trong việc tính toán tài chính xuất hiện vào năm 1973 của F.Black và M.Scholes về
tính giá trị hợp lý của các quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”).
Tiếp đó, có một loạt công trình về tính giá hợp lý của các quyền chọn và các loại
hoạt động chứng khoán với những mô hình ở nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp
khác nhau, đáng chú ý là công trình của J. Cox, A. Ross và M. Rubinstein năm 1976.
Trong những năm gầ n đây, đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về các mô hình ngẫu nhiên
này, tuy nhiên trong số đó chưa có nhiều tài liệu trình bày một cách có hệ thống cũng
như chưa thấy sự liên hệ giữa một số mô hình, chẳng hạn như mô hình ngẫu nhiên
trong trường hợp thời gian rời rạc với trường hợp thời gian liên tục.
Mục đích của luận văn là hệ thống lại một cách cơ bản một số mô hình ngẫu
nhiên trong tài chính, chỉ ra mối liên hệ giữa một số mô hình rời rạc và liên tục, cụ
thể là đối với các hợp đồng quyền chọn. Luận văn cũng cung cấp các bài toán ứng
dụng để làm rõ các vấ n đề đã nêu.
Bố cục luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các quá trình
ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản về thị trường tà i chính
và cấu trúc của nó.
• Chương 2 là chương chính, trình bày một số mô hình ngẫu nhiên trong tài
chính, bao gồm mô hình định giá trái phiếu, mô hình định giá cổ phiếu và mô
hình định giá quyền chọn, trong định giá quyền chọn đề cập đến các mô hình
với thời gian rời rạc và thời gian liên tục, đánh giá sự hội tụ từ trường hợp rời
rạc đến liên tục, cụ thể là từ mô hình CRR đến mô hình Black - Scholes. Ngoài
ra chương 2 của luận văn còn trình bày về hàm lỗ - lãi của một chiến lượ c khả
đoán cùng với các tính chất của nó.
Luận văn được hoàn thành nhờ có sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ
Trần Trọng Nguyên. Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.
1

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các t hầy cô giáo giảng dạy tại trường Đại
học Khoa học tự nhiên đã tận tình cung cấp kiến thức nền tảng cho em trong những
năm học vừa qua.
Hà Nội, tháng 5. 2012
Trần Phương Dung
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Quá trình ngẫu nhiên
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên
Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên (X
t
, t ≥ 0)
là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên R
+
× Ω, lấy giá trị trong R và là hàm đo
được đối với σ - trường tích B
R
+
× F, trong đó B
R
+
là σ - trường các tập Borel trên
R
+
.
Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán S
t
, giá trái khoán P
t

, giá sản phẩm
phái sinh C
t
đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên.
1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
Một họ các σ - trường con (F
t
, t ≥ 0) của F được gọi là một bộ lọc thỏa mãn
các điều kiện thông thường nếu:
• (F
t
) là một họ tăng theo t, tức là F
s
⊆ F
t
nếu s ≤ t,
• (F
t
) là liên tục phải, tức là F
t
= ∩
>0
F
t+
,
• Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F
0
.
Một quá trình ngẫu nhiên Y = ( Y
t

, t ≥ 0) gọi là thích nghi với bộ lọc (F
t
, t ≥ 0) nếu
với mọi t, Y
t
là đo được đối với σ - trường F
t
.
Xét một quá trình ngẫ u nhiên X = (X
t
) và σ - trường F
X
t
sinh bởi tấ t cả các biến
ngẫu nhiên X
s
với s ≤ t : F
X
t
= σ(X
s
, s ≤ t). σ - trường này chứa đựng mọi thông
tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t. Ta gọi đó là bộ lọc tự
3
nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X. Khi đó mọi quá trình X = (X
t
, t ≥ 0)
là thích nghi với lịch sử của nó.
1.1.3 Martingale
Định nghĩa 1.1. Cho một quá trình ngẫ u nhiên X = (X

t
)
t≥0
thích nghi với bộ lọc
(F
t
) và khả tích E|X
t
| < ∞ với mọi t ≥ 0.
Giả sử s và t là hai giá trị bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó:
1. Nếu E(X
t
| F
s
) ≤ X
s
thì X gọi là martingale trên;
2. Nếu E(X
t
| F
s
) ≥ X
s
thì X gọi là martingale dưới;
3. Nếu E(X
t
| F
s
) = X
s

thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (F
t
)
t≥0
.
1.1.4 Thời điểm dừng
Cho một không gian xác suất (Ω, F, P) và bộ lọc (F
t
). Một biến ngẫu nhiên τ
được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0
{ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ F
t
.
Một thời điểm Markov được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn,
tức là
P{ω ∈ Ω : τ(ω) < ∞} = 1.
1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
)
t≥0
là một quá trình Wiener hay chuyển động
Brown nếu:
1. X
0
= 0 hầu chắc chắn.
2. Hiệu X
t
− X
s

là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng 0 và phương sai là
t −s, (s < t).
3. Các số gia X
t
4
− X
t
3
và X
t
2
− X
t
1
(với mọi t
1
≤ t
2
≤ t
3
≤ t
4
) là các biến ngẫ u
nhiên độc lập.
Kí hiệu W = (W
t
, t ≥ 0) là một chuyển động Brown. Khi đó W
t
là một martingale
đối với bộ lọc tự nhiên của nó, với F

t
= F
W
t
= σ ( W
s
, s ≤ t) là σ− trường nhỏ nhất
sinh b ởi quá khứ của W tính đến thời điểm t.
4
1.1.6 Kì vọng có điều kiện đối với một σ− trường
Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, G ⊂ F là một σ− trường con của F,
X : (Ω, F) → (R, B
R
) là một biến ngẫu nhiên.
Khi đó, một biến ngẫu nhiên X
∗
được gọi là kì vọng có điều kiện của X đối với
σ− trường G nếu:
• X
∗
là biến ngẫu nhiên đo được đối với G
• Với mọi tập A ∈ G thì ta có

A
X
∗
dP =

A
XdP.

