Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức cauchy - schwarz
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 80 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------
Trần thị Minh Ngọc
DẠNG HẰNG ĐẲNG THỨC CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC CAUCHY - SCHWARZ
Luận văn thạc sĩ khoa học
Hà Nội, tháng 12/2011.
i
Mục lục
Lời cảm ơn ................................................................... Error! Bookmark not defined.
Mục lục ....................................................................................................................... i
Mở đầu .......................................................................................................................1
Phần 1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế. ......3
1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. ..................................................................3
1.2. Bất đẳng thức AM-GM. .................................................................................5
1.3. Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế. .....................................8
Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ..................25
Bài 1: Dạng hằng đẳng thức thứ nhất ...............................................................25
1.1. Các định lý ................................................................................................25
1.2. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức CauchySchwarz trong đại số. ......................................................................................30
1.3. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ nhất của bất đẳng thức CauchySchwarz trong lượng giác. ..............................................................................45
Bài 2. Dạng hằng đẳng thức thứ 2 .....................................................................57
2.1. Các định lý. ...............................................................................................57
2.2. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức CauchySchwarz trong đại số. ......................................................................................63
2.3. Áp dụng dạng hằng đẳng thức thứ hai của bất đẳng thức CauchySchwarz trong lượng giác. ..............................................................................65
Bài 3. Một số ví dụ mở rộng ...............................................................................72
Kết luận ....................................................................................................................75
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................76
i
Mở đầu
Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học. Ngay từ
đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng có
sức hút mạnh mẽ đối với những người u tốn, khơng chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả
những bí ẩn nó mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo. Bất
đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng trong các mơn khoa học khác và trong thực tế.
Ngày nay, bất đẳng thức vẫn ln chiếm một vai trị quan trọng và vẫn thường xuất
hiện trong các kì thi quốc gia, quốc tế. Một trong những bất đẳng thức cổ điển quan
trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó. Bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã ln được các nhà tốn học lỗi lạc nghiên
cứu và phát triển.
Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các
bất đẳng thức khác hoặc trong hình học. Trong luận văn này, tác giả xin trình bày
một hướng tiếp cận mới của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: “Dạng hằng đẳng
thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz” . Từ các hằng đẳng thức quen thuộc, khi
kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta sẽ thu được nhiều dạng bất đẳng thức
mới và lạ. Từ đó, ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức có ứng dụng trong đại
số hoặc lượng giác.
Luận văn gồm 2 phần:
Phần 1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi quốc gia, quốc tế.
Phần 2: Dạng hằng đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz .
Trong phần 2, tác giả đã phân chia thành ba bài.
Bài 1: Từ dạng hằng đẳng thức thứ nhất, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để được các kết quả mới và các áp dụng của nó trong đại số và lượng giác.
Bài 2: Từ dạng hằng đẳng thức thứ hai, kết hợp với bất đẳng thức CauchySchwarz để được các kết quả mới và một số áp dụng của nó trong đại số và lượng
giác.
1
Bài 3: Giới thiệu bất đẳng thức trong đề thi IMO tại IRAN năm 1998 và một
số mở rộng.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ cịn hạn chế nên các
vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và khơng tránh khỏi thiếu
sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm2011
Học viên
Trần thị Minh Ngọc
2
Phần 1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các đề thi
quốc gia, quốc tế.
1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Với ai R, bi R (i 1, n) , chứng minh rằng
2
n
n
n
aibi ai2 bi2
i1 i1
i 1
Chứng minh.
Cách 1. (Sử dụng đẳng thức Lagrange).
Từ đẳng thức
2
n 2 n 2 n
2
ai bi aibi (aib j a jbi )
i 1 i 1 i 1
1i j n
2
n
n
n
Suy ra aibi ai2 bi2
i 1
i 1 i 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a1 a2
a
... n
b1 b2
bn
Cách 2. (Sử dụng tính chất của hàm bậc 2).
