Một số kỹ thuật trong việc áp dụng bất đẳng thức cauchy schwarz holder vào toán sơ cấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

TRẦN THỊ BÍCH LIÊN

MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY - SCHWARZ - HOLDER
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2014


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

TRẦN THỊ BÍCH LIÊN

MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY - SCHWARZ - HOLDER
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

Th.s PHẠM LƢƠNG BẰNG

HÀ NỘI - 2014


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, trƣờng
ĐHSP Hà Nội 2, các thầy cô giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện để giúp em
hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo hƣớng
dẫn: Thạc sĩ Phạm Lƣơng Bằng đã quan tâm hƣớng dẫn và chỉnh sửa
khóa luận cho em.
Mặc dù đã cố gắng nhƣng bản thân em mới làm quen với công tác
nghiên cứu khoa học nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em hy
vọng sẽ nhận đƣợc sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để
khóa luận của em hoàn chỉnh hơn.
Sinh viên
Trần Thị Bích Liên

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của sự nỗ lực của tự bản thân tôi và
sự hƣớng dẫn của Thạc sĩ Phạm Lƣơng Bằng.
Nội dung khóa luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu của
các tác giả trƣớc đã công bố.
Sinh viên
Trần Thị Bích Liên

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÀ CHỨNG MINH VỀ CÁC BẤT
ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ-HOLDER ........................................ 3
1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy, Schwarz, Holder ................................... 3
1.1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy ......................................................... 3
1.1.2 Tiểu sử tóm tắt về Schwarz ........................................................ 3
1.1.3 Tiểu sử tóm tắt về Holder........................................................... 4
1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ....................................................... 5
1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng tổng quát......................... 5
1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân số (dạng Engel)...... 6
1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-schwarz dạng căn thức........................... 7
1.2.4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng bình phƣơng của một
tổng. .................................................................................................... 7

1.3 Bất đẳng thức Holder ....................................................................... 8
1.3.1 Bất đẳng thức Holder dạng tổng quát......................................... 8
1.3.2 Mở rộng 1 của bất đẳng thức Holder ......................................... 9
1.3.3 Mở rộng 2 của bất đẳng thức Holder ....................................... 11
1.3.4 Mở rộng 3 của bất đẳng thức Holder ....................................... 12
Chƣơng 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT
ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ-HOLDER VÀO GIẢI TOÁN SƠ
CẤP .......................................................................................................................... 14
2.1 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz .......................... 14
2.1.1 Kỹ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-schwwarz ... 14
2.1.2 Kỹ thuật sử dụng dạng cộng mẫu số Engel của bất đẳng thức
Cauchy-Swcharz ............................................................................... 16
2.1.3 Kỹ thuật lân dần ....................................................................... 20
2.1.4 Kỹ thuật nâng lên lũy thừa và điều chỉnh hệ số ....................... 25
2.2 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Holder .......................................... 28
2.2.1 Điểm rơi đối xứng trong bất đẳng thức Holder ........................ 28
SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

2.2.2 Điểm rơi Holder với các biểu thức chứa biến .......................... 29
Chƣơng 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI ................... 33
3.1 Hệ thống bài tập ............................................................................. 33
3.2 Hƣớng dẫn giải .............................................................................. 34
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 44

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó của toán học sơ cấp,
đòi hỏi tính tƣ duy và sáng tạo cao. Bất đẳng thức luôn giữ vị trí quan
trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học, Olympic quốc gia và quốc
tế. Điểm đặc biệt và ấn tƣợng nhất của bất đẳng thức trong toán học sơ
cấp đó là có rất nhiều bài toán khó nhƣng luôn có thể giải đƣợc bằng
những kiến thức cơ sở, chủ yếu sử dụng các phép biến đổi, đánh giá sơ
cấp để thu đƣợc kết quả.
Ngày nay, có rất nhiều phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức
thông dụng nhƣ: phƣơng pháp tam thức bậc hai, phƣơng pháp dùng đạo
hàm, phƣơng pháp vec tơ, phƣơng pháp tọa độ … Trong những phƣơng
pháp chứng minh bất đẳng thức không thể không kể đến phƣơng pháp
chứng minh sử dụng các bất đẳng thức kinh điến. Một trong những bất
đẳng thức đƣợc sử dụng khá phổ biến là bất đẳng thức Cauchy-SchwarzHolder
Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn
đề tài: “Một số kỹ thuật trong việc áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz- Holder vào giải toán sơ cấp” làm đề tài nghiên cứu cho mình.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nắm đƣợc những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức CauchySchwarz-Holder và kỹ thuật sử dung bất đẳng thức Cauchy-SchwarzHolder vào giải toán sơ cấp.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán bất đẳng thức.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc, nghiên cứu tài liệu.