Biến ngẫu nhiên X
∗
này được kí hiệu là E(X|G).
Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên trên Ω. Khi đó có các tính chất sau:
1. E(X|{Ω, ∅}) = EX.
2. Với a, b là hai số thực bất kì thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G).
3. Nếu Y ∈ G thì E(XY |G) = Y E(X|G).
4. Nếu G
1
⊆ G
2
thì E(E(X|G
2
)|G
1
) = E(X|G
1
).
5. Nếu X độc lập với G thì E(X|G) = EX.
1.2 Tích phân ngẫu nhiên
1.2.1 Tích phân Itô
Cho f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên và W
t
là một chuyển động Brown tiêu
chuẩn, tất cả quỹ đạo của f và của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b. Xét một phân
hoạch của đoạn [a, b]:
a = t
0
< t
1

< < t
n
= b
và lập tổng tích phân
S
n
(ω) =

n−1
i=0
f(t
i
, ω)[W (t
i+1
, ω) − W (t
i
, ω)]
trong đó f(t
i
, ω) là giá trị của f(t, ω) tại đúng t = t
i
. Khi max |t
i+1
− t
i
| → 0, nếu
tồn tại một biến ngẫu nhiên S
∗
(ω) sao cho
5

E|S
n
(ω) − S
∗
(ω)|
2
→ 0 khi n → ∞
thì S
∗
(ω) được gọi là tích phân Itô của quá trình f (t, ω) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là
I =

b
a
f(t, ω)dW
t
.
Giới hạn S
∗
(ω) chính là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của S
n
(ω), kí
hiệu là l.i.m
n→∞
S
n
(ω). Vậy tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) là giới hạn
theo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại:
I =
b


a
f(t, ω)dW
t
= l.i.m
max|t
i+1
−t
i
|→0

f(t
i
, ω)

W
t
i+1
− W
t
i

Các tính chất quan trọng của tích phân Itô
1. E

t
0
f(t, ω)dW
s
= 0, t ∈ [a, b].

2. E



t
0
f(s, ω)dW
s


2
= E


t
0
f
2
(s, ω)ds

.
3. Tích phân Itô là X
t
=

t
0
f(s, ω)dW
s
là một martingale đối với σ− trường F

W
t
.
1.2.2 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô
1.2.2.1 Vi phân Itô
Giả sử X = (X
t
)
t≥0
là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:
1. Hầu hết các quỹ đạo t → X
t
là liên tục,
2. X
t
có biểu diễn X
t
= X
0
+

t
0
h(t, ω)ds +

t
0
f(s, ω)dW
s
trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong

biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX - là
một biểu thức hình thức được viết như sau:
dX
t
= h(t, ω)dt + f(t, ω)dW
t
.
1.2.2.2 Công thức Itô
Định lí 1.1. Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + f dW . Giả sử
g(t, x) : R
2
→ R
6
là một hàm hai biến khả v i liên tục theo biến t, hai lần k hả vi liên tục theo biến x.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y
t
= g(t, X
t
) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi
dY
t
=
∂g
∂t
(t, X
t
)dt +
∂g
∂x
(t, X

t
)dX
t
+
1
2
∂
2
g
∂x
2
(t, X
t
)f
2
(t, ω)dt. (1.1)
Đó là công thức Itô, có dạng tương đương sau:
Y
t
= g(0, X
0
) +

t
0
∂g
∂s
(s, X
s
)ds +


t
0
∂g
∂x
(s, X
s
)dX
s
+
1
2

t
0
∂
2
∂x
2
(s, X
s
)f
2
(s, ω)ds.
(1.2)
1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
1.2.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính là phương trình có
dạng:
dX

t
= [a(t)X
t
+ b(t)]dt + [c(t)X
t
+ d(t)]dW
t
, (1.3)
trong đó a(t), b(t), c(t), d(t) là các quá trình thích nghi và liên tục theo t.
1.2.3.2 Lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải của phương
trình (1.3) với điều kiện ban đầu
X
0
= Z, (1.4)
trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (W
t
, t ≥ 0) sao cho
E(Z
2
) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau:
1. X
t
là thích nghi với F
t
= F
W
t

= σ(W
s
, s ≥ t) và là đo được đối với σ− trường
tích B
[0,T ]
× F
t
,
2. E

t
0
X
2
t
dt < ∞, ∀t ∈ [0, T ],
3. X
t
thỏa mãn các hệ thức (1.3) và (1.4).
1.2.4 Phép biến đổi độ đo và định lí Girsanov
Xét bộ lọc F = F
W
và σ− đại số F
T
. Ta xác định một biến ngẫu nhiên
Z(T ) = exp(−aW (T ) −
1
2
a
2

T ). (1.5)
7
Rõ ràng Z(T ) ≥ 0 và E
P
Z(T ) = 1, do đó ta có thể dùng Z(T ) để xác định một độ
đo xác suất mới Q trên F
T
với
Q(F ) = E
P
1
F
Z(T ) với mọi F ∈ F
T
. (1.6)
Với t ∈ [0, T ] tùy ý ta có
Z(T ) = Z(t) exp

− a(W (T ) −W (t)) −
1
2
a
2
(T −t)

,
với Z(t) = exp( −aW (t) −
1
2
a

2
t) là F
t
− đo được. Từ tính chất của phân phối chuẩn
suy ra
E
P
exp

− a(W (T ) − W (t)) −
1
2
a
2
(T −t)

= 1.
Ngoài ra E
P
[Z(T )|F
t
] = Z(t)E
P
[exp(−a(W (T ) −W (t)) −
1
2
a
2
(T −t)