Xét hàm số
n
n 2 n
2
f x x a 2 x aibi bi ai x bi
i 1
i 1
i 1
i 1
n
2
2
i
Ta có f x 0 với mọi giá trị của x
3
n
Nếu
a
i 1
2
i
0 ai =0 i 1, n thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
n
Áp dụng tính chất của hàm bậc 2 khi
a
2
i
i 1
0 suy ra
2
n
n 2 n 2
' aibi ai bi 0
i 1
i 1 i 1
2
n
n 2 n 2
aibi ai bi
i 1
i 1 i 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a1 a2
a
... n
b1 b2
bn
Cách 3. (Áp dụng bất đẳng thức trung bình).
Ta có
1 2
xk yk2 xk yk k 1, n
2
Cộng tất cả các bất đẳng thức ta thu được
n
1 n 2
2
xk yk xk yk
2 k 1
k 1
Kí hiệu A
n
ak2 , B
k 1
Chọn xk
n
b
k 1
ak
b
, yk k ta có
A
B
2
k
n
n
k 1
k 1
xk2 yk2 1
n
Và thu được
xk yk
1
AB
k 1
4
2
n
n 2 n
ak bk A2 B 2 ak bk2
k 1
k 1 k 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xk yk
ak A
k .
bk B
1.2. Bất đẳng thức AM-GM.
Trong luận văn này, ta cũng hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất
đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) sau:
Với a1 , a2 ,..., an là các số thực khơng âm, ta ln có:
1
n
1
ai ai .
n i 1
i 1
n
n
n
Ở đây ta ký hiệu
a
i 1
i
a1.a2 ...an .
Chứng minh.
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, trong đó cách chứng minh
quen thuộc nhất như sau:
Cách 1:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n số khơng âm thì sẽ đúng với 2n
số khơng âm.
1 2n
1 1 n
1 n
ai ai ani .
2 n i1 n i1
2n i 1
1
n
1
n
1
1
1
ai 2 ai 2 ain .
2n i 1
i 1
i 1
2n
n
n
5
1
2n
1
ai ai .
2n i 1
i 1
2n
2n
Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với n 2k . Bất đẳng thức AM – GM sẽ được
chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây:
Nếu bất đẳng thức đúng với n k thì cũng đúng với n k 1.
1
ai ai
k 1 i 1
i 1
k 1
k 1
Thật vậy:
ai ai
i 1
i 1
k 1
k 1
1
k 1
1
k 1
.
k ai
i 1
k 1
1
k 1
.
Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra:
k 1
ai ai
i1
i 1
k 1
ai ai
i 1
i 1
k 1
k 1
1
k 1
1
k 1
k 1
k 1
k ai . ai
i 1 i 1
k ai
i 1
k 1
1
k 1
1
k 1
1
k
.
.
(đpcm)
Cách 2:
Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.
Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 2 , ta chứng minh bất đẳng thức đúng với
n k 1.
1 k
ai ak 1
1
k i 1
Sk 1
.
ai
k 1 i 1
k 1
k 1
Ta có:
k
Theo giả thiết quy nạp ta thu được:
6
Sk 1
k
a
k
1
k
i 1 i
ak 1
k 1
.
Để chứng minh bất đẳng thức đúng khi n k 1 ta cần chứng minh:
k
a
k
1
k
i 1 i
ak 1
k 1
ai
i 1
k 1
1
k 1
.
1
Ký hiệu:
k k k 1
k 1
ai , ak 1 .
i 1
Ta thu được:
k k 1 k 1 k 1 k .
k k k k 0 .
k k k 1 k 2 k 3 2 ... k 1 0 .
k k k k 1 ... k k 1 0 .
2
k 1 k 2 ... k 1 k 2 k 3 ... k 2 ... k 1 0
Bất đẳng thức đúng vì
, 0 .
Các trường hợp riêng:
a 2 b2
2
ab a b 0 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
1.
2
2. a, b 0 :
ab
ab
2
2
a b . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi a b .
7
abc
3. a, b, c :
abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
3
a b c.
