Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Đức Thọ
LÝ THU YẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Đức Thọ
LÝ THU YẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trần Trọng Nguyên
Hà Nội - 2011
Mục lục
Lời mở đầu 3
Lời cảm ơn 5
Chương 1. Tổng quan về lý thuyết cực trị 6
1.1. Phân phối cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Miền h ấp dẫn cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Hàm p h ân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Phân phối Pareto tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Hàm p h ân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. B iểu đồ Q-Q và P-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7. Ước lượng các mô hình cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8. Một số mô h ình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mô hình . . . . . . . . . 29
Chương 2. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tài

chính 32
2.1. Rủi ro tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Mô hình đo lường rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1. Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2. Mô hình VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2.2.3. Mô hình ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4. Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.5. Một số độ đo rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.6. Một số công thức tính cho các độ đo rủi ro cho các phân phối
thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và biến rủi ro . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1. Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2. Sự thua lỗ với tài sản đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3. Sự thua lỗ với danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Một số phương pháp tính các độ r ủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1. Phương pháp tính Var
q
từ phân phối thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5. Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1. Giá trị rủi ro trong đầu tư vố n với danh mục tài sản đơn . . . . . . . . . . 49
2.5.2. Giá trị rủi ro trong đầu tư vố n cho một tập hợp các danh mục
đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi
suất chứng khoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7. Áp dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu ACB . . . . . . . . . 54
2.7.1. Số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7.2. Ước lượng phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7.3. Ước lượng giá trị rủi ro Var
q

và mức tổn thất kỳ vọng ES
q
. . . . . . . 60
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
2
LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiều
sự đ ổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn , chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thị
trường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ
(1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997), và mới đây là cuộc khủng hoảng
thị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và suy
giảm kinh tế toàn cầu. Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gần
đây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tài
chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụ
quản lý rủi r o chưa được tốt. Do đó, việc nhận diện, đo lường và phòng hộ rủi
ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động an toàn cho các tổ chức
tài chính là một việc rất quan trọng.
Rủi ro tài chính có thể chia thành các loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng,
r ủi ro lãi suất, rủi ro than h khoản, rủi ro hoạt đ ộng, trong đó rủi ro thị trường
đóng một vai trò quan trọng. Tro ng đo lường rủi ro tài chính nếu chỉ dựa vào
các phân tích định tính thì thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải hình thành và
phát triến các phương pháp lượng hóa mức rủi ro và tổn thất tài chính.
Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô
tả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, những biến
cố này xảy ra thường gây nên những hậu quả đáng kể như một số ví dụ nêu trên.
Vớ i mong muốn tìm hiểu về vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là:
Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính
Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1: Tổng quan về lý thuyết cực trị. Chương này trình b ày định lý

của Fisher, Tippet (1 928) và Gned eko (1943) về phân loại hàm cực trị, khái
niệm về miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần và đủ để một hàm phân phối
F nằm trong miền hấp dẫn của G, biểu đồ Q−Q và P−P, vv.
• Chương 2: Ứng dụ ng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro thị trường tài
chính. Chương này tập trung làm rõ các khái niệm và công thức tính của
các độ rủi ro như VaR
q
, ES
q
là các thước đo thông dụng trong quản trị rủi
ro. Áp dụng lý thuyết EVT để mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi s uất chứng
khoán RACB. Từ đó ước lượng mức độ tổn thất có thể xảy ra khi đầu tư vaò
cổ phiếu này.
3
Do thời gian thực hiện luận văn khôn g nhiều, kiến thức còn hạn chế nên nội
dung không tránh khỏi những hạn chế và s ai sót. Tác g iả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện củ a quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoàn
chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Học viên
Lê Đức Thọ
4
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội d u ng chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, độ n g viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn tốt nghiệp cao học .
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Học viên
Lê Đức Thọ
5
Chương 1
Tổng quan về lý thuyết cực trị
1.1 Phân p hối cực trị
Cho X
1
,X
2
, ,X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với hàm
phân phối là F và x
∗
là điểm phải của F, tức là
x
∗
= sup{x : F(x) < 1},x
∗
có thể là vô hạn
Khi đó, max(X
1
,X
2
, ,X
n

)
P
→ x
∗
, khi n → ∞, trong đó ký hiệu
P
→ là hội tụ
theo xác s uất, vì
P(max(X
1
,X
2
, ,X
n
) ≤ x) = P(X
1
≤ x,X
2
≤ x, ,X
n
≤ x) = F
n
(x)
hội tụ theo xác suất đến 0 nếu x < x
∗
và 1 nếu x ≥ x
∗
.
Giả sử tồn tại dãy hằng số a
n