)|F
t
] = Z(t). Do
đó {Z(t) : t ∈ [0, T ]} là một martingale dưới hạn chế của F.
Ta đã biết E
P
W (T ) = 0, vậy còn E
Q
W (T )? Ta có
E
Q
W (T ) = E
P
[W (T )Z(T )] = E
P
(W (T ) exp(−aW (T ))) exp(−
1
2
a
2
T ) = −aT,
vì E
P
(W (T ) exp(−aW (T ))) = −aT exp(
1
2
a
2
T ). Một cách t ươ ng tự ta cũng tính được
E

Q
W (t) = −at. Như vậy dưới độ đo Q, quá trình W không là chuyển động Brown.
Để khắc phục vấn đề này, ta sẽ xét quá trình W
Q
xác định bởi
W
Q
(t) = W (t) + at (1.7)
có kì vọng 0. Kết quả dưới đây được biết đến là định lí Girsanov cho trường hợp đơn
giản.
Mệnh đề 1.2. Quá trình W
Q
xác định như trên là một chuyển động Brown trên
miền thời gian [0, T ] dưới xác suất Q.
Dưới đây là hệ quả của nó.
Hệ quả 1.1. Cho X là một quá trình xác định trên k hông g i an xác suất (Ω, F, P)
cho bởi X(t) = at + σW (t), trong đó W là một chuyển động Brown (hạn chế dưới P).
Định nghĩa một xác suất mới Q trên (Ω, F
T
) bởi
dQ
dP
= Z(T ) = exp(−γW
T
−
1
2
γ
2
T ),

với γ =
a−b
σ
. Khi đó X(t) = bt + σW
Q
(t), trong đó W
Q
là một chuyển động Brown
dưới Q trên [0, T ].
Có thể chỉ ra rằng Q là độ đo xác suất duy nhất sao cho X có thể được viết dưới
dạng X(t) = bt + σW (t), trong đó W là chuyển động Brown dưới Q. Vì vậy, Z(T )
cũng là biến ngẫu nhiên duy nhất đưa ra độ đo Q để X có biểu diễn trên.
8
1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính
1.3.1 Thị trường tài chính
Thị trường tài chính là thị trường tại đó các tác nhân có thể phát hành, mua bán,
trao đổi, chuyển nhượng các tài sản tài chính theo các quy tắc, luật lệ ấn định trước.
Tài sản tài chính
Hàng hóa được giao dịch trên thị trường gọi là tài sản tài chính (công cụ tài
chính). Nhìn chung, nếu phân loại các công cụ tài chính t heo hình thức huy động vốn
của các đơn vị phát hành, chúng ta có thể phân chia chúng thành 2 lo ại: Nếu huy
động vốn bằng cách phát hành nợ, ta có các chứng khoán nợ (trái phiếu); nếu huy
động vốn bằng cách phát hành vốn ta có chứng khoán vốn (cổ phiếu).
• Chứng khoán nợ (trái phiếu): Là giấy chứng nhận do chính phủ hay doanh
nghiệp phát hành. Số tiền ghi trên giấy chứng nhận nợ gọi là mệnh giá. Trái
phiếu có thời hạn tồn tại nhất định, có mệnh giá xác định và lãi suất được
hưởng trên mệnh giá (coupon rate) cố định. Người phát hành (người vay) cam
kết sẽ trả cho người mua (người cho vay) lãi định kỳ theo lãi suất ghi trên trái
phiếu và hoàn trả vốn gốc vào ngày đáo hạn của chúng.
• Chứng khoán vốn (cổ phiếu): Số tiền mà người mua bỏ ra để sở hữu các chứng

khoán vốn (cổ phiếu) chính là phần vốn họ góp với đơn vị phát hành là các
công ty cổ phần. Vì vậy thời hạn tồn tại của cổ phiếu sẽ đi cùng với sự tồn tại
của công ty. Cổ phiếu cũng có mệnh giá xác định nhưng không được hưởng lãi
suất cố định trên mệnh giá như trái phiếu. Phần lãi hưởng được (gọi là cổ tức)
sẽ tùy thuộc vào kết quả kinh doanh và vào quyết định chia hay giữ lại của
doanh nghiệp. Chính vì vậy, mục đích chủ yếu khi mua cổ phiếu không phải là
hưởng lãi trên mệnh giá như đối với mua trái phiếu, nhà đầu tư chủ yếu nhắm
tới việc hưởng lợi từ việc thay đổi giá cả của cổ phiếu trên thị trường.
• Tài sản phái sinh: Là loại tài sản tài chính được tạo ra trên tài sản cơ sở và giá
trị của nó phụ thuộc vào giá trị của tài sản cơ sở. Tùy theo mục đích, những
người tham gia mua bán các tài sản này sẽ được chia làm hai loại: người phòng
hộ rủi ro – hedger và người đầu cơ – speculator. Những người phòng hộ rủi
ro tham gia thị trường để như một hình thức bảo hiểm trước những thay đổi
bất thường của thị trường. Trong khi đó, người đầu cơ tham gia thị trường để
9
khai thác và mong muốn hưởng lợi từ sự biến động giá của hàng hóa trên thị
trường. Các công cụ phái sinh được giao dịch chủ yếu bao gồm hợp đồng kỳ hạn
– forwards và hợp đồng tương lai – futures là thoả thuận mua hoặc bán một tài
sản cơ sở (hàng hoá hoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tương
lai với giá cả và số lượng đã xác định trước.
Tuy nhiên, hợp đồng tương lai là các công cụ được chuẩn hóa, được thỏa t huận
và ký kết thông qua nhà môi giới và được giao dịch trên thị trường tập trung
như các tài sản tài chính khác. Hợp đồng kỳ hạn được thỏa thuận và ký kết
giữa hai bên tham gia hợp đồng và không được giao dịch trên thị tr ườ ng. Người
tham gia hợp đồng kỳ hạn hay tương lai có bổn phận thực hiện hợp đồng (mua
hoặc bán tài sản cơ sở) khi hợp đồng đáo hạn.
Hợp đồng quyền chọn – options cũng là thoả thuận mua hoặc bán một tài sản
cơ sở (hàng hoá hoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tương lai
với giá cả và số lượng đã xác định trước. Tuy nhiên, người mua hợp đồng sẽ
có quyền, chứ không phải bổn phận, thực hiện hợp đồng hay không. Ta sẽ tìm