4. a, b, c :
a 3 b3 c 3
abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
a b c.
1.3. Một số bài toán trong các đề thi quốc gia, quốc tế.
Bài 1. (Poland, 1996)
Cho
n 2 và
a1, a2 ,..., an R
x1, x2 ,..., xn R mà
n
x
i 1
i
n
với
a
i 1
i
1 . Chứng minh rằng với
1, chúng ta có:
2 xi x j
i j
n 2 n ai xi2
n 1 i 1 1 ai
Chứng minh
2
n
n
Nếu xi 1 thì 1 xi xi2 2 xi x j . Từ đó bất đẳng thức cần chứng
i 1
i 1
i j
i 1
n
minh tương đương với:
n
1
xi2
n 1 i 1 1 ai
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh rằng:
2
n
xi2 n
n
xi 1 a 1 ai
i 1
i 1
i i 1
Bài 2. (Rumania 1996)
8
Cho x1 , x2 ,..., xn1 là những số thực không âm với x1 x2 ... xn xn1 . Chứng
n
minh rằng
xi xn1 xi
i 1
n
x x
i 1
n 1
n 1
xi .
Chứng minh.
n
Ta có
x
i 1
n1
2
( xn1 xi ) (n 1) xn1
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
n
i 1
xi ( xn1 xi n 1.xn1
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ra ta có điều phải chứng minh.
Bài 3. (Autria-Poland 1996).
Nếu w, x,
y, z
là những số
thực thỏa mãn
w x y z 0
w2 x2 y 2 z 2 1. Chứng minh rằng 1 wx xy yz zw 0 .
Chứng minh.
Bất đẳng thức bên phải wx xy yz zw ( w y)( x z) ( w y)2 0
Từ bất đẳng thức bên trái, nhận thấy
wx xy yz zw (w y)( x z )
1
( w y)2 ( x z )2 w2 x 2 y 2 z 2 1
2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được
wx xy yz zw w2 x 2 y 2 z 2 w2 x 2 y 2 z 2 1
2
Bài 4. (Rumania 1998)
9
và
Cho số nguyên dương n 2 và x1, y1, x2 , y2 ,..., xn , yn là các số thực thỏa mãn
x1 x2 ... xn x1 y1 x2 y2 ... xn yn . Chứng minh rằng:
x1 x2
x
... n
y1 y2
yn
x1 x2 ... xn
Chứng minh.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với
x1 x2
x
,
,..., n
y
yn
1 y2
và
x1 y1 ,..., xn yn để có
x1 x2 ... xn
2
x1 x2 ... xn
2
x1 x2 ... xn
2
x1 x2 ... xn
x
1 . x1 y1 ...
y
1
xn
. xn yn
yn
x x
x
1 2 ... n x1 y1 x2 y2 ... xn yn
yn
y1 y2
x x
x
1 2 ... n x1 x2 ... xn
yn
y1 y2
x1 x2
x
... n .
y1 y2
yn
(đpcm)
Bài 5. (Iran 1998).
Cho x, y, z 1 và
1 1 1
2 . Chứng minh rằng:
x y z
x y z x 1 y 1 z 1 .
Chứng minh.
10
Ta có:
x 1
x 1 y 1 z 1
x
x
2
y 1
z 1
y
z
y
z
2
x 1 y 1 z 1
x y z
y
z
x
1 1 1
3 x y z
x y z
x yz
Vậy ta có:
x y z x 1 y 1 z 1 (đpcm).
Bài 6. (Ireland, 1999).
Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a b c d 1. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2
d2
1
.
ab bc cd d a 2
Chứng minh.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
b
c
d
a
ab
bc
cd
d a
a b c d
bc
cd
d a
ab
2
2
2
2
a
b
c
d
.2(a b c d )
ab bc cd d a
2
a2
b2
c2
d2 1
1
(a b c d ) .
2
ab bc cd d a 2
Bài 7. (Rumania 1999).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc . Chứng minh rằng
a b c a3 b3 c3 .
Chứng minh.