> 0 và b
n
thực n = 1,2,··· sao cho:
max(X
1
,X
2
, ,X
n
) −b
n
a
n
có giới hạn là một hàm phân phối không suy b iến khi n → ∞, nghĩa là:
lim
n→∞
F
n
(a
n
x+b
n
) = G(x). (1.1)
Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các h àm phân phối G có thể xảy
ra trong giới hạn (1.1) và các hàm này được gọi là các hàm phân phối giá trị cực
6
trị.
Tiếp theo với mỗi phân phối giới hạn trên, chúng ta s ẽ tìm điều kiện cần và
đủ cho h àm ph ân phối F ban đầu sao cho (1.1) được thỏa mãn. Lớp các hàm
phân phối F thỏa mãn (1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là

miền hấp dẫn của G.
Từ (1.1) với mỗi x sao cho 0 < G(x) < 1, lấy logarit hai vế, ta có
lim
n→∞
nlogF(a
n
x+b
n
) = logG(x). (1.2)
Rõ r àn g rằng F(a
n
x+b
n
) → 1, với mỗi x. Do đó:
lim
n→∞
−
logF(a
n
x+b
n
)
1−F(a
n
x+b
n
)
= 1,
và (1.2) tương đương với:
lim

n→∞
n[1−F(a
n
x+b
n
)] = −logG(x),
hoặc
lim
n→∞
1
n[1−F(a
n
x+b
n
)]
= −
1
logG(x)
. (1.3)
Vớ i mỗi hàm không giảm f, kí hiệu: f
←
(x) := inf{y : f(y) ≥ x}, ta có bổ
đề sau.
Bổ đề 1. 1.1. Giả sử f
n
là một dãy các hàm không giảm và g là một hàm khôn g
giảm. Giả sử rằng mỗi x trong khoảng (a,b) là điểm liên tục của g:
lim
n→∞
f

n
(x) = g(x). (1.4)
Khi đó với mỗi x ∈(g(a),g(b)) là điểm liên tục của g
←
thì:
lim
n→∞
f
←
n
(x) = g
←
(x). (1.5)
Chứng minh. Cho x là một điểm liên tục của g
←
. Cố định
ε
> 0, ta chứng minh
vớ i n,n
0
∈ N, n ≥ n
0
:
f
←
n
(x) −
ε
≤ g
←

(x) ≤ f
←
(x) +
ε
.
Ta chứng minh vế phải còn vế trái chứng minh tương tự. Chọn 0 <
ε
1
<
ε
sao cho g
←
(x)−
ε
1
là điểm liên tục của g, điều này là chọn được vì tập các điểm
7
liên tục của g là trù mật. Do g
←
là liên tục tại x, g
←
(x) là một điểm của hàm
tăng g, do đó g(g
←
(x) −
ε
1
) < x. Chọn
σ
< x −g(g

←
(x) −
ε
1
). Do g
←
(x) −
ε
1
là điểm liên tục của g, do đó tồn tại n
0
sao cho:
f
n
(g
←
(x) −
ε
1
) < g(g
←
(x) −
ε
1
) +
σ
< x (∀ n ≥ n
0
).
Từ định nghĩa của hàm f

←
n
suy ra: g
←
(x) −
ε
1
≤ f
←
n
(x).
Chúng ta áp d ụng bổ đề 1.1.1 cho (1.3). Cho U =

1
1−F

←
, chú ý U(t)
xác định với mọi t > 1, khi đó (1.3) tương đương vớ i
lim
n→∞
U(nx) −b
n
a
n
= G
←
(e
−
1

x
) =: D(x) (1.6)
vớ i mỗi x > 0.
Định lý 1.1.2. Cho a
n
> 0 và b
n
là dãy hằng số thực, G là một hàm phân phối
không suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương:
1. lim
n→∞
F
n
(a
n
x+b
n
) = G(x), tại mỗi điểm liên tục x của G.
2.
lim
t→∞
t[1−F(a(t)x+ b(t))] = −logG(x), (1.7)
với mỗi điểm liên tục x của G sao cho 0 < G(x) < 1, a(t) := a
[t]
,
b(t) := b
[t]
([t] là phần nguyên của t).
3.
lim

t→∞
U(tx) −b(t)
a(t)
= D(x) (1.8)
với mỗi x > 0 là điểm liên tục của D(x) = G
←
(e
−
1
x
).
Chứng minh. Tính tương đương của 2. và 3. được suy ra từ bổ đề 1.1 . 1. Ta đã
kiểm tra là 1. tương đương (1.6). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (1.6) suy ra 3.
Cho x là điểm liên tục của D. Với mọi t ≥ 1,
U([t]x) −b
[t]
a
[t]
≤
U(tx) −b
[t]
a
[t]
≤
U