hiểu kĩ về hợp đồng quyền chọn trong mục tiếp theo.
Ngoài ra công cụ phái sinh còn bao gồm hợp đồng hoán chuyển (swaps) là thỏa
thuận giữa hai bên nhằm trao đổi nghĩa vụ thanh toán hay các dòng tiền (cash
flows) dựa vào các loại tiền tệ, lãi suất hoặc các tài sản tài chính vào một thời
điểm xác định trong tương lai.
1.3.2 Quyền chọn
Hợp đồng quyền chọn về một loại tài sản, gọi tắt là quyền chọn (về tài sản cơ sở)
là hợp đồng quy định người nắm giữ có quyền mua hoặc bán tài sản theo giá và tại
thời điểm được ấn định trước. Giá định trước trong hợp đồng gọi là giá thực hiện
(Strike price), thời điểm thực hiện mua hoặc bán t à i sản gọi là thời điểm đáo hạn của
quyền chọn (Exercise date).
Có hai loại quyền chọn: quyền chọn mua (Call O ption) và quyền chọn bán (Put
Option) tùy thuộc vào quyền được mua hoặc bán tài sản của người nắm giữ quyền
chọn. Loại quyền cho phép người nắm giữ có thể thực hiện tại thời điểm bất kì trước
trước khi đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Mỹ. Quyền chọn chỉ được phép thực hiện
tại thời điểm đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Âu. Ngày nay hầu hết các quyền chọn
được giao dịch trên thị trường là quyền chọn kiểu Mỹ, tuy nhiên quyền chọn kiểu Âu
dễ phân tích hơn và một số tính chất của quyền chọn kiểu Mỹ có thể suy ra từ quyền
chọn kiểu Âu. Người nắm giữ quyền chọn có quyền thực hiện hoặc không thực hiện
10
việc mua, bán tà i sản nếu họ xét thấy có lợi, đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa
quyền chọn và hợp đồng kỳ hạn. Có thể nói lí thuyết tài chính hiện đại bắt đầu từ
việc giải các bài toán về định giá rủi ro tài chính và khả năng phòng hộ rủi ro. Đối
với một quyền chọn mua, giá trị của thu hoạch là 0 nếu giá trị S của tài sản cơ sở
nhỏ hơn hoặc bằng giá thực hiện K, vì chủ sở hữu quyền mua sẽ không thực hiện lúc
đáo hạn để mua S ở giá K nếu như anh ta có thể mua với giá thấp hơn, giá trị của
thu hoạch sẽ bằng S − K nếu S ≥ K vì khi thêm và o giá thực hiện K ta thu được
giá thực S.
1.3.3 Danh mục đầu tư
Một danh mục đầu tư (hay phương án đầu tư) là một tổ hợp của một số hữu hạn

các chứng khoán với các t rọng số nào đó. Giả sử có n chứng khoán với các giá trị tại
thời điểm t là S
1
(t), , S
n
(t). Một danh mục đầu tư là một cách chọn ra α
1
(t) chứng
khoán S
1
, , α
n
(t) chứng khoán S
n
tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của
danh mục đầu tư tại thời điểm t được xác định là
V (t) =
n

i=1
α
i
(t)S
i
(t) (1.8)
Vì các giá chứng khoán S
i
(t) là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của danh mục đầu tư
cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Một danh mục đầu tư có thể kí hiệu là φ = (α, S)
và còn gọi là phương án đầu tư hay chiến lược buôn bán.

1.3.4 Danh mục tự cân đối tài chính
Một danh mục đầu tư gọ i là tự cân đối tài chính (self - financing) nếu giá của
danh mục này không thay đổi khi ta thay đổi các trọng số của danh mục đó. Tức là
n

i=1
α
i
(t)S
i
(t) =
n

i=1
β
i
(t)S
i
(t)
hay
n

i=1
[β
i
(t) − α
i
(t)]S
i
(t) = 0

Có nghĩa là với danh mục đầu tư tự cân đối tài chính thì muốn tăng đầu tư cho một
số chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác.
11
1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá)
Định nghĩa 1.3. Một danh mục φ được gọi là ac-bit (arbitrage hay cơ hội có độ
chênh thị giá) nếu quá trình giá V
t
(φ) của danh mục thỏa mãn các điều kiện:
1. P{V
0
(φ) = 0} = 1,
2. P{V
T
(φ) ≥ 0} = 1 ,
3. P{V
T
(φ) > 0} > 0.
Như vậy ac-bit là cơ hội kiếm lợi nhuận từ sự đầu tư ban đầu bằng không.
Định nghĩa 1.4. Một thị trường M gồm các chứng khoán S và một họ các phương
án đầu tư {φ = (α, S)} là một thị trường không có ac-bit nếu không tồn tại một
danh mục đầu tư nào có ac-bit.
1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro
Xét một tài sản phái sinh kiểu Âu (X) có giá đáo hạn là X
T
đối với tài sản cơ sở
S = (S
t
, 0 ≤ t ≥ T ), thời gian đáo hạn là T . Giả thiết rằng các giá của S đều là một
quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất (Ω, F, F
t