11
2
Từ giả thiết ab bc ca 3abc
1 1 1
3.
a b c
1 1 1
9abc3
a b c
Mà ta có bất đẳng thức a b c
Vậy ta có 3 a b c a b c
2
3
1
3
1
3 1
a 2 a 2 b 2b 2 c 2 c 2
2
1 1 1
a 3 b3 c 3
a b c
3 a 3 b3 c 3
a b c a3 b3 c3 .
(đpcm)
Bài 8. (Belarus, 1999).
Cho a, b, c 0 . Chứng minh rằng:
a
b
c
1.
b 2c c 2a a 2b
Chứng minh.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
a
b
c
a2
b2
c2
b 2c c 2a a 2b ab 2ca bc 2ab ca 2bc
a b c 1
3 ab bc ca
2
( do a b c 3 ab bc ca ).
2
12
Bài 9. (Austria-Poland, 2000).
Cho x, y, z là các số thực không âm sao cho x y z 1 . Chứng minh rằng:
2 1 x 2 1 y 2 1 z 2 1 x 1 y 1 z .
2
2
2
Chứng minh.
Đặt
A x2 y 2 z 2 ,
B xy yz zx ,
C x2 y 2 y 2 z 2 z 2 x2
D xyz .
Khi đó ta có:
1 A 2B ;
B2 C 2D
x4 y 4 z 4 A2 2C 4B2 4B 1 2C 2C 4B 8D 1 .
Khi đó biểu thức ở giữa trở thành
3 2 A 2C 4B 8D 1 2 2C 8D 2 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0.
Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2 B D . Bởi vậy ta phải chứng minh
2C 8D B D hoặc B 2B2 3D 0 .
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A B , vì vậy B 1 2B BA . Vậy
2
ta cần chứng minh B 3D C D 0 . Nhưng C xyyz yzzx zxxy D có
thể thu được từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Bài 10. (IMO, 2001)
Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực dương ta có:
a
a 2 8bc
b
b 2 8ca
13
c
c 2 8ab
1.
Chứng minh
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
VT
a2
a a 8bc
2
b2
b b 8ca
2
a b c
c2
c c 2 8ab
2
a a 8bc b b 8ca c c 8ab
2
2
2
1.
Bài 11. (Short list IMO, 2001).
Cho x1, x2 ,..., xn là các số thực, chứng minh rằng:
x1
x1
x1
...
n.
2
2
2
2
2
2
1 x1 1 x1 x2
1 x1 x2 ... xn
Chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
ai 1 và bi
a b a b
i i
2
i
2
i
với
x1
2
2
1 x x2 ... xn
2
1
Ta thu được
x1
x1
x1
...
n
2
2
2
1 x12 1 x12 x2
1 x12 x2 ... xn
Từ đó ta thu được
b
2
i
b
2
i
1.
Để ý rằng với i 2 ,
2
xi
xi2
bi2
2
2
2
2
2
1 x1 x2 ... xi 1 x12 x2 ... xi2
14
.
1 x
2
1
xi2
2
2
x2 ... xi21 1 x12 x2 ... xi2
1
1 x x ... x
2
1
2
2
2
i 1
1
2
1 x x2 ... xi2
2
1
x12
1
1
Với i 1 sử dụng bất đẳng thức b
.
1 x12
1 x12
2
1
Cộng vế với các bất đẳng thức này ta được
2
x
1
b 1 x2 x2i ... x2 1 1 x2 x2 ... x2 1.
i 1
1
2
i
1
2
n
n
2
i
Bài 12. (Czech and Slovak Republics, 2004).