[t]x

1+
1

[t]

−b
[t]
a
[t]
.
8
Vế phải trong bất đẳng thức trên nhỏ hơn D(x

), với mọi điểm liên tục x

> x
và D(x

) > D(x). Do D là liên tục tại x, ta có:
lim
t→∞
U(tx) −b
[t]
a
[t]
= D(x).
Chúng ta cần xác định lớp các hàm p hân phối không suy biến có tro ng giới
hạn ở (1.1). Lớp các phân phối này gọi là lớp các phân phối cực trị, kí hiệu là
EV.
Định lý 1.1.3. (Fisher, Tippet (1928) và Gnedenko (1943)) Lớp các hàm phân
phối cực trị là G
γ
(ax+b) với a > 0, b ∈R, ở đây:

G
γ
(x) = exp

−(1+
γ
x)
−
1
γ

, 1+
γ
x > 0 (1.9)
γ
là s ố thực khác 0; trường hợp
γ
= 0 thì vế phải (1.9) được coi là hàm số
exp(−e
−x
).
Chứng minh. Xét lớp các phân phối giới hạn D tro ng (1.8). Đầu tiên, giả sử rằn g
1 là điểm liên tục của D. Khi đó với mọi điểm liên tục x > 0,
lim
t→∞
U(tx) −U(t)
a(t)
= D(x) −D(1) := E(x). (1.10)
Lấy y > 0 và viết
U(txy) −U(t)

a(t)
=
U(txy) −U(ty)
a(ty)
·
a(ty)
a(t)
+
U(ty) −U(t)
a(t)
. (1.11)
Vớ i điều kiện lim
t→∞
U(ty) −U(t)
a(t)
và lim
t→∞
a(ty)
a(t)
cùng tồn tại.
Giả sử không đúng, thì tồn tại A
1
,A
2
,B
1
,B
2
vớ i A
1

khác A
2
hoặc B
1
khác
B
2
, ở đây B
i
là các điểm giới hạn của
U(ty) −U(t)
a(t)
và A
i
là các điểm giới hạn
của
a(ty)
a(t)
, i = 1,2 khi t → ∞. Ta tìm từ (1.11) để
E(xy) = E(x)A
i
+ B
i
, i = 1,2, (1.12)
9
vớ i tất cả các điểm liên tục x củ a E(·) và E(·y). Cho x tùy ý, lấy một dãy các
điểm x
n
sao cho x
n

→ x khi n → ∞, thì E(x
n
y) → E(xy) và E(x
n
) → E(x), vì E
là liên tục trái. Do (1.12) thỏa mãn với mọi x và y > 0.
Trừ các biểu thức cho nhau với i = 1,2, ta có được
E(x)(A
1
−A
2
) = B
2
−B
1
, vớ i mọi x > 0.
Vì E kh ông thể là hằng số ( h àm G là k hông suy biến) nên A
1
= A
2
và do đó
B
1
= B
2
. Cuối cùng :
A(y) := lim
t→∞
a(ty)
a(t)

tồn tại với mọi y > 0, và với x,y > 0,
E(xy) = E(x)A(y) + E(y).
Từ đó với s = logx, t := logy ( x,y khác 1 ), và H(x) := E(e
x
), ta có
H(t + s) = H(s)A(e
t
) +H(t). (1.13)
Ta có thể viết lại như sau (do H(0) = 0):
H(t + s)−H(t)
s
=
H(s) −H(0)
s
A(e
t
). (1.14)
Tồn tại t sao cho tại đó hàm H là khả vi (do H đơn điệu); vì vậy từ (1.14) H
khả vi tại mọi điểm và
H

(t) := H

(0)A(e
t
). (1.15)
Đặt Q(t) :=
H(t)
H


(0)
. Chú ý rằng H

(0) k hác 0: H không là hằng số do G
không suy biến, khi đó Q(0) = 0, Q

(0) = 1.
Từ (1.13):
Q(t + s) −Q(t) = Q(s)A(e
t
),
và từ (1.15):
Q(t + s) −Q(t) = Q(s)Q