1

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức.
Tổng hợp, sắp xếp, giải bài tập

2

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CHUNG VÀ CHỨNG MINH VỀ CÁC
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY- SCHWARZ-HOLDER
1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy, Schwarz, Holder
1.1.1 Tiểu sử tóm tắt về Cauchy

Augustin Louis Cauchy là một nhà toán học ngƣời Pháp sinh
ngày 21 tháng 8 năm 1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857
cũng tại Paris. Ông vào học Trƣờng Bách khoa Paris (École
Polytechnique) lúc 16 tuổi. Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sƣ để chuyên

lo về toán học. Ông dạy toán ở Trƣờng Bách khoa và thành hội viên Hàn
lâm viện Khoa học Pháp.
Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số tạp. Ông
cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân và toán vi phân.
Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về sự hội tụ của
các dãy trong toán học.
1.1.2 Tiểu sử tóm tắt về Schwarz

3

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Karl Hermann Amandus Schwarz (25/1/1843 - 30/11/1921) là một
nhà toán học ngƣời Đức, nổi tiếng với công trình về giải tích phức. Ông
sinh ra ở Hermsdorf, Silesia (nay Jerzmanowa, Ba Lan) và qua đời tại
Berlin. Ông đã kết hôn với Marie Kummer, một con gái của nhà toán học
Ernst Eduard Kummer và vợ Ottilie. Họ có sáu ngƣời con.
Schwarz ban đầu nghiên cứu hóa học ở Berlin, nhƣng Kummer và
Weierstrass thuyết phục ông chuyển sang toán học. Giữa năm 1867 và
năm 1869 ông làm việc tại Halle, sau đó tại Zürich. Từ 1875 ông làm
việc tại Đại học Göttingen, giao dịch với các đối tƣợng của lý thuyết
chức năng, hình học vi phân và các phép tính của các biến thể. Tác phẩm
của ông bao gồm Bestimmung Minimalfläche speziellen einer, đƣợc trao
vƣơng miện bởi Học viện Berlin vào năm 1867 và đƣợc in vào năm
1871, và Gesammelte Mathematische Abhandlungen (1890). Năm 1892

ông trở thành một thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Berlin và là
giáo sƣ tại Đại học Berlin. Ông qua đời tại Berlin.
1.1.3 Tiểu sử tóm tắt về Holder

Holder Ludwig Otto(1859-1937) là học trò của nhà Toàn học
Đức nổi tiếng Karl Weierstrass. Sau khi bảo vệ thành công luận án tiến sĩ
năm 1882 ở Đại học Tubingen, Holder dạy ở đại học Gottingen từ năm
4

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

1884. Ông quan tâm đến nhiều lĩnh vực của Toán học, nhƣng ông đã biết
tiếp tục tinh thần của Thầy học nên đã đóng góp sức mình hy vọng góp
phần làm cho Toán học có một tầm vóc mới; ông đã làm cho Toán học
tách ra khỏi phép tính hình thức, trở nên chặt chẽ hơn. Nhƣng với bản
chất trầm tĩnh, và tính tình hòa nhã, độ lƣợng nên ông đƣợc nhiều ngƣời
mến mộ.
Otto Holder nghiên cứu hàm biến thực và phức. Ông say mê Lý
thuyết Galois và Lý thuyết Nhóm. Năm 1889, ông phát biểu lại Định lý
phân tích của Jordan với khái niệm mới này và chứng minh tính duy nhất
của nhóm thƣơng trong định lý mới từ nay mang tên hai ngƣời: Holder
và Jordan. Từ năm 1892 đến năm 1895 ông nghiên cứu chi tiết các nhóm
hữu hạn, đặc biệt là tất cả các nhóm của một thứ tự cho trƣớc. Từ năm
1914 đến năm 1923, Holder hƣớng suy nghĩ của ông về Triết học trong
Logic toán.