Cho P( x) ax 2 bx c là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm. Chứng minh
1
P( x) P ( P(1)) 2 .
x
rằng với x 0 ta ln có:
Chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta nhận được:
1
1
P( x) P = ax 2 bx c a 2 bx c
x
x
=
2
ax
bx
2
2
a b
c
x x
2
2
c
2
a
b
2
2
ax
bx
c c a b c P(1) .
x
x
Bài 13. (UK 2005)
Cho a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng
15
2
a b c
1 1 1
a b c .
b c a
a b c
Chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
a 2 b2 c 2
a b c
12 12 12 2 2 2
c
a
b c a
b
2
2
b2 c 2
a b c 3 abc
a b c a
3 nên 2 2 2
Nhưng do 3
abc
c
a
b c a
b c a b
2
a b c 3 abc
3
3 nên
abc
c a b
Mặt khác
a 2 b2 c 2 a b c
a b c
2 2 3
2
b
c
a
c a b
b c a
Thêm
a b c
vào 2 vế ta có:
c a b
a 2 b2 c 2
a b c
a b c a b c
2 2 2 3
b2 c a
c a b
c a b b c a
2
a b c
1 1 1
a b c .
b c a
a b c
Bài 14. (Litthuania, 2006).
Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1
1
1
2
2
a bc b ca c ab 2 ab bc ca
2
Chứng minh
16
Ta có: a 2 bc 2 a 2bc 2 ab ac nên ta có
1
1
a bc 2 ab ac
2
Vậy:
1
1
1
1
VT
2 ab ac
bc ba
cb ca
1 1
1
1 1
1
1 1 1
1
1
.
2 ab bc ca ab bc ca 2 ab bc ca
Bài 15. (Romania JBMO Team Selection Test 2007).
Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn:
1
1
1
1.
b c 1 c a 1 a b 1
Chứng minh rằng: a b c ab bc ca .
Chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
1
b c a2
b c a2
.
b c 1 b c 1 b c a 2 b c a 2
Tương tự như vậy ta có:
1
c a b2
c a b2
.
c a 1 c a 1 c a b 2 c a b 2
1
a b c2
a b c2
.
a b 1 a b 1 a b c 2 a b c 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta được:
17
a 2 b2 c 2 2(a b c)
a b c
Suy ra ta có:
2
1.
a b c ab bc ca .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c 1.
Bài 16. (USA Mathematical Olympiad 1997).
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có:
1
1
1
1
.
3 3
3
3
3
a b abc b c abc c a abc abc
3
Chứng minh.
Sử dụng tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa cho abc 1. Từ đó bất đẳng thức cần
chứng minh có thể được viết lại thành.
1
1
1
3 3
3
1.
3
a b 1 b c 1 c a3 1
3
Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được.
1 1 2
1 1 2
c
c
1
bc ca c 2
c
a b
a b
2
2
a 3 b3 1
1 1
a b c a b c
a3 b3 1 c 2 a b c
a b
Cộng tương ứng bất đẳng thức này với hai đánh giá tương tự, vế theo vế, ta suy ra
ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Bài 17. (Japanese Mathematical Olympiad 2004).
Giả sử a, b, c là các số thực dương sao cho a b c 1. Chứng minh rằng:
b c a 1 a 1 b 1 c
.
2
a b c 1 a 1 b 1 c
Chứng minh
18
Do
1 a
2a
1 nên bất đẳng thức trên có thể được viết dưới dạng đồng bậc
1 a b c
là:
b c a
a
b
c
3
.
a b c bc ca ab 2
Lại do
a
a
ab
nên bất đẳng thức này tương đương với
c b c c b c
ab
bc
ca
3
.
c b c a c a b a b 2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
ab
ab bc ca
ab bc ca
c b c abc b c bca c a cab a b 2abc a b c .
2
2
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh
ab bc ca
2
3abc(a b c) .
Nhưng đây lại là một kết quả quen thuộc.
Vì vậy bài tốn đã được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c.
Bài 18. (Singapore IMO Team Selection Test 2003)
Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:
bc
ca
ab
a bc
.
2a b c a 2b c a b 2c
4
Chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
19
1
1
1 1
1
.
2a b c ( a b ) ( a c ) 4 a b a c
Từ đó suy ra:
1
bc
bc
bc
2a b c 4 a b c a
1
bc
ca 1
c
4 a b
ab 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Bài 19. (Chinese IMO Team Selection Test 2006).