(t). (1.16)
Trừ các biểu thức trên cho nh au ta có:
Q(t) ·
Q

(s) −1
s
=
Q(s)
s
[Q

(t) −1].
10
Cho s → 0, ta có,
Q(t)Q


(0) = Q

(t) −1.
Từ đó su y ra Q khả vi cấp 2 và ta có,
Q

(0)Q

(t) = Q

(t).
Do đó
(logQ

)

(t) = Q

(0) :=
γ
∈ R, ∀ t.
Từ đó su y ra Q

(t) = e
γ
t
, (Q

(0) = 1) và:

Q(t) =
t

0
e
γ
s
ds, (Q(0) = 0).
Điều này n ghĩa là:
H(t) = H

(0) ·
e
γ
t
−1
γ
,
và
D(t) = D(1) +H

(0) ·
t
γ
−1
γ
.
Do đó
D
←

(x) =

1+
γ
·
x−D(1)
H

(0)

1
γ
. (1.17)
Bây giờ D(x) = G
←
(e
−
1
x
), và do đó
D
←
(x) = −
1
logG(x)
. (1.18)
Từ (1.17) và (1.18 ), ta có kết luận của định lý.
Nếu 1 không phải điểm liên tục của D thì ta chứng minh với hàm số U(tx
0
),

vớ i x
0
là điểm liên tục của D.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X
1
,X
2
, ,X
n
là các biến n gẫu nhiên độc lập, cùng p hân
phối, với hàm phân phối F. Hàm phân phối F được gọi là max-ổn định nếu chọn
được dãy a
n
> 0 và b
n
sao cho:
P

max(X
1
,X
2
, ,X
n
) −b
n
a
n
≤ x


= P(X
1
≤ x)
vớ i mọi x và n = 1,2
11
Hình 1.1: Họ các phân phối cực trị G
γ
Định nghĩa 1.1.5. Tham số
γ
trong (1.9) gọi là chỉ số cực trị.
Chú ý 1.1.6. Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.9), ta có:
• Vớ i
γ
> 0, sử dụng hàm G
γ
(
x−1
γ
), đặt
α
=
1
γ
> 0,
Φ
α
(x) =






0, x ≤ 0
exp(−x
−
α
), x > 0.
Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Fr´echet, còn kí hiệu là EV
1
:
G
1,
α
(x).
• Vớ i
γ
= 0, G
0
(x) = exp(−e
−x
) với mọi x ∈ R. Phân phối này gọi phân phối
Gumbel, còn kí hiệu là (EV
0
).
• Vớ i
γ
< 0, dùng hàm G
γ

−

1+ x
γ

,và với
α
= −
1
γ
> 0,
Ψ
α
(x) =





exp(−(−x
α
)), x < 0
1, x ≥ 0.
12
Lớp phân phố i này gọi là lớp phân phối Weibull, còn kí hiệu là EV
2
:
G
2,
α
(x).
Nhắc lại là nếu (1.1) được thỏa mãn với G = G

γ
, với
γ
∈R, ta nói r ằn g phân
phối F nằm trong miền hấp dẫn của G
γ
. Kí hiệu là: F ∈ D (G
γ
).
Định lý 1.1.7. Cho
γ
∈ R. Các mệnh đề sau là tương đương:
1. Tồn tại các hằng số thực a
n
> 0 và b
n
thực sao cho
lim
n→∞
F
n
(a
n
x+b
n
) = G
γ
(x) = exp

−(1+

γ
x)
−
1
γ

, ∀x với 1+
γ
x > 0.
(1.19)
2. Tồn tại một hà m dương a sao cho với x > 0,
lim
t→∞
U(tx) −U(t)
a(t)
= D
γ
(x) =
x
γ
−1
γ
, (1.20)
ở đây với
γ
= 0 thì vế phải được coi là logx.
3. Có một hàm dương a sao cho
lim
t→∞
t[1−F(a(t)x+U(t))] = (1+

γ
x)
−
1
γ
, ∀x với 1+
γ
x > 0. (1.21 )
4. Có một hàm dương f sao cho:
lim
t→x
∗
1−F[t + xf(t)]
1−F(t)
= (1+
γ
x)
−
1
γ
, ∀xvới 1+
γ
x > 0, (1.22)
ở đây x
∗
= sup{x : F(x) < 1}.
Ngoài ra (1.19) thỏa mãn với b
n
:= U(n) và a
n