1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng tổng quát
Định lý 1.1(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Với 2 dãy số thực
tùy ý a1,a2, ...,an và b1,b2, ...bn, ta luôn có bất đẳng thức:

(a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...bn2 )  (a1b1  a2b2  ...anbn )2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a1,a2, ...,an) và (b1,b2, ...bn) là hai
bộ tỷ lệ, tức là tồn tại số thực k để ai=kbi i=1,2...n.
CHỨNG MINH. Có 3 cách đơn giản chứng minh bất đẳng thức
trên.
Cách 1. Sử dụng phƣơng pháp tam thức bậc 2.
Xét tam thức: f ( x)  (a x  b )2  (a x  b )2  ...   a x  b 2
1
1
2
2
n
n
Sau khi khai triển ta có:

f ( x)  (a12  a22  ...an2 ) x2  2(a1b1  a2b2  ...anbn ) x  (b12  b22  bn2 )
Mặt khác vì f(x) ≥0 xR nên theo định lý về dấu của tam thức bậc 2
5

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

f

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

 0  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...bn2 )  (a1b1  a2b2  ...anbn )2

Đẳng thức xảy ra khi phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm, nói cách khác
(a1 ,a2,...,an) và (b1,b2,...,bn) là 2 bộ tỉ lệ. 
Cách 2. Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức.
Ta có hằng đẳng thức sau:

(a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...bn2 )  (a1b1  a2b2  ...anbn )2



n

 (aib j  a jbi )

2

i, j 1

Do đó hiển nhiên ta có:

(a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...bn2 )  (a1b1  a2b2  ...anbn )2
Cách 3. Chứng minh trực tiếp bằng bất đẳng thức AM-GM chỉ với 2 số
2 aibi
ai2
bi2



a12  a22  ...  an2 b12  b22  ...bn2
(a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...bn2 )
Cho i chạy từ 1 đến n rồi cộng cả n vế bất đẳng thức lại ta có kết quả.
1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân số (dạng Engel).
Hệ quả 1.1 Với 2 dãy số (a1,a2, ...,an ) và (b1,b2, ...bn) , bi≥0 i=1,2,...,n
an2 (a1  a2  ...an )2
a12 a22

 ... 

b1 b2
bn
b1  b2  ...bn

Bất đẳng thức trên thƣờng gọi là bất đẳng thức Schwarz.
CHỨNG MINH:
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:
 a12 a22
an2 
 b1  b2  ...  bn     ...  
bn 
 b1 b2





b1  b2  ...  bn




a  a
a 
a
a
a
  b1 . 1  b2 . 2  ...  bn . n  1  2  ...  n 

b1
b2
bn 
b2
bn 

 b1
  a1  a2  ...  an 

2

6

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

an2 (a1  a2  ...an )2
a12 a22


 ... 

b1 b2
bn
b1  b2  ...bn

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy-schwarz dạng căn thức
Hệ quả 1.2 Với 2 dãy số thực a1,a2,...an và b1,b2,...bn ta có

a12  b12  a22  b22  ...  an2  bn2  (a1  a2  ...an )2  (b1  b2  ...bn )2 (1.2)
CHỨNG MINH:

Ta chứng minh theo phƣơng pháp quy nạp. Thật vậy:
 Với n=1 ta có:

a12  b12  a12  b12

 Với n=2 ta có:

a12  b12  a22  b22 







 a1  b1 2   a2  b2 2

 a12  b12 a22  b22   a1b1  a2b2 

2

Đây là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz khi n=2.
 Giả sử bất đẳng thức (1.2) đúng với n = k, tức là:

a12  b12  a22  b22  ...  ak2  bk2  (a1  a2  ...ak )2  (b1  b2  ...bk )2
 Ta cần chứng minh bất đẳng thức (1.2) đúng với n=k+1. Thật vậy:

a12  b12  a22  b22  ...  ak2  bk2  ak21  bk21
 (a1  a2  ...ak )2  (b1  b2  ...bk )2  ak21  bk21