, P) trong đó (F
t
) là bộ
lọc mang thông tin về thị trường.
Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) =
1
β(t)
, trong đó β(t) nói chung là một quá trình
ngẫu nhiên xác định trên không gia n nói trên.
Định nghĩa 1.5. Một độ đo xác suất Q trên (Ω, F) được gọi là xác suất trung hòa
rủi ro nếu:
1. Q tương đương với P, tức là Q(A) = 0 khi và chỉ khi P(A) = 0 với A ∈ F.
2. Với mọi 0 ≤ t ≥ Tta có E
Q
[
S
t
β(t)
| F
t
] =
S
s
β(s)
- hầu chắc chắn.
12
Chương 2
Một số mô hình ngẫu nhiên trong
tài chính
2.1 Mô hình định giá trái phiếu

Giá trái phiếu liên quan tới ba loại giá: Mệnh giá, giá thuần và giá tổng. Mệnh
giá (Face value) là số tiền ghi trên trái phiếu và được trả cho trái chủ khi đáo hạn,
tức có thể được coi là số tiền gốc trái chủ đã cho chủ thể phát hành trái phiếu vay.
Giá thuần (Quoted price) là mức giá được niêm yết trên thị trường trái phiếu. Giá
tổng là mức giá người mua phải trả tại thời điểm mua.
Trong mục này ta đưa thêm một vài khái niệm sau đây.
• Trái phiếu lãi suất - không (zero - coupon): Là loại trái phiếu mà người phát
hành chi trả cho người sở hữu trái phiếu số tiền theo mệnh giá vào đúng thời
điểm đáo hạn T .
• Trái phiếu có phiếu lãi (coupon bond): Là loại trái phiếu mà người phát hành
ngoài việc phải trả số tiền theo mệnh giá vào ngày đáo hạn, còn phải trả thêm
một số tiền lãi theo một định kì cố định ghi rõ trên trái phiếu trước thời điểm
đáo hạn.
• Lãi suất trái phiếu (coupon rate): Là số tiền phải trả định kì, tính theo từng
năm, và tính theo tỉ lệ phần trăm của mệnh giá của trái phiếu.
• Lãi suất giao ngay là lãi suất được thực hiện ngay tại thời điểm thỏa thuận
vay - cho vay giữa các đối tác. Lãi suất kì hạn là lãi suất được các đối tác thỏa
thuận ấn định trước ở hiện tại và thực hiện trong tương lai.
13
• Cấu trúc kì hạn của lãi suất: Nếu ta coi kì hạn T như tham số và xét to à n bộ
chuỗi lãi suất giao ngay trên thị trường {r
T
} với T : các kì hạn tại một t hờ i
điểm thì chuỗi {r
T
} gọi là "Cấu trúc kì hạn của lãi suất" tại thời điểm đó.
• Lợi tức hiện hành (current yield): Là số tiền phải trả hàng năm tính theo tỉ lệ
phần trăm của giá thị trường hiện hành của trái phiếu.
• Lợi tức đến khi đáo hạn (yield to maturity): Là số tiền tính theo tỉ lệ phần trăm
của giá trái phiếu nếu người mua giữ trái phiếu cho đến lúc đáo hạn, kí hiệu là

YTM (hoặc y).
Nếu B(t, T ) là giá tại t của trái phiếu zero mênh giá 1 đơn vị, thời điểm đáo
hạn T , y(t, T ) là YTM thì ta có:
B(t, T ) = exp[−y(t, T )(T − t)]. Suy ra y(t, T ) =
1
T −t
ln B(t, T ).
• Cấu trúc kì hạn của lợi tức: YTM của các trái phiếu zero với các kì hạn khác
nhau tạ i một thời điểm ta được tập {y
t
} gọi là cấu trúc kì hạn của lợi tức tại
thời điểm đó.
Giá trị của trái phiếu phụ thuộc vào luồng tiền trái chủ sẽ nhận, mặc dù luồng
tiền của trái phiếu được xác định trước nhưng việc định giá trái phiếu còn phụ thuộc
vào những yếu tố khác: lãi suất trên thị trường, khả năng trả nợ của ngườ i phát hành,
giá của các hàng hóa khác Những yếu tố này tạo ra sự rủi ro của trái phiếu.
2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định
• Nếu biết cấu trúc kì hạn của lãi suất giao ngay và biết mệnh giá trái phiếu zero
ta có thể tính được giá trái phiếu. Xét trái phiếu zero có mệnh giá F , kì hạn T .
Việc trái chủ mua trái phiếu với giá P và nắm giữ trái phiếu có thể xem như
trái chủ cho vay khoản P và cuối kì được trả khoản F , do đó ta có:
P =
F
(1 + r
T
)
T
(2.1)
với r
T

là lãi suất giao ngay kì hạn T. Công thức trên dùng để định giá trái
phiếu zero cả ở thời điểm phát hành và thời điểm bất kì trong thời gian còn lại
của trái phiếu. Để thuận tiện trong định giá, người ta thường tính sẵn nhân tử
chiết khấu:
B(r
T
, T ) = B
T
=
1
(1 + r
T
)
T
14
với các kì hạn T khác nhau. Có thể coi B
T
là giá trái phiếu zero kì hạn T với
mệnh giá 1 đơn vị tiền tệ. Từ đó để tính giá trái phiếu với mệnh giá F ta dùng
ngay công thức P = B
T
F .
• Nếu có số liệu về mệnh giá và giá t rái phiếu zero với các kì hạn khác nhau, ta
có thể xác định cấu trúc kì hạn của lãi suất theo công thức:
r
T
= (
F
P
)