:= a(n). Tương tự, (1.22) thỏa
mãn với f(t) =
a
1−F(t)
.
Chứng minh. Chứng minh tính tương đương của 1., 2. và 3. được suy ra từ định
lý 1.1.2.
Ta chứng minh 2. ⇒ 4.: Với mọi
ε
> 0, dễ nhận thấy rằng
g(h
←
(t) −
ε
) ≤t ≤g(h
←
(t) +
ε
),
13
Vớ i g là mộ t hàm không giảm và h
←
là hàm ngược liên tục phải của nó. Từ đó
suy ra
(1−
ε
)
γ
−1
γ

←
U

1−
ε
1−F(t)

−U

1
1−F(t)

a

1
1−F(t)

<
t −U

1
1−F(t)

a

1
1−F(t)

<
U


1+
ε
1−F(t)

−U

1
1−F(t)

a

1
1−F(t)

→
(1+
ε
)
γ
−1
γ
.
khi t → x
∗
, và suy ra
lim
t→x
∗
t −U


1
1−F(t)

a

1
1−F(t)

= 0.
Từ 2., với mọi x > 0,
lim
t→x
∗
U

1
1−F(t)

−t
a

1
1−F(t)

=
x
γ
−1
γ

,
và từ bổ đề 1.1.1,
lim
t→x
∗
1−F(t)
1−F

t + xa

1
1−F(t)

= (1+
γ
x)
1
γ
,
nghĩa là 4. thỏa mãn. Ngược lại 4. ⇒ 2. được chứng minh tương tự.
Ví dụ 1.1.8. Cho F là hàm phân phối chuẩn tắc. Ta sẽ chứng minh (1.3) đúng:
vớ i mọi x > 0,
lim
n→∞
n[1−F(a
n
x+b
n
)] = e
−x

(1.23)
vớ i
b
n
:= (2logn−loglogn−log(4
π
))
1/2
(1.24)
và
a
n
:=
1
b
n
. (1.25)
14
Đầu tiên, chú ý rằng b
n
/(2logn)
1/2
→ 1 khi n → ∞; vì vậy
logb
n
−2
−1
loglogn−2
−1
log2 → 0

và do đó
b
2
n
2
+ logb
n
−logn+
1
2
log(2
π
) → 0, (1.26)
khi n → ∞. Bây giờ do (1.25),
−
d
dx
n[1−F(a
n
x+b
n
)] =
n
b
n
√
2
π
exp


−

x
b
n
+ b
n

2
/2

= exp

−

b
2
n
2
+ logb
n
−logn+
1
2
log(2
π
)

e
−x

2
/(2b
2
n
)
e
−x
→ e
−x
vớ i x ∈R. Vì vậy
n[1−F(a
n
x+b
n
)] =
n
b
n
√
2
π
∞

x
exp

−

u
b

n
+ b
n

2
/2

du
= exp

−

b
2
n
2
+ logb
n
−logn+
1
2
log(2
π
)

∞

x
e
−u

2
/(2b
2
n
)
e
−u
du → e
−x
bởi định lý Lebes gue về hội tụ trội. Vì vậy (1.23) đúng.
Do trong giới hạn (1.23), chúng ta có thể thay a
n
bởi a

n
, b
n
bởi b

n
vớ i điều
kiện là a
n
/a

n
→ 1, (b

n
−b

n
)/a
n
→ 0, chúng ta có thể thay a
n
, b
n
từ (1.24) và
(1.25) bởi
b

n
= (2logn)
1/2
−
loglogn+ log(4
π
)
(2logn)
1/2
và a

n
= (2logn)
−1/2
.
1.2 Miền hấp dẫn cực đại
Trong phần này, ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho hàm phân phân phố i
F nằm trong miền hấp dẫn của G.
Ta xác định điều kiện miền hấp dẫn từ (1.8) với

D(x) =
x
γ
−1
γ
, lim
t→∞
U(tx) −U(t)
a(t)
=
x
γ
−1
γ
(1.27)
vớ i mọi x > 0,
γ
là tham số thực, a là một hàm dương.
15
Định lý 1.2.1 . Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị G
γ
nếu và chỉ nếu
1. Với mọi
γ
> 0, x
∗
:= sup{x : F(x) < 1} là vô hạn và
lim
t→∞