 a1  a2  ...  ak  ak 1 2   b1  b2  ...  bk  bk 1 2

Vậy bất đẳng thức (1.2) đúng với mọi n≥1.
1.2.4 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng bình phƣơng của một
tổng.
Hệ quả 1.3 Với mọi số thực a1,a2,...an ta có:

 a1  a2  ...  an 2  n(a12  a22  ...  an2 ).
CHỨNG MINH:
7

SVTH: Trần Thị Bích Liên

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz với 2 bộ số (a1,a2,...an),
(1,1,...,1) trong đó bộ số thứ 2 có n số 1. Ta có:

(a12  a22  ...  an2 )(12  12  ...12 )  (1a1  1a2  ...  1an )2
  a1  a2  ...  an   n(a12  a22  ...  an2 )
2

Vậy ta có đpcm.
1.3 Bất đẳng thức Holder
1.3.1 Bất đẳng thức Holder dạng tổng quát
a1, a1,..., an  R 
1 1
Cho 2 bộ số 
và p, q  Q sao cho   1

p q
b1, b2 ,..., bn  R
Khi đó ta có:



a1p

 a2p

1
p p
 ...  an . b1q

 

 b2q

1
q q
 ...  bn



 a1b1  a2b2  ...  anbn

a p aq
1 1
Bổ đề:Cho a,b R và p,qQ sao cho:   1 . Khi đó:

 ab
p q
p
q
+

+

CHỨNG MINH:

1 1
1 m 1 n
Vì p, q  Q , ,  Q  m, n, k  N * sao cho  ,  với m + n
p q
p k q k
= k. Sử dụng bất đẳng tức AM-GM ta có:
p

k
m m
.a

p

a
b


p
q k
 k
 k am 





m

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



k
n n
.b

k



k
ma m

k
 nb n

k

n

 k
 b n   k a k bk  ab.
 
 

a p  b q .

8

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Áp dụng Sử dụng bổ đề cho a 

aj
1
n

pp
 ai 
 i 1 

,b 



bj

với j  1, n .

1
n

q q

 bi 
 i 1 



Ta có:

a jb j
1 aj
1 bj
. n
 . n

1
1
p
p q
q
n
n
a
b
i
 i  a p  p  bq  q
i 1
i 1
 i   i 
 i 1   i 1 




 n
n
a
b
a jb j
1
1
j
j

   . n
 . n
1
1
 
p q
q
j 1 p
j 1 n
n

a
b
 i   a p  p  bq  q
  i
i 1
 i 1

 i   i 

 i 1   i 1 
n

 a jb j

j 1
1
1
n
n

pp 
q q
 ai   bi 
 i 1   i 1 
1
1
n
n
n

pp 
q q
  ai   bi   aibi

 

i 1
 i 1   i 1 



1 1
 1
p q











1.3.2 Mở rộng 1 của bất đẳng thức Holder
a1 , a1 ,..., an  R
Cho 2 bộ số 
và

b1 , b2 ,..., bn  R

p, q  R sao cho 1  1  1
p q

Khi đó ta có:
a.

a1b1  a2b2  ...  anbn 



a1p

 a2p

1
p p
 ...  an . b1q

 

 b2q

1
q q
 ...  bn (1)pq  0



9

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

b.

a1b1  a2b2  ...  anbn 



a1p

 a2p

1
p p
 ...  an . b1q

 b2q

1
q q
 ...  bn (2)pq  0

1
p p
 ...  an . b1q

 b2q

1
q q
 ...  bn (3)pq  0

 



c. Tổng quát của 2 dạng a và b:

a1b1  a2b2  ...  anbn 



a1p

 a2p

 



