Lý thuyết độ chênh thị giá trong toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHAN VIẾT THÁI
LÝ THUYẾT
ĐỘ CHÊNH THỊ GIÁ
TRONG TOÁN TÀI CHÍNH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số : 60 46 01 06
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO
HÀ NỘI, 2014
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU 5
BẢNG KÝ HIỆU 7
1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 8
1.1 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Định nghĩa thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Lợi suất (Return rate) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Hợp đồng quyền chọn mua và hợp đồng quyền chọn bán . . 9
1.2.1 Hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Hợp đồng quyền chọn bán . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng tương lai . . . . . . . . 12
1.3.1 Hợp đồng ký kết trước (Forward Contract) . . . . . 12
1.3.2 Hợp đồng tương lai (Futures Contract) . . . . . . . . 12
1.4 Mô hình Black - Scholes, công thức
Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Một số yếu tố về tính toán ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Quá trình đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Quá trình đo được dần . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Quá trình khả đoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.4 Quá trình thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . 15
1.5.5 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.6 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) . . . . . . . 17
1.6 Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1 Định nghĩa cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 Định nghĩa mô tả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.3 Công thức Ito cho chuyển động Brown . . . . . . . . 20
2
2 KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT ĐỘ CHÊNH THỊ GIÁ 23
2.1 Giá là một quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Thông tin và các thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Trường thông tin và σ trường . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Luồng thông tin thị trường . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Không gian xác suất có lọc . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Luồng thông tin tổng hợp của thị trường . . . . . . 26
2.2.5 Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO - Absence of
Arbitrage Oppotunity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Cơ hội có đô chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Quan hệ giữa nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng 30
3 ĐỊNH GIÁ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CHÊNH THỊ
GIÁ 33
3.1 Độ đo xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale tương
đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Áp dụng phương pháp độ chênh thị giá vào mô hình Black
- Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ứng dụng của phương pháp độ chênh thị giá . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo 51
3

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình và cũng hết
sức nghiêm khắc của PGS.TS. Trần Hùng Thao. Thầy đã dành nhiều thời
gian quý báu của mình để hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của
tôi trong suốt cả quá trình làm luận văn. Tôi muốn tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc nhất tới người thầy của mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học
trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô
đã đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013, đặc biệt là các thầy cô
tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 lời cám ơn chân
thành đối với công lao dạy dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em trong
nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện
và động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành được khóa học này.
4
LỜI MỞ ĐẦU
Toán học tài chính là một ngành toán học ứng dụng, sử dụng các công
cụ giải tích ngẫu nhiên, thống kê toán học với mục đích nghiên cứu thị
trường tài chính. Tuy đây là một lĩnh vực còn mới so với lịch sử toán
học nhưng toán tài chính cũng đã có nền tảng hơn 100 năm. Phải nói
thêm rằng, cùng với sự phát triển nhanh chóng của tin học cùng với nhiều
thay đổi lớn của các thị trường tài chính thì bản thân toán học tài chính
ngày càng được quan tâm vì tính thực tế và khả năng ứng dụng cao của nó.
Trong khoảng ba thập kỷ trở lại đây, có hai khái niệm tài chính đã gây
ra những ảnh hưởng rộng rãi, đó là Tài sản đáp ứng để bảo hộ giá (Repli-
cating equities) và Cơ hội có độ chênh thị giá (Arbitrage Oppotunity). Sự
kết hợp của hai khái niệm này cho ta một công cụ mạnh để định giá. Đây
cũng là lý do để chúng tôi chọn đề tài luận văn là: "Lý thuyết độ chênh
thị giá trong Toán tài chính".
Bản chất của phương pháp độ chênh thị giá (Arbitrage Pricing) là dựa

vào nguyên lý AAO (không có độ chênh thị giá) và nguyên lý đáp ứng để
tính ra giá của một tài sản phái sinh tại thời điểm t trước lúc đáo hạn T,
và quan trọng là từ giá trị đáo hạn X được đặt ra trước của hợp đồng, ta
có thể tính toán ngược lại giá trị ban đầu V
0
của phương án cần đầu tư.
Công cụ để thực hiện phương pháp này là một độ đo xác suất, có tên gọi
là độ đo xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale. Cũng chính vì
vậy mà phương pháp này còn được gọi là phương pháp rủi ro trung tính.
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở: Trình bày những khái niệm cơ bản về thị
trường tài chính, giới thiệu việc định giá các tài sản tài chính tuân theo
5
mô hình Black - Scholes, cùng với đó là một số kiến thức về tính toán ngẫu
nhiên (Chuyển động Brown, tích phân ngẫu nhiên Ito, martingale và đưa
ra một số quá trình ngẫu nhiên đơn giản). Đây là những kiến thức hết sức
quan trọng và là tiền đề để tiếp tục phát triển các chương tiếp theo của
luận văn.
Chương 2. Khái niệm về lý thuyết độ chênh thị giá: Chương này bao
gồm các khái niệm quan trọng và cơ bản của toán tài chính, đó là lý thuyết
độ chênh thị giá, thông tin thị trường, nguyên lý về thị trường hiệu quả và
chỉ ra cơ hội có độ chênh thị giá để có được một cái nhìn tổng thể ban đầu
về các thị trường cũng như về giả thuyết không có độ chênh thị giá hay còn
gọi là nguyên lý AAO (Absence of Arbitrage Oppotunities). Dưới giả thiết
thị trường không có độ chênh thị giá, một số tài sản tài chính sẽ là một
martingale và do đó công cụ lý thuyết martingale được sử dụng để tính giá
tài sản tại thời điểm ban đầu hoặc một thời điểm bất kỳ trước khi đáo hạn.
Chương 3. Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá: Cũng là phần
chính của luận văn. Trong chương này nêu rõ cách vận dụng khái niệm độ
chênh thị giá để định giá một tài sản tài chính, đặc biệt là định giá quyền