1−F(tx)
1−F(t)
= x
−
1
γ
, với mọi x > 0. (1.28)
Điều này có n ghĩa là hàm 1−F là biến đổi chính tắc tại vô hạn với chỉ số −
1
γ
2. Với mọi
γ
< 0, x
∗
là hữu hạn và
lim
t→0
1−F(x
∗
−tx)
1−F(x
∗
−t)
= x
−
1
γ
, với mọi x > 0. (1.29)
3. Với
γ

= 0, x
∗
có thể là hữu hạn hoặc vô hạn và
lim
t→x
∗
1−F(t + xf(t))
1−F(t)
= e
−x
(1.30)
với mọi x ∈ R, ở đây f là một hàm hợp lý dương. Nếu (1.30) thỏa mãn với h àm
f thì
x
∗

t
(1−F(s))ds < ∞, với mọi t < x
∗
.
và (1.30) thỏa mãn với
f(t) =
x
∗

t
(1−F(s))ds
1−F(t)
. (1.31)
Định lý 1.2.2 . Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực

trị G
γ
nếu và chỉ nếu
1. Với
γ
> 0: F(x) < 1 với mọi x,
∞

1
1−F(x)
x
dx < ∞ và
lim
t→∞
∞

t
(1−F(x))dx
1−F(t)
=
γ
. (1.32)
16
2. Với
γ
< 0: tồn tại x
∗
< ∞ sao cho
x
∗


x
∗
−t
1−F(x)
x
∗
−x
dx < ∞ và
lim
t→0
x
∗

x
∗
−t
1−F(x)
x
∗
−x
dx
1−F(x
∗
−t)
= −
γ
. (1.33)
3. Với
γ

= 0 (x
∗
có thể hữu hạn hoặc vô hạn):
x
∗

x
x
∗

t
[1−F(s)]dsdt < ∞ và h àm
h xác định bởi:
h(x) =
(1−F(x))
x
∗

x
x
∗

t
[1−F(s)]dsdt

x
∗

x
(1−F(s))ds


2
(1.34)
thỏa mãn
lim
t→x
∗
h(t) = 1. (1.35)
Chú ý 1.2.3. Giới hạn (1.32) tương đương với: lim
t→∞
E(logX −logt|X > t) =
γ
.
Thật vậy
∞

t
1−F(x)
x
dx
1−F(t)
= E(logX −logt|X > t),từ đó
∞

t
(logx−logt)dF(x) =
∞

t
1−F(x)

x
dx.
Hệ thức (1.32) và (1.33) là cơ sở cho ước lượng Hill của
γ
. Tương tự (1.33)
biểu diễn như:
lim
t→0
E(log(x
∗
−X) −logt|X > x
∗
−t) =
γ
.
17
Hệ quả 1.2.4. Nếu F nằm trong miền hấp dẫn của G
γ
thì
1. Với
γ
> 0:
lim
n→∞
F
n
(a
n
x) = exp


−x
−
1
γ

,
với mọi x > 0 và a
n
:= U(n);
2. Với
γ
< 0:
lim
n→∞
F
n
(a
n
x+x
∗
) = exp

−(−x)
−
1
γ

,
với mọi x < 0 và a
n

:= x
∗
−U(n);
3. Với
γ
= 0:
lim
n→∞
F
n
(a
n
x+b
n
) = exp(−e
−x
),
với mọi x và a
n
= f(U(n)), b
n
= U(n), hàm f như trong định lý 1.2.1 ý 3 .
Định lý 1.2.5 . Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị G
γ
nếu và chỉ nếu với một hàm dương f,
lim
t→x
∗
1−F(t + x f(t))

1−F(t)
= (1+
γ
x)
−
1
γ
(1.36)
với mọi x, 1+
γ
x > 0. Nếu (1.36) thỏa mãn với f > 0 thì nó thỏa mãn với
f(t) =

















γ

t,
γ
> 0
−
γ
(x
∗
−t),
γ
< 0
x
∗

t
1−F(x)
1−F(t)
dx,
γ
= 0.
Hơn nữa nếu f thỏa mãn (1.36) thì thỏa mãn
lim
t→∞
f(t)
t
=
γ
,
γ
> 0,
lim

t→x
∗
f(t)
x
∗
−t
= −
γ
,
γ
< 0,
f(t) ∼ f
1
(t),với f
1
(t) là hàm nào đó mà lim
t→x
∗
f