CHỨNG MINH

a.Cho pq >0 và

1 1
  1 . Khi đó p >0,q >0. Ta có bất đẳng thức (1)
p q

1
1
n


p 
q
 aibi   aip   biq 

 

i 1
 i 1   i 1 
n



n





n



ak

n

.
1 

bk

1
k 1 n
k

1
n


pp
q q
 ai 
 bi 
 i 1 
 i 1 



1



Sử dụng bất đẳng thức AM-GM mở rộng ta có:
1
p

1
q








n
n
n
akp  n  bkq 
ak
bk

.
  n

1 
1
 .  n

p
q
k 1 n
k 1 n
k 1
k 1

a
b
p
q







i 
i 
p
q


a
b
  i 
  i 
 i 1 
 i 1 
 i 1 
 i 1 







p
q 
1 n  ak  1 n  bk 

  n
  q  n
 1
p k 1
k 1
  aip 
bq 


 i 
 i 1 
 i 1 
b.Vì p,q<0 nên không mất tính tổng quát, giả sử p>0,q<0.
 p'  0, q'  0, ui  0, vi  0
 ' 1 ' q
p

,
q



p
p
Cho 
 1 1
 1
1
u  a b p , v  b p  '  '  p 1    p.  1
p

 q
 i  i i i i
p q

10

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Sử dụng kết quả cuả phần a ta có


u
v

 i i  
i 1
 i 1
n

n


 

 i 1

n

1
'
p'  p
ui 



. 

  i 1

1
p
aip 


n

1
'
q'  q
bi 







   aibi  



 i 1
 i 1
n

n



  aip    aibi 


i 1
 i 1

n

1
q
biq 




n

p


 
 i 1
n

p
q
biq 


1
1
n

p
q
  aip   biq 

 

 i 1   i 1 
n







n

  aibi
i 1

c.Bất đẳng thức (3) là cách phát biểu khái quát của 2 bất đẳng thức (1) và
(2)
 Dấu bằng các bất đẳng thức (1),(2),(3) xảy ra


a1p
b1q



a2p
b2q

 ... 

anp
bnq

1.3.3 Mở rộng 2 của bất đẳng thức Holder
a1, a1,..., an  R 


b1, b2 ,..., bn  R 
 p , p ,...,pn  R 
Cho m bộ số 

và  1 2
.Khi đó ta có:
.....................


 p1  p2  ...  pn  1


l1, l2 ,..., ln  R
1
1
1
n
n
p
p

 
 
p
aibi ...li   aip   bip  ... lip 

 
 

i 1
 i 1   i 1   i 1 
n

n









(1)

CHỨNG MINH


a
b
...
l

 i i i  
i 1
 i 1
n

n

n

ak



1
 p1
aip1 





 
 i 1
n

n

1
 p2
bip2 


n

bk

.

1
k 1 n
k 1 n



p1  p1
p
a

 bi 2
i 
 i 1

 i 1








... 

 i 1
n

1
 p2

...

1

 pn
lipn 




lk

1
k 1 n

pm  pm
l
 i 
 i 1


1




Sử dụng bất đẳng thức AM-GM mở rộng ta có:

11

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

n

ak

k 1

 n p  p1
  ai 1 
 i 1




1

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

n

bk

k 1

 n p  p2
  bi 2 
 i 1


.

1

1

n

lk

k 1

 n p  pm
  li m 
 i 1


...

1

1

1


 p1

 p2

 pm

n  a p1 
n  b p2 
n  l pm 




 k

k
k
  n
 .  n
 ...  n p 
k 1
k 1
aip1  k 1  bip2 
l m





 i 
 i 1

 i 1

 i 1







 p 
 p 
n  l pm
1 n  ak 1  1 n  bk 2 
  n

 ...    n k

n



p1 k 1
p2 k 1
k 1
  aip1 
  bip2 
lipm






 i 1


 i 1

 i 1
1.3.4 Mở rộng 3 của bất đẳng thức Holder
a1, a1,..., an  R 

b1, b2 ,..., bn  R 
Cho m bộ số 
và m số thỏa mãn
.....................



l1, l2 ,..., ln  R
Khi đó ta có:


 n 
 ai bi ...li    ai 
i 1
 i 1 
CHỨNG MINH
n



 






n

i 1





 1





 ,  ,...,   0

    ...    1



 n   n 
  bi  ...  li  (Bất đẳng thức Jensen).
 i 1   i 1 




 n 
ai bi ...li    ai 


 i 1 

 n   n 
  bi  ...  li 
 i 1   i 1 












 
 








n
a
b
l
   n k   n k  ... nk   1
i 1 
a   b   l 
 i   i   i 
 i 1   i 1   i 1 
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM mở rộng ta có:
12