chọn mua kiểu châu Âu theo mô hình Black - Scholes. Nói rằng định giá
bằng phương pháp độ chênh thị giá thực chất là tính giá trên cơ sở giả
thiết thị trường không có độ chênh thị giá và dựa vào một công cụ hết
sức đặc biệt, đó là độ đo martingale tương đương (Equivalent martingale
measure - EEM) .
Phần bổ sung. Trong phần này sẽ nêu thêm một số khái niệm về
quyền chọn chưa có điều kiện nêu ở các chương chính để làm đầy đủ thêm
về thị trường tài chính. Đây cũng là những khái niệm hay, dùng để tham
khảo. Ta chỉ giới thiệu sơ lược một số quyền chọn mà không nêu phần định
giá. Một số tài sản cơ sở trong các mô hình này cũng có thể có dạng mô
hình Black - Scholes.
Do thời gian gấp rút và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy, rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cám ơn.
Hà Nội tháng 02 năm 2014
6
BẢNG KÝ HIỆU
F
Y
t
: Bộ lọc tự nhiên của quá trình Y
S
t
: Giá cổ phiếu vào thời điểm t
S
T
: Giá cổ phiếu vào lúc đáo hạn hợp đồng
V
0
: Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm ban đầu

V
t
: Giá quyền chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm t
X: Giá thực thi của hợp đồng (Strike price)
Λ
t
: Lượng cổ phiếu mua vào tại thời điểm t
h.c.c: hầu chắc chắn
7
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Thị trường tài chính
1.1.1 Định nghĩa thị trường tài chính
Chương này nhằm trình bày một số khái niệm quan trọng về các hợp
đồng tài chính và các công cụ tính toán ngẫu nhiên dùng trong các chương
về sau.
Định nghĩa 1.1. Thị trường tài chính là nơi diễn ra các hoạt động giao
dịch và mua bán quyền sử dụng những khoản vốn thông qua phương thức
giao dịch và những công cụ tài chính nhất định. Cấu trúc cơ bản của thị
trường tài chính bao gồm các bộ phận sau đây:
1. Các cá nhân hoạt động riêng lẻ
2. Các công ty kinh doanh, các liên doanh
3. Thị trường các chứng từ có giá trị, trong đó quan trọng phải kể tới
là thị trường vốn (capital market), thị trường tiền tệ (currency market),
thi trường cổ phiếu (stock market), thị trường trái phiếu (bond market,
thi trường hợp đồng tương lai và hợp đồng quyền chọn (future and option
market)
4. Các cấu trúc trung gian: các ngân hàng công thương, các ngân hàng đầu
tư, các công ty bảo hiểm
Các đối tượng để buôn bán trong thị trường tài chính là hai loại tài sản

cơ bản:
i. Một là chứng khoán cơ sở gồm: cổ phiếu, trái phiếu, các hàng hóa
cụ thể (như dầu mỏ, khí đốt, than đá, lúa gạo, nông sản, thiết bị,
phương tiện vận tải, ) và ngoại tệ.
8
ii. Hai là các tài sản phái sinh (derivatives), tức là các gói tài sản tạo
nên từ một số tài sản cơ sở (cổ phiếu các loại, trái phiếu các loại hoặc
một số đối tượng tài chính như giá trị lãi suất, tỷ giá hối đoái ) được
ghi nhận trong một hợp đồng tài chính với những điều khoản về thực
thi sự sở hữu tài sản đó. Người giữ hợp đồng đó là người có quyền sở
hữu gói tài sản. Quyền đó có thể mua đi bán lại trên thị trường.
Các phái sinh chính gồm có: Các hợp đồng quyền chọn (options), các
hợp đồng ký kết trước (forwards), các hợp đồng tương lai (futures).
1.1.2 Lợi suất (Return rate)
Lợi suất cũng là một khái niệm hết sức cơ bản của thị trường tài chính,
nó bao gồm hai khái niệm là lãi suất (interest rate) và hoa lợi (yield):
i. Lãi suất của một luồng tiền đầu tư (điển hình là trái phiếu có lãi)
chính là tỷ lệ tiền phải trả theo định kỳ, tính theo phần trăm của
mệnh giá của của trái phiếu, tức là của giá trị tương lai đã ấn định
sẵn của luồng tiền đầu tư).
ii. Hoa lợi là lãi suất nhưng tính theo giá thị trường của trái phiếu (chứ
không phải tính theo mệnh giá đã ghi sẵn trên trái phiếu). Nếu giá
thị trường của trái phiếu tính tại một thời điểm hiện tại t nào đó, thì
lãi suất đó được gọi là hoa lợi hiện tại. Nếu tính tại thời điểm đáo
hạn T thì ta có hoa lợi lúc đáo hạn.
1.2 Hợp đồng quyền chọn mua và hợp đồng quyền
chọn bán
1.2.1 Hợp đồng quyền chọn mua
Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong
tương lai với một giá đảm bảo trước". Quyền cho phép trong tương lai có