1
(t) = 0,
γ
= 0.
(1.37)
18
Định lý 1.2.6. Hàm phân phối F nằm trong D(G
γ
) nếu và chỉ nếu tồn tại cá c
hàm dương c và f, f liên tục, sao cho với mọi t ∈ (t

0
,x
∗
), t
0
< x
∗
,
1−F(t) = c(t)exp

−
t

t
0
ds
f(s)

với lim
t→x
∗
c(t) = c ∈(0,∞).
lim
t→∞
f(t)
t
=
γ
,
γ

> 0
lim
t→x
∗
f(t)
x
∗
−t
= −
γ
,
γ
< 0,
lim
t→x
∗
f

(t) = 0 và lim
t→x
∗
f(t) = 0 nếu x
∗
< ∞,
γ
= 0.
Để chứng minh các định lý trên chúng ta cần một số kết quả của các bổ đề
sau :
Bổ đề 1.2.7. Giả sử (1.27) thỏa mãn.
1. Nếu

γ
> 0, thì
lim
t→∞
U(t) = ∞ và lim
t→∞
U(t)
a(t)
=
1
γ
. (1.38)
2. Nếu
γ
< 0, thì lim
t→∞
U(t) < ∞ và U(∞) := lim
t→∞
U(t),
lim
U(∞) −U(t)
a(t)
= −
1
γ
. (1.39)
Đặc biệt điều này suy ra lim
t→∞
a(t) = 0.
3. Nếu

γ
= 0, thì
lim
t→∞
U(tx)
U(t)
= 1 (1.40)
với mọi x > 0 và lim
t→∞
a(t)
U(t)
= 0. Hơn nữa nếu U(∞) < ∞,
lim
t→∞
U(∞) −U(tx)
U(∞) −U(t)
= 1 (1.41)
19
với mọi x > 0 và lim
t→∞
a(t)
U(∞) −U(t)
= 0. Hơn nữa,
lim
t→∞
a(tx)
a(t)
= 1. ∀x > 0 (1.42)
Hệ quả 1.2.8. 1. Vớ i
γ

> 0 thì (1.27) tương đương với
lim
t→∞
U(tx)
U(t)
= x
γ
, với x > 0. (1.43)
2. Với
γ
< 0 thì (1.2 7) tương đương với U(∞) < ∞ và
lim
t→∞
U(∞) −U(tx)
U(∞) −U(t)
= x
γ
, với x > 0. (1.44)
Bổ đề 1.2.9. Cho F
1
và F
2
là h ai hàm phân phối có chung x
∗
. Cho F
1
nằm trong
miền hấp dẫn của G
γ
, tức là,

lim
t→∞
U
1
(tx) −U
1
(t)
a(t)
=
x
γ
−1
γ
, x > 0, (1.45)
ở đây a là hàm hợp lý dương và U
i
=

1
1−F
i

←
, i = 1,2. Các mệnh đề sau là
tương đương:
1. lim
t→x
∗
1−F
2

(t)
1−F
1
(t)
= 1.
2. lim
t→∞
U
2
(t) −U
1
(t)
a(t)
= 0.
Hơn nữa, từ mỗi mệnh đề trên suy ra là F
2
nằm trong miền hấp dẫn của G
γ
.
Chứng minh đ ịnh lý 1.2.1 cho
γ
> 0: Từ định nghĩa hàmU(x), với mọi
ε
> 0,
U

1−
ε
1−F(t)


≤t ≤U

1+
ε
1−F(t)

hay
U

x
1−F(t)

U

1+
ε
1−F(t)

≤t
−1
U

x
1−F(t)

≤
U

x
1−F(t)


U

1−
ε
1−F(t)

. (1.46)
20
Giả sử (1.27) thỏa mãn, tức là ta có (1.43). Vế trái và vế phải hội tụ lần lượt
tới

x
1+
ε

γ
và

x
1−
ε

γ
, mệnh đề thỏa mãn với mọi
ε
> 0, tức là
lim
t→∞
t

−1
U

x
1−F(t)

= x
γ
. (1.47)
Áp dụng bổ đề 1.1.1 và (1.47), ta có kết quả của định lý
lim
t→∞
1−F(t)
1−F(tx)
= x
1
γ
.
Chứng minh định lý 1.2.2 cho
γ
> 0: Từ (1.28) với
ε
> 0, t đủ lớn,
1−F(te)
1−F(t)
≤ e
ε
−
1
γ