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng






 
 

 

 

n 
 ak   bk  ... lk 
 n   n   n 
i 1 
a   b   l 
 i   i   i 
 i 1   i 1   i 1 









n 
n 
n 
ak 
bk 
lk 



    n      n   ...     n 
i 1 
i 1 

i 1 
a 
b 
l 
 i 
 i 
 i 
 i 1 
 i 1 
 i 1 
     ...    1

 ai bi
n

Vậy

i 1

 



...li





 n 

   ai 


 i 1 



 n   n 
  bi  ...  li 
 i 1   i 1 



Dấu bằng xảy ra







 a1  a
2  ...  an  b1  b2  ...  bn  ...  l1  l2  ...  ln



 







13

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Chƣơng 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG VIỆC ÁP DỤNG BẤT
ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ-HOLDER VÀO GIẢI TOÁN
SƠ CẤP
2.1 Kỹ thuật áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz
2.1.1 Kỹ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-schwwarz
Ví dụ 2.1.1 Cho các số thực dƣơng x1,x2,...,xn có tổng bằng 1. Hãy tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2

2



1 
1
1 
 x1     x2    ...   xn  

x1  
x2 
xn 



2

LỜI GIẢI:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:
2

2



1 
1 
1 
 x1     x2    ...   xn  
x1  
x2 
xn 



2

2

1
1 1
1 
  x1  x2  ...  x n    ...   ,
n
x1 x2
xn 
1 1
1
n2
  ...  
 n2
x1 x2
xn x1  x2  ...  xn
Từ 2 bất đẳng thức trên ta suy ra
2

2

2



1 
1
1 
 x1     x2    ...   xn   
x1  
x2 
xn 



Đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.1.2 Giả sử x,y,z≥1 và

x1  x2  ...  xn 





n2  1

2

n

1
n

1 1 1
   2 .Chứng minh:
x y z

x  y  z  x  1  y  1  z  1.
LỜI GIẢI:
1 1 1
x 1 y 1 z 1
Vì    2 



 1.
x y z
x
y
z
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có

14

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

 x 1 y 1 z 1 
x  y  z   x  y  z 


y
z 
 x




x 1  y 1  z 1



2

 x  y  z  x  1  y  1  z  1.
3
.
2
Ví dụ 2.1.3 Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực thì
Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi x  y  z 

 a  b  c  d 2  3 a2  b2  c2  d 2   6ab.

LỜI GIẢI :
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz:

 a  b  c  d 2  1. a  b   1.c  1.d 

2

   a  b 2  c 2  d 2 
 3 a 2  b2  c 2  d 2   6ab.


 12  12  12

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c=d=a+b. 
Ví dụ 2.1.4 Giả sử x≥y≥z ≥ 0. Chứng minh:

x2 y y 2 z z 2 x



 x2  y 2  z 2
z
x
y
LỜI GIẢI :
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:
 x2 y y 2 z z 2 x  x 2 z y 2 x z 2 y 




 x2  y 2  z 2



x
y 
z
x 
 z
 y





2

Mặt khác vì x≥y≥z nên:

x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y





z
x
y
y
z
x


 xy  yz  zx  x  y  x  z  y  z   0
xyz

x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y






z
x
y
y

z
x
15

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

x2 y y 2 z z 2 x
Từ đó ta có:


 x2  y 2  z 2
z
x
y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
Ví dụ 2.1.5 Với mọi x,y,x≥0, chứng minh

x  1  y  1  z  1  6  x  y  z .
2

2

2

LỜI GIẢI:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz dạng căn thức ta có:

x2  1  y 2  1  z 2  1 

 x  y  z 2  32 .