thể mua (mà không bắt buộc phải mua) như vậy được gọi là Quyền Chọn
Mua. Các điều kiện của hợp đồng này là:
1. Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng có thể trả cho người viết hợp
đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng.
9
2. Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì
người viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo
hạn.
Nhận xét 1.1. Ta thấy rằng người giữ hợp đồng này có một Quyền chọn
đầu tư. Nếu giá cổ phiếu và ngày đáo hạn thấp hơn giá thực thi thì người
đó hiển nhiên không muốn mua cổ phần và sẽ không trả khoản chi phí thực
thi. Khi đó Quyền chọn không được thực thi.
Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn: Trên thực tế, trong hầu hết các trường
hợp, hợp đồng sẽ được xếp đặt sao cho người viết trả cho người giữ khoản
chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi. Điều đó cho phép ta mô tả
khoản chi trả có thể theo giá S
T
của cổ phiếu và giá thực thi X vào ngày
đáo hạn. Ta có thể nói:
Số tiền chi trả = Max{S
T
− X, 0} = (S
T
− X)
+
Quyền chọn mua kiểu châu Âu và kiểu châu Mỹ: Ta đã đưa ra định
nghĩa về kiểu hợp đồng Quyền chọn mua với điều kiện: Người giữ chỉ có
thể sử dụng nó vào ngày đáo hạn. Người ta gọi đây là hợp đồng Quyền
chọn mua kiểu châu Âu. Còn một loại khác ít hạn chế hơn là hợp đồng
Quyền chọn mua kiểu châu Mỹ. Người giữ hợp đồng này được phép thực

thi tại bất kỳ thời điểm nào trước ngày đáo hạn.
Giá của một hợp đồng Quyền chọn mua: Hai nguyên tắc tài chính là
Đáp ứng để bảo hộ giá và Không có độ chênh thị giá sẽ tạo ra ước lượng
giá cho một Hợp đồng Quyền chọn mua. Đối với một hợp đồng kỳ hạn thì
việc tính lãi hay lỗ dựa vào biểu thức:
S
T
− X
Ta thêm một khoản tiền có giá trị là Xe
−r(T −t)
để tạo ra một sự đầu
tư bảo hộ, khi đó, sự không có độ chênh thị giá sẽ dẫn tới
giá Quyền chọn mua + Xe
−r(T −t)
≥ S
t
Điều đó có nghĩa là giá Quyền chọn mua thỏa mãn điều kiện:
giá Quyền chọn mua ≥ S
t
− Xe
−r(T −t)
Công thức này cho ta một ước lượng dưới của Quyền chọn mua.
10
1.2.2 Hợp đồng quyền chọn bán
Người ta có thể mua "một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng
khoán trong tương lai với một giá đảm bảo", ngay cả khi mà người ta
không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó là nội dung của các hợp
đồng Quyền chọn bán. Các điều kiện của hợp đồng này là:
1. Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết
hợp đồng một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo

giá trị thị trường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán.
2. Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương
đương do người giữ giao cho, thì người viết phải trả chi phí thực thi cho
người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn.
Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn: Thông thường thì với hợp đồng Quyền
chọn bán, thì hoặc là hợp đồng không được thực thi, hoặc là người viết
hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữa giá
thực thi và giá chứng khoán vào ngày đáo hạn.
Thu hoạch Quyền bán = Max{X −S
T
, 0} = (X −S
T
)
+
Quyền chọn bán kiểu châu Âu và kiểu châu Mỹ: Ta đã đưa ra định
nghĩa về kiểu hợp đồng Quyền chọn bán với một hạn chế: Quyền này chỉ có
thể được thực thi vào ngày đáo hạn. Người ta gọi đây là hợp đồng Quyền
chọn bán kiểu châu Âu. Còn một loại khác ít hạn chế hơn là hợp đồng
Quyền chọn bán kiểu châu Mỹ: được phép thực thi tại bất kỳ thời điểm
nào trước ngày đáo hạn.
Bán khống (Short selling) Bán khống là hình thức mượn một chứng
khoán và bán nó đi, mong muốn rằng nó sẽ giảm giá để người bán khống
có thể mua nó lại với mức giá thấp hơn và hưởng chênh lệch giá
Các điều kiện đối với việc bán khống:
1. Người ta vay một số cụ thể các cổ phiếu chứng khoán (thường là vay
của các nhà môi giới) và rồi bán luôn các cổ phiếu đó trong ngày
2. Ngày vay cổ phiếu chứng khoán kế tiếp không được xác định trước
3. Nếu người sở hữu các cổ phiếu đi vay quyết định sẽ bán các cổ phiếu đó,
thì người đó phải tiếp tục đi vay các cổ phiếu khác để thay thế cổ phiếu
đã cho vay trước và sắp bán đi.