,
do đó,
1−F(te
n
)
1−F(t)
=
n
∏
k=1
1−F(te
k
)
1−F(te
k−1
)
≤ e

ε
−
1
γ

n
,
vớ i mọi x > 1,
1−F(tx)
1−F(t)
≤
1−F(te

[logx]
)
1−F(t)
≤ e

ε
−
1
γ

[logx]
≤ e

ε
−
1
γ

(1+logx)
= e
−
1
γ
+
ε
·x
−
1
γ
+

ε
.
Từ (1.28),
lim
t→∞
∞

1
1−F(tx)
1−F(t)
dx
x
=
∞

1
x
−
1
γ
dx
x
=
γ
,
đó là (1.32). Mặt khác
∞

1
1−F(x)

x
dx < ∞, từ tính hội tụ, giả sử rằng
lim
t→∞
a(t) =
1
γ
21
vớ i a(t) :=
1−F(t)
∞

t
1−F(x)
x
dx
.
Chú ý rằng
−log
∞

t
1−F(x)
x
dx+log
∞

1
1−F(x)
x

dx =
t

1
a(x)
dx
x
.
Sử dụng định nghĩa của hàm a, ta có:
1−F(t) = a(t)
∞

t
1−F(x)
x
dx = a(t)
∞

1
1−F(x)
x
dxexp

−
t

1
a(x)
x
dx


,
vớ i mọi x > 0, t →∞,
1−F(tx)
1−F(t)
=
a(tx)
a(t)
exp

−
x

1
a(t
γ
)
d
γ
γ

→ exp

−
1
γ
x

1
d

γ
γ

= x
−
1
γ
.
1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡng
Cho F là một hàm phân phố i và x
∗
:= sup{x : F(x) < 1}. Xét u là một
ngưỡng nhỏ hơn điểm bên phải x
∗
của hàm F. Ta gọi F
[u]
là ph ân phối điều kiện
vượt ngưỡng tại u, nếu X là một biến ngẫu nhiên với phân phối F thì:
F
[u]
(x) = P(X ≤ x|X > u) =
P(X ≤ x,X > u)
P(X > u)
=
F(x) −F(u)
1−F(u)
, (x ≥u)
F
[u]
(x) =

F(x)
F(u)
, (x ≥ u).
Vớ i: F(x) = 1−F(x) được gọi là đuôi của phân phối F.
Điểm trái của F tại u là
α
(F
[u]
) = inf{x : F
[u]
(x) > 0}. Ta có
α
(F
[u]
) = u.
1.4 Phân p hối Pareto tổng quát
Ta có mối liên hệ giữa phân phối Pareto, kí hiệu là GPD và phân phối cực trị
EV:
W(x) = 1+ logG(x) nếu logG(x) > −1.
22
Các dạng biểu diễn của hàm ph ân phối GPD thông qua hàm phân phối cực
trị EV ở chú ý 1.1.6 là:
• Phân phối mũ GP
0
: W
0
(x) =






0, x < 0
1−e
−x
, x ≥ 0
• Phân phối GP
1
,
α
> 0: W
1,
α
(x) =





0, x < 1
1−x
−
α
, x ≥ 1
• Phân phối GP
2
,
α
< 0: W
2,

α
(x) =













1, x > 0
1−(−x)
−
α
, −1 < x ≤ 0
0, x ≤ −1
Ta có các hàm mật độ tương ứng là:
• Mật độ mũ (GP
0
): w
0
= e
−x
vớ i x ≥0.
• Pareto (GP

1
),
α
> 0: w
1,
α
(x) =
α
x
−(1+
α
)
vớ i x ≥1.
• Beta (GP
2
),
α
< 0: w
2,
α
(x) = |
α
|(−x)
−(1+
α
)
vớ i −1 ≤ x ≤0.
Chúng ta phải thêm vào các hàm phân phối GPD hai tham số
µ
và

σ
để có được
một họ các thống kê đủ GPD, kí hiệu W
1,
α
,
µ
,
σ
(x) = W
1,
α

x−
µ
σ

.
Hàm phân phối GPD được gọi là liên tục đối với phân phối F, nếu ta chọn
được các hằng số b
u
và a
u
thỏa mãn:
F
[u]
(b
u
+ a
u

x) = F(x).
Ở đây F
[u]
(x) =
F(x)−F(u)
1−F(u)
là hàm phân phối vượt ngưỡng tại u.
• Hàm phân phối vượt ngưỡng của W
0
có điểm trái bằng 0,
W
[u]
0,0,
σ
= W
0,
µ
,
σ
23