1/T
− 1 (2.2)
Cấu trúc kì hạn của lãi suất có thể khác nhau tùy thuộc vào từng nhóm trái
phiếu zero dùng để tính lãi suất giao ngay. Nếu trên thị trường không có ac-bit
thì sẽ tồn tại một nhóm các trái phiếu để từ đó chúng ta tính ra cấu tr úc kì
hạn {r
T
} và với cấu trúc này ta sẽ tính ra giá của các trái phiếu còn lại. Nhưng
nếu trên thị trường có ac-bit thì sẽ không có một hệ thống cấu trúc kì hạn mà
có thể định giá tất cả các trái phiếu. Về mặt lí thuyết có thể tồn tại ac-bit khi
ta phân tích các trái phiếu nhưng về mặt thực tế phải tính đầy đủ các chi phí
kèm theo việc thực hiện danh mục ac-bit.
• Nếu biết cấu trúc kì hạn của lãi suất giao ngay, mệnh giá coupon (hay tỉ suất
coupon) ta có thể tính được giá trái phiếu coupon. Xét trái phiếu coupon có
mệnh giá F , coupon P (trả định kì hàng năm) và kì hạn T (năm), khi đó ta có
sơ đồ luồng tiền của trái phiếu: trong đó CF
t
= C (t = 1, , T − 1) và tại thời
điểm đáo hạn: CF
T
= C + F . Chiết khấu luồng tiền trên với tỉ suất chiết khấu
là lãi suất giao ngay với kì hạn tương ứng, ta sẽ được giá trị hiện tại của dòng
tiền sinh ra từ trái phiếu. Để không có ac-bit thì giá trị hiện tại phải bằng thị
giá của trái phiếu. Như vậy ta có công thức định giá trái phiếu coupon:
P = P V (CF ) =
T

t=1
CF
t

(1 + r
t
)
t
(2.3)
trong đó r
t
: lãi suất giao ngay kì hạn t.
Ví dụ 2.1. Cho cấu trúc kì hạn của lãi suất: r
1
= 5%, r
2
= 6%, r
3
= 6.5%.
Hãy định giá trái phiếu A có mệnh giá 1.000.000đ, kì hạn 3 năm và lãi suất
coupon 4.5% (coupon trả định k ì hàng nă m).
Ta có coupon C = CF = 1.000.000 × 0.045 = 45.000đ. Theo công thức ( 2 .3 )
giá trái phiếu A sẽ là
P
A
=
45.000
(1 + 0.05)
+
45.000
(1 + 0.06)
2
+
1.000.000 + 45.000

(1 + 0.65)
3
≈ 9 48.000
Vậy P
A
= 948.000đ.
15
Trong trường hợp tổng quát nếu trái phiếu có mệnh giá F và trả coupon
C
t
1
, , C
t
n
tại các thời điểm t
1
, , t
n
và nếu biết cấu trúc kì hạn r
t
i
, i = 1, , n
ta có công thức định giá sau:
P =
n

i=1
CF
t
i

(1 + r
t
i
)
t
i
(2.4)
với CF
t
i
là luồng tiền tương ứng tại t
i
.
Ví dụ 2.2. Trái ph i ế u B có mệnh giá 1.000.000đ, lãi suất coupon 6%/năm trả
lãi định kì nửa năm, kì trả tiếp theo sau 3 tháng nữa và có kì hạn 1 năm 3 tháng .
Hãy tính giá trái phiếu nếu cấu trúc kì hạn của lãi suất là r
0.25
= 5%, r
0.75
=
5%, r
1.25
= 6%.
Coupon C = 1.000.000 × 0.03 = 30.000đ. Khoảng thời gian [0, t
1
] : 3 tháng
∼ 0.25 năm, [t
1
, t
2

] = [t
2
, t
3
] = 6 tháng ∼ 0.5 năm, do đó [0.t
2
] ∼ 0.75 năm,
[0, t
3
] ∼ 1.25 năm. Theo công thức (2.4) ta có
P
B
=
30.000
(1 + 0.05)
0.25
+
30.000
(1 + 0.05)
0.75
+
1.030.000
(1 + 0.06)
1.25
≈ 1 .106.200.
• Giả sử biết giá của trái phiếu coupon như sau:
Trái phiếu Giá CF1 CF2 CF3
A P
A
CF

A1
B P
B
CF
B
1
CF
B
2
C P
C
CF
C
1
CF
C
2
CF
C
3

Khi đó giá trái phiếu lần lượt là
P
A
=
CF
A
1
(1+r
1

)
P
B
=
CF
B
1
(1+r
1
)
+
CF
B
2
(1+r
2
)
P
C
=
CF
C
1
(1+r
1
)
+
CF
C
2

(1+r
2
)
+
CF
C
3
(1+r
3
)

Giải hệ phương trình trên đối với r
t
ta xác định được cấu trúc kì hạn của lãi
suất và do đó xác định được giá trái phiếu zero.
Ở trạng thái cân bằng của thị trường trái phiếu, giá của tất cả trái phiếu sẽ
được xác định bởi cùng một cấu t rúc kì hạn của lãi suất. Nếu trên thị trường
trái phiếu không có ac-bit thì sẽ tồn tại (ít nhất) một cấu trúc kì hạn của lãi
suất để định giá mọi trái phiếu. Nhưng nếu trên thị trường trái phiếu có ac-bit
thì sẽ không tồn tại cấu trúc kì hạn của lãi suất mà có thể định giá mọi trái
phiếu.
16
Ví dụ 2.3. Cho số liệu về bốn trái phiếu A, B, C, D có mệnh giá 100 sau:
Trái phi ếu Kì hạn L/s coupon (%/năm) Giá
A 1 năm 7% 102.88
B 2 năm 6% 101.91
C 1 năm 5% 97.5
D 3 năm 20% 140
Coupon được trả định kì hàng năm.
1. Sử dụng trái phiếu A, B, C xác định cấu trúc kì hạn {r

1
, r
2
, r
3
}.
2. Với cấu trúc kì hạn trên, D có được định giá đúng hay không?
1. Dễ dàng xác định được r
1
= 4%, r
2
= 5%, r
3
= 6%.
2. Theo cấu trúc trên D được định giá
P
D
=
20
(1 + 0.04)
+
20
(1 + 0.05)
2
+
120
(1 + 0.06)
3
= 138.13.
Như vậy D được định giá cao.