11
1.3 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng tương lai
1.3.1 Hợp đồng ký kết trước (Forward Contract)
Định nghĩa 1.2. Một hợp đồng ký kết trước giữa hai bên đối tác A và B
(thường là các công ty tài chính hoặc các nhà môi giới đầu tư, hoặc các
nhà đầu tư tài chính ) với các quy ước như sau:
1. Đến thời điểm đáo hạn T của hợp đồng, bên A phải giao cho bên B môi
khối lượng sản phẩm tài chính (cổ phiếu, ngoại tệ ) hoặc môt khối lượng
hàng hóa đặc biệt nào đó (dầu mỏ, lúa gạo, hải sản, hàng công nghiệp )
có giá thị trường là X tại thời điểm T .
2. Đến thời điểm đáo hạn T đó, bên B phải trả cho bên A một khoản tiền
F (0, T ) định trước từ lúc ký kết (thời điểm t = 0).
3. Không có bất kỳ một chi phí giao dịch nào trước thời điểm T
4. Đến thời điểm T , hai bên bắt buộc phải thực thi các quy ước đó, theo
một số điều khoản cụ thể.
1.3.2 Hợp đồng tương lai (Futures Contract)
Định nghĩa 1.3. Một hợp đồng tương lai là một bản thỏa thuận giữa hai
đối tác A và B cũng giống với hợp đồng ký kết trước, tuy nhiên quy tắc 3
được thay bởi
3’. Đến thời điểm đáo hạn T , bên B phải trả cho bên A một khoản tiền là
F
∗
(0, T ), khoản tiền này hoàn toàn xác định bởi giá cả thị trường tại thời
điểm t nào đó t < T. Ngoài ra, các sản phẩm ghi nợ trong hợp đồng phải
là tài sản được niêm yết trong thị trường chính thức.
Một điểm nữa để phân biệt giữa hai loại hợp đồng ký kết trước và tương
lai là: Hai bên đối tác của hợp đồng ký kết trước thì thỏa thuận rằng sẽ
ràng buộc trực tiếp với nhau thông qua những điều khoản của hợp đồng.
Còn với hợp đồng tương lai, thì hai bên mua và bán chỉ quan hệ gián tiếp
với nhau trên thị trường chính thức thông qua một tổ chức trung gian gọi

là Quỹ đền bù (Compensation Fund).
Trong một hợp đồng tương lai, người giữ hợp đồng có thể là người bán
hay người mua (cũng giống như đối với Quyền chọn bán và Quyền chọn
mua). Việc chuyển tiền qua lại giữa người giữ hợp đồng và Qũy đền bù
12
được tiến hành hàng ngày và được gọi là Lệnh gọi đền bù.
1.4 Mô hình Black - Scholes, công thức
Black - Scholes
Gọi S
t
là giá cổ phiếu tại thời điểm t. Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác
động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta coi S
t
là một quá trình ngẫu nhiên
với thời gian liên tục S
t
= S(t, ω).
Mô hình Black - Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu
nhiên tuyến tính như sau:
dS
t
= µS
t
dt + σS
t
dB
t
(1.1)
trong đó µ và σ là các hằng số, còn B
t

là chuyển động Brown (quá trình
Weiner tiêu chuẩn)
Xét một Quyền chọn mua kiểu Châu Âu xây dựng trên một cổ phiếu
S và một trái phiếu không rủi ro B, với giá thực thi là X, thời điểm đáo
hạn là T , lãi suất không rủi ro là r và S
t
là giá chứng khoán tại thời điểm
t ∈ [0, T ]. Khi đó, bằng phương pháp độ chênh thị giá sẽ trình bày trong
chương 2, người ta có thể tính giá V
t
của Quyền chọn mua tại thời điểm t.
Giá của một quyền chọn mua được định nghĩa là kỳ vọng của thu hoạch
(payoff) của quyền chọn. Ở thời điểm đáo hạn, giá đó là
V
T
= E[(S
T
− X)
+
]
Ở thời điểm t ∈ [0, T ], giá đó là V
t
= hệ số chiết khấu ×V
t
= e
r(T −t)
×V
T
Nếu cổ phiếu và trái phiếu tuân theo mô hình Black - Scholes thì V
t

được
xác định bởi một công thức rất nổi tiếng, đó là công thức Black - Scholes:
V
t
= S
t
N(d
1
) −Xe
−r(T −t)
N(d
2
) (1.2)
trong đó N là ký hiệu cho hàm phân phối N(0, 1)
N(x) =
1
√
2π

x
−∞
e
−u
2
2
du
và d
1
, d
2

là hai giá trị cho bởi
13
d
1
=
1
σ
√
T −t
[ln
S
t
X
+ (r +
σ
2
2
)(T −t)] (1.3)
d
2
= d
1
− σ
√
T −t (1.4)
Nếu chọn thời điểm hiện tại làm thời điểm gốc t = 0, thì công thức Black
- Scholes trở thành:
V
0
= S

0
N(d
1
) −Xe
−r(T −t)
N(d
2
) (1.5)
trong đó
d
1
=
1
σ
√
T
[ln
S
0
X
+ (r +
σ
2
2
)T ] (1.6)
d
2
= d
1
− σ

√
T (1.7)
N(x) =
1
√
2π

x
−∞
e
−u
2
2
du
Trên đây ta đã có được một cái nhìn sơ lược về mô hình Black - Scholes
và công thức Black - Scholes. Việc chứng minh công thức Black - Scholes
sẽ được nhắc tới ở phần sau.
1.5 Một số yếu tố về tính toán ngẫu nhiên
1.5.1 Quá trình đo được
Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất. Một quá trình ngẫu nhiên
X = {X
t
, t ≥ 0} được gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ− trường
tích B
R
+

F. Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B của R, tập hợp
{(t, ω) : X(t, ω) ∈ B} thuộc về σ−trường tích B
R

+

F. Đó là σ−trường
nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0, t] × A với t ∈ R
+
, A ∈ F.
1.5.2 Quá trình đo được dần
Cho một không gian xác suất có lọc (Ω, F, (F
t
)
t≥0
, P ). Gọi B
[0,t]
là
σ−trường Borel trên [0, t]. cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
)
t∈R
+
.
14
Xét hạn chế của X trên đoạn [0, t], với một t cố định thuộc R
+
. Ta có ánh
xạ X : [0, t] ×Ω → R. Trên tích [0, t] ×Ω, ta xét σ−trường tích B
[0,t]
×F
t
.
Nếu X đo được đối với σ−trường tích ấy với mỗi t ∈ R

+
thì quá trình X
được gọi là quá trình đo được dần.
1.5.3 Quá trình khả đoán
σ−trường khả đoán là σ−trường nhỏ nhất các tập con của R
+
× Ω,
mà đối với nó mọi quá trình liên tục trái đều là đo được. Cho một quá
trình ngẫu nhiên X = (X(t, ω)) thích nghi với F
t
. Nếu hàm (t, ω) →
X(t, ω) (từ R
+
× Ω → R) là P −đo được thì ta nói X là một quá trình
khả đoán với (F
t
).
a. σ−trường các tập hoàn toàn đo được trên R
+
× Ω là σ−trường O
các tập con của R
+
×Ω và nhỏ nhất mà đối với nó mọi quá trình liên tục
bên phải và có giới hạn bên trái là đo được.
b. Nếu X = (X(t, ω)) là một ánh xạ đo được từ (R
+
×Ω, O) → (R, B
R
)
ta nói X là một quá trình hoàn toàn đo được.

1.5.4 Quá trình thích nghi với một bộ lọc
1.5.4.1 Bộ lọc
Một họ các σ−trường con F
t
⊂ F được gọi là một bộ lọc nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
1. Họ đó là một họ tăng, tức là F
s
⊂ F
t
nếu s < t
2. Họ đó là liên tục phải, tức là F
t
=

>0
F
t+
3. mọi tập P −bỏ qua được A ∈ F đều được chứa trong F
0
(do đó nằm
trong mọi F
t
)
1.5.4.2. Bộ lọc tự nhiên
Cho một quá trình ngẫu nhiên X = {X
t
, t ≥ 0}. Xét họ σ−trường F
X
t

sinh bởi các biến ngẫu nhiên X
s
(ω) với s ≤ t, tức F
X
t
= σ(X
s
, 0 ≤ s ≤ t).
Khi đó họ {F
X
t
, t ≥ 0} được gọi là bộ lọc tự nhiện của quá trình X hay
là lịch sử của X.
15
1.5.4.3. Quá trình thích nghi
Cho một bộ lọc bất kỳ {F
t
, t ∈ R
+
} trên (Ω, F). Một quá trình Y được
gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi t, Y
t
là đo được với σ−trường
F
t
Mọi quá trình X = {X
t
, t ∈ R
+
} là thích nghi với lịch sử của nó

{F
X
t
, t ∈ R
+
}
1.5.5 Martingale
Định nghĩa 1.4. Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t > 0) được gọi là
một martingale với thời gian liên tục ứng với bộ lọc (F
t
, t ≥ 0), ta viết
(X, (F
t
)) nếu:
i. E(X
t
) < ∞, ∀t ≥ 0
ii. X thích nghi với (F
t
)
iii. E(X
t
|F
s
) = X
s
, ∀0 ≤ s < t
hay X

s
là dự báo tốt nhất của X
t
cho bởi F
s
Từ đó, ta có định nghĩa martingale với thời gian rời rạc, X = (X
n
, n =
0, 1, ). ở đây ta có thể thay thế điều kiện (iii) ở trên bởi:
E(X
n+k
|F
n
) = X
n
, ∀k ≥ 0
Rõ ràng chỉ cần đòi hỏi điều này đúng với k = 1, thật vậy:
E(X
n+1
|F
n
) = E[E(X
n+2
|F
n+1
)|F
n
] = E(X
n+2
|F

n
)
= E[E(X
n+3
|F
n+2
)|F
n
] = E(X
n+3
|F
n
)
= = E(X
n+k
|F
n
)
Và ta có định nghĩa martingale với thời gian rời rạc:
Định nghĩa 1.5. Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
n
, n = 0, 1, ) được
gọi là một martingale với thời gian rời rạc ứng với bộ lọc F
n
, (n = 0, 1, ),
ta viết (X, (F
n
)) nếu:
i. E|X
n

| < ∞, ∀n = 0, 1,
ii. X thích nghi với (F
n
)
16
iii. E(X
n+1
|F
n
) = X
n
, ∀n = 0, 1,
hay X
n
là dự báo tốt nhất của X
n+1
cho bởi F
n
Tính chất (iii) của martingale với thời gian rời rạc còn có thể viết lại
dưới dạng E(Y
n+1
|F
n
) = 0 với Y
n+1
= X
n+1
− X
n
, n = 0, 1,