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:  x  y  z   32  6  x  y  z .
2

Từ đó: x2  1  y 2  1  z 2  1  6  x  y  z .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
2.1.2 Kỹ thuật sử dụng dạng cộng mẫu số Engel của bất đẳng thức
Cauchy-Swcharz
Ví dụ 2.1.6 Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
a 2  b2  c 2



bc ca a b
2
LỜI GIẢI:
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swcharz dạng Engel ta có:

a3
b3
c3

a4
b4
c4





b  c c  a a  b ab  ac bc  ba ca  cb

a 2  b2  c 2 
a 2  b2  c 2 


a 2  b2  c 2



2  ab  bc  ca  2  a 2  b2  c 2 
2
2

2

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
Ví dụ 2.1.7 Giả sử a,b,c là các số thực dƣơng,chứng minh rằng:

16

SVTH: Trần Thị Bích Liên

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

a



b

c



 b  c 2  c  a 2  a  b 2



9
4 a  b  c

LỜI GIẢI
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz ta có:
2
 a
  a
b
c

b
c 





 a  b  c  
2
2
2  bc ca ab


b

c
c

a
a

b









Lại theo bất đẳng thức Cauchy-Swcharz dạng Engel:
a
b
c
a2
b2
c2
a  b  c






b  c c  a a  b ab  ac ba  bc ca  cb 2  ab  bc  ca 
2

Lại có:

 a  b 2   b  c 2   c  a 2  0
 a 2  b2  c 2  ab  ba  ac
 a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ac  3 ab  ba  ac 
  a  b  c   3 ab  ba  ac 
2

2
a  b  c

3



2  ab  ba  ac  2

Từ các bất đẳng thức trên ta có:

a

b  c 

2



b

c  a

2



c

 a  b

2



9

4 a  b  c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Ví dụ 2.1.8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3a
4b
5c
A


.
bc ca ab
Với a,b,c là các số thực dƣơng tùy ý.
LỜI GIẢI:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz dạng Engel ta có:

17

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

3a
4b
5c



  3  4  5
bc ca ab
4
5 
 3
 a  b  c



bc ca ab
1
4
5 
 3
 b  c  c  a  a  b  



2
bc ca ab







Vậy min A 

3 4 5



2

2
3a
4b
5c


bc ca ab

3 4 5






3 4 5
2



2

 12

2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 12
bc ca ab


.
2
3
5

Ví dụ 2.1.9 Chứng minh với mọi số dƣơng a,b,c,d
a
b
c
d
2




b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c 3
LỜI GIẢI
Theo bất đẳng thức Cauchy-Swcharz dạng Engel ta có:

a2
b2

c2
d2
VT 



ab  2ac  3ad bc  2bd  3ba cd  2ca  3cb da  2db  3dc


 a  b  c  d 2

4  ab  bc  cd  da  ac  bd 

.

Mặt khác:

 a  b  2   b  c  2   c  d  2   d  a 2   c  a 2   d  b 2  0
 3 a 2  b2  c 2  d 2   2  ab  bc  cd  da  ac  bd 
 a 2  b2  c 2  d 2 

2
 ab  bc  cd  da  ac  bd 
3
18

SVTH: Trần Thị Bích Liên


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Ta có:

 a  b  c  d 2  2  ab  bc  cd  da  ac  bd   a 2  b2  c 2  d 2
 2  ab  bc  cd  da  ac  bd  

2
 ab  bc  cd  da  ac  bd 
3

8
 ab  bc  cd  da  ac  bd 
3
Từ đó ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d.
Ví dụ 2.1.10 Cho các số thực dƣơng a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh


bất đẳng thức:

a



b

c



4b2  1 4c2  1 4a2  1





2

 a a b b c c .

LỜI GIẢI:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Swcharz dạng Engel ta có:
a
b
c
 2
 2
2
b 1 c 1 a 1




a3
b3
c3


4a 2b2  a 2 4b2c 2  b2 4c 2a 2  c 2





a a b b c c

4 a b b c c a
2 2

2 2

2 2

a



2

2

b c
2

2

.

Ta đi chứng minh

2
4 a 2b2  b2c 2  c 2a 2  a 2  b2  c 2  1   a  b  c 





 ab 1  4ac   bc 1  4bc   ca 1  4ac   0

1
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì a  b  c  1  ab, bc, ca  .
4
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số a,b,c có một số bằng 1 và 2 số bằng 0.
Ví dụ 2.1.11 Chứng minh rằng với mọi a,b,c dƣơng

abc  a  b  c 
a3b
b3c
c3a



.
1  abc
1  ab2 1  bc2 1  ca 2
LỜI GIẢI:
19

SVTH: Trần Thị Bích Liên