2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên
Theo thời gian, mức lãi suất ứng với các kì hạn đều có thể thay đổi, sự thay đổi
này chi phối bởi các yếu tố ngẫu nhiên. Như vậy ta cần sử dụng quá trình ngẫu nhiên
để mô tả động thái của mức lãi suất ứng với kì hạn nhất định. Mức lãi suất được
chọn để mô hình hóa động thái là mức lãi suất có kì hạn ngắn nhất. Kí hiệu r
t
là
mức lãi suất ngắn hạn tại thời điểm t, nội dung cơ bản của phương pháp này có thể
mô tả như sau:
• Giả thiết {r
t
} là quá trình Itô có dạng phương trình nhất định
• Xác định mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình với giá trái phiếu zero
• Xác định toàn bộ cấu trúc kì hạn.
Hai mô hình cấu trúc kì hạn cơ bản thường dùng là Mô hình Va sicek và Mô hình
Cox - Ingersoll - Ross (CIR).
Mô hình Vasicek cho rằng lãi suất có một "mức chuẩn", khi lãi suất trên thị
trường cao quá mức này thì nhu cầu vay sẽ giảm, do đó lãi suất có xu hướng giảm và
17
ngược lại. Ông đã đề xuất mô hình: lãi suất ngắn hạn là quá trình ngẫu nhiên phục
hồi trung bình với phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng:
dr = a(b − r)dt + σd W (2.5)
với a, b, σ là các hằng số.
Nếu r
t
là nghiệm của phương trình trên thì
P (t, T ) = A(t, T )e
−B(t,T )r
t
(2.6)

trong đó P (t, T ) là giá của trái phiếu zero tại thời điểm t có mệnh giá 1 đơn vị tiền
tệ và đáo hạn tại T ;
B(t, T ) =
1−e
−a(T −t)
a
;
A(t, T ) = exp

(B(t,T )−T +t)(a
2
b−σ
2
/2)
a
2
−
σ
2
B(t,T )
2
4a

.
Trường hợp khi a = 0, {r
t
} là quá trình Brown và
B(t, T ) = T −t;
A(t, T ) = exp


σ
2
(T −t)
3
6

.
Suy ra cấu trúc kì hạn
y(t, T ) =
1
T −t
lnB(t, T )r
t
−
1
T −t
lnA(t, T ).
Như vậy cấu trúc kì hạn tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào lã i suất ngắn hạn tại t (r
t
)
và các hệ số a, b, σ.
Đối với mô hình Va sicek, lãi suất ngắn hạn có thể âm. Để khắc phục tình trạng
này, năm 1985 các tác giả J.C.Cox, J.E.Ingersoll và S.A.Ross đã mở rộng mô hình
Vasicek bằng mô hình phục hồi trung bình (mở rộng) với phương trình vi phân ngẫu
nhiên có dạng
dr = a(b − r)t −σ
√
rdW (2.7)
với a, b, σ là các hằng số. Mô hình trên đối với lãi suất gọi là mô hình CIR.
Nếu r

t
là nghiệm của phương trình thì
P (t, T ) = A(t, T )e
−B(t,T )r
t
(2.8)
B(t, T ) =
2(e
γ(T −t)
−1)
(γ+a)(e
γ(T −t)
−1)+2γ
; A(t, T ) =

2γe
(a+γ)(T −t)/2
(γ+a)e
γ(T −t)−1

2ab/σ
2
; γ =
√
a
2
+ 2σ
2
. Suy ra
cấu trúc kì hạn

y(t, T ) =
1
T −t
lnB(t, T )r
t
−
1
T −t
lnA(t, T ).
Với việc ước lượng cấu trúc kì hạn của lãi suất, ta có thể sử dụng cấu trúc này để
định giá trái phiếu zero các kì hạn và từ đó định giá trái phiếu coupon.
18
2.2 Mô hình định giá cổ phiếu
Giá cổ phiếu là một yếu tố biến động thường xuyên và phụ thuộc vào rất nhiều
yếu tố trên thị trườ ng. Việc phân tích và định giá cổ phiếu nhằm định giá cổ phiếu,
so sánh với thị giá để phát hiện các cổ phiếu định giá sai, sử dụng thông tin trên để
thực hiện các chiến lược đầu tư. Có nhiều mô hình được sử dụng để ước lượng giá
hợp lí của cổ phiếu tại một thời điểm. Trước hết ta sẽ phân tích một số đặc điểm của
quá trình giá cổ phiếu. Kí hiệu S
t
là giá cổ phiếu tại thời điểm t. Ta coi {S
t
} như
một quá trình ngẫu nhiên trong không gian xác suất (Ω, P, F) với F là tập thông tin
các nhà đầu tư trên thị trườ ng có thể tiếp cận. Cho F
t
là bộ lọc tại thời điểm t ứng
với {S
t
}. F

t
có thể coi là tập thông tin về quá trình diễn biến của S
t
đến thời điểm
t. Ta sẽ giả thiết quá trình {S
t
} tương ứng với bộ lọc F
t
.
2.2.1 Mô hình cây nhị phân
Mô hình cây nhị phân (Binomial Tree Model - BT) là mô hình đơn giản nhất
mô tả động thái (rời rạc) giá cổ phiếu. J. Cox, S. Ross, M. Rubinstein trong bài báo
"Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics" 7 – 1979
đã đề xuất mô hình này với mục tiêu chính là sử dụng mô hình để định giá quyền
chọn cổ phiếu. Mô hình còn có tên gọ i là “mô hình Cox – Ross – Rubinstein” (mô
hình CRR).
Giả thiết
Cho S
0
là giá cổ phiếu tại thời điểm t = 0 (thời điểm đầu chu kỳ khảo sát). Chu
kỳ khảo sát [0, T ] được chia thành n khoảng thời gian với độ dài δt khá nhỏ. Ký hiệu
S
1
, S
2
, , S
n
là giá cổ phiếu tại các thời điểm δt, 2δt, 3δt, , nδt. Giả thiết về quy luật
diễn biến giá cổ phiếu (động thái giá ): Tại các thời điểm tiếp theo có hai khả năng
có thể xảy ra đối với giá cổ phiếu:

• Với xác suất p (p > 0), giá sẽ tăng theo hệ số u (u > 1)
• Với xác suất (1 − p), giá sẽ giảm theo hệ số d (0 < d < 1)
và diễn biến xảy ra tại các thời điểm độc lập với nhau. Ta sẽ gọi quy luật trên là “quy
luật nhị phân” với xác suất p.
Với n = 1, 2 , ta có mô hình cây nhị phân của giá cổ phiếu n - giai đoạn tương
ứng.
19
a. Mô hình cây nhị phân một giai đoạn
Với giá cổ phiếu đầu chu kỳ là S
0
ta có: S
1
=

uS
0
: xác suất p
dS
0
: xác suất (1 − p)
(2.9)
Minh họa động thái giá như hình vẽ.
uS
0
dS
0
S
0
(Hình 1)
b. Mô hình cây nhị phân hai giai đoạn

Với giá cổ phiếu đầu chu kỳ là S
0
ta có: S
1
=

uS
0
: xác suất p
dS
0
: xác suất (1 − p)
(2.10)
Theo quy luật nhị phân, S
2
được xác định là S
2
=

uS
1
: xác suất p
dS
1
: xác suất (1 − p)
(2.11)
uS
0
Ta có minh họa như hình vẽ.
dS

0
S
0
u
2
S
0
d
2
S
0
udS
0
S
0
(Hình 2)
c. Mô hình cây nhị phân n giai đoạn
Một cách tổng quát ta có mô hình cây nhị phân n giai đoạn đối với giá cổ phiếu
sau: Phân phối xác suất của S
n
có dạng: P(S
n
= u
i
d
n−i
S
0
) = C
i

n
p
i
(1 − p)
n−i
với
i = 0, , n. Mức giá u
i
d
n−i
S
0
ứng với trường hợ p: trong n giai đoạn, giá cổ phiếu có
i giai đoạn tăng và (n − i) giai đoạn giảm. Có thể xem phân phối xác suất của S
n
tương ứng với n phép thử Bernoulli với hai kết cục: giá tăng, giá giảm do đó thuộc
lớp phân bố nhị thức B(n, p) với các giá trị có thể có là u
i
d
n−i
S
0
, i = 0, , n.
Nhận xét. Với cây nhị phân n giai đoạn quá trình giá cổ phiếu sẽ có 2
n
quỹ đạo.
Hơn nữa có thể chứng minh được nếu cho n → ∞ thì mô hình cây nhị phân sẽ có
giới hạn là chuyển động Brown.
20
Mô hình CRR có 3 tham số: u, d , p. Để có thể mô phỏng quỹ đạo giá ta cần ước

lượng các t ham số này. Nếu ước lượng được lợi suất kì vọng µ và phương sai σ
2
của
cổ phiếu ta có thể sử dụng hai tham số này để ước lượng các tham số của mô hình
cây nhị phân.
Trước hết ta phân tích lợi suất của cổ phiếu. Nếu tại thời điểm đầu kì ta mua cổ
phiếu với giá S
0
, cuối kì giả sử giá cổ phiếu là u
i
d
n−i
S
0
, khi đó ta có lợi suất đầu tư
r = ln(
u
i
d
n−i
S
0
S
0
) = ln(u
i
d
n−i
).
Phân bố của lợi suất

P{r = ln(u
i
d
n−i
)} = C
i
n
p
i
(1 − p)
n−i
với i = 1, , n. (2.12)
Khi đó lợi suất kì vọng
E(r) = r =

n
i=0
C
i
n
p
i
(1 − p)
n−i
ln(u
i
d
n−i
) =


n
i=0
C
i
n
p
i
(1 − p)
n−i
[i ln
u
d
+ n ln d].
hay
r = ln
u
d
[

n
i=0
C
i
n
p
i
(1 − p)
n−i
i] + n ln d[


n
i=0
C
i
n
p
i
(1 − p)
n−i
]. Do biểu thức trong
ngoặc của số hạng thứ hai bằng 1 (tổng các xác suất) và biểu thức tr ong ngoặc của
số hạng thứ nhất chính là kì vọng của phân bố Nhị thức B(n, p) nên bằng np. Từ đó
ta có
r = np ln
u
d
+ n ln d. (2.13)
Nếu gọi r
k
là lợi suất cổ phiếu trong giai đoạn thứ k thì r
k
= ln(S
k
/S
k−1
). Khi đó lợi
suất r sau n giai đoạn có thể biểu diễn là
r = ln
S
n

S
0
= ln(
S
n
S
n−1
S
n−1
S
n−2

S
1
S
0
) =
n

k=1
r
k
. (2.14)
Do biến động giá sau mỗi giai đoạn độc lập với nhau nên các lợi suất r
k
là các biến
ngẫu nhiên độc lập. Suy ra V ar(r) =

n
k=1

V ar(r
k
).
Do S
k
có phân bố S
k
=

uS
k−1
: xác suất p
dS
k−1
: xác suất (1 − p)
suy ra phân bố của r
k
: r
k
=

ln u : xác suất p
ln d : xác suất (1 − p)
Dễ dàng tính được V ar(r
k
) = p(1 −p) ln
2
u
d
. Do đó

V ar(r) = np(1 − p ) ln
2
u
d
. (2.15)
Như vậy nếu ta ước lượng được kì vọng và phương sai của lợi suất cổ phiếu ta có thể
ước lượng các tham số u, d và p từ các phương trình
np ln
u
d
+ n ln d = µ và (2.16)
21