Dãy (Y
n
) khi đó được gọi là dãy hiệu martingale ứng với bộ lọc (F
n
).
Chú ý: Một martingale có tính chất đặc biệt là kỳ vọng của nó luôn là
hằng số:
EX
s
= E[E(X
t
|F
s
)] = EX
t
, ∀s, t (1.8)
1.5.6 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown)
1.5.6.1. Khái niệm
Định nghĩa 1.6. Một quá trình X = (X
t
, t ≥ 0) được xác định trên một
không gian xác suất đủ (Ω, F, P ) được gọi là một quá trình Wiener với
tham số phương sai σ
2
nếu nó là một quá trình Gauss với các tính chất
sau:
(i) X
0
= 0 h.c.c
(ii) Với mỗi cặp s, t(s < t), X

t
−X
s
có phân phối chuẩn (Gauss) với trung
bình 0 và phương sai σ
2
(t −s)
(iii) Có số gia độc lập, tức là các biến ngẫu nhiên X
t4
−X
t3
và X
t2
−X
t1
là độc lập ∀t
1
≤ t
2
≤ t
3
≤ t
4
(iv) Với hầu hết ω, các quỹ đạo t → X
t
(ω) là liên tục
Định nghĩa 1.7. X = (X
t
) là một quá trình Wiener với tham số phương
sai σ

2
nếu X là một quá trình Gauss với hàm trung bình E(X
t
) = 0 ∀t
và hàm tương quan cho bởi:
R(t, s) ≡ E(X
t
X
s
) = σ
2
.min(t, s)
Trường hợp tham số phương sai σ
2
= 1 thì quá trình X = (X
t
) được gọi
là quá trình Wiener tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn)
17
1.5.6.2. Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener
Cho W = (W
t
) là một quá trình Wiener
a. W
t
là một martingale đối với F
∗
t
(σ − trường nhỏ nhất sinh bởi họ
biến ngẫu nhiên W

s
, s ≤ t, còn gọi là lịch sử của W
t
tính cho đến thời
điểm t).
b. (i) P{ω: quỹ đạo t → W
t
(ω) là khả vi} = 0
(ii) P{ω: quỹ đạo t → W
t
(ω) có biến phân bị chặn trên một khoảng
hữu hạn bất kỳ} = 0
c. W tuân theo luật loga lặp như sau: P{ω : lim
t→∞
sup
W
t
(ω)
√
2tlnlnt
=
1} = 1
d. Cho B
R
là họ tất cả các hàm Borel xác định trên R. Với mỗi t > 0
và f ∈ B
R
, ta định nghĩa hàm P
t
f trên R xác định bởi

(P
t
f)(x) =
1
(2πt)
1/2

R
f(y)exp[ −
| y − x |
2
2t
dy]
Khi đó
(i) P
t
f ∈ B
R
(ii) Với 0 < s < t và f ∈ B
R
, thì (P
t−s
f)(x) = E[f(W
t
)|W
s
= x]
hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue trên R
(iii) E[f(W
t

)|F
W
s
] = E[f(W
t
)|W
s
] = (P
t−s
f)(W
s
),
1.6 Tích phân ngẫu nhiên Ito
1.6.1 Định nghĩa cấu trúc
Ta luôn xét các quá trình ngẫu nhiên xác định trên một không gian
xác suất (Ω, F, P ) trên đó có một bộ lọc (F
t
)
t∈T
là một họ tăng các
σ−trường con của F; trong đó T là một khoảng [0, T ] nào đó. Gọi BF
là một σ−trường xác định trên [0, T ] × Ω, bởi vì BF = {A ⊆ T × Ω :
A ∩(−∞, t] ×Ω đo được đối với B
[0,t]
× F
t
}.
18
Chú ý: Mọi quá trình đo được dần đều là đo được đối với BF. Quá trình
Wiener (W

t
) đã cho tất nhiên phải thích nghi với (F
t
) sao cho W
u
− W
t
là độc lập với F
t
, (u > t).
Ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên I(f) =

T
0
f(t, ω)dW
t
đối với
hàm ngẫu nhiên f(t, ω) đo được dần đối với họ F
t
sao cho
E

T
0
|f(t, ω)|
2
dt < ∞
tức là đối với các hàm f ∈ L
2
([O, T ] × Ω, BF, mes ×P ) hay ký hiệu tắt

là f ∈ L
2
(BF).
Định lý 1.1. Tồn tại duy nhất một ánh xạ

: f →

f từ L
2
(BF) vào
không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L
2
(Ω, F, P ) sao cho:
1.

là tuyến tính:

(c
1
f
1
+ c
2
f
2
) = c
1

f
1

+ c
2

f
2
2.

là ánh xạ đẳng cự từ L
2
(BF) vào L
2
(Ω, F, P ) :
E|

f|
2
= E

T
0
|f(t, ω)|
2
dt
||

f||
L
2
(Ω)
= ||f||

L
2
(BF)
3.