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x y z 1 :
xy
xy yz
Chứng minh rằng:
yz
yz zx
zx
2
.
2
zx xy
Chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
2
x2 y
xy
2
VT
x( y z )
zx
( z x)( y z )
2( xy yz zx) xy x y yz ( y z ) zx( z x)
( x y )( y z )( z x)
Do đó, ta chỉ cần chứng minh được
4 xy x y yz ( y z ) zx( z x)
( x y )( y z )( z x)
Hay
( x y z )2
xy yz zx
x2 y 2 z 2
8 xyz
2
xy yz zx ( x y )( y z )( z x)
20
Khơng mất tính tổng qt, giả sử z min x, y, z . Ta có:
x2 y 2 z 2
x 2 y 2 z 2 xy yz zx
x 2 y 2 z 2 xy yz zx
1
1
xy yz zx
xy yz zx
xy yz zx z 2
x2 y 2 z 2 x2 y 2 2 z 2
.
xy yz zx ( x y )( y z )
Ta cần chứng minh:
x2 y 2 2 z 2
8 xyz
2
( x y)( y z ) ( x y)( y z )( z x)
Sau khi khai triển và rút gọn ta được x y
2
x y 2z 0
đúng do x y 2 z . Bài toán được chứng minh xong.
1
.
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z
Bài 20. (Walther Janous, IMO 2008).
Cho các số thực x, y, z 1 thỏa mãn xyz 1 . Chứng minh rằng:
2
x y z
1.
x 1 y 1 z 1
2
2
Chứng minh
Do x, y, z 1 và xyz 1 nên tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn
a2
b2
c2
x , y , z , a 2 bc b 2 ca c 2 ab 0 .
bc
ca
ab
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a4
a2 bc
2
b4
b2 ca
21
2
c4
c2 ab
2
1.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
a b c
a bc a bc b ca c
2
a4
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
ab
2
Bài toán được quy về chứng minh:
a
2
b2 c 2 a 2 bc b2 ca c 2 ab
2
2
2
2
Thực hiện phép khai triển và rút gọn, ta được ab bc ca 0 , điều này hiển
2
nhiên đúng. Vậy, bài toán được chứng minh xong.
Bài 21. (Vasile Cirtoaje, Chinese IMO Team Selection Test 2005).
Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt 1 . Chứng minh rằng:
1
1 x
2
1
1 y
2
1
1 z
2
1
1 t
2
1.
Chứng minh
Cách 1. Đặt x
bc
cd
da
ab
, y 2 , z 2 , t 2 với a, b, c, d 0 .
2
a
b
c
d
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a
a4
2
bc
2
b
b4
2
cd
2
c
c4
2
da
2
d
d4
2
ab
2
1
(21.1)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
a4
a2 bc
2
c
c4
2
da
2
a
a4
2
b2 a 2 c 2
22
c
c4
2
d 2 c 2 a 2
a
a
2
2
c2
2
b2 a 2 c 2 c 2 d 2 c 2 a 2
a2 c2
2
a b2 c 2 d 2
Tương tự ta có:
b4
b2 cd
2
d4
d 2 ab
2
(21.2)
b2 d 2
2 2 2
a b c d2
(21.3)
Công hai vế của (21.2) và (21.3) ta thu được (21.1). Vậy ta có điều phải chứng
minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z t 1 .
Cách 2. Đặt x
b
c
d
a
, y , z , t với a, b, c, d 0 .
a
b
c
d
Bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:
a2
a b
2
b2
b c
2
c2
c d
2
d2
d a
2
1
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp với bất đẳng thức AM – GM, ta có:
a(a d ) b(b a) c(c b) d (d c)
VT
2
2
a b a d
2
a a d b b a c c b d d c
2
2
2
2
a b c d a d b c
2
2
a b 2 b c 2 c d 2 d a 2
1
2
2
2
2
4 a b c d a d b c
Bài 22. (Japanese Mathematical Olympiad 1997).
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta đều có:
23