(η1
[t
1
,t
2
]
) = η(W
t
2
− W
t
1
) (hầu khắp nơi).
trong đó η là biến ngẫu nhiên tùy ý đo được đối với F
t
1
, (t
1
< t
2
) và bình
phương khả tích: η ∈ L
2
(F
t

1
).
Ta sẽ ký hiệu ánh xạ

đó là I(f) =

T
0
f(t, ω)dW
t
và gọi là tích phân
Ito của hàm ngẫu nhiên f lấy đối với quá trình Wiener W .
1.6.2 Định nghĩa mô tả
Định nghĩa 1.8. Tích phân Ito của một hàm ngẫu nhiên đo được dần
f(t, ω) có thể được định nghĩa như một giới hạn theo xác suất như sau:
I(f) =

T
0
f(t, ω)dt = P −lim
|∆|→0

i
f(t, ω)[W
t
i+1
− W
t
i
]

19
trong đó |∆| = max[t
k+1
− t
k
] với mọi phân hoạch t
0
= 0 < t
1
< <
t
n
= T .
Như đã chú ý ở trên, không thể thay t
k
trong f(t
k
, ω) bởi s
k
bất kỳ
trong (t
k
, t
k+1
). Dĩ nhiên ta có định nghĩa tích phân

t
0
f(s, ω)dW
s

với
mọi t ∈ [0, T ].
Sau đây là các tính chất quan trọng của tích phân Ito
1. E

t
0
f(s, ω)dW
s
= 0, t ∈ [0, T ]
2. E|

t
0
f(s, ω)dW
s
|
2
= E[

t
0
f
2
ds] (tính chất đẳng cự)
3. X
t
=

t

0
f(s, ω)dW
s
là một martingale đối với F
W
t
1.6.3 Công thức Ito cho chuyển động Brown
Chúng ta muốn "vi phân hóa" biểu diễn của f(B(t)) trong đó f(t) là
một hàm khả vi. Nếu B(t) cũng khả vi thì phương pháp lấy đạo hàm hàm
hợp thông thường cho ta:
d
dt
f(B(t)) = f

(B(t))B

(t)
hay có thể viết lại:
df(B(t)) = f

(B(t))B

(t)dt = f

(B(t))dB(t)
Tuy nhiên, B(t) không khả vi, và trên thực tế không có biến phân bậc
hai khác không, vì vậy công thức sẽ phải thêm thành phần phụ:
df(B(t)) = f

(B(t))dB(t) +

1
2
f

(B(t))dt (với dt = dB(t)dB(t)) (1.9)
Đây là công thức Ito ở dạng vi phân, lấy tích phân hai vế ta được công
thức Ito dạng tích phân:
f(B(t)) −f(B(0)) =

t
0
f

(B(u))dB(u) +
1
2

t
0
f

(B(u))du (1.10)
trong đó tích phân thứ nhất:

t
0
f

(B(u))dB(u) là tích phân Ito được
định nghĩa trong phần trước. Tích phân thứ hai


t
0
f

(B(u))du là tích
phân Riemann thông thường trong giải tích cơ bản.
20
Ta có thể dùng cách viết đơn giản dạng (1.9) cho công thức Ito dạng vi
phân, tuy nhiên đây chỉ là viết một cách trực quan và không hề có định
nghĩa phù hợp cho các đại lượng df(B(t), dB(t), và dt trong công thức
này. Công thức này chỉ có thể được công nhận về mặt toán học khi ta lấy
tích phân cả hai vế.
Sau đây ta sẽ đưa ra định lý Girsanov - một định lý quan trọng về biến
đổi độ đo xác suất sẽ cần dùng đến trong các phần tiếp theo.
Định lý 1.2. (Girsanov) Cho Y
t
là một quá trình Ito có vi phân ngẫu
nhiên là
dY
t
= β(t, ω)dt + θ(t, ω)dW
t
, t ≤ T
Giả sử tồn tại các quá trình thích nghi u(t, ω) và α(t, ω) sao cho

T
0
u
2

(t, ω)dt < ∞h.c.c và

T
0
α
2
(t, ω)dt < ∞ h.c.c
và sao cho
θ(t, ω)u(t, ω) = β(t, ω) −α(t, ω)
Đặt
L
t
= exp{−

t
0
u(s, ω)dW
s
−
1
2

t
0
u
2
(s, ω)ds}
và gọi Q là một độ đo xác suất mới xác định bởi
dQ
dP

= L
T
Khi đó thì
i. Với độ đo mới Q, quá trình
˜
W
t
xác định bởi
˜
W
t
=

t
0
u(s, ω)ds + W
t
, t ≤ T
là một chuyển động Brown đối với F
t
= σ(W
s
, s ≤ t)
21
ii. Với độ đo mới Q, quá trình Y
t
cũng là một quá trình Ito với vi phân
Ito mới như sau:
dY
t

= α(t, ω)dt + θ(t, ω)d
˜
W
t
22
Chương 2
KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT ĐỘ
CHÊNH THỊ GIÁ
Chương này trình bày một trong các khái niệm quan trọng và cơ bản của
Toán tài chính, đó là lý thuyết độ chênh thị giá. Dưới giả thiết thị trường
không có độ chênh thị giá, một số tài sản tài chính sẽ là một martingale
và do đó công cụ lý thuyết martingale được sử dụng để tính giá tài sản tại
thời điểm ban đầu hoặc một thời điểm bất kỳ trước khi đáo hạn
2.1 Giá là một quá trình ngẫu nhiên
Xét một tài sản tài chính S mà giá của nó tại một thời điểm t được ký
hiệu là S(t) hoặc S
t
. Giả sử t
0
là thời điểm hiện tại thì ta chỉ biết được
giá trị S(t
0
) nhờ quan sát trên thị trường và nói chung ta không biết trước
được giá S(t) với t > t
0
. Giá S(t) biến đổi một cách phụ thuộc vào nhiều
yếu tố ngẫu nhiên như các biến động giá các sản phẩm khác, các xu hướng
tăng trưởng hoặc suy thoái của các nền kinh tế thế giới, các diễn biến về
nhu cầu tiêu dùng trong và ngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến
chính trị, các chính sách của nhà nước, các diễn biến tâm lý nhà đầu tư

Ta gom các yếu tố ngẫu nhiên đó của tất cả các sản phẩm tài chính S trên
thị trường vào một tập hợp cơ bản ký hiệu là Ω mà mỗi phần tử ω của
nó biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó, mỗi sự kiện xảy ra trong thị
trường là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tố ngẫu nhiên. Để đo
lường một cách định lượng khả năng xảy ra các sự kiện đó người ta dùng
một loại thước đo là một độ đo xác suất P . Độ đo đó chỉ đo dược các sự
kiện thuộc về một lớp F nào đó các sự kiện (F sẽ được xác định như là
23
một σ−đại số); mỗi sự kiện A thuộc về lớp này (A ∈ F) được gọi là một
biến cố ngẫu nhiên và giá trị đo lường khả năng xảy ra sự kiện A đó chính
là xác suất P (A).
Vậy ta có một không gian xác suất (Ω, F, P ) mà mỗi tài sản tài chính
S(t) là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên đó: Với mỗi t, S(t) còn
phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên {ω : S = S(t, ω)}.
2.2 Thông tin và các thị trường
2.2.1 Trường thông tin và σ trường
Như phần trên đã nói, giá của các sản phẩm tài chính được xem như
những quá trình ngẫu nhiên xét trên một không gian xác xuất (Ω, F, P ),
mỗi sự kiện A xảy ra trong thị trường được xem là một tập hợp thuộc về
họ F với khả năng xảy ra chính là xác suất P (A).
Nhưng giá sản phẩm thì thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian t và các
thông tin về thị trường (giá cả, chính sách, tình hình buôn bán trong nước
và ngoài nước, nhu cầu tiêu thụ, tâm lý nhà đầu tư ) cũng tích lũy càng
ngày càng nhiều thêm. Ta giả sử mọi thông tin về thị trường ấy tại thời
điểm t được ghi nhận trong một trường thông tin F
t
là một họ con của
F : F
t
⊂ F.F

t
ghi nhận mọi biến cố xảy ra trong thị trường tại mọi thời
điểm s ≤ t.
Về mặt toán học, họ thông tin cơ bản F và các họ con F
t
⊂ F được
xác định như những σ−đại số xác định trên tập hợp Ω các yếu tố ngẫu
nhiên cơ bản.
Định nghĩa 2.1. Một σ−đại số G (hay còn gọi là σ−trường G) xác định
trên tập Ω là một họ các tập con của Ω thỏa mãn các tính chất sau:
(a) G đóng đối với phép hợp đếm được, tức là: Nếu A
1
, A
2
, , A
n
, là
các tập con của Ω và thuộc về G thì hợp ∪
∞
n=1
A
n
cũng là một phần tử
của G.
(b) G đóng đối với phép lấy phần bù, tức là: Nếu A ∈ G thì hiệu Ω \ A
cũng thuộc về G (Hiệu Ω \ A ký hiệu là A
c
và gọi là phần bù: A ∈
G ⇒ A
c

∈ G).
24
(c) Cả Ω cũng thuộc về G.
Nhận xét:
• Do hai tính chất (a) và (b) thì có thể nói rằng G cũng đóng đối với
phép lấy giao đếm được.
• Do hai tính chất (b) và (c) thì có thể nói rằng G cũng chứa tập rỗng
∅ : ∅ ∈ G
• Họ thông tin cơ bản F và các họ con F
T
đều được xác định như các
σ−đại số, tức là có các tính chất của một họ G như đã nêu trong định
nghĩa (2.1)
2.2.2 Luồng thông tin thị trường
Định nghĩa 2.2. Luồng thông tin thị trường F
t
, t ≥ 0 là một họ các
σ−đại số con của σ−đại số F(F
t
⊂ F) và thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
(i) Đó là một họ tăng, tức là F
s
⊂ F
t
với s ≤ t.
(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là ∩
>0
F
t+

= F
t
(iii) Mọi tập P −bỏ qua được A ∈ F đều được chứa trong F
0
(do đó A đều
thuộc về mọi F
t
).
Các điều kiện đó được gọi là "các điều kiện thông thường". Điều kiện
(i) phản ánh đúng thực tế thông tin thị trường : mỗi ngày trôi qua, ta có
thêm thông tin về các hoạt động và diễn biến của thị trường. các điều kiện
(ii) và (iii) có tính chất kỹ thuật để phục vụ tính toán.
Trong toán học, luồng thông tin F
t
định nghĩa như trên được gọi là
một bộ lọc.
Tùy bối cảnh của bài toán, có thể chọn ra nhiều bộ lọc khác nhau ứng
với một không gian xác suất đã cho (Ω, F, P ).
2.2.3 Không gian xác suất có lọc
Định nghĩa 2.3. Cho một không gian xác suất (Ω, F, P ) bao gồm tất cả
các yếu tố ngẫu nhiên, sự kiện ngẫu nhiên và các phương tiện định lượng
25